Comment résoudre des fractions avec des parties entières. Ajouter des fractions

Note! Avant d’écrire votre réponse finale, voyez si vous pouvez raccourcir la fraction que vous avez reçue.

Soustraire des fractions de même dénominateur, exemples:

,

,

Soustraire une fraction propre d'une.

S'il est nécessaire de soustraire une fraction d'une unité propre, l'unité est convertie sous la forme d'une fraction impropre, son dénominateur est égal au dénominateur de la fraction soustraite.

Un exemple de soustraction d'une fraction propre à une :

Dénominateur de la fraction à soustraire = 7 , c'est-à-dire que nous en représentons une comme une fraction impropre 7/7 et la soustrayons selon la règle de soustraction de fractions de dénominateurs similaires.

Soustraire une fraction propre d'un nombre entier.

Règles pour soustraire des fractions - corriger à partir d'un nombre entier (entier naturel):

• Nous convertissons les fractions données contenant une partie entière en fractions impropres. On obtient des termes normaux (peu importe s'ils ont des dénominateurs différents), que l'on calcule selon les règles données ci-dessus ;
• Ensuite, nous calculons la différence entre les fractions que nous avons reçues. En conséquence, nous trouverons presque la réponse ;
• Nous effectuons la transformation inverse, c'est-à-dire que nous nous débarrassons de la fraction impropre - nous sélectionnons la partie entière de la fraction.

Soustrayez une fraction propre d'un nombre entier : représentez l'entier naturel comme un nombre fractionnaire. Ceux. Nous prenons une unité dans un nombre naturel et la convertissons sous la forme d’une fraction impropre, le dénominateur étant le même que celui de la fraction soustraite.

Exemple de soustraction de fractions :

Dans l'exemple, nous avons remplacé un par la fraction impropre 7/7 et au lieu de 3 nous avons écrit un nombre fractionnaire et soustrait une fraction de la partie fractionnaire.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.

Ou, pour le dire autrement, soustraire différentes fractions.

Règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents. Afin de soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, il faut d'abord réduire ces fractions au plus petit dénominateur commun (LCD), et seulement après cela, effectuer la soustraction comme pour les fractions avec les mêmes dénominateurs.

Le dénominateur commun de plusieurs fractions est LCM (plus petit commun multiple) nombres naturels qui sont les dénominateurs de ces fractions.

Attention! Si dans la fraction finale le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, alors la fraction doit être réduite. Une fraction impropre est mieux représentée comme une fraction mixte. Laisser le résultat de la soustraction sans réduire la fraction lorsque cela est possible est une solution incomplète à l'exemple !

Procédure pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.

• trouver le LCM pour tous les dénominateurs ;
• mettre des facteurs supplémentaires pour toutes les fractions ;
• multiplier tous les numérateurs par un facteur supplémentaire ;
• Nous écrivons les produits résultants au numérateur, en signant le dénominateur commun sous toutes les fractions ;
• soustraire les numérateurs des fractions en signant le dénominateur commun sous la différence.

De la même manière, l'addition et la soustraction de fractions sont effectuées s'il y a des lettres au numérateur.

Soustraire des fractions, exemples :

Soustraire des fractions mixtes.

À soustraire des fractions mixtes (nombres) séparément, la partie entière est soustraite de la partie entière et la partie fractionnaire est soustraite de la partie fractionnaire.

La première option pour soustraire des fractions mixtes.

Si les parties fractionnaires le même dénominateurs et numérateur de la partie fractionnaire du minuend (on le soustrait) ≥ numérateur de la partie fractionnaire du soustrahend (on le soustrait).

Par exemple:

La deuxième option pour soustraire des fractions mixtes.

Lorsque les parties fractionnaires différent dénominateurs. Pour commencer, nous ramenons les parties fractionnaires à un dénominateur commun, puis nous soustrayons la partie entière de la partie entière et la partie fractionnaire de la partie fractionnaire.

Par exemple:

La troisième option pour soustraire des fractions mixtes.

La partie fractionnaire du minuend est inférieure à la partie fractionnaire du sous-trahend.

Exemple:

Parce que Les parties fractionnaires ont des dénominateurs différents, ce qui signifie que, comme dans la deuxième option, nous ramenons d'abord les fractions ordinaires à un dénominateur commun.

Le numérateur de la partie fractionnaire du minuend est inférieur au numérateur de la partie fractionnaire du sous-trahend.3 < 14. Cela signifie que nous prenons une unité de la partie entière et réduisons cette unité à la forme d'une fraction impropre avec le même dénominateur et le même numérateur. = 18.

Au numérateur du côté droit, nous écrivons la somme des numérateurs, puis nous ouvrons les parenthèses dans le numérateur du côté droit, c'est-à-dire que nous multiplions tout et donnons des valeurs similaires. On n'ouvre pas les parenthèses au dénominateur. Il est d'usage de laisser le produit dans les dénominateurs. On a:

Au Ve siècle avant JC, l'ancien philosophe grec Zénon d'Élée formula ses célèbres apories, dont la plus célèbre est l'aporie « Achille et la tortue ». Voici à quoi cela ressemble :

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour, la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes ... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce sur quoi je souhaite attirer particulièrement l’attention, c’est que deux points dans le temps et deux points dans l’espace sont des choses différentes qu’il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : différentes pièces de monnaie ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes sont uniques pour chaque pièce...

Et maintenant j'ai la question la plus intéressante : où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Ainsi, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope, nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure d’une même quantité conduisent à des résultats différents après les avoir comparées, cela n’a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.

Inscrivez-vous sur la porte Il ouvre la porte et dit :

Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.

Le numérateur, et ce qui est divisé par est le dénominateur.

Pour écrire une fraction, écrivez d’abord le numérateur, puis tracez une ligne horizontale sous le nombre et écrivez le dénominateur sous la ligne. La ligne horizontale qui sépare le numérateur et le dénominateur est appelée ligne de fraction. Parfois, il est représenté par un "/" ou un "∕" oblique. Dans ce cas, le numérateur est écrit à gauche de la ligne et le dénominateur à droite. Ainsi, par exemple, la fraction « deux tiers » s’écrira 2/3. Pour plus de clarté, le numérateur est généralement écrit en haut de la ligne et le dénominateur en bas, c'est-à-dire qu'au lieu de 2/3 vous pouvez trouver : ⅔.

Pour calculer le produit de fractions, multipliez d'abord le numérateur par un fractions au numérateur est différent. Écrivez le résultat au numérateur du nouveau fractions. Après cela, multipliez les dénominateurs. Entrez la valeur totale dans le nouveau fractions. Par exemple, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1 ; 3 × 5 = 15).

Pour diviser une fraction par une autre, multipliez d’abord le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde. Faites de même avec la deuxième fraction (diviseur). Ou, avant d'effectuer toutes les actions, « retournez » d'abord le diviseur, si cela vous convient mieux : le dénominateur doit apparaître à la place du numérateur. Multipliez ensuite le dénominateur du dividende par le nouveau dénominateur du diviseur et multipliez les numérateurs. Par exemple, 1/3 : 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5 ; 3 ? 1 = 3).

Sources:

• Problèmes de fractions de base

Les nombres fractionnaires permettent d'exprimer la valeur exacte d'une quantité sous différentes formes. Vous pouvez effectuer les mêmes opérations mathématiques avec des fractions qu’avec des nombres entiers : soustraction, addition, multiplication et division. Pour apprendre à décider fractions, il faut rappeler certaines de leurs caractéristiques. Ils dépendent du type fractions, la présence d'une partie entière, un dénominateur commun. Certaines opérations arithmétiques nécessitent que la partie fractionnaire du résultat soit réduite après exécution.

Tu auras besoin de

• - calculatrice

Instructions

Regardez attentivement les chiffres. Si parmi les fractions il y a des décimales et des irrégulières, il est parfois plus pratique d'effectuer d'abord des opérations avec des décimales, puis de les convertir sous la forme irrégulière. Peux-tu traduire fractions sous cette forme dans un premier temps, en écrivant la valeur après la virgule au numérateur et en mettant 10 au dénominateur. Si nécessaire, réduisez la fraction en divisant les nombres ci-dessus et ci-dessous par un diviseur. Les fractions dans lesquelles la partie entière est isolée doivent être converties sous la mauvaise forme en la multipliant par le dénominateur et en ajoutant le numérateur au résultat. Cette valeur deviendra le nouveau numérateur fractions. Pour sélectionner une pièce entière parmi une pièce initialement incorrecte fractions, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Écrivez le résultat complet de fractions. Et le reste de la division deviendra le nouveau numérateur, dénominateur fractionsça ne change pas. Pour les fractions à partie entière, il est possible d'effectuer des actions séparément, d'abord pour la partie entière puis pour les parties fractionnaires. Par exemple, la somme de 1 2/3 et 2 ¾ peut être calculée :
- Conversion de fractions sous la mauvaise forme :
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ;
- Somme des parties distinctes entières et fractionnaires des termes :
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Réécrivez-les en utilisant le séparateur « : » et continuez avec la division normale.

Pour obtenir le résultat final, réduisez la fraction obtenue en divisant le numérateur et le dénominateur par un nombre entier, le plus grand possible dans ce cas. Dans ce cas, il doit y avoir des entiers au-dessus et en dessous de la ligne.

note

N'effectuez pas d'arithmétique avec des fractions dont les dénominateurs sont différents. Choisissez un nombre tel que lorsque vous multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par celui-ci, le résultat est que les dénominateurs des deux fractions sont égaux.

Conseil utile

Lors de l'écriture de nombres fractionnaires, le dividende est écrit au-dessus de la ligne. Cette quantité est désignée comme le numérateur de la fraction. Le diviseur, ou dénominateur, de la fraction est écrit sous la ligne. Par exemple, un kilo et demi de riz sous forme de fraction s'écrira comme suit : 1 ½ kg de riz. Si le dénominateur d’une fraction est 10, la fraction est appelée décimale. Dans ce cas, le numérateur (dividende) est écrit à droite de la partie entière, séparé par une virgule : 1,5 kg de riz. Pour faciliter le calcul, une telle fraction peut toujours être écrite sous la mauvaise forme : 1 2/10 kg de pommes de terre. Pour simplifier, vous pouvez réduire les valeurs du numérateur et du dénominateur en les divisant par un entier. Dans cet exemple, vous pouvez diviser par 2. Le résultat sera 1 1/5 kg de pommes de terre. Assurez-vous que les nombres avec lesquels vous allez effectuer des calculs sont présentés sous la même forme.

Votre enfant a apporté des devoirs de l'école et vous ne savez pas comment les résoudre ? Alors cette mini-leçon est faite pour vous !

Comment ajouter des décimales

Il est plus pratique d’ajouter des fractions décimales dans une colonne. Pour ajouter des décimales, vous devez suivre une règle simple :

• Le lieu doit être sous le lieu, la virgule sous la virgule.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, les unités entières sont situées les unes sous les autres, les chiffres des dixièmes et des centièmes sont situés les uns sous les autres. Maintenant, nous additionnons les nombres en ignorant la virgule. Que faire de la virgule ? La virgule est déplacée à l'endroit où elle se trouvait dans la catégorie des nombres entiers.

Additionner des fractions avec des dénominateurs égaux

Pour effectuer une addition avec un dénominateur commun, vous devez garder le dénominateur inchangé, trouver la somme des numérateurs et obtenir une fraction qui sera la somme totale.

Addition de fractions avec différents dénominateurs en utilisant la méthode multiple commune

La première chose à laquelle vous devez faire attention, ce sont les dénominateurs. Les dénominateurs sont différents, que l'un soit divisible par l'autre ou qu'il s'agisse de nombres premiers. Nous devons d’abord le ramener à un dénominateur commun ; il existe plusieurs façons de le faire :

• 1/3 + 3/4 = 13/12, pour résoudre cet exemple nous devons trouver le plus petit commun multiple (LCM) qui sera divisible par 2 dénominateurs. Pour désigner le plus petit multiple de a et b – LCM (a;b). Dans cet exemple LCM (3;4)=12. On vérifie : 12:3=4 ; 12:4=3.
• Nous multiplions les facteurs et additionnons les nombres résultants, nous obtenons 13/12 - une fraction impropre.

• Afin de convertir une fraction impropre en fraction propre, divisez le numérateur par le dénominateur, nous obtenons l'entier 1, le reste 1 est le numérateur et 12 est le dénominateur.

Addition de fractions à l'aide de la méthode de multiplication croisée

Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, il existe une autre méthode utilisant la formule « cross to cross ». C'est un moyen garanti d'égaliser les dénominateurs : pour ce faire, vous devez multiplier les numérateurs par le dénominateur d'une fraction et vice versa. Si vous n'en êtes qu'au stade initial de l'apprentissage des fractions, cette méthode est le moyen le plus simple et le plus précis d'obtenir le résultat correct lors de l'addition de fractions avec des dénominateurs différents.

Cette leçon couvrira l'addition et la soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs. Nous savons déjà comment additionner et soustraire des fractions communes avec des dénominateurs différents. Pour ce faire, les fractions doivent être réduites à un dénominateur commun. Il s’avère que les fractions algébriques suivent les mêmes règles. En même temps, nous savons déjà réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun. L'addition et la soustraction de fractions avec différents dénominateurs sont l'un des sujets les plus importants et les plus difficiles du cours de 8e année. De plus, ce sujet apparaîtra dans de nombreux sujets du cours d'algèbre que vous étudierez à l'avenir. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons les règles d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs, et analyserons également un certain nombre d'exemples typiques.

Regardons l'exemple le plus simple des fractions ordinaires.

Exemple 1. Ajouter des fractions : .

Solution:

Rappelons la règle d'addition des fractions. Pour commencer, les fractions doivent être réduites à un dénominateur commun. Le dénominateur commun des fractions ordinaires est multiple moins commun(LCM) des dénominateurs originaux.

Définition

Le plus petit nombre naturel divisible par les nombres et .

Pour trouver le LCM, vous devez factoriser les dénominateurs en facteurs premiers, puis sélectionner tous les facteurs premiers inclus dans le développement des deux dénominateurs.

; . Alors le LCM des nombres doit comprendre deux deux et deux trois : .

Après avoir trouvé le dénominateur commun, vous devez trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction (en fait, divisez le dénominateur commun par le dénominateur de la fraction correspondante).

Chaque fraction est ensuite multipliée par le facteur supplémentaire résultant. Nous obtenons des fractions avec les mêmes dénominateurs, que nous avons appris à additionner et à soustraire dans les leçons précédentes.

On a: .

Répondre:.

Considérons maintenant l'addition de fractions algébriques avec des dénominateurs différents. Examinons d’abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres.

Exemple 2. Ajouter des fractions : .

Solution:

L'algorithme de solution est absolument similaire à l'exemple précédent. Il est facile de trouver le dénominateur commun de ces fractions : et des facteurs supplémentaires pour chacune d'elles.

.

Répondre:.

Alors formulons algorithme pour additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs:

1. Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions.

2. Trouvez des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions (en divisant le dénominateur commun par le dénominateur de la fraction donnée).

3. Multipliez les numérateurs par les facteurs supplémentaires correspondants.

4. Additionnez ou soustrayez des fractions en utilisant les règles d'addition et de soustraction de fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Considérons maintenant un exemple avec des fractions dont le dénominateur contient des expressions alphabétiques.

Exemple 3. Ajouter des fractions : .

Solution:

Puisque les expressions des lettres dans les deux dénominateurs sont les mêmes, vous devriez trouver un dénominateur commun pour les nombres. Le dénominateur commun final ressemblera à : . Ainsi, la solution à cet exemple ressemble à :.

Répondre:.

Exemple 4. Soustraire des fractions : .

Solution:

Si vous ne pouvez pas « tricher » lors du choix d'un dénominateur commun (vous ne pouvez pas le factoriser ou utiliser des formules de multiplication abrégées), alors vous devez prendre le produit des dénominateurs des deux fractions comme dénominateur commun.

Répondre:.

En général, lors de la résolution de tels exemples, la tâche la plus difficile est de trouver un dénominateur commun.

Regardons un exemple plus complexe.

Exemple 5. Simplifier: .

Solution:

Lorsque vous trouvez un dénominateur commun, vous devez d’abord essayer de factoriser les dénominateurs des fractions originales (pour simplifier le dénominateur commun).

Dans ce cas particulier :

Il est alors facile de déterminer le dénominateur commun : .

Nous déterminons des facteurs supplémentaires et résolvons cet exemple :

Répondre:.

Établissons maintenant les règles d'addition et de soustraction de fractions avec différents dénominateurs.

Exemple 6. Simplifier: .

Solution:

Répondre:.

Exemple 7. Simplifier: .

Solution:

.

Répondre:.

Considérons maintenant un exemple dans lequel non pas deux, mais trois fractions sont ajoutées (après tout, les règles d'addition et de soustraction pour un plus grand nombre de fractions restent les mêmes).

Exemple 8. Simplifier: .