Comment trouver LCM (plus petit commun multiple)

Le commun multiple de deux entiers est l'entier qui est divisible par les deux nombres donnés sans reste.

Le plus petit commun multiple de deux entiers est le plus petit de tous les entiers qui est divisible de manière égale et sans reste par les deux nombres donnés.

Méthode 1. Vous pouvez trouver le LCM, à son tour, pour chacun des nombres donnés, en écrivant dans l'ordre croissant tous les nombres obtenus en les multipliant par 1, 2, 3, 4, etc.

Exemple pour les numéros 6 et 9.
Nous multiplions le nombre 6, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 6, 12, 18 , 24, 30
Nous multiplions le nombre 9, séquentiellement, par 1, 2, 3, 4, 5.
On obtient : 9, 18 , 27, 36, 45
Comme vous pouvez le voir, le LCM pour les numéros 6 et 9 sera de 18.

Cette méthode est pratique lorsque les deux nombres sont petits et qu'il est facile de les multiplier par une suite d'entiers. Cependant, il existe des cas où vous devez trouver le LCM pour des nombres à deux ou trois chiffres, et également lorsqu'il y a trois nombres initiaux ou même plus.

Méthode 2. Vous pouvez trouver le LCM en décomposant les nombres originaux en facteurs premiers.
Après décomposition, il est nécessaire de rayer les mêmes nombres de la série résultante de facteurs premiers. Les nombres restants du premier nombre seront le facteur du second, et les nombres restants du second nombre seront le facteur du premier.

Exemple pour le nombre 75 et 60.
Le plus petit multiple commun des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres à la suite. Pour ce faire, on décompose 75 et 60 en facteurs premiers :
75 = 3 * 5 * 5, et
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Comme vous pouvez le voir, les facteurs 3 et 5 se produisent dans les deux lignes. Mentalement, nous les "rayons".
Écrivons les facteurs restants inclus dans l'expansion de chacun de ces nombres. Lors de la décomposition du nombre 75, nous avons laissé le nombre 5, et lors de la décomposition du nombre 60, nous avons laissé 2 * 2
Ainsi, pour déterminer le LCM pour les nombres 75 et 60, nous devons multiplier les nombres restants de l'expansion de 75 (c'est 5) par 60, et les nombres restants de l'expansion du nombre 60 (c'est 2 * 2 ) multipliez par 75. Autrement dit, pour faciliter la compréhension, nous disons que nous multiplions "en croix".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
C'est ainsi que nous avons trouvé le LCM pour les nombres 60 et 75. C'est le nombre 300.

Exemple. Déterminer LCM pour les nombres 12, 16, 24
Dans ce cas, nos actions seront un peu plus compliquées. Mais, d'abord, comme toujours, nous décomposons tous les nombres en facteurs premiers
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pour déterminer correctement le LCM, on sélectionne le plus petit de tous les nombres (c'est le nombre 12) et on parcourt successivement ses facteurs en les barrant si au moins une des autres lignes de nombres a le même facteur qui n'a pas encore été franchi dehors.

Étape 1 . Nous voyons que 2 * 2 apparaît dans toutes les séries de nombres. Nous les barrons.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Étape 2. Dans les facteurs premiers du nombre 12, il ne reste que le nombre 3. Mais il est présent dans les facteurs premiers du nombre 24. Nous barrons le nombre 3 des deux lignes, alors qu'aucune action n'est attendue pour le nombre 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Comme vous pouvez le voir, lors de la décomposition du nombre 12, nous avons "barré" tous les chiffres. La constatation du NOC est donc terminée. Il ne reste plus qu'à calculer sa valeur.
Pour le nombre 12, on prend les facteurs restants du nombre 16 (le plus proche par ordre croissant)
12 * 2 * 2 = 48
C'est le CNO

Comme vous pouvez le voir, dans ce cas, trouver le LCM était un peu plus difficile, mais lorsque vous devez le trouver pour trois numéros ou plus, cette méthode vous permet de le faire plus rapidement. Cependant, les deux façons de trouver le LCM sont correctes.

Définition. Le plus grand nombre naturel par lequel les nombres a et b sont divisibles sans reste est appelé plus grand diviseur commun (pgcd) ces chiffres.

Trouvons le plus grand commun diviseur des nombres 24 et 35.
Les diviseurs de 24 seront les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, et les diviseurs de 35 seront les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés coprime.

Définition. Les nombres naturels sont appelés coprime si leur plus grand diviseur commun (pgcd) est 1.

Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.

En factorisant les nombres 48 et 36, on obtient :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans l'expansion du premier de ces nombres, nous supprimons ceux qui ne sont pas inclus dans l'expansion du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Il reste les facteurs 2 * 2 * 3. Leur produit est 12. Ce nombre est le plus grand commun diviseur des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand commun diviseur de trois nombres ou plus.

Trouver plus grand diviseur commun

2) parmi les facteurs inclus dans le développement de l'un de ces nombres, rayez ceux qui ne sont pas inclus dans le développement des autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.

Si tous les nombres donnés sont divisibles par l'un d'eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun numéros donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun de 15, 45, 75 et 180 est 15, puisqu'il divise tous les autres nombres : 45, 75 et 180.

Plus petit commun multiple (LCM)

Définition. Plus petit commun multiple (LCM) les nombres naturels a et b sont les plus petits nombres naturels multiples de a et de b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres à la suite. Pour ce faire, nous décomposons 75 et 60 en facteurs simples : 75 \u003d 3 * 5 * 5 et 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Nous écrivons les facteurs inclus dans l'expansion du premier de ces nombres et leur ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 de l'expansion du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.

Trouvez également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.

À trouver le plus petit multiple commun plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les décomposer en facteurs premiers ;
2) écrivez les facteurs inclus dans l'expansion de l'un des nombres;
3) leur ajouter les facteurs manquants des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.

Notez que si l'un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple de 12, 15, 20 et 60 serait 60, puisqu'il est divisible par tous les nombres donnés.

Pythagore (VIe siècle av. J.-C.) et ses élèves ont étudié la question de la divisibilité des nombres. Un nombre égal à la somme de tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même), ils ont appelé le nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8128, 33 550 336. Les pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au 1er siècle. n.m. e. Le cinquième - 33 550 336 - a été découvert au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais jusqu'à présent, les scientifiques ne savent pas s'il existe des nombres parfaits impairs, s'il existe le plus grand nombre parfait.
L'intérêt des anciens mathématiciens pour les nombres premiers est dû au fait que tout nombre est soit premier soit peut être représenté comme un produit de nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série des nombres naturels se produisent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres - moins. Mais plus on avance dans la suite des nombres, plus les nombres premiers sont rares. La question se pose : le dernier nombre premier (le plus grand) existe-t-il ? L'ancien mathématicien grec Euclide (3ème siècle avant JC), dans son livre "Beginnings", qui pendant deux mille ans a été le principal manuel de mathématiques, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier, il y a un pair plus grand nombre premier.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a proposé une telle méthode. Il nota tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis barra l'unité, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis barra d'un seul tous les nombres après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres après 3 ont été barrés (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.). au final, seuls les nombres premiers sont restés décochés.

Mais de nombreux nombres naturels sont divisibles de manière égale par d'autres nombres naturels.

Par exemple:

Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;

Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.

Les nombres par lesquels le nombre est divisible (pour 12 c'est 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés nombre diviseurs. Diviseur d'un nombre naturel un est l'entier naturel qui divise le nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux facteurs est appelé composite .

Notez que les nombres 12 et 36 ont des diviseurs communs. Ce sont les nombres : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres un et b est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisibles sans reste un et b.

Multiple commun plusieurs nombres est appelé le nombre qui est divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y a toujours le plus petit, dans ce cas c'est 90. Ce nombre s'appelle moinsmultiple commun (LCM).

LCM est toujours un nombre naturel, qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.

Plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.

Commutativité:

Associativité :

En particulier, si et sont premiers entre eux, alors :

Plus petit commun multiple de deux entiers m et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m et n. De plus, l'ensemble des multiples communs m,n coïncide avec l'ensemble des multiples de LCM( m,n).

Les asymptotiques pour peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.

Alors, Fonction de Tchebychev. Aussi bien que:

Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).

Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.

Trouver le plus petit commun multiple (LCM).

CNO( un B) peut être calculé de plusieurs façons :

1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa relation avec le LCM :

2. Soit connue la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :

où p 1 ,...,p k sont divers nombres premiers, et d 1 ,...,d k et e 1 ,...,ek sont des entiers non négatifs (ils peuvent être nuls si le nombre premier correspondant n'est pas dans le développement).

Puis LCM ( un,b) est calculé par la formule :

En d'autres termes, le développement LCM contient tous les facteurs premiers qui sont inclus dans au moins un des développements de nombres un B, et le plus grand des deux exposants de ce facteur est pris.

Exemple:

Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs successifs du PPCM de deux nombres :

Régner. Pour trouver le LCM d'une série de nombres, vous avez besoin de :

- décomposer les nombres en facteurs premiers ;

- transférer la plus grande expansion aux facteurs du produit souhaité (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés), puis ajouter des facteurs à partir de l'expansion d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou y sont un plus petit nombre de fois ;

- le produit résultant de facteurs premiers sera le PPCM des nombres donnés.

Deux ou plusieurs nombres naturels ont leur propre LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs dans l'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.

Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) ont été complétés par un facteur de 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre divisible par 21 et 28.

Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 ont été complétés par un facteur de 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. C'est le plus petit produit possible (150, 250, 300...) dont tous les nombres donnés sont des multiples.

Les nombres 2,3,11,37 sont premiers, donc leur PPCM est égal au produit des nombres donnés.

régner. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres ensemble.

Une autre option:

Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres, vous avez besoin de :

1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) écrivez les puissances de tous les facteurs premiers :

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) écrivez tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres;

4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans toutes les expansions de ces nombres ;

5) multiplier ces puissances.

Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.

La solution. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Nous écrivons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Continuons la discussion sur le plus petit commun multiple que nous avons commencée dans la section LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples. Dans cette rubrique, nous examinerons les moyens de trouver le LCM pour trois nombres ou plus, nous analyserons la question de savoir comment trouver le LCM d'un nombre négatif.

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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via pgcd

Nous avons déjà établi la relation entre le plus petit commun multiple et le plus grand diviseur commun. Apprenons maintenant à définir le LCM via le GCD. Voyons d'abord comment procéder pour les nombres positifs.

Définition 1

Vous pouvez trouver le plus petit commun multiple par le plus grand diviseur commun en utilisant la formule LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Exemple 1

Il faut trouver le LCM des nombres 126 et 70.

La solution

Prenons a = 126 , b = 70 . Remplacez les valeurs dans la formule de calcul du plus petit commun multiple par le plus grand diviseur commun LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Trouve le PGCD des nombres 70 et 126. Pour cela nous avons besoin de l'algorithme d'Euclide : 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , donc pgcd (126 , 70) = 14 .

Calculons le LCM : LCM (126, 70) = 126 70 : PGCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

Réponse: LCM (126, 70) = 630.

Exemple 2

Trouvez le nok des nombres 68 et 34.

La solution

GCD dans ce cas est facile à trouver, puisque 68 est divisible par 34. Calculez le plus petit commun multiple en utilisant la formule : LCM (68, 34) = 68 34 : GCD (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.

Réponse: PPCM(68, 34) = 68.

Dans cet exemple, nous avons utilisé la règle pour trouver le plus petit commun multiple des entiers positifs a et b : si le premier nombre est divisible par le second, alors le PPCM de ces nombres sera égal au premier nombre.

Trouver le LCM en factorisant des nombres en facteurs premiers

Voyons maintenant un moyen de trouver le LCM, qui est basé sur la décomposition des nombres en facteurs premiers.

Définition 2

Pour trouver le plus petit multiple commun, nous devons effectuer un certain nombre d'étapes simples :

• nous formons le produit de tous les facteurs premiers des nombres pour lesquels nous devons trouver le PPCM ;
• nous excluons tous les facteurs premiers de leurs produits obtenus ;
• le produit obtenu après élimination des facteurs premiers communs sera égal au PPCM des nombres donnés.

Cette façon de trouver le plus petit commun multiple est basée sur l'égalité PPCM (a , b) = a b : PGCD (a , b) . Si vous regardez la formule, cela devient clair : le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans l'expansion de ces deux nombres. Dans ce cas, le PGCD de deux nombres est égal au produit de tous les facteurs premiers présents simultanément dans les factorisations de ces deux nombres.

Exemple 3

Nous avons deux nombres 75 et 210 . Nous pouvons les factoriser comme ceci : 75 = 3 5 5 et 210 = 2 3 5 7. Si vous faites le produit de tous les facteurs des deux nombres originaux, vous obtenez : 2 3 3 5 5 5 7.

Si l'on exclut les facteurs communs aux deux nombres 3 et 5, on obtient un produit de la forme suivante : 2 3 5 5 7 = 1050. Ce produit sera notre LCM pour les numéros 75 et 210.

Exemple 4

Trouver le LCM des nombres 441 et 700 , en décomposant les deux nombres en facteurs premiers.

La solution

Trouvons tous les facteurs premiers des nombres donnés dans la condition :

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Nous obtenons deux chaînes de nombres : 441 = 3 3 7 7 et 700 = 2 2 5 5 7 .

Le produit de tous les facteurs qui ont participé à l'expansion de ces chiffres ressemblera à : 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Trouvons les facteurs communs. Ce nombre est 7. Nous l'excluons du produit général : 2 2 3 3 5 5 7 7. Il s'avère que NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Réponse: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Donnons une autre formulation de la méthode pour trouver le LCM en décomposant les nombres en facteurs premiers.

Définition 3

Auparavant, nous avons exclu du nombre total de facteurs communs aux deux nombres. Maintenant, nous allons procéder différemment :

• Décomposons les deux nombres en facteurs premiers :
• ajouter au produit des facteurs premiers du premier nombre les facteurs manquants du second nombre ;
• nous obtenons le produit, qui sera le LCM souhaité de deux nombres.

Exemple 5

Revenons aux nombres 75 et 210 , pour lesquels nous avons déjà cherché le LCM dans un des exemples précédents. Décomposons-les en facteurs simples : 75 = 3 5 5 et 210 = 2 3 5 7. Au produit des facteurs 3 , 5 et 5 numéro 75 ajouter les facteurs manquants 2 et 7 numéros 210 . On a: 2 3 5 5 7 . C'est le LCM des nombres 75 et 210.

Exemple 6

Il faut calculer le LCM des nombres 84 et 648.

La solution

Décomposons les nombres de la condition en facteurs premiers : 84 = 2 2 3 7 et 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ajouter au produit des facteurs 2 , 2 , 3 et 7 nombres 84 facteurs manquants 2 , 3 , 3 et
3 numéros 648 . Nous obtenons le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . C'est le plus petit commun multiple de 84 et 648.

Réponse: LCM (84, 648) = 4536.

Trouver le LCM de trois nombres ou plus

Quel que soit le nombre de nombres auxquels nous avons affaire, l'algorithme de nos actions sera toujours le même : nous trouverons séquentiellement le LCM de deux nombres. Il existe un théorème pour ce cas.

Théorème 1

Supposons que nous ayons des nombres entiers une 1 , une 2 , … , une k. CNO mk de ces nombres se trouve dans le calcul séquentiel m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Voyons maintenant comment le théorème peut être appliqué à des problèmes spécifiques.

Exemple 7

Vous devez calculer le plus petit commun multiple des quatre nombres 140 , 9 , 54 et 250 .

La solution

Introduisons la notation: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Commençons par calculer m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Utilisons l'algorithme euclidien pour calculer le PGCD des nombres 140 et 9 : 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . On obtient : PGCD(140, 9) = 1, PPCM(140, 9) = 140 9 : PGCD(140, 9) = 140 9 : 1 = 1260. Par conséquent, m 2 = 1 260 .

Calculons maintenant selon le même algorithme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Au fil des calculs, on obtient m 3 = 3 780.

Il nous reste à calculer m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Nous agissons selon le même algorithme. Nous obtenons m 4 \u003d 94 500.

Le LCM des quatre nombres de l'exemple de condition est 94500 .

Réponse: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Comme vous pouvez le voir, les calculs sont simples, mais assez laborieux. Pour gagner du temps, vous pouvez aller dans l'autre sens.

Définition 4

Nous vous proposons l'algorithme d'actions suivant :

• décomposer tous les nombres en facteurs premiers ;
• au produit des facteurs du premier nombre, ajouter les facteurs manquants du produit du deuxième nombre;
• au produit obtenu à l'étape précédente, on ajoute les facteurs manquants du troisième nombre, etc. ;
• le produit résultant sera le plus petit commun multiple de tous les nombres de la condition.

Exemple 8

Il faut trouver le LCM des cinq nombres 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

La solution

Décomposons les cinq nombres en facteurs premiers : 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Les nombres premiers, qui est le nombre 7, ne peuvent pas être factorisés en facteurs premiers. Ces nombres coïncident avec leur décomposition en facteurs premiers.

Prenons maintenant le produit des facteurs premiers 2, 2, 3 et 7 du nombre 84 et ajoutons-y les facteurs manquants du second nombre. Nous avons décomposé le chiffre 6 en 2 et 3. Ces facteurs sont déjà dans le produit du premier nombre. Par conséquent, nous les omettons.

Nous continuons à ajouter les multiplicateurs manquants. On passe au nombre 48, à partir du produit de facteurs premiers dont on prend 2 et 2. Ensuite, nous ajoutons un simple facteur de 7 du quatrième nombre et des facteurs de 11 et 13 du cinquième. Nous obtenons : 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. C'est le plus petit multiple commun des cinq nombres originaux.

Réponse: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Trouver le plus petit commun multiple de nombres négatifs

Afin de trouver le plus petit multiple commun des nombres négatifs, ces nombres doivent d'abord être remplacés par des nombres de signe opposé, puis les calculs doivent être effectués à l'aide des algorithmes ci-dessus.

Exemple 9

PPCM(54, −34) = PPCM(54, 34) et PPCM(−622,−46, −54,−888) = PPCM(622, 46, 54, 888) .

De telles actions sont permises en raison du fait que s'il est admis que un et − un- nombres opposés
alors l'ensemble des multiples un coïncide avec l'ensemble des multiples d'un nombre − un.

Exemple 10

Il faut calculer le LCM des nombres négatifs − 145 et − 45 .

La solution

Changeons les chiffres − 145 et − 45 à leurs opposés 145 et 45 . Maintenant, selon l'algorithme, nous calculons le LCM (145, 45) = 145 45 : GCD (145, 45) = 145 45 : 5 = 1 305, après avoir préalablement déterminé le GCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide.

On obtient que le PPCM des nombres − 145 et − 45 équivaut à 1 305 .

Réponse: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

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Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article sous le titre LCM - plus petit commun multiple, définition, exemples, relation entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), et accordez une attention particulière à la résolution d'exemples. Montrons d'abord comment le LCM de deux nombres est calculé en fonction du PGCD de ces nombres. Ensuite, envisagez de trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.

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Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via pgcd

Une façon de trouver le plus petit multiple commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. La relation existante entre LCM et GCD vous permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs via le plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante a la forme PPCM(a, b)=a b : PGCM(a, b) . Considérons des exemples de recherche du LCM selon la formule ci-dessus.

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple des deux nombres 126 et 70.

La solution.

Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons la relation entre LCM et GCD exprimée par la formule PPCM(a, b)=a b : PGCM(a, b). Autrement dit, nous devons d'abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres selon la formule écrite.

Trouvez pgcd(126, 70) en utilisant l'algorithme d'Euclide : 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , donc pgcd(126, 70)=14 .

Maintenant, nous trouvons le plus petit multiple commun requis : PPCM(126, 70)=126 70 : PGCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Réponse:

PPCM(126, 70)=630 .

Exemple.

Qu'est-ce que LCM(68, 34) ?

La solution.

Car 68 est divisible par 34 , alors pgcd(68, 34)=34 . Calculons maintenant le plus petit commun multiple : PPCM(68, 34)=68 34 : PPCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Réponse:

LCM(68, 34)=68 .

Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si le nombre a est divisible par b , alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a .

Trouver le LCM en factorisant des nombres en facteurs premiers

Une autre façon de trouver le multiple le plus commun est basée sur la factorisation des nombres en facteurs premiers. Si nous faisons un produit de tous les facteurs premiers de ces nombres, après quoi nous excluons de ce produit tous les facteurs premiers communs qui sont présents dans les développements de ces nombres, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple de ces nombres.

La règle annoncée pour trouver le LCM découle de l'égalité PPCM(a, b)=a b : PGCM(a, b). En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans les développements des nombres a et b. À son tour, pgcd(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers qui sont simultanément présents dans les développements des nombres a et b (ce qui est décrit dans la section sur la recherche du pgcd en utilisant la décomposition des nombres en facteurs premiers ).

Prenons un exemple. Sachons que 75=3 5 5 et 210=2 3 5 7 . Composez le produit de tous les facteurs de ces expansions : 2 3 3 5 5 5 7 . Maintenant, nous excluons de ce produit tous les facteurs qui sont présents à la fois dans l'expansion du nombre 75 et dans l'expansion du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2 3 5 5 7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple des nombres 75 et 210, c'est-à-dire LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemple.

Après avoir factorisé les nombres 441 et 700 en facteurs premiers, trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.

La solution.

Décomposons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers :

Nous obtenons 441=3 3 7 7 et 700=2 2 5 5 7 .

Faisons maintenant un produit de tous les facteurs impliqués dans les expansions de ces nombres : 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'y en a qu'un seul - c'est le nombre 7) : 2 2 3 3 5 5 7 7 . De cette façon, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Réponse:

LCM(441, 700)= 44 100 .

La règle pour trouver le LCM en utilisant la décomposition des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si nous ajoutons les facteurs manquants de l'expansion du nombre b aux facteurs de l'expansion du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b.

Par exemple, prenons tous les mêmes nombres 75 et 210, leurs développements en facteurs premiers sont les suivants : 75=3 5 5 et 210=2 3 5 7 . Aux facteurs 3, 5 et 5 issus de la décomposition du nombre 75, on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 issus de la décomposition du nombre 210, on obtient le produit 2 3 5 5 7 , dont la valeur est LCM(75 , 210) .

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.

La solution.

On obtient d'abord la décomposition des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2 2 3 7 et 648=2 2 2 3 3 3 3 . Aux facteurs 2 , 2 , 3 et 7 issus de la décomposition du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2 , 3 , 3 et 3 issus de la décomposition du nombre 648 , on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7 , qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit multiple commun souhaité des nombres 84 et 648 est 4 536.

Réponse:

LCM(84, 648)=4 536 .

Trouver le LCM de trois nombres ou plus

Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant successivement le PPCM de deux nombres. Rappelez-vous le théorème correspondant, qui donne un moyen de trouver le LCM de trois nombres ou plus.

Théorème.

Soient donnés des entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k , le plus petit commun multiple m k de ces nombres se trouve dans le calcul séquentiel m 2 = PPCM (a 1 , a 2) , m 3 = PPCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Considérons l'application de ce théorème sur l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.

Exemple.

Trouvez le LCM des quatre nombres 140 , 9 , 54 et 250 .

La solution.

Dans cet exemple a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

On trouve d'abord m 2 \u003d LCM (un 1, un 2) \u003d LCM (140, 9). Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine pgcd(140, 9) , on a 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , donc pgcd( 140, 9)=1 , d'où PPCM(140, 9)=140 9 : PPCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Autrement dit, m 2 =1 260 .

Maintenant, nous trouvons m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Calculons-le par pgcd(1 260, 54) , qui est également déterminé par l'algorithme d'Euclide : 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Alors pgcd(1 260, 54)=18 , d'où LCM(1 260, 54)= 1 260 54:pgcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Soit m 3 \u003d 3 780.

Reste à trouver m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pour ce faire, on trouve PGCD(3 780, 250) en utilisant l'algorithme d'Euclide : 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Donc, pgcd(3 780, 250)=10 , d'où pgcd(3 780, 250)= 3 780 250:pgcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Soit m 4 \u003d 94 500.

Ainsi, le plus petit multiple commun des quatre nombres originaux est 94 500.

Réponse:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

Dans de nombreux cas, le plus petit multiple commun de trois nombres ou plus est facilement trouvé en utilisant des factorisations premières de nombres donnés. Dans ce cas, la règle suivante doit être suivie. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit, qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre sont ajoutés à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement de le troisième nombre est ajouté aux facteurs obtenus, et ainsi de suite.

Considérons un exemple de recherche du plus petit commun multiple en utilisant la décomposition de nombres en facteurs premiers.

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple de cinq nombres 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

La solution.

Premièrement, on obtient les développements de ces nombres en facteurs premiers : 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 facteurs premiers) et 143=11 13 .

Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2 , 2 , 3 et 7 ) vous devez ajouter les facteurs manquants de l'expansion du deuxième nombre 6 . Le développement du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque 2 et 3 sont déjà présents dans le développement du premier nombre 84 . En plus des facteurs 2 , 2 , 3 et 7 , nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 du développement du troisième nombre 48 , nous obtenons un ensemble de facteurs 2 , 2 , 2 , 2 , 3 et 7 . Il n'est pas nécessaire d'ajouter des facteurs à cet ensemble à l'étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2 , 2 , 2 , 2 , 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 du développement du nombre 143 . On obtient le produit 2 2 2 2 3 7 11 13 , qui est égal à 48 048 .