Comment prouver la limite d'une fonction. Définition universelle de la limite d'une fonction selon Hein et Cauchy

Les limites posent beaucoup de problèmes à tous les étudiants en mathématiques. Pour résoudre une limite, vous devez parfois utiliser de nombreuses astuces et choisir parmi une variété de méthodes de solution exactement celle qui convient à un exemple particulier.

Dans cet article, nous ne vous aiderons pas à comprendre les limites de vos capacités ou à comprendre les limites du contrôle, mais nous essaierons de répondre à la question : comment comprendre les limites en mathématiques supérieures ? La compréhension vient avec l'expérience, c'est pourquoi nous donnerons en même temps plusieurs exemples détaillés de résolution de limites avec des explications.

Le concept de limite en mathématiques

La première question est : quelle est cette limite et la limite de quoi ? On peut parler des limites des séquences numériques et des fonctions. Nous nous intéressons à la notion de limite d’une fonction, puisque c’est celle que rencontrent le plus souvent les étudiants. Mais d’abord, la définition la plus générale d’une limite :

Disons qu'il y a une valeur variable. Si cette valeur en cours de changement s'approche de manière illimitée d'un certain nombre un , Que un – la limite de cette valeur.

Pour une fonction définie dans un certain intervalle f(x)=y un tel nombre s'appelle une limite UN , vers lequel tend la fonction lorsque X , tendant vers un certain point UN . Point UN appartient à l'intervalle sur lequel la fonction est définie.

Cela semble fastidieux, mais c'est écrit très simplement :

Lim- de l'anglais limite- limite.

Il existe également une explication géométrique pour déterminer la limite, mais ici nous n'entrerons pas dans la théorie, car nous nous intéressons davantage à l'aspect pratique que théorique de la question. Quand on dit ça X tend vers une certaine valeur, cela signifie que la variable ne prend pas la valeur d'un nombre, mais s'en rapproche infiniment.

Donnons un exemple précis. La tâche est de trouver la limite.

Pour résoudre cet exemple, nous substituons la valeur x=3 dans une fonction. On a:

D'ailleurs, si vous êtes intéressé, lisez un article séparé sur ce sujet.

Dans les exemples X peut tendre vers n’importe quelle valeur. Il peut s'agir de n'importe quel nombre ou de l'infini. Voici un exemple quand X tend vers l'infini :

Intuitivement, plus le nombre au dénominateur est grand, plus la valeur que prendra la fonction sera petite. Donc, avec une croissance illimitée X signification 1 fois diminuera et se rapprochera de zéro.

Comme vous pouvez le voir, pour résoudre la limite, il vous suffit de substituer la valeur recherchée dans la fonction X . Il s’agit cependant du cas le plus simple. Souvent, trouver la limite n’est pas si évident. Dans les limites, il existe des incertitudes du type 0/0 ou l'infini/l'infini . Que faire dans de tels cas ? Recourez aux astuces !

Incertitudes au sein

Incertitude de la forme infini/infini

Qu'il y ait une limite :

Si nous essayons de substituer l’infini dans la fonction, nous obtiendrons l’infini à la fois au numérateur et au dénominateur. En général, il convient de dire qu'il y a une certaine part d'art dans la résolution de telles incertitudes : il faut remarquer comment transformer la fonction de manière à ce que l'incertitude disparaisse. Dans notre cas, on divise le numérateur et le dénominateur par X au diplôme supérieur. Que va-t-il se passer ?

D'après l'exemple déjà évoqué ci-dessus, nous savons que les termes contenant x au dénominateur tendront vers zéro. Alors la solution à la limite est :

Pour résoudre les incertitudes de type l'infini/l'infini diviser le numérateur et le dénominateur par X au plus haut degré.

D'ailleurs! Pour nos lecteurs, il y a désormais une réduction de 10 % sur

Autre type d'incertitude : 0/0

Comme toujours, remplacer des valeurs dans la fonction x=-1 donne 0 au numérateur et au dénominateur. Regardez d’un peu plus près et vous remarquerez que nous avons une équation quadratique au numérateur. Trouvons les racines et écrivons :

Réduisons et obtenons :

Donc, si vous êtes confronté à une incertitude de type 0/0 – factoriser le numérateur et le dénominateur.

Pour vous faciliter la résolution des exemples, nous vous présentons un tableau avec les limites de certaines fonctions :

La règle de l'Hôpital à l'intérieur

Un autre moyen puissant d’éliminer les deux types d’incertitude. Quelle est l’essence de la méthode ?

S'il y a une incertitude sur la limite, prenez la dérivée du numérateur et du dénominateur jusqu'à ce que l'incertitude disparaisse.

La règle de L'Hôpital ressemble à ceci :

Point important : la limite dans laquelle se situent les dérivées du numérateur et du dénominateur au lieu du numérateur et du dénominateur doit exister.

Et maintenant - un exemple réel :

Il existe une incertitude typique 0/0 . Prenons les dérivées du numérateur et du dénominateur :

Voilà, l’incertitude est résolue rapidement et avec élégance.

Nous espérons que vous pourrez appliquer utilement ces informations dans la pratique et trouver la réponse à la question « comment résoudre les limites en mathématiques supérieures ». Si vous avez besoin de calculer la limite d'une séquence ou la limite d'une fonction en un point, et que vous n'avez absolument pas le temps pour ce travail, contactez un service étudiant professionnel pour une solution rapide et détaillée.

Nous examinerons ici la définition de la limite finie d’une séquence. Le cas d'une suite convergeant vers l'infini est abordé à la page « Définition d'une suite infiniment grande ».

Définition .
(xn), si pour tout nombre positif ε > 0 il existe un nombre naturel N ε dépendant de ε tel que pour tout nombre naturel n > N ε l'inégalité
| x n - une|< ε .
La limite de séquence est notée comme suit :
.
Ou à .

Transformons l'inégalité :
;
;
.

Un intervalle ouvert (a - ε, a + ε) est appelé ε - voisinage du point a.

Une suite qui a une limite s’appelle séquence convergente. On dit aussi que la séquence convergeà un. Une séquence qui n'a pas de limite s'appelle divergent.

De la définition, il s'ensuit que si une séquence a une limite a, quel que soit le ε-voisinage du point a que nous choisissons, en dehors d'elle, il ne peut y avoir qu'un nombre fini d'éléments de la séquence, ou aucun (l'ensemble vide) . Et tout ε-voisinage contient un nombre infini d’éléments. En fait, ayant donné un certain nombre ε, on a donc le nombre . Ainsi, tous les éléments de la séquence avec des nombres , par définition, sont situés dans le voisinage ε du point a . Les premiers éléments peuvent être situés n'importe où. Autrement dit, en dehors du voisinage ε, il ne peut y avoir que des éléments, c'est-à-dire un nombre fini.

Nous notons également que la différence ne doit pas nécessairement tendre de manière monotone vers zéro, c'est-à-dire diminuer tout le temps. Il peut tendre vers zéro de manière non monotone : il peut augmenter ou diminuer, avec des maxima locaux. Cependant, ces maxima, à mesure que n augmente, devraient tendre vers zéro (peut-être pas non plus de manière monotone).

En utilisant les symboles logiques de l’existence et de l’universalité, la définition d’une limite peut s’écrire comme suit :
(1) .

Déterminer que a n'est pas une limite

Considérons maintenant l’énoncé inverse selon lequel le nombre a n’est pas la limite de la séquence.

Numéro un n'est pas la limite de la séquence, s'il existe tel que pour tout nombre naturel n il existe un tel naturel m > n, Quoi
.

Écrivons cette affirmation en utilisant des symboles logiques.
(2) .

Déclaration selon laquelle le nombre a n'est pas la limite de la séquence, signifie que
vous pouvez choisir un tel ε - voisinage du point a, en dehors duquel il y aura un nombre infini d'éléments de la séquence.

Regardons un exemple. Soit une séquence avec un élément commun
(3)
Tout voisinage d'un point contient un nombre infini d'éléments. Cependant, ce point n’est pas la limite de la séquence, puisque tout voisinage du point contient également un nombre infini d’éléments. Prenons ε - un voisinage d'un point avec ε = 1 . Ce sera l'intervalle (-1, +1) . Tous les éléments sauf le premier avec un n pair appartiennent à cet intervalle. Mais tous les éléments avec n impair sont en dehors de cet intervalle, puisqu'ils satisfont à l'inégalité x n > 2 . Puisque le nombre d’éléments impairs est infini, il y aura un nombre infini d’éléments en dehors du voisinage choisi. Le point n’est donc pas la limite de la séquence.

Nous allons maintenant le montrer en respectant strictement l’énoncé (2). Le point n'est pas une limite de la suite (3), puisqu'il existe tel que, pour tout n naturel, il en existe un impair pour lequel l'inégalité est vraie
.

On peut également montrer que tout point a ne peut pas être une limite de cette suite. On peut toujours choisir un ε - voisinage du point a qui ne contient ni le point 0 ni le point 2. Et puis en dehors du voisinage choisi il y aura un nombre infini d'éléments de la séquence.

Définition équivalente

On peut donner une définition équivalente de la limite d'une suite si l'on élargit la notion de ε - voisinage. Nous obtiendrons une définition équivalente si, au lieu d’un ε-voisinage, il contient n’importe quel voisinage du point a.

Déterminer le voisinage d'un point
Quartier du point a tout intervalle ouvert contenant ce point est appelé. Mathématiquement, le voisinage est défini comme suit : , où ε 1 et ε 2 - des nombres positifs arbitraires.

Alors la définition de la limite sera la suivante.

Définition équivalente de la limite de séquence
Le nombre a est appelé la limite de la séquence, si pour l'un de ses voisinages il existe un nombre naturel N tel que tous les éléments de la séquence avec des nombres appartiennent à ce voisinage.

Cette définition peut également être présentée sous forme développée.

Le nombre a est appelé la limite de la séquence, si pour tout nombre positif et qu'il existe un nombre naturel N dépendant de et tel que les inégalités sont vraies pour tous les nombres naturels
.

Preuve d'équivalence des définitions

Montrons que les deux définitions de la limite d'une suite présentées ci-dessus sont équivalentes.

Soit le nombre a la limite de la suite selon la première définition. Cela signifie qu’il existe une fonction, de sorte que pour tout nombre positif ε les inégalités suivantes sont satisfaites :
(4) à .

Montrons que le nombre a est la limite de la suite par la deuxième définition. Autrement dit, nous devons montrer qu’il existe une fonction telle que pour tout nombre positif ε 1 et ε 2 les inégalités suivantes sont satisfaites :
(5) à .

Disons deux nombres positifs : ε 1 et ε 2 . Et soit ε le plus petit d'entre eux : . Alors ; ; . Utilisons ceci dans (5) :
.
Mais les inégalités sont satisfaites pour . Alors les inégalités (5) sont également satisfaites pour .

Autrement dit, nous avons trouvé une fonction pour laquelle les inégalités (5) sont satisfaites pour tout nombre positif ε 1 et ε 2 .
La première partie a été prouvée.

Soit maintenant le nombre a la limite de la séquence selon la deuxième définition. Cela signifie qu'il existe une fonction telle que pour tout nombre positif ε 1 et ε 2 les inégalités suivantes sont satisfaites :
(5) à .

Montrons que le nombre a est la limite de la suite par la première définition. Pour ce faire, vous devez mettre . Alors lorsque les inégalités suivantes sont vérifiées :
.
Cela correspond à la première définition avec .
L'équivalence des définitions a été prouvée.

Exemples

Nous examinerons ici plusieurs exemples dans lesquels nous devons prouver qu'un nombre donné a est la limite d'une suite. Dans ce cas, vous devez spécifier un nombre positif arbitraire ε et définir une fonction N de ε telle que l'inégalité .

Exemple 1

Prouve-le .

(1) .
Dans notre cas ;
.

.
Utilisons les propriétés des inégalités. Alors si et , alors
.

.
Alors
à .
Cela signifie que le nombre est la limite de la séquence donnée :
.

Exemple 2

En utilisant la définition de la limite d’une suite, prouver que
.

Écrivons la définition de la limite d'une suite :
(1) .
Dans notre cas , ;
.

Entrez les nombres positifs et :
.
Utilisons les propriétés des inégalités. Alors si et , alors
.

Autrement dit, pour tout positif, on peut prendre n'importe quel nombre naturel supérieur ou égal à :
.
Alors
à .
.

Exemple 3

.

Nous introduisons la notation , .
Transformons la différence :
.
Pour naturel n = 1, 2, 3, ... nous avons:
.

Écrivons la définition de la limite d'une suite :
(1) .
Entrez les nombres positifs et :
.
Alors si et , alors
.

Autrement dit, pour tout positif, on peut prendre n'importe quel nombre naturel supérieur ou égal à :
.
Où
à .
Cela signifie que le nombre est la limite de la séquence :
.

Exemple 4

En utilisant la définition de la limite d’une suite, prouver que
.

Écrivons la définition de la limite d'une suite :
(1) .
Dans notre cas , ;
.

Entrez les nombres positifs et :
.
Alors si et , alors
.

Autrement dit, pour tout positif, on peut prendre n'importe quel nombre naturel supérieur ou égal à :
.
Alors
à .
Cela signifie que le nombre est la limite de la séquence :
.

Les références:
L.D. Kudryavtsev. Cours d'analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 2003.
CM. Nikolski. Cours d'analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 1983.

Les mathématiques sont la science qui construit le monde. Le scientifique et l'homme ordinaire - personne ne peut s'en passer. Tout d'abord, les jeunes enfants apprennent à compter, puis à additionner, soustraire, multiplier et diviser ; au collège, les symboles de lettres entrent en jeu, et au lycée, ils ne peuvent plus être évités.

Mais aujourd’hui, nous allons parler de ce sur quoi reposent toutes les mathématiques connues. À propos d’une communauté de nombres appelée « limites de séquence ».

Que sont les séquences et où est leur limite ?

La signification du mot « séquence » n’est pas difficile à interpréter. Il s'agit d'un arrangement de choses dans lequel quelqu'un ou quelque chose se trouve dans un certain ordre ou dans une certaine file d'attente. Par exemple, la file d'attente pour les billets pour le zoo est une séquence. Et il ne peut y en avoir qu'un ! Si, par exemple, vous regardez la file d’attente au magasin, il s’agit d’une séquence. Et si une personne de cette file d'attente quitte soudainement, alors c'est une file d'attente différente, un ordre différent.

Le mot « limite » est également facile à interpréter : c'est la fin de quelque chose. Cependant, en mathématiques, les limites des séquences sont les valeurs sur la droite numérique vers lesquelles tend une séquence de nombres. Pourquoi s’efforce-t-il et ne se termine-t-il pas ? C'est simple, la droite numérique n'a pas de fin, et la plupart des séquences, comme les rayons, n'ont qu'un début et ressemblent à ceci :

x 1, x 2, x 3,... x n...

La définition d’une séquence est donc fonction de l’argument naturel. En termes plus simples, il s’agit d’une série de membres d’un certain ensemble.

Comment est construite la séquence de nombres ?

Un exemple simple de séquence de nombres pourrait ressembler à ceci : 1, 2, 3, 4, …n…

Dans la plupart des cas, pour des raisons pratiques, les séquences sont construites à partir de nombres, et chaque membre suivant de la série, notons-le X, a son propre nom. Par exemple:

x 1 est le premier membre de la séquence ;

x 2 est le deuxième terme de la suite ;

x 3 est le troisième terme ;

x n est le nième terme.

Dans les méthodes pratiques, la séquence est donnée par une formule générale dans laquelle se trouve une certaine variable. Par exemple:

X n =3n, alors la série de nombres elle-même ressemblera à ceci :

Il convient de rappeler que lors de l'écriture de séquences en général, vous pouvez utiliser n'importe quelle lettre latine, pas seulement X. Par exemple : y, z, k, etc.

Progression arithmétique dans le cadre de séquences

Avant de chercher les limites des séquences, il convient d’approfondir le concept même d’une telle série de nombres, que chacun a rencontré lorsqu’il était au collège. Une progression arithmétique est une série de nombres dans laquelle la différence entre termes adjacents est constante.

Problème : « Soit a 1 = 15 et le pas de progression de la série de nombres d = 4. Construisez les 4 premiers termes de cette série"

Solution : a 1 = 15 (par condition) est le premier terme de la progression (série de nombres).

et 2 = 15+4=19 est le deuxième terme de la progression.

et 3 =19+4=23 est le troisième terme.

et 4 =23+4=27 est le quatrième terme.

Cependant, en utilisant cette méthode, il est difficile d'atteindre des valeurs élevées, par exemple jusqu'à 125. . Surtout pour de tels cas, une formule pratique a été dérivée : a n =a 1 +d(n-1). Dans ce cas, a 125 =15+4(125-1)=511.

Types de séquences

La plupart des séquences sont interminables, cela vaut la peine de s'en souvenir pour le reste de sa vie. Il existe deux types intéressants de séries de nombres. Le premier est donné par la formule a n =(-1) n. Les mathématiciens appellent souvent cette séquence un flasher. Pourquoi? Vérifions sa série de numéros.

1, 1, -1, 1, -1, 1, etc. Avec un exemple comme celui-ci, il devient clair que les nombres dans des séquences peuvent facilement être répétés.

Séquence factorielle. C'est facile à deviner : la formule définissant la séquence contient une factorielle. Par exemple : a n = (n+1) !

La séquence ressemblera alors à ceci :

un 2 = 1x2x3 = 6 ;

et 3 = 1x2x3x4 = 24, etc.

Une suite définie par une progression arithmétique est dite infiniment décroissante si l'inégalité -1 est satisfaite pour tous ses termes

et 3 = - 1/8, etc.

Il existe même une séquence composée du même numéro. Ainsi, n = 6 est constitué d’un nombre infini de six.

Détermination de la limite de séquence

Les limites de séquence existent depuis longtemps en mathématiques. Bien sûr, ils méritent leur propre conception compétente. Il est donc temps d’apprendre la définition des limites de séquence. Tout d’abord, examinons en détail la limite d’une fonction linéaire :

1. Toutes les limites sont abrégées en lim.
2. La notation d'une limite est constituée de l'abréviation lim, de toute variable tendant vers un certain nombre, zéro ou l'infini, ainsi que de la fonction elle-même.

Il est facile de comprendre que la définition de la limite d'une suite peut être formulée ainsi : il s'agit d'un certain nombre auquel tous les membres de la suite se rapprochent à l'infini. Un exemple simple : a x = 4x+1. La séquence elle-même ressemblera alors à ceci.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Ainsi, cette suite augmentera indéfiniment, ce qui signifie que sa limite est égale à l’infini lorsque x→∞, et elle doit s’écrire ainsi :

Si on prend une suite similaire, mais que x tend vers 1, on obtient :

Et la série de nombres sera comme ceci : 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, etc. À chaque fois, vous devez remplacer le nombre plus proche de un (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). De cette série, il ressort clairement que la limite de la fonction est cinq.

De cette partie, il convient de rappeler quelle est la limite d'une séquence numérique, la définition et la méthode de résolution de problèmes simples.

Désignation générale de la limite des séquences

Après avoir examiné la limite d'une séquence de nombres, sa définition et ses exemples, vous pouvez passer à un sujet plus complexe. Absolument toutes les limites des séquences peuvent être formulées par une seule formule, qui est généralement analysée au premier semestre.

Alors, que signifie cet ensemble de lettres, modules et signes d’inégalité ?

∀ est un quantificateur universel, remplaçant les expressions « pour tous », « pour tout », etc.

∃ est un quantificateur existentiel, dans ce cas cela signifie qu'il existe une valeur N appartenant à l'ensemble des nombres naturels.

Un long bâton vertical suivant N signifie que l’ensemble N donné est « tel que ». En pratique, cela peut signifier « tel que », « tel que », etc.

Pour renforcer le matériel, lisez la formule à voix haute.

Incertitude et certitude de la limite

La méthode de recherche de la limite des séquences, évoquée ci-dessus, bien que simple à utiliser, n'est pas aussi rationnelle en pratique. Essayez de trouver la limite pour cette fonction :

Si on substitue différentes valeurs de « x » (croissant à chaque fois : 10, 100, 1000, etc.), alors on obtient ∞ au numérateur, mais aussi ∞ au dénominateur. Cela donne une fraction assez étrange :

Mais est-ce vraiment le cas ? Calculer la limite d’une suite de nombres dans ce cas semble assez simple. Il serait possible de tout laisser tel quel, car la réponse est prête et elle a été reçue dans des conditions raisonnables, mais il existe un autre moyen spécifiquement pour de tels cas.

Tout d'abord, trouvons le degré le plus élevé au numérateur de la fraction - c'est 1, puisque x peut être représenté par x 1.

Trouvons maintenant le degré le plus élevé au dénominateur. Aussi 1.

Divisons le numérateur et le dénominateur par la variable au plus haut degré. Dans ce cas, divisez la fraction par x 1.

Ensuite, nous découvrirons à quelle valeur tend chaque terme contenant une variable. Dans ce cas, les fractions sont considérées. Lorsque x→∞, la valeur de chaque fraction tend vers zéro. Lorsque vous soumettez votre travail par écrit, vous devez ajouter les notes de bas de page suivantes :

Il en résulte l'expression suivante :

Bien entendu, les fractions contenant x ne sont pas devenues des zéros ! Mais leur valeur est si faible qu'il est tout à fait permis de ne pas en tenir compte dans les calculs. En fait, x ne sera jamais égal à 0 dans ce cas, car on ne peut pas diviser par zéro.

Qu'est-ce qu'un quartier ?

Supposons que le professeur dispose d’une séquence complexe, donnée évidemment par une formule également complexe. Le professeur a trouvé la réponse, mais est-ce vrai ? Après tout, tout le monde fait des erreurs.

Auguste Cauchy a un jour trouvé une excellente façon de prouver les limites des séquences. Sa méthode s'appelait la manipulation de quartier.

Supposons qu'il existe un certain point a, son voisinage dans les deux directions sur la droite numérique est égal à ε (« epsilon »). Puisque la dernière variable est la distance, sa valeur est toujours positive.

Définissons maintenant une séquence x n et supposons que le dixième terme de la séquence (x 10) est inclus dans le voisinage de a. Comment pouvons-nous écrire ce fait en langage mathématique ?

Disons que x 10 est à droite du point a, alors la distance x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Il est maintenant temps d’expliquer en pratique la formule évoquée ci-dessus. Il est juste d'appeler un certain nombre a le point final d'une séquence si pour l'une de ses limites l'inégalité ε>0 est satisfaite et que tout le voisinage a son propre nombre naturel N, de telle sorte que tous les membres de la séquence avec des nombres plus élevés sera à l'intérieur de la séquence |x n - a|< ε.

Avec une telle connaissance, il est facile de résoudre les limites de la séquence, de prouver ou de réfuter la réponse toute faite.

Théorèmes

Les théorèmes sur les limites des suites sont une composante importante de la théorie, sans laquelle la pratique est impossible. Il n'y a que quatre théorèmes principaux, dont il faut se rappeler lesquels peuvent rendre la solution ou la preuve beaucoup plus facile :

1. Unicité de la limite d'une séquence. Toute séquence ne peut avoir qu’une seule limite, voire aucune. Le même exemple avec une file d'attente qui ne peut avoir qu'une seule extrémité.
2. Si une série de nombres a une limite, alors la séquence de ces nombres est limitée.
3. La limite de la somme (différence, produit) des séquences est égale à la somme (différence, produit) de leurs limites.
4. La limite du quotient de division de deux séquences est égale au quotient des limites si et seulement si le dénominateur ne disparaît pas.

Preuve de séquences

Parfois, vous devez résoudre un problème inverse, pour prouver une limite donnée d’une séquence numérique. Regardons un exemple.

Montrer que la limite de la suite donnée par la formule est nulle.

Selon la règle discutée ci-dessus, pour toute séquence, l'inégalité |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Exprimons n par « epsilon » pour montrer l'existence d'un certain nombre et prouver la présence d'une limite de la suite.

À ce stade, il est important de se rappeler que « epsilon » et « en » sont des nombres positifs et ne sont pas égaux à zéro. Il est désormais possible de poursuivre d’autres transformations en utilisant les connaissances sur les inégalités acquises au lycée.

Comment se fait-il que n > -3 + 1/ε. Puisqu'il convient de rappeler que nous parlons de nombres naturels, le résultat peut être arrondi en le mettant entre crochets. Ainsi, il a été prouvé que pour toute valeur du voisinage « epsilon » du point a = 0, on trouvait une valeur telle que l'inégalité initiale soit satisfaite. À partir de là, nous pouvons affirmer avec certitude que le nombre a est la limite d’une séquence donnée. Q.E.D.

Cette méthode pratique peut être utilisée pour prouver la limite d’une séquence numérique, aussi complexe soit-elle à première vue. L'essentiel est de ne pas paniquer lorsque vous voyez la tâche.

Ou peut-être qu'il n'est pas là ?

L’existence d’une limite de cohérence n’est pas nécessaire en pratique. Vous pouvez facilement tomber sur des séries de chiffres qui n’ont vraiment aucune fin. Par exemple, le même « feu clignotant » x n = (-1) n. il est évident qu'une séquence composée de seulement deux chiffres, répétés cycliquement, ne peut avoir de limite.

La même histoire se répète avec des séquences constituées d'un nombre, des nombres fractionnaires, présentant une incertitude de tout ordre lors des calculs (0/0, ∞/∞, ∞/0, etc.). Cependant, il ne faut pas oublier que des calculs incorrects peuvent également se produire. Parfois, revérifier votre propre solution vous aidera à trouver la limite de séquence.

Séquence monotone

Plusieurs exemples de séquences et de méthodes pour les résoudre ont été discutés ci-dessus, et essayons maintenant de prendre un cas plus spécifique et de l'appeler une « séquence monotone ».

Définition : toute séquence peut à juste titre être qualifiée d'augmentation monotone si l'inégalité stricte x n s'applique à elle< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

A ces deux conditions s’ajoutent également des inégalités non strictes similaires. Par conséquent, x n ≤ x n +1 (séquence non décroissante) et x n ≥ x n +1 (séquence non croissante).

Mais il est plus facile de comprendre cela avec des exemples.

La séquence donnée par la formule x n = 2+n forme la série de nombres suivante : 4, 5, 6, etc. Il s'agit d'une séquence croissante de façon monotone.

Et si on prend x n =1/n, on obtient la série : 1/3, ¼, 1/5, etc. Il s'agit d'une séquence décroissante de façon monotone.

Limite d'une suite convergente et bornée

Une séquence bornée est une séquence qui a une limite. Une suite convergente est une série de nombres ayant une limite infinitésimale.

Ainsi, la limite d’une séquence bornée est tout nombre réel ou complexe. N'oubliez pas qu'il ne peut y avoir qu'une seule limite.

La limite d’une suite convergente est une quantité infinitésimale (réelle ou complexe). Si vous dessinez un diagramme de séquence, à un certain moment, il semblera converger, aura tendance à se transformer en une certaine valeur. D'où le nom - séquence convergente.

Limite d'une séquence monotone

Il peut y avoir ou non une limite à une telle séquence. Premièrement, il est utile de comprendre quand elle existe ; à partir de là, vous pouvez commencer à prouver l’absence de limite.

Parmi les séquences monotones, on distingue les convergentes et les divergentes. Convergent est une séquence formée par l'ensemble x et qui a une limite réelle ou complexe dans cet ensemble. Divergente est une séquence qui n'a pas de limite dans son ensemble (ni réel ni complexe).

De plus, la suite converge si, dans une représentation géométrique, ses limites supérieure et inférieure convergent.

La limite d'une suite convergente peut être nulle dans de nombreux cas, puisque toute suite infinitésimale a une limite connue (zéro).

Quelle que soit la séquence convergente que vous prenez, elles sont toutes limitées, mais toutes les séquences limitées ne convergent pas.

La somme, la différence, le produit de deux séquences convergentes est également une séquence convergente. Cependant, le quotient peut aussi être convergent s’il est défini !

Diverses actions avec des limites

Les limites de séquence sont aussi significatives (dans la plupart des cas) que les chiffres et les nombres : 1, 2, 15, 24, 362, etc. Il s'avère que certaines opérations peuvent être effectuées avec des limites.

Premièrement, comme les chiffres et les nombres, les limites de n’importe quelle séquence peuvent être ajoutées et soustraites. D'après le troisième théorème sur les limites des suites, l'égalité suivante est vraie : la limite de la somme des suites est égale à la somme de leurs limites.

Deuxièmement, sur la base du quatrième théorème sur les limites des séquences, l'égalité suivante est vraie : la limite du produit du nième nombre de séquences est égale au produit de leurs limites. Il en est de même pour la division : la limite du quotient de deux suites est égale au quotient de leurs limites, à condition que la limite ne soit pas nulle. Après tout, si la limite des séquences est égale à zéro, il en résultera une division par zéro, ce qui est impossible.

Propriétés des quantités de séquence

Il semblerait que la limite de la séquence numérique ait déjà été discutée en détail, mais des expressions telles que nombres « infiniment petits » et « infiniment grands » sont mentionnées plus d'une fois. Évidemment, s'il existe une séquence 1/x, où x→∞, alors une telle fraction est infinitésimale, et s'il s'agit de la même séquence, mais la limite tend vers zéro (x→0), alors la fraction devient une valeur infiniment grande. Et ces quantités ont leurs propres caractéristiques. Les propriétés de la limite d'une séquence ayant des valeurs petites ou grandes sont les suivantes :

1. La somme d’un nombre quelconque de petites quantités sera également une petite quantité.
2. La somme d’un nombre quelconque de grandes quantités sera une quantité infiniment grande.
3. Le produit de quantités arbitrairement petites est infinitésimal.
4. Le produit d’un nombre quelconque de grands nombres est infiniment grand.
5. Si la séquence originale tend vers un nombre infiniment grand, alors son inverse sera infinitésimal et tendra vers zéro.

En fait, calculer la limite d’une séquence n’est pas une tâche si difficile si l’on connaît un algorithme simple. Mais les limites de la cohérence sont un sujet qui nécessite un maximum d’attention et de persévérance. Bien entendu, il suffit simplement de saisir l’essence de la solution à de telles expressions. En commençant petit, vous pouvez atteindre de grands sommets au fil du temps.

Nombre constant UN appelé limite séquences(x n ), si pour tout nombre positif arbitrairement petitε > 0 il existe un nombre N qui a toutes les valeurs xn, pour lequel n>N, satisfait l'inégalité

|x n - une|< ε. (6.1)

Écrivez-le comme suit : ou x n → un.

L'inégalité (6.1) équivaut à la double inégalité

une- ε< x n < a + ε, (6.2)

ce qui veut dire que les points xn, à partir d'un certain nombre n>N, se situe à l'intérieur de l'intervalle (a-ε, une+ ε ), c'est à dire. tomber dans n'importe quel petitε -quartier d'un point UN.

Une suite ayant une limite est appelée convergent, sinon - divergent.

Le concept de limite de fonction est une généralisation du concept de limite de séquence, puisque la limite d'une séquence peut être considérée comme la limite d'une fonction x n = f(n) d'un argument entier n.

Soit la fonction f(x) et soit un - point limite domaine de définition de cette fonction D(f), c'est-à-dire un tel point, dont tout voisinage contient des points de l'ensemble D(f) autres que un. Point un peut ou non appartenir à l’ensemble D(f).

Définition 1.Le nombre constant A s’appelle limite les fonctions f(x) à x →a, si pour toute séquence (x n ) de valeurs d'argument tendant à UN, les séquences correspondantes (f(x n)) ont la même limite A.

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Heine, ou " en langage séquentiel”.

Définition 2. Le nombre constant A s’appelle limite les fonctions f(x) à x →a, si, en spécifiant un nombre positif arbitrairement petit ε, on peut trouver un tel δ>0 (en fonction de ε), qui s'adresse à tout le monde X, couché dansε-quartiers du nombre UN, c'est à dire. Pour X, satisfaisant l'inégalité
0 < x-a< ε , les valeurs de la fonction f(x) se situeront dansε-voisinage du nombre A, c'est-à-dire|f(x)-UNE|< ε.

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Cauchy, ou « dans la langue ε - δ “.

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes. Si la fonction f(x) comme x →un a limite, égal à A, cela s'écrit sous la forme

. (6.3)

Dans le cas où la séquence (f(x n)) augmente (ou diminue) sans limite pour toute méthode d'approximation Xà ta limite UN, alors nous dirons que la fonction f(x) a limite infinie, et écris-le sous la forme :

Une variable (c'est-à-dire une séquence ou une fonction) dont la limite est zéro est appelée infiniment petit.

Une variable dont la limite est égale à l'infini s'appelle infiniment grand.

Pour trouver la limite en pratique, les théorèmes suivants sont utilisés.

Théorème 1 . Si toutes les limites existent

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commentaire. Des expressions comme 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sont incertains, par exemple le rapport de deux quantités infinitésimales ou infiniment grandes, et trouver une limite de ce type est appelé « découvrir des incertitudes ».

Théorème 2. (6.7)

ceux. on peut aller à la limite basée sur la puissance à exposant constant, notamment, ;

(6.8)

(6.9)

Théorème 3.

(6.10)

(6.11)

Où e » 2.7 - base du logarithme népérien. Les formules (6.10) et (6.11) sont appelées les premières merveilleuse limite et la deuxième limite remarquable.

Les conséquences de la formule (6.11) sont également utilisées en pratique :

(6.12)

(6.13)

(6.14)

en particulier la limite,

Si x → a et en même temps x > a, alors écrivez x→a + 0. Si, en particulier, a = 0, alors au lieu du symbole 0+0, écrivez +0. De même si x→a et en même temps x a-0. Nombres et sont appelés en conséquence limite droite Et limite gauche les fonctions f(x) à ce point UN. Pour qu'il y ait une limite de la fonction f(x) comme x→a est nécessaire et suffisant pour que . La fonction f(x) est appelée continu à ce point x 0 si limite

. (6.15)

La condition (6.15) peut être réécrite comme suit :

,

c'est-à-dire que le passage à la limite sous le signe d'une fonction est possible si elle est continue en un point donné.

Si l’égalité (6.15) est violée, alors on dit que à x = xo fonction f(x) Il a écart Considérons la fonction y = 1/x. Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble R., sauf pour x = 0. Le point x = 0 est un point limite de l'ensemble D(f), puisque dans n'importe quel voisinage de celui-ci, c'est-à-dire dans tout intervalle ouvert contenant le point 0, il y a des points de D(f), mais lui-même n'appartient pas à cet ensemble. La valeur f(x o)= f(0) n'est pas définie, donc au point x o = 0 la fonction a une discontinuité.

La fonction f(x) est appelée continu à droite au point x o si la limite

,

Et continu à gauche au point x o, si la limite

.

Continuité d'une fonction en un point xoéquivaut à sa continuité en ce point tant à droite qu'à gauche.

Pour que la fonction soit continue en un point xo, par exemple, à droite, il faut, d'une part, qu'il y ait une limite finie, et d'autre part, que cette limite soit égale à f(x o). Ainsi, si au moins une de ces deux conditions n’est pas remplie, alors la fonction présentera une discontinuité.

1. Si la limite existe et n'est pas égale à f(x o), alors on dit que fonction f(x) à ce point x o a rupture du premier type, ou saut.

2. Si la limite est+∞ ou -∞ ou n'existe pas, alors ils disent que dans indiquer xo la fonction a une discontinuité deuxième espèce.

Par exemple, fonction y = lit bébé x à x→ +0 a une limite égale à +∞, ce qui signifie qu'au point x=0 il présente une discontinuité du deuxième type. Fonction y = E(x) (partie entière de X) en des points à abscisses entières présente des discontinuités du premier type, ou sauts.

Une fonction continue en tout point de l’intervalle est appelée continu V. Une fonction continue est représentée par une courbe pleine.

De nombreux problèmes associés à la croissance continue d’une certaine quantité conduisent à la deuxième limite remarquable. Ces tâches comprennent, par exemple : la croissance des gisements selon la loi des intérêts composés, la croissance de la population du pays, la désintégration des substances radioactives, la prolifération des bactéries, etc.

Considérons exemple de Ya. I. Perelman, donnant une interprétation du nombre e dans le problème des intérêts composés. Nombre e il existe une limite . Dans les caisses d’épargne, les intérêts sont ajoutés chaque année au capital fixe. Si l'adhésion est effectuée plus souvent, le capital croît plus rapidement, puisqu'un montant plus important est impliqué dans la formation des intérêts. Prenons un exemple purement théorique et très simplifié. Que 100 deniers soient déposés à la banque. unités sur la base de 100 % par an. Si les intérêts ne sont ajoutés au capital fixe qu'après un an, alors à cette période, 100 deniers. unités se transformera en 200 unités monétaires. Voyons maintenant ce que deviendront 100 denize. unités, si les intérêts sont ajoutés au capital fixe tous les six mois. Après six mois, 100 deniers. unités passera à 100× 1,5 = 150, et après encore six mois - 150× 1,5 = 225 (den. unités). Si l'adhésion se fait tous les 1/3 de l'année, alors après un an 100 den. unités deviendra 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. unités). Nous augmenterons les conditions d'ajout d'intérêts à 0,1 an, à 0,01 an, à 0,001 an, etc. Puis sur 100 deniers. unités au bout d'un an ce sera :

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unités den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unités den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unités den.).

Avec une réduction illimitée des modalités d'ajout des intérêts, le capital accumulé ne croît pas indéfiniment, mais se rapproche d'une certaine limite égale à environ 271. Le capital déposé à 100 % par an ne peut augmenter de plus de 2,71 fois, même si les intérêts courus ont été ajoutés au capital chaque seconde car la limite

Exemple 3.1.À l’aide de la définition de la limite d’une suite de nombres, prouver que la suite x n =(n-1)/n a une limite égale à 1.

Solution.Nous devons prouver que, quoi qu'il arriveε > 0, peu importe ce que l'on prend, pour cela il existe un nombre naturel N tel que pour tout n N l'inégalité est vraie|xn-1|< ε.

Prenons n'importe quel e > 0. Puisque ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, alors pour trouver N il suffit de résoudre l'inégalité 1/n< e. Donc n>1/ e et, par conséquent, N peut être considéré comme une partie entière de 1/ e , N = E(1/ e ). Nous avons ainsi prouvé que la limite .

Exemple 3.2 . Trouver la limite d'une séquence donnée par un terme commun .

Solution.Appliquons la limite du théorème de la somme et trouvons la limite de chaque terme. Quand n→ ∞ le numérateur et le dénominateur de chaque terme tendent vers l'infini, et on ne peut pas appliquer directement le théorème limite du quotient. Par conséquent, nous transformons d’abord xn, en divisant le numérateur et le dénominateur du premier terme par n°2, et le deuxième sur n. Ensuite, en appliquant la limite du quotient et la limite du théorème de la somme, on trouve :

.

Exemple 3.3. . Trouver .

Solution. .

Ici, nous avons utilisé le théorème de la limite du degré : la limite d'un degré est égale au degré de la limite de la base.

Exemple 3.4 . Trouver ( ).

Solution.Il est impossible d'appliquer le théorème de la limite des différences, puisque nous avons une incertitude de la forme ∞-∞ . Transformons la formule du terme général :

.

Exemple 3.5 . La fonction f(x)=2 1/x est donnée. Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution.Utilisons la définition 1 de la limite d'une fonction à travers une séquence. Prenons une suite ( x n ) convergeant vers 0, c'est-à-dire Montrons que la valeur f(x n)= se comporte différemment pour différentes séquences. Soit x n = 1/n. Évidemment, alors la limite Choisissons maintenant comme xn une séquence avec un terme commun x n = -1/n, tendant également vers zéro. Il n’y a donc aucune limite.

Exemple 3.6 . Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution.Soit x 1 , x 2 ,..., x n ,... une suite pour laquelle
. Comment se comporte la séquence (f(x n)) = (sin x n) pour différents x n → ∞

Si x n = p n, alors sin x n = sin p n = 0 pour tout n et la limite Si
xn =2 p n+ p /2, alors péché x n = péché(2 p n+ p /2) = péché p /2 = 1 pour tout n et donc la limite. Donc ça n'existe pas.

Widget pour calculer les limites en ligne

Dans la fenêtre supérieure, au lieu de sin(x)/x, saisissez la fonction dont vous souhaitez rechercher la limite. Dans la fenêtre inférieure, entrez le nombre vers lequel x tend et cliquez sur le bouton Calculer, obtenez la limite souhaitée. Et si dans la fenêtre de résultats vous cliquez sur Afficher les étapes dans le coin supérieur droit, vous obtiendrez une solution détaillée.

Règles de saisie des fonctions : sqrt(x) - racine carrée, cbrt(x) - racine cubique, exp(x) - exposant, ln(x) - logarithme naturel, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arc sinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangente. Signes : * multiplication, / division, ^ exponentiation, à la place infini Infini. Exemple : la fonction est saisie sous la forme sqrt(tan(x/2)).

Limite de fonction- nombre un sera la limite d'une quantité variable si, au cours de son changement, cette quantité variable se rapproche indéfiniment un.

Ou en d'autres termes, le nombre UN est la limite de la fonction y = f(x)à ce point x0, si pour toute séquence de points du domaine de définition de la fonction , différent x0, et qui converge vers le point x 0 (lim x n = x0), la séquence des valeurs de fonction correspondantes converge vers le nombre UN.

Le graphique d'une fonction dont la limite, étant donné un argument qui tend vers l'infini, est égale à L:

Signification UN est limite (valeur limite) de la fonction f(x)à ce point x0 dans le cas d'une séquence de points , qui converge vers x0, mais qui ne contient pas x0 comme l'un de ses éléments (c'est-à-dire dans le voisinage perforé x0), séquence de valeurs de fonction converge vers UN.

Limite d'une fonction de Cauchy.

Signification UN sera limite de la fonction f(x)à ce point x0 si pour tout nombre non négatif pris à l'avance ε le nombre non négatif correspondant sera trouvé δ = δ(ε) tel que pour chaque argument X, satisfaisant la condition 0 < | x - x0 | < δ , l'inégalité sera satisfaite | f(x)UNE |< ε .

Ce sera très simple si vous comprenez l'essence de la limite et les règles de base pour la trouver. Quelle est la limite de la fonction F (X)à X luttant pour unéquivaut à UN, s'écrit ainsi :

De plus, la valeur vers laquelle tend la variable X, peut être non seulement un nombre, mais aussi l'infini (∞), parfois +∞ ou -∞, ou il peut n'y avoir aucune limite.

Pour comprendre comment trouver les limites d'une fonction, il est préférable de regarder des exemples de solutions.

Il faut trouver les limites de la fonction F (x) = 1/Xà:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Trouvons une solution à la première limite. Pour ce faire, vous pouvez simplement remplacer X le nombre vers lequel il tend, c'est-à-dire 2, on obtient :

Trouvons la deuxième limite de la fonction. Ici, remplacez plutôt le 0 pur X c'est impossible, parce que Vous ne pouvez pas diviser par 0. Mais on peut prendre des valeurs proches de zéro, par exemple 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 et ainsi de suite, et la valeur de la fonction F (X) augmentera : 100 ; 1000 ; 10 000 ; 100 000 et ainsi de suite. Ainsi, on peut comprendre que lorsque X→ 0 la valeur de la fonction qui est sous le signe limite augmentera sans limite, c'est-à-dire tendre vers l'infini. Ce qui signifie:

Concernant la troisième limite. La même situation que dans le cas précédent, il est impossible de substituer ∞ dans sa forme la plus pure. Il faut considérer le cas d'une augmentation illimitée X. Nous en substituons 1000 un par un ; 10 000 ; 100000 et ainsi de suite, on a ça la valeur de la fonction F (x) = 1/X diminuera : 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; et ainsi de suite, tendant vers zéro. C'est pourquoi:

Il faut calculer la limite de la fonction

En commençant à résoudre le deuxième exemple, nous constatons une incertitude. De là, nous trouvons le degré le plus élevé du numérateur et du dénominateur - c'est x3, on le retire des parenthèses au numérateur et au dénominateur puis on le réduit de :

Répondre

La première étape dans trouver cette limite, remplacez la valeur 1 à la place X, ce qui entraîne une incertitude. Pour le résoudre, factorisons le numérateur et faisons-le en utilisant la méthode de recherche des racines d'une équation quadratique x2 + 2x-3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3 ;x2= 1.

Le numérateur sera donc :

Répondre

Il s'agit de la définition de sa valeur spécifique ou d'une certaine zone où tombe la fonction, qui est limitée par la limite.

Pour résoudre les limites, suivez les règles :

Ayant compris l'essence et l'essentiel règles pour résoudre la limite, vous obtiendrez une compréhension de base de la façon de les résoudre.