Среднее значение признака статистика. Московский государственный университет печати

Каждый человек в современном мире, планируя взять кредит или делая запасы овощей на зиму, периодически сталкивает с таким понятием, как «средняя величина». Давайте узнаем: что это такое, какие ее виды и классы существуют и зачем она применяется в статистике и других дисциплинах.

Средняя величина - это что такое?

Подобное название (СВ) носит обобщенная характеристика совокупности однородных явлений, определяемая по какому-либо одному количественному варьируемому признаку.

Однако люди далекие, от столь заумных определений, понимают это понятие, как среднее количество чего-то. Например, прежде чем взять кредит, сотрудник банка обязательно попросит потенциального клиента предоставить данные о среднем доходе за год, то есть общую сумму зарабатываемых человеком средств. Она вычисляется путем суммирования заработанного за весь год и разделения на количество месяцев. Таким образом, банк сможет определить, сумеет ли его клиент отдать долг в срок.

Зачем она используется?

Как правило, средние величины широко применяются для того, чтобы дать итоговую характеристику определенных общественных явлений, носящих массовый характер. Также они могут быть использованы для менее масштабных расчетов, как в случае с кредитом, в приведенном выше примере.

Однако чаще всего средние величины все же применяются для глобальных целей. В качестве примера одного из них можно привести вычисление количества потребляемой гражданами электроэнергии на протяжении одного календарного месяца. На основе полученных данных в дальнейшем устанавливаются максимальные нормы для категорий населения, пользующихся льготами от государства.

Также с помощью средних величин разрабатывается гарантийный срок службы тех или иных бытовых приборов, автомобилей, зданий и т. п. На основе собранных таким способом данных когда-то были разработаны современные нормы труда и отдыха.

Фактически любое явление современной жизни, носящее массовый характер, тем или иным образом обязательно связано с рассматриваемым понятием.

Сферы применения

Данное явление широко применяется практически во всех точных науках, особенно носящих экспериментальный характер.

Поиск среднего имеет огромное значение в медицине, инженерных дисциплинах, кулинарии, экономике, политике и т. п.

Основываясь на данных, полученных от подобных обобщений, разрабатывают лечебные препараты, учебные программы, устанавливают минимальные прожиточные минимумы и зарплаты, строят учебные графики, производят мебель, одежду и обувь, предметы гигиены и многое другое.

В математике данный термин именуется «средним значением» и применяется для осуществления решений различных примеров и задач. Наиболее простыми из них являются сложение и вычитание с обычными дробями. Ведь, как известно, для решения подобных примеров необходимо привести обе дроби к общему знаменателю.

Также в царице точных наук часто применяется близкий по смыслу термин «значение среднее случайной величины». Большинству он более знаком как «математическое ожидание», чаще рассматриваемое в теории вероятности. Стоит отметить, что подобное явление также применяется и при произведении статистических вычислений.

Средняя величина в статистике

Однако чаще всего изучаемое понятие используется в статистике. Как известно, эта наука сама по себе специализируется на вычислении и анализе количественной характеристики массовых общественных явлений. Поэтому средняя величина в статистике используется в качестве специализированного метода достижения ее основных задач - сбора и анализа информации.

Суть данного статистического метода заключается в замене индивидуальных уникальных значений рассматриваемого признака определенной уравновешенной средней величиной.

В качестве примера можно привести знаменитую шутку о еде. Итак, на неком заводе по вторникам на обед его начальство обычно ест мясную запеканку, а простые рабочие - тушеную капусту. На основе этих данных можно сделать вывод, что в среднем коллектив завода по вторникам обедает голубцами.

Хотя данный пример слегка утрирован, однако он иллюстрирует главный недостаток метода поиска средней величины - нивелирование индивидуальных особенностей предметов или личностей.

В средних величин применяются не только для анализа собранной информации, но и для планирования и прогнозирования дальнейших действий.

Также с его помощью производится оценка достигнутых результатов (например, выполнение плана по выращиванию и сбору урожая пшеницы за весенне-летний сезон).

Как правильно рассчитать

Хотя в зависимости от вида СВ существуют разные формулы ее вычисления, в общей теории статистики, как правило, применяется всего один способ расчета средней величины признака. Для этого нужно сначала сложить вместе значения всех явлений, а затем разделить получившуюся сумму на их количество.

При произведении подобных вычислений стоит помнить, что средняя величина всегда имеет ту же размерность (или единицы измерения), что и отдельная единица совокупности.

Условия правильного вычисления

Рассмотренная выше формула весьма проста и универсальна, так что ошибиться в ней практически невозможно. Однако всегда стоит учитывать два аспекта, иначе полученные данные не будут отражать реальную ситуацию.

Классы СВ

Найдя ответы на основные вопросы: "Средняя величина - это что такое?", "Где применяется она?" и "Как можно вычислить ее?", стоит узнать, какие классы и виды СВ существуют.

Прежде всего это явление делится на 2 класса. Это структурные и степенные средние величины.

Виды степенных СВ

Каждый из вышеперечисленных классов, в свою очередь, делится на виды. У степенного класса их четыре.

• Средняя арифметическая величина - это наиболее распространенный вид СВ. Она являет собою среднее слагаемое, при определении коего общий объем рассматриваемого признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами данной совокупности.

  Этот вид делится на подвиды: простая и взвешенная арифметическая СВ.

• Средняя гармоническая величина - это показатель, обратный средней арифметической простой, вычисляемый из обратных значений рассматриваемого признака.

  Она применяется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака и произведение, а данные частоты - нет.

• Средняя геометрическая величина чаще всего применима при анализе темпов роста экономических явлений. Она дает возможность сохранять в неизменном виде произведение индивидуальных значений данной величины, а не сумму.

  Также бывает простой и взвешенной.

• Средняя квадратическая величина используется при расчете отдельных показателе показателей, таких как коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции и т. п.

  Также с ее помощью вычисляются средние диаметры труб, колес, средние стороны квадрата и подобных фигур.

  Как и все остальные виды средних СВ, среднеквадратическая бывает простой и взвешенной.

Виды структурных величин

Помимо средних СВ, в статистике довольно часто используются структурные виды. Они лучше подходят для расчета относительных характеристик величин варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения.

Таких видов существует два.

В математике и статистике среднее арифметическое (либо легко среднее ) комплекта чисел - это сумма всех чисел в этом комплекте, поделённая на их число. Среднее арифметическое является особенно всеобщим и самым распространённым представлением средней величины.

Вам понадобится

• Знания по математике.

Инструкция

1. Пускай дан комплект из четырех чисел. Нужно обнаружить среднее значение этого комплекта. Для этого вначале обнаружим сумму всех этих чисел. Возможен эти числа 1, 3, 8, 7. Их сумма равна S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Комплект чисел должен состоять из чисел одного знака, в отвратном случае толк в вычислении среднего значения теряется.

2. Среднее значение комплекта чисел равно сумме чисел S, деленной на число этих чисел. То есть получается, что среднее значение равно: 19/4 = 4.75.

3. Для комплекта числе также дозволено обнаружить не только среднее арифметическое, но и среднее геометрическое. Средним геометрическим нескольких правильных вещественных чисел именуется такое число, которым дозволено заменить всякое из этих чисел так, дабы их произведение не изменилось. Среднее геометрическое G ищется по формуле: корень N-ой степени из произведения комплекта чисел, где N – число числе в комплекте. Разглядим тот же комплект чисел: 1, 3, 8, 7. Обнаружим их среднее геометрическое. Для этого посчитаем произведение: 1*3*8*7 = 168. Сейчас из числа 168 нужно извлечь корень 4-ой степени: G = (168)^1/4 = 3.61. Таким образом среднее геометрическое комплекта чисел равно 3.61.

Среднее геометрическое в совокупности применяется реже, чем арифметическое среднее, впрочем оно может быть пригодно при вычислении среднего значения показателей, изменяющихся с течением времени (заработная плата отдельного работника, динамика показателей успеваемости и т.п.).

Вам понадобится

• Инженерный калькулятор

Инструкция

1. Для того дабы обнаружить среднее геометрическое ряда чисел, для начала надобно перемножить все эти числа. Скажем, вам дан комплект из пяти показателей: 12, 3, 6, 9 и 4. Перемножим все эти числа: 12х3х6х9х4=7776.

2. Сейчас из полученного числа надобно извлечь корень степени, равной числу элементов ряда. В нашем случае из числа 7776 необходимо будет извлечь корень пятой степени при помощи инженерного калькулятора. Полученное позже этой операции число – в данном случае число 6 – будет являться средним геометрическим для начальной группы чисел.

3. Если у вас под рукой нет инженерного калькулятора, то вычислить среднее геометрическое ряда чисел дозволено с поддержкой функции СРГЕОМ в программе Excel либо при помощи одного из онлайн-калькуляторов, намеренно предуготовленных для вычисления средних геометрических значений.

Обратите внимание!
Если понадобится обнаружить среднее геометрическое каждого для 2-х чисел, то инженерный калькулятор вам не потребуется: извлечь корень 2-й степени (квадратный корень) из всякого числа дозволено при помощи самого обыкновенного калькулятора.

Полезный совет
В различие от среднего арифметического, на геометрическое среднее не так мощно влияют огромные отклонения и колебания между отдельными значениями в исследуемом комплекте показателей.

Среднее значение – это одна из колляций комплекта чисел. Представляет собой число, которое не может выходить за пределы диапазона, определяемого наибольшим и наименьшим значениями в этом комплекте чисел. Среднее арифметическое значение – особенно зачастую применяемая разновидность средних.

Инструкция

1. Сложите все числа множества и поделите их на число слагаемых, дабы получить среднее арифметическое значение. В зависимости от определенных условий вычисления изредка бывает проще разделять всякое из чисел на число значений множества и суммировать итог.

2. Используйте, скажем, входящий в состава ОС Windows калькулятор, если вычислить среднее арифметическое значение в уме не представляется допустимым. Открыть его дозволено с поддержкой диалога запуска программ. Для этого нажмите «жгучие клавиши» WIN + R либо щелкните кнопку «Пуск» и выберите в основном меню команду «Исполнить». После этого напечатайте в поле ввода calc и нажмите на клавиатуре Enter либо щелкните кнопку «OK». Это же дозволено сделать через основное меню – раскройте его, перейдите в раздел «Все программы» и в сегменты «Типовые» и выберите строку «Калькулятор».

3. Введите ступенчато все числа множества, нажимая на клавиатуре позже всего из них (помимо последнего) клавишу «Плюс» либо щелкая соответствующую кнопку в интерфейсе калькулятора. Вводить числа тоже дозволено как с клавиатуры, так и щелкая соответствующие кнопки интерфейса.

4. Нажмите клавишу с косой чертой (слэш) либо щелкните данный значок в интерфейсе калькулятора позже ввода последнего значения множества и напечатайте число чисел в последовательности. После этого нажмите знак равенства, и калькулятор рассчитает и покажет среднее арифметическое значение.

5. Дозволено для этой же цели применять табличный редактор Microsoft Excel. В этом случае запустите редактор и введите в соседние ячейки все значения последовательности чисел. Если позже ввода всего числа вы будете нажимать Enter либо клавишу со стрелкой вниз либо вправо, то редактор сам будет перемещать фокус ввода в соседнюю ячейку.

6. Выделите все введенные значения и в левом нижнем углу окна редактора (в строке состояния) увидите среднеарифметическое значение для выделенных ячеек.

7. Щелкните следующую за последним введенным числом ячейку, если вам не довольно только увидеть среднее арифметическое значение. Раскройте выпадающий список с изображением греческой буквы сигма (Σ) в группе команд «Редактирование» на вкладке «Основная». Выберите в нем строку «Среднее » и редактор вставит необходимую формулу для вычисления среднеарифметического значения в выделенную ячейку. Нажмите клавишу Enter, и значение будет рассчитано.

Среднее арифметическое – одна из мер центральной склонности, обширно применяемая в математике и статистических расчетах. Обнаружить среднее арифметическое число для нескольких значений дюже легко, но у всякой задачи есть свои нюансы, знать которые для выполнения правильных расчетов примитивно нужно.

Что такое среднее арифметическое число

Среднее арифметическое число определяет усредненное значение для каждого начального массива чисел. Другими словами, из некоторого множества чисел выбирается всеобщее для всех элементов значение, математическое сопоставление которого со всеми элементами носит приближенно равный нрав. Среднее арифметическое число применяется, предпочтительно, при составлении финансовых и статистических отчетов либо для расчетов количественных итогов проведенных сходственных навыков.

Как обнаружить среднее арифметическое число

Поиск среднего арифметического числа для массива чисел следует начинать с определения алгебраической суммы этих значений. К примеру, если в массиве присутствуют числа 23, 43, 10, 74 и 34, то их алгебраическая сумма будет равна 184. При записи среднее арифметическое обозначается буквой? (мю) либо x (икс с чертой). Дальше алгебраическую сумму следует поделить на число чисел в массиве. В рассматриваемом примере чисел было пять, следственно среднее арифметическое будет равно 184/5 и составит 36,8.

Особенности работы с негативными числами

Если в массиве присутствуют негативные числа, то нахождение среднего арифметического значения происходит по аналогичному алгорифму. Разница имеется только при рассчетах в среде программирования, либо же если в задаче есть добавочные данные. В этих случаях нахождение среднего арифметического чисел с различными знаками сводится к трем действиям:1. Нахождение всеобщего среднего арифметического числа стандартным способом;2. Нахождение среднего арифметического негативным чисел.3. Вычисление среднего арифметического позитивных чисел.Результаты всякого из действий записываются через запятую.

Натуральные и десятичные дроби

Если массив чисел представлен десятичными дробями, решение происходит по способу вычисления среднего арифметического целых чисел, но сокращение итога производится по требованиям задачи к точности результата.При работе с естественными дробями их следует привести к всеобщему знаменателю, тот, что умножается на число чисел в массиве. В числителе результата будет сумма приведенных числителей начальных дробных элементов.

Среднее геометрическое чисел зависит не только от безусловной величины самих чисел, но и от их числа. Невозможно путать среднее геометрическое и среднее арифметическое чисел, от того что они находятся по различным методологиям. При этом среднее геометрическое неизменно поменьше либо равно среднему арифметическому.

Вам понадобится

• Инженерный калькулятор.

Инструкция

1. Рассматривайте, что в всеобщем случае среднее геометрическое чисел находится путем перемножения этих чисел и извлечения из них корня степени, которая соответствует числу чисел. Скажем, если надобно обнаружить среднее геометрическое пяти чисел, то из произведения необходимо будет извлекать корень пятой степени.

2. Для нахождения среднего геометрического 2-х чисел используйте основное правило. Обнаружьте их произведение, позже чего извлеките из него квадратный корень, от того что числа два, что соответствует степени корня. Скажем, для того дабы обнаружить среднее геометрическое чисел 16 и 4, обнаружьте их произведение 16 4=64. Из получившегося числа извлеките квадратный корень?64=8. Это и будет желанная величина. Обратите внимание на то, что среднее арифметическое этих 2-х чисел огромнее и равно 10. Если корень не извлекается нацело, произведите округление итога до надобного порядка.

3. Дабы обнаружить среднее геометрическое больше чем 2-х чисел, тоже используйте основное правило. Для этого обнаружьте произведение всех чисел, для которых надобно обнаружить среднее геометрическое. Из полученного произведения извлеките корень степени, равной числу чисел. Скажем, дабы обнаружить среднее геометрическое чисел 2, 4 и 64, обнаружьте их произведение. 2 4 64=512. От того что необходимо обнаружить итог среднего геометрического 3 чисел, что из произведения извлеките корень третей степени. Сделать это устно затруднительно, следственно воспользуйтесь инженерным калькулятором. Для этого в нем есть кнопка “x^y”. Наберите число 512, нажмите кнопку “x^y”, позже чего наберите число 3 и нажмите кнопку “1/х”, дабы обнаружить значение 1/3, нажмите кнопку “=”. Получим итог возведения 512 в степень 1/3, что соответствует корню третьей степени. Получите 512^1/3=8. Это и есть среднее геометрическое чисел 2,4 и 64.

4. С поддержкой инженерного калькулятора дозволено обнаружить среднее геометрическое иным методом. Обнаружьте на клавиатуре кнопку log. Позже этого возьмите логарифм для всего из чисел, обнаружьте их сумму и поделите ее на число чисел. Из полученного числа возьмите антилогарифм. Это и будет среднее геометрическое чисел. Скажем, для того дабы обнаружить среднее геометрическое тех же чисел 2, 4 и 64, сделайте на калькуляторе комплект операций. Наберите число 2, позже чего нажмите кнопку log, нажмите кнопку “+”, наберите число 4 и вновь нажмите log и “+”, наберите 64, нажмите log и “=”. Итогом будет число, равное сумме десятичных логарифмов чисел 2, 4 и 64. Полученное число поделите на 3, от того что это число чисел, по которым ищется среднее геометрическое. Из итога возьмите антилогарифм, переключив кнопку регистра, и используйте ту же клавишу log. В итоге получится число 8, это и есть желанное среднее геометрическое.

Обратите внимание!
Среднее значение не может быть огромнее самого большого числа в комплекте и поменьше самого маленького.

Полезный совет
В математической статистике среднее значение величины именуется математическим ожиданием.

Больше всего в эк. практике приходится употреблять среднюю арифметическую, которая может быть исчислена как средняя арифметическая простая и взвешенная.

Средняя арифметическая (СА) -н аиболее распространенный вид средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общест­венных явлений характерна аддитивность (суммарность) объе­мов варьирующего признака, этим определяется область при­менения СА и объясняется ее распро­страненность как обобщающего показателя, напр: общий фонд з/ п – это сумма з/п всех работников.

Чтобы исчислить СА, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. СА примен-ся в 2 формах.

Рассмотрим сначала простую арифметическую среднюю.

1-СА простая (исходная, определяющая форма) равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (применяется когда имеются несгруппированные инд. значения признака):

Произведенные вычисления могут быть обобщены в следующую формулу:

(1)

где - среднее значение варьирующего признака, т. е. средняя арифметическая простая;

означает суммирование, т. е. сложение отдельных признаков;

x - отдельные значения варьирующего признака, которые называются вариантами;

n - число единиц совокупности

Пример1, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд инд. значений признака, шт.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА простая рассчитывается по формуле(1),шт.:

Пример2 . Рассчитаем СА на основании условных данных по 20 магазинам, входящим в торговую фирму (табл. 1). Таблица.1

Распределение магазинов торговой фирмы "Весна" по торговой площади, кв. М

№ магазина		№ магазина

Для вычисления средней площади магазина () необходимо сложить площади всех магазинов и полученный результат разделить на число магазинов:

Т.о., средняя площадь магазина по этой группе торговых предприятий составляет 71 кв.м.

Следовательно, чтобы определить СА простую, нужно сумму всех значений данного признака разделить на число единиц, обладающих этим признаком .

2

где f 1 , f 2 , … ,f n – веса (частоты повторения одинаковых признаков);

– сумма произведений величины признаков на их частоты;

– общая численность единиц совокупности.

- СА взвешенная - с редняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты). СА взвешенная– средняя сгруппиро­ванных величин x 1 , x 2 , .., x n , – вычисляется: (2)

Где х - варианты;

f - частота (вес).

СА взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Частоты (f ) фигурирующие в формуле СА, принято называть весами , вследствие чего СА, вычисленная с учетом весов, и получила название взвешенной.

Технику вычисления СА взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере 1. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в табл.

Средняя из сгруппированных данных определяется следующим образом: сначала перемножают варианты на частоты, затем складывают произведения и полученную сумму делят на сумму частот.

По формуле (2) СА взвешенная равна, шт.:

Распределение рабочих по выработке деталей

П

риведенные в предыдущем примере 2 данные можно объединить в однородные группы, которые представлены в табл.Таблица

Распределение магазинов фирмы "Весна" по торговой площади, кв. м

Т.о., результат получился тот же самый. Однако это уже будет величина средняя арифметическая взвешенная.

В предыдущем примере мы вычисляли арифметическую среднюю при условии, что известны абсолютные частоты (численность магазинов). Однако в ряде случаев абсолютные частоты отсутствуют, а известны относительные частоты, или, как принято их называть, частости, которые показывают долю или удельный вес частот во всей совокупности.

При расчетах СА взвешенной использование частот позволяет упрощать расчеты, когда частота выражена большими, многозначными числами. Расчет производится тем же способом, однако, так как средняя величина оказывается увеличенной в 100 раз, полученный результат следует разделить на 100.

Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

где d – частость , т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

(3)

В нашем примере 2 сначала определяют удельный вес магазинов по группам в общей численности магазинов фирмы "Весна". Так, для первой группы удельный вес соответствует 10%
. Получаем следующие данныеТаблица3

Тема 5. Средние величины как статистические показатели

Понятие средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя . Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними .

Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

Виды средних величин и методы их расчета

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

степенные средние ;

структурные средние .

Введем следующие условные обозначения:

Величины, для которых исчисляется средняя;

Средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

Частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

(5.1)

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней .

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Формула средней арифметической (простой ) имеет вид

где n - численность совокупности.

Например, средняя заработная плата работников предприятия вычисляется как средняя арифметическая:

Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и число работников предприятия. При вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек:

При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной , которая имеет вид

(5.3)

Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:

1 - 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб.

5 - 850 ак. - 1150 руб.

Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):

ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

КПА = 800+650+700+550+850=3550.

В этом случае средний курс стоимости акций был равен

Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

Свойство первое (нулевое ): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Доказательство:

Свойство второе (минимальное ): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Доказательство.

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

(5.4)

Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:

Отсюда получаем:

(5.5)

Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.

Свойство третье : средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства , которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:

если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;

средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;

если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

Средняя гармоническая . Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

В математике среднее арифметическое значение чисел (или просто среднее) — это сумма всех чисел в данном наборе, разделенная на их количество. Это наиболее обобщенное и распространенное понятие средней величины. Как вы уже поняли, чтобы найти нужно суммировать все данные вам числа, а полученный результат разделить на количество слагаемых.

Что такое среднее арифметическое?

Давайте рассмотрим пример.

Пример 1 . Даны числа: 6, 7, 11. Нужно найти их среднее значение.

Решение.

Для начала найдем сумму всех данных чисел.

Теперь разделим получившуюся сумму на количество слагаемых. Так как у нас слагаемых три, соответственно, мы будем делить на три.

Следовательно, среднее значение чисел 6, 7 и 11 — это 8. Почему именно 8? Да потому, что сумма 6, 7 и 11 будет такая же, как трех восьмерок. Это отлично видно на иллюстрации.

Среднее значение чем-то напоминает «выравнивание» ряда чисел. Как видите, кучки карандашей стали одного уровня.

Рассмотрим еще один пример, чтобы закрепить полученные знания.

Пример 2. Даны числа: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Нужно найти их среднее арифметическое значение.

Решение.

Находим сумму.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Делим на количество слагаемых (в этом случае — 15).

Следовательно, среднее значение данного ряда чисел равно 22.

Теперь рассмотрим отрицательные числа. Вспомним, как их суммировать. Например, у вас есть два числа 1 и -4. Найдем их сумму.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Зная это, рассмотрим еще один пример.

Пример 3. Найти среднее значение ряда чисел: 3, -7, 5, 13, -2.

Решение.

Находим сумму чисел.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Так как слагаемых 5, разделим получившуюся сумму на 5.

Следовательно, среднее арифметическое значение чисел 3, -7, 5, 13, -2 равно 2,4.

В наше время технологического прогресса гораздо удобнее использовать для нахождения среднего значения компьютерные программы. Microsoft Office Excel — одна из них. Искать среднее значение в Excel быстро и просто. Тем более, эта программа входит в пакет программ от Microsoft Office. Рассмотрим краткую инструкцию, значение с помощью этой программы.

Для того чтобы посчитать среднее значение ряда чисел, необходимо использовать функцию AVERAGE. Синтаксис для этой функции:
= Average (argument1, argument2, ... argument255)
где argument1, argument2, ... argument255 — это либо числа, либо ссылки на ячейки (под ячейками подразумеваются диапазоны и массивы).

Чтобы было более понятно, опробуем полученные знания.

1. Введите числа 11, 12, 13, 14, 15, 16 в ячейки С1 - С6.
2. Выделите ячейку С7, нажав на нее. В этой ячейке у нас будет отображаться среднее значение.
3. Щелкните на вкладке «Формулы».
4. Выберите More Functions > Statistical для того, чтобы открыть
5. Выберите AVERAGE. После этого должно открыться диалоговое окно.
6. Выделите и перетащите туда ячейки С1-С6, чтобы задать диапазон в диалоговом окне.
7. Подтвердите свои действия клавишей «ОК».
8. Если вы все сделали правильно, в ячейке С7 у вас должен появиться ответ - 13,7. При нажатии на ячейку C7 функция (= Average (C1: C6)) будет отображаться в строке формул.

Очень удобно использовать эту функцию для ведения учета, накладных или когда вам просто нужно найти среднее значение из очень длинного ряда чисел. Поэтому ее часто используют в офисах и крупных компаниях. Это позволяет сохранять порядок в записях и дает возможность быстро посчитать что-либо (например, средний доход за месяц). Также с помощью Excel можно найти среднее значение функции.