Volume d'un prisme triangulaire : une formule générale et une formule pour un prisme régulier. Géométrie N.Nikitin

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PRISME DIRECT. SURFACE ET VOLUME DU PRISME DIRECT.

§ 68. PORTÉE DU PRISME DIRECT.

1. Le volume d'un prisme triangulaire droit.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver le volume d'un prisme triangulaire droit, dont l'aire de base est S et la hauteur est h= AA "= = BB" = SS "(Fig. 306).

Dessinons séparément la base du prisme, c'est-à-dire le triangle ABC (Fig. 307, a), et ajoutons-le au rectangle, pour lequel nous traçons une droite KM || passant par le sommet B || AC et des points A et C déposons les perpendiculaires AF et CE sur cette droite. On obtient le rectangle ACEF. Après avoir tracé la hauteur BD du triangle ABC, nous verrons que le rectangle ACEF s'est brisé en 4 triangles rectangles. de plus /\ TOUS = /\ BCD et /\ FAB = /\ MAUVAIS. Cela signifie que l'aire du rectangle ACEF est le double de l'aire du triangle ABC, c'est-à-dire qu'elle est égale à 2S.

A ce prisme avec la base ABC nous allons attacher des prismes avec les bases ALL et BAF et la hauteur h(Fig. 307, b). On obtient un parallélépipède rectangle de base
ACEF.

Si l'on coupe ce parallélépipède par un plan passant par les droites BD et BB", on verra que le parallélépipède rectangle est constitué de 4 prismes à bases
D, TOUS, MAUVAIS et BAF.

Les prismes de bases ВСD et ALL peuvent être combinés, puisque leurs bases sont égales ( /\ D = /\ BCE) et leurs bords latéraux sont également égaux, qui sont perpendiculaires à un plan. Cela signifie que les volumes de ces prismes sont égaux. Les volumes des prismes à bases BAD et BAF sont également égaux.

Ainsi, il s'avère que le volume d'un prisme triangulaire donné avec une base
ABC est la moitié du volume d'un parallélépipède rectangle avec une base ACEF.

On sait que le volume d'un parallélépipède rectangle est égal au produit de l'aire de sa base par la hauteur, c'est-à-dire dans ce cas il est égal à 2S h... Par conséquent, le volume de ce prisme triangulaire droit est S h.

Le volume d'un prisme triangulaire droit est égal au produit de l'aire de sa base par la hauteur.

2. Le volume d'un prisme polygonal droit.

Pour trouver le volume d'un prisme polygonal droit, par exemple un prisme pentagonal, de surface de base S et de hauteur h, nous le diviserons en prismes triangulaires (Fig. 308).

En désignant l'aire de la base des prismes triangulaires passant par S 1, S 2 et S 3, et le volume de ce prisme polygonal passant par V, on obtient :

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, ou
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Et enfin : V = S h.

De la même manière, la formule du volume d'un prisme droit avec n'importe quel polygone à sa base est dérivée.

Moyens, le volume de tout prisme droit est égal au produit de l'aire de sa base par la hauteur.

Des exercices.

1. Calculer le volume d'un prisme droit avec un parallélogramme à la base, d'après les données suivantes :

2. Calculer le volume d'un prisme droit avec un triangle à la base, d'après les données suivantes :

3. Calculez le volume d'un prisme droit ayant un triangle équilatéral à la base avec un côté de 12 cm (32 cm, 40 cm). La hauteur du prisme est de 60 cm.

4. Calculer le volume d'un prisme droit ayant un triangle rectangle à la base avec des pattes de 12 cm et 8 cm (16 cm et 7 cm ; 9 m et 6 m). La hauteur du prisme est de 0,3 m.

5. Calculez le volume d'un prisme droit avec un trapèze à la base avec des côtés parallèles de 18 cm et 14 cm et une hauteur de 7,5 cm.La hauteur du prisme est de 40 cm.

6. Calculez le volume de votre salle de classe (salle de sport, votre chambre).

7. La surface totale du cube est de 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Calculez le volume de ce cube.

8. La longueur d'une brique de construction est de 25,0 cm, sa largeur est de 12,0 cm, son épaisseur est de 6,5 cm A) Calculez son volume, b) Déterminez son poids si 1 centimètre cube de brique pèse 1,6 g.

9. Combien de morceaux de briques de construction faut-il pour construire un mur de briques plein en forme de parallélépipède rectangle de 12 m de long, 0,6 m de large et 10 m de haut ? (Dimensions des briques de l'exercice 8.)

10. La longueur d'une planche bien coupée est de 4,5 m, la largeur est de 35 cm, l'épaisseur est de 6 cm A) Calculez le volume b) Déterminez son poids si un décimètre cube de la planche pèse 0,6 kg.

11. Combien de tonnes de foin peut-on mettre dans un fenil couvert d'un toit à deux versants (Fig. 309), si le fenil mesure 12 m de long, 8 m de large, 3,5 m de haut et le faîte du toit est de 1,5 m de haut ? (La gravité spécifique du foin est de 0,2.)

12. Il est obligatoire de creuser un fossé de 0,8 km de long ; en coupe, le fossé doit avoir la forme d'un trapèze avec des bases de 0,9 m et 0,4 m, et la profondeur du fossé doit être de 0,5 m (fig. 310). Combien de mètres cubes de terrain faudra-t-il enlever ?

Type de poste : 8
Thème : Prisme

État

Dans un prisme triangulaire régulier ABCA_1B_1C_1, les côtés de la base sont 4 et les bords latéraux sont 10. Trouvez l'aire du prisme avec un plan passant par les milieux des arêtes AB, AC, A_1B_1 et A_1C_1.

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Solution

Considérez la figure suivante.

Le segment MN est la ligne médiane du triangle A_1B_1C_1, donc MN = \frac12 B_1C_1 = 2. De même, KL = \frac12BC = 2. De plus, MK = NL = 10. Cela implique que le quadrilatère MNLK est un parallélogramme. Depuis MK\parallèle AA_1, MK\perp ABC et MK\perp KL. Le quadrilatère MNLK est donc un rectangle. S_ (MNLK) = MK \ cdot KL = 10 \ cdot 2 = 20.

Réponse

Type de poste : 8
Thème : Prisme

État

Le volume d'un prisme rectangulaire régulier ABCDA_1B_1C_1D_1 est de 24. Le point K est le milieu de l'arête CC_1. Trouvez le volume de la pyramide KBCD.

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Solution

Selon la condition, KC est la hauteur de la pyramide KBCD. CC_1 est la hauteur du prisme ABCDA_1B_1C_1D_1.

Puisque K est le milieu de CC_1, alors KC = \frac12CC_1. Soit CC_1 = H, alors KC = \frac12H... Notez également que S_ (BCD) = \frac12S_ (ABCD). Puis, V_ (KBCD) = \ frac13S_ (BCD) \ cdot \ frac (H) (2) = \ frac13 \ cdot \ frac12S_ (ABCD) \ cdot \ frac (H) (2) = \ frac (1) (12) \ cdot S_ (ABCD) \ cdot H = \ frac (1) (12) V_ (ABCDA_1B_1C_1D_1). D'où, V_ (KBCD) = \ frac (1) (12) \ cdot24 = 2.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type de poste : 8
Thème : Prisme

État

Trouvez la surface latérale d'un prisme hexagonal régulier dont le côté de base est 6 et la hauteur est 8.

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Solution

L'aire de la surface latérale du prisme se trouve par la formule côté S. = P principal. · h = 6a \ cdot h, où P principal. et h est le périmètre de la base et la hauteur du prisme, respectivement, égal à 8, et a est le côté de l'hexagone régulier égal à 6. Par conséquent, S est un côté. = 6 \ cdot 6 \ cdot 8 = 288.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type de poste : 8
Thème : Prisme

État

De l'eau a été versée dans un récipient en forme de prisme triangulaire régulier. Le niveau de l'eau atteint 40 cm, à quelle hauteur sera le niveau de l'eau si elle est versée dans un autre récipient de même forme, dont le côté de la base est deux fois plus grand que celui du premier ? Exprimez votre réponse en centimètres.

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Solution

Soit a le côté de la base du premier vaisseau, alors 2a est le côté de la base du deuxième vaisseau. Par condition, le volume de liquide V dans les premier et deuxième récipients est le même. Désignons par H le niveau auquel s'est élevé le liquide dans le second vase. Puis V = \ frac12 \ cdot a ^ 2 \ cdot \ sin60 ^ (\ circ) \ cdot40 = \ frac (a ^ 2 \ sqrt3) (4) \ cdot40, et, V = \ frac ((2a) ^ 2 \ sqrt3) (4) \ cdot H. D'ici \ frac (a ^ 2 \ sqrt3) (4) \ cdot40 = \ frac ((2a) ^ 2 \ sqrt3) (4) \ cdot H, 40 = 4H, H = 10.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type de poste : 8
Thème : Prisme

État

Dans un prisme hexagonal régulier ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, toutes les arêtes sont égales à 2. Trouvez la distance entre les points A et E_1.

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Solution

Le triangle AEE_1 est rectangulaire, puisque l'arête EE_1 est perpendiculaire au plan de la base du prisme, l'angle AEE_1 sera un angle droit.

Ensuite, par le théorème de Pythagore, AE_1 ^ 2 = AE ^ 2 + EE_1 ^ 2. Trouvez AE du triangle AFE par le théorème du cosinus. Chaque coin intérieur d'un hexagone régulier est 120 ^ (\ circ). Puis AE ^ 2 = AF ^ 2 + FE ^ 2-2 \ cdot AF \ cdot FE \ cdot \ cos120 ^ (\ circ) = 2 ^ 2 + 2 ^ 2-2\cdot2\cdot2\cdot\gauche (-\frac12\droite).

Par conséquent, AE ^ 2 = 4 + 4 + 4 = 12,

AE_1 ^ 2 = 12 + 4 = 16,

AE_1 = 4.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type de poste : 8
Thème : Prisme

État

Trouvez l'aire de la surface latérale d'un prisme droit, à la base duquel se trouve un losange dont les diagonales sont égales à 4 \ sqrt5 et 8, et un bord latéral égal à 5.

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Solution

L'aire de la surface latérale d'un prisme droit se trouve par le côté de la formule S. = P principal. · h = 4a \ cdot h, où P principal. et h est le périmètre de la base et la hauteur du prisme, respectivement, égal à 5, et a est le côté du losange. Trouvez le côté du losange en utilisant le fait que les diagonales du losange ABCD sont mutuellement perpendiculaires et que le point d'intersection est divisé par deux.

Le volume du prisme. Résoudre les problèmes

La géométrie est l'outil le plus puissant pour aiguiser nos facultés mentales et nous permet de penser et de raisonner correctement.

G. Galilée

Le but de la leçon :

• enseigner la solution des problèmes de calcul du volume des prismes, généraliser et systématiser les informations disponibles aux étudiants sur le prisme et ses éléments, former la capacité à résoudre des problèmes de complexité accrue;
• développer la pensée logique, la capacité de travailler de manière indépendante, les compétences de contrôle mutuel et de maîtrise de soi, la capacité de parler et d'écouter;
• développer une habitude d'emploi constant, dans toute activité utile, favorisant la réactivité, l'assiduité, la précision.

Type de cours : cours sur l'application des connaissances, des compétences et des capacités.

Matériel : cartes de contrôle, projecteur multimédia, présentation « Leçon. Prism Volume », ordinateurs.

Pendant les cours

• Bords latéraux du prisme (Figure 2).
• La surface latérale du prisme (Fig. 2, Fig. 5).
• La hauteur du prisme (Figure 3, Figure 4).
• Prisme droit (Figure 2,3,4).
• Prisme oblique (Figure 5).
• Prisme correct (fig. 2, fig. 3).
• Coupe diagonale du prisme (Fig. 2).
• Diagonale du prisme (Figure 2).
• Coupe perpendiculaire du prisme (p3, fig4).
• L'aire de la surface latérale du prisme.
• La surface totale du prisme.
• Le volume du prisme.

1. CONTRLE DES DEVOIRS (8 min)

Échangez les cahiers, vérifiez la solution sur les diapositives et mettez une note (note 10 si le problème est résolu)

Élaborez un problème selon l'image et résolvez-le. L'élève protège le problème qu'il a compilé au tableau. Figure 6 et Figure 7.





Chapitre 2, §3
Tâche 2. Les longueurs de tous les bords d'un prisme triangulaire régulier sont égales les unes aux autres. Calculer le volume du prisme si sa surface est égale à cm 2 (Fig. 8)



Chapitre 2, §3
Problème 5. La base du prisme droit ABCA 1B 1C1 est un triangle rectangle ABC (angle ABC = 90°), AB = 4cm. Calculer le volume du prisme si le rayon du cercle décrit autour du triangle ABC est de 2,5 cm et la hauteur du prisme est de 10 cm. (Illustration 9).



Chapitre 2, §3
Problème 29 La longueur du côté de la base d'un prisme quadrangulaire régulier est de 3 cm. La diagonale du prisme forme un angle de 30° avec le plan de la face latérale. Calculer le volume du prisme (Figure 10).



2. Travail conjoint du professeur avec la classe (2-3 min.).

Objectif : résumer les résultats de l'échauffement théorique (les élèves se notent les uns les autres), étudier les moyens de résoudre des problèmes sur le sujet.

3. Exercice physique (3 min)
4. RÉSOUDRE LES PROBLÈMES (10 min)

A ce stade, l'enseignant organise un travail frontal sur la répétition de méthodes de résolution de problèmes planimétriques, de formules planimétriques. La classe est divisée en deux groupes, certains résolvent des problèmes, d'autres travaillent à l'ordinateur. Puis ils changent. Les élèves sont encouragés à résoudre toutes les questions n° 8 (oralement), n° 9 (oralement). Ensuite, ils sont divisés en groupes et passent à la résolution des problèmes n°14, n°30, n°32.

Chapitre 2, §3, pages 66-67

Problème 8. Toutes les arêtes d'un prisme triangulaire régulier sont égales les unes aux autres. Trouvez le volume du prisme si la section transversale du plan passant par le bord de la base inférieure et le milieu du côté de la base supérieure est de cm (Fig. 11).



Chapitre 2, §3, pages 66-67
Problème 9. La base d'un prisme droit est un carré et ses bords latéraux sont deux fois le côté de la base. Calculer le volume du prisme si le rayon d'un cercle circonscrit à la section du prisme par un plan passant par le côté de la base et le milieu de la nervure latérale opposée est voir (Fig. 12)



Chapitre 2, §3, pages 66-67
Devoir 14 La base d'un prisme droit est un losange dont l'une des diagonales est égale à son côté. Calculer le périmètre de la section par un plan passant par la grande diagonale de la base inférieure si le volume du prisme est égal et que toutes les faces latérales sont des carrés (Fig. 13).



Chapitre 2, §3, pages 66-67
Devoir 30.ABSA 1 1 С 1 - un prisme triangulaire régulier, dont tous les bords sont égaux, pointent vers le milieu de la nervure BB 1. Calculer le rayon du cercle inscrit dans la section du prisme par le plan AOS si le volume du prisme est égal (Fig. 14).



Chapitre 2, §3, pages 66-67
Devoir 32.Dans un prisme quadrangulaire régulier, la somme des aires des bases est égale à l'aire de la surface latérale. Calculer le volume du prisme si le diamètre d'un cercle circonscrit à la section du prisme par un plan passant par les deux sommets de la base inférieure et le sommet opposé de la base supérieure est de 6 cm (fig. 15).



Au cours de la résolution de problèmes, les élèves comparent leurs réponses avec celles présentées par l'enseignant. Ceci est un exemple de résolution de problème avec des commentaires détaillés... Travail individuel d'un enseignant avec des élèves « forts » (10 min.).

5. Travail indépendant des étudiants sur le test à l'ordinateur

1. Le côté de la base d'un prisme triangulaire régulier est égal et la hauteur est de 5. Trouver le volume du prisme.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Sélectionnez la déclaration correcte.

1) Le volume d'un prisme droit dont la base est un triangle rectangle est égal au produit de l'aire de la base par la hauteur.

2) Le volume d'un prisme triangulaire régulier est calculé par la formule V = 0,25a 2 h - où a est le côté de la base, h est la hauteur du prisme.

3) Le volume d'un prisme droit est égal à la moitié du produit de l'aire de la base et de la hauteur.

4) Le volume d'un prisme quadrangulaire régulier est calculé par la formule V = a 2 h-où a est le côté de la base, h est la hauteur du prisme.

5) Le volume d'un prisme hexagonal régulier est calculé par la formule V = 1,5a 2 h, où a est le côté de la base, h est la hauteur du prisme.

3. Le côté de base d'un prisme triangulaire régulier est égal à. Un plan est tracé à travers le côté de la base inférieure et le sommet opposé de la base supérieure, qui fait un angle de 45 ° par rapport à la base. Trouver le volume du prisme.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. La base du prisme droit est un losange dont le côté est de 13 et l'un des diogones est de 24. Trouvez le volume du prisme si la diagonale de la face latérale est de 14.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver le volume d'un prisme triangulaire droit, dont l'aire de base est S et la hauteur est h= AA' = BB' = CC' (fig. 306).

Dessinons séparément la base du prisme, c'est-à-dire le triangle ABC (Fig. 307, a), et ajoutons-le au rectangle, pour lequel nous traçons une droite KM || passant par le sommet B || AC et des points A et C déposons les perpendiculaires AF et CE sur cette droite. On obtient le rectangle ACEF. Après avoir tracé la hauteur BD du triangle ABC, nous verrons que le rectangle ACEF s'est brisé en 4 triangles rectangles. De plus, \ (\ Delta \) ALL = \ (\ Delta \) BCD et \ (\ Delta \) BAF = \ (\ Delta \) BAD. Cela signifie que l'aire du rectangle ACEF est le double de l'aire du triangle ABC, c'est-à-dire qu'elle est égale à 2S.

A ce prisme avec la base ABC nous allons attacher des prismes avec les bases ALL et BAF et la hauteur h(Fig. 307, b). On obtient un parallélépipède rectangle de base ACEF.

Si nous coupons ce parallélépipède par un plan passant par les droites BD et BB ’, nous verrons que le parallélépipède rectangle est constitué de 4 prismes de bases BCD, ALL, BAD et BAF.

Les prismes de bases BCD et ALL peuvent être alignés, car leurs bases sont égales (\ (\ Delta \) BCD = \ (\ Delta \) BCE) et leurs arêtes latérales sont également égales, qui sont perpendiculaires au même plan. Cela signifie que les volumes de ces prismes sont égaux. Les volumes des prismes à bases BAD et BAF sont également égaux.

Ainsi, il s'avère que le volume d'un prisme triangulaire donné de base ABC est la moitié du volume d'un parallélépipède rectangle de base ACEF.

On sait que le volume d'un parallélépipède rectangle est égal au produit de l'aire de sa base par la hauteur, c'est-à-dire dans ce cas il est égal à 2S h... Par conséquent, le volume de ce prisme triangulaire droit est S h.

Le volume d'un prisme triangulaire droit est égal au produit de l'aire de sa base par la hauteur.

2. Le volume d'un prisme polygonal droit.

Pour trouver le volume d'un prisme polygonal droit, par exemple un prisme pentagonal, avec une surface de base S et une hauteur h, nous le diviserons en prismes triangulaires (fig. 308).

En désignant l'aire de la base des prismes triangulaires passant par S 1, S 2 et S 3, et le volume de ce prisme polygonal passant par V, on obtient :

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, ou

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Et enfin : V = S h.

De la même manière, la formule du volume d'un prisme droit avec n'importe quel polygone à sa base est dérivée.

Moyens, le volume de tout prisme droit est égal au produit de l'aire de sa base par la hauteur.

Volume du prisme

Théorème. Le volume du prisme est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur.

Nous démontrons d'abord ce théorème pour un prisme triangulaire, puis pour un prisme polygonal.

1) Tracer (Fig. 95) à travers le bord AA 1 du prisme triangulaire ABCA 1 B 1 C 1 un plan parallèle à la face BB 1 C 1 C, et à travers le bord CC 1 - un plan parallèle à la face AA 1 B 1 B ; puis on continue les plans des deux bases du prisme jusqu'à ce qu'ils coupent les plans dessinés.

On obtient alors le parallélépipède BD 1, qui est divisé par le plan diagonal АА 1 С 1 С en deux prismes triangulaires (l'un d'eux est celui donné). Montrons que ces prismes sont de taille égale. Pour ce faire, nous dessinons une section perpendiculaire a B c d... Dans la section, vous obtenez un parallélogramme, dont la diagonale as est divisé en deux triangles égaux. Ce prisme est de taille égale à un tel prisme droit, qui a une base \ (\ Delta \) abc, et la hauteur est le bord AA 1. Un autre prisme triangulaire de taille égale est une telle ligne droite, qui a une base \ (\ Delta \) adc, et la hauteur est le bord AA 1. Mais deux prismes droits de bases égales et de hauteurs égales sont égaux (car lorsqu'ils sont insérés ils sont combinés), ce qui signifie que les prismes ABCA 1 B 1 C 1 et ADCA 1 D 1 C 1 sont de taille égale. Il s'ensuit que le volume de ce prisme est la moitié du volume du parallélépipède BD 1 ; donc, dénotant la hauteur du prisme passant par H, on obtient :

$$ V _ (\ Delta ex.) = \ Frac (S_ (ABCD) \ cdot H) (2) = \ frac (S_ (ABCD)) (2) \ cdot H = S_ (ABC) \ cdot H $$

2) Tracer à travers le bord AA 1 du prisme polygonal (Fig. 96) les plans diagonaux AA 1 C 1 C et AA 1 D 1 D.

Ensuite ce prisme sera découpé en plusieurs prismes triangulaires. La somme des volumes de ces prismes est le volume requis. Si nous désignons les aires de leurs bases par b 1 , b 2 , b 3, et la hauteur totale passant par H, on obtient :

volume du prisme polygonal = b 1H+ b 2H+ b 3H = ( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (aire ABCDE) H.

Conséquence. Si V, B et H sont des nombres exprimant dans les unités appropriées le volume, la surface de base et la hauteur du prisme, alors, d'après ce qui a été prouvé, on peut écrire :

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