Le nouveau calcul en tant que système a été entièrement créé par Newton, qui n'a cependant pas publié ses découvertes pendant longtemps.

La date officielle de naissance du calcul différentiel peut être considérée comme mai, lorsque Leibniz a publié son premier article "Une nouvelle méthode de hauts et de bas...". Cet article, sous une forme concise et inaccessible, expose les principes d'une nouvelle méthode appelée calcul différentiel.

Leibniz et ses étudiants

Ces définitions sont expliquées géométriquement, tandis que sur la Fig. les incréments infinitésimaux sont décrits comme finis. La considération repose sur deux exigences (axiomes). D'abord:

Il faut que deux quantités qui ne diffèrent l’une de l’autre que d’une quantité infinitésimale puissent être prises [en simplifiant des expressions ?] indifféremment l’une à la place de l’autre.

La continuation de chacune de ces lignes est appelée tangente à la courbe. En étudiant la tangente passant par la pointe, L'Hôpital attache une grande importance à la quantité

,

atteindre des valeurs extrêmes aux points d'inflexion de la courbe, alors que la relation avec n'a pas de signification particulière.

Il est remarquable de trouver des points extrêmes. Si, avec une augmentation continue du diamètre, l'ordonnée augmente d'abord puis diminue, alors le différentiel est d'abord positif par rapport à , puis négatif.

Mais toute valeur continuellement croissante ou décroissante ne peut passer du positif au négatif sans passer par l'infini ou le zéro... Il s'ensuit que le différentiel de la plus grande et de la plus petite valeur doit être égal à zéro ou à l'infini.

Cette formulation n'est probablement pas parfaite, si l'on se souvient de la première exigence : disons, , alors en vertu de la première exigence

;

à zéro, le membre de droite est nul et le membre de gauche ne l’est pas. Apparemment, il aurait fallu dire qu'il peut être transformé conformément à la première exigence de manière à atteindre le point maximum. . Dans les exemples, tout s'explique de lui-même, et ce n'est que dans la théorie des points d'inflexion que L'Hôpital écrit qu'il est égal à zéro au point maximum, étant divisé par .

De plus, à l'aide des seuls différentiels, des conditions extremum sont formulées et un grand nombre de problèmes complexes liés principalement à la géométrie différentielle sur le plan sont considérés. A la fin du livre, au chap. 10, énonce ce qu'on appelle aujourd'hui la règle de L'Hôpital, bien que sous une forme inhabituelle. Soit l'ordonnée de la courbe sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent en . Alors le point de la courbe c a une ordonnée égale au rapport de la différentielle du numérateur sur la différentielle du dénominateur pris en .

Selon le plan de L'Hôpital, ce qu'il écrivait constituait la première partie de l'Analyse, tandis que la seconde était censée contenir le calcul intégral, c'est-à-dire une méthode permettant de trouver le lien entre des variables basée sur la connexion connue de leurs différentielles. Sa première présentation a été donnée par Johann Bernoulli dans son Cours mathématiques sur la méthode intégrale. Ici, une méthode est donnée pour prendre la plupart des intégrales élémentaires et des méthodes pour résoudre de nombreuses équations différentielles du premier ordre sont indiquées.

Soulignant l’utilité pratique et la simplicité de la nouvelle méthode, Leibniz écrit :

Ce qu'une personne versée dans ce calcul peut obtenir directement en trois lignes, d'autres savants étaient obligés de le chercher en suivant des détours complexes.

Euler

Les changements survenus au cours du demi-siècle suivant se reflètent dans le vaste traité d'Euler. La présentation de l'analyse s'ouvre sur une « Introduction » en deux volumes, qui contient des recherches sur diverses représentations de fonctions élémentaires. Le terme « fonction » n’apparaît pour la première fois que chez Leibniz, mais c’est Euler qui l’a posé le premier. L'interprétation originale du concept de fonction était qu'une fonction est une expression pour compter (allemand. Rechnungsausdrϋck) ou expression analytique.

Une fonction à quantité variable est une expression analytique composée d'une manière ou d'une autre à partir de cette quantité variable et de nombres ou quantités constantes.

Soulignant que « la principale différence entre les fonctions réside dans la manière dont elles sont composées de variables et de constantes », Euler énumère les actions « par lesquelles les quantités peuvent être combinées et mélangées les unes aux autres ; ces actions sont : l'addition et la soustraction, la multiplication et la division, l'exponentiation et l'extraction de racines ; Cela devrait également inclure la solution d'équations [algébriques]. En plus de ces opérations, dites algébriques, il en existe bien d’autres, transcendantales, telles que : exponentielles, logarithmiques et bien d’autres encore, délivrées par le calcul intégral. Cette interprétation permettait de gérer facilement des fonctions à valeurs multiples et ne nécessitait pas d'explication sur le domaine sur lequel la fonction était considérée : l'expression de comptage était définie pour des valeurs complexes de variables même lorsque cela n'était pas nécessaire pour le problème sous considération.

Les opérations dans l'expression n'étaient autorisées qu'en nombres finis, et le transcendantal pénétrait à l'aide d'un nombre infiniment grand. Dans les expressions, ce nombre est utilisé avec les nombres naturels. Par exemple, une telle expression pour l'exposant est considérée comme acceptable

,

dans lequel seuls les auteurs ultérieurs ont vu la transition ultime. Diverses transformations ont été effectuées avec des expressions analytiques, ce qui a permis à Euler de trouver des représentations de fonctions élémentaires sous forme de séries, de produits infinis, etc. Euler transforme les expressions pour compter comme en algèbre, sans prêter attention à la possibilité de calculer la valeur d'une fonction en un point pour chacune à partir de formules écrites.

Contrairement à L'Hôpital, Euler examine en détail les fonctions transcendantales et en particulier leurs deux classes les plus étudiées – exponentielles et trigonométriques. Il découvre que toutes les fonctions élémentaires peuvent être exprimées à l'aide d'opérations arithmétiques et de deux opérations : le logarithme et l'exposant.

La preuve elle-même démontre parfaitement la technique d’utilisation de l’infiniment grand. Après avoir défini le sinus et le cosinus à l'aide du cercle trigonométrique, Euler a dérivé les formules d'addition suivantes :

En supposant et , il obtient

,

rejeter des quantités infinitésimales d’ordre supérieur. En utilisant cette expression et une expression similaire, Euler a obtenu sa célèbre formule

.

Après avoir indiqué diverses expressions pour des fonctions que l'on appelle aujourd'hui élémentaires, Euler considère ensuite les courbes sur un plan tracé par le libre mouvement de la main. Selon lui, il n'est pas possible de trouver une expression analytique unique pour chacune de ces courbes (voir aussi le String Dispute). Au XIXe siècle, sous l’impulsion de Casorati, cette affirmation était considérée comme erronée : selon le théorème de Weierstrass, toute courbe continue au sens moderne peut être décrite approximativement par des polynômes. En fait, Euler n’était guère convaincu par cela, car il lui fallait encore réécrire le passage jusqu’à la limite en utilisant le symbole.

Euler commence sa présentation du calcul différentiel par la théorie des différences finies, suivie dans le troisième chapitre d’une explication philosophique selon laquelle « une quantité infinitésimale est exactement nulle », ce qui ne convenait surtout pas aux contemporains d’Euler. Ensuite, les différentiels sont formés à partir de différences finies avec un incrément infinitésimal et à partir de la formule d'interpolation de Newton - la formule de Taylor. Cette méthode remonte essentiellement aux travaux de Taylor (1715). Dans ce cas, Euler a une relation stable, qui est cependant considérée comme une relation de deux infinitésimaux. Les derniers chapitres sont consacrés au calcul approximatif à l'aide de séries.

Dans le calcul intégral en trois volumes, Euler interprète et introduit le concept d'intégrale comme suit :

La fonction dont la différentielle est appelée son intégrale et est désignée par le signe placé devant.

D’une manière générale, cette partie du traité d’Euler est consacrée à un problème plus général, d’un point de vue moderne, de l’intégration des équations différentielles. Parallèlement, Euler trouve un certain nombre d'intégrales et d'équations différentielles qui conduisent à de nouvelles fonctions, par exemple des fonctions -, des fonctions elliptiques, etc. Une preuve rigoureuse de leur caractère non élémentaire a été donnée dans les années 1830 par Jacobi pour les fonctions elliptiques et par Liouville (voir fonctions élémentaires).

Lagrange

Le prochain ouvrage majeur qui a joué un rôle important dans le développement du concept d'analyse a été Théorie des fonctions analytiques Le long récit de Lagrange et Lacroix sur l'œuvre de Lagrange d'une manière quelque peu éclectique.

Voulant se débarrasser complètement de l'infinitésimal, Lagrange a inversé le lien entre les dérivées et la série de Taylor. Par fonction analytique, Lagrange entendait une fonction arbitraire étudiée par des méthodes analytiques. Il a désigné la fonction elle-même comme , donnant une manière graphique d'écrire la dépendance - auparavant, Euler se contentait uniquement de variables. Pour appliquer les méthodes d'analyse, selon Lagrange, il faut que la fonction soit étendue en une série

,

dont les coefficients seront de nouvelles fonctions. Il reste à l'appeler une dérivée (coefficient différentiel) et à la noter . Ainsi, la notion de dérivée est introduite à la deuxième page du traité et sans l'aide des infinitésimaux. Il reste à noter que

,

donc le coefficient est le double de la dérivée de la dérivée, c'est-à-dire

etc.

Cette approche de l'interprétation du concept de dérivée est utilisée dans l'algèbre moderne et a servi de base à la création de la théorie des fonctions analytiques de Weierstrass.

Lagrange a opéré avec des séries formelles et a obtenu un certain nombre de théorèmes remarquables. En particulier, pour la première fois et de manière assez rigoureuse, il a prouvé la résolvabilité du problème initial pour les équations différentielles ordinaires en séries formelles de puissances.

La question de l'évaluation de la précision des approximations fournies par les sommes partielles de la série de Taylor a été posée pour la première fois par Lagrange : en fin de compte Théories des fonctions analytiques il a dérivé ce qu'on appelle maintenant la formule de Taylor avec un terme restant sous forme de Lagrange. Cependant, contrairement aux auteurs modernes, Lagrange ne voit pas la nécessité d’utiliser ce résultat pour justifier la convergence des séries de Taylor.

La question de savoir si les fonctions utilisées dans l’analyse peuvent réellement être étendues en séries entières est ensuite devenue un sujet de débat. Bien sûr, Lagrange savait qu’à certains points les fonctions élémentaires ne peuvent pas être développées en séries entières, mais à ces points elles ne sont en aucun cas différenciables. Cauchy dans son Analyse algébrique a cité la fonction comme contre-exemple

prolongé de zéro à zéro. Cette fonction est lisse partout sur l'axe réel et à zéro elle a une série de Maclaurin nulle, qui ne converge donc pas vers la valeur . Contre cet exemple, Poisson objecte que Lagrange définit la fonction comme une expression analytique unique, alors que dans l’exemple de Cauchy, la fonction est définie différemment en zéro et en . Ce n'est qu'à la fin du XIXe siècle que Pringsheim prouve qu'il existe une fonction infiniment différentiable, donnée par une expression unique, pour laquelle la série de Maclaurin diverge. Un exemple d'une telle fonction est l'expression

.

La poursuite du développement

Dans le dernier tiers du XIXe siècle, Weierstrass aritmétise l'analyse, estimant que la justification géométrique est insuffisante, et propose une définition classique de la limite à travers le langage ε-δ. Il a également créé la première théorie rigoureuse de l’ensemble des nombres réels. Parallèlement, les tentatives d'amélioration du théorème d'intégrabilité de Riemann ont conduit à la création d'une classification de discontinuité des fonctions réelles. Des exemples « pathologiques » ont également été découverts (fonctions continues qui ne sont nulle part différenciables, courbes remplissant l'espace). À cet égard, Jordan a développé la théorie de la mesure et Cantor a développé la théorie des ensembles, et au début du 20e siècle, l'analyse mathématique a été formalisée avec leur aide. Un autre développement important du XXe siècle a été le développement de l'analyse non standard comme approche alternative pour justifier l'analyse.

Sections d'analyse mathématique

• Espace métrique, Espace topologique

voir également

Bibliographie

Articles encyclopédiques

• // Lexique encyclopédique : Saint-Pétersbourg : type. A. Plushara, 1835-1841. Tomes 1-17.

• // Dictionnaire encyclopédique de Brockhaus et Efron : En 86 volumes (82 volumes et 4 supplémentaires). - Saint-Pétersbourg. , 1890-1907.

Littérature pédagogique

Manuels standards

Depuis de nombreuses années, les manuels suivants sont populaires en Russie :

• Courant, R. Cours de calcul différentiel et intégral (en deux volumes). La principale découverte méthodologique du cours : d'abord, les idées principales sont simplement énoncées, puis elles sont démontrées de manière rigoureuse. Écrit par Courant alors qu’il était professeur à l’université de Göttingen dans les années 1920 sous l’influence des idées de Klein, puis transféré sur le sol américain dans les années 1930. La traduction russe de 1934 et ses réimpressions donnent le texte basé sur l'édition allemande, la traduction des années 1960 (dite 4e édition) est une compilation des versions allemande et américaine du manuel et est donc très verbeuse.
• Fikhtengolts G.M. Un cours de calcul différentiel et intégral (en trois volumes) et un cahier de problèmes.
• Demidovitch B.P. Recueil de problèmes et d'exercices d'analyse mathématique.
• Lyashko I.I. et al. Ouvrage de référence pour les mathématiques supérieures, volumes 1-5.

Certaines universités disposent de leurs propres guides d’analyse :

• MSU, Mécanique et Tapis :

• Arkhipov G.I., Sadovnichy V.A., Chubarikov V.N. Cours sur les mathématiques. analyse.
• Zorich V.A. Analyse mathematique. Partie I. M. : Nauka, 1981. 544 p.
• Zorich V.A. Analyse mathematique. Deuxieme PARTIE. M. : Nauka, 1984. 640 p.
• Kamynine L. I. Cours d'analyse mathématique (en deux volumes). M. : Maison d'édition de l'Université de Moscou, 2001.

• V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. H. Sendov. Analyse mathematique / Éd. A. N. Tikhonova. - 3e éd. , traité et supplémentaire - M. : Perspectives, 2006. - ISBN 5-482-00445-7

• Université d'État de Moscou, département de physique :

• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Fondamentaux de l'analyse mathématique (en deux parties). - M. : Fizmatlit, 2005. - 648 p. -ISBN5-9221-0536-1
• Butuzov V.F. et al. Tapis. analyse en questions et tâches

• Mathématiques dans une université technique Collection de manuels en 21 volumes.

• Université d'État de Saint-Pétersbourg, Faculté de physique :

• Smirnov V.I. Cours de mathématiques supérieures, en 5 volumes. M. : Nauka, 1981 (6e édition), BHV-Pétersbourg, 2008 (24e édition).

• NSU, ​​​​Mécanique et Mathématiques :

• Reshetnyak Yu. G. Cours d'analyse mathématique. Partie I. Livre 1. Introduction à l'analyse mathématique. Calcul différentiel des fonctions d'une variable. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques, 1999. 454 avec ISBN 5-86134-066-8.
• Reshetnyak Yu. G. Cours d'analyse mathématique. Partie I. Livre 2. Calcul intégral des fonctions d'une variable. Calcul différentiel de fonctions de plusieurs variables. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques, 1999. 512 avec ISBN 5-86134-067-6.
• Reshetnyak Yu. G. Cours d'analyse mathématique. Deuxieme PARTIE. Livre 1. Fondamentaux d'une analyse fluide dans les espaces multidimensionnels. Théorie des séries. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques, 2000. 440 avec ISBN 5-86134-086-2.
• Reshetnyak Yu. G. Cours d'analyse mathématique. Deuxieme PARTIE. Livre 2. Calcul intégral de fonctions de plusieurs variables. Calcul intégral sur les variétés. Formes différentielles externes. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques, 2001. 444 avec ISBN 5-86134-089-7.
• Shvedov I.A. Cours compact d'analyse mathématique : Partie 1. Fonctions d'une variable, Partie 2. Calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables.

• MIPT, Moscou

• Kudryavtsev L.D. Cours d'analyse mathématique (en trois volumes).

• BSU, département de physique :

• Bogdanov Yu. S. Cours sur l'analyse mathématique (en deux parties). - Minsk : BSU, 1974. - 357 p.

Manuels avancés

Manuels :

• Rudin U. Fondamentaux de l'analyse mathématique. M., 1976 - un petit livre écrit de manière très claire et concise.

Problèmes de difficulté accrue :

• G. Polia, G. Szege, Problèmes et théorèmes de l'analyse. Partie 1, partie 2, 1978. (La plupart des documents concernent le TFKP)
• Pascal, E.(Naples). Esercizii, 1895; 2 éd., 1909 // Archives Internet

Manuels pour les sciences humaines

• A. M. Akhtyamov Mathématiques pour sociologues et économistes. - M. : Fizmatlit, 2004.
• N. Sh. Kremer et autres. Mathématiques supérieures pour les économistes. Cahier de texte. 3e éd. - M. : Unité, 2010

Livres à problèmes

• GN Berman. Recueil de problèmes pour le cours d'analyse mathématique : Manuel pour les universités. - 20e éd. M. : Sciences. Rédaction principale de littérature physique et mathématique, 1985. - 384 p.
• P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. Kozhevnikov. Mathématiques supérieures en exercices et problèmes. (En 2 parties) - M. : Vyssh.shk, 1986.
• G. I. Zaporozhets Guide pour résoudre des problèmes d'analyse mathématique. - M. : Ecole Supérieure, 1966.
• I.A. Kaplan. Cours pratiques de mathématiques supérieures, en 5 parties. - Kharkov, Maison d'édition. État de Kharkov Université, 1967, 1971, 1972.
• A. K. Boyarchuk, G. P. Golovach. Équations différentielles dans des exemples et des problèmes. Moscou. Éditorial URSS, 2001.
• A. V. Panteleev, A. S. Yakimova, A. V. Bosov. Équations différentielles ordinaires dans des exemples et des problèmes. "AMI", 2000
• A. M. Samoilenko, S. A. Krivosheya, N. A. Perestyuk. Équations différentielles : exemples et problèmes. VS, 1989.
• K. N. Lungu, V. P. Norin, D. T. Pismenny, Yu. A. Shevchenko. Recueil de problèmes en mathématiques supérieures. 1 cours. - 7e éd. - M. : Iris-presse, 2008.
• I. A. Maron. Calcul différentiel et intégral dans des exemples et des problèmes (Fonctions d'une variable). - M., Fizmatlit, 1970.
• V.D. Tchernenko. Mathématiques supérieures en exemples et problèmes : Manuel pour les universités. En 3 volumes - Saint-Pétersbourg : Politekhnika, 2003.

Annuaires

Œuvres classiques

Essais sur l'histoire de l'analyse

• Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte des Mathématiques . 4 volumes, Göttingen, 1796-1800
• Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig : B.G. Teubner, - . Bd. 1, ch. 2, ch. 3, ch. 4
• Histoire des mathématiques éditée par A. P. Yushkevich (en trois volumes) :

• Tome 1 De l'Antiquité au début des temps modernes. (1970)
• Tome 2 Mathématiques du XVIIe siècle. (1970)
• Tome 3 Mathématiques du XVIIIe siècle. (1972)

• Markushevich A.I. Essais sur l'histoire de la théorie des fonctions analytiques. 1951
• Vileitner G. Histoire des mathématiques de Descartes au milieu du XIXe siècle. 1960

Remarques

1. Mercredi, par exemple Cornell Un cours
2. Newton I. Travaux mathématiques. M, 1937.
3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., tome V, p. 220-226. Russie. Trad.: Uspekhi Mat. Sciences, tome 3, v. 1 (23), p. 166-173.
4. L'Hôpital. Analyse infinitésimale. M.-L. : GTTI, 1935. (Ci-après : L'Hôpital) // Mat. analyse sur EqWorld
5. L'Hôpital, ch. 1, déf. 2.
6. L'Hôpital, ch. 4, déf. 1.
7. L'Hôpital, ch. 1, exigence 1.
8. L'Hôpital, ch. 1, exigence 2.
9. L'Hôpital, ch. 2, déf.
10. L'Hôpital, § 46.
11. L'Hôpital s'inquiète d'autre chose : pour lui, la longueur d'un segment et il faut expliquer ce que signifie sa négativité. La remarque faite aux § 8-10 peut même être comprise comme signifiant qu'en diminuant avec une augmentation, il faut écrire , mais ceci n'est pas utilisé plus loin.

L’un des indicateurs de la maturité de la science est son utilisation des méthodes de recherche mathématique. De telles méthodes sont utilisées depuis longtemps en médecine légale. Essentiellement, la méthode générale de cognition déjà mentionnée en tant que mesure est un concept épistémologiquement généralisé de toute méthode mathématique. Cependant, lorsque nous parlons de « mathématisation » de la criminologie, nous entendons des méthodes de recherche mathématiques modernes, constituées d'opérations infiniment plus complexes qu'une simple comparaison d'un objet avec une mesure.

Depuis le début des années 60, la possibilité fondamentale d'utiliser des méthodes mathématiques dans la recherche scientifique médico-légale et la nécessité de leur utilisation pour résoudre des problèmes médico-légaux, y compris des problèmes d'identification, ont été largement reconnues dans la littérature médico-légale. Considérant ce problème sous différents aspects, les criminologues ont invariablement souligné que l'utilisation de méthodes de recherche mathématiques ouvre de nouvelles opportunités dans le développement à la fois de la médecine légale et de la pratique de la preuve, et la formulation même de ce problème indique que la criminologie a atteint un tel niveau du développement lorsqu'elle, comme toute autre science développée, ressent le besoin de ces méthodes précises de connaissance de son sujet que les mathématiques modernes peuvent lui fournir.

Processus " mathématisation" de la criminologie circule actuellement dans trois directions. Le premier d'entre eux est une direction théorique générale.

En termes théoriques généraux, le processus de « mathématisation » a confié aux criminologues la tâche de justifier fondamentalement les possibilités d'utilisation de méthodes de recherche mathématiques et d'identifier les domaines scientifiques dans le développement desquels ces méthodes peuvent donner les résultats les plus efficaces. Dans la littérature, cette direction est représentée par les travaux de V. A. Poshkyavichus, N. S. Polevoy, A. A. Eisman, N. A. Selivanov, Z. I. Kirsanov, L. G. Edzhubov et d'autres auteurs. Les principales conclusions que l’on peut tirer de la lecture de leurs recherches sont les suivantes :

1. Le processus de « mathématisation » de la criminologie est un processus naturel, conditionné par le stade moderne de développement de cette science et par les méthodes de recherche mathématique, qui deviennent donc de plus en plus universelles. L'utilisation de méthodes de recherche mathématiques et cybernétiques en médecine légale est fondamentalement autorisée ; leur utilisation dans la preuve ne peut être considérée comme l'utilisation de connaissances particulières en matière de caractéristiques quantitatives et de méthodes mathématiques élémentaires ; dans les cas où des méthodes mathématiques sont utilisées pour décrire, justifier ou analyser des phénomènes dont la connaissance s'effectue à l'aide de connaissances particulières, l'utilisation de ces méthodes est couverte par la notion d'utilisation de connaissances particulières dans les procédures judiciaires.

2. L'utilisation de méthodes de recherche mathématiques et cybernétiques est possible aux fins de :

A) améliorer la méthodologie de l'examen médico-légal, ce qui conduira à terme à étendre ses capacités ;

B) analyse scientifique du processus de preuve et élaboration de recommandations pour l'application de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques, de la logique mathématique, de la recherche opérationnelle et de la théorie des jeux dans la pratique de l'enquête.

Dans les études d'orientation théorique générale, deux autres orientations du processus de « mathématisation » de la criminologie se sont également reflétées : l'utilisation de méthodes mathématiques dans l'examen médico-légal et dans l'analyse du processus de preuve dans son ensemble.

La deuxième direction du processus considéré est l'utilisation de méthodes mathématiques pour développer les problèmes de la théorie de l'identification médico-légale et ses applications pratiques et les problèmes d'examen médico-légal et, par conséquent, les problèmes d'examen médico-légal en général. L'essence de cette direction et les modalités d'utilisation des résultats de la mathématisation sont caractérisées par A. R. Shlyakhov : « Le rôle des méthodes mathématiques dans l'expertise médico-légale est double : d'une part, elles font partie intégrante du fonctionnement d'un ordinateur dans sous la forme de complexes logiciels pour résoudre des problèmes et des systèmes d'information, en revanche, ils peuvent être utilisés de manière indépendante, sans ordinateur, et apportent une solution complète ou partielle aux problèmes médico-légaux.Les méthodes mathématiques sont depuis longtemps solidement ancrées dans les méthodes de conduite examens, par exemple traçologiques, balistiques, d'écriture manuscrite, techniques automobiles, etc.... Les méthodes mathématiques sont utiles dans le traitement des résultats de mesure, la comparaison analytique et comme critère de suffisance de l'ensemble identifié de caractéristiques pour individualiser un objet, évaluer son l’exhaustivité à des fins d’identification.

Ce domaine se développe le plus intensément car il répond directement aux besoins de la pratique médico-légale. En 1969, A. R. Shlyakhov a noté que les méthodes mathématiques occupaient l'une des principales places dans le système de méthodes communes à toutes les étapes de la recherche d'experts et à divers types d'examens médico-légaux. En 1977, les méthodes de mathématiques appliquées et les méthodes mathématiques-programmes d'utilisation des ordinateurs, selon la classification des méthodes de recherche expertes proposées par A. I. Vinberg et A. R. Shlyakhov, ont été classées comme méthodes générales (cognitives générales). Depuis la fin des années 60. Il existe une recherche intensive de points d'application des méthodes mathématiques et cybernétiques dans presque tous les types d'examens médico-légaux, et des tentatives sont en cours pour inventorier les méthodes utilisées.

À la suite d'une étude intensive du problème de l'utilisation des méthodes mathématiques dans la recherche scientifique et experte, la question s'est posée des limites de leur application. G.L. Granovsky a noté deux points de vue : certains fondent leurs espoirs dans le domaine de l'amélioration des examens uniquement sur l'utilisation de méthodes des sciences exactes, d'autres abordent cette question avec plus de prudence et pointent les limites des possibilités d'utilisation des mathématiques modernes. C'est leur position qui semble la plus proche d'une compréhension correcte du problème. » Selon lui, il existe des limites naturelles, « que la nature des objets d'examen impose à la possibilité d'utiliser des méthodes mathématiques pour leur étude... L'utilisation L'utilisation de méthodes quantitatives dans tout examen est théoriquement admissible, mais dans la pratique, il ne suffit toujours pas de savoir quelles caractéristiques et dans quelle mesure se prêtent à une description et une évaluation mathématiques, quels résultats peuvent être attendus de l'utilisation de méthodes mathématiques pour leur étude. " La pratique experte moderne suit la voie de la résolution de ce double problème : déterminer les points d'application des méthodes mathématiques, puis leur utilisation pratique .

Actuellement, les méthodes mathématiques sont les plus activement utilisées pour résoudre les problèmes d'examen médico-légal d'écriture manuscrite, SATE, ainsi que KEMVI ; De plus, ils ne sont pas seulement utilisés lors de la conduite de recherches médico-légales (dans le processus d'obtention d'informations sur l'objet de l'examen médico-légal), mais constituent également un moyen de résoudre un problème médico-légal sur la base d'informations sur l'objet. Dans le même temps, la plus grande valeur probante est l'information quantitative, qui est confirmée par des études liées à la résolution du problème de l'établissement du PCF d'objets de nature fibreuse (V.A. Puchkov, V.Z. Polyakov, 1986) sur la base des résultats d'une étude analytique de microparticules de fibres (lorsque, après une recherche d'informations basée sur un ensemble de fibres examinées lors d'examens, le problème de la prise de décision sur la base des résultats d'une étude analytique spécifique est réduit à un problème théorique-probabiliste), en utilisant un modèle probabiliste-statistique (L. A. Gegechkori, 1985) pour résoudre le problème de l'identification médico-légale basée sur les caractéristiques de composition et de structure ( le modèle peut être utilisé à la fois au stade préliminaire et aux stades de recherche comparative et de synthèse ; le cœur du modèle est constitué de critères statistiques utilisé au stade de la recherche comparative et en fonction de laquelle est organisée l'analyse statistique des fonds d'information, ce qui est nécessaire lorsque le modèle fonctionne à d'autres étapes de résolution du problème), avec le développement d'un modèle mathématique pour les tâches de différenciation entre authentiques et des signatures inauthentiques, réalisées avec imitation après une formation préalable (S. A. Atakhodzhaev et al., 1984). On note également le développement de modèles mathématiques du problème d'un véhicule entrant en collision avec un piéton dans des conditions de visibilité limitée et certaines approches de l'utilisation de méthodes mathématiques dans les problèmes d'examen phonoscopique médico-légal.

Expérience d'utilisation méthodes mathématiques en examen médico-légal indique qu'il est nécessaire de faire une distinction claire entre l'utilisation de méthodes mathématiques pour traiter les informations obtenues lors de l'étude des objets d'examen médico-légal et le développement de modèles mathématiques pour résoudre des problèmes médico-légaux sur la base des résultats de la recherche. Si le premier aspect n'est pas spécifiquement médico-légal (car l'étude de l'objet de l'expertise médico-légale est réalisée à l'aide de méthodes scientifiques naturelles), alors le second a un caractère médico-légal particulier. Il apparaît sous une forme supprimée, lorsque nous disposons déjà d'un modèle mathématique pour résoudre un problème médico-légal typique, cependant, si nous ne nous détournons pas du processus de développement d'un modèle mathématique, sa nature médico-légale est clairement révélée. En fait, le développement de modèles mathématiques pour des tâches médico-légales typiques est toujours initié par la nécessité de résoudre des problèmes spécifiques définis individuellement. Un mathématicien, en contact étroit avec un expert médico-légal, identifie les modèles quantitatifs les plus significatifs, qui permettent de développer un modèle mathématique non seulement pour une tâche médico-légale spécifique, mais aussi pour tout un type de tâche. C’est le sens profond de mathématiser leur solution. Les méthodes mathématiques en médecine légale ne sont pas seulement (et pas tant) des méthodes pour étudier des objets et obtenir des informations à leur sujet (comme, par exemple, des méthodes physiques et chimiques), mais aussi des méthodes pour résoudre des problèmes médico-légaux sur la base des résultats de la recherche.

La troisième direction de mathématisation de la recherche scientifique médico-légale est l'utilisation de méthodes mathématiques pour résoudre des problèmes de tactiques et de méthodologies médico-légales. Dans la littérature, il est représenté par les travaux de A.A. Eisman, I.M. Luzgin, L.G. Vidonov, N.A. Selivanova et autres. Déjà les premières études dans ce domaine montraient les limites de l'application des méthodes mathématiques pour résoudre des problèmes de tactique et de méthodologie.

A. A. Eisman notait à juste titre que « la preuve judiciaire ne peut être décrite par les moyens de la logique traditionnelle, d'abord parce que tous les actes de preuve, qu'ils soient simples ou complexes, sont non seulement de nature qualitative (oui/non), mais aussi quantitative ( plus fiable, moins fiable). C'est ce côté évaluatif, quantitatif qui crée les principales difficultés de modélisation... Il n'existe aucun moyen ni opportunité de montrer le niveau absolu de cette fiabilité, de lui donner des valeurs quantitatives strictes. C'est tout à fait compréhensible. , parce que nous ne disposons pas (et il est difficile de prédire avec certitude scientifique si nous en aurons un jour) de méthodes d'évaluation quantitative des preuves. Apparemment, le seul moyen d'obtenir de telles caractéristiques quantitatives est le traitement statistique d'un grand nombre d'événements et de faits. inclus dans le contenu des preuves. Quand Il s'agit de prendre en compte statistiquement l'importance de faits individuels (par exemple, être pris en flagrant délit) dans différentes conditions changeantes. Il n’est pas difficile d’imaginer un volume presque illimité de telles recherches statistiques. En même temps, il est difficile de juger de l'efficacité pratique des résultats s'ils sont obtenus." C'est pourquoi A. A. Eisman a exprimé l'opinion que dans la logique des conséquences à partir des moyens de la logique mathématique, seules certaines formules de calcul propositionnel sont utilisées , qui « ne forment pas un calcul strict, c'est-à-dire un appareil complet de règles pour construire l'inférence, mais jouent un rôle auxiliaire. » Cette opinion a également été soutenue par I.M. Luzgin.

N.A. Selivanov limité application de méthodes mathématiques dans le domaine des tactiques médico-légales uniquement en mesurant divers objets et en résolvant certains problèmes au cours d'actions d'enquête individuelles, principalement lors de l'inspection des lieux d'un incident : déterminer une distance inconnue de deux objets connus, l'inclinaison de la ligne de vol des éclaboussures de sang, la taille de pneus de voiture en fonction de leurs traces, de la vitesse d'une voiture sur la distance de freinage et quelques autres. Chez I.M. Luzgin, nous trouvons une mention de modélisation logico-mathématique, dont les objets, de son point de vue, peuvent être des signes de situations controversées, des faits qui forment le corps du délit et des circonstances associées, des relations entre objets et phénomènes, des signes de traces. Cependant, hormis cette mention, il ne fournit aucune donnée confirmant la possibilité réelle d'une telle modélisation.

Z. I. Kirsanov et N. A. Rodionov peuvent être considérés comme des pionniers dans l'étude de la possibilité d'utiliser des méthodes probabilistes et statistiques dans les techniques médico-légales. La première a identifié les principaux domaines d'application des méthodes statistiques : pour étudier les méthodes de commission d'un crime, les types de documents falsifiés par les criminels, les objets utilisés comme cachettes, en général pour généraliser et étudier la pratique d'enquête, etc. La seconde a nommé ces méthodes statistiques qui, selon lui, peut être utilisé dans les enquêtes sur les délits. Un exemple d'application réussie de méthodes statistiques probabilistes pour déterminer les dépendances entre les éléments des caractéristiques médico-légales des meurtres intentionnels est le travail de L. G. Vidonov.

Des tentatives sont faites pour évaluer, à l'aide de méthodes probabilistes et statistiques, l'efficacité de techniques tactiques individuelles ou de leurs combinaisons dans le cadre de complexes spéciaux, l'efficacité de combinaisons tactiques (opérations) pour certaines catégories de délits.

L'élargissement du champ d'application des méthodes mathématiques en médecine légale impliquait logiquement l'étude des possibilités de leur utilisation pour résoudre des problèmes pratiques basés sur la technologie informatique. « Parlant de l'utilisation des méthodes mathématiques, je voudrais souligner qu'elles ne doivent pas être opposées aux ordinateurs », notait à juste titre A. R. Shlyakhov à cet égard dès 1984. « Les méthodes mathématiques, techniques et médico-légales peuvent se compléter, interagir et fonctionnent en parallèle dans un certain nombre de cas. Dans leur essence et dans leur forme, ils ne sont pas identiques. Il est vrai que presque tout ce qui est réalisable par les mathématiques peut être résolu et

Des ordinateurs (parfois même meilleurs que les mathématiciens), mais sans mathématiciens, l'ordinateur est impuissant. " L'examen médico-légal est un domaine d'activité pratique de l'application de la loi où l'utilisation des ordinateurs s'est avérée la plus prometteuse.

En plus de la pratique des experts, les domaines suivants d'utilisation des méthodes cybernétiques ont été identifiés en médecine légale :

Extraire des informations sur divers objets, processus et automatiser son traitement primaire ;

L'utilisation d'appareils automatiques et d'ordinateurs pour le traitement d'informations urgentes et pour l'obtention de paramètres dérivés d'informations primaires fixes ;

Automatisation du processus d'encodage et de numérisation des informations ;

Reconnaissance de formes informatiques ;

Etude de modèles mathématiques du processus de preuve.

Dans l’histoire des mathématiques, on peut distinguer grossièrement deux périodes principales : les mathématiques élémentaires et modernes. Le jalon à partir duquel il est d'usage de compter l'ère des mathématiques nouvelles (parfois appelées supérieures) était le XVIIe siècle - le siècle de l'apparition de l'analyse mathématique. Vers la fin du XVIIe siècle. I. Newton, G. Leibniz et leurs prédécesseurs ont créé l'appareil d'un nouveau calcul différentiel et d'un calcul intégral, qui constitue la base de l'analyse mathématique et même, peut-être, la base mathématique de toutes les sciences naturelles modernes.

L'analyse mathématique est un vaste domaine des mathématiques avec un objet d'étude caractéristique (quantité variable), une méthode de recherche unique (analyse au moyen d'infinitésimaux ou au moyen de passages aux limites), un certain système de concepts de base (fonction, limite, dérivée , différentiel, intégral, série) et un appareil en constante amélioration et en développement, dont la base est le calcul différentiel et intégral.

Essayons de donner une idée de quel type de révolution mathématique s'est produite au XVIIe siècle, ce qui caractérise la transition associée à la naissance de l'analyse mathématique des mathématiques élémentaires à ce qui fait aujourd'hui l'objet de recherches en analyse mathématique, et ce qui explique son rôle fondamental dans l'ensemble du système moderne de connaissances théoriques et appliquées.

Imaginez que devant vous se trouve une photographie couleur magnifiquement exécutée d'une vague océanique tumultueuse se précipitant sur le rivage : un dos voûté puissant, une poitrine raide mais légèrement enfoncée, une tête déjà penchée en avant et prête à tomber avec une crinière grise tourmentée par le vent. Vous avez arrêté le moment, vous avez réussi à capter la vague et vous pouvez désormais l'étudier attentivement dans les moindres détails, sans hâte. Une vague peut être mesurée, et en utilisant les outils des mathématiques élémentaires, vous pouvez tirer de nombreuses conclusions importantes sur cette vague, et donc sur toutes ses sœurs océaniques. Mais en arrêtant la vague, vous l'avez privée de mouvement et de vie. Son origine, son développement, sa course, la force avec laquelle il heurte le rivage - tout cela s'est avéré être hors de votre champ de vision, car vous ne disposez pas encore ni d'un langage ni d'un appareil mathématique adapté pour décrire et étudier non pas le statique, mais développement, processus dynamiques, variables et leurs relations.

« L’analyse mathématique n’est pas moins complète que la nature elle-même : elle détermine toutes les relations tangibles, mesure les temps, les espaces, les forces, les températures. » J. Fourier

Le mouvement, les variables et leurs relations nous entourent partout. Différents types de mouvements et leurs schémas constituent le principal objet d'étude de sciences spécifiques : physique, géologie, biologie, sociologie, etc. Par conséquent, un langage précis et les méthodes mathématiques correspondantes pour décrire et étudier les quantités variables se sont avérés nécessaires dans tous les domaines de des connaissances à peu près dans la même mesure que les nombres et l’arithmétique sont nécessaires pour décrire des relations quantitatives. Ainsi, l’analyse mathématique constitue la base du langage et des méthodes mathématiques permettant de décrire les variables et leurs relations. De nos jours, sans analyse mathématique, il est impossible non seulement de calculer les trajectoires spatiales, le fonctionnement des réacteurs nucléaires, le mouvement des vagues océaniques et les schémas de développement des cyclones, mais aussi de gérer économiquement la production, la répartition des ressources, l'organisation des processus technologiques, de prédire l'évolution de la situation. cours de réactions chimiques ou changements dans le nombre de diverses espèces interconnectées dans la nature, animales et végétales, car ce sont tous des processus dynamiques.

Les mathématiques élémentaires étaient principalement les mathématiques des quantités constantes, elles étudiaient principalement les relations entre les éléments des figures géométriques, les propriétés arithmétiques des nombres et les équations algébriques. Son attitude envers la réalité peut dans une certaine mesure être comparée à une étude attentive, voire approfondie et complète de chaque image fixe d'un film qui capture le monde vivant changeant et en développement dans son mouvement, qui, cependant, n'est pas visible dans une image séparée et ce qui ne peut être observé qu’en regardant la bande dans son ensemble. Mais tout comme le cinéma est impensable sans photographie, les mathématiques modernes sont impossibles sans cette partie que nous appelons conventionnellement élémentaire, sans les idées et les réalisations de nombreux scientifiques exceptionnels, parfois séparés par des dizaines de siècles.

Les mathématiques sont unies, et leur partie « supérieure » est liée à la partie « élémentaire » de la même manière que l'étage suivant d'une maison en construction est lié au précédent, et que la largeur des horizons que les mathématiques ouvrent pour nous dans le monde qui nous entoure dépend de l'étage de ce bâtiment que nous avons réussi à atteindre. Né au 17ème siècle. l'analyse mathématique nous a ouvert des opportunités pour décrire scientifiquement, étudier quantitativement et qualitativement les variables et le mouvement au sens large du terme.

Quelles sont les conditions préalables à l’émergence de l’analyse mathématique ?

Vers la fin du XVIIe siècle. La situation suivante s'est produite. Premièrement, dans le cadre des mathématiques elles-mêmes, au fil de nombreuses années, certaines classes importantes de problèmes du même type se sont accumulées (par exemple, les problèmes de mesure d'aires et de volumes de figures non standard, les problèmes de dessin de tangentes à des courbes) et des méthodes pour les résoudre dans divers cas particuliers sont apparus. Deuxièmement, il s'est avéré que ces problèmes sont étroitement liés aux problèmes de description d'un mouvement mécanique arbitraire (pas nécessairement uniforme), et notamment au calcul de ses caractéristiques instantanées (vitesse, accélération à tout instant), ainsi qu'à la recherche du distance parcourue pour un mouvement se produisant à une vitesse variable donnée. La solution à ces problèmes était nécessaire au développement de la physique, de l’astronomie et de la technologie.

Enfin, troisièmement, vers le milieu du XVIIe siècle. les travaux de R. Descartes et P. Fermat ont jeté les bases de la méthode analytique des coordonnées (dite géométrie analytique), qui a permis de formuler des problèmes géométriques et physiques d'origine hétérogène dans le langage général (analytique) des nombres et les dépendances numériques, ou, comme nous disons maintenant, les fonctions numériques.

NIKOLAI NIKOLAEVITCH LUZINE (1883-1950) N. N. Luzin - mathématicien soviétique, fondateur de l'école soviétique de théorie des fonctions, académicien (1929). Luzin est né à Tomsk et a étudié au gymnase de Tomsk. Le formalisme du cours de mathématiques au gymnase a aliéné le jeune homme talentueux, et seul un tuteur compétent a pu lui révéler la beauté et la grandeur de la science mathématique. En 1901, Luzin entre au département de mathématiques de la Faculté de physique et de mathématiques de l'Université de Moscou. Dès les premières années de ses études, les questions liées à l’infini entrent dans son cercle d’intérêt. Fin du 19ème siècle. Le scientifique allemand G. Cantor a créé la théorie générale des ensembles infinis, qui a reçu de nombreuses applications dans l'étude des fonctions discontinues. Luzin commença à étudier cette théorie, mais ses études furent interrompues en 1905. L'étudiant, qui participa aux activités révolutionnaires, dut partir pour un temps en France. Il y écoute les conférences des plus éminents mathématiciens français de l'époque. À son retour en Russie, Luzin a obtenu son diplôme universitaire et a dû se préparer à un poste de professeur. Bientôt, il repart pour Paris, puis pour Göttingen, où il se rapproche de nombreux scientifiques et écrit ses premiers ouvrages scientifiques. Le principal problème qui intéressait le scientifique était de savoir s'il pouvait y avoir des ensembles contenant plus d'éléments que l'ensemble des nombres naturels, mais moins que l'ensemble des points d'un segment (le problème du continuum). Pour tout ensemble infini pouvant être obtenu à partir de segments en utilisant les opérations d'union et d'intersection de collections dénombrables d'ensembles, cette hypothèse était satisfaite, et pour résoudre le problème, il était nécessaire de découvrir quelles autres manières il existait de construire des ensembles . Parallèlement, Luzin étudie la question de savoir s'il est possible de représenter une fonction périodique, même comportant une infinité de points de discontinuité, comme la somme d'une série trigonométrique, c'est-à-dire la somme d’un nombre infini de vibrations harmoniques. Sur ces questions, Luzin obtient un certain nombre de résultats significatifs et soutient en 1915 sa thèse « Séries intégrales et trigonométriques », pour laquelle il obtient immédiatement le titre académique de docteur en mathématiques pures, contournant le master intermédiaire qui existait à cette époque. . En 1917, Luzin devient professeur à l'Université de Moscou. Pédagogue talentueux, il attire les étudiants et les jeunes mathématiciens les plus compétents. L'école de Luzin atteint son apogée dans les premières années post-révolutionnaires. Les étudiants de Luzin formèrent une équipe créative, qu’ils appelèrent en plaisantant « Lusitania ». Beaucoup d’entre eux ont obtenu des résultats scientifiques de premier ordre alors qu’ils étaient encore étudiants. Par exemple, P. S. Aleksandrov et M. Ya. Suslin (1894-1919) ont découvert une nouvelle méthode de construction d'ensembles, qui a servi de point de départ au développement d'une nouvelle direction : la théorie descriptive des ensembles. Les recherches menées dans ce domaine par Luzin et ses étudiants ont montré que les méthodes habituelles de la théorie des ensembles ne suffisent pas à résoudre bon nombre des problèmes qui s'y posent. Les prédictions scientifiques de Luzin se sont pleinement confirmées dans les années 60. XXe siècle De nombreux étudiants de N. N. Luzin devinrent plus tard des académiciens et des membres correspondants de l’Académie des sciences de l’URSS. Parmi eux se trouve P. S. Alexandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentyev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov. LG Shnirelman et autres. Les mathématiciens soviétiques et étrangers modernes développent dans leurs travaux les idées de N. N. Luzin.

La confluence de ces circonstances a conduit au fait qu'à la fin du XVIIe siècle. deux scientifiques - I. Newton et G. Leibniz - ont réussi indépendamment l'un de l'autre à créer un appareil mathématique pour résoudre ces problèmes, résumant et généralisant les résultats individuels de leurs prédécesseurs, y compris l'ancien scientifique Archimède et les contemporains de Newton et Leibniz - B. Cavalieri, B. Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Cet appareil constitue la base de l'analyse mathématique - une nouvelle branche des mathématiques qui étudie divers processus de développement, c'est-à-dire relations entre variables, qui en mathématiques sont appelées dépendances fonctionnelles ou, en d'autres termes, fonctions. Soit dit en passant, le terme « fonction » lui-même était nécessaire et est apparu naturellement précisément au XVIIe siècle, et il a désormais acquis non seulement une signification mathématique générale, mais aussi une signification scientifique générale.

Les premières informations sur les concepts de base et les appareils mathématiques d'analyse sont données dans les articles « Calcul différentiel » et « Calcul intégral ».

En conclusion, je voudrais m'attarder sur un seul principe d'abstraction mathématique, commun à toutes les mathématiques et caractéristique de l'analyse, et à cet égard expliquer sous quelle forme l'analyse mathématique étudie les variables et quel est le secret d'une telle universalité de ses méthodes d'étude. toutes sortes de processus de développement spécifiques et leurs interrelations.

Examinons quelques exemples illustratifs et analogies.

Parfois, nous ne réalisons plus que, par exemple, une relation mathématique écrite non pas pour des pommes, des chaises ou des éléphants, mais sous une forme abstraite, extraite d'objets spécifiques, constitue une réalisation scientifique exceptionnelle. Il s'agit d'une loi mathématique qui, comme le montre l'expérience, s'applique à divers objets spécifiques. Cela signifie qu'en étudiant en mathématiques les propriétés générales des nombres abstraits et abstraits, nous étudions ainsi les relations quantitatives du monde réel.

Par exemple, d'après un cours de mathématiques à l'école, on sait que, par conséquent, dans une situation spécifique, vous pourriez dire : « S'ils ne me donnent pas deux camions-bennes de six tonnes pour transporter 12 tonnes de terre, alors je peux demander pour trois camions-bennes de quatre tonnes et le travail sera fait, et s'ils ne me donnent qu'un seul camion-benne de quatre tonnes, alors elle devra effectuer trois vols. Ainsi, les nombres abstraits et les modèles numériques qui nous sont désormais familiers sont associés à leurs manifestations et applications spécifiques.

Les lois du changement de variables spécifiques et des processus de développement de la nature sont liées à peu près de la même manière à la forme-fonction abstraite et abstraite dans laquelle elles apparaissent et sont étudiées en analyse mathématique.

Par exemple, un ratio abstrait peut refléter la dépendance du box-office d'un cinéma au nombre de billets vendus, si 20 équivaut à 20 kopecks - le prix d'un billet. Mais si nous roulons à vélo sur une autoroute, parcourant 20 km/h, alors ce même rapport peut être interprété comme le rapport entre le temps (heures) de notre trajet à vélo et la distance parcourue pendant ce temps (kilomètres). disons toujours que, par exemple, un changement de plusieurs fois conduit à un changement proportionnel (c'est-à-dire le même nombre de fois) de la valeur de , et si , alors la conclusion opposée est également vraie. Cela signifie notamment que pour doubler le box-office d'une salle de cinéma, il faudra attirer deux fois plus de spectateurs, et pour parcourir deux fois plus de distance à vélo à la même vitesse, il faudra rouler deux fois plus longtemps. .

Les mathématiques étudient à la fois la dépendance la plus simple et d’autres dépendances beaucoup plus complexes sous une forme générale et abstraite, abstraite d’une interprétation particulière. Les propriétés d'une fonction ou les méthodes d'étude de ces propriétés identifiées dans une telle étude seront de la nature de techniques mathématiques générales, de conclusions, de lois et de conclusions applicables à chaque phénomène spécifique dans lequel se produit la fonction étudiée sous forme abstraite, quel que soit le domaine. de la connaissance à laquelle appartient ce phénomène.

Ainsi, l'analyse mathématique en tant que branche des mathématiques a pris forme à la fin du XVIIe siècle. Le sujet d'étude en analyse mathématique (telle qu'il ressort des positions modernes) sont les fonctions ou, en d'autres termes, les dépendances entre quantités variables.

Avec l'avènement de l'analyse mathématique, les mathématiques sont devenues accessibles à l'étude et à la réflexion des processus en développement dans le monde réel ; les mathématiques incluaient les variables et le mouvement.

Méthodes mathématiques

La formalisation et la modélisation des processus de collecte, de déplacement et de conversion d'informations sont associées à l'utilisation de méthodes mathématiques qui mettent en œuvre les opérations informatiques et logiques nécessaires, y compris dans les systèmes d'information automatisés. Par conséquent, l’informatique juridique est étroitement liée aux mathématiques et utilise les méthodes de diverses sciences mathématiques.

Récemment, l'étude des processus d'information dans le domaine du droit a fait appel à la théorie des probabilités, aux statistiques mathématiques, à la logique mathématique, à la recherche opérationnelle et à de nombreuses autres sciences et disciplines mathématiques. Les méthodes mathématiques, spécifiquement réfractées dans la théorie du droit, enrichissent et renforcent la méthode de la science juridique, mais, bien entendu, ne la remplacent pas.

Aujourd'hui, on peut dire que les efforts des spécialistes appliquant les méthodes exactes des mathématiques dans le domaine juridique se concentrent dans deux directions : la première est le traitement mathématique des résultats de la recherche juridique ; la seconde est l’étude de la structure du droit à l’aide de méthodes mathématiques. Ces domaines constituent la base de la création et de l'application dans le domaine juridique de divers systèmes automatisés de traitement des informations sociales et juridiques.

Première direction a été développé en 1775 par Pierre Simon Laplace, qui a proposé d'utiliser des méthodes de théorie des probabilités pour évaluer les témoignages oculaires, analyser les élections et les décisions des réunions et déterminer la probabilité d'erreurs dans les verdicts judiciaires.

Ses disciples Siméon Poisson et Auguste Cournot publient respectivement en 1837 et 1877 un traité « Etude des probabilités à partir des matériaux des décisions des tribunaux criminels et civils fondées sur les règles générales de calcul des probabilités » et une monographie « Fondements de la théorie du hasard et Probabilité », dans lequel le chapitre 15 était intitulé : « Théorie de la probabilité des décisions judiciaires. Son application aux statistiques des affaires civiles. Aux États-Unis, le flambeau de la recherche en métrique juridique a été pris par le professeur du Michigan J. Schubert, qui a publié en 1959 l’ouvrage « Quantitative Analysis of Judicial Behaviour ». En 1961, Stuart Nagel a publié un certain nombre d'ouvrages, parmi lesquels « L'attente d'un verdict » contient un indicateur quantitatif de la probabilité de gagner ou de perdre les réclamations résultant d'un préjudice, en fonction de la présence d'un certain nombre de variables dans l'affaire, qui sont traitées par généralisation statistique.

Actuellement, dans le cadre de cette direction, diverses méthodes mathématiques sont utilisées avec succès pour résoudre les problèmes suivants : description quantitative des phénomènes juridiques ; assurer la comptabilité et le reporting des activités juridiques grâce au traitement numérique de divers indicateurs statistiques.

Deuxième direction basé sur l'idée de réduire le raisonnement à des calculs et a de profondes racines historiques remontant à R. Descartes. Il a laissé entendre la possibilité de créer un langage artificiel de la science, en a donné une description détaillée et les énormes avantages associés à l'utilisation de ce dernier. Descartes supposait l'existence d'un certain ordre naturel dans nos pensées, qu'il comparait à l'ordre du monde des nombres. Avec tout le nombre infini de nombres, chacun d'eux a une représentation de signe unique, chacun d'eux peut donc recevoir son propre nom, ce qui permettra d'écrire les actions avec eux dans un langage compact spécial. Puisqu'un tel langage universel a été développé pour les nombres, alors, selon Descartes, au fil du temps, un langage encore plus universel sera construit, couvrant non seulement les nombres, mais aussi tous les objets pouvant faire l'objet de recherche. Un tel langage permettra de désigner n'importe quelle idée en mettant en avant des idées simples et en fixant les éléments qui composent chaque pensée. Cela éliminera toute possibilité de confusion. Un tel langage opposera des mots aux significations vagues à des éléments artificiels clairement définis. Au lieu de « discutons », les scientifiques diront « calculons ».

Une grande attention a été accordée au développement de l'idée d'un langage universel de la science dans les travaux de G. Leibniz, qui a jeté les bases de la logique mathématique. Selon Leibniz, l'idéal d'une méthode générale, grâce à laquelle il sera possible de systématiser les vérités éternelles, de les prouver, et même d'en découvrir de nouvelles, est le suivant :

1) il faut décomposer tous les concepts dans leur forme la plus simple, tout comme en mathématiques les nombres composés se décomposent en produits de facteurs premiers. Le nombre de concepts simples dans un tel langage ne peut pas être grand ;

2) après avoir désigné chacun des concepts par un symbole spécial, nous obtenons « l'alphabet de la pensée humaine » ;

3) toutes les combinaisons possibles de concepts simples nous donneront un ensemble de concepts complexes. Et bien que le nombre des premiers soit petit, cependant, comme le montrent les formules de la combinatoire, le nombre de leurs combinaisons peut être presque inépuisable ;

4) il est nécessaire d'introduire des symboles spéciaux pour les relations fondamentales entre les concepts et d'établir des règles pour l'utilisation et la combinaison de ces symboles.

Ainsi, il était prévu que le processus de pensée soit réduit à un type particulier de calcul mécanique, ce que fait essentiellement la logique symbolique moderne.

La logique moderne a créé de nombreux systèmes décrivant des fragments individuels d’un raisonnement significatif. Pour modéliser la structure des normes juridiques, une « logique normative » a été spécialement développée, dont le sujet d'étude est la structure logique et les connexions logiques des énoncés normatifs.

Ainsi, évaluant les principes de modélisation logique de la structure des normes juridiques, des relations juridiques et des inférences normatives, V. Knapp et A. Gerloch indiquent que la classification sous-jacente des normes juridiques est une abstraction simplifiée des normes juridiques réelles, qui sont de nature complexe. . Par exemple, en étudiant la comparabilité et la compatibilité des concepts juridiques, ces auteurs arrivent à la conclusion que l'incomparabilité des concepts « droit des successions » et « droit du suffrage » ne peut être prouvée par un raisonnement logique dans le cadre d'aucune des théories logiques, puisque la présence d'un attribut commun « loi » rend ces concepts formellement comparables. Pour prouver l'incomparabilité de ces concepts, selon les auteurs, on ne peut se passer de l'appareil de la théorie juridique.

Un autre type de formalisation des normes juridiques repose sur l’utilisation de la logique mathématique pour modéliser la structure logique d’une norme juridique.

La logique mathématique est un type moderne de logique formelle, c'est-à-dire une science qui étudie les inférences du point de vue de leur structure formelle.

Aucune pensée sous forme de concepts, de jugements ou d’inférences n’existe en dehors du langage. Il est possible d'identifier et d'explorer des structures logiques uniquement en analysant les expressions linguistiques.

Une affirmation est généralement comprise comme une certaine hypothèse à propos de laquelle il est logique de dire qu'elle est vraie ou fausse. Les opérations suivantes sont définies sur les instructions :

· conjonction (« et » logique) ;

· disjonction (« ou » logique) ;

· négation (« non » logique) ;

· implication (« si..., alors... »).

Donc A.O. Gavrilov a proposé, à l'aide d'opérations logiques, de modéliser la structure logique d'une norme juridique. Le but de la modélisation est d'identifier les connexions logiques (y compris latentes) d'une norme juridique. La structure logique d'une norme juridique peut être présentée comme suit :

((p→ d) → ˥ s) → (˥ d→ s)

Où p- hypothèse de norme ;

d- disposition ;

s- sanctionner.

La formalisation donnée du langage juridique nous permet de modéliser et d'analyser certaines normes juridiques en utilisant une nouvelle classe de systèmes d'information juridique automatisés tels que les systèmes experts.

Il convient toutefois de noter que l’utilisation du langage mathématique pour formaliser le droit est considérablement limitée. Cela est largement déterminé par le fait que, comme l'admet A.G. Olshanetsky, « il n'y a toujours pas de consensus parmi les juristes sur la nature logique, la spécificité logique des concepts juridiques, leur rôle constructif dans le développement de la science de la jurisprudence, dans la formation d'un déterminant juridique normatif, son mouvement logique dans le mécanisme de régulation de systèmes sociaux. Les opinions des scientifiques à cet égard sont ambiguës, controversées et parfois contradictoires. En particulier, l'opinion est exprimée que seuls certains concepts du droit pénal ont une certaine spécificité logique. Dans les concepts d'autres branches du droit, le caractère spécifiquement juridique est soit insignifiant, soit inexistant... Ils ne se caractérisent que par des traits de nature extra-logique. Dans la structure... de leur contenu, dans la nature des traits qui le composent, il n'y a aucun trait qui permettrait de distinguer ces concepts en une classe particulière de concepts scientifiques.

Selon O.A. Gavrilov, il y a cinq raisons principales pour lesquelles les mathématiques ne peuvent pas devenir un outil universel de recherche dans le domaine du droit :

1. Avec la croissance de la complexité et de l'intégrité d'un objet socio-juridique, la possibilité de sa division en éléments formalisés diminue considérablement.

2. Les principales catégories des sciences sociales sont des concepts complexes, multiformes et multiformes reliés par de nombreuses connexions informelles, telles que la base, la superstructure, les forces productives, les relations industrielles, l'État, le droit, l'économie, la politique, la démocratie.

3. L'État et le droit, en tant que phénomènes de société de classes, représentent des systèmes sociopolitiques intégraux. Ils se caractérisent par un grand nombre de caractéristiques et de connexions qualitatives qui ne sont ni quantitatives, ni probabilistes, ni fonctionnelles (au sens mathématique du terme) et ne peuvent donc être formalisées mathématiquement.

4. En procédant à une analyse comparative des méthodes mathématiques et des moyens traditionnels de la science juridique, on ne peut s'empêcher de voir leur opposition complémentaire.

5. Une caractéristique distinctive des études menées sur la base des méthodes qualitatives traditionnelles est leur exhaustivité et leur diversité, ainsi que leur flexibilité dans la couverture des phénomènes. Une caractéristique distinctive de la recherche mathématique est sa grande précision. En utilisant les méthodes traditionnelles de la science juridique, le chercheur juridique obtient une image complète, mais perd toute exactitude. A l’inverse, lorsqu’il utilise des méthodes de recherche quantitatives, il gagne en précision de la description scientifique, mais perd en flexibilité et en exhaustivité.

Il convient de noter que tous les avocats n'adhèrent pas à ce point de vue. Alors, le V.P. Pavlov, explorant la possibilité d'une mathématisation de la recherche juridique, n'est pas d'accord avec le point de vue exprimé ci-dessus par O.A. Gavrilova.

À son avis, l'histoire de toute science indique qu'au niveau initial de la connaissance, auquel l'accumulation de faits scientifiques sur les propriétés observables des phénomènes étudiés et de modèles empiriques (sous forme de tendances dans le développement du phénomène de qui nous intéressent dans la vie pratique), ils utilisent les techniques d'observation, d'expérimentation, de mesures, de descriptions, de méthodes de généralisation, de comparaisons d'analyse et de synthèse, de classification et de systématisation. Pour mettre en œuvre ces méthodes dans la jurisprudence, les méthodes scientifiques générales traditionnelles sont largement utilisées, telles que la méthode philosophique, la méthode du droit comparé et la méthode de recherche globale. Cependant, un niveau véritablement théorique est atteint lorsque des hypothèses scientifiques sont avancées, des lois sont formulées et des théories sont créées. Ce niveau correspond à diverses méthodes d'explication de phénomènes spécifiques, parmi lesquelles figurent la méthode hypothétique, structurelle, fonctionnelle, la méthode d'abstraction, qui comprend l'idéalisation et la généralisation de certains concepts, et la méthode de justification d'hypothèses et de construction de théories. Ce niveau n’est réalisable qu’en impliquant les mathématiques comme outil le plus universel d’analyse du monde matériel. Le lien dialectique entre ces deux niveaux réside dans le fait que l'établissement de faits empiriques comme étape initiale de la cognition s'effectue toujours sur la base de certaines connaissances théoriques du niveau précédent, et les faits empiriques eux-mêmes sont la base pour augmenter le niveau de connaissances théoriques dans le domaine étudié. La relation complémentaire entre les méthodes traditionnelles et mathématiques ne réside donc pas dans leur opposition, mais précisément dans le fait que leur universalité permet d'assurer la clarté, l'exactitude et l'exhaustivité du phénomène étudié. Grâce à cela, le champ de compréhension, par des moyens traditionnels, des domaines du phénomène étudié qui étaient cachés à l'observateur par la fragmentation de l'image empirique du phénomène s'élargit.

Ainsi, le principal obstacle à la description mathématique des normes juridiques est l'ambiguïté de l'appareil conceptuel de la science juridique, qui augmente plusieurs fois avec l'utilisation non critique d'outils mathématiques pour son analyse. La contradiction est que sans l'utilisation d'appareils mathématiques, il est impossible de garantir l'exhaustivité et l'exactitude de la recherche juridique, et l'utilisation d'appareils mathématiques est impossible dans les conditions de l'ambiguïté existante de l'appareil conceptuel du droit.

Introduction

L'une des pistes pour améliorer l'analyse de l'activité économique est l'introduction de méthodes économiques et mathématiques et d'ordinateurs modernes. Leur utilisation augmente l'efficacité de l'analyse économique en élargissant les facteurs, en justifiant les décisions de gestion, en choisissant l'option optimale d'utilisation des ressources économiques, en identifiant et en mobilisant des réserves pour augmenter l'efficacité de la production.

Les méthodes mathématiques sont basées sur la méthodologie de modélisation économique et mathématique et sur la classification scientifique des problèmes dans l'analyse de l'activité économique.

Selon les objectifs de l'analyse économique, on distingue les modèles économiques et mathématiques suivants : dans les modèles déterministes - logarithme, participation au capital, différenciation ; dans les modèles stochastiques - méthode de corrélation-régression, programmation linéaire, théorie des files d'attente, théorie des graphes.

Caractéristiques générales des méthodes mathématiques d'analyse

L'utilisation généralisée des méthodes mathématiques constitue une direction importante pour améliorer l'analyse économique et augmente l'efficacité de l'analyse des activités des entreprises et de leurs divisions. Ceci est réalisé en réduisant le temps nécessaire à l'analyse, en couvrant plus complètement l'influence des facteurs sur les résultats des activités commerciales, en remplaçant les calculs approximatifs ou simplifiés par des calculs exacts, en définissant et en résolvant de nouveaux problèmes d'analyse multidimensionnelle qui sont pratiquement impossibles à réaliser avec les méthodes traditionnelles. méthodes.

L'application de méthodes mathématiques dans l'analyse économique de l'activité des entreprises nécessite :

· une approche systématique de l'étude de l'économie des entreprises, prenant en compte l'ensemble des relations significatives entre les différents aspects de l'activité de l'entreprise ; dans ces conditions, l'analyse elle-même acquiert de plus en plus les traits d'un système au sens cybernétique du terme ;

· développement d'un ensemble de modèles économiques et mathématiques qui reflètent les caractéristiques quantitatives des processus économiques et des problèmes résolus à l'aide de l'analyse économique ;

· améliorer le système d'information économique sur le travail des entreprises ;

· disponibilité de moyens techniques (ordinateurs, etc.) permettant de stocker, traiter et transmettre des informations économiques à des fins d'analyse économique ;

· organiser l'analyse informatique des activités commerciales, créer un logiciel d'analyse dans le système de gestion.

Riz. 1.

Le summum d'aujourd'hui dans le développement de systèmes de contrôle sont des systèmes VRM ( Gestion des performances commerciales - gestion de la performance commerciale), c'est-à-dire des systèmes qui permettent de relier toutes les fonctions de contrôle entre elles. Au sein de tels systèmes, par exemple, les cadres supérieurs ont la possibilité d'analyser et d'ajuster ces chiffres et de saisir leurs nouvelles données. Les systèmes leur permettent de voir et d'utiliser les rapports des départements concernés. En outre, les données corrigées et complétées au niveau inférieur de la direction sont à nouveau publiées au niveau de l'entreprise. L'ensemble du processus de planification bidirectionnelle est rapidement répété jusqu'à ce que le plan le plus optimal soit élaboré. Les systèmes BPM permettent d'établir plusieurs versions du plan (budget), des estimations dites flexibles pour différents volumes de ventes, en tenant compte d'éventuels facteurs imprévus négatifs ou positifs. Ainsi, en cas de crise, il est possible de transférer immédiatement l'organisation vers un budget d'urgence. Dans le même temps, nous n’aurons naturellement pas le temps d’examiner et de convenir de tous les postes budgétaires dans tous les centres de coûts et de responsabilité. Il convient de noter que la base de l'amélioration ultérieure des systèmes VRM est leur support analytique méthodologique et méthodologique.

Un problème d'analyse économique formulé mathématiquement peut être résolu par l'une des méthodes mathématiques développées. En figue. La figure 1 montre un schéma approximatif des principales méthodes mathématiques sur lesquelles des travaux sont menés pour être utilisés dans l'analyse des activités économiques des entreprises.

Les méthodes mathématiques élémentaires sont utilisées dans les calculs économiques traditionnels ordinaires pour justifier les besoins en ressources, comptabiliser les coûts de production, élaborer des plans, des projets, calculer le bilan, etc. La sélection des méthodes de mathématiques supérieures classiques dans le diagramme est due au fait qu'elles sont utilisées non seulement dans le cadre d'autres méthodes, par exemple les méthodes de statistiques mathématiques et de programmation mathématique, mais également séparément. Ainsi, l'analyse factorielle des évolutions de nombreux indicateurs économiques peut être réalisée en utilisant la différenciation et l'intégration.

Les méthodes de statistiques mathématiques et de théorie des probabilités sont largement utilisées en analyse économique. Ces méthodes sont utilisées dans les cas où l'évolution des indicateurs analysés peut être représentée comme un processus aléatoire.

Les méthodes statistiques, en tant que principal moyen d'étude des phénomènes de masse et récurrents, jouent un rôle important dans la prévision du comportement des indicateurs économiques. Lorsque la relation entre les caractéristiques analysées n'est pas déterministe, mais stochastique, alors les méthodes statistiques et probabilistes constituent pratiquement le seul outil de recherche. Les méthodes mathématiques et statistiques les plus largement utilisées en analyse économique sont les méthodes d'analyse de corrélation multiple et de paire. Pour étudier des populations statistiques unidimensionnelles, des séries de variations, des lois de distribution et la méthode d'échantillonnage sont utilisées. Pour étudier des populations statistiques multivariées, des corrélations, des régressions, des variances et des analyses factorielles sont utilisées.

Les méthodes économétriques reposent sur la synthèse de trois domaines de connaissances : l'économie, les mathématiques et la statistique. La base de l'économétrie est un modèle économique, qui est compris comme une représentation schématique d'un phénomène ou d'un processus économique utilisant l'abstraction scientifique, reflétant leurs caractéristiques. La méthode la plus largement utilisée est l’analyse entrées-sorties. Il s'agit de modèles matriciels (bilan), construits selon un schéma en damier et permettant de présenter la relation entre les coûts et les résultats de production sous la forme la plus compacte. La commodité des calculs et la clarté de l'interprétation économique sont les principales caractéristiques des modèles matriciels. Ceci est important lors de la création de systèmes de traitement de données automatisés et lors de la planification de la production de produits à l'aide d'un ordinateur.

La programmation mathématique est une branche importante des mathématiques appliquées modernes. Les méthodes mathématiques (principalement la programmation linéaire) constituent le principal moyen de résolution de problèmes et d'optimisation des activités économiques. À la base, ces méthodes sont un moyen de planification des calculs. Leur valeur pour l'analyse économique de la mise en œuvre du plan réside dans le fait qu'elles permettent un pour évaluer l'intensité des tâches planifiées et déterminer les groupes limites d'équipements, les types de matières premières et de matériaux, obtenir des estimations de la rareté des ressources de production, etc.

La recherche opérationnelle fait référence au développement de méthodes pour des actions ciblées (opérations), à l'évaluation quantitative des solutions résultantes et à la sélection de la meilleure. Le sujet de la recherche opérationnelle concerne les systèmes économiques, y compris les activités économiques des entreprises. L'objectif est une combinaison d'éléments structurels interconnectés de systèmes qui répondent le mieux à la tâche d'obtenir le meilleur indicateur économique parmi un certain nombre d'indicateurs possibles.

La théorie des jeux en tant que branche de la recherche opérationnelle est la théorie des modèles mathématiques permettant de prendre des décisions optimales dans des conditions d'incertitude ou de conflit entre plusieurs parties ayant des intérêts différents.

La théorie des files d'attente explore, sur la base de la théorie des probabilités, des méthodes mathématiques pour l'évaluation quantitative des processus de file d'attente. Ainsi, n'importe laquelle des divisions structurelles d'une entreprise peut être représentée comme un objet d'un système de services.

Une caractéristique commune à tous les problèmes associés aux files d’attente est la nature aléatoire des phénomènes étudiés. Le nombre de demandes de service et les intervalles de temps entre leur arrivée sont aléatoires et ne peuvent être prédits avec une certitude sans ambiguïté. Cependant, dans leur ensemble, bon nombre de ces exigences sont soumises à certaines lois statistiques, dont l'étude quantitative fait l'objet de la théorie des files d'attente.

La cybernétique économique analyse les phénomènes et processus économiques comme des systèmes très complexes du point de vue des lois et des mécanismes de gestion et de circulation de l'information. Les méthodes les plus largement utilisées en analyse économique sont la modélisation et l’analyse des systèmes.

Dans un certain nombre de cas, il est nécessaire de trouver des solutions à des problèmes extrêmes avec une connaissance incomplète du mécanisme du phénomène considéré. Une telle solution est recherchée expérimentalement. Ces dernières années, en économie, on s'intéresse de plus en plus à la formalisation de méthodes permettant de rechercher empiriquement des conditions optimales pour le processus, en utilisant l'expérience et l'intuition humaines.

Les méthodes heuristiques sont des méthodes informelles pour résoudre des problèmes économiques liés à la situation économique actuelle, basées sur l'intuition, l'expérience passée, les expertises de spécialistes, etc.

Pour l'analyse de l'activité économique, de nombreuses méthodes du diagramme approximatif donné n'ont pas trouvé d'application pratique et ne sont développées que dans la théorie de l'analyse économique. Le manuel traite des méthodes économiques et mathématiques de base déjà utilisées dans la pratique de l'analyse économique. L'application de l'une ou l'autre méthode mathématique dans l'analyse économique repose sur la méthodologie de modélisation économico-mathématique des processus économiques et sur une classification scientifiquement fondée des méthodes et des problèmes d'analyse.

Selon le critère de classification d'optimalité, toutes les méthodes (problèmes) économiques et mathématiques sont divisées en deux groupes : optimisation et non-optimisation. Si une méthode ou un problème permet de rechercher une solution basée sur un critère d'optimalité donné, alors cette méthode est classée comme un groupe de méthodes d'optimisation. Dans le cas où la recherche d'une solution est effectuée sans critère d'optimalité, la méthode correspondante est classée dans un groupe de méthodes de non-optimisation.

Sur la base de l'obtention d'une solution exacte, toutes les méthodes économiques et mathématiques sont divisées en exactes et approximatives. Si l’algorithme d’une méthode permet d’obtenir uniquement une solution unique avec ou sans un critère d’optimalité donné, alors cette méthode est classée dans un groupe de méthodes exactes. Dans le cas où des informations stochastiques sont utilisées lors de la recherche d'une solution et que la solution au problème peut être obtenue avec n'importe quel degré de précision, la méthode utilisée est classée comme un groupe de méthodes approximatives. Le groupe des méthodes approchées comprend également celles dont l'application ne garantit pas l'obtention d'une solution unique selon un critère d'optimalité donné.

Ainsi, en utilisant seulement deux critères de classification, toutes les méthodes économiques et mathématiques sont divisées en quatre groupes : 1) les méthodes exactes d'optimisation ; 2) méthodes approximatives d'optimisation ;

3) méthodes exactes sans optimisation ; 4) méthodes approximatives sans optimisation.

Ainsi, les méthodes exactes d'optimisation comprennent des méthodes de théorie des processus optimaux, certaines méthodes de programmation mathématique et des méthodes de recherche opérationnelle. Les méthodes approximatives d'optimisation comprennent certaines méthodes de programmation mathématique, des méthodes de recherche opérationnelle, des méthodes de cybernétique économique, des méthodes de théorie mathématique de planification d'expériences extrêmes et des méthodes heuristiques.

Les méthodes exactes de non-optimisation comprennent les méthodes de mathématiques élémentaires et les méthodes classiques d'analyse mathématique, les méthodes économétriques. Les méthodes approximatives sans optimisation incluent la méthode de test statistique et d'autres méthodes de statistiques mathématiques.

Le diagramme (voir Fig. 1) présente des groupes élargis de méthodes économiques et mathématiques : les méthodes individuelles de ces groupes sont utilisées pour résoudre divers problèmes, à la fois d'optimisation et de non-optimisation ; à la fois précis et approximatif. Le regroupement des méthodes de bilan et factorielles (tâches) est d'une grande importance dans l'analyse de l'activité économique.

Les méthodes d'équilibre sont des méthodes d'analyse de la structure, des proportions et des relations.

L’analyse économique est avant tout une analyse factorielle (au sens large du terme, et pas seulement sous la forme d’une analyse factorielle stochastique).

L'analyse factorielle économique est comprise comme une transition progressive du système factoriel initial (indicateur résultat) au système factoriel final (ou vice versa), la divulgation d'un ensemble complet de facteurs directs et quantitativement mesurables qui influencent les changements dans l'indicateur résultant.

Considérons une classification approximative des problèmes d'analyse factorielle du travail des entreprises du point de vue de l'utilisation de méthodes mathématiques (Fig. 2).

Dans l'analyse factorielle directe, les facteurs individuels influençant les changements dans un indicateur ou un processus résultant sont identifiés, des formes de dépendance déterministe (fonctionnelle) ou stochastique entre l'indicateur résultant et un certain ensemble de facteurs sont établies et, enfin, le rôle des facteurs individuels dans la modification de l’indicateur économique résultant est clarifiée. La formulation du problème de l’analyse factorielle directe s’étend au cas déterministe et stochastique.

Riz. 2 - Schéma élargi de classification des problèmes d'analyse factorielle économique

modélisation mathématique économique analytique

Les problèmes d'analyse factorielle déterministe directe constituent le groupe de problèmes le plus courant dans l'analyse de l'activité économique.

Considérons les caractéristiques de la formulation du problème de l'analyse factorielle stochastique directe. Si dans le cas d'une analyse factorielle déterministe directe, les données initiales à analyser sont disponibles sous la forme de nombres spécifiques, alors dans le cas d'une analyse factorielle stochastique directe, elles sont spécifiées par un échantillon (temporaire ou transversal). Résoudre les problèmes de l'analyse factorielle stochastique nécessite : une recherche économique approfondie pour identifier les principaux facteurs influençant l'indicateur de résultat ; sélection du type de régression qui refléterait le mieux la relation réelle de l'indicateur étudié avec un ensemble de facteurs ; développer une méthode pour déterminer l'influence de chaque facteur sur l'indicateur de résultat.

Si les résultats de l'analyse déterministe directe doivent s'avérer précis et sans ambiguïté, alors les résultats stochastiques - avec une certaine probabilité (fiabilité), qui doivent être évalués.

Un exemple d’analyse factorielle stochastique directe est l’analyse de régression de la productivité du travail et d’autres indicateurs économiques.

En analyse économique, outre les tâches qui reviennent à détailler un indicateur et à le décomposer en ses éléments constitutifs, il existe un groupe de tâches où il est nécessaire de lier un certain nombre de caractéristiques économiques dans un complexe, c'est-à-dire construire une fonction qui contient la qualité principale de tous les indicateurs-arguments économiques considérés, c'est-à-dire problèmes de synthèse. Dans ce cas, le problème inverse se pose (par rapport au problème de l'analyse factorielle directe) - le problème de la combinaison d'un certain nombre d'indicateurs en un complexe.

Les problèmes d’analyse factorielle inverse peuvent être déterministes ou stochastiques. Des exemples de problèmes d'analyse factorielle déterministe inverse sont les problèmes d'évaluation complexe de l'activité économique, ainsi que les problèmes de programmation mathématique, y compris linéaires. Un exemple de problème d'analyse factorielle stochastique inverse peut être celui des fonctions de production qui établissent des dépendances entre la quantité de production et les coûts des facteurs de production (ressources primaires). Pour une étude détaillée d'indicateurs ou de processus économiques, il est nécessaire de procéder non seulement à une analyse factorielle en une étape, mais également en chaîne : statique (spatiale) et dynamique (spatiale et temporelle).

Le détail des facteurs peut être poursuivi plus loin. Après l'avoir complété, ils résolvent le problème inverse de l'analyse factorielle, synthétisant les résultats de la recherche pour caractériser l'indicateur de résultat toi. Cette méthode de recherche est appelée méthode d’analyse factorielle statique en chaîne. Lors de l'application de l'analyse factorielle dynamique en chaîne pour étudier pleinement le comportement de l'indicateur de résultat, sa valeur statique ne suffit pas ; l'analyse factorielle de l'indicateur est effectuée à différents intervalles de temps auxquels l'indicateur est étudié.

L'analyse factorielle économique peut viser à clarifier l'action des facteurs qui façonnent les résultats de l'activité économique en fonction de diverses sources d'origine spatiale ou temporelle.

L'analyse de séries dynamiques (temporelles) d'indicateurs d'activité économique, divisant le niveau de la série en ses composantes (l'axe principal de développement - une tendance, une composante saisonnière ou périodique, une composante cyclique associée aux phénomènes de reproduction, une composante aléatoire) est la tâche de l’analyse du facteur temps.

La classification des problèmes d'analyse factorielle rationalise la formulation de nombreux problèmes économiques et nous permet d'identifier des modèles généraux dans leur solution. Lors de l'étude de processus économiques complexes, une combinaison de formulations de problèmes est possible, si ces dernières n'appartiennent entièrement à aucun type spécifié dans la classification.