Équations du second degré. Discriminant. Solution, exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Types d'équations quadratiques

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? À quoi cela ressemble-t-il? En terme équation quadratique le mot clé est "carré". Cela signifie que dans l'équation Nécessairement il doit y avoir un x au carré. En plus de cela, l'équation peut (ou non !) contenir uniquement X (à la première puissance) et juste un nombre. (Membre gratuit). Et il ne devrait pas y avoir de X à une puissance supérieure à deux.

En termes mathématiques, une équation quadratique est une équation de la forme :

Ici a, b et c- quelques chiffres. b et c- absolument aucun, mais UN– autre chose que zéro. Par exemple:

Ici UN =1; b = 3; c = -4

Ici UN =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici UN =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous comprenez...

Dans ces équations quadratiques de gauche, il y a ensemble complet membres. X au carré avec un coefficient UN, x à la puissance première avec coefficient b Et membres gratuits s.

De telles équations quadratiques sont appelées complet.

Et si b= 0, qu'obtient-on ? Nous avons X sera perdu à la première puissance. Cela se produit lorsqu'il est multiplié par zéro.) Il s'avère, par exemple :

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Et ainsi de suite. Et si les deux coefficients b Et c sont égaux à zéro, alors c’est encore plus simple :

2x2 =0,

-0,3x2 =0

De telles équations dans lesquelles quelque chose manque sont appelées équations quadratiques incomplètes. Ce qui est tout à fait logique.) Veuillez noter que x au carré est présent dans toutes les équations.

Au fait, pourquoi UN ne peut pas être égal à zéro ? Et tu remplaces à la place UN zéro.) Notre X au carré disparaîtra ! L'équation deviendra linéaire. Et la solution est complètement différente...

C'est tous les types principaux équations du second degré. Complet et incomplet.

Résolution d'équations quadratiques.

Résolution d'équations quadratiques complètes.

Les équations quadratiques sont faciles à résoudre. Selon des formules et des règles claires et simples. Dans un premier temps, il est nécessaire de réduire l'équation donnée à vue générale, c'est à dire. au formulaire :

Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape.) L'essentiel est de déterminer correctement tous les coefficients, UN, b Et c.

La formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant. Mais plus sur lui ci-dessous. Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, on utilise seulement a, b et c. Ceux. coefficients d’une équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c Nous calculons dans cette formule. Remplaçons avec vos propres signes ! Par exemple, dans l'équation :

UN =1; b = 3; c= -4. Ici, nous l'écrivons :

L'exemple est presque résolu :

C'est la réponse.

Tout est très simple. Et quoi, tu penses qu’il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes a, b et c. Ou plutôt, pas avec leurs signes (où se tromper ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ce qui aide ici, c'est un enregistrement détaillé de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, fais ça!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici un = -6; b = -5; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses du premier coup.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra environ 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire. Et le nombre d'erreurs diminuera fortement. On écrit donc en détail, avec toutes les parenthèses et signes :

Cela semble incroyablement difficile à rédiger avec autant de soin. Mais il semble que ce soit le cas. Essaie. Eh bien, ou choisissez. Quoi de mieux, vite ou bien ? En plus, je te rendrai heureux. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout écrire avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez les techniques pratiques décrites ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d’inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Mais souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

L'avez-vous reconnu ?) Oui ! Ce équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes.

Ils peuvent également être résolus à l’aide d’une formule générale. Il vous suffit de bien comprendre à quoi ils sont égaux ici. a, b et c.

L'as-tu compris? Dans le premier exemple une = 1 ; b = -4 ; UN c? Il n'y est pas du tout ! Eh bien oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est tout. Remplacez plutôt zéro dans la formule c, et nous réussirons. Idem avec le deuxième exemple. Seulement nous n'avons pas zéro ici Avec, UN b !

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus simplement. Sans aucune formule. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire du côté gauche ? Vous pouvez retirer X des parenthèses ! Sortons-le.

Et qu'en est-il de cela ? Et le fait que le produit est égal à zéro si et seulement si l’un des facteurs est égal à zéro ! Vous ne me croyez pas ? D'accord, alors trouvez deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça...
On peut donc écrire en toute confiance : x1 = 0, x2 = 4.

Tous. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple que d'utiliser la formule générale. Permettez-moi, en passant, de noter quel X sera le premier et lequel sera le second - absolument indifférent. Il est pratique d'écrire dans l'ordre, x1- ce qui est plus petit et x2- ce qui est plus grand.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On a:

Il ne reste plus qu’à extraire la racine de 9, et c’est tout. Il s'avérera :

Aussi deux racines . x1 = -3, x2 = 3.

C’est ainsi que sont résolues toutes les équations quadratiques incomplètes. Soit en plaçant X entre parenthèses, soit en déplaçant simplement le nombre vers la droite puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine de X, ce qui est en quelque sorte incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à sortir des parenthèses...

Discriminant. Formule discriminante.

mot magique discriminant ! Rarement un lycéen n’a pas entendu ce mot ! L’expression « nous résolvons grâce à un discriminant » inspire confiance et rassure. Car il ne faut pas s’attendre à des ruses de la part du discriminant ! C'est simple et sans problème à utiliser.) Je vous rappelle la formule la plus générale pour résoudre n'importe lequeléquations du second degré:

L'expression sous le signe racine est appelée discriminant. Généralement, le discriminant est désigné par la lettre D. Formule discriminante :

D = b 2 - 4ac

Et qu’y a-t-il de si remarquable dans cette expression ? Pourquoi méritait-il un nom spécial ? Quoi le sens du discriminant ? Après tout -b, ou 2a dans cette formule, ils ne l'appellent pas spécifiquement... Des lettres et des lettres.

Voici le truc. Lors de la résolution d'une équation quadratique à l'aide de cette formule, il est possible seulement trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que la racine peut en être extraite. Que la racine soit bien ou mal extraite est une autre question. Ce qui est important, c'est ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Discriminant égal à zéro. Vous aurez alors une solution. Puisque ajouter ou soustraire zéro au numérateur ne change rien. À proprement parler, il ne s’agit pas d’une seule racine, mais deux identiques. Mais, dans une version simplifiée, il est d'usage de parler de une solution.

3. Le discriminant est négatif. La racine carrée d’un nombre négatif ne peut pas être prise. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Honnêtement parlant, quand solution simpleéquations quadratiques, la notion de discriminant n'est pas particulièrement requise. Nous substituons les valeurs des coefficients dans la formule et comptons. Tout y arrive tout seul, deux racines, une et aucune. Cependant, en résolvant plus tâches difficiles, sans connaissance sens et formule du discriminant pas assez. Surtout dans les équations avec paramètres. De telles équations sont de la voltige pour l'examen d'État et l'examen d'État unifié !)

Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont vous vous souvenez. Ou vous avez appris, ce qui n'est pas mal non plus.) Vous savez déterminer correctement a, b et c. Savez-vous comment? attentivement remplacez-les dans la formule racine et attentivement compter le résultat. Avez-vous compris cela mot-clé Ici - attentivement ?

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs. Les mêmes qui sont dus à l'inattention... Pour lesquels cela devient plus tard douloureux et offensant...

Premier rendez-vous . Ne soyez pas paresseux avant de résoudre une équation quadratique et de la mettre sous forme standard. Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c. Construisez correctement l’exemple. D'abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore une fois, ne vous précipitez pas ! Un moins devant un X au carré peut vraiment vous contrarier. C'est facile d'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple. Décider vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.

Réception deuxième. Vérifiez les racines ! D'après le théorème de Vieta. N'ayez pas peur, je vous explique tout ! Vérification dernière chose l'équation. Ceux. celui que nous avons utilisé pour écrire la formule racine. Si (comme dans cet exemple) le coefficient une = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Le résultat devrait être un membre libre, c'est-à-dire dans notre cas -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec ton signe . Si ça ne marche pas, c’est qu’ils ont déjà fait une erreur quelque part. Recherchez l'erreur.

Si cela fonctionne, vous devez ajouter les racines. Dernière et dernière vérification. Le coefficient doit être b Avec opposé familier. Dans notre cas -1+2 = +1. Un coefficient b, qui est avant le X, est égal à -1. Donc tout est correct !
C'est dommage que cela ne soit si simple que pour des exemples où x au carré est pur, avec un coefficient une = 1. Mais vérifiez au moins de telles équations ! Il y aura de moins en moins d'erreurs.

Troisième réception . Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par dénominateur commun, comme décrit dans la leçon « Comment résoudre des équations ? Transformations identiques ». Lorsque vous travaillez avec des fractions, des erreurs continuent de s'infiltrer pour une raison quelconque...

À propos, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! Il est la.

Afin de ne pas se tromper avec les moins, on multiplie l'équation par -1. On a:

C'est tout! Résoudre est un plaisir !

Alors, résumons le sujet.

Conseils pratiques:

1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant X au carré, on l'élimine en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur correspondant.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée à l’aide du théorème de Vieta. Fais-le!

Maintenant, nous pouvons décider.)

Résoudre des équations :

8x2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Réponses (en désarroi) :

x1 = 0
x2 = 5

x 1,2 =2

x1 = 2
x2 = -0,5

x - n'importe quel nombre

x1 = -3
x2 = 3

aucune solution

x1 = 0,25
x2 = 0,5

Est-ce que tout rentre ? Super! Les équations quadratiques ne sont pas un casse-tête. Les trois premiers ont fonctionné, mais pas les autres ? Alors le problème ne vient pas des équations quadratiques. Le problème réside dans les transformations identiques des équations. Jetez un oeil au lien, c'est utile.

Ça ne marche pas vraiment ? Ou ça ne marche pas du tout ? Alors vous serez aidé par l’article 555. Tous ces exemples y sont détaillés. Montré principal erreurs dans la solution. Bien entendu, on parle aussi de l'utilisation de transformations identiques dans la solution différentes équations. Aide beaucoup !

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

L'utilisation d'équations est répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, construction de structures et même dans le sport. L’homme utilisait des équations dans l’Antiquité et depuis lors, leur utilisation n’a fait que croître. Le discriminant vous permet de résoudre n'importe quelle équation quadratique en utilisant formule générale, qui ressemble à ceci :

La formule discriminante dépend du degré du polynôme. La formule ci-dessus convient pour résoudre des équations quadratiques de la forme suivante :

Le discriminant a les propriétés suivantes que vous devez connaître :

* « D » vaut 0 lorsque le polynôme a plusieurs racines (racines égales) ;

* « D » est un polynôme symétrique par rapport aux racines du polynôme et est donc un polynôme dans ses coefficients ; de plus, les coefficients de ce polynôme sont des entiers quelle que soit l'extension dans laquelle sont prises les racines.

Disons que l'on nous donne une équation quadratique de la forme suivante :

1 équation

D'après la formule on a :

Puisque \, l’équation a 2 racines. Définissons-les :

Où puis-je résoudre une équation à l’aide d’un solveur discriminant en ligne ?

Vous pouvez résoudre l’équation sur notre site https://site. Un solveur en ligne gratuit vous permettra de résoudre l'équation en ligne n'importe quel complexité en quelques secondes. Tout ce que vous avez à faire est simplement de saisir vos données dans le solveur. Vous pouvez également regarder les instructions vidéo et découvrir comment résoudre l'équation sur notre site Web. Et si vous avez des questions, vous pouvez les poser dans notre groupe VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Rejoignez notre groupe, nous sommes toujours heureux de vous aider.

Équation quadratique - facile à résoudre ! *Ci-après dénommé « KU ». Mes amis, il semblerait qu'il n'y ait rien de plus simple en mathématiques que de résoudre une telle équation. Mais quelque chose m'a dit que beaucoup de gens ont des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions à la demande Yandex donne par mois. Voici ce qui s'est passé, regardez :

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes par mois recherchent ces informations, qu'est-ce que cet été a à voir avec cela et que se passera-t-il parmi eux ? année scolaire— il y aura deux fois plus de demandes. Ce n'est pas surprenant, car ces enfants et filles qui ont obtenu leur diplôme il y a longtemps et se préparent à l'examen d'État unifié recherchent ces informations, et les écoliers s'efforcent également de se rafraîchir la mémoire.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux sites qui vous expliquent comment résoudre cette équation, j'ai décidé de contribuer et de publier également le matériel. Premièrement, je souhaite que les visiteurs viennent sur mon site en fonction de cette demande ; deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le sujet de « KU » sera abordé, je fournirai un lien vers cet article ; troisièmement, je vais vous en dire un peu plus sur sa solution que ce qui est habituellement indiqué sur d'autres sites. Commençons! Le contenu de l'article :

Une équation quadratique est une équation de la forme :

où les coefficients une,bet c sont des nombres arbitraires, avec a≠0.

Dans le cours scolaire, la matière est donnée en le formulaire suivant– les équations sont divisées en trois classes :

1. Ils ont deux racines.

2. *N'ayez qu'une seule racine.

3. Ils n’ont pas de racines. Il convient particulièrement de noter ici qu'ils n'ont pas de véritables racines

Comment sont calculées les racines ? Juste!

Nous calculons le discriminant. Sous ce mot « terrible » se cache une formule très simple :

Les formules racine sont les suivantes :

*Il faut connaître ces formules par cœur.

Vous pouvez immédiatement écrire et résoudre :

Exemple:

1. Si D > 0, alors l'équation a deux racines.

2. Si D = 0, alors l'équation a une racine.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation :

A cet égard, lorsque le discriminant est égal à zéro, le cours scolaire dit qu'on obtient une racine, ici elle est égale à neuf. Tout est correct, c'est vrai, mais...

Cette idée est quelque peu incorrecte. En fait, il y a deux racines. Oui, oui, ne soyez pas surpris, vous obtenez deux racines égales, et pour être mathématiquement précis, alors la réponse devrait écrire deux racines :

x 1 = 3 x 2 = 3

Mais c'est ainsi - une petite digression. À l’école, vous pouvez l’écrire et dire qu’il n’y a qu’une seule racine.

Maintenant l'exemple suivant :

Comme nous le savons, la racine d’un nombre négatif ne peut pas être prise, il n’y a donc pas de solution dans ce cas.

C'est tout le processus de décision.

Fonction quadratique.

Cela montre à quoi ressemble géométriquement la solution. Ceci est extrêmement important à comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous analyserons en détail la solution à l'inégalité quadratique).

C'est une fonction de la forme :

où x et y sont des variables

a, b, c – nombres donnés, avec a ≠ 0

Le graphique est une parabole :

Autrement dit, il s’avère que la résolution d’une équation quadratique en « y » égal à zéro on trouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Il peut y avoir deux de ces points (le discriminant est positif), un (le discriminant est zéro) et aucun (le discriminant est négatif). Détails sur fonction quadratique Vous pouvez visualiser article d'Inna Feldman.

Regardons des exemples :

Exemple 1 : Résoudre 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Réponse : x 1 = 8 x 2 = –12

*Il était possible de diviser immédiatement les côtés gauche et droit de l'équation par 2, c'est-à-dire de la simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2 : Décider x2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nous avons trouvé que x 1 = 11 et x 2 = 11

Il est permis d'écrire x = 11 dans la réponse.

Réponse : x = 11

Exemple 3 : Décider x2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de solution en nombres réels.

Réponse : pas de solution

Le discriminant est négatif. Il existe une solution !

Nous parlerons ici de la résolution de l'équation dans le cas où un discriminant négatif est obtenu. Savez-vous quelque chose sur nombres complexes? Je n'entrerai pas ici dans les détails sur pourquoi et où ils sont apparus ni sur leur rôle spécifique et leur nécessité en mathématiques ; c'est le sujet d'un grand article séparé.

Le concept d'un nombre complexe.

Un peu de théorie.

Un nombre complexe z est un nombre de la forme

z = a + bi

où a et b sont des nombres réels, i est ce qu'on appelle l'unité imaginaire.

a+bi – il s’agit d’un NUMÉRO UNIQUE, pas d’un ajout.

L'unité imaginaire est égale à la racine de moins un :

Considérons maintenant l'équation :

On obtient deux racines conjuguées.

Équation quadratique incomplète.

Considérons des cas particuliers, c'est lorsque le coefficient « b » ou « c » est égal à zéro (ou les deux sont égaux à zéro). Ils peuvent être résolus facilement sans aucun discriminant.

Cas 1. Coefficient b = 0.

L'équation devient :

Transformons :

Exemple:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cas 2. Coefficient c = 0.

L'équation devient :

Transformons et factorisons :

*Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x1 = 0x2 = 5

Cas 3. Coefficients b = 0 et c = 0.

Ici, il est clair que la solution de l’équation sera toujours x = 0.

Propriétés utiles et modèles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

UNX 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un + b+ c = 0, Que

- si pour les coefficients de l'équation UNX 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un+ c =b, Que

Ces propriétés aident à résoudre un certain type d’équation.

Exemple 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somme des cotes est de 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ce qui signifie

Exemple 2 : 2501 X 2 +2507 X+6=0

L’égalité tient un+ c =b, Moyens

Régularités des coefficients.

1. Si dans l'équation ax 2 + bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > x 1 = –une x 2 = –1/une.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x1 = –6 x2 = –1/6.

2. Si dans l'équation ax 2 – bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > X 1 = une X 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si dans l'équation. ax 2 + bx – c = 0 coefficient « b » est égal à (a 2 – 1), et coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = – une x 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Si dans l'équation ax 2 – bx – c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 – 1) et que le coefficient c est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = une x 2 = – 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta doit son nom au célèbre mathématicien français François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, nous pouvons exprimer la somme et le produit des racines d'une KU arbitraire en termes de ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Au total, le nombre 14 ne donne que 5 et 9. Ce sont des racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème présenté, vous pouvez résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques immédiatement.

Le théorème de Vieta, en plus. C'est pratique car après avoir résolu une équation quadratique de la manière habituelle (par l'intermédiaire d'un discriminant), les racines résultantes peuvent être vérifiées. Je recommande de toujours faire cela.

MODE DE TRANSPORT

Avec cette méthode, le coefficient « a » est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle méthode de « transfert ». Cette méthode est utilisée lorsque les racines de l'équation peuvent être facilement trouvées à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si UN± b+c≠ 0, alors la technique de transfert est utilisée, par exemple :

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

En utilisant le théorème de Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 = 10 x 2 = 1

Les racines résultantes de l'équation doivent être divisées par 2 (puisque les deux ont été « jetées » depuis x 2), on obtient

x1 = 5x2 = 0,5.

Quelle est la justification ? Regardez ce qui se passe.

Les discriminants des équations (1) et (2) sont égaux :

Si vous regardez les racines des équations, vous n'obtenez que des dénominateurs différents, et le résultat dépend précisément du coefficient de x 2 :

Le second (modifié) a des racines 2 fois plus grosses.

On divise donc le résultat par 2.

*Si on relance les trois, on divisera le résultat par 3, etc.

Réponse : x 1 = 5 x 2 = 0,5

Carré. ur-ie et examen d'État unifié.

Je vais vous parler brièvement de son importance - VOUS DEVEZ POUVOIR DÉCIDER rapidement et sans réfléchir, vous devez connaître par cœur les formules des racines et des discriminants. De nombreux problèmes inclus dans les tâches de l'examen d'État unifié se résument à la résolution d'une équation quadratique (y compris les équations géométriques).

Quelque chose à noter !

1. La forme d'écriture d'une équation peut être « implicite ». Par exemple, la saisie suivante est possible :

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Vous devez le mettre sous une forme standard (afin de ne pas vous tromper lors de la résolution).

2. N'oubliez pas que x est une quantité inconnue et qu'elle peut être désignée par n'importe quelle autre lettre - t, q, p, h et autres.

DANS la société moderne la capacité d'effectuer des opérations avec des équations contenant une variable au carré peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée dans la pratique dans les développements scientifiques et techniques. On en trouve des preuves dans la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des missiles. Grâce à de tels calculs, les trajectoires de mouvement des plus différents corps, y compris les objets spatiaux. Les exemples de résolution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais également dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de randonnées, compétitions sportives, dans les magasins lors des achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en ses facteurs constitutifs

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression. S'il est égal à 2, alors une telle équation est dite quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors les expressions indiquées, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être mises sous la forme lorsque le côté gauche de l'expression est constitué de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (une composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela du côté droit est égal à 0. Dans le cas où un tel polynôme manque d'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on parle d'équation quadratique incomplète. Des exemples de solutions à de tels problèmes, dans lesquels les valeurs des variables sont faciles à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l’expression semble comporter deux termes sur le côté droit, plus précisément ax 2 et bx, le moyen le plus simple de trouver x est de mettre la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). Ensuite, il devient évident que soit x=0, soit le problème revient à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par l'une des propriétés de la multiplication. La règle stipule que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l’un d’eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement de corps sous l'influence de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point pris comme origine des coordonnées. Ici la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps qui s'écoule depuis le moment où le corps se lève jusqu'au moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes de manière plus cas difficiles. Regardons des exemples de résolution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme quadratique est complet. Tout d’abord, transformons l’expression et factorisons-la. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. On a donc deux racines 8 et 25.

Des exemples de résolution d'équations quadratiques en 9e année permettent avec cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même du troisième et du quatrième ordre.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, à savoir (x+1), (x-3) et (x+ 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -1; 3.

Racine carrée

Un autre cas équation incomplète le deuxième ordre est une expression représentée dans le langage des lettres de telle manière que le côté droit est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré vers la droite, puis extrait des deux côtés de l'égalité Racine carrée. Il convient de noter que dans ce cas, l’équation a généralement deux racines. Les seules exceptions peuvent être les égalités qui ne contiennent aucun terme avec, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit s'avère négatif. DANS ce dernier cas Il n’y a aucune solution, puisque les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions à des équations quadratiques de ce type doivent être pris en compte.

Dans ce cas, les racines de l’équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calcul est apparue dans les temps anciens, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine a été largement déterminé par la nécessité de déterminer avec la plus grande précision les superficies et les périmètres des parcelles de terrain.

Nous devrions également considérer des exemples de résolution d’équations quadratiques basées sur des problèmes de ce type.

Supposons donc qu'il y ait un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez connaître la longueur, la largeur et le périmètre du terrain si vous savez que sa superficie est de 612 m2.

Pour commencer, créons d’abord l’équation nécessaire. Notons x la largeur de la zone, alors sa longueur sera (x+16). De ce qui a été écrit, il s'ensuit que l'aire est déterminée par l'expression x(x+16), qui, selon les conditions de notre problème, est 612. Cela signifie que x(x+16) = 612.

La résolution d’équations quadratiques complètes, et cette expression est exactement cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche contienne toujours deux facteurs, leur produit n’est pas du tout égal à 0, c’est pourquoi différentes méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, effectuons les transformations nécessaires, puis apparence de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu une expression sous une forme correspondant au standard spécifié précédemment, où a=1, b=16, c=-612.

Cela pourrait être un exemple de résolution d’équations quadratiques à l’aide d’un discriminant. Ici calculs nécessaires sont réalisés selon le schéma : D = b 2 - 4ac. Cette grandeur auxiliaire permet non seulement de retrouver les grandeurs recherchées dans une équation du second ordre, elle détermine la grandeur options possibles. Si D>0, il y en a deux ; pour D=0, il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est égal à : 256 - 4(-612) = 2704. Cela suggère que notre problème a une réponse. Si vous connaissez k, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option dans ce dilemme ne peut pas être une solution, car les dimensions du terrain ne peuvent pas être mesurées en quantités négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur du terrain) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18 +16=34, et le périmètre 2(34+ 18)=104(m2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons notre étude des équations quadratiques. Des exemples et des solutions détaillées de plusieurs d’entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Déplaçons tout vers la gauche de l’égalité, effectuons une transformation, c’est-à-dire que nous obtiendrons le type d’équation que l’on appelle habituellement standard et l’assimilerons à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

En ajoutant des similaires, nous déterminons le discriminant : D = 49 - 48 = 1. Cela signifie que notre équation aura deux racines. Calculons-les selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Résolvons maintenant des mystères d'un autre genre.

Voyons s'il y a des racines ici x 2 - 4x + 5 = 1 ? Pour obtenir une réponse complète, réduisons le polynôme à la forme habituelle correspondante et calculons le discriminant. Dans l’exemple ci-dessus, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation quadratique, car ce n’est pas du tout l’essence du problème. Dans ce cas, D = 16 - 20 = -4, ce qui signifie qu’il n’y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est pratique de résoudre des équations quadratiques en utilisant les formules ci-dessus et le discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n’arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Elle porte le nom de celui qui vécut au XVIe siècle en France et fit une brillante carrière grâce à ses talents mathématiques et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma remarqué par le célèbre Français était le suivant. Il a prouvé que les racines de l’équation totalisent numériquement -p=b/a et que leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant les tâches spécifiques.

3x2 + 21x-54 = 0

Pour plus de simplicité, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

Utilisons le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs variables correspondent réellement à l'expression.

Graphique et équation parabolique

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés plus tôt. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle relation, dessinée sous forme de graphique, s’appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où émergent ses branches. Si a>0, ils vont vers l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est dite graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée en abscisse aux points où la ligne graphique coupe 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées en utilisant la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b/2a. Et en substituant la valeur résultante dans l'équation originale de la fonction, vous pouvez découvrir y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole, qui appartient à l'axe des ordonnées.

L'intersection des branches d'une parabole avec l'axe des abscisses

Il existe de nombreux exemples de résolution d'équations quadratiques, mais il existe également des modèles généraux. Regardons-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si y 0 prend valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique de la parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L'inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de construire un graphique.

De l'histoire

En utilisant des équations contenant une variable carrée, autrefois, ils effectuaient non seulement des calculs mathématiques et déterminaient les aires des figures géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour réaliser de grandes découvertes dans les domaines de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit quatre siècles avant notre ère. Bien entendu, leurs calculs étaient radicalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont révélés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n’avaient aucune idée de l’existence nombres négatifs. Ils n'étaient pas non plus familiers avec d'autres subtilités que tout écolier moderne connaît.

Peut-être même avant les scientifiques de Babylone, le sage indien Baudhayama a commencé à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. Outre lui, des mathématiciens chinois s’intéressaient également autrefois à des questions similaires. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais elles ont ensuite été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.

Description bibliographique : Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Méthodes de résolution d'équations quadratiques // Jeune scientifique. 2016. N° 6.1. P. 17-20..02.2019).



Notre projet concerne les moyens de résoudre des équations quadratiques. Objectif du projet : apprendre à résoudre des équations quadratiques d'une manière non incluse dans le programme scolaire. Tâche : trouvez toutes les façons possibles de résoudre des équations quadratiques, apprenez à les utiliser vous-même et présentez ces méthodes à vos camarades de classe.

Que sont les « équations quadratiques » ?

Équation quadratique- équation de la forme hache2 + bx + c = 0, Où un, b, c- quelques chiffres ( une ≠ 0), X- inconnu.

Les nombres a, b, c sont appelés coefficients de l'équation quadratique.

• a est appelé premier coefficient ;
• b est appelé le deuxième coefficient ;
• c - membre gratuit.

Qui a été le premier à « inventer » les équations quadratiques ?

Certaines techniques algébriques permettant de résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4 000 ans dans l'ancienne Babylone. La découverte d’anciennes tablettes d’argile babyloniennes, datant entre 1800 et 1600 avant JC, constitue la première preuve de l’étude des équations quadratiques. Les mêmes tablettes contiennent des méthodes pour résoudre certains types d'équations quadratiques.

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire. comme pour le développement de l’astronomie et des mathématiques elles-mêmes.

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés. Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

Mathématiciens babyloniens du 4ème siècle avant JC. a utilisé la méthode du complément au carré pour résoudre des équations à racines positives. Vers 300 avant JC Euclide a proposé une méthode de solution géométrique plus générale. Le premier mathématicien qui a trouvé des solutions à des équations à racines négatives sous la forme d'une formule algébrique était un scientifique indien. Brahmagupta(Inde, 7ème siècle après JC).

Brahmagupta a exposé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

ax2 + bx = c, a>0

Les coefficients de cette équation peuvent également être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants en Inde. L'un des vieux livres indiens dit ce qui suit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles avec son éclat, ainsi homme instruitéclipsera sa gloire dans les assemblées publiques en proposant et en résolvant des problèmes algébriques. Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

Dans un traité algébrique Al-Khwarizmi une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax2 = bx.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ax2 = c.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ax2 = c.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax2 + c = bx.

5) « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire ax2 + bx = c.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c == ax2.

Pour Al-Khwarizmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-mukabal. Bien entendu, sa décision ne coïncide pas complètement avec la nôtre. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type, Al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens jusqu'au XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution zéro, probablement parce que dans la pratique spécifique, cela n'a pas d'importance dans les tâches. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, Al-Khwarizmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis leurs preuves géométriques.

Les formes de résolution d'équations quadratiques suivant le modèle d'Al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre de l'Abacus », écrit en 1202. mathématicien italien Léonard Fibonacci. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques résoudre des problèmes et a été le premier en Europe à introduire des nombres négatifs.

Ce livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes de ce livre ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XIVe-XVIIe siècles. Règle générale la solution d'équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x2 + bх = с pour toutes les combinaisons possibles de signes et de coefficients b, c a été formulée en Europe en 1544. M. Stiefel.

Dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique en vue générale Le Viet l'a, mais le Viet n'a reconnu que des racines positives. Mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. grâce aux efforts Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

Examinons plusieurs façons de résoudre des équations quadratiques.

Méthodes standard pour résoudre des équations quadratiques de programme scolaire:

1. Factoriser le côté gauche de l’équation.
2. Méthode de sélection d'un carré complet.
3. Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule.
4. Solution graphique d'une équation quadratique.
5. Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

Arrêtons-nous plus en détail sur la solution d'équations quadratiques réduites et non réduites à l'aide du théorème de Vieta.

Rappelons que pour résoudre les équations quadratiques ci-dessus, il suffit de trouver deux nombres dont le produit est égal au terme libre, et dont la somme est égale au deuxième coefficient de signe opposé.

Exemple.X 2 -5x+6=0

Vous devez trouver des nombres dont le produit est 6 et dont la somme est 5. Ces nombres seront 3 et 2.

Réponse : x 1 =2,x 2 =3.

Mais vous pouvez également utiliser cette méthode pour les équations dont le premier coefficient n'est pas égal à un.

Exemple.3x 2 +2x-5=0

Prenez le premier coefficient et multipliez-le par le terme libre : x 2 +2x-15=0

Les racines de cette équation seront des nombres dont le produit est égal à - 15 et dont la somme est égale à - 2. Ces nombres sont 5 et 3. Pour trouver les racines de l'équation originale, divisez les racines obtenues par le premier coefficient.

Réponse : x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Résoudre des équations à l'aide de la méthode du « lancer ».

Considérons l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, où a≠0.

En multipliant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Soit ax = y, d'où x = y/a ; on arrive alors à l'équation y 2 + by + ac = 0, équivalente à celle donnée. Nous trouvons ses racines pour 1 et 2 en utilisant le théorème de Vieta.

On obtient finalement x 1 = y 1 /a et x 2 = y 2 /a.

Avec cette méthode, le coefficient a est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle la méthode « jeter ». Cette méthode est utilisée lorsque les racines de l'équation peuvent être facilement trouvées à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Exemple.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Jetons" le coefficient 2 au terme libre et effectuons une substitution et obtenons l'équation y 2 - 11y + 30 = 0.

D'après le théorème inverse de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 ; y 2 ​​​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Réponse : x 1 =2,5 ; X 2 = 3.

7. Propriétés des coefficients d'une équation quadratique.

Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Si a+ b + c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients de l'équation est nulle), alors x 1 = 1.

2. Si a - b + c = 0, ou b = a + c, alors x 1 = - 1.

Exemple.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Puisque a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), alors x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Réponse : x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemple.132x 2 + 247x + 115 = 0

Parce que a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), alors x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Réponse : x 1 = - 1 ; X 2 =- 115/132

Il existe d'autres propriétés des coefficients d'une équation quadratique. mais leur utilisation est plus complexe.

8. Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme.

Fig 1. Nomogramme

Il s'agit d'une méthode ancienne et actuellement oubliée de résolution d'équations quadratiques, placée à la page 83 de la collection : Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.

Tableau XXII. Nomogramme pour résoudre l'équation z 2 + pz + q = 0. Ce nomogramme permet, sans résoudre une équation quadratique, de déterminer les racines de l'équation à partir de ses coefficients.

L'échelle curviligne du nomogramme est construite selon les formules (Fig. 1) :

Croire OS = p, ED = q, OE = a(le tout en cm), d'après la Fig. 1 similitudes des triangles SAN Et CDF on obtient la proportion

ce qui, après substitutions et simplifications, donne l'équation z 2 + pz + q = 0, et la lettre z désigne la marque de n’importe quel point sur une échelle courbe.

Riz. 2 Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme

Exemples.

1) Pour l'équation z 2 - 9z + 8 = 0 le nomogramme donne les racines z 1 = 8,0 et z 2 = 1,0

Réponse : 8,0 ; 1.0.

2) À l'aide d'un nomogramme, nous résolvons l'équation

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divisez les coefficients de cette équation par 2, nous obtenons l'équation z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Le nomogramme donne les racines z 1 = 4 et z 2 = 0,5.

Réponse : 4 ; 0,5.

9. Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques.

Exemple.X 2 + 10x = 39.

Dans l’original, ce problème est formulé comme suit : « Le carré et dix racines sont égaux à 39. »

Considérons un carré de côté x, des rectangles sont construits sur ses côtés de manière à ce que l'autre côté de chacun d'eux soit de 2,5, donc l'aire de chacun est de 2,5x. Le chiffre obtenu est ensuite complété par un nouveau carré ABCD, en construisant quatre carrés égaux dans les coins, le côté de chacun d'eux est de 2,5 et l'aire est de 6,25.

Riz. 3 Méthode graphique pour résoudre l'équation x 2 + 10x = 39

L'aire S du carré ABCD peut être représentée comme la somme des aires de : le carré d'origine x 2, quatre rectangles (4∙2,5x = 10x) et quatre carrés supplémentaires (6,25∙4 = 25), soit S = x 2 + 10x = 25. En remplaçant x 2 + 10x par le nombre 39, on obtient que S = 39 + 25 = 64, ce qui signifie que le côté du carré est ABCD, c'est-à-dire segment AB = 8. Pour le côté requis x du carré d'origine, nous obtenons

10. Résoudre des équations à l'aide du théorème de Bezout.

Théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme P(x) par le binôme x - α est égal à P(α) (c'est-à-dire la valeur de P(x) à x = α).

Si le nombre α est la racine du polynôme P(x), alors ce polynôme est divisible par x -α sans reste.

Exemple.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α : ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Divisez P(x) par (x-1) : (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1 = 0 ; x=1, ou x-3=0, x=3 ; Réponse : x1 =2,x2 =3.

Conclusion: La capacité de résoudre rapidement et rationnellement des équations quadratiques est simplement nécessaire pour résoudre des équations plus complexes, par exemple : équations rationnelles fractionnaires, équations diplômes supérieurs, les équations biquadratiques, et dans lycée trigonométrique, exponentielle et équations logarithmiques. Après avoir étudié toutes les méthodes trouvées pour résoudre les équations quadratiques, nous pouvons conseiller à nos camarades de classe, en plus des méthodes standards, de résoudre par la méthode de transfert (6) et de résoudre les équations en utilisant la propriété des coefficients (7), car elles sont plus accessibles à la compréhension.

Littérature:

1. Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.
2. Algèbre 8e année : manuel pour la 8e année. enseignement général institutions Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15e éd., révisée. - M. : Éducation, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école. Manuel pour les enseignants. / Éd. V.N. Plus jeune. - M. : Éducation, 1964.