Avec ce programme de mathématiques, vous pouvez résoudre une équation quadratique.

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de solution de deux manières :
- utiliser un discriminant
- en utilisant le théorème de Vieta (si possible).

De plus, la réponse est affichée comme étant exacte et non approximative.
Par exemple, pour l'équation \(81x^2-16x-1=0\), la réponse s'affiche sous la forme suivante :

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ et pas comme ça : \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie d'un polynôme quadratique, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme quadratique

N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.
Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.
De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.

Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir des fractions décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette : &
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Lors de la saisie d'une expression tu peux utiliser des parenthèses. Dans ce cas, lors de la résolution d'une équation quadratique, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2(a-1)(a+1)-(5a-10&1/2)

=0

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Un peu de théorie.

Équation quadratique et ses racines. Équations quadratiques incomplètes

Chacune des équations
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ressemble à
\(ax^2+bx+c=0, \)
où x est une variable, a, b et c sont des nombres.
Dans la première équation a = -1, b = 6 et c = 1,4, dans la seconde a = 8, b = -7 et c = 0, dans la troisième a = 1, b = 0 et c = 4/9. De telles équations sont appelées équations du second degré.

Définition.
Équation quadratique est appelée une équation de la forme ax 2 +bx+c=0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \).

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique. Le nombre a est appelé premier coefficient, le nombre b est le deuxième coefficient et le nombre c est le terme libre.

Dans chacune des équations de la forme ax 2 +bx+c=0, où \(a\neq 0\), la plus grande puissance de la variable x est un carré. D'où le nom : équation quadratique.

Notez qu'une équation quadratique est aussi appelée équation du deuxième degré, puisque son côté gauche est un polynôme du deuxième degré.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient de x 2 est égal à 1 est appelée équation quadratique donnée. Par exemple, les équations quadratiques données sont les équations
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Si dans une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 au moins un des coefficients b ou c est égal à zéro, alors une telle équation est appelée équation quadratique incomplète. Ainsi, les équations -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sont des équations quadratiques incomplètes. Dans le premier d’entre eux b=0, dans le deuxième c=0, dans le troisième b=0 et c=0.

Il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes :
1) ax 2 +c=0, où \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, où \(b \neq 0 \);
3) hache 2 =0.

Considérons la résolution d'équations de chacun de ces types.

Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +c=0 pour \(c \neq 0 \), déplacez son terme libre vers la droite et divisez les deux côtés de l'équation par a :
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Puisque \(c \neq 0 \), alors \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Si \(-\frac(c)(a)>0\), alors l'équation a deux racines.

Si \(-\frac(c)(a) Résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 avec \(b \neq 0 \) factoriser son côté gauche et obtenir l'équation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Cela signifie qu'une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 pour \(b \neq 0 \) a toujours deux racines.

Une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0 et a donc une seule racine 0.

Formule pour les racines d'une équation quadratique

Voyons maintenant comment résoudre des équations quadratiques dans lesquelles les coefficients des inconnues et le terme libre sont non nuls.

Résolvons l'équation quadratique sous forme générale et obtenons ainsi la formule des racines. Cette formule peut ensuite être utilisée pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.

Résoudre l'équation quadratique axe 2 +bx+c=0

En divisant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation quadratique réduite équivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformons cette équation en sélectionnant le carré du binôme :
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

L'expression radicale s'appelle discriminant d'une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 (« discriminant » en latin - discriminateur). Il est désigné par la lettre D, c'est-à-dire
\(D = b^2-4ac\)

Maintenant, en utilisant la notation discriminante, nous réécrivons la formule des racines de l'équation quadratique :
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), où \(D= b^2-4ac \)

Il est évident que:
1) Si D>0, alors l'équation quadratique a deux racines.
2) Si D=0, alors l'équation quadratique a une racine \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Ainsi, selon la valeur du discriminant, une équation quadratique peut avoir deux racines (pour D > 0), une racine (pour D = 0) ou n'avoir aucune racine (pour D). Lors de la résolution d'une équation quadratique en utilisant ce formule, il est conseillé de procéder de la manière suivante :
1) calculer le discriminant et le comparer à zéro ;
2) si le discriminant est positif ou égal à zéro, alors utilisez la formule racine ; si le discriminant est négatif, notez qu'il n'y a pas de racines.

Théorème de Vieta

L'équation quadratique donnée ax 2 -7x+10=0 a les racines 2 et 5. La somme des racines est 7 et le produit est 10. On voit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient pris avec l'opposé signe, et le produit des racines est égal au terme libre. Toute équation quadratique réduite ayant des racines possède cette propriété.

La somme des racines de l'équation quadratique ci-dessus est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Ceux. Le théorème de Vieta stipule que les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 ont la propriété :
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

J'espère qu'après avoir étudié cet article, vous apprendrez à trouver les racines d'une équation quadratique complète.

Grâce au discriminant, seules les équations quadratiques complètes sont résolues ; pour résoudre les équations quadratiques incomplètes, d'autres méthodes sont utilisées, que vous trouverez dans l'article « Résolution d'équations quadratiques incomplètes ».

Quelles équations quadratiques sont dites complètes ? Ce équations de la forme ax 2 + b x + c = 0, où les coefficients a, b et c ne sont pas égaux à zéro. Ainsi, pour résoudre une équation quadratique complète, nous devons calculer le discriminant D.

D = b 2 – 4ac.

En fonction de la valeur du discriminant, nous noterons la réponse.

Si le discriminant est un nombre négatif (D< 0),то корней нет.

Si le discriminant est nul, alors x = (-b)/2a. Lorsque le discriminant est un nombre positif (D > 0),

alors x 1 = (-b - √D)/2a, et x 2 = (-b + √D)/2a.

Par exemple. Résous l'équation x2– 4x + 4=0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Réponse : 2.

Résoudre l'équation 2 x2 +x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Réponse : pas de racines.

Résoudre l'équation 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Réponse : – 3,5 ; 1.

Imaginons donc la solution d’équations quadratiques complètes à l’aide du diagramme de la figure 1.

En utilisant ces formules, vous pouvez résoudre n’importe quelle équation quadratique complète. Il faut juste faire attention à l'équation a été écrite sous forme de polynôme de la forme standard

UN x2 + bx + c, sinon vous risquez de faire une erreur. Par exemple, en écrivant l’équation x + 3 + 2x 2 = 0, vous pouvez décider par erreur que

a = 1, b = 3 et c = 2. Alors

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 et alors l'équation a deux racines. Et ce n'est pas vrai. (Voir la solution à l'exemple 2 ci-dessus).

Par conséquent, si l'équation n'est pas écrite sous forme de polynôme de forme standard, l'équation quadratique complète doit d'abord être écrite sous forme de polynôme de forme standard (le monôme avec le plus grand exposant doit venir en premier, c'est-à-dire UN x2 , puis avec moins – bx et puis un membre gratuit Avec.

Lors de la résolution d'une équation quadratique réduite et d'une équation quadratique avec un coefficient pair au deuxième terme, vous pouvez utiliser d'autres formules. Faisons connaissance avec ces formules. Si dans une équation quadratique complète, le deuxième terme a un coefficient pair (b = 2k), vous pouvez alors résoudre l'équation à l'aide des formules présentées dans le diagramme de la figure 2.

Une équation quadratique complète est dite réduite si le coefficient à x2 est égal à un et l'équation prend la forme x 2 + px + q = 0. Une telle équation peut être donnée pour solution, ou elle peut être obtenue en divisant tous les coefficients de l'équation par le coefficient UN, debout à x2 .

La figure 3 montre un diagramme pour résoudre le carré réduit
équations. Regardons un exemple d'application des formules discutées dans cet article.

Exemple. Résous l'équation

3x2 + 6x – 6 = 0.

Résolvons cette équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3

Vous pouvez remarquer que le coefficient de x dans cette équation est un nombre pair, c'est-à-dire b = 6 ou b = 2k, d'où k = 3. Essayons ensuite de résoudre l'équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3. En remarquant que tous les coefficients de cette équation quadratique sont divisibles par 3 et en effectuant la division, nous obtenons l'équation quadratique réduite x 2 + 2x – 2 = 0 Résolvez cette équation en utilisant les formules de l'équation quadratique réduite
équations figure 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3.

Comme vous pouvez le voir, en résolvant cette équation à l’aide de différentes formules, nous avons obtenu la même réponse. Par conséquent, après avoir parfaitement maîtrisé les formules présentées dans le diagramme de la figure 1, vous serez toujours en mesure de résoudre n'importe quelle équation quadratique complète.

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Certains problèmes de mathématiques nécessitent la capacité de calculer la valeur de la racine carrée. Ces problèmes incluent la résolution d’équations du second ordre. Dans cet article, nous présenterons une méthode efficace pour calculer des racines carrées et l'utiliserons lorsque nous travaillerons avec des formules pour les racines d'une équation quadratique.

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

En mathématiques, ce concept correspond au symbole √. Les données historiques indiquent qu'elle a été utilisée pour la première fois en Allemagne vers la première moitié du XVIe siècle (premier ouvrage allemand sur l'algèbre de Christoph Rudolf). Les scientifiques pensent que le symbole est une lettre latine transformée r (radix signifie « racine » en latin).

La racine de tout nombre est égale à la valeur dont le carré correspond à l'expression radicale. Dans le langage mathématique, cette définition ressemblera à ceci : √x = y, si y 2 = x.

La racine d'un nombre positif (x > 0) est aussi un nombre positif (y > 0), mais si vous prenez la racine d'un nombre négatif (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Voici deux exemples simples :

√9 = 3, puisque 3 2 = 9 ; √(-9) = 3i, puisque i 2 = -1.

Formule itérative de Heron pour trouver les valeurs des racines carrées

Les exemples ci-dessus sont très simples et le calcul des racines n’est pas difficile. Des difficultés commencent à apparaître même lors de la recherche de valeurs fondamentales pour toute valeur qui ne peut pas être représentée par le carré d'un nombre naturel, par exemple √10, √11, √12, √13, sans parler du fait qu'en pratique c'est nécessaire de trouver les racines des nombres non entiers : par exemple √(12,15), √(8,5) et ainsi de suite.

Dans tous les cas ci-dessus, une méthode spéciale de calcul de la racine carrée doit être utilisée. Actuellement, plusieurs méthodes de ce type sont connues : par exemple, l'expansion en série de Taylor, la division en colonnes et quelques autres. De toutes les méthodes connues, la plus simple et la plus efficace est peut-être l'utilisation de la formule itérative de Heron, également connue sous le nom de méthode babylonienne de détermination des racines carrées (il existe des preuves que les anciens Babyloniens l'utilisaient dans leurs calculs pratiques).

Soit qu'il soit nécessaire de déterminer la valeur de √x. La formule pour trouver la racine carrée est la suivante :

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), où lim n->∞ (a n) => x.

Décryptons cette notation mathématique. Pour calculer √x, vous devez prendre un certain nombre a 0 (cela peut être arbitraire, mais pour obtenir rapidement le résultat, vous devez le choisir de manière à ce que (a 0) 2 soit aussi proche que possible de x. Remplacez-le ensuite dans le formule indiquée pour calculer la racine carrée et obtenir un nouveau nombre un 1, qui sera déjà plus proche de la valeur souhaitée. Après cela, vous devez remplacer un 1 dans l'expression et obtenir un 2. Cette procédure doit être répétée jusqu'à ce que le requis la précision est obtenue.

Un exemple d'utilisation de la formule itérative de Heron

L'algorithme décrit ci-dessus pour obtenir la racine carrée d'un nombre donné peut sembler assez compliqué et déroutant pour beaucoup, mais en réalité tout s'avère beaucoup plus simple, puisque cette formule converge très rapidement (surtout si un nombre réussi a 0 est choisi) .

Donnons un exemple simple : vous devez calculer √11. Choisissons un 0 = 3, puisque 3 2 = 9, qui est plus proche de 11 que 4 2 = 16. En substituant dans la formule, nous obtenons :

une 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333 ;

une 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668 ;

une 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Il ne sert à rien de poursuivre les calculs, puisque nous avons constaté qu'un 2 et un 3 ne commencent à différer qu'à la 5ème décimale. Ainsi, il suffisait d'appliquer la formule seulement 2 fois pour calculer √11 avec une précision de 0,0001.

De nos jours, les calculatrices et les ordinateurs sont largement utilisés pour calculer les racines, cependant, il est utile de se souvenir de la formule marquée afin de pouvoir calculer manuellement leur valeur exacte.

Équations du second ordre

Comprendre ce qu'est une racine carrée et la capacité de la calculer est utilisé pour résoudre des équations quadratiques. Ces équations sont appelées égalités à une inconnue dont la forme générale est représentée dans la figure ci-dessous.

Ici, c, b et a représentent des nombres, et a ne doit pas être égal à zéro, et les valeurs de c et b peuvent être complètement arbitraires, y compris égales à zéro.

Toutes les valeurs de x qui satisfont à l'égalité indiquée sur la figure sont appelées ses racines (ce concept ne doit pas être confondu avec la racine carrée √). Puisque l'équation considérée est du 2ème ordre (x 2), alors il ne peut y avoir plus de deux racines pour elle. Examinons plus loin dans l'article comment trouver ces racines.

Trouver les racines d'une équation quadratique (formule)

Cette méthode de résolution du type d'égalités considéré est également appelée méthode universelle, ou méthode discriminante. Il peut être utilisé pour toutes les équations quadratiques. La formule du discriminant et des racines de l’équation quadratique est la suivante :

Il montre que les racines dépendent de la valeur de chacun des trois coefficients de l'équation. De plus, le calcul de x 1 ne diffère du calcul de x 2 que par le signe devant la racine carrée. L'expression radicale, qui est égale à b 2 - 4ac, n'est rien d'autre que le discriminant de l'égalité en question. Le discriminant dans la formule des racines d’une équation quadratique joue un rôle important car il détermine le nombre et le type de solutions. Ainsi, s'il est égal à zéro, alors il n'y aura qu'une seule solution, s'il est positif, alors l'équation a deux racines réelles, et enfin, un discriminant négatif conduit à deux racines complexes x 1 et x 2.

Théorème de Vieta ou quelques propriétés des racines des équations du second ordre

A la fin du XVIe siècle, l'un des fondateurs de l'algèbre moderne, un Français, étudiant les équations du second ordre, put obtenir les propriétés de ses racines. Mathématiquement, ils peuvent s'écrire ainsi :

x 1 + x 2 = -b/a et x 1 * x 2 = c/a.

Les deux égalités peuvent être facilement obtenues par n'importe qui ; pour ce faire, il suffit d'effectuer les opérations mathématiques appropriées avec les racines obtenues grâce à la formule avec le discriminant.

La combinaison de ces deux expressions peut à juste titre être appelée la deuxième formule des racines d'une équation quadratique, qui permet de deviner ses solutions sans utiliser de discriminant. Il convient de noter ici que même si les deux expressions sont toujours valides, il n’est pratique de les utiliser pour résoudre une équation que si elle peut être factorisée.

La tâche de consolider les connaissances acquises

Résolvons un problème mathématique dans lequel nous démontrerons toutes les techniques abordées dans l'article. Les conditions du problème sont les suivantes : vous devez trouver deux nombres dont le produit est -13 et la somme est 4.

Cette condition rappelle immédiatement le théorème de Vieta ; en utilisant les formules de la somme des racines carrées et de leur produit, on écrit :

x 1 + x 2 = -b / a = 4 ;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Si nous supposons que a = 1, alors b = -4 et c = -13. Ces coefficients nous permettent de créer une équation du second ordre :

x2 - 4x - 13 = 0.

Utilisons la formule avec le discriminant et obtenons les racines suivantes :

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Autrement dit, le problème se réduisait à trouver le nombre √68. Notez que 68 = 4 * 17, alors, en utilisant la propriété racine carrée, nous obtenons : √68 = 2√17.

Utilisons maintenant la formule de racine carrée considérée : a 0 = 4, alors :

une 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125 ;

une 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Il n'est pas nécessaire de calculer un 3 puisque les valeurs trouvées ne diffèrent que de 0,02. Ainsi, √68 = 8,246. En le substituant dans la formule pour x 1,2, nous obtenons :

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 et x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Comme on peut le voir, la somme des nombres trouvés est en réalité égale à 4, mais si l'on trouve leur produit, alors il sera égal à -12,999, ce qui satisfait aux conditions du problème avec une précision de 0,001.

Formules pour les racines d'une équation quadratique. Les cas de racines réelles, multiples et complexes sont considérés. Factoriser un trinôme quadratique. Interprétation géométrique. Exemples de détermination des racines et de factorisation.

Formules de base

Considérons l'équation quadratique :
(1) .
Racines d'une équation quadratique(1) sont déterminés par les formules :
; .
Ces formules peuvent être combinées comme ceci :
.
Lorsque les racines d'une équation quadratique sont connues, alors un polynôme du deuxième degré peut être représenté comme un produit de facteurs (factorisé) :
.

Ensuite, nous supposons qu'il s'agit de nombres réels.
Considérons discriminant d'une équation quadratique:
.
Si le discriminant est positif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles différentes :
; .
Alors la factorisation du trinôme quadratique a la forme :
.
Si le discriminant est égal à zéro, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles multiples (égales) :
.
Factorisation :
.
Si le discriminant est négatif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines conjuguées complexes :
;
.
Voici l'unité imaginaire, ;
et sont les parties réelles et imaginaires des racines :
; .
Alors

.

Interprétation graphique

Si vous tracez la fonction
,
qui est une parabole, alors les points d'intersection du graphique avec l'axe seront les racines de l'équation
.
En , le graphique coupe l'axe des x (axe) en deux points.
Lorsque , le graphique touche l’axe des x en un point.
Lorsque , le graphique ne traverse pas l’axe des x.

Vous trouverez ci-dessous des exemples de tels graphiques.

Formules utiles liées à l'équation quadratique

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous effectuons des transformations et appliquons les formules (f.1) et (f.3) :




,
Où
; .

Ainsi, nous avons obtenu la formule d'un polynôme du deuxième degré sous la forme :
.
Cela montre que l'équation

effectué à
Et .
Autrement dit, et sont les racines de l'équation quadratique
.

Exemples de détermination des racines d'une équation quadratique

Exemple 1

(1.1) .

Solution

.
En comparant avec notre équation (1.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est positif, l’équation a deux racines réelles :
;
;
.

De là on obtient la factorisation du trinôme quadratique :

.

Graphique de la fonction y = 2 x 2 + 7 x + 3 coupe l'axe des x en deux points.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il croise l'axe des abscisses (axis) en deux points :
Et .
Ces points sont les racines de l'équation originale (1.1).

Répondre

;
;
.

Exemple 2

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(2.1) .

Solution

Écrivons l'équation quadratique sous forme générale :
.
En comparant avec l'équation originale (2.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est nul, l'équation a deux racines multiples (égales) :
;
.

Alors la factorisation du trinôme a la forme :
.

Graphique de la fonction y = x 2 - 4 x + 4 touche l’axe des x à un moment donné.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il touche l'axe des x (axe) en un point :
.
Ce point est la racine de l’équation originale (2.1). Car cette racine est factorisée deux fois :
,
alors une telle racine est généralement appelée un multiple. Autrement dit, ils croient qu'il existe deux racines égales :
.

Répondre

;
.

Exemple 3

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(3.1) .

Solution

Écrivons l'équation quadratique sous forme générale :
(1) .
Réécrivons l'équation originale (3.1) :
.
En comparant avec (1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Le discriminant est négatif, . Il n’y a donc pas de véritables racines.

Vous pouvez trouver des racines complexes :
;
;
.

Alors


.

Le graphique de la fonction ne traverse pas l'axe des x. Il n’y a pas de véritables racines.

Traçons la fonction
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Le graphique de cette fonction est une parabole. Il ne coupe pas l'axe des x (axe). Il n’y a donc pas de véritables racines.

Répondre

Il n’y a pas de véritables racines. Racines complexes :
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La transformation d'une équation quadratique complète en une équation incomplète ressemble à ceci (pour le cas \(b=0\)) :

Pour les cas où \(c=0\) ou lorsque les deux coefficients sont égaux à zéro, tout est similaire.

Attention, il n'est pas question que \(a\) soit égal à zéro ; il ne peut pas être égal à zéro, puisque dans ce cas il se transformera en :

Résolution d'équations quadratiques incomplètes.

Tout d'abord, vous devez comprendre qu'une équation quadratique incomplète est toujours une , et peut donc être résolue de la même manière qu'une équation quadratique ordinaire (via ). Pour ce faire, on ajoute simplement la composante manquante de l'équation avec un coefficient nul.

Exemple : Trouver les racines de l'équation \(3x^2-27=0\)
Solution :

		Nous avons une équation quadratique incomplète de coefficient \(b=0\). Autrement dit, nous pouvons écrire l’équation comme suit :
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		En fait, c’est la même équation qu’au début, mais elle peut maintenant être résolue comme une équation quadratique ordinaire. Nous écrivons d’abord les coefficients.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Calculons le discriminant en utilisant la formule \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Trouvons les racines de l'équation à l'aide des formules \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) et \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Écrivez la réponse

Répondre : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Exemple : Trouver les racines de l'équation \(-x^2+x=0\)
Solution :

		Encore une équation quadratique incomplète, mais maintenant le coefficient \(c\) est égal à zéro. Nous écrivons l'équation comme complète.