Quand peut-on réduire des fractions et quand ne le peut-on pas ? Réduire des fractions algébriques : règles, exemples

À première vue, les fractions algébriques semblent très complexes, et un élève non préparé peut penser qu'on ne peut rien en faire. L’accumulation de variables, de nombres et même de degrés suscite la peur. Cependant, pour réduire l'habituel (par exemple 15/25) et fractions algébriques les mêmes règles sont utilisées.

Pas

Réduire les fractions

Découvrez les activités avec fractions simples. Les opérations avec les fractions ordinaires et algébriques sont similaires. Par exemple, prenons la fraction 15/35. Pour simplifier cette fraction, il faut trouver diviseur commun . Les deux nombres sont divisibles par cinq, on peut donc isoler 5 au numérateur et au dénominateur :

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Maintenant vous pouvez réduire les facteurs communs, c'est-à-dire rayer 5 au numérateur et au dénominateur. En conséquence, nous obtenons la fraction simplifiée 3/7 . Dans les expressions algébriques, les facteurs communs sont identifiés de la même manière que dans les expressions ordinaires. Dans l'exemple précédent, nous avons pu facilement sélectionner 5 sur 15 - le même principe s'applique à plus expressions complexes, comme 15x – 5. Trouvons le facteur commun. Dans ce cas, ce sera 5, puisque les deux termes (15x et -5) sont divisibles par 5. Comme précédemment, sélectionnez le facteur commun et déplacez-le gauche.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Pour vérifier si tout est correct, multipliez simplement l'expression entre parenthèses par 5 - le résultat sera les mêmes nombres qu'au début. Les membres complexes peuvent être isolés de la même manière que les membres simples. Les mêmes principes s’appliquent aux fractions algébriques et aux fractions ordinaires. C'est le moyen le plus simple de réduire une fraction. Considérons la fraction suivante :

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Notez que le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) contiennent tous deux un terme (x+2), il peut donc être réduit de la même manière que le facteur commun 5 dans la fraction 15/35 :

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

En conséquence, nous obtenons une expression simplifiée : (x-3)/(x+10)

Réduire des fractions algébriques

Trouvez le facteur commun au numérateur, c'est-à-dire en haut de la fraction. Lors de la réduction d’une fraction algébrique, la première étape consiste à simplifier les deux côtés. Commencez par le numérateur et essayez de le prendre en compte dans autant de facteurs que possible. Considérons dans cette section la fraction suivante :

9x-3 15x+6

Commençons par le numérateur : 9x – 3. Pour 9x et -3, le facteur commun est le nombre 3. Prenons 3 entre parenthèses, comme on le fait avec les nombres ordinaires : 3 * (3x-1). Le résultat de cette transformation est la fraction suivante :

3(3x-1) 15x+6

Trouvez le facteur commun au numérateur. Continuons avec l'exemple ci-dessus et notons le dénominateur : 15x+6. Comme précédemment, trouvons par quel nombre les deux parties sont divisibles. Et dans ce cas le commun diviseur est 3, on peut donc écrire : 3 * (5x +2). Réécrivons la fraction sous la forme suivante :

3(3x-1) 3(5x+2)

Raccourcissez les mêmes termes. À cette étape, vous pouvez simplifier la fraction. Annulez les mêmes termes au numérateur et au dénominateur. Dans notre exemple, ce nombre est 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Déterminez que la fraction a la forme la plus simple. Une fraction est complètement simplifiée lorsqu’il n’y a plus de facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Notez que vous ne pouvez pas annuler les termes qui apparaissent entre parenthèses - dans l'exemple ci-dessus, il n'y a aucun moyen d'isoler x de 3x et 5x, puisque les termes complets sont (3x -1) et (5x + 2). Ainsi, la fraction ne peut pas être simplifiée davantage, et la réponse finale est la suivante :

(3x-1)(5x+2)

Entraînez-vous à réduire les fractions par vous-même. La meilleure façon apprendre la méthode est décision indépendante Tâches. Les bonnes réponses sont données sous les exemples.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Répondre:(x=13)

2x 2 -x 5x

Répondre:(2x-1)/5

Mouvements spéciaux

Sors-le signe négatif au-delà de la fraction. Supposons qu’on vous donne la fraction suivante :

3(x-4) 5(4-x)

Notez que (x-4) et (4-x) sont « presque » identiques, mais ils ne peuvent pas être réduits immédiatement car ils sont « inversés ». Cependant, (x - 4) peut s'écrire -1 * (4 - x), tout comme (4 + 2x) peut s'écrire 2 * (2 + x). C’est ce qu’on appelle « l’inversion des signes ».

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Vous pouvez maintenant réduire les termes identiques (4-x) :

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Nous obtenons donc la réponse finale : -3/5 . Apprenez à reconnaître la différence entre les carrés. Une différence de carrés se produit lorsque le carré d'un nombre est soustrait du carré d'un autre nombre, comme dans l'expression (a 2 - b 2). La différence des carrés parfaits peut toujours être décomposée en deux parties - la somme et la différence des carrés correspondants. racines carrées. L’expression prendra alors la forme suivante :

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Cette technique est très utile pour trouver des termes communs dans des fractions algébriques.

• Vérifiez si vous avez correctement factorisé telle ou telle expression. Pour ce faire, multipliez les facteurs - le résultat devrait être la même expression.
• Pour simplifier complètement une fraction, isolez toujours les plus grands facteurs.

Cet article continue le sujet de la conversion de fractions algébriques : considérons une action telle que la réduction de fractions algébriques. Définissons le terme lui-même, formulons une règle de réduction et analysons des exemples pratiques.

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La signification de réduire une fraction algébrique

Dans les documents sur les fractions communes, nous avons examiné sa réduction. Nous avons défini la réduction d'une fraction comme la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun.

Réduire une fraction algébrique est une opération similaire.

Définition 1

Réduire une fraction algébrique est la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun. Dans ce cas, contrairement à la réduction d'une fraction ordinaire (le dénominateur commun ne peut être qu'un nombre), le facteur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique peut être un polynôme, notamment un monôme ou un nombre.

Par exemple, la fraction algébrique 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 peut être réduite du nombre 3, ce qui donne : x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Nous pouvons réduire la même fraction par la variable x, et cela nous donnera l'expression 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Aussi pour fraction donnée peut être réduit par un monôme 3 fois ou l'un des polynômes x + 2 ans, 3 x + 6 oui , x 2 + 2 x oui ou 3 x 2 + 6 x y.

Le but ultime de la réduction d'une fraction algébrique est une fraction supérieure à type simple, V le meilleur cas de scenario– fraction irréductible.

Toutes les fractions algébriques sont-elles sujettes à réduction ?

Encore une fois, à partir de matériaux sur des fractions ordinaires, nous savons qu'il existe des fractions réductibles et irréductibles. Les fractions irréductibles sont des fractions qui n'ont pas de facteur commun au numérateur et au dénominateur autre que 1.

C’est la même chose avec les fractions algébriques : elles peuvent avoir des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, ou non. La présence de facteurs communs permet de simplifier la fraction originale par réduction. Lorsqu’il n’y a pas de facteurs communs, il est impossible d’optimiser une fraction donnée par la méthode de réduction.

DANS cas généraux Pour un type de fraction donné, il est assez difficile de comprendre si elle peut être réduite. Bien entendu, dans certains cas, la présence d’un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur est évidente. Par exemple, dans la fraction algébrique 3 x 2 3 y, il est clair que le facteur commun est le nombre 3.

Dans la fraction - x · y 5 · x · y · z 3 on comprend aussi immédiatement qu'elle peut être réduite de x, ou y, ou x · y. Et pourtant, il existe bien plus souvent des exemples de fractions algébriques, où le facteur commun du numérateur et du dénominateur n'est pas si facile à voir, et encore plus souvent, il est tout simplement absent.

Par exemple, nous pouvons réduire la fraction x 3 - 1 x 2 - 1 de x - 1, alors que le facteur commun spécifié n'est pas présent dans l'entrée. Mais la fraction x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ne peut pas être réduite, puisque le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteur commun.

Ainsi, la question de déterminer la réductibilité d'une fraction algébrique n'est pas si simple, et il est souvent plus facile de travailler avec une fraction d'une forme donnée que d'essayer de savoir si elle est réductible. Dans ce cas, de telles transformations ont lieu qui permettent dans des cas particuliers de déterminer le facteur commun du numérateur et du dénominateur ou de tirer une conclusion sur l'irréductibilité d'une fraction. Nous examinerons cette question en détail dans le prochain paragraphe de l'article.

Règle de réduction des fractions algébriques

Règle de réduction des fractions algébriques se compose de deux actions séquentielles :

• trouver les facteurs communs du numérateur et du dénominateur ;
• s'il y en a, l'action de réduction de la fraction est réalisée directement.

La méthode la plus pratique pour trouver des dénominateurs communs consiste à factoriser les polynômes présents dans le numérateur et le dénominateur d’une fraction algébrique donnée. Cela vous permet de voir immédiatement et clairement la présence ou l'absence de facteurs communs.

L'action même de réduire une fraction algébrique repose sur la propriété principale d'une fraction algébrique, exprimée par l'égalité indéfinie, où a, b, c sont des polynômes et b et c sont non nuls. La première étape consiste à réduire la fraction à la forme a · c b · c, dans laquelle on remarque immédiatement le facteur commun c. La deuxième étape consiste à effectuer une réduction, c'est-à-dire transition vers une fraction de la forme a b .

Exemples typiques

Malgré quelques évidences, clarifions cas particulier lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique sont égaux. Les fractions similaires sont identiquement égales à 1 sur l'ensemble de l'ODZ des variables de cette fraction :

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; xx = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Les fractions ordinaires étant un cas particulier des fractions algébriques, rappelons comment elles se réduisent. Les nombres naturels écrits au numérateur et au dénominateur sont pris en compte en facteurs premiers, puis les facteurs communs sont annulés (le cas échéant).

Par exemple, 24 1 260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Le produit de facteurs simples et identiques peut être écrit sous forme de puissances et, dans le processus de réduction d'une fraction, utiliser la propriété de diviser les puissances avec pour les mêmes raisons. Alors la solution ci-dessus serait :

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numérateur et dénominateur divisés par un facteur commun 2 2 3). Ou pour plus de clarté, en fonction des propriétés de multiplication et de division, nous donnons à la solution la forme suivante :

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Par analogie, on effectue la réduction de fractions algébriques, dans lesquelles le numérateur et le dénominateur ont des monômes à coefficients entiers.

Exemple 1

La fraction algébrique est donnée - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Il faut le réduire.

Solution

Il est possible d'écrire le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée comme un produit de facteurs et de variables simples, puis d'effectuer la réduction :

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 une 3 2 c 6

Cependant, une manière plus rationnelle serait d’écrire la solution sous la forme d’une expression avec des puissances :

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · une 3 2 · c 6 = · - 9 · une 3 2 · c 6 .

Répondre:- 27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 9 une 3 2 c 6

Lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique ont des coefficients numériques fractionnaires, deux manières sont possibles actions supplémentaires: soit divisez séparément ces coefficients fractionnaires, soit débarrassez-vous d'abord des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un certain entier naturel. La dernière transformation est effectuée en raison de la propriété fondamentale d'une fraction algébrique (vous pouvez en lire plus dans l'article « Réduire une fraction algébrique à un nouveau dénominateur »).

Exemple 2

La fraction donnée est 2 5 x 0, 3 x 3. Il faut le réduire.

Solution

Il est possible de réduire la fraction de cette façon :

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Essayons de résoudre le problème différemment, après nous être débarrassés des coefficients fractionnaires - multiplions le numérateur et le dénominateur par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces coefficients, c'est-à-dire sur LCM (5, 10) = 10. On obtient alors :

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Réponse : 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Quand on réduit des fractions algébriques vue générale, dans lequel les numérateurs et les dénominateurs peuvent être soit des monômes, soit des polynômes, il peut y avoir un problème lorsque le facteur commun n'est pas toujours immédiatement visible. Ou d’ailleurs, cela n’existe tout simplement pas. Ensuite, pour déterminer le facteur commun ou enregistrer le fait de son absence, le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique sont factorisés.

Exemple 3

La fraction rationnelle 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 est donnée. Il faut le réduire.

Solution

Factorisons les polynômes au numérateur et au dénominateur. Mettons-le entre parenthèses :

2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49)

On voit que l'expression entre parenthèses peut être convertie à l'aide de formules de multiplication abrégées :

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

On voit bien qu'il est possible de réduire une fraction d'un facteur commun b 2 (a + 7). Faisons une réduction :

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Écrivons une solution courte sans explication sous la forme d'une chaîne d'égalités :

2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49) = = 2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Répondre: 2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 une + 14 une b - 7 b.

Il arrive que des facteurs communs soient masqués par des coefficients numériques. Ensuite, lors de la réduction de fractions, il est optimal de mettre entre parenthèses les facteurs numériques aux puissances supérieures du numérateur et du dénominateur.

Exemple 4

Étant donné la fraction algébrique 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Il faut le réduire si possible.

Solution

A première vue, le numérateur et le dénominateur n'existent pas dénominateur commun. Cependant, essayons de convertir la fraction donnée. Retirons le facteur x au numérateur :

1 5 x - 2 7 x 3 oui 5 x 2 oui - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 oui 5 x 2 oui - 3 1 2

Vous pouvez maintenant voir une certaine similitude entre l'expression entre parenthèses et l'expression au dénominateur en raison de x 2 y . Retirons les coefficients numériques des puissances supérieures de ces polynômes :

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ans 5 x 2 ans - 7 10

Maintenant que le facteur commun devient visible, on effectue la réduction :

2 7 x - 7 10 + x 2 oui 5 x 2 oui - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Répondre: 1 5 x - 2 7 x 3 oui 5 x 2 oui - 3 1 2 = - 2 35 x .

Soulignons que l'habileté de contraction fractions rationnelles dépend de la capacité à factoriser des polynômes.

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Elle est basée sur leur propriété fondamentale : si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même polynôme non nul, alors une fraction égale sera obtenue.

Vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs !

Les membres des polynômes ne peuvent pas être abrégés !

Pour réduire une fraction algébrique, les polynômes du numérateur et du dénominateur doivent d’abord être factorisés.

Regardons des exemples de fractions réductrices.

Le numérateur et le dénominateur de la fraction contiennent des monômes. Ils représentent travail(nombres, variables et leurs puissances), multiplicateurs nous pouvons réduire.

On réduit les nombres par leur plus grand diviseur commun, c'est-à-dire par le plus grand nombre, par lequel chacun de ces nombres est divisé. Pour 24 et 36, cela fait 12. Après réduction, il reste 2 de 24 et 3 de 36.

On réduit les degrés du degré ayant l'indice le plus bas. Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par le même diviseur et soustraire les exposants.

a² et a⁷ se réduisent à a². Dans ce cas, il reste un au numérateur de a² (on écrit 1 seulement dans le cas où, après réduction, il ne reste plus d'autres facteurs. De 24, il reste 2, donc on n'écrit pas 1 restant de a²). De a⁷, après réduction, a⁵ reste.

b et b sont réduits de b ; les unités résultantes ne sont pas écrites.

c³º et c⁵ sont raccourcis en c⁵. Ce qui reste de c³º est c²⁵, de c⁵ est un (on ne l'écrit pas). Ainsi,

Le numérateur et le dénominateur de cette fraction algébrique sont des polynômes. Vous ne pouvez pas annuler les termes des polynômes ! (vous ne pouvez pas réduire, par exemple, 8x² et 2x !). Pour réduire cette fraction, il vous faut . Le numérateur a un facteur commun de 4x. Sortons-le des parenthèses :

Le numérateur et le dénominateur ont le même facteur (2x-3). Nous réduisons la fraction de ce facteur. Au numérateur, nous avons 4x, au dénominateur - 1. Selon 1 propriété des fractions algébriques, la fraction est égale à 4x.

Vous ne pouvez réduire que des facteurs (vous ne pouvez pas réduire cette fraction de 25x² !). Par conséquent, les polynômes du numérateur et du dénominateur de la fraction doivent être factorisés.

Le numérateur est le carré complet de la somme, le dénominateur est la différence des carrés. Après décomposition par formules de multiplication abrégées, on obtient :

On réduit la fraction de (5x+1) (pour ce faire, rayez les deux au numérateur comme exposant, laissant (5x+1)² (5x+1)) :

Le numérateur a un facteur commun de 2, retirons-le des parenthèses. Le dénominateur est la formule de la différence des cubes :

À la suite de l'expansion, le numérateur et le dénominateur ont reçu le même facteur (9+3a+a²). On en réduit la fraction :

Le polynôme au numérateur est composé de 4 termes. le premier terme avec le deuxième, le troisième avec le quatrième, et supprimez le facteur commun x² des premières parenthèses. Nous décomposons le dénominateur en utilisant la formule de la somme des cubes :

Au numérateur, retirons le facteur commun (x+2) entre parenthèses :

Réduisez la fraction de (x+2) :

De nombreux élèves font les mêmes erreurs lorsqu’ils travaillent avec des fractions. Et tout ça parce qu'ils oublient les règles de base arithmétique. Aujourd'hui, nous répéterons ces règles sur tâches spécifiques que je donne dans mes cours.

Voici la tâche que je propose à tous ceux qui se préparent à l'examen d'État unifié de mathématiques :

Tâche. Un marsouin mange 150 grammes de nourriture par jour. Mais elle a grandi et a commencé à manger 20 % de plus. Combien de grammes de nourriture le porc mange-t-il actuellement ?

Pas bonne solution. Il s’agit d’un problème de pourcentage qui se résume à l’équation :

Beaucoup (très nombreux) réduisent le nombre 100 au numérateur et au dénominateur d'une fraction :

C’est l’erreur que mon élève a commise le jour même de la rédaction de cet article. Les nombres tronqués sont marqués en rouge.

Inutile de dire que la réponse était fausse. Jugez par vous-même : le cochon a mangé 150 grammes, mais a commencé à en manger 3150 grammes. L'augmentation n'est pas de 20 %, mais de 21 fois, soit de 2000%.

Pour éviter de tels malentendus, rappelez-vous la règle de base :

Seuls les multiplicateurs peuvent être réduits. Les conditions ne peuvent pas être réduites !

Ainsi, la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Les nombres abrégés au numérateur et au dénominateur sont marqués en rouge. Comme vous pouvez le constater, le numérateur est un produit, le dénominateur est un nombre ordinaire. La réduction est donc tout à fait légale.

Travailler avec les proportions

Un autre domaine problématique est proportions. Surtout quand la variable est des deux côtés. Par exemple:

Tâche. Résous l'équation:

Mauvaise solution - certaines personnes ont littéralement envie de tout raccourcir de m :

Les variables réduites sont affichées en rouge. L'expression 1/4 = 1/5 s'avère être un non-sens total, ces nombres ne sont jamais égaux.

Et maintenant, la bonne décision. En gros c'est ordinaire équation linéaire . Il peut être résolu soit en déplaçant tous les éléments d’un côté, soit par la propriété fondamentale de proportion :

De nombreux lecteurs objecteront : « Où est l’erreur dans la première solution ? Eh bien, découvrons-le. Rappelons la règle pour travailler avec des équations :

N'importe quelle équation peut être divisée et multipliée par n'importe quel nombre, non nul.

Vous avez raté l'astuce ? Vous ne pouvez diviser que par des nombres non nul. En particulier, vous ne pouvez diviser par une variable m que si m != 0. Mais que se passe-t-il si m = 0 ? Remplaçons et vérifions :

Nous avons reçu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire m = 0 est la racine de l'équation. Pour le m != 0 restant, nous obtenons une expression de la forme 1/4 = 1/5, ce qui est naturellement incorrect. Il n’y a donc pas de racines non nulles.

Conclusions : tout mettre ensemble

Alors pour résoudre équations rationnelles fractionnaires rappelez-vous trois règles :

1. Seuls les multiplicateurs peuvent être réduits. Les ajouts ne sont pas autorisés. Par conséquent, apprenez à factoriser le numérateur et le dénominateur ;
2. La propriété principale de la proportion : le produit des éléments extrêmes est égal au produit des éléments moyens ;
3. Les équations ne peuvent être multipliées et divisées que par des nombres k différents de zéro. Le cas k = 0 doit être vérifié séparément.

N'oubliez pas ces règles et ne faites pas d'erreurs.

Division et le numérateur et le dénominateur de la fraction sur leur diviseur commun, différent de un, s'appelle réduire une fraction.

À raccourcir fraction commune, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre naturel.

Ce nombre est le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction donnée.

Les éléments suivants sont possibles formulaires d'enregistrement des décisions Exemples de réduction de fractions communes.

L'étudiant a le droit de choisir n'importe quelle forme d'enregistrement.

Exemples. Simplifiez les fractions.

Réduisez la fraction par 3 (divisez le numérateur par 3 ;

divisez le dénominateur par 3).

Réduisez la fraction de 7.

Nous effectuons les actions indiquées au numérateur et au dénominateur de la fraction.

La fraction résultante est réduite de 5.

Réduisons cette fraction 4) sur 5·7³- le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur, qui est constitué des facteurs communs du numérateur et du dénominateur, portés à la puissance du plus petit exposant.

Factorisons le numérateur et le dénominateur de cette fraction en facteurs premiers.

On a: 756=2²·3³·7 Et 1176=2³·3·7².

Déterminer le PGCD (plus grand diviseur commun) du numérateur et du dénominateur de la fraction 5) .

C'est le produit de facteurs communs pris avec les exposants les plus bas.

pgcd(756, 1176)= 2²·3·7.

On divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par leur pgcd, c'est-à-dire par 2²·3·7 on obtient une fraction irréductible 9/14 .

Ou il était possible d'écrire la décomposition du numérateur et du dénominateur sous la forme d'un produit de facteurs premiers, sans utiliser la notion de puissance, puis de réduire la fraction en rayant les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Lorsqu'il ne reste plus de facteurs identiques, nous multiplions les facteurs restants séparément au numérateur et séparément au dénominateur et écrivons la fraction résultante 9/14 .

Et finalement, il a été possible de réduire cette fraction 5) progressivement, en appliquant des signes de division des nombres à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction. Pensons ainsi : les chiffres 756 Et 1176 se terminent par un nombre pair, ce qui signifie que les deux sont divisibles par 2 . On réduit la fraction de 2 . Le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction sont des nombres 378 Et 588 également divisé en 2 . On réduit la fraction de 2 . On remarque que le nombre 294 - même, et 189 est étrange, et la réduction par 2 n'est plus possible. Vérifions la divisibilité des nombres 189 Et 294 sur 3 .

(1+8+9)=18 est divisible par 3 et (2+9+4)=15 est divisible par 3, d'où les nombres eux-mêmes 189 Et 294 sont divisées en 3 . On réduit la fraction de 3 . Plus loin, 63 est divisible par 3 et 98 - Non. Regardons d'autres facteurs premiers. Les deux nombres sont divisibles par 7 . On réduit la fraction de 7 et on obtient la fraction irréductible 9/14 .