M.A

Toutes leurs intrigues peuvent être conditionnellement divisées en types et sous-types suivants : en un nombre donné de figures congruentes et similaires (ces figures sont appelées « division ») ; un certain nombre de droites en un nombre maximum de parties possibles, pas nécessairement égales. Transformation : vous devez découper une forme afin que ses parties puissent être pliées dans une seconde forme donnée.

Problème 1. Un carré contient 16 cellules. Divisez le carré en deux parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des cellules. (Les méthodes de découpe d'un carré en deux parties seront considérées comme différentes si les parties du carré obtenues par une méthode de découpe ne sont pas égales aux parties obtenues par une autre méthode.) Combien de solutions totales le problème a-t-il ?

Lors de la construction d'une polyligne, afin de ne perdre aucune solution, vous pouvez respecter cette règle. Si le lien suivant d'une ligne brisée peut être tracé de deux manières, vous devez d'abord préparer un deuxième dessin similaire et effectuer cette étape dans un dessin de la première manière et dans l'autre de la deuxième manière (la figure 3 montre deux suites de la figure 2 (a)). Vous devez faire de même lorsqu'il n'y a pas deux, mais trois méthodes (la figure 4 montre trois suites de la figure 2 (b)). La procédure spécifiée permet de trouver toutes les solutions.

Tâche 2 Découpez un rectangle de 4 × 9 cellules sur les côtés des cellules en deux parties égales afin de pouvoir ensuite les plier en carré.

Solution. Voyons combien de cellules le carré contiendra. 4 · 9 = 36 - cela signifie que le côté du carré est composé de 6 cellules, puisque 36 = 6 · 6. La façon de découper un rectangle est illustrée à la Fig. 95(b). Cette méthode de découpe est appelée étape par étape. Comment créer un carré à partir des pièces résultantes est illustré à la Fig. 95c).

Problème 3. Est-il possible de couper un carré de 5 × 5 cellules en deux parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des cellules ? Justifiez votre réponse.

Solution. Cela n’est pas possible puisque le carré est composé de 25 cellules. Il faut le couper en deux parties égales. Par conséquent, chaque pièce doit avoir 12,5 alvéoles, ce qui signifie que la ligne de coupe ne longera pas les côtés des alvéoles.

Pentamino se compose de 12 figures, chacune composée de cinq carrés identiques, et les carrés ne sont « adjacents » les uns aux autres que par leurs côtés. "PENTA" - "CINQ" (du grec)

Pentomino Un jeu consistant à plier différentes figures d'un ensemble donné Inventé par le mathématicien américain S. Golomb dans les années 50 du 20e siècle.

N°1. Poser du carrelage 2*1 dans une pièce de 5*6 (parquet massif). Supposons que nous disposions d'une quantité illimitée de carreaux rectangulaires de taille 2 * 1 et que nous souhaitions aménager un sol rectangulaire avec eux, et qu'aucun carreau ne doit se chevaucher.

Dans ce cas, l'un des nombres p ou q doit être pair. Si, par exemple, p=2 r, alors le sol peut être disposé comme indiqué sur la figure. Mais dans de tels parquets, il y a des lignes de rupture qui traversent toute la « pièce » d'un mur à l'autre, mais ne traversent pas les carreaux. Mais dans la pratique, on utilise des parquets sans de telles lignes - des parquets massifs.

La question se pose naturellement : pour quels p et q le rectangle p*q admet-il une partition continue en 2*1 tuiles ?

N° 3. Sur une feuille de papier quadrillé mesurant 10*10 alvéoles, marquez les découpes avec lesquelles vous pourrez obtenir autant de chiffres entiers que possible représentés sur la figure. Les chiffres indiqués sur la figure peuvent être retournés.

Réponse : Dans ce cas, 24 chiffres entiers conviennent. Aucune autre méthode n'a encore été trouvée permettant d'obtenir davantage de chiffres entiers.

Une planche de 8 x 8 a été découpée en quatre morceaux et pliée en un rectangle de 5 x 13. D'où vient le carré supplémentaire ? 8 8 13 5 64 carrés 65 carrés

Une planche de 8 x 8 a été découpée en quatre morceaux et pliée en un rectangle de 5 x 13. D'où vient le carré supplémentaire ? 8 8

Une planche de 8 x 8 a été découpée en quatre morceaux et pliée en un rectangle de 5 x 13. D'où vient le carré supplémentaire ? 2 1 3 4

Une planche de 8 x 8 a été découpée en quatre morceaux et pliée en un rectangle de 5 x 13. D'où vient le carré supplémentaire ? 1 2 3 4

Réponse : La ligne diagonale de l’image de gauche n’est pas droite ; le dessin exact montre un parallélogramme de zone 1, comme on pouvait s'y attendre.

Séquence de Fibonacci j1 = 1, j2 = 1, j3 = 2, j4 = 3, j5 = 5, j6 = 8, j7 = 13, j8 = 21, j9 = 34, j10 = 55, j 11 = 89, . . . a la propriété suivante : le carré du nombre de Fibonacci diffère de 1 du produit des nombres de Fibonacci précédent et suivant ; plus précisément, jn 2 + (– 1)n = jn – 1 jn + 1.

Par exemple, avec n = 6 la formule se transforme en l'égalité 82 + 1 = 5 13, et avec n = 7 en l'égalité 132 – 1 = 8 21. Je vous conseille de dessiner des images similaires à l'image de l'énoncé du problème pour plusieurs autres valeurs de n.

Transcription

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MCNMO Moscou, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problèmes de coupe. M. : MTsNMO, p. : ill. Série : « Les secrets de l'enseignement des mathématiques ». Ce livre est le premier livre de la série « Les secrets de l'enseignement des mathématiques », conçu pour présenter et résumer l'expérience accumulée dans le domaine de l'enseignement des mathématiques. Cette collection représente l'une des parties du cours « Logique du développement de la 5e à la 7e année ». Pour tous les problèmes évoqués dans le livre, des solutions ou des instructions sont données. Le livre est recommandé pour les travaux extrascolaires en mathématiques. LBC ISBN c Kukin GP, ​​Ekimova MA, c MCNMO, 2002.

3 Introduction Actuellement, la vision traditionnelle de la composition des matières étudiées par les écoliers est en cours de révision et de clarification. Diverses nouvelles matières sont introduites dans le programme scolaire. L'un de ces sujets est la logique. L'étude de la logique contribue à la compréhension de la beauté et de la grâce du raisonnement, de la capacité de raisonner, du développement créatif de la personnalité et de l'éducation esthétique d'une personne. Toute personne cultivée devrait être familiarisée avec les tâches logiques, les énigmes et les jeux connus depuis plusieurs siècles, voire millénaires, dans de nombreux pays du monde. Le développement de l'intelligence, de l'ingéniosité et de la pensée indépendante est nécessaire à toute personne si elle veut réussir et atteindre l'harmonie dans la vie. Notre expérience montre que l'étude systématique de la logique formelle ou de fragments de logique mathématique devrait être reportée jusqu'aux dernières années du secondaire. Dans le même temps, il est nécessaire de développer le plus tôt possible une pensée logique. En fait, lors de l'étude de matières académiques à l'école, le raisonnement et la preuve n'apparaissent qu'en 7e année (au début d'un cours de géométrie systématique). Pour de nombreux étudiants, la transition brutale (aucun raisonnement s’est transformé en un grand nombre de raisonnements) est insupportablement difficile. Dans un cours de logique du développement destiné aux classes 5 à 7, il est tout à fait possible d'apprendre aux écoliers à raisonner, à prouver et à trouver des modèles. Par exemple, lorsque vous résolvez des énigmes mathématiques, vous devez non seulement deviner (sélectionner) plusieurs réponses, mais également prouver que vous avez obtenu une liste complète des réponses possibles. C'est tout à fait réalisable pour un élève de cinquième année. Mais dans le processus d'enseignement de la logique dans les classes 5 à 7 des écoles secondaires, les enseignants sont confrontés à certaines difficultés : le manque de manuels scolaires, de matériel pédagogique, de manuels et de matériel visuel. Tout cela doit être compilé, écrit et dessiné par l'enseignant lui-même. L'un des objectifs de cette collection est de faciliter la préparation et la conduite des cours par les enseignants. Nous donnerons quelques recommandations pour diriger les cours avant de travailler avec la collection.

4 4 Introduction Il est conseillé de commencer à enseigner la logique aux écoliers dès la cinquième année, et peut-être plus tôt. L’enseignement de la logique doit se faire dans un style détendu, presque improvisé. Cette apparente facilité demande en réalité beaucoup de préparation sérieuse de la part du professeur. Il est inacceptable, par exemple, de lire un problème intéressant et divertissant dans un épais cahier manuscrit, comme le font parfois les enseignants. Nous vous recommandons de donner des cours sous une forme non standard. Il est nécessaire d'utiliser autant de matériel visuel que possible dans les cours : cartes diverses, images, séries de figures, illustrations pour résoudre des problèmes, schémas. Vous ne devriez pas étudier longtemps un sujet avec des étudiants plus jeunes. Lors de l'analyse d'un sujet, vous devez essayer de mettre en évidence les principales étapes logiques et parvenir à la compréhension (et non à la mémorisation) de ces points. Il faut constamment revenir à la matière abordée. Cela peut se faire en travail indépendant, en compétitions par équipes (pendant les cours), en tests de fin de trimestre, en olympiades orales et écrites, en matboys (en dehors des heures de cours). Il est également nécessaire d'utiliser des tâches divertissantes et humoristiques en classe ; il est parfois utile de changer de direction d'activité. Cette collection est l'une des parties du cours « Logique de développement de la 5e à la 7e année » « Problèmes de coupe ». Cette partie a été testée dans des cours de logique de la 5e à la 7e année au lycée 74 d'Omsk. De nombreux scientifiques s’intéressent aux problèmes de réduction depuis l’Antiquité. Des solutions à de nombreux problèmes simples de découpe ont été trouvées par les anciens Grecs et Chinois, mais le premier traité systématique sur ce sujet appartient à la plume d'Abul-Vef, le célèbre astronome persan du Xe siècle, qui vivait à Bagdad. Les géomètres n'ont commencé sérieusement à résoudre les problèmes consistant à découper des figures en un plus petit nombre de parties, puis à composer l'une ou l'autre nouvelle figure qu'au début du 20e siècle. L'un des fondateurs de cette branche fascinante de la géométrie était le célèbre créateur de puzzles Henry.

5 Introduction 5 E. Dudeney. Un nombre particulièrement important de records préexistants en matière de chiffres d'affaires ont été battus par un expert de l'Office australien des brevets, Harry Lindgren. Il est un expert de premier plan dans le domaine des formes de découpe. De nos jours, les amateurs de puzzles souhaitent résoudre des problèmes de découpe, principalement parce qu'il n'existe pas de méthode universelle pour résoudre de tels problèmes, et que tous ceux qui entreprennent de les résoudre peuvent pleinement démontrer leur ingéniosité, leur intuition et leur capacité de pensée créative. Comme cela ne nécessite pas de connaissances approfondies en géométrie, les amateurs peuvent parfois même surpasser les mathématiciens professionnels. Cependant, les problèmes de découpage ne sont pas frivoles ou inutiles, ils ne sont pas si loin de problèmes mathématiques sérieux. Des problèmes de coupe sont nés le théorème de Bolyai Gerwin selon lequel deux polygones de taille égale sont équivalents (l'inverse est évident), puis le troisième problème de Hilbert : une affirmation similaire est-elle vraie pour les polyèdres ? Les tâches de découpe aident les écoliers à former des concepts géométriques le plus tôt possible en utilisant une variété de matériaux. Lors de la résolution de tels problèmes, un sentiment de beauté, de loi et d'ordre dans la nature apparaît. La collection « Problèmes de coupe » est divisée en deux sections. Pour résoudre les problèmes de la première section, les élèves n'auront pas besoin de connaître les bases de la planimétrie, mais auront besoin d'ingéniosité, d'imagination géométrique et d'informations géométriques assez simples connues de tous. La deuxième section concerne les tâches facultatives. Cela comprenait des tâches qui nécessitent la connaissance d'informations géométriques de base sur les figures, leurs propriétés et caractéristiques, ainsi que la connaissance de certains théorèmes. Chaque section est divisée en paragraphes dans lesquels nous avons essayé de combiner des tâches sur un sujet, et ceux-ci, à leur tour, sont divisés en leçons, chacune contenant des tâches homogènes par ordre de difficulté croissante. La première section contient huit paragraphes. 1. Problèmes sur papier quadrillé. Cette section contient des problèmes dans lesquels la découpe de formes (principalement des carrés et des rectangles) se produit le long des côtés des cellules. Le paragraphe contient 4 leçons, nous les recommandons aux élèves de 5e année.

6 6 Introduction 2. Pentamino. Ce paragraphe contient des problèmes liés aux figures pentomino, il est donc conseillé pour ces leçons de distribuer des séries de ces figures aux enfants. Il y a deux leçons ici, nous les recommandons aux élèves de la 5e à la 6e année. 3. Tâches de coupe difficiles. Voici les tâches rassemblées pour découper des formes de formes plus complexes, par exemple, avec des limites qui sont des arcs, et des tâches de découpe plus complexes. Il y a deux leçons dans ce paragraphe ; nous recommandons de les enseigner en 7e année. 4. Partitionner l'avion. Voici des problèmes rassemblés dans lesquels vous devez trouver des divisions continues de rectangles en carreaux rectangulaires, des problèmes de composition de parquet, des problèmes de disposition la plus dense de figures dans un rectangle ou un carré. Nous vous recommandons d'étudier ce paragraphe en 6e et 7e années. 5. Tangram. Voici les problèmes liés à l'ancien puzzle chinois "Tangram". Pour réaliser cette leçon, il est conseillé de disposer de ce puzzle, au moins en carton. Nous recommandons ce paragraphe pour une étude en 5e année. 6. Problèmes liés à la découpe dans l'espace. Ici, les étudiants sont initiés au développement d'un cube et d'une pyramide triangulaire, des parallèles sont établis et les différences entre les figures sur un plan et les corps volumétriques sont montrées, et donc les différences dans la résolution de problèmes. Le paragraphe contient une leçon que nous recommandons aux élèves de 6e année d'étudier. 7. Tâches de coloration. Cela montre comment colorer la figure aide à résoudre le problème. Il n'est pas difficile de prouver qu'il est possible de résoudre le problème de la découpe d'une figure en morceaux ; il suffit de fournir une méthode de découpe. Mais il est plus difficile de prouver que la coupure est impossible. Colorier la figure nous aide à le faire. Il y a trois leçons dans ce paragraphe. Nous les recommandons aux élèves de 7e année. 8. Problèmes de coloration dans l'état. Voici les tâches rassemblées dans lesquelles vous devez colorer une figure d'une certaine manière, répondre à la question : combien de couleurs seront nécessaires pour une telle coloration (le plus petit ou le plus grand nombre), etc. Il y a sept leçons dans le paragraphe. Nous les recommandons aux élèves de 7e année. La deuxième section comprend des tâches qui peuvent être résolues dans des cours supplémentaires. Il contient trois paragraphes.

7 Introduction 7 9. Transformation des figures. Il contient des problèmes dans lesquels une figure est découpée en parties à partir desquelles une autre figure est créée. Il y a trois leçons dans ce paragraphe, la première examine la « transformation » de diverses figures (des tâches assez simples sont rassemblées ici) et la deuxième leçon examine la géométrie de la transformation d'un carré. 10. Diverses tâches de découpe. Cela inclut diverses tâches de découpe résolues par différentes méthodes. Il y a trois leçons dans ce paragraphe. 11. Aire de figures. Il y a deux leçons dans ce paragraphe. La première leçon examine des problèmes dans lesquels vous devez découper des figures en morceaux, puis prouver que les figures sont composées de manière égale ; dans la deuxième leçon, des problèmes dans lesquels vous devez utiliser les propriétés des aires des figures.

8 Section 1 1. Problèmes sur du papier à carreaux Leçon 1.1 Sujet : Problèmes de découpe sur du papier à carreaux. Objectif : Développer des compétences combinatoires (envisager différentes manières de construire une ligne de coupe pour les figures, les règles qui permettent de ne pas perdre de solutions lors de la construction de cette ligne), développer des idées sur la symétrie. Nous résolvons des problèmes en classe, problème 1.5 pour la maison. Un carré contient 16 cellules. Divisez le carré en deux parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des cellules. (Les méthodes de découpe d'un carré en deux parties seront considérées comme différentes si les parties du carré obtenues par une méthode de découpe ne sont pas égales aux parties obtenues par une autre méthode.) Combien de solutions totales le problème a-t-il ? Note. Trouver plusieurs solutions à ce problème n’est pas si difficile. En figue. 1, certains d'entre eux sont représentés et les solutions b) et c) sont les mêmes, puisque les chiffres obtenus peuvent être combinés par chevauchement (si vous faites pivoter le carré c) de 90 degrés). Riz. 1 Mais trouver toutes les solutions et ne pas en perdre une seule est déjà plus difficile. A noter que la ligne brisée divisant le carré en deux parties égales est symétrique par rapport au centre du carré. Cette observation permet le pas.

9 Leçon par étape pour tracer une polyligne aux deux extrémités. Par exemple, si le début d'une ligne brisée est au point A, alors sa fin sera au point B (Fig. 2). Assurez-vous que pour ce problème, le début et la fin de la polyligne peuvent être dessinés de deux manières, illustrées à la Fig. 2. Lors de la construction d'une polyligne, afin de ne perdre aucune solution, vous pouvez respecter cette règle. Si le lien suivant d'une ligne brisée peut être tracé de deux manières, vous devez d'abord préparer un deuxième dessin similaire et effectuer cette étape dans un dessin de la première manière et dans l'autre de la deuxième manière (la figure 3 montre deux suites de la figure 2 (a)). Vous devez faire de même lorsqu'il n'y a pas deux, mais trois méthodes (la figure 4 montre trois suites de la figure 2 (b)). La procédure spécifiée permet de trouver toutes les solutions. Riz. 2 Fig. 3 Fig Le rectangle 3 4 contient 12 cellules. Trouvez cinq façons de découper un rectangle en deux parties égales afin que la ligne de coupe longe les côtés des cellules (les méthodes de découpe sont considérées comme différentes si les parties obtenues avec une méthode de découpe ne sont pas égales aux parties obtenues avec une autre méthode) A 3 Le rectangle 5 contient 15 cellules et une cellule centrale a été supprimée. Trouvez cinq façons de réduire le chiffre restant

10 10 1. Problèmes sur papier quadrillé découpés en deux parties égales de manière à ce que la ligne de découpe longe les côtés des cellules. Carré 6 6 est divisé en 36 carrés identiques. Trouvez cinq façons de couper un carré en deux parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des carrés. Le problème 1.4 propose plus de 200 solutions. Trouvez-en au moins 15. Leçon 1.2 Sujet : Problèmes de découpe sur papier quadrillé. Objectif : Continuer à développer des idées sur la symétrie, préparation au thème « Pentamin » (examen de diverses figures pouvant être construites à partir de cinq cellules). Problèmes : Est-il possible de couper un carré de 5 5 alvéoles en deux parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des alvéoles ? Justifiez votre réponse Divisez le carré 4 4 en quatre parties égales de manière à ce que la ligne de découpe longe les côtés des alvéoles. Combien de méthodes de découpe différentes pouvez-vous trouver ? 1.8. Divisez la figure (Fig. 5) en trois parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des carrés. Riz. 5 Fig. 6 Fig. Divisez la figure (Fig. 6) en quatre parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des carrés. Divisez la figure (Fig. 7) en quatre parties égales de manière à ce que les lignes de coupe longent les côtés des carrés. les carrés. Trouvez autant de solutions que possible.

Leçon 11 Divisez le carré 5 5 cellules avec la cellule centrale découpée en quatre parties égales. Leçon 1.3 Sujet : Problèmes de découpe sur papier quadrillé. Objectif : Continuer à développer des idées sur la symétrie (axiale, centrale). Tâches Découpez les formes montrées sur la Fig. 8, en deux parties égales le long des lignes de la grille, et chaque partie doit avoir un cercle. Riz. 8 Fig. Les figures présentées dans la Fig. 9, vous devez couper le long des lignes de la grille en quatre parties égales afin qu'il y ait un cercle dans chaque partie. Comment faire? Coupez la figure montrée sur la Fig. 10, le long des lignes de la grille en quatre parties égales et pliez-les en un carré de manière à ce que les cercles et les étoiles soient situés symétriquement par rapport à tous les axes de symétrie du carré. Riz. dix

12 12 1. Problèmes sur du papier quadrillé Découpez ce carré (Fig. 11) le long des côtés des cellules de manière à ce que toutes les parties aient la même taille et la même forme et que chacune contienne un cercle et un astérisque Découpez le carré 6 6 dans le quadrillage. papier montré sur la fig. 12, en quatre parties identiques de sorte que chacune d'elles contienne trois cellules ombrées. Leçon 1.4 Fig. 11 Fig. 12 Sujet : Problèmes de découpe sur papier quadrillé. Objectif : Apprendre à découper un rectangle en deux parties égales, à partir desquelles vous pourrez plier un carré et un autre rectangle. Apprenez à déterminer quels rectangles peuvent être transformés en carré en les découpant. Problèmes Tâches supplémentaires 1.23, 1.24 (ces problèmes peuvent être abordés au début de la leçon pour l'échauffement) Découpez un rectangle de 4 9 alvéoles sur les côtés des alvéoles en deux parties égales afin qu'elles puissent ensuite être pliées en carré. Est-il possible de découper un rectangle de 4 à 8 cellules en deux parties le long des côtés des cellules afin de pouvoir les utiliser pour former un carré ? Dans un rectangle de 10 7 cellules, un rectangle de 1 6 cellules a été découpé, comme le montre la Fig. 13. Coupez la figure obtenue en deux parties afin qu'elles puissent être pliées en carré. Les figures ombrées ont été découpées dans un rectangle de 8 à 9 cellules, comme le montre la Fig. 14. Coupez la figure obtenue en deux parties égales afin de pouvoir les plier en un rectangle 6 10.

13 Leçon Fig. 13 Fig. Un carré mesurant 5 5 cellules est dessiné sur du papier quadrillé. Montrez comment le découper le long des côtés des carrés en 7 rectangles différents. Découpez le carré en 5 rectangles le long des côtés des carrés de manière à ce que les dix nombres exprimant les longueurs des côtés des rectangles soient des nombres entiers différents. En figue. 15, en deux parties égales. (Vous pouvez couper non seulement le long des lignées cellulaires, mais également le long de leurs diagonales.) Fig. 15

14 14 2. Pentomino Découpez les formes montrées sur la Fig. 16, en quatre parties égales. 2. Pentaminé Fig. 16 Leçon 2.1 Sujet : Pentamino. Objectif : Développement des compétences combinatoires des étudiants. Problèmes Les figures de dominos, triminos, tétrominos (un jeu avec de telles figures s'appelle Tetris), les pentominos sont constitués de deux, trois, quatre, cinq carrés de sorte que tout carré ait un côté commun avec au moins un carré. À partir de deux carrés identiques, vous ne pouvez créer qu'un seul domino (voir Fig. 17). Les figures Trimino peuvent être obtenues à partir d’une seule figure de domino en y ajoutant un autre carré de différentes manières. Vous obtiendrez deux figurines trimino (Fig. 18). Riz. 17 Fig Réalisez toutes sortes de figures tétromino (du mot grec « tétra » quatre). Combien en avez-vous eu ? (Les formes obtenues par rotation ou affichage symétrique à partir d'autres ne sont pas considérées comme nouvelles).

Leçon 15 Faites toutes les figures pentomino possibles (du grec « penta » cinq). Combien en avez-vous eu ? 2.3. Réalisez les figures montrées sur la Fig. 19, à partir de figures pentomino. Combien de solutions le problème a-t-il pour chaque figure ? Fig Pliez un rectangle 3 5 à l'aide de figures pentomino. Combien de solutions différentes pouvez-vous proposer ? 2.5. Réalisez les figures montrées sur la Fig. 20, à partir de chiffres pentomino. Riz. 20

16 16 2. Pentamino Leçon 2.2 Sujet : Pentamino. Objectif : Développement d'idées sur la symétrie. Problèmes Dans le problème 2.2, nous avons composé toutes les figures pentomino possibles. Regardez-les sur la fig. 21. Fig. 21 La figure 1 a la propriété suivante. Si vous le découpez dans du papier et le pliez le long d'une ligne droite a (Fig. 22), une partie de la figure coïncidera avec l'autre. On dit que la figure est symétrique par rapport à l’axe de symétrie droit. La figure 12 a également un axe de symétrie, même deux sont des droites b et c, mais la figure 2 n'a pas d'axe de symétrie. Fig Combien d'axes de symétrie chaque figure pentomino possède-t-elle ? 2.7. À partir des 12 figures pentomino, pliez un rectangle. Les pièces asymétriques peuvent être retournées. Pliez douze figures pentomino dans un rectangle 6 10, et de manière à ce que chaque élément touche un côté de ce rectangle.

Leçon 17 Découpez le rectangle illustré à la Fig. 23 (a), le long des lignes internes en deux de ces parties, à partir desquelles une figure avec trois trous carrés de la taille d'une cellule peut être pliée (Fig. 23 (b)). Fig. A partir des figures pentomino, pliez un carré 8 8 avec un carré 2 2 découpé au milieu. Trouvez plusieurs solutions. Douze pentominos sont placés dans un rectangle (Fig. 24) si chaque étoile tombe. en exactement un pentamino. Riz. 24 Fig. Douze figures pentomino sont placées dans une boîte 12 10, comme le montre la Fig. 25. Essayez de placer une autre série de pentaminos sur le champ libre restant.

18 18 3. Problèmes de découpe difficiles 3. Problèmes de découpe difficiles Leçon 3.1 Sujet : Problèmes de découpe de figures de formes plus complexes avec des limites qui sont des arcs. Objectif : Apprendre à découper des formes plus complexes avec des bordures qui sont des arcs et créer un carré à partir des pièces obtenues. Tâches dans la Fig. 26 montre 4 chiffres. D'un seul coup, divisez chacun d'eux en deux parties et faites-en un carré. Le papier à carreaux vous permettra de résoudre plus facilement le problème. Fig. Coupez le carré 6 6 en morceaux et assemblez-les selon les formes indiquées sur la Fig. 27. Fig. 27

Leçon 19 Dans la Fig. 28 montre une partie du mur de la forteresse. L'une des pierres a une forme si bizarre que si vous la retirez du mur et la placez d'une autre manière, le mur deviendra uniforme. Dessinez cette pierre. À quoi servira davantage de peinture : un carré ou cet anneau inhabituel (Fig. 29) ? Riz. 28 Fig. Coupez le vase montré à la Fig. 30, en trois parties, à partir desquelles vous pouvez plier un losange. Riz. 30 Fig. 31 Fig. 32 Leçon 3.2 Sujet : Tâches de découpe plus complexes. Objectif : S’entraîner à résoudre des problèmes de découpe plus complexes. Nous résolvons les problèmes en classe, tâche 3.12 à la maison. Découpez la figure (Fig. 31) avec deux coupes droites en morceaux à partir desquels vous pouvez plier un carré. 32 figure en quatre parties égales, à partir desquelles un carré pourrait être plié. Coupez la lettre E montrée sur la Fig. 33, en cinq parties et pliez-les en carré. Ne retournez pas les pièces à l’envers

20 20 4. La subdivision plane est autorisée. Est-il possible de se contenter de quatre pièces, si l'on permet de retourner les pièces ? 3.9. Une croix composée de cinq carrés doit être découpée en morceaux à partir desquels on peut former un carré de taille égale à la croix (c'est-à-dire de superficie égale). Deux échiquiers sont donnés : un échiquier ordinaire, avec 64 cases, et un autre avec 36 carrés. Il est nécessaire de couper chacune d'elles en deux parties pour qu'à partir des quatre parties résultantes, un nouvel échiquier de cellules soit réalisé. L'ébéniste dispose d'un morceau d'échiquier de 7 7 cellules en acajou précieux. Il veut, sans perdre de matière et sans réaliser la Fig. 33 coupes uniquement le long des bords des carrés, ont scié la planche en 6 parties de manière à en faire trois nouveaux carrés, tous de tailles différentes. Comment faire? Est-il possible de résoudre le problème 3.11 si le nombre de pièces est de 5 et la longueur totale des coupes est de 17 ? 4. Partitionner un plan Leçon 4.1 Sujet : Partitions solides de rectangles. Objectif : Apprendre à construire des divisions continues de rectangles avec des carreaux rectangulaires. Répondez à la question dans quelles conditions un rectangle permet une telle division du plan. Les problèmes (a) sont résolus en classe. Les problèmes 4.5 (b), 4.6, 4.7 peuvent être laissés à la maison. Supposons que nous ayons une quantité illimitée de carreaux rectangulaires de taille 2 1 et que nous souhaitions aménager un sol rectangulaire avec eux, et que deux carreaux ne doivent pas se chevaucher. Posez 2 carreaux 1 sur le sol dans une pièce mesurant 5 6. C'est clair. que si le sol d'une pièce rectangulaire p q est posé avec des carreaux 2 1, alors p q est pair (puisque la surface est divisible par 2). Et vice versa : si p q est pair, alors le sol peut être aménagé avec 2 1 carreaux.

Leçon 21 En effet, dans ce cas l'un des nombres p ou q doit être pair. Si, par exemple, p = 2r, alors le sol peut être disposé comme indiqué sur la Fig. 34. Mais dans de tels parquets, il y a des lignes de rupture qui traversent toute la « pièce » d'un mur à l'autre, mais ne traversent pas les carreaux. Mais dans la pratique, on utilise des parquets sans de telles lignes - des parquets massifs. Fig Disposez les carreaux 2 1 parquet continu de la pièce Essayez de trouver une division continue en carreaux 2 1 a) rectangle 4 6 ; b) carré Disposer carrelage 2 1 parquet massif a) pièces 5 8 ; b) pièces 6 8. La question se pose naturellement : pour quoi p et q le rectangle p q admet-il une partition continue en tuiles 2 1 ? On connaît déjà les conditions nécessaires : 1) p q est divisible par 2, 2) (p, q) (6, 6) et (p, q) (4, 6). Vous pouvez également vérifier une condition supplémentaire : 3) p 5, q 5. Il s'avère que ces trois conditions sont également suffisantes. Carreaux d'autres dimensions Disposez les carreaux 3 2 sans cassures : a) rectangle 11 18 ; b) rectangle Disposez le carré en carreaux sans cassures, si possible. Est-il possible, en prenant un carré de papier quadrillé mesurant 5 5 alvéoles, d'en découper 1 alvéole pour que la partie restante puisse être découpée en plaques de 1 3 alvéoles ? Leçon 4.2 Sujet : Parquets.

22 22 4. Cloisonner le plan Objectif : Apprendre à recouvrir le plan de différentes figures (et les parquets peuvent être avec des lignes de cassure ou pleines), ou prouver que cela est impossible. Problèmes L'une des questions les plus importantes de la théorie de la séparation plane est la suivante : "Quelle forme doit avoir un carreau pour que ses copies puissent recouvrir le plan sans espaces ni doubles revêtements ?" De nombreuses formes évidentes viennent immédiatement à l’esprit. On peut prouver qu’il n’existe que trois polygones réguliers pouvant couvrir un plan. Il s'agit d'un triangle équilatéral, d'un carré et d'un hexagone (voir Fig. 35). Il existe un nombre infini de polygones irréguliers pouvant être utilisés pour couvrir un plan. Fig Divisez un triangle obtus arbitraire en quatre triangles égaux et similaires. Dans le problème 4.8, nous divisons le triangle en quatre triangles égaux et similaires. Chacun des quatre triangles résultants peut à son tour être divisé en quatre triangles égaux et similaires, etc. Si vous vous déplacez dans la direction opposée, c'est-à-dire ajoutez quatre triangles obtus égaux pour obtenir un triangle similaire à eux, mais quatre fois plus grand. dans la zone , etc., alors le plan peut être carrelé avec de tels triangles. Le plan peut être recouvert d'autres figures, par exemple des trapèzes, des parallélogrammes. Couvrez le plan avec les mêmes figures montrées sur la Fig. 36.

23 Leçon Carrelez le plan avec les mêmes « supports » montrés sur la Fig. 37. Fig. 36 Fig. Il y a quatre carrés de côté 1, huit de côté 2, douze de côté 3. Est-il possible de les plier en un seul grand carré ? Est-il possible de réaliser un carré de n'importe quelle taille à partir des tuiles en bois illustrées à la Fig. 38 types utilisant les deux types de carreaux ? Leçon 4.3 Sujet : Problèmes concernant l'emballage le plus dense. Riz. 38 Objectif : Former un concept de solution optimale. Problèmes Quel est le plus grand nombre de bandes mesurant 1 à 5 cellules pouvant être découpées dans un carré de papier à carreaux de 8 à 8 cellules ? L'artisan dispose d'une feuille de fer blanc de la taille d'un carré. dm. Le maître souhaite découper autant de flans rectangulaires que possible mesurant 3 à 5 mètres carrés. dm. Aidez-le. Est-il possible de découper un rectangle cellulaire sans laisser de résidus en rectangles mesurant 5 à 7 ? Si possible, comment ? Si non, pourquoi pas ? Sur une feuille de papier quadrillé avec les dimensions des cellules, marquez les coupes, à l'aide desquelles vous pourrez obtenir autant de figures entières que possible, illustrées sur la Fig. 39. Les chiffres présentés à la Fig. 39 (b, d), peut être retourné.

24 24 5. Tangram Fig Tangram Leçon 5.1 Sujet : Tangram. Objectif : Initier les élèves au puzzle chinois « Tangram ». Pratiquez la recherche et la conception géométriques. Développer des compétences combinatoires. Tâches En parlant de tâches de découpe, on ne peut manquer de mentionner l'ancien puzzle chinois « Tangram », originaire de Chine il y a 4 000 ans. En Chine, on l’appelle chi tao tu, ou un puzzle mental composé de sept pièces. Des lignes directrices. Pour animer cette leçon, il est conseillé de disposer de documents à distribuer : un puzzle (que les élèves peuvent réaliser eux-mêmes), des dessins des figures qu'il faudra plier. Fig. Réalisez vous-même le puzzle : transférez un carré divisé en sept parties (Fig. 40) sur du papier épais et découpez-le. En utilisant les sept parties du puzzle, réalisez les figures représentées sur la Fig. 41.

25 Leçon Fig. 41 Fig. 42 Recommandations méthodologiques. Les enfants peuvent recevoir des dessins grandeur nature des figures a), b) Et par conséquent, l'étudiant peut résoudre le problème en superposant les pièces du puzzle sur le dessin de la figure et en sélectionnant ainsi les pièces nécessaires, ce qui simplifie la tâche. Et des dessins de figures

26 26 6. Les problèmes de découpe dans l'espace c), d) peuvent être donnés à une échelle plus petite ; ces problèmes seront donc plus difficiles à résoudre. En figue. 42 figures supplémentaires vous sont données pour que vous puissiez composer vous-même. Essayez de créer votre propre figure en utilisant les sept parties du tangram, parmi ses sept parties il y a déjà des triangles de différentes tailles. Mais à partir de ses parties, vous pouvez toujours ajouter divers triangles. Pliez un triangle en utilisant les quatre parties d'un tangram : a) un grand triangle, deux petits triangles et un carré ; b) un grand triangle, deux petits triangles et un parallélogramme ; c) un grand triangle, un triangle moyen et deux petits triangles. Est-il possible de réaliser un triangle en utilisant seulement deux parties de tangram ? Trois parties? Cinq parties ? Six parties ? Les sept parties du tangram ? 5.6. Évidemment, les sept parties du tangram forment un carré. Est-il possible ou non de faire un carré à partir de deux parties ? De l'arbre? Sur quatre ? 5.7. Quelles sont les différentes parties d’un tangram qui peuvent être utilisées pour réaliser un rectangle ? Quels autres polygones convexes peuvent être créés ? 6. Problèmes de découpe dans l'espace Leçon 6.1 Sujet : Problèmes de découpe dans l'espace. Objectif : Développer l’imagination spatiale. Apprenez à construire des développements d'une pyramide triangulaire, d'un cube et à déterminer quels développements sont incorrects. Entraînez-vous à résoudre des problèmes de découpe de corps dans l'espace (la résolution de tels problèmes diffère de la résolution de problèmes de découpe de figures dans un avion). Problèmes Buratino avait du papier recouvert de polyéthylène sur une face. Il a réalisé l'ébauche montrée à la Fig. 43 pour y coller des sacs de lait (pyramides triangulaires). Et Alice la renarde peut faire une autre préparation. Lequel?

27 Leçon Riz Basilio le chat a aussi reçu du papier comme celui-ci, mais il veut coller des cubes (sacs de kéfir). Il a réalisé les ébauches montrées sur la Fig. 44. Et Alice la renarde dit que certains peuvent être jetés tout de suite, car ils ne valent rien. A-t-elle raison ? Fig La pyramide de Khéops a un carré à sa base et ses faces latérales sont des triangles isocèles égaux. Pinocchio grimpa et mesura l'angle du visage au sommet (AMD, fig. 45). Il s'est avéré que c'était 100. Et Alice le renard dit qu'il a surchauffé au soleil, car cela ne peut pas être le cas. A-t-elle raison ? 6.4. Quel est le nombre minimum de coupes plates nécessaires pour diviser le cube en 64 petits cubes ? Après chaque découpe, vous avez la possibilité de réarranger les parties du cube à votre guise. Le cube en bois a été peint à l'extérieur avec de la peinture blanche, puis chacun de ses bords fig. 45 ont été divisés en 5 parties égales, après quoi ils ont été sciés de manière à obtenir de petits cubes dont le bord était 5 fois plus petit que celui du cube d'origine. Combien de petits cubes avez-vous obtenu ? Combien de cubes ont trois faces colorées ? Deux côtés? Un avantage ? Combien de cubes incolores reste-t-il ? 6.6. La pastèque a été coupée en 4 parties et mangée. Il s'est avéré 5 croûtes. Est-ce que cela pourrait être possible ?

28 28 7. Tâches de coloriage 6.7. Quel est le plus grand nombre de morceaux en lesquels une crêpe peut être coupée en utilisant trois coupes droites ? Combien de morceaux peut-on obtenir avec trois coupes d’une miche de pain ? 7. Problèmes de coloration Leçon 7.1 Sujet : La coloration aide à résoudre des problèmes. Objectif : Apprendre à prouver que certains problèmes de découpage n’ont pas de solution en utilisant un coloriage bien choisi (par exemple, le coloriage en damier), améliorant ainsi la culture logique des élèves. Problèmes Il n'est pas difficile de prouver que la solution au problème de la découpe d'une figure en plusieurs parties est possible : il suffit de fournir une méthode de découpe. Trouver toutes les solutions, c’est-à-dire toutes les méthodes de découpe, est déjà plus difficile. Et prouver que la coupe est impossible est également assez difficile. Dans certains cas, colorier la figure nous aide à le faire. Nous avons pris un carré de papier à carreaux mesurant 8 × 8 et en avons découpé deux carrés (en bas à gauche et en haut à droite). Est-il possible de recouvrir complètement la figure obtenue avec des rectangles « dominos » 1 2 ? 7.2. Il y a une pièce de chameau sur l'échiquier qui, à chaque mouvement, déplace trois cases verticalement et une horizontalement, ou trois cases horizontalement et une verticalement. Un « chameau », après avoir effectué plusieurs déplacements, peut-il entrer dans une cellule adjacente à celle d'origine sur le côté ? 7.3. Un coléoptère se trouve dans chaque cellule d'un carré de 5 à 5. Sur commande, chaque coléoptère a rampé jusqu'à l'une des cellules adjacentes au côté. Se pourrait-il qu'après cela, il y ait à nouveau exactement un scarabée dans chaque cellule ? Et si le carré d'origine avait pour dimensions 6 6 ? 7.4. Est-il possible de découper un carré de papier tartan 4 x 4 en un socle, un carré, un poteau et un zigzag (Fig. 46) ?

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moscou, 2002 UDC 514.11 BBK 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problèmes de coupe. M. : MTsNMO, 2002. 120 pp. : ill. Série : « Les secrets de l'enseignement des mathématiques ». Ce

VIRGINIE. Smirnov, I.M. Smirnova, I.V. Yashchenko QU'EST-CE QUE LA GÉOMÉTRIE VISUELLE EN 5E ET 6E ANNÉE Les résultats de l'examen d'État et de l'examen d'État unifié en mathématiques montrent que le principal problème de la préparation géométrique des élèves est associé à une insuffisance

Problèmes sur les réseaux V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov 1 Bases de treillis 1. Une paire de vecteurs a = me 1 + ne 2 et b = ke 1 + le 2, où m, n, k, l sont des nombres entiers, alors et seulement alors génère-t-il le même réseau,

I. V. Yakovlev Matériaux mathématiques MathUs.ru Coupe Les figures géométriques sont dites égales si elles peuvent se superposer les unes aux autres de manière à coïncider complètement. 1. Découpez chaque forme en

VIRGINIE. Smirnov, I.M. Smirnova GÉOMÉTRIE Un manuel de préparation au GIA Problèmes de choix des énoncés corrects 2015 1 INTRODUCTION Ce manuel est destiné à préparer à la résolution de problèmes géométriques de l'examen d'État de mathématiques.

Test 448 Angles verticaux 1. Si les angles ne sont pas verticaux, alors ils ne sont pas égaux. 2. Les angles égaux ne sont des angles verticaux que s’ils sont symétriques au centre. 3. Si les angles sont égaux et que leur union a

I. V. Yakovlev Matériaux sur les mathématiques MathUs.ru Exemples et constructions 1. (Vseross., 2018, ШЭ, 5.2) La jeune fille a remplacé chaque lettre de son nom par son numéro dans l'alphabet russe. Le numéro résultant est 2011533.

CONFÉRENCE 24 GRAPHES PLANS 1. Formule d'Euler pour les graphes planaires Définition 44 : Un graphe planaire est une image d'un graphe sur un plan sans auto-intersections. Remarque : Un graphique n’est pas la même chose qu’un plan.

Enseignement général secondaire (complet) M.I. Bashmakov Mathématiques 11e année Recueil de problèmes 3e édition UDC 372.851 (075.3) BBK 22.1ya721 B336 Bashmakov M. I. B336 Mathématiques. 11e année. Recueil de problèmes : moyen (complet)

VIRGINIE. Smirnov 1. Reconnaissance des figures 1. Quel polyèdre est appelé cube ? 2. Combien de sommets, d'arêtes et de faces possède un cube ? 3. Dessinez un cube sur du papier quadrillé. 4. Quel polyèdre est appelé parallélépipède ?

VIRGINIE. Smirnov, I.V. Yashchenko CHIFFRES DANS L'ESPACE Un manuel de préparation à l'examen d'État unifié 2013 INTRODUCTION Ce manuel est destiné à préparer à la résolution de problèmes géométriques de l'examen d'État unifié en mathématiques. Ses objectifs sont :

1 apprendre à utiliser le langage géométrique et le symbolisme géométrique pour décrire les objets du monde environnant ; effectuer un raisonnement et une justification simples dans le processus de résolution des problèmes prévus

MATHÉMATIQUES niveaux 5.1-5.3 (profil technologique) Module de banque de tâches « Géométrie » « Triangles et quadrangles. Lignes droites et cercles. Symétrie. Polyèdres" Informations théoriques de base requises

Devoirs pour le troisième tournoi ouvert des jeunes mathématiciens de la ville de Minsk 2016 (ligue junior, niveaux 5-7) 10-12 mars 2016 Candidatures préliminaires indiquant l'établissement d'enseignement, le directeur, son numéro de téléphone

Établissement d'enseignement préscolaire budgétaire municipal « Jardin d'enfants 30 » du district central de Barnaoul MATÉRIEL DE CONSEIL ET DE RECOMMANDATION POUR LES ENSEIGNANTS sur le thème : « Présentation des enfants d'âge préscolaire

1 Règle de l'extrême Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999) Considérons d'abord les trois problèmes suivants : Tâche1. Sur une feuille infinie de papier à carreaux, un certain nombre naturel est écrit dans chaque cellule. C'est connu

La connaissance est la plus excellente des possessions. Tout le monde y aspire ; cela ne vient pas tout seul. Abu-r-Raikhan al-buruni « Le concept de l'aire d'un polygone » Niveau de géométrie 8 1 CARACTÉRISTIQUES DES POLYNOMES Ligne brisée fermée,

Note explicative 1. Caractéristiques générales du cours Ce programme est élaboré conformément aux exigences de la norme éducative de l'État fédéral pour l'enseignement général de base et est destiné

Master class « Géométrie et stéréométrie à l'examen d'État unifié en mathématiques, partie 1. Octobre 2017. Pour résoudre des problèmes, vous avez besoin de connaissances sur les figures géométriques et leurs propriétés, en calculant les aires des figures planes, les volumes

Établissement d'enseignement budgétaire municipal « École secondaire 2 » Annexe 3.20. Programme de travail pour le cours « Géométrie visuelle » de la 5e à la 6e année Développeurs : Ovchinnikova N.V.,

Sujet 1. Parité 1. Il y a 13 engrenages connectés en chaîne fermée sur la table. Tous les engrenages peuvent-ils tourner en même temps ? 2. Une ligne droite qui ne contient pas les sommets d'une ligne brisée fermée à 13 liens

Analyse des tâches de la troisième partie des tâches 1 2 École électronique Znika Analyse des tâches de la troisième partie des tâches Grade 4 6 7 8 9 10 A B A B D Tâche 6 A l'intérieur du tunnel, il y a des points de contrôle tous les 10 m.

IXe session panrusse « Jeune mathématicien ». Centre panrusse pour enfants "Orlyonok" VI Tournoi de Jeux Mathématiques. Jeu mathématique "Duel". Ligue junior. Solutions. 08 septembre 2013 1. Les deux groupes ont le même nombre d'élèves

Problèmes amusants avec les cubes Tâche 1. Numéroter les 8 sommets du cube avec des numéros de série (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) de sorte que la somme des nombres sur chacune de ses six faces soit la même (Fig.1a).

Banque de tâches en mathématiques 6e « Polygones et polyèdres » 1. Un polyèdre est une surface fermée composée de : parallélogrammes, polygones et triangles, polygones, polygones

COMITÉ D'ÉTAT DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE POUR L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR UNIVERSITÉ D'ÉTAT DE NOVOSIBIRSK École par correspondance DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES CONCEPTION PARALLÈLE Année 0, tâche 3. Novossibirsk

Programme de travail de la matière pédagogique « Le Monde des Signes et des Chiffres » 5e année 1. Résultats prévus de la maîtrise de la matière pédagogique « Le Monde des Signes et des Chiffres » maîtrise du langage géométrique, son utilisation pour la description

Cours périscolaire de géométrie visuelle en 7e. Sujet : « Géométrie des ciseaux. Problèmes de découpe et de pliage de formes"

EUX. SMIRNOVA, V.A. GÉOMÉTRIE SMIRNOV SUR PAPIER VÉRIFIÉ Manuel pour les établissements d'enseignement Moscou 2009 PRÉFACE Le manuel proposé contient cinquante-six problèmes pour la construction et

CAHIER 2 TRANSFORMATIONS 1 Concept de transformation Exemple 1. Transformation de cercles concentriques les uns dans les autres. Le cercle c 1 est transformé en un cercle concentrique c 2 comme indiqué

Automne intensif de physique et de mathématiques « 100 heures » POLIMINO Jeux et puzzles avec des figures à carreaux Khozin Mikhail Anatolyevich Dzerzhinsk, 29 octobre 2 novembre 2016 QU'EST-CE QUE POLYMINO ? Tout le monde connaît les dominos

7 figures sont dessinées par des points comme le montrent les images ci-dessous. C A G B F Montrez comment réaliser les figures des images ci-dessous à partir de ces éléments D E A) (point 0 point) B) (point 0 point) C) (3 points

Examen d'État unifié 2010. Mathématiques. Problème B9. Cahier d'exercices Smirnov V.A. (édité par A.L. Semenov et I.V. Yashchenko) M. : Maison d'édition MTsNMO ; 2010, 48 pages Cahier d'exercices en mathématiques de la série « Examen d'État unifié 2010. Mathématiques »

1) Réponses IDm2014_006 du tour de concours 2) Chef d'équipe Olga Sergeevna Poyarkova 3) Responsable technique (coordinateur) non 4) URL de la page Web avec les réponses du tour de concours (le cas échéant) non 5) Tableau

10.1 (profil technologique), 10.2 (niveau profil) Année académique 2018-2019 Banque approximative de tâches de préparation aux tests de mathématiques, section « Géométrie » (manuel Atanasyan L.S., niveau profil)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Polyèdres réguliers, semi-réguliers et étoilés Maison d'édition de Moscou MTsNMO 010 UDC 514.11 BBK.151.0 C50 Contenu C50 Smirnova I. M., Smirnov V. A. Régulier, semi-régulier

MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION ET DES SCIENCES DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE CENTRE D'ENSEIGNEMENT SPÉCIALISÉ ET DE RECHERCHE DE L'UNIVERSITÉ D'ÉTAT DE NOVOSIBIRSK Mathématiques niveau 0 CONCEPTION PARALLÈLE Novossibirsk I. Conception

Année scolaire 2016 2017 5e année 51 Placez les parenthèses et les panneaux d'action dans les entrées 2 2 2 2 2 pour obtenir 24 52 Anya ment les mardis, mercredis et jeudis et dit la vérité tous les autres jours de la semaine

Thème 16. Polyèdres 1. Prisme et ses éléments : Un prisme est un polyèdre dont deux faces sont des polygones égaux situés dans des plans parallèles, et les faces restantes sont des parallélogrammes.

La géométrie avant la géométrie. PDA, Géométrie, Troisième Leçon (Maksimov D.V.) 28 juin 2017 Géométrie visuelle Un cube 3x3x3 est composé de 13 cubes blancs et de 14 cubes sombres. Quelle photo le montre ? Indiqué ci-dessous

7e année 7.1. Se pourrait-il que ce problème soit correctement résolu par 1000 participants à l'Olympiade, et parmi eux il y aura 43 garçons de plus que les filles ? 7.2. Lada et Lera souhaitaient un nombre naturel. Si

Comité de l'administration du district de Zmeinogorsk du territoire de l'Altaï pour l'éducation et la jeunesse Établissement d'enseignement budgétaire municipal « École secondaire de Zmeinogorsk avec avancé

Examen d'entrée à l'école de mathématiques du soir de la Faculté de mathématiques computationnelles et de mathématiques de l'Université d'État M.V. Lomonossov de Moscou (29 septembre 2018), 8e et 9e années 1. Les équipes « Mathématiciens », « Physique » et « Programmeurs » ont joué au football

Établissement d'enseignement budgétaire municipal de la ville d'Abakan « École secondaire 11 » PROGRAMME d'activités parascolaires du cercle « Jeune Mathématicien » pour les classes 1 à 4 Programme d'activités parascolaires

Sujet I. Problème de parité 1. Un tableau de 25 25 carrés est coloré en 25 couleurs afin que toutes les couleurs soient représentées dans chaque ligne et chaque colonne. Montrer que si la disposition des couleurs est symétrique par rapport à

1. Ensembles. Opérations sur les ensembles 1. Est-il vrai que pour tout ensemble A, B l'égalité A \ (A \ B) A B est vraie ? 2. Est-il vrai que pour tout ensemble A, B l'égalité (A \ B) (B \ A) est vraie ?

Code de section Exigences (compétences) testées par les tâches du travail final Banque ouverte de tâches dans la matière « Mathématiques » pour les élèves de quatrième année Tâches 4. RELATIONS SPATIALES. GÉOMÉTRIQUE

Image des polyèdres L'image d'une figure est considérée comme une figure similaire à sa projection sur un certain plan. Une image est sélectionnée qui donne une idée correcte de la forme de la figure, c'est

Problèmes pour la 5e année Site Web de mathématiques élémentaires par Dmitry Gushchin www.mathnet.spb.ru dans une boîte 5. Qui gagnera s'il joue de son mieux ? 2. Dans le carré 5, 5 lignes sont tracées le divisant en

Département de l'éducation de l'administration du district de Krasnogvardeisky Établissement d'enseignement municipal « École secondaire Kalinovskaya » Approuvé par : Directeur du MBOU « École secondaire Kalinovskaya » Belousova

Douzième Olympiade panrusse de géométrie nommée d'après. I. F. Sharygina Quatorzième Olympiade orale de géométrie Moscou, 17 avril 2016 Solutions aux problèmes 8 9 niveau 1. (A. Blinkov) Dans un hexagone, égal

Tâches G-11.5.16. Côté S = P principal. * Formule H pour trouver la surface latérale d'un prisme Г -11.5.17. Côté S = 1 P principal. * h formule pour trouver la surface latérale 2 d'une pyramide 6. Problèmes divers G-10.6.1.

VIIIe tournoi personnel par équipe « Concours général mathématique » 2 7 novembre 2015, Moscou Géométrie (solutions) Junior League 1. Étant donné un cercle et sa corde. Les tangentes sont dessinées au cercle aux extrémités de la corde

1. Dessinez une figure sur du papier quadrillé. Divisez-le en 4 égaux
pièces le long des lignes de papier à carreaux. Trouver tous les chiffres possibles pour lesquels
vous pouvez réduire ce chiffre en fonction des conditions du problème.
Solution.
2. Une cellule centrale a été découpée dans un carré de 5 5. Coupez le résultat
façonner en deux parties égales de deux manières.
Solution.

3. Divisez le rectangle 3×4 en deux parties égales. Trouver le plus possible
plus de façons. Vous ne pouvez couper que le long du côté d'un carré 1 × 1, et les méthodes
sont considérés comme différents si les chiffres obtenus ne sont pas égaux pour chacun
chemin.
Solution.
4. Coupez la figure indiquée sur la figure en 2 parties égales.
Solution.
5. Coupez la figure indiquée sur la figure en 2 parties égales.

Solution.
6. Coupez la figure indiquée sur la figure en deux parties égales le long
lignes de quadrillage, et il devrait y avoir un cercle dans chaque partie.
Solution.
7. Coupez la figure indiquée sur la figure en quatre parties égales

Solution.

8. Coupez la figure indiquée sur la figure en quatre parties égales
le long des lignes de la grille, et il devrait y avoir un cercle dans chaque partie.
Solution.
9. Découpez ce carré le long des côtés des alvéoles afin que toutes les parties
être de même taille et forme et contenir chacun un
tasse et croix.
Solution.

10. Découpez la figure indiquée sur la figure le long des lignes de quadrillage en
quatre parties égales et pliez-les en carré de façon à ce que les cercles et les croix
situé symétriquement par rapport à tous les axes de symétrie du carré.
Solution.
11. Coupez le carré 6 6 montré sur la figure en quatre
parties identiques afin que chacune d’elles contienne trois cellules ombrées.

Solution.
12. Est-il possible de découper un carré en quatre parties pour que chaque partie
était en contact avec les trois autres (les pièces sont en contact si elles ont un point commun
section frontalière) ?
Solution.
13. Est-il possible de découper un rectangle de 9 4 cellules en deux parties égales le long

alors comment faire ça ?
Solution L'aire d'un tel carré est de 36 cellules, c'est-à-dire que son côté est de 6.
cellules. La méthode de coupe est illustrée sur la figure.

14. Est-il possible de découper un rectangle de 5 10 cellules en deux parties égales le long
côtés des cellules pour qu’elles puissent former un carré ? Si oui,
alors comment faire ça ?
Solution L'aire d'un tel carré est de 50 cellules, c'est-à-dire que son côté est.
plus de 7, mais moins de 8 cellules entières. Alors, coupe un tel rectangle
de la manière requise sur les côtés des cellules, cela est impossible.
15. Il y avait 9 feuilles de papier. Certains d'entre eux étaient découpés en trois parties. Total
est devenu 15 feuilles. Combien de feuilles de papier as-tu découpées ?
Solution : On coupe 3 feuilles : 3 ∙ 3 + 6 = 15.

Leçon : Problèmes géométriques (découpe)

Objectif de la leçon :

développer un intérêt pour le sujet

développement des capacités créatives des élèves

développement de l'attention, de la mémoire, des compétences de travail indépendant et en équipe

développement de l’initiative mentale, de l’intelligence et du « bon sens »

Déroulement de la leçon :

Aujourd’hui, les problèmes géométriques (découpe) impliquent une figure géométrique apparemment simple.

C'est mon ami depuis longtemps,

Chaque angle est bon.

Les quatre côtés

Même longueur.

Je suis heureux de vous le présenter.

Quel est son prénom?

Le principal mérite de la place était son utilisation comme unité de surface pratique. En effet, les carrés sont très pratiques pour recouvrir des zones planes, mais disons que cela ne peut pas être fait avec des cercles sans trous ni chevauchements. Les mathématiciens parlent souvent de « quadrature » au lieu de « recherche d’aire ».

Ainsi, le problème de trouver l'aire d'un cercle est appelé le problème de la quadrature du cercle. Le carré est le personnage principal du théorème de Pythagore.

Tâche n°1

Tâche n°2

Carré avec 20 triangles égaux

Coupez un morceau de papier carré en 20 triangles égaux et pliez-les en 5 carrés égaux.

Tâche n°3

De la croix - Carré

Une croix composée de cinq carrés doit être découpée en morceaux qui pourront servir à former un carré.

Tâche n°4

Un carré contient 16 cellules. Divisez le carré en deux parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des cellules.

Il existe plusieurs façons.

Tâche n°5

Coupez le carré 7x7 en cinq morceaux et réorganisez-les pour former trois carrés : 2x2, 3x3 et 6x6.

Tâche n°6

Coupez le carré en 4 parties de même forme et taille afin que chaque partie contienne exactement un carré ombré.

Tâche n°7

Combien y a-t-il de carrés sur l’image ?

Diviser un carré en carrés plus petits de même superficie est très simple : il suffit de tracer une grille de lignes droites équidistantes parallèles aux côtés du carré. Le nombre de carrés obtenus sera un carré, oui, oui ! C'est pourquoi le produit de deux nombres identiques s'appelle un carré. Est-il possible de découper un carré en plusieurs carrés dont aucun n’est identique ?

Cette question est restée longtemps sans solution. De nombreux mathématiciens, même remarquables, pensaient qu'une telle découpe était impossible. Mais en 1939, une division de la place en 55 places différentes fut construite. En 1940, on trouva deux manières de diviser un carré en 28 carrés différents, puis en 26 carrés, et en 1948 on obtint une partition en 24 carrés différents. En 1978, une partition en 21 carrés différents a été trouvée et il a été prouvé qu'une partition en moins de carrés différents ne pouvait plus être trouvée.

Et terminons la leçon d’aujourd’hui avec un jeu divertissant, également lié au carré, « Tangram ».

L'image montre un carré divisé en 7 parties, à partir desquelles vous pouvez assembler différentes formes de l'album fourni par l'enseignant.

1. Un carré contient 16 cellules. Divisez le carré en deux parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des cellules. (Les méthodes de découpe d'un carré en deux parties seront considérées comme différentes si les parties du carré obtenues par une méthode de découpe ne sont pas égales aux parties obtenues par une autre méthode.) Combien de solutions totales le problème a-t-il ?
2. Un rectangle 3X4 contient 12 cellules. Trouvez cinq façons de couper un rectangle en deux parties égales afin que la ligne de coupe longe les côtés des cellules (les méthodes de coupe sont considérées comme différentes si les parties obtenues par une méthode de coupe ne sont pas égales aux parties obtenues par une autre méthode).
3. Un rectangle 3X5 contient 15 cellules et la cellule centrale a été supprimée. Trouvez cinq façons de couper la figure restante en deux parties égales afin que la ligne de coupe longe les côtés des cellules.
4. Un carré 6x6 est divisé en 36 carrés identiques. Trouvez cinq façons de couper un carré en deux parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des carrés. Remarque : le problème a plus de 200 solutions.
5. Divisez le carré 4x4 en quatre parties égales, avec la ligne de coupe longeant les côtés des carrés. Combien de méthodes de découpe différentes pouvez-vous trouver ?
6. Divisez la figure (Fig. 5) en trois parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des carrés.

7. Divisez la figure (Fig. 6) en quatre parties égales de manière à ce que la ligne de coupe longe les côtés des carrés.

8. Divisez la figure (Fig. 7) en quatre parties égales de manière à ce que les lignes de coupe longent les côtés des carrés. Trouvez autant de solutions que possible.

9. Divisez le carré 5x5 avec le carré central découpé en quatre parties égales.

10. Coupez les figures illustrées sur la figure 8 en deux parties égales le long des lignes de la grille, et chaque partie doit avoir un cercle.

11. Les figures illustrées à la figure 9 doivent être découpées le long des lignes du quadrillage en quatre parties égales de sorte que chaque partie comporte un cercle. Comment faire?

12. Découpez la figure représentée sur la figure 10 le long des lignes de la grille en quatre parties égales et pliez-les en un carré de manière à ce que les cercles et les étoiles soient situés symétriquement par rapport à tous les axes de symétrie du carré.

13. Découpez ce carré (Fig. 11) le long des côtés des cellules de manière à ce que toutes les parties aient la même taille et la même forme et que chacune contienne un cercle et un astérisque.

14. Coupez le carré de papier à carreaux 6x6 illustré à la figure 12 en quatre morceaux égaux de sorte que chaque morceau contienne trois carrés ombrés.