Cube à quatre dimensions. Le blog de la femme idéale

En géométrie hypercube- Ce n-analogie dimensionnelle d'un carré ( n= 2) et le cube ( n= 3). Il s'agit d'une figure convexe fermée constituée de groupes de lignes parallèles situées sur les bords opposés de la figure et reliées les unes aux autres à angle droit.

Ce chiffre est également connu sous le nom tesseract(tesseract). Le tesseract est au cube ce que le cube est au carré. Plus formellement, un tesseract peut être décrit comme un polytope quadridimensionnel convexe régulier (polyèdre) dont la limite est constituée de huit cellules cubiques.

Selon l'Oxford English Dictionary, le mot « tesseract » a été inventé en 1888 par Charles Howard Hinton et utilisé dans son livre « A New Era of Thought ». Le mot est dérivé du grec « τεσσερες ακτινες » (« quatre rayons »), sous la forme de quatre axes de coordonnées. De plus, dans certaines sources, le même chiffre était appelé tétracube(tétracube).

n-l'hypercube dimensionnel est également appelé n-cube.

Un point est un hypercube de dimension 0. Si vous déplacez le point d'une unité de longueur, vous obtenez un segment d'unité de longueur - un hypercube de dimension 1. De plus, si vous déplacez le segment d'une unité de longueur dans une direction perpendiculaire dans la direction du segment, vous obtenez un cube - un hypercube de dimension 2. En décalant le carré d'une unité de longueur dans la direction perpendiculaire au plan du carré, vous obtenez un cube - un hypercube de dimension 3. Ce processus peut être généralisé à un nombre quelconque de dimensions. Par exemple, si vous déplacez un cube d’une unité de longueur dans la quatrième dimension, vous obtenez un tesseract.

La famille des hypercubes est l'un des rares polyèdres réguliers pouvant être représenté dans n'importe quelle dimension.

Éléments d'un hypercube

Hypercube dimensionnel n a 2 n« côtés » (une ligne à une dimension a 2 points ; un carré à deux dimensions a 4 côtés ; un cube à trois dimensions a 6 faces ; un tesseract à quatre dimensions a 8 cellules). Le nombre de sommets (points) d'un hypercube est 2 n(par exemple, pour un cube - 2 3 sommets).

Quantité m hypercubes dimensionnels sur la frontière n-cube est égal

Par exemple, aux limites d’un hypercube, il y a 8 cubes, 24 carrés, 32 arêtes et 16 sommets.

Éléments d'hypercubes

n-cube	Nom	Sommet (0-visage)	Bord (1 face)	Bord (2 faces)	Cellule (3 faces)	(4 faces)	(5 faces)	(6 faces)	(7 faces)	(8 faces)
0-cube	Point	1
1 cube	Segment de ligne	2	1
2 cubes	Carré	4	4	1
3 cubes	cube	8	12	6	1
4 cubes	Tesseract	16	32	24	8	1
5 cubes	Pentecôtre	32	80	80	40	10	1
6 cubes	Hexérat	64	192	240	160	60	12	1
7 cubes	Heptact	128	448	672	560	280	84	14	1
8 cubes	Octérat	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9 cubes	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Projection sur un avion

La formation d’un hypercube peut être représentée de la manière suivante :

• Deux points A et B peuvent être connectés pour former un segment de droite AB.
• Deux segments parallèles AB et CD peuvent être connectés pour former un carré ABCD.
• Deux carrés parallèles ABCD et EFGH peuvent être connectés pour former un cube ABCDEFGH.
• Deux cubes parallèles ABCDEFGH et IJKLMNOP peuvent être connectés pour former l'hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.

Cette dernière structure n'est pas facile à visualiser, mais il est possible de représenter sa projection dans un espace bidimensionnel ou tridimensionnel. De plus, les projections sur un plan bidimensionnel peuvent être plus utiles en permettant de réorganiser les positions des sommets projetés. Dans ce cas, il est possible d'obtenir des images qui ne reflètent plus les relations spatiales des éléments au sein du tesseract, mais illustrent la structure des connexions des sommets, comme dans les exemples ci-dessous.

La première illustration montre comment, en principe, un tesseract est formé en joignant deux cubes. Ce schéma est similaire au schéma permettant de créer un cube à partir de deux carrés. Le deuxième diagramme montre que tous les bords du tesseract ont la même longueur. Ce schéma vous oblige également à rechercher des cubes connectés les uns aux autres. Dans le troisième diagramme, les sommets du tesseract sont situés en fonction des distances le long des faces par rapport au point bas. Ce schéma est intéressant car il est utilisé comme schéma de base pour la topologie de réseau des processeurs connectés lors de l'organisation du calcul parallèle : la distance entre deux nœuds quelconques ne dépasse pas 4 longueurs de bord et il existe de nombreux chemins différents pour équilibrer la charge.

L'hypercube dans l'art

L'hypercube est apparu dans la littérature de science-fiction depuis 1940, lorsque Robert Heinlein, dans l'histoire « Et il a construit une maison tordue », a décrit une maison construite sous la forme d'un scan tesseract. Dans l'histoire de ce Suivant, cette maison s'effondre, se transformant en un tesseract à quatre dimensions. Après cela, l’hypercube apparaît dans de nombreux livres et nouvelles.

Le film Cube 2 : Hypercube raconte l'histoire de huit personnes piégées dans un réseau d'hypercubes.

Le tableau de Salvador Dali "Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954, représente Jésus crucifié sur un scan tesseract. Ce tableau est visible au Metropolitan Museum of Art de New York.

Conclusion

Un hypercube est l'un des objets tridimensionnels les plus simples, à partir duquel on peut voir la complexité et le caractère inhabituel de la quatrième dimension. Et ce qui semble impossible en trois dimensions est possible en quatre, par exemple des figures impossibles. Ainsi, par exemple, les barres d'un triangle impossible à quatre dimensions seront reliées à angle droit. Et cette figure ressemblera à ceci sous tous les points de vue, et ne sera pas déformée, contrairement aux implémentations d'un triangle impossible dans un espace tridimensionnel (voir.

Dès que j’ai pu donner des cours après l’opération, la première question posée par les étudiants a été :

Quand vas-tu nous dessiner un cube à 4 dimensions ? Ilyas Abdulkhaevich nous l'a promis !

Je me souviens que mes chers amis aiment parfois un moment d'activités pédagogiques mathématiques. Par conséquent, j’écrirai ici une partie de ma conférence destinée aux mathématiciens. Et je vais essayer sans être ennuyeux. À certains moments, j'ai lu la conférence de manière plus stricte, bien sûr.

Soyons d'accord d'abord. L'espace à 4 dimensions, et plus encore à 5-6-7 et généralement à k dimensions, ne nous est pas donné dans les sensations sensorielles.
«Nous sommes malheureux parce que nous ne sommes qu'en trois dimensions», comme l'a dit mon professeur de l'école du dimanche, qui m'a le premier expliqué ce qu'est un cube à quatre dimensions. L’école du dimanche était naturellement extrêmement religieuse – mathématique. Cette fois-là, nous étudiions des hyper-cubes. Une semaine avant cela, induction mathématique, une semaine après cela, cycles hamiltoniens dans les graphiques - par conséquent, nous sommes en 7e année.

Nous ne pouvons pas toucher, sentir, entendre ou voir un cube à 4 dimensions. Que pouvons-nous en faire ? On peut l'imaginer ! Parce que notre cerveau est bien plus complexe que nos yeux et nos mains.

Donc, afin de comprendre ce qu'est un cube à 4 dimensions, comprenons d'abord ce qui s'offre à nous. Qu'est-ce qu'un cube en 3 dimensions ?


OK OK! Je ne vous demande pas une définition mathématique claire. Imaginez simplement le cube tridimensionnel le plus simple et le plus ordinaire. Introduit ?

Bien.
Afin de comprendre comment généraliser un cube à 3 dimensions dans un espace à 4 dimensions, voyons ce qu'est un cube à 2 dimensions. C'est si simple : c'est un carré !

Un carré a 2 coordonnées. Le cube en a trois. Les points carrés sont des points à deux coordonnées. Le premier va de 0 à 1. Et le second va de 0 à 1. Les points du cube ont trois coordonnées. Et chacun est un nombre compris entre 0 et 1.

Il est logique d’imaginer qu’un cube à 4 dimensions est une chose qui a 4 coordonnées et que tout va de 0 à 1.

/* Il est tout de suite logique d'imaginer un cube à une dimension, qui n'est rien d'autre qu'un simple segment de 0 à 1. */

Alors attendez, comment dessiner un cube en 4 dimensions ? Après tout, nous ne pouvons pas dessiner un espace à 4 dimensions sur un plan !
Mais on ne dessine pas non plus un espace tridimensionnel sur un plan, on le dessine projection sur un plan de dessin en 2 dimensions. Nous plaçons la troisième coordonnée (z) selon un angle, en imaginant que l'axe du plan de dessin va « vers nous ».

Il est maintenant tout à fait clair comment dessiner un cube à 4 dimensions. De la même manière que nous avons positionné le troisième axe à un certain angle, prenons le quatrième axe et positionnons-le également à un certain angle.
Et voilà ! -- projection d'un cube à 4 dimensions sur un plan.

Quoi? Qu'est-ce que c'est d'ailleurs ? J'entends toujours des chuchotements dans les bureaux arrière. Laissez-moi vous expliquer plus en détail ce qu'est ce fouillis de lignes.
Regardez d'abord le cube tridimensionnel. Qu'avons-nous fait? Nous avons pris le carré et l'avons fait glisser le long du troisième axe (z). C'est comme de très nombreux carrés de papier collés ensemble dans une pile.
C'est la même chose avec un cube à 4 dimensions. Appelons le quatrième axe, par commodité et pour la science-fiction, « l'axe du temps ». Nous devons prendre un cube tridimensionnel ordinaire et le faire glisser à travers le temps, du temps « maintenant » au temps « dans une heure ».

Nous avons un cube « maintenant ». Sur la photo, il est rose.

Et maintenant, nous le faisons glisser le long du quatrième axe - le long de l'axe du temps (je l'ai montré en vert). Et nous obtenons le cube du futur - bleu.

Chaque sommet du « cube maintenant » laisse une trace dans le temps – un segment. Relier son présent à son avenir.

Bref, sans paroles : nous avons dessiné deux cubes identiques en 3 dimensions et relié les sommets correspondants.
Exactement la même chose qu'ils l'ont fait avec un cube tridimensionnel (dessinez 2 cubes bidimensionnels identiques et reliez les sommets).

Pour dessiner un cube à 5 dimensions, vous devrez dessiner deux copies d'un cube à 4 dimensions (un cube à 4 dimensions avec la cinquième coordonnée 0 et un cube à 4 dimensions avec la cinquième coordonnée 1) et relier les sommets correspondants avec des arêtes. Certes, il y aura un tel fouillis de bords sur l'avion qu'il sera presque impossible de comprendre quoi que ce soit.

Une fois qu’on a imaginé un cube en 4 dimensions et même qu’on a pu le dessiner, on peut l’explorer de différentes manières. N'oubliez pas de l'explorer à la fois dans votre esprit et à partir de l'image.
Par exemple. Un cube à 2 dimensions est délimité sur 4 côtés par des cubes à 1 dimension. C'est logique : pour chacune des 2 coordonnées elle a à la fois un début et une fin.
Un cube à 3 dimensions est délimité sur 6 côtés par des cubes à 2 dimensions. Pour chacune des trois coordonnées, il y a un début et une fin.
Cela signifie qu'un cube à 4 dimensions doit être limité par huit cubes à 3 dimensions. Pour chacune des 4 coordonnées - des deux côtés. Dans la figure ci-dessus, nous voyons clairement 2 faces qui le limitent le long de la coordonnée « temps ».

Voici deux cubes (ils sont légèrement obliques car ils ont 2 dimensions projetées sur le plan selon un angle), limitant notre hypercube à gauche et à droite.

Il est également facile de remarquer « supérieur » et « inférieur ».

Le plus difficile est de comprendre visuellement où se trouvent « l’avant » et « l’arrière ». Celui de devant part du bord avant du « cube maintenant » et jusqu'au bord avant du « cube du futur » - il est rouge. Celui de l'arrière est violet.

Ce sont les plus difficiles à remarquer car d’autres cubes sont emmêlés sous les pieds, ce qui limite l’hypercube à une coordonnée projetée différente. Mais notez que les cubes sont quand même différents ! Voici à nouveau l'image, où le « cube du présent » et le « cube du futur » sont mis en valeur.

Bien entendu, il est possible de projeter un cube à 4 dimensions dans un espace à 3 dimensions.
Le premier modèle spatial possible est clair à quoi il ressemble : vous devez prendre 2 cadres de cube et relier leurs sommets correspondants avec une nouvelle arête.
Je n'ai pas ce modèle en stock pour le moment. Lors du cours, je montre aux étudiants un modèle tridimensionnel légèrement différent d'un cube à quatre dimensions.

Vous savez comment un cube est projeté sur un plan comme celui-ci.
C'est comme si nous regardions un cube vu d'en haut.

Le bord proche est bien entendu large. Et le bord le plus éloigné semble plus petit, nous le voyons à travers le bord le plus proche.

C'est ainsi que vous pouvez projeter un cube en 4 dimensions. Le cube est plus grand maintenant, on voit le cube du futur au loin, donc il paraît plus petit.

D'un autre côté. Du côté supérieur.

Directement exactement du côté du bord :

Du côté des côtes :

Et le dernier angle, asymétrique. Extrait de la section « dites-moi que j'ai regardé entre ses côtes ».

Eh bien, alors vous pouvez trouver n'importe quoi. Par exemple, tout comme il y a le développement d'un cube tridimensionnel sur un plan (c'est comme découper une feuille de papier de sorte qu'une fois pliée, on obtient un cube), la même chose se produit avec le développement d'un cube tridimensionnel en un plan. espace. C'est comme découper un morceau de bois pour qu'en le pliant dans un espace à 4 dimensions on obtienne un tesseract.

Vous pouvez étudier non seulement un cube à 4 dimensions, mais aussi des cubes à n dimensions en général. Par exemple, est-il vrai que le rayon d’une sphère circonscrite autour d’un cube à n dimensions est inférieur à la longueur de l’arête de ce cube ? Ou voici une question plus simple : combien de sommets possède un cube à n dimensions ? Combien d'arêtes (faces unidimensionnelles) ?

La doctrine des espaces multidimensionnels a commencé à apparaître au milieu du XIXe siècle. L'idée d'un espace à quatre dimensions a été empruntée aux scientifiques par des écrivains de science-fiction. Dans leurs œuvres, ils ont parlé au monde des merveilles étonnantes de la quatrième dimension.

Les héros de leurs œuvres, utilisant les propriétés de l'espace à quatre dimensions, pouvaient manger le contenu d'un œuf sans endommager la coquille et boire un verre sans ouvrir le bouchon de la bouteille. Les voleurs ont retiré le trésor du coffre-fort à travers la quatrième dimension. Les chirurgiens ont effectué des opérations sur les organes internes sans couper les tissus corporels du patient.

Tesseract

En géométrie, un hypercube est une analogie à n dimensions d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). L’analogue quadridimensionnel de notre cube tridimensionnel habituel est connu sous le nom de tesseract. Le tesseract est au cube ce que le cube est au carré. Plus formellement, un tesseract peut être décrit comme un polyèdre quadridimensionnel convexe régulier dont la limite est constituée de huit cellules cubiques.

Chaque paire de faces 3D non parallèles se croise pour former des faces 2D (carrés), et ainsi de suite. Enfin, le tesseract possède 8 faces 3D, 24 faces 2D, 32 arêtes et 16 sommets.
À propos, selon l'Oxford Dictionary, le mot tesseract a été inventé et utilisé en 1888 par Charles Howard Hinton (1853-1907) dans son livre A New Age of Thought. Plus tard, certaines personnes ont appelé la même figure un tétracube (grec tétra - quatre) - un cube à quatre dimensions.

Construction et description

Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans quitter l'espace tridimensionnel.
Dans un « espace » unidimensionnel - sur une ligne - nous sélectionnons un segment AB de longueur L. Sur un plan bidimensionnel à une distance L de AB, nous dessinons un segment DC parallèle à celui-ci et connectons leurs extrémités. Le résultat est un CDBA carré. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel CDBAGHFE. Et en décalant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières) d'une distance L, on obtient l'hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

De la même manière, nous pouvons poursuivre notre raisonnement pour les hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi ressemblera un hypercube à quatre dimensions pour nous, résidents d'un espace tridimensionnel.

Prenons le cube métallique ABCDHEFG et regardons-le d'un œil du côté du bord. Nous verrons et pourrons dessiner deux carrés sur le plan (ses bords proches et éloignés), reliés par quatre lignes - bords latéraux. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace tridimensionnel ressemblera à deux « boîtes » cubiques insérées l’une dans l’autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les « boîtes » elles-mêmes - des faces tridimensionnelles - seront projetées sur « notre » espace, et les lignes qui les relient s'étireront en direction du quatrième axe. Vous pouvez également essayer d'imaginer le cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.

Tout comme un cube tridimensionnel est formé d’un carré décalé de la longueur de sa face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes qui, en perspective, ressembleront à une figure plutôt complexe. L’hypercube à quatre dimensions lui-même peut être divisé en un nombre infini de cubes, tout comme un cube à trois dimensions peut être « découpé » en un nombre infini de carrés plats.

En découpant les six faces d'un cube tridimensionnel, vous pouvez le décomposer en une figure plate - un développement. Il y aura un carré de chaque côté de la face d'origine plus un autre - la face opposée. Et le développement tridimensionnel d'un hypercube à quatre dimensions comprendra le cube original, six cubes « grandissant » à partir de celui-ci, plus un autre - l'« hyperface » finale.

L'hypercube dans l'art

Le Tesseract est une figure si intéressante qu’elle a attiré à plusieurs reprises l’attention des écrivains et des cinéastes.
Robert E. Heinlein a mentionné les hypercubes à plusieurs reprises. Dans The House That Teal Built (1940), il décrit une maison construite comme un tesseract non emballé puis, en raison d'un tremblement de terre, « pliée » dans la quatrième dimension pour devenir un « vrai » tesseract. Le roman Glory Road de Heinlein décrit une boîte hyper-taille qui était plus grande à l'intérieur qu'à l'extérieur.

L'histoire d'Henry Kuttner "All Tenali Borogov" décrit un jouet éducatif pour les enfants d'un futur lointain, de structure similaire à un tesseract.

L'intrigue de Cube 2 : Hypercube est centrée sur huit inconnus piégés dans un « hypercube », ou un réseau de cubes connectés.

Un monde parallèle

Les abstractions mathématiques ont donné naissance à l'idée de l'existence de mondes parallèles. Celles-ci sont comprises comme des réalités qui existent simultanément avec la nôtre, mais indépendamment d’elle. Un monde parallèle peut avoir différentes tailles : d’une petite zone géographique à un univers entier. Dans un monde parallèle, les événements se produisent à leur manière ; ils peuvent différer de notre monde, à la fois dans des détails individuels et dans presque tout. De plus, les lois physiques d’un monde parallèle ne sont pas nécessairement similaires aux lois de notre Univers.

Ce sujet constitue un terrain fertile pour les écrivains de science-fiction.

Le tableau "La Crucifixion" de Salvador Dali représente un tesseract. « Crucifixion ou corps hypercubique » est un tableau de l'artiste espagnol Salvador Dali, peint en 1954. Représente Jésus-Christ crucifié sur un scan tesseract. Le tableau est conservé au Metropolitan Museum of Art de New York

Tout a commencé en 1895, lorsque H.G. Wells, avec son histoire « La porte dans le mur », a ouvert l’existence de mondes parallèles à la science-fiction. En 1923, Wells revient à l'idée de mondes parallèles et place dans l'un d'eux un pays utopique où se rendent les personnages du roman Men Like Gods.

Le roman n'est pas passé inaperçu. En 1926, paraît l'histoire de G. Dent « L'empereur du pays « si » » Dans l'histoire de Dent, pour la première fois, l'idée est née qu'il pourrait y avoir des pays (mondes) dont l'histoire pourrait être différente de l'histoire des pays réels. dans notre monde, et ces mondes ne sont pas moins réels que le nôtre.

En 1944, Jorge Luis Borges a publié l’histoire « Le jardin des sentiers qui bifurquent » dans son livre Fictional Stories. Ici, l’idée du temps de branchement s’exprime enfin avec la plus grande clarté.
Malgré l'apparition des œuvres énumérées ci-dessus, l'idée de nombreux mondes n'a commencé à se développer sérieusement dans la science-fiction qu'à la fin des années quarante du 20e siècle, à peu près au même moment où une idée similaire est apparue en physique.

L'un des pionniers de la nouvelle direction de la science-fiction fut John Bixby, qui suggéra dans l'histoire « One Way Street » (1954) qu'entre les mondes, vous ne pouvez vous déplacer que dans une seule direction - une fois que vous passez de votre monde à un monde parallèle, vous ne reviendrez pas, mais vous passerez d'un monde à l'autre. Cependant, le retour dans son propre monde n’est pas non plus exclu – pour cela il faut que le système des mondes soit fermé.

Le roman A Ring Around the Sun (1982) de Clifford Simak décrit de nombreuses planètes Terre, chacune existant dans son propre monde, mais sur la même orbite, et ces mondes et ces planètes ne diffèrent les uns des autres que par un léger décalage (microseconde) dans le temps. Les nombreuses Terres visitées par le héros du roman forment un système unique de mondes.

Alfred Bester a exprimé une vision intéressante de la ramification des mondes dans son histoire « L'homme qui a tué Mohammed » (1958). "En changeant le passé", a soutenu le héros de l'histoire, "vous ne le changez que pour vous-même". En d’autres termes, après un changement dans le passé, surgit une branche de l’histoire dans laquelle ce changement n’existe que pour le personnage qui a effectué le changement.

L'histoire des frères Strugatsky « Lundi commence samedi » (1962) décrit les voyages des personnages vers différentes versions du futur décrites par les auteurs de science-fiction - contrairement aux voyages vers différentes versions du passé qui existaient déjà dans la science-fiction.

Cependant, même une simple liste de toutes les œuvres qui touchent au thème des mondes parallèles prendrait trop de temps. Et bien que les écrivains de science-fiction, en règle générale, ne justifient pas scientifiquement le postulat de multidimensionnalité, ils ont raison sur une chose : c'est une hypothèse qui a le droit d'exister.
La quatrième dimension du tesseract attend toujours que nous la visitions.

Victor Savinov

Un univers à quatre dimensions, ou quatre coordonnées, est aussi insatisfaisant qu’un univers à trois. On peut dire que nous ne disposons pas de toutes les données nécessaires pour construire l'univers, puisque ni les trois coordonnées de l'ancienne physique ni les quatre coordonnées de la nouvelle ne suffisent à décrire, Total variété de phénomènes dans l'univers.

Considérons dans l'ordre des « cubes » de différentes dimensions.

Un cube unidimensionnel sur une ligne est un segment. Bidimensionnel - un carré. La bordure du carré se compose de quatre points - pics Et quatre segments - côtes Ainsi, un carré a deux types d’éléments sur sa frontière : les points et les segments. La bordure d'un cube tridimensionnel contient des éléments de trois types : des sommets - il y en a 8, des arêtes (segments) - il y en a 12 et visages (carrés) - il y en a 6. Le segment unidimensionnel AB sert de face au carré bidimensionnel ABCD, le carré est le côté du cube ABCDHEFG, qui, à son tour, sera le côté des quatre -hypercube dimensionnel.

Dans un hypercube à quatre dimensions, il y aura donc 16 sommets : 8 sommets du cube original et 8 de celui décalé dans la quatrième dimension. Il a 32 arêtes - 12 donnent chacune les positions initiales et finales du cube d'origine, et 8 autres arêtes "dessinent" ses huit sommets, qui se sont déplacés vers la quatrième dimension. Le même raisonnement peut être fait pour les faces d’un hypercube. Dans l'espace à deux dimensions, il n'y en a qu'un (le carré lui-même), un cube en a 6 (deux faces du carré déplacé et quatre autres qui décrivent ses côtés). Un hypercube à quatre dimensions possède 24 faces carrées : 12 carrés du cube d'origine dans deux positions et 12 carrés de ses douze arêtes.

Dimension du cube	Dimension de bordure
2 carrés
4 tesseract

Coordonnées dansespace à quatre dimensions.

Un point sur une ligne est défini comme un nombre, un point sur un plan comme une paire de nombres, un point dans un espace tridimensionnel comme un triplet de nombres. Il est donc tout à fait naturel de construire la géométrie d’un espace à quatre dimensions en définissant un point de cet espace imaginaire comme un quadruple de nombres.

Une face bidimensionnelle d'un cube à quatre dimensions est un ensemble de points pour lesquels deux coordonnées peuvent prendre toutes les valeurs possibles de 0 à 1, et les deux autres sont constantes (égales à 0 ou 1).

Visage en trois dimensions Un cube à quatre dimensions est un ensemble de points dans lesquels trois coordonnées prennent toutes les valeurs possibles de 0 à 1, et une est constante (égale à 0 ou 1).

Développements de cubes de différentes dimensions.

Nous prenons un segment, plaçons un segment de tous les côtés et en attachons un autre à n'importe lequel, dans ce cas au segment de droite.

Nous avons obtenu un scan carré.

Nous prenons un carré, plaçons un carré de tous les côtés, en attachons un autre à n'importe lequel, en l'occurrence au carré du bas.

Il s'agit d'un développement d'un cube tridimensionnel.

Cube à quatre dimensions

Nous prenons un cube, plaçons un cube de tous les côtés, en attachons un autre à n'importe lequel de ce cube inférieur.

Développement d'un cube à quatre dimensions

Imaginons qu'un cube à quatre dimensions soit fait de fil et qu'une fourmi soit assise au sommet (1;1;1;1), alors la fourmi devra ramper d'un sommet à l'autre le long des bords.

Question : combien d'arêtes devra-t-il parcourir pour atteindre le sommet (0 ; 0 ; 0 ; 0) ?

Le long de 4 arêtes, c'est-à-dire que le sommet (0;0;0;0) est un sommet du 4ème ordre, en passant le long d'une arête il peut arriver à un sommet qui a une des coordonnées 0, c'est un sommet du 1er ordre, en passant par 2 arêtes il peut arriver aux sommets où il y a 2 zéros sont des sommets du 2ème ordre, il y a 6 de ces sommets, en passant par 3 arêtes, il arrivera aux sommets qui ont 3 coordonnées zéro, ce sont des sommets du troisième ordre.

Il existe d'autres cubes dans l'espace multidimensionnel. En plus du tesseract, vous pouvez construire des cubes avec un grand nombre de dimensions. Le modèle d'un cube à cinq dimensions est un penteracte. Un penteracte a 32 sommets, 80 arêtes, 80 faces, 40 cubes et 10 tesseracts.

Artistes, réalisateurs, sculpteurs, scientifiques représentent le cube multidimensionnel de différentes manières. Voici quelques exemples:

De nombreux écrivains de science-fiction décrivent le tesseract dans leurs œuvres. Par exemple, Robert Anson Heinlein (1907-1988) a mentionné les hypercubes dans au moins trois de ses récits non romanesques. Dans "La Maison aux Quatre Dimensions", il décrit une maison construite comme le déroulement d'un tesseract.

L'intrigue du film Cube 2 est centrée sur huit inconnus piégés dans un hypercube.

« Crucifixion" de Salvador Dali, 1954 (1951). Le surréalisme de Dali cherchait des points de contact entre notre réalité et l'au-delà, en particulier le monde en 4 dimensions. Par conséquent, d'une part, c'est étonnant, mais, d'autre part, il n'y a rien d'étonnant à ce que la figure géométrique des cubes qui forme la croix chrétienne soit l'image d'un développement tridimensionnel d'un cube ou d'un cube quadridimensionnel. tesseract.

Le 21 octobre, le département de mathématiques de l'Université d'État de Pennsylvanie a dévoilé une sculpture inhabituelle appelée « Octacube ». C'est une image d'un objet géométrique à quatre dimensions dans un espace à trois dimensions. Selon l'auteur de la sculpture, le professeur Adrian Ocneanu, une si belle figure de ce type n'a jamais existé dans le monde, ni virtuellement ni physiquement, bien que des projections tridimensionnelles de figures quadridimensionnelles aient déjà été réalisées.

En général, les mathématiciens opèrent facilement avec des objets à quatre, cinq et même plus multidimensionnels, mais il est impossible de les représenter dans un espace tridimensionnel. "Octacube", comme toutes les figures similaires, n'est pas véritablement quadridimensionnel. Cela peut être comparé à une carte - une projection de la surface tridimensionnelle du globe sur une feuille de papier plate.

Une projection tridimensionnelle d'une figure en quatre dimensions a été obtenue par Okneanu en utilisant la stéréographie radiale à l'aide d'un ordinateur. Dans le même temps, la symétrie de la figure originale à quatre dimensions a été préservée. La sculpture comporte 24 sommets et 96 faces. Dans un espace à quatre dimensions, les bords d’une figure sont droits, mais en projection ils sont courbés. Les angles entre les faces de la projection tridimensionnelle et la figure originale sont les mêmes.

L'Octacube a été fabriqué en acier inoxydable dans les ateliers d'ingénierie de la Pennsylvania State University. La sculpture a été installée dans le bâtiment McAllister rénové de la Faculté de mathématiques.

L'espace multidimensionnel intéressait de nombreux scientifiques, comme René Descartes et Hermann Minkowski. De nos jours, les connaissances sur ce sujet augmentent. Il aide les mathématiciens, les chercheurs et les inventeurs de notre époque à atteindre leurs objectifs et à faire progresser la science. Un pas dans l’espace multidimensionnel est un pas vers une nouvelle ère plus développée de l’humanité.

τέσσαρες ἀκτίνες - quatre rayons) - 4 dimensions Hypercube- analogique dans un espace à 4 dimensions.

L'image est une projection () d'un cube à quatre dimensions sur un espace à trois dimensions.

Une généralisation du cube aux cas à plus de 3 dimensions s'appelle hypercube ou (fr: mesurer les polytopes). Formellement, un hypercube est défini comme quatre segments égaux.

Cet article décrit principalement la dimension 4 hypercube, appelé tesseract.

Description populaire

Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans quitter notre espace tridimensionnel.

Dans un « espace » unidimensionnel - sur une ligne - nous sélectionnons AB de longueur L. Dans un espace bidimensionnel, à une distance L de AB, nous dessinons un segment DC parallèle à celui-ci et connectons leurs extrémités. Le résultat est un carré ABCD. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel ABCDHEFG. Et en déplaçant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières !) d'une distance L, on obtient un hypercube.

Un segment unidimensionnel AB sert de face à un carré à deux dimensions ABCD, le carré sert de côté à un cube ABCDHEFG, qui, à son tour, sera un côté d'un hypercube à quatre dimensions. Un segment de droite a deux points limites, un carré a quatre sommets et un cube en a huit. Dans un hypercube à quatre dimensions, il y aura donc 16 sommets : 8 sommets du cube original et 8 de celui décalé dans la quatrième dimension. Il a 32 arêtes - 12 donnent chacune les positions initiales et finales du cube d'origine, et 8 autres arêtes "dessinent" ses huit sommets, qui se sont déplacés vers la quatrième dimension. Le même raisonnement peut être fait pour les faces d’un hypercube. Dans l'espace à deux dimensions, il n'y en a qu'un (le carré lui-même), un cube en a 6 (deux faces du carré déplacé et quatre autres qui décrivent ses côtés). Un hypercube à quatre dimensions possède 24 faces carrées : 12 carrés du cube d'origine dans deux positions et 12 carrés de ses douze arêtes.

De la même manière, nous pouvons continuer notre raisonnement sur les hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi cela ressemblera pour nous, résidents d'un espace tridimensionnel. hypercube à quatre dimensions. Pour cela, nous utiliserons la méthode déjà familière des analogies.

Prenons le cube métallique ABCDHEFG et regardons-le d'un œil du côté du bord. Nous verrons et pourrons dessiner deux carrés sur le plan (ses bords proches et éloignés), reliés par quatre lignes - bords latéraux. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace tridimensionnel ressemblera à deux « boîtes » cubiques insérées l’une dans l’autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les « boîtes » elles-mêmes - des faces tridimensionnelles - seront projetées sur « notre » espace, et les lignes qui les relient s'étireront dans la quatrième dimension. Vous pouvez également essayer d'imaginer le cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.

Tout comme un cube tridimensionnel est formé d’un carré décalé de la longueur de sa face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes qui, en perspective, ressembleront à une figure plutôt complexe. La partie qui est restée dans « notre » espace est dessinée en lignes pleines, et la partie qui est entrée dans l’hyperespace est dessinée en pointillés. L’hypercube à quatre dimensions lui-même est constitué d’un nombre infini de cubes, tout comme un cube à trois dimensions peut être « découpé » en un nombre infini de carrés plats.

En découpant les huit faces d'un cube tridimensionnel, vous pouvez le décomposer en une figure plate - un développement. Il aura un carré de chaque côté de la face d'origine, plus un autre - la face opposée. Et le développement tridimensionnel d'un hypercube à quatre dimensions comprendra le cube original, six cubes « grandissant » à partir de celui-ci, plus un autre - l'« hyperface » finale.

Les propriétés du tesseract sont une continuation des propriétés des figures géométriques de dimension inférieure dans l'espace à 4 dimensions, présentées dans le tableau ci-dessous.