Que faut-il savoir sur le triangle de Penrose ? Triangle impossible Autres figurines de Penrose.

Salutations à vous chers lecteurs du site du blog. Rustam Zakirov est en contact et j'ai un autre article pour vous, dont le sujet est de savoir comment dessiner un triangle de Penrose. Aujourd'hui, je veux vous montrer à quel point il est facile et simple de dessiner un triangle impossible. Nous allons dessiner deux dessins de ce triangle, l'un sera normal et le second est un vrai dessin en 3D. Et tout cela sera étonnamment simple. Vous pouvez faire un vrai dessin en 3D de ce triangle. Je doute que cela vous soit montré ailleurs, alors lisez l'article jusqu'à la fin et très attentivement.

Pour nos dessins, nous avons, comme toujours, besoin : d'une feuille de papier, de crayons simples (de préférence un "moyen", "un autre doux") et de plusieurs crayons de couleur ou feutres.

Comme il est facile de dessiner des dessins 3D.

J'ai sorti ce triangle impossible de cette image ordinaire, que je viens de trouver sur Internet. Elle est là.

Et puis en quelques minutes avec l'aide, il l'a traduit en 3D . Ainsi, vous pouvez traduire presque n'importe quelle image en 3D. Qui veut apprendre la même chose, cliquez ici.

Et nous passons à notre dessin.

Nous dessinons un dessin triangulaire régulier.

ÉTAPE 1. Nous traduisons à partir de l'écran du moniteur.

Pour que vous puissiez dessiner un triangle, vous devrez procéder comme suit. Vous prenez votre morceau de papier et vous l'appuyez contre le triangle sur l'écran du moniteur, et vous le traduisez simplement.

Et comme notre triangle n'est pas du tout compliqué, il suffit de ne mettre que les points principaux dans tous ses coins.

Et puis nous regardons l'original et connectons ces points avec une règle. Je l'ai eu comme ça.

Tout notre triangle est prêt. Vous pouvez le laisser ainsi, mais décorons-le un peu plus. Je l'ai fait avec des crayons de couleur. Une fois que nous avons complètement coloré notre triangle, tracez-le à nouveau complètement avec un simple crayon doux.

À ce stade, notre triangle de Penrose habituel est complètement prêt et nous passons au même triangle.

Nous dessinons un dessin 3D d'un triangle.

ÉTAPE 1. Nous traduisons.

Nous agissons de la même manière qu'avec un modèle régulier. Je vous donne un triangle tout fait, déjà traduit au format 3D. C'est ici.

Et vous le traduisez. Nous faisons tout de la même manière qu'avec un dessin ordinaire. Vous prenez votre feuille de papier, vous l'appuyez contre l'écran du moniteur, la feuille brille à travers et vous traduisez simplement le dessin 3D fini sur votre feuille.

Voici ce qui m'est arrivé.

La taille du triangle peut être augmentée ou diminuée. Pour cela, il vous suffit de changer l'échelle de votre moniteur. Maintenez la touche Ctrl enfoncée et faites rouler la molette de la souris.

Nous pouvons dire sans risque que notre dessin 3D est déjà prêt. Cela m'a pris environ 3 minutes. Sur ce, en principe, vous pouvez terminer en toute sécurité, mais colorons à nouveau notre triangle.

Le triangle impossible est l'un des paradoxes mathématiques étonnants. Au premier coup d'œil, vous ne pouvez pas douter une seconde de son existence réelle. Cependant, ce n'est qu'une illusion, une tromperie. Et la possibilité même d'une telle illusion nous sera expliquée par les mathématiques !

Découverte de la Penrose

En 1958, le British Journal of Psychology publia un article de L. Penrose et R. Penrose, dans lequel ils introduisirent un nouveau type d'illusion d'optique, qu'ils appelèrent le "triangle impossible".

Un triangle visuellement impossible est perçu comme une structure qui existe réellement dans un espace tridimensionnel, composé de barres rectangulaires. Mais ce n'est qu'une illusion d'optique. Il est impossible de construire un modèle réel du triangle impossible.

L'article de Penrose contenait plusieurs versions du triangle impossible. - sa présentation "classique".

Quels sont les éléments du triangle impossible ?

Plus précisément, à partir de quels éléments nous semble-t-il construit ? La conception est basée sur un coin rectangulaire, qui est obtenu en joignant deux barres rectangulaires identiques à angle droit. Trois de ces coins sont nécessaires et les barres, par conséquent, six pièces. Ces coins doivent être visuellement « connectés » les uns aux autres d'une certaine manière afin qu'ils forment un circuit fermé. Ce qui se passe, c'est le triangle impossible.

Placez le premier coin dans le plan horizontal. Nous y attachons le deuxième coin en dirigeant l'un de ses bords vers le haut. Enfin, ajoutez le troisième coin à ce deuxième coin de sorte que son bord soit parallèle au plan horizontal d'origine. Dans ce cas, les deux bords des premier et troisième coins seront parallèles et orientés dans des directions différentes.

Si nous considérons la barre comme un segment de longueur unitaire, alors les extrémités des barres du premier coin ont des coordonnées, et, le deuxième coin -, et, le troisième -, et. Nous avons une structure « tordue » qui existe réellement dans l'espace tridimensionnel.

Essayons maintenant de le regarder mentalement à partir de différents points de l'espace. Imaginez à quoi cela ressemble d'un point, d'un autre, d'un troisième. Lorsque vous changez de point d'observation, il semblera que les deux bords « d'extrémité » de nos coins se déplacent l'un par rapport à l'autre. Il n'est pas difficile de trouver une telle position dans laquelle ils se connecteront.

Mais si la distance entre les bords est bien inférieure à la distance des coins au point à partir duquel nous considérons notre structure, alors les deux bords auront la même épaisseur pour nous, et l'idée viendra que ces deux bords sont en fait une extension l'une de l'autre. Cette situation est décrite en 4.

Soit dit en passant, si nous regardons simultanément le reflet de la structure dans le miroir, nous n'y verrons pas de circuit fermé.

Et du point d'observation choisi, nous voyons de nos propres yeux un miracle qui s'est produit : il y a un circuit fermé de trois coins. Ne changez simplement pas votre point de vue pour que cette illusion ne soit pas détruite. Maintenant, vous pouvez dessiner un objet visible ou placer un objectif de caméra sur le point trouvé et obtenir une photographie d'un objet impossible.

Les Penrose furent les premiers à s'intéresser à ce phénomène. Ils ont utilisé les opportunités qui se présentent lors de la cartographie de l'espace tridimensionnel et des objets tridimensionnels sur un plan bidimensionnel et ont attiré l'attention sur une certaine incertitude de conception - une structure ouverte à partir de trois coins peut être perçue comme un circuit fermé.

Preuve de l'impossibilité du triangle de Penrose

En analysant les caractéristiques d'une image bidimensionnelle d'objets tridimensionnels sur un plan, nous avons compris comment les caractéristiques de cet affichage conduisent à un triangle impossible. Peut-être que quelqu'un sera également intéressé par une preuve purement mathématique.

Il est extrêmement facile de prouver qu'un triangle impossible n'existe pas, car chacun de ses angles est droit, et leur somme est égale à 270 degrés au lieu des 180 degrés "prescrits".

De plus, même si nous considérons un triangle impossible collé à partir de coins inférieurs à 90 degrés, alors dans ce cas, nous pouvons prouver qu'un triangle impossible n'existe pas.

On voit trois faces plates. Ils se croisent par paires le long de lignes droites. Les plans contenant ces faces sont orthogonaux deux à deux, ils se coupent donc en un point.

De plus, les lignes d'intersection mutuelle des plans doivent passer par ce point. Par conséquent, les droites 1, 2, 3 doivent se couper en un point.

Mais ce n'est pas le cas. Par conséquent, la conception présentée est impossible.

Art "impossible"

Le sort de telle ou telle idée - scientifique, technique, politique - dépend de nombreuses circonstances. Et surtout, sous quelle forme cette idée sera présentée, sous quelle image elle apparaîtra au grand public. L'incarnation sera-t-elle sèche et difficile à percevoir, ou, au contraire, l'apparence de l'idée sera-t-elle brillante, capturant notre attention même contre notre volonté.

Le triangle impossible a un destin heureux. En 1961, l'artiste néerlandais Moritz Escher achève la lithographie qu'il baptise « Cascade ». L'artiste a parcouru un chemin long, mais rapide, de l'idée même d'un triangle impossible à son incarnation artistique étonnante. Rappelons que l'article de Penrose est paru en 1958.

Au cœur de "Waterfall" se trouvent les deux triangles impossibles représentés. Un triangle est grand, avec un autre triangle à l'intérieur. Il peut sembler que trois triangles impossibles identiques sont représentés. Mais ce n'est pas le sujet, le design présenté est plutôt compliqué.

Au premier coup d'œil, son absurdité ne sera pas immédiatement apparente pour tout le monde et pas immédiatement, puisque chaque connexion présentée est possible. comme on dit, localement, c'est-à-dire dans une petite zone du dessin, une telle conception est réalisable... Mais en général c'est impossible ! Ses pièces individuelles ne s'emboîtent pas, ne s'accordent pas les unes avec les autres.

Et pour comprendre cela, nous devons déployer certains efforts intellectuels et visuels.

Faisons un voyage le long des bords de la structure. Ce chemin est remarquable en ce que le long de celui-ci, nous semble-t-il, le niveau par rapport au plan horizontal reste inchangé. En avançant sur ce chemin, nous ne montons ni ne descendons.

Et tout irait bien, comme d'habitude, si à la fin du chemin - à savoir, au point - nous ne trouvions pas que par rapport au point initial, initial, nous grimpions en quelque sorte mystérieusement impensable la verticale !

Pour arriver à ce résultat paradoxal, il faut choisir cette voie même, et même garder un œil sur le niveau par rapport au plan horizontal... Pas facile. Dans sa décision, Escher est venue à la rescousse... de l'eau. Rappelons-nous la chanson sur le mouvement du merveilleux cycle vocal de Franz Schubert "Le Beau Meunier":

Et d'abord dans l'imagination, puis de la main d'un maître merveilleux, des structures nues et sèches se transforment en aqueducs, le long desquels coulent des ruisseaux d'eau propres et rapides. Leur mouvement capte nos yeux, et maintenant, contre notre volonté, nous nous précipitons vers l'aval, en suivant tous les virages et virages du chemin, avec le ruisseau que nous brisons, tombons sur les lames d'un moulin à eau, puis à nouveau nous précipitons vers l'aval .. .

Nous faisons le tour de ce chemin une fois, deux fois, trois fois ... et alors seulement nous réalisons: en entrant et en sortant, nous nous élevons d'une manière fantastique au sommet! La surprise initiale se transforme en une sorte de malaise intellectuel. Il semble que nous soyons devenus la victime d'une sorte de farce, l'objet d'une sorte de plaisanterie que nous n'avons pas encore compris.

Et encore une fois, nous répétons ce chemin le long d'un étrange conduit d'eau, maintenant lentement, avec prudence, comme si nous craignions une prise d'une image paradoxale, percevant de manière critique tout ce qui se passe le long de ce chemin mystérieux.

Nous essayons de percer le mystère qui nous a frappés, et nous ne pouvons pas échapper à sa captivité tant que nous n'avons pas trouvé la source cachée qui se trouve à sa base et entraîne le tourbillon impensable dans un mouvement non-stop.

L'artiste souligne spécifiquement, nous impose la perception de ses peintures comme des images d'objets réels en trois dimensions. La volumétrie est soulignée par l'image de polyèdres bien réels sur les tours, la maçonnerie avec la représentation la plus précise de chaque brique dans les murs de l'aqueduc, les terrasses montantes avec des jardins en arrière-plan. Tout est conçu pour convaincre le spectateur de la réalité de ce qui se passe. Et grâce à l'art et à une excellente technologie, cet objectif a été atteint.

Lorsque nous nous libérons de la captivité dans laquelle tombe notre conscience, nous commençons à comparer, contraster, analyser, nous constatons que la base, la source de cette image est cachée dans les caractéristiques de conception.

Et nous en avons une de plus - une preuve "physique" de l'impossibilité du "triangle impossible": si un tel triangle existait, alors il y aurait la "Cascade" d'Escher, qui est essentiellement une machine à mouvement perpétuel. Mais une machine à mouvement perpétuel est impossible, donc le "triangle impossible" est également impossible. Et, peut-être, cette "preuve" est la plus convaincante.

Qu'est-ce qui a fait de Moritz Escher un phénomène unique qui n'a pas eu de prédécesseur évident dans l'art et qui ne peut être imité ? C'est une combinaison de plans et de volumes, une attention particulière aux formes bizarres du microcosme - vivant et inanimé, aux points de vue inhabituels sur les choses ordinaires. L'effet principal de ses compositions est l'effet de l'apparition de relations impossibles entre des objets familiers. Ces situations à première vue peuvent à la fois effrayer et faire sourire. Vous pouvez regarder avec joie le plaisir que propose l'artiste, ou vous pouvez sérieusement vous immerger dans les profondeurs de la dialectique.

Moritz Escher a montré que le monde peut être complètement différent de ce que nous voyons et sommes habitués à percevoir - il suffit de le regarder sous un nouvel angle de vue !

Moritz Escher

Moritz Escher a eu plus de chance en tant que scientifique qu'en tant qu'artiste. Ses estampes et lithographies étaient considérées comme des indices de contre-exemples originaux ou prouvant des théorèmes qui défiaient le bon sens. Au pire, ils étaient perçus comme d'excellentes illustrations pour des traités scientifiques de cristallographie, de théorie des groupes, de psychologie cognitive ou d'infographie. Moritz Escher a travaillé dans le domaine des relations entre l'espace, le temps et leur identité, a utilisé des motifs de base de mosaïques, en leur appliquant des transformations. C'est le grand maître de la tromperie optique. Les gravures d'Escher ne représentent pas le monde des formules, mais la beauté du monde. Leur constitution intellectuelle est fondamentalement à l'opposé des créations illogiques des surréalistes.

L'artiste néerlandais Moritz Cornelius Escher est né le 17 juin 1898 dans la province de Hollande. La maison natale d'Escher abrite aujourd'hui un musée.

Depuis 1907, Moritz étudie la menuiserie et le piano, au lycée. Les notes de Moritz dans toutes les matières étaient médiocres, à l'exception du dessin. Le professeur de dessin a remarqué le talent du garçon et lui a appris à faire des gravures sur bois.

En 1916, Escher achève sa première œuvre graphique, une gravure sur linoléum violet - un portrait de son père, GA Escher. Il visite l'atelier de l'artiste Gert Stiegemann, qui possédait une imprimerie. Les premières gravures d'Escher ont été imprimées sur cette machine.

En 1918-1919, Escher a fréquenté le Collège technique de la ville néerlandaise de Delft. Il a reçu un sursis du service militaire pour poursuivre ses études, mais en raison d'une mauvaise santé, Moritz n'a pas suivi le programme et a été expulsé. En conséquence, il n'a jamais obtenu son diplôme. Il étudie à l'École d'architecture et d'ornement de la ville de Haarlem, où il prend des leçons de dessin auprès de Samuel Jeseren de Mesquite, qui a eu une influence formatrice sur la vie et l'œuvre d'Escher.

En 1921, la famille Escher visite la Riviera et l'Italie. Fasciné par la végétation et les fleurs du climat méditerranéen, Moritz a réalisé des dessins détaillés de cactus et d'oliviers. Il a dessiné de nombreux croquis de paysages de montagne, qui ont ensuite constitué la base de son travail. Plus tard, il reviendra constamment en Italie, ce qui lui servira de source d'inspiration.

Escher commence à expérimenter dans une nouvelle direction pour lui-même, même alors, dans ses œuvres, il y a des images miroir, des figures de cristal et des sphères.

La fin des années vingt s'avère être une période très fructueuse pour Moritz. Son travail a été présenté dans de nombreuses expositions en Hollande et, en 1929, sa popularité avait atteint un tel niveau que cinq expositions personnelles ont eu lieu en Hollande et en Suisse en un an. C'est à cette époque que les peintures d'Escher sont d'abord qualifiées de mécaniques et de « logiques ».

Escher voyage beaucoup. Vit en Italie et en Suisse, Belgique. Il étudie les mosaïques mauresques, réalise des lithographies, des gravures. À partir de croquis de voyage, il crée sa première peinture d'une réalité impossible Still Life with Street.

À la fin des années trente, Escher a continué à expérimenter des mosaïques et des transformations. Il crée une mosaïque sous la forme de deux oiseaux volant l'un vers l'autre, qui a constitué la base de la peinture "Jour et Nuit".

En mai 1940, les nazis occupent la Hollande et la Belgique, et le 17 mai, Bruxelles, où vivent Escher et sa famille, tombe en zone d'occupation. Ils trouvent une maison à Varna et s'y installent en février 1941. Jusqu'à la fin de ses jours, Escher vivra dans cette ville.

En 1946, Escher s'intéresse à la technologie d'impression taille-douce. Et même si cette technologie était beaucoup plus compliquée que celle qu'Escher utilisait auparavant et prenait plus de temps pour créer l'image, les résultats étaient impressionnants - des lignes fines et une reproduction précise des ombres. L'une des œuvres les plus célèbres de la technique d'impression en héliogravure "Dew Drop" a été achevée en 1948.

En 1950, Moritz Escher gagne en popularité en tant que conférencier. Parallèlement, en 1950, sa première exposition personnelle se tient aux États-Unis et son travail commence à être acheté. Le 27 avril 1955, Moritz Escher est fait chevalier et devient noble.

Au milieu des années 50, Escher associe des mosaïques à des figures qui s'étendent à l'infini.

Au début des années 1960, le premier livre avec les œuvres d'Escher, Grafiek en Tekeningen, est publié, dans lequel l'auteur lui-même commente 76 œuvres. Le livre a aidé à mieux comprendre les mathématiciens et les cristallographes, dont certains de Russie et du Canada.

En août 1960, Escher donna une conférence sur la cristallographie à Cambridge. Les aspects mathématiques et cristallographiques de l'œuvre d'Escher deviennent très populaires.

En 1970, après une nouvelle série d'opérations, Escher s'installe dans une nouvelle maison à Laren, qui possède un atelier, mais une mauvaise santé l'empêche de beaucoup travailler.

En 1971, Moritz Escher décède à l'âge de 73 ans. Escher a vécu assez longtemps pour voir le livre "MC Escher's World" traduit en anglais et en a été très satisfait.

Diverses images impossibles peuvent être trouvées sur les sites Web de mathématiciens et de programmeurs. La version la plus complète de la revue par nous, à notre avis, est le site de Vlad Alekseev

Ce site contient non seulement des peintures bien connues, dont M. Escher, mais aussi des images animées, des dessins amusants d'animaux impossibles, des pièces de monnaie, des timbres, etc. Ce site est vivant, il est périodiquement mis à jour et rempli de dessins étonnants.

Plusieurs figures impossibles ont été inventées - une échelle, un triangle et une broche en X. Ces chiffres sont en fait bien réels dans l'image volumétrique. Mais lorsque l'artiste projette le volume sur papier, les objets semblent impossibles. Le triangle, également appelé « tribar », est devenu un merveilleux exemple de la façon dont l'impossible devient possible lorsque vous faites un effort.

Tous ces chiffres sont de belles illusions. Les réalisations du génie humain sont utilisées par les artistes qui peignent dans le style de l'imp-art.

Rien n'est impossible. Cela peut être dit à propos du triangle de Penrose. C'est une figure géométriquement impossible dont les éléments ne peuvent être reliés. Après tout, le triangle impossible est devenu possible. Le peintre suédois Oskar Reutersvärd en 1934 a présenté au monde un triangle impossible fait de cubes. A. Reutersvärd est considéré comme le découvreur de cette illusion visuelle. En l'honneur de cet événement, ce dessin a ensuite été imprimé sur un timbre-poste suédois.

Et en 1958, le mathématicien Roger Penrose a publié une publication dans un journal anglais sur les figures impossibles. C'est lui qui a créé le modèle scientifique de l'illusion. Roger Penrose était un scientifique incroyable. Il a mené des recherches dans le domaine de la théorie de la relativité ainsi que dans la fascinante théorie quantique. Il a reçu le prix Wolf avec S. Hawking.

On sait que l'artiste Maurits Escher, impressionné par cet article, a peint son œuvre étonnante - la lithographie "Cascade". Mais est-il possible de faire un triangle de Penrose ? Comment faire, si possible ?

Tribar et réalité

Bien que la figure soit considérée comme impossible, faire un triangle de Penrose de vos propres mains est plus facile que jamais. Il peut être fabriqué en papier. Les amateurs d'origami ne pouvaient tout simplement pas ignorer le tribar et trouvaient toujours un moyen de créer et de tenir entre leurs mains une chose qui semblait auparavant un fantasme scandaleux du scientifique.

Cependant, nous sommes trompés par nos propres yeux lorsque nous regardons la projection d'un objet tridimensionnel de trois lignes perpendiculaires. Il semble à l'observateur qu'il voit un triangle, bien qu'en réalité il ne le soit pas.

Géométrie de l'artisanat

Le triangle tribar, comme on l'a dit, n'est pas réellement un triangle. Le triangle de Penrose est une illusion. Ce n'est qu'à un certain angle que l'objet ressemble à un triangle équilatéral. Cependant, un objet dans sa forme naturelle est 3 faces d'un cube. Sur une telle projection isométrique, 2 angles coïncident sur le plan : le proche du spectateur et le lointain.

L'illusion d'optique, bien sûr, se révèle rapidement, dès que vous ramassez cet objet. Et l'ombre révèle aussi l'illusion, puisque l'ombre du tribar montre clairement que les angles ne coïncident pas dans la réalité.

Tribar en papier. Schémas

Comment faire un triangle de Penrose à faire soi-même en papier ? Existe-t-il des schémas pour ce modèle ? A ce jour, 2 repères ont été inventés afin de plier un triangle aussi impossible. Les bases de la géométrie vous indiquent exactement comment plier un objet.

Pour plier le triangle de Penrose de vos propres mains, vous n'aurez besoin que de 10 à 20 minutes. Vous devez préparer de la colle, des ciseaux pour plusieurs coupes et le papier sur lequel le schéma est imprimé.

À partir d'un tel blanc, le triangle impossible le plus populaire est obtenu. L'artisanat d'origami n'est pas trop difficile à faire. Par conséquent, cela fonctionnera certainement la première fois, et même pour un étudiant qui vient de commencer à étudier la géométrie.

Comme vous pouvez le voir, cela s'avère un très bel artisanat. La deuxième pièce est différente et se plie différemment, mais le triangle de Penrose lui-même a la même apparence à la fin.

Étapes de la création d'un triangle de Penrose à partir de papier.

Choisissez l'un des 2 modèles qui vous conviennent, copiez le fichier et imprimez. Voici un exemple d'un deuxième modèle de mise en page, qui est un peu plus facile à réaliser.

Le modèle pour l'origami "Tribar" lui-même contient déjà tous les conseils nécessaires. En fait, aucune instruction schématique n'est requise. Il suffit de le télécharger sur un support papier épais, sinon il sera gênant de travailler et la figure ne fonctionnera pas. Si vous ne pouvez pas imprimer immédiatement sur du carton, vous devez joindre un croquis au nouveau matériau et découper le dessin le long du contour. Pour plus de commodité, peut être agrafé.

Que faire ensuite? Comment plier le triangle de Penrose de vos propres mains par étapes? Vous devez suivre ce plan d'action :

1. Nous dirigeons avec le dos des ciseaux les lignes où vous devez plier, selon les instructions. Plier toutes les lignes
2. Nous effectuons des coupes si nécessaire.
3. Nous collons à l'aide de PVA les lambeaux destinés à la fixation de la pièce en un seul ensemble.

Le modèle fini peut être repeint dans n'importe quelle couleur, ou vous pouvez prendre du carton de couleur pour le travail à l'avance. Mais même si l'objet est en papier blanc, tout de même, tous ceux qui entrent pour la première fois dans votre salon seront certainement découragés par un tel artisanat.

Dessin d'un triangle

Comment dessiner un triangle de Penrose ? Tout le monde n'aime pas faire de l'origami, mais beaucoup de gens aiment dessiner.

Pour commencer, un carré ordinaire de n'importe quelle taille est représenté. Ensuite, un triangle est dessiné à l'intérieur, dont la base est le côté inférieur du carré. Un petit rectangle s'insère dans chaque coin, dont tous les côtés sont effacés ; il ne reste que les côtés qui jouxtent le triangle. Cela est nécessaire pour garder les lignes droites. Il s'avère un triangle avec des coins tronqués.

L'étape suivante consiste à afficher la deuxième dimension. Une ligne strictement droite est tracée à partir du côté gauche du coin supérieur inférieur. La même ligne est tracée à partir du coin inférieur gauche, et n'est légèrement pas amenée à la première ligne de la 2ème dimension. Une autre ligne est tracée à partir du coin droit, parallèle à la face inférieure de la forme principale.

La dernière étape - à l'intérieur de la deuxième dimension, la troisième est dessinée à l'aide de trois autres petites lignes. De petites lignes partent des lignes de la deuxième dimension et complètent l'image du volume tridimensionnel.

Autres figurines Penrose

Par la même analogie, vous pouvez dessiner d'autres figures - un carré ou un hexagone. L'illusion sera respectée. Mais encore, ces chiffres ne sont plus si étonnants. Ces polygones semblent juste être très tordus. Les graphismes modernes vous permettent de créer des versions plus intéressantes du célèbre triangle.

En plus du triangle, l'escalier Penrose est également mondialement connu. L'idée est de tromper les yeux, quand il semble qu'une personne monte continuellement vers le haut lorsqu'elle se déplace dans le sens des aiguilles d'une montre, et si elle se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, puis vers le bas.

L'escalier continu est surtout connu pour son association avec le tableau de M. Escher "Ascension et descente". Il est intéressant de noter que lorsqu'une personne passe les 4 volées de cet escalier illusoire, elle finit invariablement par là d'où elle est partie.

D'autres objets sont connus pour tromper l'esprit humain, comme la barre impossible. Ou une boîte faite selon les mêmes lois de l'illusion avec des bords qui se croisent. Mais tous ces objets ont déjà été inventés sur la base d'un article d'un scientifique remarquable - Roger Penrose.

Triangle impossible à Perth

La figure, du nom du mathématicien, est à l'honneur. Un monument lui a été érigé. En 1999, dans l'une des villes d'Australie (Perth), un grand triangle de Penrose en aluminium a été installé, mesurant 13 mètres de haut. Les touristes prennent des photos avec plaisir à côté du géant de l'aluminium. Mais si vous choisissez un angle de vue différent pour la photo, alors la tromperie devient évidente.

Une figure impossible est l'un des types d'illusions d'optique, une figure qui à première vue semble être une projection d'un objet tridimensionnel ordinaire,

après un examen plus approfondi, des connexions contradictoires des éléments de la figure deviennent visibles. L'illusion de l'impossibilité de l'existence d'une telle figure dans l'espace tridimensionnel est créée.

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Des chiffres impossibles

Les figures impossibles les plus célèbres sont le triangle impossible, l'escalier sans fin et le trident impossible.

Triangle de Perrose impossible

L'illusion de Reutersvard (Reutersvard, 1934)

Notez également que la modification de l'organisation figure-sol a permis de percevoir « l'étoile » située au centre.
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Le cube impossible d'Escher

En fait, toutes les figures impossibles peuvent exister dans le monde réel. Ainsi, tous les objets dessinés sur papier sont des projections d'objets en trois dimensions, par conséquent, vous pouvez créer un tel objet en trois dimensions qui, une fois projeté sur un plan, semblera impossible. Lorsque vous regardez un tel objet à partir d'un certain point, il semblera également impossible, mais lorsqu'il est vu à partir de n'importe quel autre point, l'effet d'impossibilité sera perdu.

La sculpture en aluminium de 13 mètres d'un triangle impossible a été érigée en 1999 dans la ville de Perth (Australie). Ici, le triangle impossible était représenté sous sa forme la plus générale - sous la forme de trois faisceaux reliés les uns aux autres à angle droit.

Putain de fourchette
Parmi toutes les figures impossibles, le trident impossible (« fourche du diable ») occupe une place particulière.

Si nous fermons le côté droit du trident avec notre main, nous verrons alors une image très réelle - trois dents rondes. Si nous fermons la partie inférieure du trident, nous verrons également une image réelle - deux dents rectangulaires. Mais, si l'on considère l'ensemble de la figure dans son ensemble, il s'avère que trois dents rondes se transforment progressivement en deux rectangulaires.

Ainsi, vous pouvez voir que le premier plan et l'arrière-plan de ce dessin sont en conflit. C'est-à-dire que ce qui était à l'origine au premier plan revient en arrière et que l'arrière-plan (dent du milieu) rampe vers l'avant. En plus de changer le premier plan et l'arrière-plan, cette figure a un autre effet - les bords plats du côté droit du trident deviennent ronds à gauche.

L'effet d'impossibilité est obtenu du fait que notre cerveau analyse le contour de la silhouette et essaie de compter le nombre de dents. Le cerveau compare le nombre de dents de la figure sur les côtés gauche et droit du dessin, ce qui rend la figure impossible. Si le nombre de dents sur la figure était significativement plus grand (par exemple, 7 ou 8), alors ce paradoxe serait moins prononcé.

Certains livres prétendent que le trident impossible appartient à la classe des figures impossibles qui ne peuvent pas être recréées dans le monde réel. En fait, ce n'est pas le cas. TOUTES les figures impossibles peuvent être vues dans le monde réel, mais elles sembleront impossibles d'un seul point de vue.

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Éléphant impossible


Combien de pattes a un éléphant ?

Le psychologue de Stanford Roger Shepard a utilisé l'idée d'un trident pour sa peinture de l'éléphant impossible.

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Échelle de Penrose(escalier sans fin, escalier impossible)

L'échelle sans fin "est l'une des impossibilités classiques les plus célèbres.

C'est une telle construction d'échelle dans laquelle, en cas de mouvement le long de celle-ci dans un sens (dans la figure de l'article dans le sens inverse des aiguilles d'une montre), une personne montera sans cesse et, lorsqu'elle se déplacera dans la direction opposée, elle descendra constamment.

En d'autres termes, un escalier apparaît devant nous, menant, semble-t-il, vers le haut ou vers le bas, mais en même temps, la personne qui y marche ne monte ni ne descend. Ayant terminé son parcours visuel, il sera au début du chemin. Si vous deviez vraiment monter ces escaliers, vous les monteriez et les descendriez sans but un nombre infini de fois. Vous pouvez appeler cela un travail de Sisyphe sans fin !

Depuis que Penrose a publié cette figure, elle est apparue plus souvent que tout autre objet impossible. L'échelle sans fin peut être trouvée dans des livres sur les jeux, les puzzles, les illusions, les manuels de psychologie et d'autres sujets.

"Montée et Descente"

L'« Échelle sans fin » « a été utilisée avec succès par l'artiste Maurits K. Escher, cette fois dans sa ravissante lithographie « Ascent and Descent », réalisée en 1960.
Dans ce dessin, reflétant toutes les possibilités de la figure de Penrose, l'escalier sans fin tout à fait reconnaissable est soigneusement inscrit dans le toit du monastère. Les moines encapuchonnés montent continuellement les escaliers dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse. Ils se dirigent l'un vers l'autre par un chemin impossible. Ils n'arrivent jamais à monter ou à descendre.

En conséquence, "l'échelle sans fin" est devenue plus souvent associée à Escher, qui l'a redessinée, qu'à Penrose, qui l'a inventée.

Combien y a-t-il d'étagères ?

Où est la porte ouverte ?

Vers l'extérieur ou vers l'intérieur ?

Des figures impossibles apparaissaient parfois sur les toiles des maîtres du passé, par exemple, telle est la potence dans le tableau de Pieter Bruegel (l'Ancien)
« Pie sur la potence » (1568)

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Arche impossible

Jos de Mey est un artiste flamand qui a étudié à l'Académie Royale des Beaux-Arts de Gand (Belgique) puis a enseigné la décoration d'intérieur et la couleur aux étudiants pendant 39 ans. Depuis 1968, le dessin est devenu le centre de son attention. Il est surtout connu pour son rendu méticuleux et réaliste de structures impossibles.

Les plus célèbres sont les figures impossibles dans les œuvres de l'artiste Maurice Escher. Lors de l'examen de tels dessins, chaque détail individuel semble tout à fait plausible, mais en essayant de tracer la ligne, il s'avère que cette ligne n'est, par exemple, pas le coin extérieur du mur, mais l'intérieur.

"Relativité"

Cette lithographie de l'artiste néerlandais Escher a été imprimée pour la première fois en 1953.

La lithographie dépeint un monde paradoxal dans lequel les lois de la réalité ne sont pas appliquées. Trois réalités sont réunies dans un même monde, trois forces de gravité sont dirigées perpendiculairement les unes aux autres.

Une structure architecturale a été créée, les réalités sont unies par des escaliers. Pour les personnes vivant dans ce monde, mais dans des plans de réalité différents, le même escalier sera dirigé vers le haut ou vers le bas.

"Cascade"

Cette lithographie de l'artiste néerlandais Escher a été imprimée pour la première fois en octobre 1961.

Dans cette œuvre d'Escher, un paradoxe est représenté - l'eau qui tombe d'une cascade entraîne une roue qui dirige l'eau vers le haut de la cascade. La cascade a la structure du triangle de Penrose « impossible » : la lithographie a été créée sur la base d'un article du British Journal of Psychology.

La structure est composée de trois traverses superposées à angle droit. La cascade en lithographie fonctionne comme une machine à mouvement perpétuel. Il semble également que les deux tours soient identiques ; en fait, celui de droite est un étage en dessous de la tour de gauche.

Eh bien, et des œuvres plus modernes :o)
Photographie sans fin

Construction étonnante

Échiquier

♦♦♦
Images inversées

Que voyez-vous : un énorme corbeau avec une proie ou un pêcheur dans un bateau, un poisson et une île avec des arbres ?

Raspoutine et Staline

Jeunesse et vieillesse

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Noble et Reine

L'impossible est encore possible. Et une confirmation éclatante de ceci est l'impossible triangle de Penrose. Découvert au siècle dernier, on le retrouve encore souvent dans la littérature scientifique. Et aussi incroyable que cela puisse paraître, vous pouvez même le faire vous-même. Et ce n'est pas difficile à faire. De nombreux amateurs de dessin ou de collection d'origami peuvent le faire depuis longtemps.

La signification du triangle de Penrose

Il y a plusieurs noms pour cette figure. Certains l'appellent un triangle impossible, d'autres juste un tri-barre. Mais le plus souvent, vous pouvez trouver la définition du "triangle de Penrose".

Sous ces définitions, l'une des figures impossibles de base est comprise. À en juger par le nom, il est impossible d'obtenir un tel chiffre dans la réalité. Mais dans la pratique, il a été prouvé que cela peut encore être fait. Mais il ne prendra forme que si vous le regardez d'un certain point sous le bon angle. De tous les autres côtés, le chiffre est bien réel. Il représente trois arêtes d'un cube. Et il est facile de faire une telle structure.

Historique de la découverte

Le triangle de Penrose a été découvert en 1934 par l'artiste suédois Oskar Reutersvard. La figure était présentée sous forme de cubes assemblés. À l'avenir, l'artiste a commencé à être appelé "le père des figures impossibles".

Peut-être le dessin de Reutersvard serait-il resté méconnu. Mais en 1954, le mathématicien suédois Roger Penrose a écrit un article sur les figures impossibles. Ce fut la deuxième naissance du triangle. Certes, le scientifique l'a présenté sous une forme plus familière. Il a utilisé des poutres, pas des cubes. Les trois faisceaux étaient reliés les uns aux autres à un angle de 90 degrés. La différence était également que Reutersvärd utilisait une perspective parallèle pour peindre. Et Penrose a appliqué une perspective linéaire, ce qui a rendu le dessin encore plus impossible. Ce triangle a été publié en 1958 dans une revue britannique de psychologie.

En 1961, l'artiste Maurits Escher (Hollande) a créé l'une de ses lithographies les plus populaires "Waterfall". Il a été créé sous l'impression qui a été causée par un article sur des figures impossibles.

Dans les années quatre-vingt du siècle dernier, le tribar et d'autres figures impossibles étaient représentés sur les timbres-poste de l'État suédois. Cela a continué pendant plusieurs années.

A la fin du siècle dernier (plus précisément en 1999), une sculpture en aluminium a été réalisée en Australie, représentant l'impossible triangle de Penrose. Il a atteint une hauteur de 13 mètres. Des sculptures similaires, seulement de plus petite taille, se trouvent dans d'autres pays.

Impossible en réalité

Comme vous l'avez peut-être deviné, le triangle de Penrose n'est pas vraiment un triangle au sens habituel du terme. Il représente trois faces d'un cube. Mais si vous regardez sous un certain angle, vous obtenez l'illusion d'un triangle du fait que 2 angles coïncident complètement sur le plan. Les angles proches et lointains sont visuellement combinés.

Si vous faites attention, vous pouvez deviner que le tribar n'est rien de plus qu'une illusion. L'apparence réelle de la figure peut en dégager une ombre. Cela montre que les coins ne sont pas réellement connectés. Et, bien sûr, tout devient clair si vous relevez le chiffre.

Faire une figure de vos propres mains

Vous pouvez assembler vous-même le triangle de Penrose. Par exemple, en papier ou en carton. Et les schémas y contribueront. Ils ont juste besoin d'être imprimés et collés. Il existe deux schémas sur Internet. L'un d'eux est un peu plus facile, l'autre est plus compliqué, mais plus populaire. Les deux sont représentés sur les figures.

Le triangle de Penrose sera un produit intéressant que les invités aimeront certainement. Il ne passera certainement pas inaperçu. La première étape pour le créer est de préparer le circuit. Il est transféré sur papier (carton) à l'aide d'une imprimante. Et puis tout est encore plus facile. Vous avez juste besoin de le couper autour du périmètre. Le schéma contient déjà toutes les lignes nécessaires. Il sera plus pratique de travailler avec du papier plus épais. Si le diagramme est imprimé sur du papier fin et que vous souhaitez quelque chose de plus dense, la pièce est simplement appliquée sur le matériau sélectionné et découpée le long du contour. Pour empêcher le diagramme de bouger, il peut être attaché avec des trombones.

Ensuite, vous devez déterminer les lignes le long desquelles la pièce sera pliée. En règle générale, sur le schéma, il est représenté par Plier la pièce. Ensuite, nous déterminons les endroits à coller. Ils sont enduits de colle PVA. La pièce est connectée en une seule forme.

La pièce peut être colorée. Ou vous pouvez d'abord utiliser du carton coloré.

Dessiner une figure impossible

Vous pouvez également dessiner un triangle de Penrose. Pour commencer, un simple carré est dessiné sur la feuille. Sa taille n'a pas d'importance. Avec la base sur le côté inférieur du carré, un triangle est dessiné. De petits rectangles sont dessinés à l'intérieur de ses coins. Leurs côtés devront être effacés, ne laissant que ceux qui sont communs avec le triangle. Le résultat devrait être un triangle avec des coins tronqués.

Une ligne droite est tracée à partir du côté gauche du coin supérieur inférieur. La même ligne, mais légèrement plus courte, est tracée à partir du coin inférieur gauche. Parallèlement à la base du triangle, une ligne est tracée à partir du coin droit. Il s'avère que la deuxième dimension.

Selon le principe de la seconde, la troisième dimension est dessinée. Seulement dans ce cas, toutes les lignes droites sont basées sur les angles de la figure, non pas de la première, mais de la deuxième dimension.