Formules de diplômes utilisé dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.

Nombre c est n-ième puissance d'un nombre un Quand:

Opérations avec diplômes.

1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'ajoutent :

suis·une n = une m + n .

2. Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits :

3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Le degré d'une fraction est égal au rapport des degrés du dividende et du diviseur :

(une/b) n = une n /b n .

5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

(une m) n = une m n .

Chaque formule ci-dessus est vraie dans le sens de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Opérations avec racines.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine d'un rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance :

4. Si vous augmentez le degré de racine dans n une fois et en même temps, intégrer n la puissance est un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de racine dans n extraire la racine en même temps n-ième puissance d'un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant non positif :

Formule suis:a n =a m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi avec m< n.

Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pour formuler suis:a n =a m - n est devenu juste quand m=n, la présence de zéro degré est requise.

Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre différent de zéro avec un exposant nul est égale à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Pour augmenter un vrai nombre UN au degré m/n, vous devez extraire la racine n le degré de m-ème puissance de ce nombre UN.

Premier niveau

Degré et ses propriétés. Le guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où en aurez-vous besoin ? Pourquoi prendre le temps de les étudier ?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent et comment utiliser vos connaissances au quotidien, lisez cet article.

Et, bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera de la réussite de l'examen d'État unifié ou de l'examen d'État unifié et de l'entrée dans l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est une opération mathématique au même titre que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain à l’aide d’exemples très simples. Sois prudent. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Tout le monde a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Le même exemple avec le cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d’abord certaines régularités, puis trouvent un moyen de les « compter » plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes possédait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, c'est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus difficilement et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils inventées ? Droite - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez augmenter ce nombre à la puissance cinq. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la puissance cinq valent... Et ils résolvent ces problèmes dans leur tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi s’appelle-t-on le deuxième degré ? carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question. Vous aurez maintenant à la fois des carrés et des cubes.

Exemple réel n°1

Commençons par le carré ou la puissance deux du nombre.

Imaginez une piscine carrée mesurant un mètre sur un mètre. La piscine est à votre datcha. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... la piscine n'a pas de fond ! Vous devez recouvrir le fond de la piscine de carrelage. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de le déterminer, vous devez connaître la surface inférieure de la piscine.

Vous pouvez simplement calculer en pointant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez des carreaux d'un mètre sur un mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où avez-vous vu de tels carreaux ? Le carreau sera très probablement cm par cm, puis vous serez torturé en « comptant avec votre doigt ». Ensuite il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine nous placerons des tuiles (morceaux) et de l'autre aussi des tuiles. Multipliez par et vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que pour déterminer la surface du fond de la piscine, nous multiplions le même nombre par lui-même ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque nous multiplions le même nombre, nous pouvons utiliser la technique de « l’exponentiation ». (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors les élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs de calcul. (Pour l'examen d'État unifié, c'est très important).
Ainsi, trente à la puissance deux seront (). Ou nous pouvons dire que trente carrés le seront. En d’autres termes, la puissance seconde d’un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c’est TOUJOURS la deuxième puissance d’un nombre. Un carré est l’image de la puissance deux d’un nombre.

Exemple réel n°2

Voici une tâche pour vous : comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour calculer leur nombre, vous devez multiplier huit par huit ou... si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez en former un carré de huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?

Exemple concret n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir quelle quantité d’eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Au fait, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes. Inattendu, n'est-ce pas ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre de taille et un mètre de profondeur, et essayez de compter combien de cubes mesurant un mètre par un mètre le feront. s'intègre dans votre piscine.

Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien en avez-vous eu ? Pas perdu? Est-ce difficile de compter avec son doigt ? De sorte que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, il faut multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur entre elles. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus simple, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens seraient paresseux et rusés s’ils simplifiaient également cela. Nous avons tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois au cube sont égaux. C'est écrit ainsi : .

Il ne reste plus que souviens-toi du tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des personnes qui ont abandonné et des personnes rusées pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.

Exemple réel n°4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous gagnez un autre million. Autrement dit, chaque million dont vous disposez double au début de chaque année. De combien d’argent aurez-vous dans quelques années ? Si vous êtes assis maintenant et que vous « comptez avec votre doigt », alors vous êtes une personne très travailleuse et... stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Donc, la première année - deux multiplié par deux... la deuxième année - que s'est-il passé, par deux de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même. Donc deux puissance cinq font un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui sait compter le plus rapidement obtiendra ces millions... Cela vaut la peine de se rappeler le pouvoir des nombres, n'est-ce pas ?

Exemple concret n°5

Vous en avez un million. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous en gagnez deux de plus. Génial, n'est-ce pas ? Chaque million est triplé. De combien d’argent aurez-vous dans un an ? Comptons. La première année - multiplier par, puis le résultat par un autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois est multiplié par lui-même. Donc à la puissance quatre, cela est égal à un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre vaut ou.

Vous savez maintenant qu’en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons plus en détail ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts... pour ne pas se tromper

Alors, commençons par définir les concepts. Qu'en penses-tu, qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple : c'est le nombre qui est « au sommet » de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple, c'est le numéro qui se trouve en bas, à la base.

Voici un dessin pour faire bonne mesure.

Eh bien, de manière générale, afin de généraliser et de mieux mémoriser... Un degré avec une base « » et un exposant « » se lit comme « au degré » et s'écrit comme suit :

Puissance d'un nombre à exposant naturel

Vous l’avez probablement déjà deviné : parce que l’exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que c'est entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont les nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste d'objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro virgule cinq ». Ce ne sont pas des nombres naturels. À votre avis, de quels chiffres s'agit-il ?

Les nombres comme « moins cinq », « moins six », « moins sept » font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et les nombres. Zéro est facile à comprendre : c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs (« moins ») ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer les dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont des nombres rationnels. Comment sont-ils apparus, à votre avis ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d’années, nos ancêtres ont découvert qu’il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils ont inventé nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? En bref, c'est une fraction décimale infinie. Par exemple, si vous divisez la circonférence d’un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Résumé:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

1. Tout nombre à la puissance premier est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même :
3. Cuber un nombre signifie le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés des diplômes

D’où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que c'est Et ?

Prieuré A :

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C’est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux facteurs, et le résultat est des multiplicateurs.

Mais par définition, il s'agit d'une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , ce qu'il fallait prouver.

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution: Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons !
On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

seulement pour le produit des puissances !

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

2. c'est tout la puissance d'un nombre

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total :

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance à base négative

Jusqu’à présent, nous avons seulement discuté de ce que devrait être l’exposant.

Mais quelle devrait être la base ?

Dans les pouvoirs de indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre. En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même.

Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des puissances de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e année : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Avez-vous réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples à pratiquer

Analyse de la solution 6 exemples

Si nous ignorons la huitième puissance, que voyons-nous ici ? Souvenons-nous du programme de 7e année. Alors, tu te souviens ? C’est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés ! On a:

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. S'ils étaient inversés, la règle pourrait s'appliquer.

Mais comment faire ça ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Entier on appelle les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe " ") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent du naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Examinons maintenant de nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, demandons-nous : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérons un certain degré avec une base. Prenons par exemple et multipliez par :

Nous avons donc multiplié le nombre par et nous avons obtenu la même chose - . Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, continuez. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d’un autre côté, comme tout nombre à la puissance zéro, il doit être égal. Alors, dans quelle mesure cela est-il vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s’impliquer et ont refusé d’élever zéro à la puissance zéro. Autrement dit, nous ne pouvons plus seulement diviser par zéro, mais également l'élever à la puissance zéro.

Allons-nous en. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent également les nombres négatifs. Pour comprendre ce qu’est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multipliez un nombre normal par le même nombre pour obtenir une puissance négative :

À partir de là, il est facile d’exprimer ce que vous recherchez :

Étendons maintenant la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre de puissance négative est l’inverse du même nombre de puissance positive. Mais en même temps La base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. L'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

II. Tout nombre à la puissance zéro est égal à un : .

III. Un nombre non égal à zéro à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive : .

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solutions indépendantes :

Analyse des problèmes pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen d'État unifié, il faut se préparer à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leurs solutions si vous ne parvenez pas à les résoudre et vous apprendrez à les gérer facilement lors de l'examen !

Continuons à élargir la gamme de nombres « appropriés » comme exposant.

Considérons maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté comme une fraction, où et sont des nombres entiers, et.

Pour comprendre ce que c'est "degré fractionnaire", considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "degré à diplôme":

Quel nombre faut-il élever à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ième degré.

Je vous le rappelle : la racine de la puissance ième d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la puissance ième est l'opération inverse d'élévation à une puissance : .

Il se trouve que. Bien évidemment, ce cas particulier peut être étendu : .

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir en utilisant la règle puissance-puissance :

Mais la base peut-elle être n’importe quel nombre ? Après tout, la racine de tous les nombres ne peut pas être extraite.

Aucun!

Rappelons la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. Autrement dit, il est impossible d’extraire ne serait-ce que les racines de nombres négatifs !

Cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a aucun sens.

Et l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté sous la forme d'autres fractions réductibles, par exemple, ou.

Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, alors vous pouvez l'écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur différemment, nous aurons à nouveau des ennuis : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons uniquement un exposant de base positif avec un exposant fractionnaire.

Donc si:

• - entier naturel;
• - entier ;

Exemples:

Les exposants rationnels sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples à mettre en pratique

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, vient maintenant la partie la plus difficile. Maintenant, nous allons le découvrir degré avec exposant irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception

Après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés par une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...nombre à la puissance zéro- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain "nombre vierge" , à savoir un nombre ;

...degré entier négatif- c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel.

Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il ne vous rappelle rien ? Rappelons la formule de multiplication abrégée de la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Répondre: .

2. Nous réduisons les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme : , où :

• — base de diplômes;
• - exposant.

Diplôme avec indicateur naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré avec un exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif nombre:

Construction au degré zéro:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, n'importe quel nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif nombre:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

Exemples:

Puissance avec exposant rationnel

• - entier naturel;
• - entier ;

Exemples:

Propriétés des diplômes

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d’où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Prieuré A :

Ainsi, à droite de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons. On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour le produit des puissances!

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Regroupons ce travail comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pourrez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance avec une base négative.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de ce à quoi cela devrait ressembler indice degrés. Mais quelle devrait être la base ? Dans les pouvoirs de naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même. Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des puissances de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e année : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par (), on obtient - .

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Les règles simples suivantes peuvent être formulées :

1. même diplôme, - nombre positif.
2. Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
3. Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
4. Zéro à n’importe quelle puissance est égal à zéro.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Avez-vous réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir ce qui est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, cela devient clair, ce qui signifie que la base est inférieure à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des diplômes et les divisons les uns par les autres, les divisons en paires et obtenons :

Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les expressions :

Solutions :

Si nous ignorons la huitième puissance, que voyons-nous ici ? Souvenons-nous du programme de 7e année. Alors, tu te souviens ? C’est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés !

On a:

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. Si elles étaient inversées, la règle 3 pourrait s’appliquer. Mais comment ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant, cela donne ceci :

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : Tous les signes changent en même temps ! Vous ne pouvez pas le remplacer en modifiant un seul inconvénient que nous n’aimons pas !

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d’habitude : développons la notion de diplôme et simplifions-la :

Eh bien, ouvrons maintenant les parenthèses. Combien y a-t-il de lettres au total ? fois par multiplicateurs - qu'est-ce que cela vous rappelle ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: Il n'y avait là que des multiplicateurs. Autrement dit, il s'agit, par définition, d'une puissance d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Diplôme avec exposant irrationnel

En plus des informations sur les diplômes pour le niveau moyen, nous analyserons le diplôme avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers. Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre à la puissance zéro est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain « numéro vierge », à savoir un numéro ; un degré avec un exposant entier négatif - c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d’imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d’imaginer un espace à 4 dimensions). Il s’agit plutôt d’un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre la notion de degré à tout l’espace des nombres.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

Alors, que faisons-nous si nous voyons un exposant irrationnel ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

1)

2)

3)

Réponses:

1. Rappelons la formule de différence des carrés. Répondre: .
2. Nous réduisons les fractions à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple : .
3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULES DE BASE

Degré appelé une expression de la forme : , où :

Diplôme avec un exposant entier

un degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Puissance avec exposant rationnel

degré dont l'exposant est constitué de nombres négatifs et fractionnaires.

Diplôme avec exposant irrationnel

un degré dont l'exposant est une fraction décimale infinie ou une racine.

Propriétés des diplômes

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif porté à même diplôme, - nombre positif.
• Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
• Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
• Zéro est égal à n’importe quelle puissance.
• Tout nombre à la puissance zéro est égal.

MAINTENANT VOUS AVEZ LE MOT...

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Et bonne chance pour tes examens !

Chaque opération arithmétique devient parfois trop lourde à écrire et on essaie de la simplifier. C'était autrefois le cas avec l'opération d'addition. Les gens devaient effectuer des additions répétées du même type, par exemple pour calculer le coût de cent tapis persans, dont le coût est de 3 pièces d'or chacun. 3+3+3+…+3 = 300. En raison de sa lourdeur, il a été décidé de raccourcir la notation à 3 * 100 = 300. En fait, la notation « trois fois cent » signifie qu'il faut prendre un cent trois et additionnez-les. La multiplication s'est répandue et a gagné en popularité. Mais le monde ne reste pas immobile et au Moyen Âge, le besoin s'est fait sentir de procéder à des multiplications répétées du même type. Je me souviens d'une vieille énigme indienne sur un sage qui demandait des grains de blé dans les quantités suivantes en récompense du travail accompli : pour la première case de l'échiquier, il demandait un grain, pour le deuxième - deux, pour le troisième - quatre, pour le cinquième - huit, et ainsi de suite. C'est ainsi qu'apparut la première multiplication de puissances, car le nombre de grains était égal à deux à la puissance du nombre de cellule. Par exemple, sur la dernière cellule, il y aurait 2*2*2*...*2 = 2^63 grains, ce qui équivaut à un nombre de 18 caractères, ce qui est en fait le sens de l'énigme.

L'opération d'exponentiation s'est répandue assez rapidement, et la nécessité de procéder à des additions, soustractions, divisions et multiplications de puissances s'est également rapidement fait sentir. Ce dernier mérite d’être examiné plus en détail. Les formules pour ajouter des puissances sont simples et faciles à retenir. De plus, il est très facile de comprendre d'où ils viennent si l'opération de puissance est remplacée par la multiplication. Mais vous devez d’abord comprendre une terminologie de base. L'expression a^b (lire « a à la puissance b ») signifie que le nombre a doit être multiplié par lui-même b fois, « a » étant appelé la base de la puissance et « b » l'exposant de la puissance. Si les bases des diplômes sont les mêmes, alors les formules sont dérivées tout simplement. Exemple spécifique : recherchez la valeur de l'expression 2^3 * 2^4. Pour savoir ce qui doit se passer, vous devez rechercher la réponse sur l'ordinateur avant de lancer la solution. En saisissant cette expression dans n'importe quelle calculatrice en ligne, moteur de recherche, en tapant « multiplier les puissances avec des bases différentes et identiques » ou un logiciel mathématique, le résultat sera 128. Écrivons maintenant cette expression : 2^3 = 2*2*2, et 2^4 = 2 *2*2*2. Il s'avère que 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Il s'avère que le produit des puissances de même base est égal à la base élevée à une puissance égale à la somme des deux puissances précédentes.

On pourrait penser qu’il s’agit d’un accident, mais non : tout autre exemple ne peut que confirmer cette règle. Ainsi, en général, la formule ressemble à ceci : a^n * a^m = a^(n+m) . Il existe également une règle selon laquelle tout nombre à la puissance zéro est égal à un. Ici, nous devons rappeler la règle des puissances négatives : a^(-n) = 1 / a^n. Autrement dit, si 2^3 = 8, alors 2^(-3) = 1/8. En utilisant cette règle, vous pouvez prouver la validité de l'égalité a^0 = 1 : a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) peut être réduit et il en reste un. De là découle la règle selon laquelle le quotient des puissances ayant les mêmes bases est égal à cette base dans un degré égal au quotient du dividende et du diviseur : a^n : a^m = a^(n-m) . Exemple : simplifiez l'expression 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 : 2^(-2) . La multiplication est une opération commutative, vous devez donc d'abord additionner les exposants de multiplication : 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Ensuite, vous devez gérer la division par une puissance négative. Il faut soustraire l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende : 2^1 : 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Il s'avère que l'opération de division par un degré négatif est identique à l'opération de multiplication par un exposant positif similaire. La réponse finale est donc 8.

Il existe des exemples où une multiplication non canonique des pouvoirs a lieu. Multiplier des pouvoirs avec des bases différentes est souvent beaucoup plus difficile, voire parfois impossible. Quelques exemples de différentes techniques possibles doivent être donnés. Exemple : simplifiez l'expression 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Évidemment, il y a une multiplication de puissances avec des bases différentes. Mais il convient de noter que toutes les bases sont des puissances de trois différentes. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. En utilisant la règle (a^n) ^m = a^(n*m) , vous devez réécrire l'expression sous une forme plus pratique : 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Réponse : 3^11. Dans les cas où il existe des bases différentes, la règle a^n * b^n = (a*b) ^n fonctionne pour des indicateurs égaux. Par exemple, 3^3 * 7^3 = 21^3. Sinon, lorsque les bases et les exposants sont différents, une multiplication complète ne peut pas être effectuée. Parfois, vous pouvez simplifier partiellement ou recourir à l'aide de la technologie informatique.

La notion de diplôme en mathématiques est introduite en 7e année du cours d'algèbre. Et par la suite, tout au long du cursus d’étude des mathématiques, ce concept est activement utilisé sous ses diverses formes. Les diplômes sont un sujet assez difficile, nécessitant la mémorisation des valeurs et la capacité de compter correctement et rapidement. Pour travailler plus rapidement et mieux avec les diplômes, les mathématiciens ont mis au point des propriétés de diplôme. Ils aident à réduire les calculs volumineux, à convertir dans une certaine mesure un énorme exemple en un seul nombre. Il n'y a pas tellement de propriétés et elles sont toutes faciles à retenir et à appliquer dans la pratique. Par conséquent, l’article traite des propriétés de base du diplôme, ainsi que des domaines dans lesquels elles sont appliquées.

Propriétés du diplôme

Nous examinerons 12 propriétés des degrés, y compris les propriétés des degrés ayant les mêmes bases, et donnerons un exemple pour chaque propriété. Chacune de ces propriétés vous aidera à résoudre les problèmes de degrés plus rapidement et vous évitera également de nombreuses erreurs de calcul.

1ère propriété.

Beaucoup de gens oublient très souvent cette propriété et font des erreurs, représentant un nombre à la puissance zéro comme zéro.

2ème propriété.

3ème propriété.

Il faut rappeler que cette propriété ne peut être utilisée que pour multiplier des nombres ; elle ne fonctionne pas avec une somme ! Et il ne faut pas oublier que cette propriété et les suivantes ne s'appliquent qu'à des puissances ayant les mêmes bases.

4ème propriété.

Si un nombre du dénominateur est élevé à une puissance négative, alors lors de la soustraction, le degré du dénominateur est pris entre parenthèses pour changer correctement le signe dans les calculs ultérieurs.

La propriété ne fonctionne que lors de la division, elle ne s'applique pas lors de la soustraction !

5ème propriété.

6ème propriété.

Cette propriété peut également s’appliquer dans le sens inverse. Une unité divisée par un nombre dans une certaine mesure est ce nombre à la puissance moins.

7ème propriété.

Cette propriété ne peut pas être appliquée à la somme et à la différence ! L'augmentation d'une somme ou d'une différence en puissance utilise des formules de multiplication abrégées plutôt que des propriétés de puissance.

8ème propriété.

9ème propriété.

Cette propriété fonctionne pour toute puissance fractionnaire de numérateur égal à un, la formule sera la même, seule la puissance de la racine changera en fonction du dénominateur de la puissance.

Cette propriété est aussi souvent utilisée à l’envers. La racine de n’importe quelle puissance d’un nombre peut être représentée comme ce nombre à la puissance un divisé par la puissance de la racine. Cette propriété est très utile dans les cas où la racine d’un nombre ne peut être extraite.

10ème propriété.

Cette propriété ne fonctionne pas seulement avec les racines carrées et les puissances secondes. Si le degré de la racine et le degré d'élévation de cette racine coïncident, alors la réponse sera une expression radicale.

11ème propriété.

Vous devez être capable de voir cette propriété à temps lors de sa résolution afin de vous épargner d'énormes calculs.

12ème propriété.

Chacune de ces propriétés vous rencontrera plus d'une fois dans les tâches, elle peut être donnée sous sa forme pure, ou elle peut nécessiter certaines transformations et l'utilisation d'autres formules. Par conséquent, pour prendre la bonne décision, il ne suffit pas de connaître uniquement les propriétés : il faut mettre en pratique et intégrer d’autres connaissances mathématiques.

Application des diplômes et de leurs propriétés

Ils sont activement utilisés en algèbre et en géométrie. Les diplômes en mathématiques occupent une place distincte et importante. Avec leur aide, les équations et inégalités exponentielles sont résolues, et les équations et exemples liés à d'autres branches des mathématiques sont souvent compliqués par des puissances. Les puissances permettent d'éviter des calculs longs et volumineux ; les puissances sont plus faciles à abréger et à calculer. Mais pour travailler avec de grandes puissances, ou avec des puissances de grands nombres, vous devez non seulement connaître les propriétés de la puissance, mais aussi travailler avec compétence avec les bases, être capable de les étendre pour faciliter votre tâche. Pour plus de commodité, vous devez également connaître la signification des nombres élevés à une puissance. Cela réduira votre temps de résolution, éliminant ainsi le besoin de longs calculs.

La notion de degré joue un rôle particulier dans les logarithmes. Puisque le logarithme, par essence, est la puissance d’un nombre.

Les formules de multiplication abrégées sont un autre exemple d'utilisation des pouvoirs. Les propriétés des degrés ne peuvent pas y être utilisées, elles sont développées selon des règles spéciales, mais dans chaque formule de multiplication abrégée, il y a invariablement des degrés.

Les diplômes sont également activement utilisés en physique et en informatique. Toutes les conversions vers le système SI sont effectuées à l'aide de puissances, et à l'avenir, lors de la résolution de problèmes, les propriétés de la puissance sont utilisées. En informatique, les puissances de deux sont activement utilisées pour faciliter le comptage et simplifier la perception des nombres. D'autres calculs de conversion d'unités de mesure ou de calculs de problèmes, tout comme en physique, s'effectuent en utilisant les propriétés des degrés.

Les degrés sont également très utiles en astronomie, où l'on voit rarement l'utilisation des propriétés d'un degré, mais les degrés eux-mêmes sont activement utilisés pour raccourcir la notation de diverses quantités et distances.

Les degrés sont également utilisés dans la vie quotidienne, pour calculer des superficies, des volumes et des distances.

Les diplômes sont utilisés pour enregistrer de très grandes et de très petites quantités dans n’importe quel domaine scientifique.

Équations exponentielles et inégalités

Les propriétés des degrés occupent une place particulière précisément dans les équations exponentielles et les inégalités. Ces tâches sont très courantes, aussi bien dans les cours scolaires que lors des examens. Tous sont résolus en appliquant les propriétés du degré. L'inconnue se trouve toujours dans le degré lui-même, donc connaître toutes les propriétés, résoudre une telle équation ou inégalité n'est pas difficile.

Dans la dernière leçon vidéo, nous avons appris que le degré d'une certaine base est une expression qui représente le produit de la base par elle-même, pris en quantité égale à l'exposant. Étudions maintenant quelques-unes des propriétés et opérations les plus importantes des puissances.

Par exemple, multiplions deux puissances différentes avec la même base :

Présentons ce travail dans son intégralité :

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Après avoir calculé la valeur de cette expression, nous obtenons le nombre 32. Par contre, comme le montre le même exemple, 32 peut être représenté comme le produit de la même base (deux), prise 5 fois. Et en effet, si vous le comptez, alors :

Ainsi, nous pouvons conclure avec certitude que :

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Cette règle fonctionne avec succès pour tous les indicateurs et pour toutes les raisons. Cette propriété de multiplication de puissance découle de la règle selon laquelle le sens des expressions est préservé lors des transformations dans un produit. Pour toute base a, le produit de deux expressions (a)x et (a)y est égal à a(x + y). En d’autres termes, lorsque des expressions avec la même base sont produites, le monôme résultant a un degré total formé en additionnant les degrés de la première et de la deuxième expressions.

La règle présentée fonctionne également très bien lors de la multiplication de plusieurs expressions. La condition principale est que tout le monde ait les mêmes bases. Par exemple:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Il est impossible d’additionner des degrés, et même de mener des actions conjointes de pouvoir avec deux éléments d’une expression si leurs bases sont différentes.
Comme le montre notre vidéo, en raison de la similitude des processus de multiplication et de division, les règles d'ajout de puissances dans un produit sont parfaitement transférées à la procédure de division. Considérez cet exemple :

Transformons l'expression terme par terme dans sa forme complète et réduisons les mêmes éléments dans le dividende et le diviseur :

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Le résultat final de cet exemple n’est pas si intéressant, car déjà en train de le résoudre, il est clair que la valeur de l’expression est égale au carré de deux. Et c’est deux qu’on obtient en soustrayant le degré de la deuxième expression du degré de la première.

Pour déterminer le degré du quotient, il faut soustraire le degré du diviseur du degré du dividende. La règle fonctionne avec la même base pour toutes ses valeurs et pour tous les pouvoirs naturels. Sous forme d'abstraction nous avons :

(a) x / (a) y = (a) x - y

De la règle de division de bases identiques par degrés, découle la définition du degré zéro. Évidemment, l’expression suivante ressemble à :

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

En revanche, si on fait la division de manière plus visuelle, on obtient :

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Lors de la réduction de tous les éléments visibles d'une fraction, l'expression 1/1 est toujours obtenue, c'est-à-dire un. Par conséquent, il est généralement admis que toute base élevée à la puissance zéro est égale à un :

Quelle que soit la valeur de a.

Cependant, il serait absurde que 0 (qui donne toujours 0 pour toute multiplication) soit d'une manière ou d'une autre égal à un, donc une expression de la forme (0) 0 (zéro à la puissance zéro) n'a tout simplement pas de sens, et la formule ( a) 0 = 1 ajouter une condition : « si a n'est pas égal à 0. »

Résolvons l'exercice. Trouvons le sens de l'expression :

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Puisque la base est la même partout et égale à 34, la valeur finale aura la même base avec un degré (selon les règles ci-dessus) :

Autrement dit:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Réponse : l'expression est égale à un.