En étudiant les codages, j'ai réalisé que je ne comprenais pas assez bien les systèmes numériques. Néanmoins, j'utilisais souvent des systèmes 2, 8, 10, 16, convertis les uns en les autres, mais tout se faisait « automatiquement ». Après avoir lu de nombreuses publications, j'ai été surpris par l'absence d'un article unique, rédigé dans un langage simple, sur un sujet aussi fondamental. C'est pourquoi j'ai décidé d'écrire le mien, dans lequel j'ai essayé de présenter les bases des systèmes numériques de manière accessible et ordonnée.

Introduction

Notation est une façon d’enregistrer (représenter) des nombres.

Qu'est-ce que cela signifie? Par exemple, vous voyez plusieurs arbres devant vous. Votre tâche est de les compter. Pour ce faire, vous pouvez plier vos doigts, faire des encoches sur une pierre (un arbre - un doigt/encoche), ou associer 10 arbres avec un objet, par exemple une pierre, et un seul spécimen avec un bâton, et les placer. sur le terrain pendant que vous comptez. Dans le premier cas, le nombre est représenté comme une chaîne de doigts ou d'encoches pliés, dans le second - une composition de pierres et de bâtons, où les pierres sont à gauche et les bâtons à droite.

Les systèmes numériques sont divisés en positionnels et non positionnels, et positionnels, à leur tour, en homogènes et mixtes.

Non positionnel- le plus ancien, dans lequel chaque chiffre d'un nombre a une valeur qui ne dépend pas de sa position (chiffre). Autrement dit, si vous avez 5 lignes, alors le nombre est également 5, puisque chaque ligne, quelle que soit sa place dans la ligne, ne correspond qu'à 1 élément.

Système positionnel- la signification de chaque chiffre dépend de sa position (chiffre) dans le nombre. Par exemple, le 10ème système numérique qui nous est familier est positionnel. Considérons le nombre 453. Le nombre 4 indique le nombre de centaines et correspond au nombre 400, 5 - le nombre de dizaines et est similaire à la valeur 50, et 3 - les unités et la valeur 3. Comme vous pouvez le voir, le plus le chiffre est grand, plus la valeur est élevée. Le nombre final peut être représenté par la somme 400+50+3=453.

Système homogène- pour tous les chiffres (positions) d'un nombre, l'ensemble des caractères valides (chiffres) est le même. A titre d'exemple, prenons le 10ème système mentionné précédemment. Lors de l'écriture d'un nombre dans un 10ème système homogène, vous ne pouvez utiliser qu'un seul chiffre de 0 à 9 dans chaque chiffre, donc le nombre 450 est autorisé (1er chiffre - 0, 2ème - 5, 3ème - 4), mais 4F5 ne l'est pas, car le caractère F n'est pas inclus dans l'ensemble des nombres 0 à 9.

Système mixte- dans chaque chiffre (position) d'un nombre, l'ensemble des caractères (chiffres) valides peut différer des ensembles d'autres chiffres. Un exemple frappant est le système de mesure du temps. Dans la catégorie des secondes et des minutes il y a 60 symboles différents possibles (de « 00 » à « 59 »), dans la catégorie des heures – 24 symboles différents (de « 00 » à « 23 »), dans la catégorie du jour – 365, etc.

Systèmes non positionnels

Dès que les gens ont appris à compter, le besoin d’écrire les chiffres s’est fait sentir. Au début, tout était simple : une encoche ou un tiret sur une surface correspondait à un objet, par exemple un fruit. C'est ainsi qu'est apparu le premier système numérique - l'unité.

Système de numérotation des unités

Un nombre dans ce système numérique est une chaîne de tirets (bâtons) dont le nombre est égal à la valeur du nombre donné. Ainsi, une récolte de 100 dattes sera égale à un nombre composé de 100 tirets.
Mais ce système présente des inconvénients évidents : plus le nombre est grand, plus la chaîne de bâtons est longue. De plus, vous pouvez facilement vous tromper en écrivant un numéro en ajoutant accidentellement un bâton supplémentaire ou, à l'inverse, en ne l'écrivant pas.

Pour plus de commodité, les gens ont commencé à regrouper les bâtons en 3, 5 et 10 morceaux. En même temps, chaque groupe correspondait à un signe ou un objet spécifique. Initialement, les doigts étaient utilisés pour compter, les premiers signes sont donc apparus pour des groupes de 5 et 10 pièces (unités). Tout cela a permis de créer des systèmes d'enregistrement de numéros plus pratiques.

Système décimal égyptien antique

Dans l'Égypte ancienne, des symboles spéciaux (chiffres) étaient utilisés pour représenter les nombres 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. En voici quelques uns:

Pourquoi est-ce appelé décimal ? Comme indiqué ci-dessus, les gens ont commencé à regrouper les symboles. En Égypte, ils ont choisi un groupe de 10, en laissant le chiffre « 1 » inchangé. Dans ce cas, le nombre 10 est appelé système numérique décimal de base, et chaque symbole est dans une certaine mesure une représentation du nombre 10.

Les nombres dans le système numérique égyptien ancien étaient écrits comme une combinaison de ces éléments.
caractères, dont chacun n'a pas été répété plus de neuf fois. La valeur finale était égale à la somme des éléments du nombre. Il convient de noter que cette méthode d'obtention d'une valeur est caractéristique de tout système numérique non positionnel. Un exemple serait le nombre 345 :

Système sexagésimal babylonien

Contrairement au système égyptien, le système babylonien n'utilisait que 2 symboles : un coin « droit » pour indiquer les unités et un coin « couché » pour représenter les dizaines. Pour déterminer la valeur d'un nombre, vous devez diviser l'image du nombre en chiffres de droite à gauche. Une nouvelle décharge commence par l'apparition d'un coin droit après un lit couché. Prenons comme exemple le nombre 32 :

Le nombre 60 et toutes ses puissances sont également désignés par un coin droit, comme le « 1 ». Par conséquent, le système numérique babylonien était appelé sexagésimal.
Les Babyloniens écrivaient tous les nombres de 1 à 59 dans un système décimal non positionnel, et les grandes valeurs dans un système positionnel avec une base de 60. Numéro 92 :

L'enregistrement du numéro était ambigu, puisqu'il n'y avait aucun chiffre indiquant zéro. La représentation du nombre 92 pourrait signifier non seulement 92=60+32, mais aussi, par exemple, 3632=3600+32. Pour déterminer la valeur absolue d'un nombre, un symbole spécial a été introduit pour indiquer le chiffre sexagésimal manquant, qui correspond à l'apparition du nombre 0 dans la notation décimale des nombres :

Maintenant, le nombre 3632 devrait s'écrire comme suit :

Le système sexagésimal babylonien est le premier système numérique basé en partie sur le principe positionnel. Ce système numérique est encore utilisé aujourd'hui, par exemple, pour déterminer l'heure : une heure comprend 60 minutes et une minute, 60 secondes.

Système romain

Le système romain n’est pas très différent du système égyptien. Il utilise les lettres latines majuscules I, V, X, L, C, D et M pour représenter respectivement les nombres 1, 5, 10, 50, 100, 500 et 1000. Un nombre dans le système de chiffres romains est un ensemble de chiffres consécutifs.

Méthodes pour déterminer la valeur d'un nombre :

1. La valeur d'un nombre est égale à la somme des valeurs de ses chiffres. Par exemple, le nombre 32 dans le système de chiffres romains est XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. S'il y en a un plus petit à gauche du plus grand chiffre, alors la valeur est égale à la différence entre les chiffres les plus grands et les plus petits. Dans le même temps, le chiffre de gauche peut être inférieur à celui de droite d'un ordre de grandeur maximum : par exemple, seul X(10) peut apparaître avant L(50) et C(100) parmi les « plus bas » , et seulement avant D(500) et M(1000) C(100), avant V(5) - seulement I(1); le nombre 444 dans le système numérique considéré s'écrira CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. La valeur est égale à la somme des valeurs des groupes et des nombres qui ne rentrent pas dans les points 1 et 2.

En plus des systèmes numériques, il existe également des systèmes de numérotation par lettres (alphabétiques), en voici quelques-uns :
1) Slave
2) grec (ionien)

Systèmes de numérotation positionnelle

Comme mentionné ci-dessus, les premières conditions préalables à l’émergence d’un système positionnel sont apparues dans l’ancienne Babylone. En Inde, le système prenait la forme d'une numérotation décimale positionnelle utilisant zéro, et ce système de numérotation a été emprunté aux Indiens par les Arabes, dont les Européens l'ont adopté. Pour une raison quelconque, en Europe, le nom « arabe » a été attribué à ce système.

Système de nombres décimaux

C'est l'un des systèmes numériques les plus courants. C'est ce que nous utilisons lorsque nous nommons le prix d'un produit et prononçons le numéro de bus. Chaque chiffre (position) ne peut utiliser qu'un seul chiffre compris entre 0 et 9. La base du système est le nombre 10.

Par exemple, prenons le nombre 503. Si ce nombre était écrit dans un système non positionnel, alors sa valeur serait 5+0+3 = 8. Mais nous avons un système positionnel et cela signifie que chaque chiffre du nombre doit être multiplié par la base du système, en l'occurrence le nombre « 10 », élevé à une puissance égale au chiffre du nombre. Il s'avère que la valeur est 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Pour éviter toute confusion lorsque vous travaillez avec plusieurs systèmes numériques simultanément, la base est indiquée en indice. Ainsi, 503 = 503 10.

En plus du système décimal, les systèmes 2, 8 et 16 méritent une attention particulière.

Système de numération binaire

Ce système est principalement utilisé en informatique. Pourquoi n’ont-ils pas utilisé le 10e habituel ? Le premier ordinateur a été créé par Blaise Pascal, qui utilisait le système décimal, qui s'est avéré peu pratique dans les machines électroniques modernes, car il nécessitait la production d'appareils capables de fonctionner dans 10 états, ce qui augmentait leur prix et la taille finale de l'ordinateur. machine. Les éléments fonctionnant dans le 2ème système ne présentent pas ces défauts. Cependant, le système en question a été créé bien avant l'invention des ordinateurs et a ses « racines » dans la civilisation inca, où l'on utilisait des quipus - des tissages et des nœuds de corde complexes.

Le système de numérotation binaire positionnelle a une base de 2 et utilise 2 symboles (chiffres) pour écrire les nombres : 0 et 1. Un seul chiffre est autorisé dans chaque chiffre : 0 ou 1.

Un exemple est le nombre 101. Il est similaire au nombre 5 dans le système numérique décimal. Pour passer de 2 à 10, il faut multiplier chaque chiffre d'un nombre binaire par la base « 2 » élevée à une puissance égale à la valeur de position. Ainsi, le nombre 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

Eh bien, pour les machines, le 2ème système numérique est plus pratique, mais nous voyons et utilisons souvent des nombres dans le 10ème système sur l'ordinateur. Comment alors la machine détermine-t-elle le numéro que l’utilisateur saisit ? Comment traduit-il un nombre d'un système à un autre, puisqu'il n'a que 2 symboles - 0 et 1 ?

Pour qu'un ordinateur fonctionne avec des nombres binaires (codes), ils doivent être stockés quelque part. Pour stocker chaque chiffre individuel, un déclencheur, qui est un circuit électronique, est utilisé. Il peut être dans 2 états dont l'un correspond à zéro, l'autre à un. Pour mémoriser un seul numéro, un registre est utilisé - un groupe de déclencheurs dont le nombre correspond au nombre de chiffres d'un nombre binaire. Et l'ensemble des registres est la RAM. Le numéro contenu dans le registre est un mot machine. Les opérations arithmétiques et logiques avec des mots sont effectuées par une unité logique arithmétique (ALU). Pour simplifier l'accès aux registres, ils sont numérotés. Le numéro est appelé l'adresse du registre. Par exemple, si vous devez additionner 2 nombres, il suffit d'indiquer les numéros des cellules (registres) dans lesquelles ils se trouvent, et non les numéros eux-mêmes. Les adresses sont écrites dans les systèmes octal et hexadécimal (elles seront discutées ci-dessous), car la transition d'elles vers le système binaire et inversement est assez simple. Pour passer du 2ème au 8ème, le numéro doit être divisé en groupes de 3 chiffres de droite à gauche, et pour passer du 16ème à 4. S'il n'y a pas assez de chiffres dans le groupe de chiffres le plus à gauche, alors ils sont remplis de la gauche avec des zéros, appelés leaders. Prenons comme exemple le nombre 1011002. En octal c'est 101 100 = 54 8, et en hexadécimal c'est 0010 1100 = 2C 16. Génial, mais pourquoi voyons-nous des chiffres décimaux et des lettres à l’écran ? Lorsque vous appuyez sur une touche, une certaine séquence d'impulsions électriques est transmise à l'ordinateur et chaque symbole a sa propre séquence d'impulsions électriques (zéros et uns). Le programme pilote de clavier et d'écran accède à la table des codes de caractères (par exemple, Unicode, qui permet d'encoder 65 536 caractères), détermine à quel caractère correspond le code résultant et l'affiche à l'écran. Ainsi, les textes et les chiffres sont stockés dans la mémoire de l'ordinateur sous forme de code binaire et sont convertis par programme en images à l'écran.

Système de numérotation octale

Le système du 8ème nombre, comme le système binaire, est souvent utilisé dans la technologie numérique. Il a une base de 8 et utilise les chiffres de 0 à 7 pour écrire des nombres.

Un exemple de nombre octal : 254. Pour convertir vers le 10ème système, chaque chiffre du nombre d'origine doit être multiplié par 8 n, où n est le chiffre du nombre. Il s'avère que 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

Système de nombres hexadécimaux

Le système hexadécimal est largement utilisé dans les ordinateurs modernes, par exemple, il est utilisé pour indiquer la couleur : #FFFFFF - blanc. Le système en question a une base de 16 et utilise les nombres suivants pour écrire : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, où les lettres sont respectivement 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Prenons comme exemple le nombre 4F5 16. Pour convertir au système octal, nous convertissons d'abord le nombre hexadécimal en binaire, puis, en le divisant en groupes de 3 chiffres, en octal. Pour convertir un nombre en 2, vous devez représenter chaque chiffre sous la forme d'un nombre binaire de 4 bits. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Mais dans les groupes 1 et 3, il n'y a pas assez de chiffres, remplissons donc chacun avec des zéros non significatifs : 0100 1111 0101. Vous devez maintenant diviser le nombre obtenu en groupes de 3 chiffres de droite à gauche : 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 . Convertissons chaque groupe binaire en système octal, en multipliant chaque chiffre par 2 n, où n est le nombre de chiffres : (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

En plus des systèmes de numérotation positionnelle considérés, il en existe d'autres, par exemple :
1) Trinité
2) Quaternaire
3) Duodécimal

Les systèmes positionnels sont divisés en homogènes et mixtes.

Systèmes de numérotation positionnelle homogène

La définition donnée au début de l'article décrit de manière assez complète les systèmes homogènes, une clarification est donc inutile.

Systèmes de numérotation mixtes

À la définition déjà donnée, nous pouvons ajouter le théorème : « si P=Q n (P, Q, n sont des entiers positifs, tandis que P et Q sont des bases), alors l'enregistrement de n'importe quel nombre dans le système numérique mixte (P-Q) à l'identique coïncide avec l’écriture du même nombre dans le système numérique avec la base Q. »

Sur la base du théorème, nous pouvons formuler des règles pour passer du P-ème au Q-ème système et vice versa :

1. Pour convertir du Q-ème au P-ème, vous devez diviser le nombre du Q-ème système en groupes de n chiffres, en commençant par le chiffre de droite, et remplacer chaque groupe par un chiffre dans le P-ème système. .
2. Pour convertir de P-ème en Q-ème, il est nécessaire de convertir chaque chiffre d'un nombre du P-ème système en Q-ème et de remplir les chiffres manquants avec des zéros non significatifs, à l'exception de celui de gauche, de sorte que chaque nombre du système de base Q est composé de n chiffres.

Un exemple frappant est la conversion du binaire en octal. Prenons le nombre binaire 10011110 2, pour le convertir en octal - nous le diviserons de droite à gauche en groupes de 3 chiffres : 010 011 110, multiplions maintenant chaque chiffre par 2 n, où n est le chiffre, 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . Il s'avère que 10011110 2 = 236 8. Pour rendre sans ambiguïté l'image d'un nombre binaire-octal, il est divisé en triplets : 236 8 = (10 011 110) 2-8.

Les systèmes numériques mixtes sont également, par exemple :
1) Factorielle
2) Fibonacci

Conversion d'un système numérique à un autre

Parfois, vous devez convertir un nombre d'un système numérique à un autre, examinons donc les moyens de convertir entre différents systèmes.

Conversion au système de nombres décimaux

Il existe un nombre a 1 a 2 a 3 dans le système numérique de base b. Pour convertir au 10ème système, il faut multiplier chaque chiffre du nombre par b n, où n est le numéro du chiffre. Ainsi, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.

Exemple : 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Conversion du système de nombres décimaux vers d'autres

Partie entière :

1. Nous divisons successivement la partie entière du nombre décimal par la base du système dans lequel nous convertissons jusqu'à ce que le nombre décimal soit égal à zéro.
2. Les restes obtenus lors de la division sont les chiffres du nombre souhaité. Le nombre dans le nouveau système s'écrit à partir du dernier reste.

Fraction:

1. Nous multiplions la partie fractionnaire du nombre décimal par la base du système vers lequel nous voulons convertir. Séparez toute la pièce. Nous continuons à multiplier la partie fractionnaire par la base du nouveau système jusqu'à ce qu'elle soit égale à 0.
2. Les nombres du nouveau système sont constitués de parties entières de résultats de multiplication dans l'ordre correspondant à leur production.

Exemple : convertir 15 10 en octal :
15\8 = 1, reste 7
1\8 = 0, reste 1

Après avoir écrit tous les restes de bas en haut, nous obtenons le nombre final 17. Donc 15 10 = 17 8.

Conversion du binaire en octal et hexadécimal

Pour convertir en octal, nous divisons le nombre binaire en groupes de 3 chiffres de droite à gauche et remplissons les chiffres manquants les plus à l'extérieur avec des zéros non significatifs. Ensuite, nous transformons chaque groupe en multipliant les chiffres séquentiellement par 2n, où n est le numéro du chiffre.

Prenons comme exemple le nombre 1001 2 : 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Pour convertir en hexadécimal, on divise le nombre binaire en groupes de 4 chiffres de droite à gauche, puis similaire à la conversion du 2ème au 8ème.

Convertir d'octal et hexadécimal en binaire

Conversion d'octal en binaire - nous convertissons chaque chiffre d'un nombre octal en un nombre binaire à 3 chiffres en divisant par 2 (pour plus d'informations sur la division, voir le paragraphe « Conversion du système de nombres décimaux vers d'autres » ci-dessus), remplissez le champ il manque les chiffres les plus à l'extérieur avec des zéros non significatifs.

Par exemple, considérons le nombre 45 8 : 45 = (100) (101) = 100101 2

Traduction du 16 au 2 - nous convertissons chaque chiffre d'un nombre hexadécimal en un nombre binaire à 4 chiffres en divisant par 2, en remplissant les chiffres extérieurs manquants avec des zéros non significatifs.

Conversion de la partie fractionnaire d'un système numérique en décimal

La conversion s'effectue de la même manière que pour les parties entières, sauf que les chiffres du nombre sont multipliés par la base à la puissance « -n », où n part de 1.

Exemple : 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Conversion de la partie fractionnaire du binaire en 8ème et 16ème

La traduction de la partie fractionnaire s'effectue de la même manière que pour les parties entières d'un nombre, à la seule exception que la division en groupes de 3 et 4 chiffres se fait à droite de la virgule décimale, les chiffres manquants sont complétés par des zéros à droite.

Exemple : 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Conversion de la partie fractionnaire du système décimal en tout autre

Pour convertir la partie fractionnaire d'un nombre vers d'autres systèmes numériques, vous devez transformer la partie entière en zéro et commencer à multiplier le nombre obtenu par la base du système vers lequel vous souhaitez convertir. Si, à la suite de la multiplication, des parties entières apparaissent à nouveau, elles doivent être remises à zéro, après avoir d'abord mémorisé (écrit) la valeur de la partie entière résultante. L'opération se termine lorsque la partie fractionnaire est complètement nulle.

Par exemple, convertissons 10,625 10 en binaire :
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
En écrivant tous les restes de haut en bas, on obtient 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

RÉSUMÉ SUR LES FONDAMENTAUX DE LA THÉORIE DE L'INFORMATIQUE

Sujet:Systèmes de nombres octaux et hexadécimaux.

Conversion d'entiers d'un système numérique à un autre.

Imashev Ilnar Aïdarovitch

spécialité 230701

Informatique appliquée

cours 2, groupe PI-2

Forme d'enseignement à temps plein

Superviseur:

Kalachnikova Anastasia Nikolaevna

Introduction.............................................................................................................. 3

1. Système de numérotation octale............................................ ....................................... 5

2. Système de nombres hexadécimaux.................................................. ....... ................ 7

3. Conversion de nombres d'un système numérique à un autre.................................................. ............ 9

Conclusion...................................................................................................... 11

Bibliographie......................................................................................... 12

Application

INTRODUCTION

Aux premiers stades du développement de la société, les gens ne savaient presque pas compter. Ils distinguaient les collections de deux et trois objets les unes des autres ; toute collection contenant un plus grand nombre d'objets était réunie dans le concept « beaucoup ». Ce n’était pas encore un récit, mais seulement un embryon.

Par la suite, la capacité de distinguer les petits agrégats les uns des autres s’est développée ; Des mots sont apparus pour désigner les concepts « quatre », « cinq », « six », « sept ». Le dernier mot signifiait aussi une quantité indéfiniment grande pendant longtemps. Nos proverbes ont conservé le souvenir de cette époque (« mesurer sept fois - couper une fois », « sept nounous ont un enfant sans œil », « sept ennuis - une réponse », etc.).

Un rôle particulièrement important a été joué par l’instrument naturel de l’homme : ses doigts. Cet instrument ne pouvait pas stocker longtemps le résultat du calcul, mais il était toujours « à portée de main » et se distinguait par une grande mobilité. La langue de l'homme primitif était pauvre ; les gestes compensaient le manque de mots, et des nombres pour lesquels il n'y avait pas de noms étaient « montrés » sur les doigts.

Par conséquent, il est tout à fait naturel que les nouveaux noms de « grands » nombres soient souvent basés sur le nombre 10 - en fonction du nombre de doigts sur les mains.

Au début, l’expansion du stock de chiffres fut lente. Au début, les gens maîtrisaient le comptage en quelques dizaines et ce n'est que plus tard qu'ils atteignirent la centaine. Pour de nombreux peuples, le nombre 40 a longtemps été la limite du comptage et le nom d'un nombre indéfiniment grand. En russe, le mot « mille-pattes » signifie « mille-pattes » ; L’expression « quarante quarante » désignait autrefois un nombre qui dépassait toute imagination.

A l'étape suivante, le comptage atteint une nouvelle limite : dix dizaines, et un nom est créé pour le nombre 100. Dans le même temps, le mot « cent » prend le sens d'un nombre indéfiniment grand. Les nombres mille, dix mille (autrefois ce nombre était appelé « ténèbres ») et un million acquièrent par la suite la même signification.

Au stade actuel, les limites du comptage sont définies par le terme « infini », qui ne désigne aucun nombre spécifique.

L'homme moderne est constamment confronté à des chiffres et à des chiffres dans la vie quotidienne - ils sont avec nous partout. Différents systèmes numériques sont utilisés chaque fois que des calculs numériques sont nécessaires, depuis les calculs au crayon sur papier effectués par les élèves du primaire jusqu'aux calculs effectués sur des superordinateurs. Par conséquent, ce sujet m'intéresse beaucoup et je voulais en savoir plus.

Système de numérotation octale

Système de numérotation octale- un système de nombres entiers positionnels en base 8. Il utilise des nombres de 0 à 7 pour représenter les nombres.

Le système octal est souvent utilisé dans les domaines liés aux appareils numériques. Il se caractérise par une conversion facile des nombres octaux en nombres binaires et vice versa, en remplaçant les nombres octaux par des triplets binaires. Auparavant, il était largement utilisé dans la programmation et dans la documentation informatique en général, mais il a maintenant été presque entièrement remplacé par l'hexadécimal.

Tableau de conversion octal en binaire

Pour convertir un nombre octal en binaire, vous devez remplacer chaque chiffre du nombre octal par un triplet de chiffres binaires. Par exemple : 2541 8 = [ 2 8 | 5 8 | 4 8 | 1 8 ] = [ 010 2 | 101 2 | 100 2 | 001 2 ] = 010101100001 2
En programmation, le préfixe 0 (zéro) est utilisé pour indiquer explicitement un nombre octal. Par exemple : 022.

Ce système numérique comporte 8 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Pour convertir, par exemple, le nombre 611 (octal) au système binaire, vous devez remplacer chaque chiffre par son équivalent. triade binaire (trois chiffres). Il est facile de deviner que pour convertir un nombre binaire à plusieurs chiffres en système octal, vous devez le diviser en triades de droite à gauche et remplacer chaque triade par le chiffre octal correspondant.

6118 =011 001 0012

1 110 011 1012=14358 (4 triades)

Pour convertir un nombre binaire en octal, il suffit de le diviser en triplets et de les remplacer par leurs chiffres correspondants du système numérique octal. Vous devez commencer à diviser en triplets à partir de la fin et remplacer les nombres manquants au début par des zéros. Par exemple:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Autrement dit, le nombre 1011101 dans le système numérique binaire est égal au nombre 135 dans le système numérique octal. Ou 1011101 2 = 135 8.

Traduction inversée. Disons que vous devez convertir le nombre 100 8 (ne vous y trompez pas ! 100 en octal n'est pas 100 en décimal) dans le système de nombres binaires.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 1000000 2

La conversion d'un nombre octal en nombre décimal peut être effectuée en utilisant le schéma déjà familier :

672 8 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 442 10
100 8 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 64 10 .
2. Système de nombres hexadécimaux

Système de nombres hexadécimaux (nombres hexadécimaux) - système de numérotation positionnelle basé sur la base entière 16.

Habituellement comme chiffres hexadécimaux les chiffres décimaux de 0 à 9 et les lettres latines de A à F sont utilisés pour représenter les nombres de 10 10 à 15 10, c'est-à-dire (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B, C, D, E, F).

Application:

Largement utilisé dans la programmation de bas niveau et la documentation informatique, car dans les ordinateurs modernes, l'unité de mémoire minimale est un octet de 8 bits, dont les valeurs sont commodément écrites sur deux chiffres hexadécimaux. Cette utilisation a commencé avec le système IBM/360, où toute la documentation utilisait le système hexadécimal, tandis que la documentation d'autres systèmes informatiques de l'époque (même avec des caractères de 8 bits, comme le PDP-11 ou le BESM-6) utilisait le système octal. système .

Dans la norme Unicode, le numéro de caractère est généralement écrit en hexadécimal, en utilisant au moins 4 chiffres (avec des zéros non significatifs si nécessaire).

Couleur hexadécimale - enregistrement des trois composantes de couleur (R, V et B) sous forme hexadécimale.

Lors de la conversion d'un nombre binaire en hexadécimal, le premier est divisé en groupes de quatre chiffres, en commençant par la fin. Si le nombre de chiffres n’est pas divisible par un nombre entier, les quatre premiers sont précédés de zéros. Chaque quatre correspond à un chiffre dans le système numérique hexadécimal :

Par exemple:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4C5 = 4C5

Si nécessaire, le nombre 4C5 peut être converti en système numérique décimal comme suit (C doit être remplacé par le nombre correspondant à ce symbole dans le système numérique décimal - il s'agit de 12) :

4C5 = 4 * 16 2 + 12 * 16 1 + 5 * 16 0 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Le nombre maximum à deux chiffres pouvant être obtenu en utilisant la notation hexadécimale est FF.

FF = 15 * 16 1 + 15 * 16 0 = 240 + 15 = 255

Pour représenter les nombres et autres informations dans les appareils numériques pendant le processus de programmation, outre le système de nombres décimaux qui nous est familier, d'autres systèmes sont largement utilisés. Examinons les systèmes de numérotation positionnelle les plus couramment utilisés. Les nombres dans de tels systèmes numériques sont représentés par une séquence de chiffres (chiffres de chiffres) :

… un 5 un 4 un 3 un 2 un 1 un 0...

Ici un 0 , un 1 , . . . désignent les chiffres du zéro, du premier et des autres chiffres du nombre.

Le chiffre du chiffre reçoit un poids pk Où R. - base du système de numérotation ; k - un numéro de chiffre, égal à l'index dans la désignation des chiffres. Ainsi, l'entrée ci-dessus signifie la quantité suivante :

N = …+ un 5 × p5+ un 4 × p 4 + un 3 × p3 + un 2 × p2+ un 1 × p 1 + un 0 × p 0 + …

Pour représenter des chiffres, un ensemble de p divers symboles. Oui quand R. = 10 (c'est-à-dire dans le système de nombre décimal habituel) pour enregistrer les chiffres des chiffres, un ensemble de dix symboles est utilisé : 0, 1, 2 ..... 9. Dans ce cas, l'entrée est 729324 10 (ci-après, l'index avec le nombre indique la base du système numérique, dans laquelle le nombre est représenté) signifie la quantité suivante :

Utiliser ce principe de représentation des nombres, mais en choisissant des valeurs de base différentes R. , Vous pouvez créer une variété de systèmes numériques.

DANS système de numération binaire base R. = 2. Ainsi, pour écrire des chiffres, un ensemble de seulement deux caractères est requis, qui sont 0 et 1.

Par conséquent, dans le système de numération binaire, un nombre est représenté par une séquence de symboles 0 et 1. Dans ce cas, l'entrée 1011101 2 correspond au nombre suivant dans le système de numération décimal :

DANS système de nombres octaux base R. = 8. Par conséquent, pour représenter les chiffres des chiffres, huit symboles différents doivent être utilisés, parmi lesquels 0, 1, 2,..., 7 sont sélectionnés (à noter que les symboles 8 et 9 ne sont pas utilisés ici et ne doivent pas apparaître dans l’enregistrement des numéros). Par exemple, l'entrée 735460 8 dans le système de nombres décimaux correspond au nombre suivant :

c'est-à-dire que l'entrée 735460 8 signifie un nombre contenant sept fois 8 5 = 32 768, trois fois 8 4 = 4096, cinq fois 8 3 = 512, quatre fois 8 2 = 64, six fois 8 1 = 8 et zéro fois 8 0 = 1. .

DANS système de nombres hexadécimaux base R. = 16 et pour enregistrer les chiffres des chiffres, il faut utiliser un ensemble de 16 symboles : 0, 1,2.....9, A, B, C, D, E, F. Il utilise 10 chiffres arabes, et aux seize requis, ils sont complétés par six premières lettres de l'alphabet latin. Dans ce cas, le symbole A dans le système de nombres décimaux correspond à 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.

L'entrée AB9C2F 16 correspond au nombre suivant en notation décimale :

Pour le stockage n -numéros de bits dans les équipements numériques, vous pouvez utiliser des appareils contenant n éléments dont chacun mémorise le chiffre du chiffre correspondant du nombre. Le moyen le plus simple de stocker des nombres consiste à utiliser le système de nombres binaires. Pour mémoriser le chiffre de chaque chiffre d'un nombre binaire, des appareils à deux états stables (par exemple des bascules) peuvent être utilisés. L’un de ces états stables reçoit le numéro 0, l’autre le numéro 1.

Introduction

L'homme moderne rencontre constamment des chiffres dans la vie de tous les jours : nous nous souvenons des numéros de bus et de téléphone, dans le magasin

Nous calculons le coût des achats, gérons notre budget familial en roubles et en kopecks (centièmes de rouble), etc. Des chiffres, des chiffres. Ils sont avec nous partout.

La notion de nombre est une notion fondamentale tant en mathématiques qu’en informatique. Aujourd’hui, à la toute fin du XXe siècle, l’humanité utilise principalement le système décimal pour enregistrer les nombres. Qu'est-ce qu'un système numérique ?

Un système numérique est une manière d’enregistrer (représenter) des nombres.

Les différents systèmes numériques qui existaient dans le passé et qui sont actuellement utilisés sont divisés en deux groupes : positionnels et non positionnels. Les plus avancés sont les systèmes de numérotation positionnelle, c'est-à-dire systèmes d'écriture de nombres dans lesquels la contribution de chaque chiffre à la valeur du nombre dépend de sa position (position) dans la séquence de chiffres représentant le nombre. Par exemple, notre système décimal habituel est positionnel : dans le nombre 34, le chiffre 3 désigne le nombre de dizaines et « contribue » à la valeur du nombre 30, et dans le nombre 304 le même chiffre 3 désigne le nombre de centaines et « contribue » à la valeur du nombre 300.

Les systèmes numériques dans lesquels chaque chiffre correspond à une valeur qui ne dépend pas de sa place dans le nombre sont appelés non positionnels.

Les systèmes de numérotation positionnelle sont le résultat d’un long développement historique des systèmes de numérotation non positionnelle.

1.Histoire des systèmes numériques

• Système de numérotation des unités

La nécessité d’écrire des nombres est apparue dans des temps très anciens, dès que les gens ont commencé à compter. Le nombre d'objets, par exemple des moutons, était représenté en traçant des lignes ou des empattements sur une surface dure : pierre, argile, bois (l'invention du papier était encore très, très lointaine). Chaque mouton dans un tel enregistrement correspondait à une ligne. Les archéologues ont trouvé de tels « documents » lors de fouilles de couches culturelles remontant à la période paléolithique (10 à 11 000 ans avant JC).

Les scientifiques ont appelé cette méthode d’écriture des nombres le système numérique unitaire (« bâton »). Dans ce document, un seul type de signe était utilisé pour enregistrer des nombres: le «bâton». Chaque numéro dans un tel système numérique était désigné à l'aide d'une ligne composée de bâtons dont le nombre était égal au numéro désigné.

Les inconvénients d'un tel système d'écriture de nombres et les limites de son application sont évidents : plus le nombre à écrire est grand, plus la chaîne de bâtons est longue. Et lorsqu’on écrit un grand nombre, il est facile de se tromper en ajoutant un nombre supplémentaire de bâtons ou, au contraire, en ne les écrivant pas.

On peut suggérer que pour faciliter le comptage, les gens ont commencé à regrouper les objets en 3, 5, 10 morceaux. Et lors de l'enregistrement, ils ont utilisé des signes correspondant à un groupe de plusieurs objets. Naturellement, les doigts étaient utilisés pour compter, c'est pourquoi des signes apparaissaient d'abord pour désigner un groupe d'objets de 5 et 10 pièces (unités). Ainsi, des systèmes plus pratiques pour enregistrer les numéros sont apparus.

• Système de nombres décimaux non positionnels de l'Égypte ancienne

L'ancien système numérique égyptien, apparu dans la seconde moitié du troisième millénaire avant JC, utilisait des nombres spéciaux pour représenter les nombres 1, 10, 10. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Les nombres dans le système numérique égyptien étaient écrits comme des combinaisons de ces chiffres, dans lesquelles chacun d'eux n'était pas répété plus de neuf fois.

Exemple. Les anciens Égyptiens écrivaient le nombre 345 comme suit :

Figure 1 Écrire un nombre en utilisant le système numérique égyptien antique

Désignation des nombres dans le système numérique égyptien ancien non positionnel :

Figure 2 Unité

Figure 3 Dizaines

Figure 4 Centaines

Figure 5 Milliers

Figure 6 Dizaines de milliers

Figure 7 Centaines de milliers

Les systèmes numériques du bâton et de l'Égypte ancienne étaient tous deux basés sur le principe simple de l'addition, selon lequella valeur d'un nombre est égale à la somme des valeurs des chiffres impliqués dans son enregistrement. Les scientifiques classent le système numérique égyptien antique comme décimal non positionnel.

• Système de numérotation babylonien (sexagésimal)

Les nombres dans ce système numérique étaient composés de deux types de signes : un coin droit (Figure 8) servait à désigner des unités, un coin couché (Figure 9) - à désigner des dizaines.

Figure 8 Cale droite

Figure 9 Cale couchée

Ainsi, le nombre 32 s’écrivait ainsi :

Figure 10 Écriture du nombre 32 dans le système numérique sexagésimal babylonien

Le nombre 60 était à nouveau désigné par le même signe (figure 8) que 1. Le même signe était désigné par les nombres 3600 = 60. 2 , 216000 = 60 3 et toutes les autres puissances sont 60. Par conséquent, le système numérique babylonien a été appelé sexagésimal.

Pour déterminer la valeur d'un nombre, il fallait diviser l'image du nombre en chiffres de droite à gauche. L'alternance de groupes de caractères identiques ("chiffres") correspondait à l'alternance de chiffres :

Figure 11 Diviser un nombre en chiffres

La valeur d'un nombre était déterminée par les valeurs de ses « chiffres » constitutifs, mais en tenant compte du fait que les « chiffres » de chaque chiffre suivant signifiaient 60 fois plus que les mêmes « chiffres » du chiffre précédent.

Les Babyloniens écrivaient tous les nombres de 1 à 59 dans un système décimal non positionnel, et le nombre dans son ensemble - dans un système positionnel avec une base 60.

L'enregistrement du nombre par les Babyloniens était ambigu, car il n'y avait pas de « chiffre » pour représenter zéro. Écrire le nombre 92 pourrait signifier non seulement 92 = 60 + 32, mais aussi 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32, etc. Pour déterminervaleur absolue d'un nombredes informations supplémentaires étaient nécessaires. Par la suite, les Babyloniens ont introduit un symbole spécial (figure 12) pour désigner le chiffre sexagésimal manquant, qui correspond dans notre système décimal habituel à l'apparition du chiffre 0 dans la notation d'un nombre. Mais ce symbole n'était généralement pas placé à la fin du nombre, c'est-à-dire que ce symbole n'était pas un zéro dans notre compréhension.

Figure 12 Symbole du chiffre sexagésimal manquant

Ainsi, le nombre 3632 devait désormais s’écrire ainsi :

Figure 13 Écrire le nombre 3632

Les Babyloniens n’ont jamais mémorisé les tables de multiplication, car c’était pratiquement impossible. Lors des calculs, ils utilisaient des tables de multiplication toutes faites.

Le système sexagésimal babylonien est le premier système numérique connu basé sur le principe positionnel. Le système babylonien a joué un rôle majeur dans le développement des mathématiques et de l’astronomie, et des traces en ont survécu jusqu’à nos jours. Ainsi, on divise toujours une heure en 60 minutes et une minute en 60 secondes. De la même manière, à l’instar des Babyloniens, on divise le cercle en 360 parties (degrés).

• Système de numérotation romaine

Un exemple de système numérique non positionnel qui a survécu jusqu'à ce jour est le système numérique utilisé il y a plus de deux mille cinq cents ans dans la Rome antique.

La numérotation romaine est basée sur les signes I (un doigt) pour le chiffre 1, V (paume ouverte) pour le chiffre 5, X (deux paumes repliées) pour le 10, ainsi que des signes spéciaux pour les nombres 50, 100, 500 et 1000.

La notation des quatre derniers nombres a subi des changements importants au fil du temps. Les scientifiques suggèrent qu'au départ, le signe du nombre 100 ressemblait à un groupe de trois lignes comme la lettre russe Zh, et pour le nombre 50, il ressemblait à la moitié supérieure de cette lettre, qui a ensuite été transformée en signe L :

Figure 14 Transformation du nombre 100

Pour désigner les nombres 100, 500 et 1000, les premières lettres des mots latins correspondants ont commencé à être utilisées (Centum cent, Demimille demi mille, Mille mille).

Pour écrire un nombre, les Romains utilisaient non seulement l'addition, mais aussi la soustraction de nombres clés. La règle suivante a été appliquée.

La valeur de chaque signe plus petit placé à gauche du plus grand est soustraite de la valeur du signe plus grand.

Par exemple, l'entrée IX représente le nombre 9 et l'entrée XI représente le nombre 11. Le nombre décimal 28 est représenté comme suit :

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Le nombre décimal 99 est représenté comme suit :

Figure 15 Numéro 99

Le fait que lors de l'écriture de nouveaux nombres, les nombres clés puissent non seulement être ajoutés, mais également soustraits, présente un inconvénient important : l'écriture en chiffres romains prive le nombre d'une représentation unique. En effet, conformément à la règle ci-dessus, le nombre 1995 peut s'écrire, par exemple, des manières suivantes :

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) et ainsi de suite.

Il n'existe pas encore de règles uniformes pour l'enregistrement des chiffres romains, mais il existe des propositions visant à adopter une norme internationale pour ceux-ci.

De nos jours, il est proposé d'écrire n'importe quel chiffre romain dans un même chiffre pas plus de trois fois de suite. Sur cette base, un tableau a été construit, pratique à utiliser pour désigner des nombres en chiffres romains :

Unités	Douzaines	Des centaines	Milliers
	10X	100°C	1000M
2II	20XX	200 CC	2000 millimètres
3III	30XXX	300 CC	3000 millimètres
4IV	40XL	400 CD
	50L	500D
6 VI	60 LX	600 cc
7VII	70 LXX	700 CDC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9IX	90 XC	900 cm

Tableau 1 Tableau des chiffres romains

Les chiffres romains sont utilisés depuis très longtemps. Il y a 200 ans encore, dans les journaux commerciaux, les chiffres devaient être indiqués par des chiffres romains (on pensait que les chiffres arabes ordinaires étaient faciles à contrefaire).

Actuellement, le système de chiffres romains n'est pas utilisé, à quelques exceptions près :

• Désignations des siècles (XVe siècle, etc.), années après JC. e. (MCMLXXVII, etc.) et les mois lors de l'indication des dates (par exemple, 1. V. 1975).
• Notation des nombres ordinaux.
• Désignation des dérivés de petits ordres, supérieurs à trois : yIV, yV, etc.
• Désignation de la valence des éléments chimiques.
  • Système de numérotation slave

Cette numérotation a été créée avec le système alphabétique slave pour la copie des livres sacrés pour les Slaves par les frères moines grecs Cyrille (Constantine) et Méthode au IXe siècle. Cette forme d'écriture des nombres s'est répandue car elle était complètement similaire à la notation grecque des nombres.

Unités		Douzaines		Des centaines

Tableau 2 Système de numérotation slave

Si vous regardez attentivement, nous verrons qu'après « a » vient la lettre « c », et non « b » comme il se doit dans l'alphabet slave, c'est-à-dire que seules les lettres de l'alphabet grec sont utilisées. Jusqu'au XVIIe siècle, cette forme d'enregistrement des numéros était officielle sur le territoire de la Russie moderne, de la Biélorussie, de l'Ukraine, de la Bulgarie, de la Hongrie, de la Serbie et de la Croatie. Cette numérotation est encore utilisée dans les livres paroissiaux orthodoxes.

• Système de numération maya

Ce système était utilisé pour les calculs de calendrier. Dans la vie de tous les jours, les Mayas utilisaient un système non positionnel similaire à celui de l'Égypte ancienne. Les nombres mayas eux-mêmes donnent une idée de ce système, qui peut être interprété comme un enregistrement des 19 premiers nombres naturels dans le quintuple système de nombres non positionnels. Un principe similaire de nombres composés est utilisé dans le système numérique sexagésimal babylonien.

Les chiffres mayas se composaient d'un zéro (signe de coquille) et de 19 chiffres composites. Ces nombres ont été construits à partir du signe un (point) et du signe cinq (ligne horizontale). Par exemple, le chiffre représentant le nombre 19 était écrit sous forme de quatre points sur une rangée horizontale au-dessus de trois lignes horizontales.

Figure 16 Système de numérotation maya

Les nombres supérieurs à 19 ont été écrits selon le principe positionnel de bas en haut en puissances de 20. Par exemple :

32 s’écrit (1)(12) = 1×20 + 12

429 comme (1)(1)(9) = 1×400 + 1×20 + 9

4805 comme (12)(0)(5) = 12×400 + 0×20 + 5

Des images de divinités étaient aussi parfois utilisées pour enregistrer les nombres de 1 à 19. De telles figures étaient extrêmement rarement utilisées et ne subsistent que sur quelques stèles monumentales.

Le système de numérotation positionnelle nécessite l'utilisation de zéro pour indiquer des chiffres vides. La première date qui nous est parvenue avec un zéro (sur la Stèle 2 de Chiapa de Corzo, Chiapas) est datée de 36 avant JC. e. Le premier système de numérotation positionnelle en Eurasie, créé dans l'ancienne Babylone 2000 avant JC. e., au départ, il n'y avait pas de zéro, et par la suite, le signe zéro n'a été utilisé que dans les chiffres intermédiaires du nombre, ce qui a conduit à un enregistrement ambigu des nombres. En règle générale, les systèmes numériques non positionnels des peuples anciens n'avaient pas zéro.

Le « compte long » du calendrier maya utilisait une variante du système numérique à 20 chiffres, dans lequel le deuxième chiffre ne pouvait contenir que des nombres de 0 à 17, après quoi un était ajouté au troisième chiffre. Ainsi, une unité à troisième chiffre ne signifiait pas 400, mais 18 × 20 = 360, ce qui est proche du nombre de jours dans une année solaire.

• Histoire des nombres arabes

C'est la numérotation la plus courante aujourd'hui. Le nom « arabe » n’est pas tout à fait correct, car bien qu’il ait été introduit en Europe depuis les pays arabes, il n’y était pas non plus originaire. La véritable patrie de cette numérotation est l’Inde.

Il existait différents systèmes de numérotation dans différentes régions de l'Inde, mais à un moment donné, l'un d'entre eux se démarquait. Dans celui-ci, les chiffres ressemblaient aux premières lettres des chiffres correspondants dans l'ancienne langue indienne - le sanskrit, utilisant l'alphabet Devanagari.

Initialement, ces signes représentaient les nombres 1, 2, 3,… 9, 10, 20, 30,…, 90, 100, 1000 ; avec leur aide, d'autres numéros ont été notés. Mais plus tard, un signe spécial a été introduit : un point gras, ou un cercle, pour indiquer un chiffre vide ; et la numérotation Devanagari est devenue un système décimal. On ne sait toujours pas comment et quand une telle transition a eu lieu. Au milieu du VIIIe siècle, le système de numérotation positionnelle était largement utilisé. Parallèlement, elle pénètre dans les pays voisins : Indochine, Chine, Tibet et Asie centrale.

Un manuel rédigé au début du IXe siècle par Muhammad Al Khwarizmi a joué un rôle décisif dans la diffusion de la numérotation indienne dans les pays arabes. Il a été traduit en latin en Europe occidentale au XIIe siècle. Au XIIIe siècle, la numérotation indienne devint prédominante en Italie. Dans d'autres pays, il s'est répandu au XVIe siècle. Les Européens, ayant emprunté la numérotation aux Arabes, l'appelèrent « arabe ». Cette appellation historique erronée perdure encore aujourd’hui.

Le mot « chiffre » (en arabe « syfr »), signifiant littéralement « espace vide » (traduction du mot sanscrit « sunya », qui a la même signification), a également été emprunté à la langue arabe. Ce mot était utilisé pour désigner le signe d'un chiffre vide, et cette signification est restée jusqu'au XVIIIe siècle, bien que le terme latin « zéro » (nullum - rien) soit apparu au XVe siècle.

La forme des chiffres indiens a subi diverses modifications. La forme que nous utilisons aujourd'hui a été établie au XVIe siècle.

• Histoire de zéro

Zéro peut être différent. Premièrement, zéro est un chiffre utilisé pour indiquer une place vide ; deuxièmement, zéro est un nombre inhabituel, car vous ne pouvez pas diviser par zéro et lorsqu'il est multiplié par zéro, tout nombre devient zéro ; troisièmement, zéro est nécessaire pour la soustraction et l'addition, sinon, combien cela coûtera-t-il si vous soustrayez 5 de 5 ?

Le zéro est apparu pour la première fois dans l'ancien système numérique babylonien ; il était utilisé pour indiquer les chiffres manquants dans les nombres, mais les nombres tels que 1 et 60 étaient écrits de la même manière, car ils ne mettaient pas de zéro à la fin du nombre. Dans leur système, le zéro servait d'espace dans le texte.

Le grand astronome grec Ptolémée peut être considéré comme l'inventeur de la forme zéro, puisque dans ses textes à la place du signe spatial se trouve la lettre grecque omicron, qui rappelle beaucoup le signe zéro moderne. Mais Ptolémée utilise zéro dans le même sens que les Babyloniens.

Sur une inscription murale en Inde au 9ème siècle après JC. La première fois que le symbole zéro apparaît, c'est à la fin d'un nombre. Il s'agit de la première désignation généralement acceptée pour le signe zéro moderne. Ce sont des mathématiciens indiens qui ont inventé le zéro dans ses trois sens. Par exemple, le mathématicien indien Brahmagupta au 7ème siècle après JC. a commencé activement à utiliser des nombres négatifs et des opérations avec zéro. Mais il a soutenu qu'un nombre divisé par zéro est zéro, ce qui est bien sûr une erreur, mais une véritable audace mathématique qui a conduit à une autre découverte remarquable des mathématiciens indiens. Et au XIIe siècle, un autre mathématicien indien, Bhaskara, tente à nouveau de comprendre ce qui se passera une fois divisé par zéro. Il écrit : "une quantité divisée par zéro devient une fraction dont le dénominateur est zéro. Cette fraction s'appelle l'infini".

Leonardo Fibonacci, dans son ouvrage « Liber abaci » (1202), appelle le signe 0 en arabe zephirum. Le mot zephirum est le mot arabe as-sifr, qui vient du mot indien sunya, c'est-à-dire vide, qui servait de nom au zéro. Du mot zephirum vient le mot français zéro (zéro) et le mot italien zéro. D'autre part, le mot russe chiffre vient du mot arabe as-sifr. Jusqu’au milieu du XVIIe siècle, ce mot était utilisé spécifiquement pour désigner zéro. Le mot latin nullus (rien) est devenu utilisé pour signifier zéro au XVIe siècle.

Zéro est un signe unique. Zéro est un concept purement abstrait, l’une des plus grandes réalisations de l’homme. On ne le trouve pas dans la nature qui nous entoure. Vous pouvez facilement vous passer du zéro dans les calculs mentaux, mais il est impossible de le faire sans enregistrer avec précision les nombres. De plus, zéro contraste avec tous les autres nombres et symbolise le monde infini. Et si « tout est nombre », alors rien n’est tout !

• Inconvénients du système de numérotation sans position

Les systèmes de numérotation non positionnelle présentent un certain nombre d'inconvénients importants :

1. Il existe un besoin constant d’introduire de nouveaux symboles pour enregistrer de grands nombres.

2. Il est impossible de représenter des nombres fractionnaires et négatifs.

3. Il est difficile d'effectuer des opérations arithmétiques, car il n'existe aucun algorithme pour leur mise en œuvre. En particulier, toutes les nations, ainsi que leurs systèmes numériques, avaient des méthodes de comptage avec les doigts, et les Grecs avaient un tableau de comptage avec boulier, quelque chose de similaire à notre boulier.

Mais nous utilisons toujours des éléments du système de nombres non positionnels dans le langage courant, en particulier, nous disons cent, pas dix dizaines, mille, un million, un milliard, un billion.

2. Système de numérotation binaire.

Il n'y a que deux nombres dans ce système - 0 et 1. Le chiffre 2 et ses puissances jouent ici un rôle particulier : 2, 4, 8, etc. Le chiffre le plus à droite du nombre indique le nombre de un, le chiffre suivant indique le nombre de deux, le suivant indique le nombre de quatre, etc. Le système de nombres binaires vous permet de coder n'importe quel nombre naturel - représentez-le comme une séquence de zéros et de uns. Sous forme binaire, vous pouvez représenter non seulement des nombres, mais également toute autre information : textes, images, films et enregistrements audio. Les ingénieurs sont attirés par le codage binaire car il est facile à mettre en œuvre techniquement. Les plus simples du point de vue de la mise en œuvre technique sont les éléments à deux positions, par exemple un relais électromagnétique, un interrupteur à transistor.

• Histoire du système de nombres binaires

Les ingénieurs et les mathématiciens ont basé leurs recherches sur la nature binaire à deux positions des éléments de la technologie informatique.

Prenons, par exemple, un appareil électronique bipolaire - une diode. Il ne peut être que dans deux états : soit il conduit le courant électrique - « ouvert », soit il ne le conduit pas - « verrouillé ». Et le déclencheur ? Il possède également deux états stables. Les éléments de mémoire fonctionnent sur le même principe.

Pourquoi ne pas utiliser le système de nombres binaires alors ? Après tout, il n'y a que deux chiffres : 0 et 1. Et c'est pratique pour travailler sur une machine électronique. Et de nouvelles machines ont commencé à compter en utilisant 0 et 1.

Ne pensez pas que le système binaire soit un contemporain des machines électroniques. Non, elle est beaucoup plus âgée. Les gens s’intéressent depuis longtemps aux nombres binaires. Ils en furent particulièrement friands de la fin du XVIe au début du XIXe siècle.

Leibniz considérait le système binaire comme simple, pratique et beau. Il a déclaré que "le calcul à l'aide de deux... est fondamental pour la science et donne lieu à de nouvelles découvertes... Lorsque les nombres sont réduits aux principes les plus simples, qui sont 0 et 1, un ordre merveilleux apparaît partout".

À la demande du scientifique, une médaille a été frappée en l'honneur du « système dyadique » - comme on appelait alors le système binaire. Il représentait un tableau avec des nombres et des opérations simples avec eux. Le long du bord de la médaille se trouvait un ruban avec l'inscription : « Pour tout sortir de l'insignifiance, un seul suffit ».

Formule 1 Quantité d'informations en bits

• Conversion du système de nombres binaires au système de nombres décimaux

La tâche de conversion des nombres du système de nombres binaires au système de nombres décimaux survient le plus souvent lors de la conversion inverse de valeurs calculées ou traitées par ordinateur en chiffres décimaux plus compréhensibles pour l'utilisateur. L'algorithme de conversion des nombres binaires en nombres décimaux est assez simple (on l'appelle parfois algorithme de substitution) :

Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, il est nécessaire de représenter ce nombre comme la somme des produits des puissances de la base du système de nombres binaires par les chiffres correspondants dans les chiffres du nombre binaire.

Par exemple, vous devez convertir le nombre binaire 10110110 en décimal. Ce numéro comporte 8 chiffres et 8 bits (les bits sont comptés à partir de zéro, ce qui correspond au bit de poids faible). Conformément à la règle que nous connaissons déjà, représentons-la comme une somme de puissances de base 2 :

10110110 2 = (1 2 7 )+(0 2 6 )+(1 2 5 )+(1 2 4 )+(0 2 3 )+(1 2 2 )+(1 2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

En électronique, un appareil qui effectue une transformation similaire est appelé décodeur (décodeur, décodeur anglais).

Décodeur il s'agit d'un circuit qui convertit le code binaire fourni aux entrées en un signal sur l'une des sorties, c'est-à-dire que le décodeur déchiffre un nombre en code binaire, le représentant comme une unité logique en sortie dont le nombre correspond à un nombre décimal.

• Conversion du système de nombres binaires au système de nombres hexadécimaux

Chaque chiffre d'un nombre hexadécimal contient 4 bits d'information.

Ainsi, pour convertir un nombre entier binaire en hexadécimal, il faut le diviser en groupes de quatre chiffres (tétrades), en partant de la droite, et, si le dernier groupe de gauche contient moins de quatre chiffres, le compléter à gauche avec des zéros. Pour convertir un nombre binaire fractionnaire (fraction propre) en hexadécimal, vous devez le diviser en tétrades de gauche à droite et, si le dernier groupe de droite contient moins de quatre chiffres, vous devez alors le compléter avec des zéros à droite.

Ensuite, vous devez convertir chaque groupe en chiffre hexadécimal, en utilisant un tableau de correspondance pré-compilé entre les tétrades binaires et les chiffres hexadécimaux.

Hexnad- Teric nombre

Binaire tétrade

Tableau 3 Tableau des chiffres hexadécimaux et des tétrades binaires

• Conversion du système de nombres binaires au système de nombres octaux

La conversion d'un nombre binaire en système octal est assez simple ; pour cela vous avez besoin de :

1. Divisez un nombre binaire en triades (groupes de 3 chiffres binaires), en commençant par les chiffres les moins significatifs. Si la dernière triade (chiffres de poids fort) contient moins de trois chiffres, alors nous ajouterons trois zéros à gauche.
   1. Sous chaque triade d'un nombre binaire, écrivez le chiffre octal correspondant dans le tableau suivant.

Octal nombre
Triade binaire

Tableau 4 Tableau des nombres octaux et triades binaires

3. Système de numérotation octale

Le système numérique octal est un système numérique positionnel en base 8. Le système octal utilise 8 chiffres de zéro à sept (0,1,2,3,4,5,6,7) pour écrire les nombres.

Application : le système octal, avec le binaire et l'hexadécimal, est utilisé dans l'électronique numérique et l'informatique, mais est désormais rarement utilisé (auparavant utilisé dans la programmation de bas niveau, remplacé par l'hexadécimal).

L'utilisation généralisée du système octal en informatique électronique s'explique par le fait qu'il se caractérise par une conversion facile en binaire et inversement à l'aide d'un simple tableau dans lequel tous les chiffres du système octal de 0 à 7 sont présentés sous forme de triplets binaires. (Tableau 4).

• Histoire du système de nombres octaux

Histoire : l'émergence du système octal est associée à cette technique de comptage sur les doigts, alors qu'on comptait non pas les doigts, mais les espaces entre eux (il n'y en a que huit).

En 1716, le roi Charles XII de Suède proposa au célèbre philosophe suédois Emanuel Swedenborg de développer un système numérique basé sur 64 au lieu de 10. Cependant, Swedenborg pensait que pour les personnes moins intelligentes que le roi, il serait trop difficile de faire fonctionner un tel système. un système numérique et proposa le nombre 8. Le système fut développé, mais la mort de Charles XII en 1718 empêcha son introduction comme généralement admise ; cet ouvrage de Swedishborg ne fut pas publié.

• Conversion du système de nombres octal en système décimal

Pour convertir un nombre octal en nombre décimal, il est nécessaire de représenter ce nombre comme la somme des produits des puissances de la base du système de numération octal par les chiffres correspondants dans les chiffres du nombre octal. [ 24]

Par exemple, vous souhaitez convertir le nombre octal 2357 en nombre décimal. Ce nombre comporte 4 chiffres et 4 bits (les bits sont comptés à partir de zéro, ce qui correspond au bit de poids faible). Conformément à la règle que nous connaissons déjà, nous la présentons comme une somme de puissances de base 8 :

23578 = (2 83)+(3 82)+(5 81)+(7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126310

• Conversion du système de nombres octal au système de nombres binaires

Pour convertir d'octal en binaire, chaque chiffre du nombre doit être converti en un groupe de trois chiffres binaires, une triade (Tableau 4).

• Conversion du système de nombres octal au système de nombres hexadécimaux

Pour convertir de l'hexadécimal en binaire, chaque chiffre du nombre doit être converti en un groupe de trois chiffres binaires dans une tétrade (Tableau 3).

3. Système de nombres hexadécimaux

Système de numérotation positionnelle basé sur la base entière 16.

Généralement, les chiffres hexadécimaux sont utilisés comme chiffres décimaux de 0 à 9 et les lettres latines de A à F pour représenter les nombres de 1010 à 1510, c'est-à-dire (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Largement utilisé dans la programmation de bas niveau et la documentation informatique, car dans les ordinateurs modernes, l'unité de mémoire minimale est un octet de 8 bits, dont les valeurs sont commodément écrites sur deux chiffres hexadécimaux.

Dans la norme Unicode, le numéro de caractère est généralement écrit en hexadécimal, en utilisant au moins 4 chiffres (avec des zéros non significatifs si nécessaire).

Couleur hexadécimale enregistrant les trois composantes de la couleur (R, V et B) en notation hexadécimale.

• Histoire du système de nombres hexadécimaux

Le système de nombres hexadécimaux a été introduit par la société américaine IBM. Largement utilisé dans la programmation pour les ordinateurs compatibles IBM. L'unité d'information minimale adressable (envoyée entre les composants informatiques) est un octet, généralement composé de 8 bits (chiffre binaire anglais, chiffre binaire du système), et deux octets, soit 16 bits, constituent un mot machine ( commande ). Ainsi, il est pratique d’utiliser un système base 16 pour écrire des commandes.

• Conversion du système de nombres hexadécimal au système de nombres binaires

L'algorithme de conversion des nombres du système numérique hexadécimal en binaire est extrêmement simple. Il suffit de remplacer chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire (dans le cas de nombres positifs). Notons seulement que chaque nombre hexadécimal doit être remplacé par un nombre binaire, en le complétant à 4 chiffres (vers les chiffres les plus significatifs).

• Conversion du système numérique hexadécimal au système décimal

Pour convertir un nombre hexadécimal en nombre décimal, il faut présenter ce nombre comme la somme des produits des puissances de la base du système numérique hexadécimal par les chiffres correspondants dans les chiffres du nombre hexadécimal.

Par exemple, vous souhaitez convertir le nombre hexadécimal F45ED23C en décimal. Ce nombre comporte 8 chiffres et 8 bits (rappelons que les bits sont comptés à partir de zéro, ce qui correspond au bit de poids faible). Conformément à la règle ci-dessus, nous la présentons comme une somme de puissances en base 16 :

F45ED23C 16 = (15 16 7 )+(4 16 6 )+(5 16 5 )+(14 16 4 )+(13 16 3 )+(2 16 2 )+(3 16 1 )+(12·16 0 ) = 4099854908 10

• Conversion du système numérique hexadécimal au système octal

Généralement, lors de la conversion de nombres hexadécimaux en octaux, le nombre hexadécimal est d'abord converti en binaire, puis divisé en triades, en commençant par le bit le moins significatif, puis les triades sont remplacées par leurs équivalents octaux correspondants (Tableau 4).

Conclusion

Aujourd’hui, dans la plupart des pays du monde, même s’ils parlent des langues différentes, ils pensent de la même manière, « en arabe ».

Mais ce ne fut pas toujours ainsi. Il y a à peine cinq cents ans, il n'y avait aucune trace de quelque chose de semblable, même dans l'Europe éclairée, sans parler de l'Afrique ou de l'Amérique.

Mais néanmoins, les gens ont quand même écrit les chiffres. Chaque nation possédait son propre système ou était emprunté à un système voisin pour enregistrer les chiffres. Certains utilisaient des lettres, d'autres des icônes, d'autres encore des gribouillis. Pour certains, c'était plus pratique, pour d'autres, moins.

À l'heure actuelle, nous utilisons différents systèmes numériques selon les nations, malgré le fait que le système numérique décimal présente un certain nombre d'avantages par rapport aux autres.

Le système numérique sexagésimal babylonien est toujours utilisé en astronomie. Sa trace a survécu jusqu'à ce jour. Nous mesurons encore le temps en soixante secondes, en heures soixante minutes, et il est également utilisé en géométrie pour mesurer les angles.

Nous utilisons le système de numérotation romain non positionnel pour désigner les paragraphes, les sections et, bien sûr, en chimie.

La technologie informatique utilise un système binaire. C'est précisément grâce à l'utilisation de seulement deux chiffres 0 et 1 qu'il sous-tend le fonctionnement d'un ordinateur, puisqu'il a deux états stables : basse ou haute tension, il y a du courant ou pas de courant, magnétisé ou non magnétisé. le système de nombres binaires n'est pas pratique parce que -en raison de la lourdeur d'écriture du code, mais la conversion des nombres binaires en décimaux et inversement n'est pas si pratique, ils ont donc commencé à utiliser des systèmes de nombres octaux et hexadécimaux.

Liste des dessins

Liste des tableaux

Formules

Liste des références et sources

1. Berman N.G. "Comptage et nombre." OGIZ Gostekhizdat Moscou 1947.
2. Brugsch G. Tout sur l'Egypte M :. Association d'Unité Spirituelle « Âge d'Or », 2000. 627 p.
3. Vygodsky M. Ya. Arithmétique et algèbre dans le monde antique M. : Nauka, 1967.
4. Van der Waerden, l'éveil de la science. Mathématiques de l'Egypte ancienne, de Babylone et de la Grèce / Trans. du néerlandais I. N. Veselovsky. M., 1959. 456 p.
5. GI Glazer. Histoire des mathématiques à l'école. M. : Éducation, 1964, 376 p.
6. Bosova L. L. Informatique : Manuel pour la 6e année
7. Fomine S.V. Systèmes numériques, M. : Nauka, 2010
8. Toutes sortes de numérotations et de systèmes de numérotation (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
9. Dictionnaire encyclopédique mathématique. M. : « Sov. Encyclopédie", 1988. P. 847
10. Talakh V.N., Kuprienko S.A. Amérique originale. Sources sur l'histoire des Mayas, de la science (Astèques) et des Incas
11. Talakh V.M. Introduction à l'écriture hiéroglyphique maya
12. A.P. Yushkevich, Histoire des mathématiques, volume 1, 1970
13. I. Ya. Depman, Histoire de l'arithmétique, 1965
14. L.Z.Shautsukova, "Fondements de l'informatique en questions et réponses", Centre d'édition "El-Fa", Nalchik, 1994
15. A. Kostinsky, V. Gubailovsky, Triune zéro(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
16. 2007-2014 "Histoire de l'ordinateur" (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
17. L'informatique. Cours de base. / Éd. S.V. Simonovitch. - Saint-Pétersbourg, 2000
18. Zaretskaya I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.N., Sokolov A.Yu. Informatique : manuel pour les classes 10 11. écoles secondaires. K. : Forum, 2001. 496 p.
19. GlavSprav 20092014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
20. L'informatique. La technologie informatique. Technologies informatiques. / Manuel, éd. O.I. Pushkar - Centre d'édition "Académie", Kiev, - 2001.
21. Manuel "Fondements arithmétiques des ordinateurs et des systèmes". Partie 1. Systèmes numériques
22. O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich "Cours de technologie informatique" manuel pour le lycée
23. Kagan B.M. Ordinateurs et systèmes électroniques - M. : Energoatomizdat, 1985
24. Mayorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Introduction aux micro-ordinateurs, Leningrad : Génie mécanique, 1988.
25. Fomine S.V. Systèmes numériques, M. : Nauka, 1987
26. Vygodsky M.Ya. Manuel de mathématiques élémentaires, M. : Maison d'édition d'État de littérature technique et théorique, 1956.
27. Encyclopédie mathématique. M : « Encyclopédie soviétique » 1985.
28. Shauman A. M. Fondamentaux de l'arithmétique automatique. Leningrad, Maison d'édition de l'Université de Léningrad. 1979
29. Voroshchuk A. N. Fondamentaux des ordinateurs numériques et de la programmation. M : « Sciences » 1978
30. Rolich Ch. N. De 2 à 16 ans, Minsk, « Lycée », 1981.

Systèmes numériques. Nombres octaux et hexadécimaux

Dans les leçons précédentes, nous avons étudié les nombres binaires : nous avons appris à les additionner et à les soustraire, à les multiplier et à les diviser, ainsi qu'à convertir les nombres du système binaire au système numérique décimal et vice versa.

Nous allons maintenant examiner deux autres systèmes numériques qui, comme le binaire, sont souvent utilisés en informatique : les systèmes numériques octaux et hexadécimaux.

Vous savez déjà que l’ordinateur « connaît » uniquement le système de nombres binaires. Alors pourquoi avons-nous besoin de systèmes autres que binaires ?

Le fait est que dans le système de numérotation binaire, les nombres sont écrits avec un grand nombre de chiffres, c'est-à-dire le nombre s'avère très long. Et écrire de tels chiffres sur papier ou les lire sur un écran de contrôle est assez gênant.

Par conséquent, en plus du binaire, l'informatique utilise deux autres systèmes de nombres auxiliaires : octal et hexadécimal. Ils vous permettent d'écrire des nombres de manière plus compacte.

Le choix des systèmes numériques en bases 8 et 16 est dû au fait que les nombres 8 et 16 sont des puissances du nombre 2 : 8 = 2 3 , 16 = 2 4 . Par conséquent, nous pouvons facilement convertir des nombres binaires en octaux ou hexadécimaux et vice versa.

Mais d’abord, regardons les alphabets des systèmes numériques octaux et hexadécimaux, c’est-à-dire les nombres avec lesquels nous écrirons les nombres dans ces systèmes numériques.

Les nombres octaux s'écrivent à l'aide de huit chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Mais l'alphabet du système numérique hexadécimal se composede dix chiffres et six lettres de l'alphabet latin : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Faisons un tableau de correspondance entre les vingt premiers nombres de trois systèmes numériques : décimal, octal et hexadécimal.

Décimal

Octal

Hexadécimal

Décimal

Octal

Hexadécimal

Comme on peut le voir, plus la base du système numérique est grande, plus le code numérique est petit. Par exemple, le nombre 14 dans les systèmes numériques décimaux et octaux est écrit en utilisant deux caractères et en hexadécimal - en utilisant un.

Et maintenant, nous allons apprendre à convertir des nombres binaires en octaux et hexadécimaux. Par exemple, convertissons le nombre (1101011) 2 à octal.

Afin de convertir un nombre binaire en octal, vous devez le diviser de droite à gauche en groupes de trois chiffres chacun, puis attribuer un nombre octal à chaque groupe.

Décomposons le numéro (1101011) 2 en groupes de trois nombres : 1, 101, 011. Et faisons correspondre les nombres octaux, nous obtenons : 1, 5, 3. Autrement dit, nous avons obtenu le nombre (153) 8 .

Pour effectuer la conversion inverse, vous devez écrire un groupe de trois chiffres binaires en correspondance avec chaque chiffre d'un nombre octal.

Donc, pour convertir le nombre (153) 8 dans le système de nombres binaires, écrivez 001, 101, 011. Omettez les premiers zéros non significatifs et obtenez le nombre (1101011) 2 .

Pour le système hexadécimal, la conversion s'effectue de la même manière, seul le nombre est divisé de droite à gauche en groupes de non pas trois, mais quatre chiffres binaires.

Traduisons le nombre (1101011) 2 dans le système numérique hexadécimal : 110, 1011. Maintenant, en correspondance avec chaque quadruple de chiffres, nous écrivons un chiffre hexadécimal : 6, V. C'est-à-dire que nous obtenons le nombre (6B) 16 .

Convertissons maintenant le nombre que nous avons reçu (6B) 16 dans le système de nombres binaires. Au lieu de chaque chiffre d'un nombre hexadécimal, nous notons les quatre chiffres du nombre binaire correspondant : 0110, 1011. Nous omettons les zéros non significatifs et obtenons (1101011) 2 .

Désormais, si vous maîtrisez bien la matière, vous pouvez la consolider en accomplissant des tâches simples. Pour ce faire, passez en mode simulateur. Si vous souhaitez étudier plus tard, fermez la fenêtre actuelle.

Exercice n°1. Convertir le nombre (101101) en système de nombres octaux 2 .

A) (55) 8 ; (+)

B) (56) 8 ;

B) (215)8 ;

D) (216)8.

Exercice n°2. Convertir le nombre (162) en binaire 8 .

A) (110011)2 ;

B) (1110010)2 ; (+)

B) (110111)2 ;

D) (110101) 2.

Exercice n°3. Convertir le nombre en système de nombres hexadécimaux (1010111001001101) 2 .

A) (AE4D) 16 ; (+)

B) (AED) 16 ;

B) (A4ED)16 ;

D) (DEA) 16.

Exercice n°4. Convertir le nombre en système de nombres binaires (5AB) 16 .

A) (101101011)2 ;

B) (1011101011)2 ;

B) (10110101011)2 ; (+)

D) (10110101001) 2.

Exercice n°5. Trouver la valeur de l'expression (15) 8 + (A2) 16 , en écrivant le résultat sous forme de nombre binaire.

A) (11101111)2 ;

B) (10111111)2 ;

B) (10101111)2 ; (+)

D) (10101001) 2.