Aire de la figure sous le graphique en ligne. Intégrale définie

Comment insérer des formules mathématiques sur un site internet ?

Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est de suivre la description de l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées sur le site sous la forme d'images générées automatiquement par Wolfram Alpha. . En plus de la simplicité, cette méthode universelle contribuera à améliorer la visibilité du site dans les moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et je pense qu'il fonctionnera pour toujours), mais il est déjà moralement dépassé.

Si vous utilisez régulièrement des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax - une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche la notation mathématique dans les navigateurs Web à l'aide du balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) à l'aide d'un simple code, vous pouvez connecter rapidement un script MathJax à votre site Web, qui sera automatiquement chargé depuis un serveur distant au bon moment (liste des serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax depuis un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode - plus complexe et plus longue - accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur MathJax parent devient temporairement indisponible pour une raison quelconque, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j’ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en seulement 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.

Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux options de code extraites du site Web principal de MathJax ou de la page de documentation :

L'une de ces options de code doit être copiée et collée dans le code de votre page Web, de préférence entre les balises et/ou immédiatement après la balise. Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option surveille et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.

Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le panneau de configuration du site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez-y la première ou la deuxième version du code de téléchargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près. au début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire, puisque le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est tout. Apprenez maintenant la syntaxe de balisage de MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à insérer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site.

Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée systématiquement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.

Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous examinerons le problème typique et le plus courant du calcul de l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie. Enfin, que tous ceux qui cherchent un sens aux mathématiques supérieures le trouvent. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls devraient d’abord se familiariser avec la leçon de He.

2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer l'intégrale définie. Vous pouvez établir des relations amicales chaleureuses avec des intégrales définies sur la page Intégrale définie. Exemples de solutions. La tâche « calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie » implique toujours la construction d'un dessin, donc vos connaissances et vos compétences en dessin seront également une question importante. Au minimum, vous devez être capable de construire une ligne droite, une parabole et une hyperbole.

Commençons par un trapèze courbe. Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par le graphique d'une fonction oui = F(X), axe BŒUF et des lignes X = un; X = b.

L'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie

Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. Dans la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions, nous avons dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d’énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA. C'est-à-dire qu'une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Considérons l'intégrale définie

Intégrande

définit une courbe sur le plan (elle peut être dessinée si vous le souhaitez), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

, , , .

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le point le plus important dans la décision est la construction du dessin. De plus, le dessin doit être construit CORRECTEMENT.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord, il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et ensuite seulement – ​​les paraboles, les hyperboles et les graphiques d'autres fonctions. La technique de construction ponctuelle peut être trouvée dans le matériel de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.

Faisons le dessin (notez que l'équation oui= 0 spécifie l'axe BŒUF):

Nous n'ombragerons pas le trapèze incurvé, ici il est évident de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment [-2; 1] graphique de fonction oui = X 2 + 2 situés au dessus de l'axe BŒUF, C'est pourquoi:

Répondre: .

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz

,

Reportez-vous à la conférence Definite Integral. Exemples de solutions. Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes xy = 4, X = 2, X= 4 et axe BŒUF.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si un trapèze courbe est situé sous l'axe BŒUF?

Exemple 3

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes oui = ex, X= 1 et coordonnées des axes.

Solution : Faisons un dessin :

Si un trapèze courbe est entièrement situé sous l'axe BŒUF, alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

.

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes oui = 2X – X 2 , oui = -X.

Solution : Vous devez d’abord faire un dessin. Lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole oui = 2X – X 2 et droit oui = -X. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration un= 0, limite supérieure d'intégration b= 3. Il est souvent plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration apparaissent « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Répétons que dans la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent déterminées « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail :

Si sur le segment [ un; b] une fonction continue F(X) est supérieur ou égal à une fonction continue g(X), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais ce qui est important est quel graphique est PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est EN DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc à partir de 2 X – X 2 doit être soustrait – X.

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

Le chiffre souhaité est limité par une parabole oui = 2X – X 2 en haut et droit oui = -X ci-dessous.

Sur le segment 2 X – X 2 ≥ -X. D'après la formule correspondante :

Répondre: .

En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple n°3) est un cas particulier de la formule

.

Parce que l'axe BŒUF donné par l'équation oui= 0, et le graphique de la fonction g(X) situé en dessous de l'axe BŒUF, Que

.

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été réalisé correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... la zone de la mauvaise figure a été trouvée.

Exemple 7

Faisons d'abord un dessin :

La figure dont nous devons trouver l'aire est ombrée en bleu (regardez attentivement la condition - comme la figure est limitée !). Mais dans la pratique, par inattention, les gens décident souvent qu'ils doivent trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert !

Cet exemple est également utile car il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment [-1; 1] au dessus de l'axe BŒUF le graphique est situé droit oui = X+1;

2) Sur un segment au dessus de l'axe BŒUF le graphique d'une hyperbole est localisé oui = (2/X).

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Présentons les équations sous forme « scolaire »

et faites un dessin point par point :

D’après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : b = 1.

Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ?

Peut être, un=(-1/3) ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que un=(-1/4). Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection des graphiques

Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

.

Ainsi, un=(-1/3).

L’autre solution est triviale. L'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes. Les calculs ici ne sont pas les plus simples. Sur le segment

, ,

selon la formule correspondante :

Pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Solution : Représentons cette figure dans le dessin.

Pour construire un dessin point par point, il faut connaître l'apparence d'une sinusoïde. De manière générale, il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires, ainsi que certaines valeurs sinusoïdales. On les retrouve dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques. Dans certains cas (par exemple, dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n’y a ici aucun problème avec les limites de l’intégration ; elles découlent directement de la condition :

– « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur un segment, le graphique d'une fonction oui= péché 3 X situé au dessus de l'axe BŒUF, C'est pourquoi:

(1) Vous pouvez voir comment les sinus et les cosinus sont intégrés dans les puissances impaires dans la leçon Intégrales des fonctions trigonométriques. Nous pinçons un sinus.

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique principale sous la forme

(3) Changeons la variable t=cos X, alors : est situé au dessus de l'axe, donc :

.

.

Remarque : notez comment l'intégrale de la tangente au cube est prise ; un corollaire de l'identité trigonométrique de base est utilisé ici

.

Problème 1 (sur le calcul de l'aire d'un trapèze courbe).

Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, on donne une figure (voir figure) délimitée par l'axe des x, des droites x = a, x = b (a par un trapèze curviligne. Il faut calculer l'aire d'un curviligne trapèze.
Solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires de polygones et de certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pouvons trouver qu'une valeur approximative de la surface recherchée, en raisonnant comme suit.

Divisons le segment [a; b] (base d'un trapèze courbe) en n parties égales ; cette partition est réalisée à l'aide des points x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Traçons des lignes droites passant par ces points parallèlement à l’axe y. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire de l'ensemble du trapèze est égale à la somme des aires des colonnes.

Considérons la k-ième colonne séparément, c'est-à-dire un trapèze courbe dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de hauteur égale à f(x k) (voir figure). L'aire du rectangle est égale à \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), où \(\Delta x_k \) est la longueur du segment ; Il est naturel de considérer le produit résultant comme une valeur approximative de l'aire de la kème colonne.

Si l'on fait maintenant de même avec toutes les autres colonnes, on arrivera au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure en escalier composée de n rectangles (voir figure) :
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous supposons que a = x 0, b = x n ; \(\Delta x_0 \) - longueur du segment, \(\Delta x_1 \) - longueur du segment, etc.; dans ce cas, comme nous l'avons convenu ci-dessus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Donc, \(S \approx S_n \), et cette égalité approximative est d’autant plus précise que n est grand.
Par définition, on pense que l'aire requise d'un trapèze curviligne est égale à la limite de la séquence (S n) :
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problème 2 (à propos du déplacement d'un point)
Un point matériel se déplace en ligne droite. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v(t). Trouver le mouvement d'un point sur une période de temps [a; b].
Solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v(ba). Pour les mouvements inégaux, vous devez utiliser les mêmes idées sur lesquelles était basée la solution du problème précédent.
1) Divisez l'intervalle de temps [a; b] en n parties égales.
2) Considérons une période de temps et supposons que pendant cette période la vitesse était constante, la même qu'au temps t k. Nous supposons donc que v = v(t k).
3) Trouvons la valeur approximative du mouvement du point sur une période de temps; nous noterons cette valeur approximative par sk
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
\(s \approx S_n \) où
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Le déplacement recherché est égal à la limite de la séquence (S n) :
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Résumons. Les solutions à divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes issus de divers domaines scientifiques et technologiques conduisent au même modèle en cours de résolution. Cela signifie que ce modèle mathématique doit être spécialement étudié.

Le concept d'intégrale définie

Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f(x), continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela était supposé dans les problèmes considérés) sur l'intervalle [a; b] :
1) diviser le segment [a; b] en n parties égales ;
2) faites la somme $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculer $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Au cours d'une analyse mathématique, il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). On l'appelle l'intégrale définie de la fonction y = f(x) sur le segment [a; b] et noté comme suit :
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration (respectivement inférieure et supérieure).

Revenons aux tâches évoquées ci-dessus. La définition de la zone donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ici S est l'aire du trapèze courbe montré dans la figure ci-dessus. C'est la signification géométrique de l'intégrale définie.

La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :

Formule de Newton-Leibniz

Tout d'abord, répondons à la question : quel est le lien entre l'intégrale définie et la primitive ?

La réponse peut être trouvée dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b est calculé par la formule
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

D'un autre côté, la coordonnée d'un point en mouvement est une primitive de la vitesse - notons-la s(t) ; cela signifie que le déplacement s est exprimé par la formule s = s(b) - s(a). En conséquence nous obtenons :
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
où s(t) est la primitive de v(t).

Le théorème suivant a été prouvé au cours d’une analyse mathématique.
Théorème. Si la fonction y = f(x) est continue sur l'intervalle [a; b], alors la formule est valide
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
où F(x) est la primitive de f(x).

La formule ci-dessus est généralement appelée formule de Newton-Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont obtenue indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.

En pratique, au lieu d'écrire F(b) - F(a), ils utilisent la notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (parfois appelée double substitution) et, en conséquence, réécrivent le Newton -Formule de Leibniz sous cette forme :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Lors du calcul d'une intégrale définie, recherchez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.

Sur la base de la formule de Newton-Leibniz, nous pouvons obtenir deux propriétés de l'intégrale définie.

Propriété 1. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales :
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propriété 2. Le facteur constant peut être retiré du signe intégral :
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calculer les aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer les aires non seulement de trapèzes courbes, mais également de figures planes d'un type plus complexe, par exemple celle illustrée sur la figure. La figure P est limitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions continues y = f(x), y = g(x), et sur le segment [a; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est vraie. Pour calculer l’aire S d’une telle figure, nous procéderons de la manière suivante :
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Ainsi, l'aire S d'une figure délimitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions y = f(x), y = g(x), continues sur le segment et telles que pour tout x du segment [un; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est satisfaite, calculée par la formule
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions $$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^ (n +1))(n+1) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$ Problème n°3. Faire un dessin et calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes

Application de l'intégrale à la solution de problèmes appliqués

Calcul de superficie

L'intégrale définie d'une fonction continue non négative f(x) est numériquement égale à l'aire d'un trapèze curviligne délimité par la courbe y = f(x), l'axe O x et les droites x = a et x = B. Conformément à cela, la formule d'aire s'écrit comme suit :

Examinons quelques exemples de calcul des aires de figures planes.

Tâche n°1. Calculer l'aire délimitée par les lignes y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solution. Construisons une figure dont nous devrons calculer l'aire.

y = x 2 + 1 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut et la parabole est décalée vers le haut d'une unité par rapport à l'axe O y (Figure 1).

Figure 1. Graphique de la fonction y = x 2 + 1

Tâche n° 2. Calculer l'aire délimitée par les lignes y = x 2 – 1, y = 0 dans la plage de 0 à 1.

Solution. Le graphique de cette fonction est une parabole de branches dirigées vers le haut, et la parabole est décalée d'une unité par rapport à l'axe O y vers le bas (Figure 2).

Figure 2. Graphique de la fonction y = x 2 – 1

Tâche n°3. Faire un dessin et calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes

y = 8 + 2x – x 2 et y = 2x – 4.

Solution. La première de ces deux droites est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, puisque le coefficient de x 2 est négatif, et la deuxième droite est une droite coupant les deux axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, on trouve les coordonnées de son sommet : y’=2 – 2x ; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisse du sommet ; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 est son ordonnée, N(1;9) est le sommet.

Trouvons maintenant les points d’intersection de la parabole et de la droite en résolvant le système d’équations :

Égaliser les côtés droits d'une équation dont les côtés gauches sont égaux.

On obtient 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ou x 2 – 12 = 0, d'où .

Ainsi, les points sont les points d'intersection d'une parabole et d'une droite (Figure 1).

Figure 3 Graphiques des fonctions y = 8 + 2x – x 2 et y = 2x – 4

Construisons une droite y = 2x – 4. Elle passe par les points (0;-4), (2;0) sur les axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, vous pouvez également utiliser ses points d'intersection avec l'axe 0x, c'est-à-dire les racines de l'équation 8 + 2x – x 2 = 0 ou x 2 – 2x – 8 = 0. En utilisant le théorème de Vieta, c'est facile pour trouver ses racines : x 1 = 2, x 2 = 4.

La figure 3 montre une figure (segment parabolique M 1 N M 2) délimitée par ces lignes.

La deuxième partie du problème est de trouver l'aire de cette figure. Son aire peut être trouvée à l'aide d'une intégrale définie selon la formule .

Par rapport à cette condition, on obtient l'intégrale :

2 Calcul du volume d'un corps de rotation

Le volume du corps obtenu à partir de la rotation de la courbe y = f(x) autour de l'axe O x est calculé par la formule :

Lors d'une rotation autour de l'axe O y, la formule ressemble à :

Tâche n°4. Déterminer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par des lignes droites x = 0 x = 3 et une courbe y = autour de l'axe O x.

Solution. Faisons un dessin (Figure 4).

Figure 4. Graphique de la fonction y =

Le volume requis est

Tâche n°5. Calculer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par la courbe y = x 2 et les droites y = 0 et y = 4 autour de l'axe O y.

Solution. Nous avons:

Questions de révision

Dans la section précédente, consacrée à l'analyse de la signification géométrique d'une intégrale définie, nous avons reçu un certain nombre de formules pour calculer l'aire d'un trapèze curviligne :

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pour une fonction continue et non négative y = f (x) sur l'intervalle [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pour une fonction continue et non positive y = f (x) sur l'intervalle [ a ; b ] .

Ces formules sont applicables à la résolution de problèmes relativement simples. En réalité, nous serons souvent amenés à travailler avec des figures plus complexes. À cet égard, nous consacrerons cette section à une analyse des algorithmes de calcul de l'aire des figures limitées par des fonctions sous forme explicite, c'est-à-dire comme y = f(x) ou x = g(y).

Théorème

Soit les fonctions y = f 1 (x) et y = f 2 (x) définies et continues sur l'intervalle [ a ; b ] , et f 1 (x) ≤ f 2 (x) pour toute valeur x de [ a ; b ] . Ensuite, la formule de calcul de l'aire de la figure G, délimitée par les lignes x = a, x = b, y = f 1 (x) et y = f 2 (x) ressemblera à S (G) = ∫ un b f 2 (x) - f 1 (x) ré x .

Une formule similaire sera applicable pour l'aire d'une figure délimitée par les droites y = c, y = d, x = g 1 (y) et x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) ré y .

Preuve

Regardons trois cas pour lesquels la formule sera valable.

Dans le premier cas, compte tenu de la propriété d'additivité de l'aire, la somme des aires de la figure originale G et du trapèze curviligne G 1 est égale à l'aire de la figure G 2. Cela signifie que

Par conséquent, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Nous pouvons effectuer la dernière transition en utilisant la troisième propriété de l'intégrale définie.

Dans le second cas, l'égalité est vraie : S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) ré x

L'illustration graphique ressemblera à :

Si les deux fonctions sont non positives, on obtient : S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) ré x . L'illustration graphique ressemblera à :

Passons maintenant au cas général où y = f 1 (x) et y = f 2 (x) coupent l'axe O x.

Nous désignons les points d'intersection par x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ces points divisent le segment [a; b ] en n parties x i - 1 ; x je, je = 1, 2, . . . , n, où α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ainsi,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Nous pouvons effectuer la dernière transition en utilisant la cinquième propriété de l'intégrale définie.

Illustrons le cas général sur le graphique.

La formule S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x peut être considérée comme prouvée.

Passons maintenant à l'analyse d'exemples de calcul de l'aire des figures limitées par les lignes y = f (x) et x = g (y).

Nous commencerons notre examen de l’un des exemples en construisant un graphique. L'image nous permettra de représenter des formes complexes comme des unions de formes plus simples. S'il vous est difficile de construire des graphiques et des figures dessus, vous pouvez étudier la section sur les fonctions élémentaires de base, la transformation géométrique des graphiques de fonctions, ainsi que la construction de graphiques tout en étudiant une fonction.

Exemple 1

Il est nécessaire de déterminer l'aire de la figure, qui est limitée par la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 et les droites y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique dans le système de coordonnées cartésiennes.

Sur le segment [ 1 ; 4 ] le graphique de la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 est situé au dessus de la droite y = - 1 3 x - 1 2. A cet égard, pour obtenir la réponse nous utilisons la formule obtenue précédemment, ainsi que la méthode de calcul de l'intégrale définie à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Réponse : S(G) = 13

Regardons un exemple plus complexe.

Exemple 2

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les lignes y = x + 2, y = x, x = 7.

Solution

Dans ce cas, nous n’avons qu’une seule droite située parallèlement à l’axe des x. C'est x = 7. Cela nous oblige à trouver nous-mêmes la deuxième limite de l’intégration.

Construisons un graphique et traçons dessus les lignes données dans l'énoncé du problème.

Ayant le graphique sous les yeux, on peut facilement déterminer que la limite inférieure d'intégration sera l'abscisse du point d'intersection du graphique de la droite y = x et de la semi-parabole y = x + 2. Pour trouver l'abscisse on utilise les égalités :

y = x + 2 O DZ : x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Il s'avère que l'abscisse du point d'intersection est x = 2.

Nous attirons votre attention sur le fait que dans l'exemple général du dessin, les lignes y = x + 2, y = x se coupent au point (2 ; 2), de tels calculs détaillés peuvent donc sembler inutiles. Nous avons proposé ici une solution aussi détaillée uniquement parce que, dans des cas plus complexes, la solution peut ne pas être aussi évidente. Cela signifie qu'il est toujours préférable de calculer analytiquement les coordonnées de l'intersection des lignes.

Sur l'intervalle [ 2 ; 7] le graphique de la fonction y = x est situé au dessus du graphique de la fonction y = x + 2. Appliquons la formule pour calculer la superficie :

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Réponse : S (G) = 59 6

Exemple 3

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les graphiques des fonctions y = 1 x et y = - x 2 + 4 x - 2.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique.

Définissons les limites de l'intégration. Pour ce faire, on détermine les coordonnées des points d'intersection des droites en assimilant les expressions 1 x et - x 2 + 4 x - 2. A condition que x ne soit pas nul, l'égalité 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devient équivalente à l'équation du troisième degré - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 à coefficients entiers. Pour vous rafraîchir la mémoire de l'algorithme de résolution de telles équations, on peut se référer à la section « Résolution d'équations cubiques ».

La racine de cette équation est x = 1 : - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

En divisant l'expression - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 par le binôme x - 1, on obtient : - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Nous pouvons trouver les racines restantes de l'équation x 2 - 3 x - 1 = 0 :

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; X 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Nous avons trouvé l'intervalle x ∈ 1 ; 3 + 13 2, dans lequel le chiffre G est contenu au-dessus de la ligne bleue et en dessous de la ligne rouge. Cela nous aide à déterminer l'aire de la figure :

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Réponse : S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemple 4

Il faut calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les courbes y = x 3, y = - log 2 x + 1 et l'axe des abscisses.

Solution

Traçons toutes les lignes sur le graphique. Nous pouvons obtenir le graphique de la fonction y = - log 2 x + 1 à partir du graphique y = log 2 x si nous le positionnons symétriquement par rapport à l'axe des x et le déplaçons d'une unité. L'équation de l'axe des x est y = 0.

Marquons les points d'intersection des lignes.

Comme le montre la figure, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = 0 se coupent au point (0 ; 0). Cela se produit parce que x = 0 est la seule racine réelle de l'équation x 3 = 0.

x = 2 est la seule racine de l'équation - log 2 x + 1 = 0, donc les graphiques des fonctions y = - log 2 x + 1 et y = 0 se coupent au point (2 ; 0).

x = 1 est la seule racine de l'équation x 3 = - log 2 x + 1 . À cet égard, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = - log 2 x + 1 se coupent au point (1 ; 1). La dernière affirmation n'est peut-être pas évidente, mais l'équation x 3 = - log 2 x + 1 ne peut pas avoir plus d'une racine, puisque la fonction y = x 3 est strictement croissante et la fonction y = - log 2 x + 1 est strictement décroissante.

L'autre solution implique plusieurs options.

Option 1

On peut imaginer la figure G comme la somme de deux trapèzes curvilignes situés au dessus de l'axe des x, dont le premier est situé en dessous de la ligne médiane sur le segment x ∈ 0 ; 1, et le second est en dessous de la ligne rouge sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela signifie que l'aire sera égale à S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Option n°2

La figure G peut être représentée comme la différence de deux chiffres dont le premier est situé au-dessus de l'axe des x et en dessous de la ligne bleue sur le segment x ∈ 0 ; 2, et la seconde entre les lignes rouge et bleue sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela nous permet de trouver la zone comme suit :

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dans ce cas, pour trouver l'aire vous devrez utiliser une formule de la forme S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. En fait, les lignes qui délimitent la figure peuvent être représentées comme des fonctions de l'argument y.

Résolvons les équations y = x 3 et - log 2 x + 1 par rapport à x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

On obtient la surface requise :

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Réponse : S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemple 5

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les lignes y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solution

Avec une ligne rouge on trace la droite définie par la fonction y = x. On trace la droite y = - 1 2 x + 4 en bleu, et la droite y = 2 3 x - 3 en noir.

Marquons les points d'intersection.

Trouvons les points d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = - 1 2 x + 4 :

x = - 1 2 x + 4 O DZ : x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Vérifier : x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 non La solution de l'équation x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 est la solution de l'équation ⇒ (4; 2) point d'intersection i y = x et y = - 1 2 x + 4

Trouvons le point d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = 2 3 x - 3 :

x = 2 3 x - 3 O DZ : x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Vérifier : x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 est la solution de l'équation ⇒ (9 ; 3) point a s y = x et y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Il n'y a pas de solution à l'équation

Trouvons le point d'intersection des droites y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3 :

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) point d'intersection y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3

Méthode n°1

Imaginons l'aire de la figure souhaitée comme la somme des aires des figures individuelles.

Alors l’aire de la figure est :

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Méthode n°2

L'aire de la figure originale peut être représentée comme la somme de deux autres figures.

Ensuite, nous résolvons l'équation de la droite par rapport à x, et seulement après cela, nous appliquons la formule pour calculer l'aire de la figure.

y = x ⇒ x = y 2 ligne rouge y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ligne noire y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

La zone est donc :

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 ans + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 ans 2 - 7 4 ans 1 2 + - y 3 3 + 3 ans 2 4 + 9 2 ans 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Comme vous pouvez le constater, les valeurs sont les mêmes.

Réponse : S (G) = 11 3

Résultats

Pour trouver l'aire d'une figure limitée par des lignes données, nous devons construire des lignes sur un plan, trouver leurs points d'intersection et appliquer la formule pour trouver l'aire. Dans cette section, nous avons examiné les variantes de tâches les plus courantes.

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