Comment trouver le plus petit multiple commun. Nod et nok de nombres - le plus grand diviseur commun et le plus petit commun multiple de plusieurs nombres

Définition. Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisibles sans reste est appelé plus grand diviseur commun (pgcd) ces chiffres.

Trouvons le plus grand commun diviseur des nombres 24 et 35.
Les diviseurs de 24 seront les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, et les diviseurs de 35 seront les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés coprime.

Définition. Les nombres naturels sont appelés coprime si leur plus grand diviseur commun (pgcd) est 1.

Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.

En factorisant les nombres 48 et 36, on obtient :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans l'expansion du premier de ces nombres, nous supprimons ceux qui ne sont pas inclus dans l'expansion du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Il reste les facteurs 2 * 2 * 3. Leur produit est 12. Ce nombre est le plus grand commun diviseur des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand commun diviseur de trois nombres ou plus.

Trouver plus grand diviseur commun

2) parmi les facteurs inclus dans le développement de l'un de ces nombres, rayez ceux qui ne sont pas inclus dans le développement des autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.

Si tous les nombres donnés sont divisibles par l'un d'eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun numéros donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun de 15, 45, 75 et 180 est 15, puisqu'il divise tous les autres nombres : 45, 75 et 180.

Plus petit commun multiple (LCM)

Définition. Plus petit commun multiple (LCM) les nombres naturels a et b sont les plus petits nombres naturels multiples de a et de b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres à la suite. Pour ce faire, nous décomposons 75 et 60 en facteurs simples : 75 \u003d 3 * 5 * 5 et 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans l'expansion du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 de l'expansion du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.

Trouvez également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.

Pour trouver le plus petit multiple commun plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les décomposer en facteurs premiers ;
2) écrivez les facteurs inclus dans l'expansion de l'un des nombres;
3) leur ajouter les facteurs manquants des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.

Notez que si l'un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple de 12, 15, 20 et 60 serait 60, puisqu'il est divisible par tous les nombres donnés.

Pythagore (VIe siècle av. J.-C.) et ses élèves ont étudié la question de la divisibilité des nombres. Un nombre égal à la somme de tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même), ils ont appelé le nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8128, 33 550 336. Les pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au 1er siècle. n.m. e. Le cinquième - 33 550 336 - a été découvert au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais jusqu'à présent, les scientifiques ne savent pas s'il existe des nombres parfaits impairs, s'il existe le plus grand nombre parfait.
L'intérêt des anciens mathématiciens pour les nombres premiers est dû au fait que tout nombre est soit premier soit peut être représenté comme un produit de nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série des nombres naturels se produisent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres - moins. Mais plus on avance dans la suite des nombres, plus les nombres premiers sont rares. La question se pose : le dernier nombre premier (le plus grand) existe-t-il ? L'ancien mathématicien grec Euclide (3ème siècle avant JC), dans son livre "Beginnings", qui pendant deux mille ans a été le principal manuel de mathématiques, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier se trouve un pair plus grand nombre premier.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a proposé une telle méthode. Il nota tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis barra l'unité, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis barra d'un seul tous les nombres après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres après 3 ont été barrés (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.). au final, seuls les nombres premiers sont restés décochés.

Un multiple d'un nombre est un nombre qui est divisible par un nombre donné sans reste. Le plus petit commun multiple (LCM) d'un groupe de nombres est le plus petit nombre qui est également divisible par chaque nombre du groupe. Pour trouver le plus petit multiple commun, vous devez trouver les facteurs premiers des nombres donnés. En outre, le LCM peut être calculé à l'aide d'un certain nombre d'autres méthodes applicables à des groupes de deux nombres ou plus.

Pas

Une série de multiples

Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu'on lui donne deux nombres qui sont tous deux inférieurs à 10. Si de grands nombres sont donnés, utilisez une méthode différente.

• Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 5 et 8. Ce sont de petits nombres, donc cette méthode peut être utilisée.

1. Un multiple d'un nombre est un nombre qui est divisible par un nombre donné sans reste. Plusieurs nombres peuvent être trouvés dans la table de multiplication.

   • Par exemple, les nombres multiples de 5 sont : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Écrivez une série de nombres qui sont des multiples du premier nombre. Faites cela sous des multiples du premier nombre pour comparer deux rangées de nombres.

   • Par exemple, les nombres multiples de 8 sont : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 et 64.

3. Trouvez le plus petit nombre qui apparaît dans les deux séries de multiples. Vous devrez peut-être écrire de longues séries de multiples pour trouver nombre total. Le plus petit nombre qui apparaît dans les deux séries de multiples est le plus petit multiple commun.

   • Par exemple, le plus petit nombre qui apparaît dans la série des multiples de 5 et 8 est 40. Par conséquent, 40 est le plus petit commun multiple de 5 et 8.

   Factorisation première

   1. Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu'on donne deux nombres qui sont tous deux supérieurs à 10. Si des nombres plus petits sont donnés, utilisez une méthode différente.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 20 et 84. Chacun des nombres est supérieur à 10, cette méthode peut donc être utilisée.

   2. Factoriser le premier nombre. Autrement dit, vous devez trouver de tels nombres premiers, une fois multipliés, vous obtenez un nombre donné. Après avoir trouvé les facteurs premiers, écrivez-les sous forme d'égalité.

      • Par exemple, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Et 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Ainsi, les facteurs premiers du nombre 20 sont les nombres 2, 2 et 5. Écrivez-les sous la forme d'une expression : .

   3. Décomposez le deuxième nombre en facteurs premiers. Faites cela de la même manière que vous avez factorisé le premier nombre, c'est-à-dire trouvez des nombres premiers qui, une fois multipliés, obtiendront ce nombre.

      • Par exemple, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Et 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Ainsi, les facteurs premiers du nombre 84 sont les nombres 2, 7, 3 et 2. Écrivez-les sous la forme d'une expression : .

   4. Notez les facteurs communs aux deux nombres.Écrivez ces facteurs sous la forme d'une opération de multiplication. Au fur et à mesure que vous écrivez chaque facteur, rayez-le dans les deux expressions (expressions qui décrivent la décomposition de nombres en facteurs premiers).

      • Par exemple, le diviseur commun aux deux nombres est 2, donc écrivez 2 × (\displaystyle 2\times ) et rayez le 2 dans les deux expressions.
      • Le facteur commun aux deux nombres est un autre facteur de 2, donc écrivez 2 × 2 (\displaystyle 2\fois 2) et rayez le deuxième 2 dans les deux expressions.

   5. Ajoutez les facteurs restants à l'opération de multiplication. Ce sont des facteurs qui ne sont pas barrés dans les deux expressions, c'est-à-dire des facteurs qui ne sont pas communs aux deux nombres.

      • Par exemple, dans l'expression 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\fois 2\fois 5) les deux (2) sont barrés car ce sont des facteurs communs. Le facteur 5 n'est pas barré, donc écrivez l'opération de multiplication comme suit : 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\fois 2\fois 5)
      • Dans l'expression 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\fois 7\fois 3\fois 2) les deux deux (2) sont également barrés. Les facteurs 7 et 3 ne sont pas barrés, donc écrivez l'opération de multiplication comme suit : 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\fois 2\fois 5\fois 7\fois 3).

   6. Calculer le plus petit commun multiple. Pour ce faire, multipliez les nombres dans l'opération de multiplication écrite.

      • Par exemple, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Donc le plus petit commun multiple de 20 et 84 est 420.

   Trouver des diviseurs communs

   1. Dessinez une grille comme vous le feriez pour un jeu de tic-tac-toe. Une telle grille se compose de deux lignes parallèles qui se coupent (à angle droit) avec deux autres lignes parallèles. Cela se traduira par trois lignes et trois colonnes (la grille ressemble beaucoup au signe #). Écrivez le premier nombre dans la première ligne et la deuxième colonne. Écrivez le deuxième nombre dans la première ligne et la troisième colonne.

      • Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 18 et 30. Écrivez 18 dans la première ligne et la deuxième colonne, et écrivez 30 dans la première ligne et la troisième colonne.

   2. Trouver le diviseur commun aux deux nombres. Notez-le dans la première ligne et la première colonne. Il est préférable de chercher des diviseurs premiers, mais ce n'est pas une condition préalable.

      • Par exemple, 18 et 30 sont des nombres pairs, donc leur diviseur commun est 2. Écrivez donc 2 dans la première ligne et la première colonne.

   3. Divisez chaque nombre par le premier diviseur.Écris chaque quotient sous le nombre correspondant. Le quotient est le résultat de la division de deux nombres.

      • Par exemple, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), alors écrivez 9 sous 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), alors écrivez 15 sous 30.

   4. Trouver un diviseur commun aux deux quotients. S'il n'y a pas de tel diviseur, sautez les deux étapes suivantes. Sinon, notez le diviseur dans la deuxième ligne et la première colonne.

      • Par exemple, 9 et 15 sont divisibles par 3, alors écrivez 3 dans la deuxième ligne et la première colonne.

   5. Divisez chaque quotient par le second diviseur.Écrivez chaque résultat de division sous le quotient correspondant.

      • Par exemple, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), donc écrivez 3 sous 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), alors écrivez 5 sous 15.

   6. Si nécessaire, complétez la grille avec des cellules supplémentaires. Répétez les étapes ci-dessus jusqu'à ce que les quotients aient un diviseur commun.

   7. Encerclez les chiffres de la première colonne et de la dernière rangée de la grille. Ensuite, écrivez les nombres en surbrillance comme une opération de multiplication.

      • Par exemple, les nombres 2 et 3 sont dans la première colonne, et les nombres 3 et 5 sont dans la dernière ligne, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\fois 3\fois 3\fois 5).

   8. Trouver le résultat de la multiplication des nombres. Cela calculera le plus petit multiple commun des deux nombres donnés.

      • Par exemple, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\fois 3\fois 3\fois 5=90). Donc le plus petit commun multiple de 18 et 30 est 90.

   Algorithme d'Euclide

   1. Rappelez-vous la terminologie associée à l'opération de division. Le dividende est le nombre qui est divisé. Le diviseur est le nombre par lequel diviser. Le quotient est le résultat de la division de deux nombres. Le reste est le nombre restant lorsque deux nombres sont divisés.

      • Par exemple, dans l'expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) du repos. 3 :
        15 est le divisible
        6 est le diviseur
        2 est privé
        3 est le reste.

Considérons la solution du problème suivant. Le pas du garçon est de 75 cm et celui de la fille de 60 cm.Il est nécessaire de trouver la plus petite distance à laquelle les deux feront un nombre entier de pas.

Solution. Le chemin complet que les gars vont parcourir doit être divisible par 60 et 70 sans reste, car ils doivent chacun faire un nombre entier de pas. En d'autres termes, la réponse doit être un multiple de 75 et 60.

D'abord, nous allons écrire tous les multiples, pour le nombre 75. Nous obtenons :

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Écrivons maintenant les nombres qui seront un multiple de 60. Nous obtenons :

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Maintenant, nous trouvons les nombres qui sont dans les deux lignes.

• Les multiples communs des nombres seront les nombres, 300, 600, etc.

Le plus petit d'entre eux est le nombre 300. Dans ce cas, on l'appellera le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.

Pour en revenir à l'état du problème, la plus petite distance à laquelle les gars font un nombre entier de pas sera de 300 cm.Le garçon ira dans cette direction en 4 pas et la fille devra faire 5 pas.

Trouver le plus petit commun multiple

• Le plus petit commun multiple de deux nombres naturels a et b est le plus petit nombre naturel multiple de a et de b.

Pour trouver le plus petit commun multiple de deux nombres, il n'est pas nécessaire d'écrire tous les multiples de ces nombres à la suite.

Vous pouvez utiliser la méthode suivante.

Comment trouver le plus petit multiple commun

Tout d'abord, vous devez décomposer ces nombres en facteurs premiers.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Maintenant, notons tous les facteurs qui sont dans l'expansion du premier nombre (2,2,3,5) et ajoutons-y tous les facteurs manquants de l'expansion du deuxième nombre (5).

En conséquence, nous obtenons une série de nombres premiers : 2,2,3,5,5. Le produit de ces nombres sera le plus petit facteur commun pour ces nombres. 2*2*3*5*5 = 300.

Schéma général pour trouver le plus petit multiple commun

• 1. Décomposer des nombres en facteurs premiers.
• 2. Écrivez les facteurs premiers qui font partie de l'un d'entre eux.
• 3. Ajoutez à ces facteurs tous ceux qui sont dans la décomposition du reste, mais pas dans celui sélectionné.
• 4. Trouvez le produit de tous les facteurs écrits.

Cette méthode est universelle. Il peut être utilisé pour trouver le plus petit multiple commun de n'importe quel nombre de nombres naturels.

Le plus petit commun multiple de deux nombres est directement lié au plus grand commun diviseur de ces nombres. Ce lien entre GCD et NOC est défini par le théorème suivant.

Théorème.

Le plus petit commun multiple de deux entiers positifs a et b est égal au produit des nombres a et b divisé par le plus grand diviseur commun des nombres a et b , c'est-à-dire PPCM(a, b)=a b : PGCD(a, b).

Preuve.

Laisser être M est un multiple des nombres a et b. Autrement dit, M est divisible par a, et par la définition de la divisibilité, il existe un entier k tel que l'égalité M=a·k soit vraie. Mais M est aussi divisible par b, alors a k est divisible par b.

Notons pgcd(a, b) comme d . Ensuite, nous pouvons écrire les égalités a=a 1 ·d et b=b 1 ·d, et a 1 =a:d et b 1 =b:d seront des nombres premiers entre eux. Ainsi, la condition obtenue au paragraphe précédent selon laquelle ak est divisible par b peut être reformulée comme suit : a 1 dk est divisible par b 1 d , ce qui, en raison des propriétés de divisibilité, équivaut à la condition que a 1 k est divisible par b un .

Nous devons également écrire deux corollaires importants du théorème considéré.

Les multiples communs de deux nombres sont les mêmes que les multiples de leur plus petit multiple commun.

Ceci est vrai, puisque tout multiple commun de M nombres a et b est défini par l'égalité M=LCM(a, b) t pour une valeur entière t .

Le plus petit commun multiple des nombres positifs premiers entre eux a et b est égal à leur produit.

La raison de ce fait est assez évidente. Puisque a et b sont premiers entre eux, alors pgcd(a, b)=1 , donc, LCM(a, b)=a b: PGCD(a, b)=a b:1=a b.

Plus petit commun multiple de trois nombres ou plus

Trouver le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être réduit à trouver successivement le PPCM de deux nombres. La manière dont cela est fait est indiquée dans le théorème suivant : a 1 , a 2 , …, a k coïncident avec des multiples communs des nombres m k-1 et a k , par conséquent, coïncident avec des multiples de m k . Et puisque le plus petit multiple positif du nombre m k est le nombre m k lui-même, alors le plus petit commun multiple des nombres a 1 , a 2 , …, a k est m k .

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya. etc. Mathématiques. 6e année: manuel pour les établissements d'enseignement.
• Vinogradov I.M. Fondamentaux de la théorie des nombres.
• Mikhelovich Sh.Kh. La théorie du nombre.
• Koulikov L.Ya. et autres Collection de problèmes d'algèbre et de théorie des nombres: Manuel pour les étudiants de fiz.-mat. spécialités des instituts pédagogiques.

Pour comprendre comment calculer le LCM, vous devez d'abord déterminer la signification du terme "multiple".

Un multiple de A est un nombre naturel divisible sans reste par A. Ainsi, 15, 20, 25, etc. peuvent être considérés comme des multiples de 5.

Il peut y avoir un nombre limité de diviseurs d'un nombre particulier, mais il existe un nombre infini de multiples.

Un multiple commun de nombres naturels est un nombre qui est divisible par eux sans reste.

Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres

Le plus petit commun multiple (LCM) de nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel qui est également divisible par tous ces nombres.

Pour trouver le NOC, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes.

Pour les petits nombres, il convient d'écrire sur une ligne tous les multiples de ces nombres jusqu'à en trouver un commun entre eux. Les multiples sont indiqués dans la notice par un K majuscule.

Par exemple, les multiples de 4 peuvent s'écrire ainsi :

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Ainsi, vous pouvez voir que le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6 est le nombre 24. Cette saisie s'effectue comme suit :

PPCM(4, 6) = 24

Si les nombres sont grands, trouvez le multiple commun de trois nombres ou plus, alors il est préférable d'utiliser une autre façon de calculer le LCM.

Pour terminer la tâche, il est nécessaire de décomposer les nombres proposés en facteurs premiers.

Vous devez d'abord écrire l'expansion du plus grand des nombres sur une ligne, et en dessous - le reste.

Dans l'expansion de chaque nombre, il peut y avoir un nombre différent de facteurs.

Par exemple, factorisons les nombres 50 et 20 en facteurs premiers.

Dans la décomposition du plus petit nombre, il faut souligner les facteurs absents de la décomposition du premier plus grand nombre, puis les y ajouter. Dans l'exemple présenté, il manque un deux.

Nous pouvons maintenant calculer le plus petit commun multiple de 20 et 50.

PPCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Ainsi, le produit des facteurs premiers du plus grand nombre et des facteurs du deuxième nombre, qui ne sont pas inclus dans la décomposition du plus grand nombre, sera le plus petit commun multiple.

Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, tous doivent être décomposés en facteurs premiers, comme dans le cas précédent.

Par exemple, vous pouvez trouver le plus petit commun multiple des nombres 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Ainsi, seuls deux deux de la décomposition de seize (un est dans la décomposition de vingt-quatre) ne sont pas entrés dans la factorisation d'un plus grand nombre.

Ainsi, ils doivent être ajoutés à la décomposition d'un plus grand nombre.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Il existe des cas particuliers de détermination du plus petit commun multiple. Ainsi, si l'un des nombres peut être divisé sans reste par un autre, alors le plus grand de ces nombres sera le plus petit multiple commun.

Par exemple, les CNO de douze et vingt-quatre seraient vingt-quatre.

S'il est nécessaire de trouver le plus petit commun multiple de nombres premiers qui n'ont pas les mêmes diviseurs, alors leur PPCM sera égal à leur produit.

Par exemple, PPCM(10, 11) = 110.