Qu'est-ce qu'un dérivé ?
Définition et signification d'une fonction dérivée

Beaucoup seront surpris par la place inattendue de cet article dans le cours de mon auteur sur la dérivée d’une fonction d’une variable et ses applications. Après tout, comme depuis l'école : le manuel standard donne d'abord la définition d'une dérivée, sa signification géométrique, mécanique. Ensuite, les étudiants trouvent les dérivées des fonctions par définition et, en fait, ce n'est qu'alors qu'ils perfectionnent la technique de différenciation en utilisant tables dérivées.

Mais de mon point de vue, l'approche suivante est plus pragmatique : tout d'abord, il convient de BIEN COMPRENDRE limite d'une fonction, et en particulier, quantités infinitésimales. Le fait est que la définition de dérivé est basée sur la notion de limite, ce qui est mal pris en compte dans le cursus scolaire. C'est pourquoi une partie importante des jeunes consommateurs du granite du savoir ne comprend pas l'essence même du dérivé. Ainsi, si vous avez peu de connaissances en calcul différentiel ou si un cerveau avisé a réussi à se débarrasser de ce bagage au fil des années, commencez par limites de fonction. En même temps, maîtrisez/mémorisez leur solution.

Le même sens pratique veut qu'il soit avantageux d'abord apprendre à trouver des dérivés, y compris dérivées de fonctions complexes. La théorie reste la théorie, mais, comme on dit, il faut toujours faire la différence. À cet égard, il est préférable de suivre les leçons de base énumérées, et peut-être maître de la différenciation sans même se rendre compte de l'essence de leurs actes.

Je recommande de commencer par les documents de cette page après avoir lu l'article. Les problèmes les plus simples avec les dérivés, où l'on considère notamment le problème de la tangente au graphe d'une fonction. Mais tu peux attendre. Le fait est que de nombreuses applications de la dérivée ne nécessitent pas de compréhension, et il n'est pas surprenant que la leçon théorique soit apparue assez tard - alors que j'avais besoin d'expliquer trouver des intervalles croissants/décroissants et des extrema les fonctions. De plus, il était sur le sujet depuis assez longtemps. Fonctions et graphiques», jusqu'à ce que je décide finalement de le mettre plus tôt.

Par conséquent, chers théières, ne vous précipitez pas pour absorber l’essence du dérivé comme des animaux affamés, car la saturation sera insipide et incomplète.

Le concept d'augmentation, de diminution, de maximum, de minimum d'une fonction

De nombreux manuels introduisent le concept de dérivées à l’aide de quelques problèmes pratiques, et j’ai également trouvé un exemple intéressant. Imaginez que nous sommes sur le point de nous rendre dans une ville accessible de différentes manières. Laissons immédiatement de côté les chemins sinueux et courbes et considérons uniquement les autoroutes droites. Cependant, les directions en ligne droite sont également différentes : vous pouvez accéder à la ville par une autoroute fluide. Ou le long d'une autoroute vallonnée - de haut en bas, de haut en bas. Une autre route ne fait que monter, et une autre descend tout le temps. Les amateurs de l'extrême choisiront un itinéraire à travers une gorge avec une falaise abrupte et une montée raide.

Mais quelles que soient vos préférences, il est conseillé de connaître la zone ou au moins d'en avoir une carte topographique. Que se passe-t-il si ces informations manquent ? Après tout, vous pouvez choisir, par exemple, un chemin lisse, mais tomber sur une piste de ski avec des Finlandais joyeux. Ce n’est pas un fait qu’un navigateur ou même une image satellite fournira des données fiables. Il serait donc bien de formaliser le relief du chemin à l'aide des mathématiques.

Regardons une route (vue latérale) :

Au cas où, je vous rappelle un fait élémentaire : les voyages, ça se passe de gauche à droite. Pour simplifier, nous supposons que la fonction continu dans la zone considérée.

Quelles sont les caractéristiques de ce graphique ?

À intervalles fonction augmente, c'est-à-dire chaque valeur suivante de celui-ci plus le précédent. En gros, le calendrier est respecté en bas en haut(on monte la colline). Et sur l'intervalle la fonction diminue– chaque valeur suivante moins précédent, et notre emploi du temps est en cours de haut en bas(on descend la pente).

Faisons également attention aux points particuliers. Au point où nous arrivons maximum, c'est existe une telle section du chemin où la valeur sera la plus grande (la plus élevée). Au même moment, il est atteint le minimum, Et existe son quartier dans lequel la valeur est la plus petite (la plus basse).

Nous examinerons une terminologie et des définitions plus strictes en classe. à propos des extrema de la fonction, mais pour l'instant étudions une autre fonctionnalité importante : les intervalles la fonction augmente, mais elle augmente à des vitesses différentes. Et la première chose qui attire l'attention, c'est que le graphique s'envole pendant l'intervalle beaucoup plus cool, que sur l'intervalle . Est-il possible de mesurer la pente d’une route à l’aide d’outils mathématiques ?

Taux de changement de fonction

L'idée est la suivante : prenons une certaine valeur (lire "delta x"), que nous appellerons incrément d'argument, et commençons à « l’essayer » à différents points de notre chemin :

1) Regardons le point le plus à gauche : en passant la distance, on monte la pente jusqu'à une hauteur (ligne verte). La quantité s'appelle incrément de fonction, et dans ce cas cet incrément est positif (la différence des valeurs le long de l'axe est supérieure à zéro). Créons un ratio qui sera une mesure de la pente de notre route. Évidemment, il s’agit d’un nombre très spécifique, et puisque les deux incréments sont positifs, alors .

Attention! Les désignations sont UN symbole, c'est-à-dire que vous ne pouvez pas « arracher » le « delta » du « X » et considérer ces lettres séparément. Bien entendu, le commentaire concerne également le symbole d'incrément de fonction.

Explorons de manière plus significative la nature de la fraction résultante. Soyons d'abord à une hauteur de 20 mètres (au point noir gauche). Après avoir parcouru la distance de mètres (ligne rouge de gauche), nous nous retrouverons à une altitude de 60 mètres. Alors l’incrément de la fonction sera mètres (ligne verte) et : . Ainsi, à chaque mètre cette section de la route la hauteur augmente moyenne par 4 mètres...vous avez oublié votre matériel d'escalade ? =) En d'autres termes, la relation construite caractérise le TAUX MOYEN DE CHANGEMENT (dans ce cas, la croissance) de la fonction.

Note : Les valeurs numériques de l'exemple en question ne correspondent qu'approximativement aux proportions du dessin.

2) Parcourons maintenant la même distance à partir du point noir le plus à droite. Ici, la montée est plus progressive, donc l'augmentation (ligne cramoisie) est relativement faible, et le rapport par rapport au cas précédent sera très modeste. Relativement parlant, les mètres et taux de croissance des fonctions est . Autrement dit, ici, pour chaque mètre du chemin, il y a moyenne un demi-mètre de montée.

3) Une petite aventure à flanc de montagne. Regardons le point noir supérieur situé sur l'axe des ordonnées. Supposons qu'il s'agisse de la barre des 50 mètres. Nous surmontons à nouveau la distance, ce qui nous fait tomber plus bas - au niveau de 30 mètres. Puisque le mouvement s'effectue de haut en bas(dans le sens « contre » de l'axe), puis le final l'incrément de la fonction (hauteur) sera négatif: mètres (segment marron sur le dessin). Et dans ce cas, nous parlons déjà de taux de diminution Caractéristiques: , c'est-à-dire que pour chaque mètre de trajet de cette section, la hauteur diminue moyenne de 2 mètres. Prenez soin de vos vêtements au cinquième point.

Posons-nous maintenant la question : quelle valeur de « l'étalon de mesure » est-il préférable d'utiliser ? C’est tout à fait compréhensible, 10 mètres, c’est très dur. Une bonne douzaine de buttes peuvent facilement s'y installer. Quelles que soient les bosses, il peut y avoir une gorge profonde en contrebas, et après quelques mètres se trouve l'autre côté avec une montée encore plus raide. Ainsi, avec une dizaine de mètres, nous n'obtiendrons pas une description intelligible de telles sections du chemin à travers le rapport .

De la discussion ci-dessus, la conclusion suivante découle : plus la valeur est basse, plus nous décrivons avec précision la topographie de la route. De plus, les faits suivants sont vrais :

– Pour tout le monde points de levage vous pouvez sélectionner une valeur (même si elle est très petite) qui correspond aux limites d'une augmentation particulière. Cela signifie que l'incrément de hauteur correspondant sera garanti positif et que l'inégalité indiquera correctement la croissance de la fonction en chaque point de ces intervalles.

- De même, pour toute point de pente, il existe une valeur qui s'adaptera complètement à cette pente. Par conséquent, l'augmentation de hauteur correspondante est clairement négative, et l'inégalité montrera correctement la diminution de la fonction en chaque point de l'intervalle donné.

– Un cas particulièrement intéressant est celui où le taux de variation de la fonction est nul : . Premièrement, un incrément de hauteur nul () est le signe d'un chemin fluide. Et deuxièmement, il existe d’autres situations intéressantes, dont vous voyez des exemples sur la figure. Imaginez que le destin nous amène tout en haut d'une colline avec des aigles planant ou au fond d'un ravin avec des grenouilles qui coassent. Si vous faites un petit pas dans n'importe quelle direction, le changement de hauteur sera négligeable et on peut dire que le taux de changement de la fonction est en réalité nul. C'est exactement l'image observée aux points.

Ainsi, nous avons eu une formidable opportunité de caractériser avec une parfaite précision le taux de changement d’une fonction. Après tout, l'analyse mathématique permet d'orienter l'incrément de l'argument vers zéro : , c'est-à-dire de le faire infinitésimal.

Du coup, une autre question logique se pose : est-il possible de connaître la route et son horaire une autre fonction, lequel nous le ferait savoir sur toutes les sections plates, les montées, les descentes, les sommets, les vallées, ainsi que le taux de croissance/diminution à chaque point du parcours ?

Qu'est-ce qu'un dérivé ? Définition du dérivé.
Signification géométrique de la dérivée et du différentiel

Veuillez lire attentivement et pas trop rapidement - le matériel est simple et accessible à tous ! Ce n’est pas grave si à certains endroits quelque chose ne semble pas très clair, vous pourrez toujours revenir à l’article plus tard. J'en dirai plus, il est utile d'étudier la théorie plusieurs fois afin d'en comprendre bien tous les points (le conseil est particulièrement pertinent pour les étudiants « techniques », pour qui les mathématiques supérieures jouent un rôle important dans le processus éducatif).

Naturellement, dans la définition même de la dérivée en un point on la remplace par :

Où en sommes-nous arrivés ? Et nous sommes arrivés à la conclusion que pour la fonction conforme à la loi est mis en conformité autre fonction, qui est appelée fonction dérivée(ou simplement dérivé).

La dérivée caractérise taux de changement les fonctions Comment? L’idée fonctionne comme un fil rouge dès le début de l’article. Considérons un point domaine de définition les fonctions Soit la fonction dérivable en un point donné. Alors:

1) Si , alors la fonction augmente au point . Et évidemment il y a intervalle(même très petit), contenant un point auquel la fonction grandit, et son graphique va « de bas en haut ».

2) Si , alors la fonction diminue au point . Et il y a un intervalle contenant un point auquel la fonction diminue (le graphique va de « haut en bas »).

3) Si , alors infiniment proche près d'un point, la fonction maintient sa vitesse constante. Cela se produit, comme indiqué, avec une fonction constante et aux points critiques de la fonction, en particulier aux points minimum et maximum.

Un peu de sémantique. Que signifie le verbe « différencier » au sens large ? Différencier signifie mettre en évidence une caractéristique. En différenciant une fonction, on « isole » le taux de sa variation sous la forme d'une dérivée de la fonction. Au fait, que signifie le mot « dérivé » ? Fonction arrivé de la fonction.

Les termes sont interprétés avec beaucoup de succès par le sens mécanique de la dérivée :
Considérons la loi de changement des coordonnées d'un corps, en fonction du temps, et la fonction de la vitesse de déplacement d'un corps donné. La fonction caractérise le taux de changement des coordonnées du corps, c'est donc la dérivée première de la fonction par rapport au temps : . Si le concept de « mouvement du corps » n’existait pas dans la nature, alors il n’y aurait pas dérivé concept de « vitesse du corps ».

L'accélération d'un corps est le taux de changement de vitesse, donc : . Si les concepts initiaux de « mouvement du corps » et de « vitesse du corps » n’existaient pas dans la nature, alors il n’existerait pas dérivé concept d’« accélération du corps ».

Le calcul de la dérivée se retrouve souvent dans les tâches de l'examen d'État unifié. Cette page contient une liste de formules pour trouver des dérivées.

Règles de différenciation

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Dérivée d'une fonction complexe. Si y=F(u) et u=u(x), alors la fonction y=f(x)=F(u(x)) est appelée une fonction complexe de x. Égal à y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Dérivée d'une fonction implicite. La fonction y=f(x) est appelée fonction implicite définie par la relation F(x,y)=0 si F(x,f(x))≡0.
6. Dérivée de la fonction inverse. Si g(f(x))=x, alors la fonction g(x) est appelée la fonction inverse de la fonction y=f(x).
7. Dérivée d'une fonction définie paramétriquement. Soit x et y spécifiés comme fonctions de la variable t : x=x(t), y=y(t). On dit que y=y(x) est une fonction définie paramétriquement sur l'intervalle x∈ (a;b), si sur cet intervalle l'équation x=x(t) peut être exprimée comme t=t(x) et la fonction y=y(t(x))=y(x).
8. Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle. Trouvé en prenant les logarithmes à la base du logarithme népérien.

Nous vous conseillons de sauvegarder le lien, car ce tableau peut être nécessaire plusieurs fois.

Lors de la résolution de divers problèmes de géométrie, de mécanique, de physique et d'autres branches de la connaissance, le besoin s'est fait sentir d'utiliser le même processus analytique à partir de cette fonction. y=f(x) obtenir une nouvelle fonction appelée fonction dérivée(ou simplement dérivée) d'une fonction donnée f(x) et est désigné par le symbole

Le processus par lequel, à partir d'une fonction donnée f(x) obtenir une nouvelle fonctionnalité f" (x), appelé différenciation et il comprend les trois étapes suivantes : 1) donner l'argument X incrément  X et déterminer l'incrément correspondant de la fonction  y = f(x+ x) -f(x); 2) établir une relation

3) compter X constante et  X0, on trouve
, que nous désignons par f" (x), comme pour souligner que la fonction résultante dépend uniquement de la valeur X, à laquelle nous allons à la limite. Définition: Dérivée y " =f " (x) fonction donnée y=f(x) pour un x donné est appelée la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, à condition que l'incrément de l'argument tende vers zéro, si, bien entendu, cette limite existe, c'est-à-dire fini. Ainsi,
, ou

Notez que si pour une certaine valeur X, par exemple quand x=une, attitude
à  X0 ne tend pas vers la limite finie, alors dans ce cas on dit que la fonction f(x)à x=une(ou au point x=une) n’a pas de dérivée ou n’est pas différentiable au point x=une.

2. Signification géométrique de la dérivée.

Considérons le graphique de la fonction y = f (x), différentiable au voisinage du point x 0

f(x)

Considérons une ligne droite arbitraire passant par un point du graphique d'une fonction - point A(x 0, f (x 0)) et coupant le graphique en un point B(x;f(x)). Une telle ligne (AB) est appelée sécante. De ∆ABC : ​​AC = ∆x ; ВС =∆у ; tgβ=∆y/∆x.

Depuis AC || Ox, alors ALO = BAC = β (comme correspondant au parallèle). Mais ALO est l'angle d'inclinaison de la sécante AB par rapport à la direction positive de l'axe Ox. Cela signifie que tanβ = k est la pente de la droite AB.

Nous allons maintenant réduire ∆x, c'est-à-dire ∆х→ 0. Dans ce cas, le point B s'approchera du point A selon le graphique et la sécante AB tournera. La position limite de la sécante AB en ∆x→ 0 sera une droite (a), appelée tangente au graphique de la fonction y = f (x) au point A.

Si on va à la limite quand ∆x → 0 dans l’égalité tgβ =∆y/∆x, on obtient
ortg =f "(x 0), puisque
-angle d'inclinaison de la tangente à la direction positive de l'axe Ox
, par définition d'un dérivé. Mais tg = k est le coefficient angulaire de la tangente, ce qui signifie k = tg = f" (x 0).

Ainsi, la signification géométrique de la dérivée est la suivante :

Dérivée d'une fonction au point x 0 égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction tracée au point d'abscisse x 0 .

3. Signification physique du dérivé.

Considérons le mouvement d'un point le long d'une ligne droite. Soit donnée la coordonnée d'un point à tout instant x(t). On sait (d'après un cours de physique) que la vitesse moyenne sur une période de temps est égale au rapport de la distance parcourue pendant cette période de temps au temps, c'est-à-dire

Vav = ∆x/∆t. Allons à la limite de la dernière égalité comme ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - vitesse instantanée au temps t 0, ∆t → 0.

et lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (par définition de dérivée).

Donc, (t) =x"(t).

La signification physique de la dérivée est la suivante : dérivée de la fonctionoui = F(X) au pointX 0 est le taux de changement de la fonctionF(x) au pointX 0

La dérivée est utilisée en physique pour trouver la vitesse à partir d'une fonction connue des coordonnées en fonction du temps, l'accélération à partir d'une fonction connue de la vitesse en fonction du temps.

(t) = x"(t) - vitesse,

a(f) = "(t) - accélération, ou

Si la loi du mouvement d'un point matériel dans un cercle est connue, alors on peut trouver la vitesse angulaire et l'accélération angulaire pendant le mouvement de rotation :

φ = φ(t) - changement d'angle au fil du temps,

ω = φ"(t) - vitesse angulaire,

ε = φ"(t) - accélération angulaire, ou ε = φ"(t).

Si la loi de distribution de masse d'un bâtonnet inhomogène est connue, alors la densité linéaire d'un bâtonnet inhomogène peut être trouvée :

m = m(x) - masse,

x  , l - longueur de la tige,

p = m"(x) - densité linéaire.

Grâce à la dérivée, les problèmes de la théorie de l'élasticité et des vibrations harmoniques sont résolus. Donc, selon la loi de Hooke

F = -kx, x – coordonnée variable, k – coefficient d'élasticité du ressort. En mettant ω 2 =k/m, on obtient l'équation différentielle du pendule à ressort x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

où ω = √k/√m fréquence d'oscillation (l/c), k - rigidité du ressort (H/m).

Une équation de la forme y" + ω 2 y = 0 est appelée l'équation des oscillations harmoniques (mécaniques, électriques, électromagnétiques). La solution de ces équations est la fonction

y = Asin(ωt + φ 0) ou y = Acos(ωt + φ 0), où

A - amplitude des oscillations, ω - fréquence cyclique,

φ 0 - phase initiale.

Application

Résoudre la dérivée sur le site pour consolider la matière couverte par les étudiants et les écoliers. Calculer la dérivée d'une fonction en quelques secondes ne semble pas difficile si vous utilisez notre service de résolution de problèmes en ligne. Un étudiant sur trois sera en mesure de fournir une analyse détaillée d'une étude approfondie lors d'un cours pratique. Nous sommes souvent contactés par le département compétent pour la promotion des mathématiques dans les établissements d'enseignement du pays. Dans ce cas, comment ne pas évoquer la résolution en ligne de la dérivée pour un espace fermé de suites de nombres ? De nombreuses personnes fortunées ont le droit d’exprimer leur perplexité. Mais en attendant, les mathématiciens ne restent pas immobiles et travaillent beaucoup. Le calculateur de dérivée acceptera les modifications des paramètres d'entrée basées sur des caractéristiques linéaires principalement dues à la suprématie des positions descendantes des cubes. Le résultat est aussi inévitable que la surface. En tant que données initiales, les dérivés en ligne éliminent le besoin de prendre des mesures inutiles. Sauf pour les tâches ménagères fictives. Outre le fait que la résolution de dérivées en ligne est un aspect nécessaire et important de l’apprentissage des mathématiques, les élèves ne se souviennent souvent pas des problèmes du passé. L'étudiant, étant une créature paresseuse, comprend cela. Mais les étudiants sont des gens drôles ! Soit vous le faites selon les règles, soit la dérivée d'une fonction dans un plan incliné peut conférer une accélération à un point matériel. Dirigons le vecteur du rayon spatial vers le bas quelque part. Dans la réponse demandée, trouver la dérivée semble être une direction théorique abstraite en raison de l'instabilité du système mathématique. Considérons une relation numérique comme une séquence d'options inutilisées. Le canal de communication a été reconstitué par une cinquième ligne le long d'un vecteur décroissant à partir du point de bifurcation fermée du cube. Sur le plan des espaces courbes, la résolution en ligne de la dérivée nous amène à une conclusion qui a fait réfléchir les plus grands esprits de la planète au siècle dernier. Au cours des événements dans le domaine des mathématiques, cinq facteurs d'une importance fondamentale ont été portés au débat public qui contribuent à améliorer la position de la sélection des variables. Ainsi, la loi des points stipule que la dérivée en ligne n'est pas calculée en détail dans tous les cas, la seule exception étant un moment loyalement progressif. Les prévisions nous ont amenés à une nouvelle étape de développement. Nous avons besoin de résultats. Dans la ligne de pente mathématique passée sous la surface, le calculateur de dérivée de mode est situé dans la zone d'intersection des produits sur l'ensemble de pliage. Reste à analyser la différenciation de la fonction en son point indépendant proche du voisinage epsilon. Tout le monde peut le vérifier dans la pratique. En conséquence, il y aura quelque chose à décider lors de la prochaine étape de programmation. L’étudiant a comme toujours besoin du dérivé en ligne, quelle que soit la recherche imaginaire pratiquée. Il s'avère que la solution de la dérivée en ligne multipliée par une constante ne change pas la direction générale du mouvement du point matériel, mais caractérise l'augmentation de la vitesse le long d'une ligne droite. En ce sens, il sera utile d'utiliser notre calculateur de dérivée et de calculer toutes les valeurs de la fonction sur l'ensemble de sa définition. Il n’est pas nécessaire d’étudier les ondes de force du champ gravitationnel. En aucun cas, la résolution des dérivées en ligne ne montrera l'inclinaison du rayon sortant, mais ce n'est que dans de rares cas, lorsque cela est vraiment nécessaire, que les étudiants universitaires peuvent l'imaginer. Enquêtons sur le principal. La valeur du plus petit rotor est prévisible. Appliquez au résultat des lignes regardant vers la droite, le long desquelles la balle est décrite, mais le calculateur de dérivée en ligne constitue la base de figures de force particulière et de dépendance non linéaire. Le rapport du projet de mathématiques est prêt. Caractéristiques personnelles : la différence entre les plus petits nombres et la dérivée d'une fonction le long de l'axe des ordonnées amènera la concavité de la même fonction à la hauteur. Il y a une direction – il y a une conclusion. Il est plus facile de mettre la théorie en pratique. Les étudiants ont une proposition concernant le moment du début de l'étude. Besoin d'une réponse d'un professeur. Encore une fois, comme pour la position précédente, le système mathématique n'est pas régulé sur la base d'une action qui aidera à trouver la dérivée. Comme la version semi-linéaire inférieure, la dérivée en ligne indiquera en détail l'identification de la solution selon la loi conditionnelle dégénérée. L'idée de calculer des formules vient d'être avancée. La différenciation linéaire d’une fonction détourne la vérité de la solution vers la simple présentation de variations positives non pertinentes. L'importance des signes de comparaison sera considérée comme une rupture continue de la fonction le long de l'axe. C'est là l'importance de la conclusion la plus consciente, selon l'étudiant, dans laquelle la dérivée en ligne est autre chose qu'un fidèle exemple d'analyse mathématique. Le rayon d'un cercle courbe dans l'espace euclidien, au contraire, donnait au calculateur de dérivées une représentation naturelle de l'échange de problèmes décisifs pour la stabilité. La meilleure méthode a été trouvée. Il était plus facile de faire passer la tâche à un niveau supérieur. Laissez l'applicabilité de la proportion de différence indépendante conduire à la solution des dérivées en ligne. La solution tourne autour de l’axe des abscisses, décrivant la figure d’un cercle. Il existe une issue, et elle s'appuie sur des recherches théoriquement soutenues par des étudiants universitaires, à partir desquelles tout le monde étudie, et même à ces moments-là, il existe une dérivée de la fonction. Nous avons trouvé une voie de progression et les élèves l'ont confirmé. Nous pouvons nous permettre de trouver la dérivée sans aller au-delà de l’approche non naturelle consistant à transformer le système mathématique. Le signe de proportionnalité gauche grandit avec la séquence géométrique en tant que représentation mathématique d'un calculateur de dérivées en ligne en raison de la circonstance inconnue des facteurs linéaires sur l'ordonnée infinie. Les mathématiciens du monde entier ont prouvé le caractère exceptionnel du processus de production. Il y a un plus petit carré à l'intérieur d'un cercle selon la description de la théorie. Encore une fois, le dérivé en ligne exprimera en détail notre hypothèse sur ce qui pourrait influencer en premier lieu l’opinion théoriquement raffinée. Il y avait des opinions de nature différente de celle du rapport analysé que nous avons fourni. Une attention particulière n'est peut-être pas accordée aux étudiants de nos facultés, mais pas aux mathématiciens intelligents et technologiquement avancés, pour qui la différenciation d'une fonction n'est qu'un prétexte. La signification mécanique de la dérivée est très simple. La force de levage est calculée comme la dérivée en ligne pour des espaces stables descendant vers le haut dans le temps. Le calculateur de dérivée évidente est un processus rigoureux pour décrire le problème de la dégénérescence d'une transformation artificielle en corps amorphe. La dérivée première indique un changement dans le mouvement d’un point matériel. L'espace tridimensionnel est évidemment observé dans le contexte de technologies spécialement conçues pour résoudre des dérivées en ligne ; en fait, c'est le cas dans chaque colloque sur le thème d'une discipline mathématique. La dérivée seconde caractérise l'évolution de la vitesse d'un point matériel et détermine l'accélération. L'approche méridienne basée sur l'utilisation de la transformation affine fait passer la dérivée d'une fonction en un point du domaine de définition de cette fonction à un nouveau niveau. Un calculateur de dérivées en ligne ne peut exister sans nombres et notations symboliques dans certains cas pour le bon moment exécutable, en plus de l'agencement transformable des éléments dans la tâche. Étonnamment, il se produit une seconde accélération du point matériel, ce qui caractérise le changement d'accélération. Dans peu de temps, nous commencerons à étudier la résolution de la dérivée en ligne, mais dès qu'un certain jalon de connaissances sera atteint, notre étudiant mettra ce processus en pause. La meilleure façon d’établir des contacts est de communiquer en direct sur un sujet mathématique. Il existe des principes qui ne peuvent en aucun cas être violés, quelle que soit la difficulté de la tâche à accomplir. Il est utile de trouver le dérivé en ligne à temps et sans erreurs. Cela conduira à une nouvelle position de l’expression mathématique. Le système est stable. La signification physique du dérivé n'est pas aussi populaire que la signification mécanique. Il est peu probable que quiconque se souvienne de la manière dont la dérivée en ligne a affiché en détail sur le plan le contour des lignes de fonction dans la normale à partir du triangle adjacent à l'axe des abscisses. L'homme mérite un rôle majeur dans la recherche du siècle dernier. Différencions la fonction aux points à la fois du domaine de définition et à l'infini en trois étapes élémentaires. Il sera sous forme écrite uniquement dans le domaine de la recherche, mais il peut remplacer le vecteur principal en mathématiques et en théorie des nombres, dès que ce qui se passe relie le calculateur de dérivée en ligne au problème. S’il y avait une raison, il y aurait une raison de créer une équation. Il est très important de garder à l’esprit tous les paramètres d’entrée. Le meilleur n’est pas toujours accepté de front ; derrière cela se cache un nombre colossal des meilleurs esprits qui savaient comment se calcule la dérivée en ligne dans l’espace. Depuis lors, la convexité est considérée comme une propriété d’une fonction continue. Néanmoins, il est préférable de se fixer d'abord la tâche de résoudre les dérivés en ligne dans les plus brefs délais. La solution sera donc complète. Hormis les normes non respectées, cela n’est pas considéré comme suffisant. Dans un premier temps, presque tous les étudiants proposent de proposer une méthode simple pour expliquer comment la dérivée d'une fonction provoque un algorithme d'augmentation controversé. Dans la direction du faisceau ascendant. Cela a du sens en tant que proposition générale. Auparavant, nous marquions le début de l’achèvement d’une opération mathématique spécifique, mais aujourd’hui ce sera l’inverse. Peut-être que la résolution de la dérivée en ligne soulèvera à nouveau la question et que nous adopterons une opinion commune pour la préserver lors de la discussion lors de la réunion des enseignants. Nous espérons la compréhension de tous les côtés des participants à la réunion. Le sens logique réside dans la description du calculateur de dérivée dans la résonance des nombres sur la séquence de présentation de la pensée du problème, auquel les grands scientifiques du monde ont répondu au siècle dernier. Il vous aidera à extraire une variable complexe d'une expression transformée et à trouver la dérivée en ligne pour effectuer une action massive du même type. La vérité vaut bien mieux que les suppositions. Valeur la plus basse de la tendance. Le résultat ne se fera pas attendre en utilisant un service unique de détermination précise, pour lequel il existe une essence du dérivé en ligne en détail. Indirectement, mais pertinent, comme l'a dit un sage, un calculateur de dérivés en ligne a été créé à la demande de nombreux étudiants de différentes villes du syndicat. S’il y a une différence, alors pourquoi décider deux fois. Le vecteur donné se trouve du même côté que la normale. Au milieu du siècle dernier, la différenciation des fonctions n’était pas du tout perçue comme elle l’est aujourd’hui. Grâce aux développements en cours, les mathématiques en ligne sont apparues. Au fil du temps, les élèves oublient d’accorder le crédit qui leur est dû aux matières mathématiques. La résolution de la dérivée en ligne remettra en question notre thèse fondée à juste titre sur l’application de la théorie soutenue par des connaissances pratiques. Cela ira au-delà de la valeur existante du facteur de présentation et nous écrirons la formule sous une forme explicite pour la fonction. Il arrive que vous deviez trouver immédiatement un dérivé en ligne sans utiliser de calculatrice, cependant, vous pouvez toujours recourir à une astuce d'étudiant et toujours utiliser un service tel qu'un site Web. Ainsi, l'étudiant gagnera beaucoup de temps en copiant les exemples du cahier brouillon vers la forme finale. S'il n'y a pas de contradictions, utilisez le service étape par étape pour résoudre des exemples aussi complexes.

La dérivée est le concept le plus important en analyse mathématique. Il caractérise le changement de fonction de l'argument Xà un moment donné. De plus, la dérivée elle-même est fonction de l’argument X

Dérivée d'une fonction en un point est la limite (si elle existe et est finie) du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, à condition que ce dernier tende vers zéro.

Les plus couramment utilisés sont les suivants notation dérivée :

Exemple 1. Prendre l'avantage définition du dérivé, trouver la dérivée de la fonction

Solution. De la définition de la dérivée découle le schéma suivant pour son calcul.

Donnons à l'argument un incrément (delta) et trouvons l'incrément de la fonction :

Trouvons le rapport entre l'incrément de fonction et l'incrément d'argument :

Calculons la limite de ce rapport à condition que l'incrément de l'argument tende vers zéro, c'est-à-dire la dérivée requise dans l'énoncé du problème :

Signification physique du dérivé

À concept de dérivé a conduit à l'étude de Galileo Galilei sur la loi de la chute libre des corps et, dans un sens plus large, sur le problème de la vitesse instantanée du mouvement rectiligne non uniforme d'un point.

Laissez le caillou être soulevé puis libéré du repos. Chemin s parcouru dans le temps t, est une fonction du temps, c'est-à-dire. s = s(t). Si la loi du mouvement d'un point est donnée, alors la vitesse moyenne pour n'importe quelle période de temps peut être déterminée. Qu'à ce moment le caillou soit dans la position UN, et pour le moment - en position B. Sur une période de temps (depuis tà ) le point a dépassé le chemin . Par conséquent, la vitesse moyenne de déplacement sur cette période de temps, que nous désignons par , est

.

Cependant, le mouvement d’un corps en chute libre est clairement inégal. Vitesse v la chute est en constante augmentation. Et la vitesse moyenne ne suffit plus à caractériser la vitesse de déplacement sur les différents tronçons du parcours. Plus la période est courte, plus cette caractéristique est précise. Par conséquent, le concept suivant est introduit : la vitesse instantanée du mouvement rectiligne (ou la vitesse à un instant donné t) est appelée limite de vitesse moyenne à :

(à condition que cette limite existe et soit finie).

Il s'avère donc que la vitesse instantanée est la limite du rapport de l'incrément de la fonction s(t) à l'incrément de l'argument tà C'est la dérivée, qui sous sa forme générale s'écrit comme suit :.

.

La solution au problème indiqué est signification physique du dérivé . Donc la dérivée de la fonction y = f(X) au point X s'appelle la limite (si elle existe et est finie) de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, à condition que ce dernier tende vers zéro.

Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. De la définition de la dérivée découle le schéma suivant pour son calcul.

Étape 1. Incrémentons l'argument et trouvons

Étape 2. Recherchez l'incrément de la fonction :

Étape 3. Trouvez le rapport entre l'incrément de fonction et l'incrément d'argument :

Étape 4. Calculez la limite de ce rapport en , c'est-à-dire la dérivée :

Signification géométrique de la dérivée

Laissez la fonction être définie sur un intervalle et laissez le point M sur le graphe de fonction correspond à la valeur de l'argument, et le point R.- signification. Passons en revue les points M Et R. ligne droite et appelle-la sécante. Désignons par l'angle entre la sécante et l'axe. Évidemment, cet angle dépend de .

Si existe

le passage par le point est appelé position limite de la sécante Mà (ou à ).

Tangente au graphique d'une fonction en un point M appelée position limite de la sécante Mà , ou, ce qui est le même à .

De la définition il résulte que pour l'existence d'une tangente il suffit qu'il y ait une limite

,

et la limite est égale à l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe.

Donnons maintenant une définition précise d'une tangente.

Tangente au graphique d'une fonction en un point est une droite passant par le point et ayant une pente, c'est-à-dire droite dont l'équation

De cette définition il résulte que dérivée d'une fonction est égal à la pente de la tangente au graphique de cette fonction au point en abscisse X. C'est la signification géométrique de la dérivée.