Orice număr înmulțit cu 0 este egal. Matematică distractivă

Chiar și la școală, profesorii au încercat să ne bată în cap cea mai simplă regulă: „Orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero!”, - dar totusi multe controverse apar constant in jurul lui. Unii oameni își amintesc doar regula și nu se deranjează cu întrebarea „de ce?” „Nu poți și gata, pentru că așa spuneau la școală, regula este regula!” Cineva poate umple o jumătate de caiet cu formule, dovedind această regulă sau, dimpotrivă, ilogicitatea ei.

In contact cu

Cine are dreptate pana la urma?

În timpul acestor dispute, ambii oameni cu puncte de vedere opuse se privesc ca un berbec și demonstrează cu toată puterea că au dreptate. Deși, dacă te uiți la ei din lateral, poți vedea nu unul, ci doi berbeci, sprijinindu-și coarnele unul pe celălalt. Singura diferență dintre ele este că unul este puțin mai puțin educat decât celălalt.

Cel mai adesea, cei care consideră această regulă incorectă încearcă să facă apel la logică în acest fel:

Am două mere pe masă, dacă pun zero mere pe ele, adică nu pun unul singur, atunci cele două mere ale mele nu vor dispărea! Regula este ilogică!

Într-adevăr, merele nu vor dispărea nicăieri, dar nu pentru că regula este ilogică, ci pentru că aici se folosește o ecuație puțin diferită: 2 + 0 = 2. Așa că să renunțăm imediat la această concluzie - este ilogică, deși are scopul opus - a apela la logica.

Ce este înmulțirea

Inițial regula înmulțirii a fost definit doar pentru numerele naturale: înmulțirea este un număr adăugat la sine de un anumit număr de ori, ceea ce implică faptul că numărul este natural. Astfel, orice număr cu înmulțire poate fi redus la această ecuație:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Din această ecuație rezultă că că înmulțirea este o adunare simplificată.

Ce este zero

Orice persoană știe din copilărie: zero este gol, în ciuda faptului că acest gol are o denumire, nu poartă absolut nimic. Oamenii de știință din Orientul antic au gândit diferit - au abordat problema în mod filozofic și au făcut unele paralele între gol și infinit și au văzut o semnificație profundă în acest număr. La urma urmei, zero, care are sensul de gol, stând lângă orice număr natural, îl înmulțește de zece ori. De aici și toată controversa despre înmulțire - acest număr are atât de multă inconsecvență încât devine dificil să nu te confuzi. În plus, zero este utilizat în mod constant pentru a defini cifrele goale în fracții zecimale, acest lucru se face atât înainte, cât și după virgulă zecimală.

Este posibil să se înmulțească prin gol?

Poți înmulți cu zero, dar este inutil, pentru că, orice s-ar spune, chiar și înmulțind numere negative, tot vei obține zero. Este suficient să vă amintiți această regulă simplă și să nu mai puneți niciodată această întrebare. De fapt, totul este mai simplu decât pare la prima vedere. Nu există semnificații și secrete ascunse, așa cum credeau oamenii de știință antici. Mai jos vom da cea mai logică explicație că această înmulțire este inutilă, deoarece atunci când înmulți un număr cu el, vei obține în continuare același lucru - zero.

Revenind la început, la argumentul despre două mere, de 2 ori 0 arată astfel:

• Dacă mănânci două mere de cinci ori, atunci mănânci 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 mere
• Dacă mănânci două dintre ele de trei ori, atunci mănânci 2×3 = 2+2+2 = 6 mere
• Dacă mănânci două mere de zero ori, atunci nu se va mânca nimic - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

La urma urmei, să mănânci un măr de 0 ori înseamnă să nu mănânci unul singur. Acest lucru va fi clar chiar și pentru cel mai mic copil. Orice s-ar putea spune, rezultatul va fi 0, doi sau trei pot fi înlocuiți cu absolut orice număr și rezultatul va fi absolut același. Și pentru a spune simplu, atunci zero este nimic, și când ai nu este nimic, atunci indiferent cât de mult ai înmulți, este tot același va fi zero. Nu există magia și nimic nu va face un măr, chiar dacă înmulți 0 cu un milion. Aceasta este cea mai simplă, mai înțeleasă și logică explicație a regulii înmulțirii cu zero. Pentru o persoană care este departe de toate formulele și matematica, o astfel de explicație va fi suficientă pentru ca disonanța din cap să se rezolve și totul să cadă la loc.

Divizia

Din toate cele de mai sus, urmează o altă regulă importantă:

Nu poți împărți la zero!

Această regulă a fost, de asemenea, bătută în mod persistent în capul nostru încă din copilărie. Știm doar că este imposibil să facem totul fără să ne umplem capul cu informații inutile. Dacă vi se pune în mod neașteptat întrebarea de ce este interzisă împărțirea la zero, atunci cei mai mulți vor fi confuzi și nu vor putea răspunde clar la cea mai simplă întrebare din programa școlară, deoarece nu există atât de multe dispute și contradicții în jurul acestei reguli.

Toată lumea pur și simplu a memorat regula și nu a împărțit la zero, fără a bănui că răspunsul a fost ascuns la suprafață. Adunarea, înmulțirea, împărțirea și scăderea sunt inegale; dintre cele de mai sus, numai înmulțirea și adunarea sunt valabile, iar toate celelalte manipulări cu numere sunt construite din ele. Adică, notația 10: 2 este o abreviere a ecuației 2 * x = 10. Aceasta înseamnă că notația 10: 0 este aceeași abreviere pentru 0 * x = 10. Se dovedește că împărțirea la zero este o sarcină de a găsiți un număr, înmulțind cu 0, obțineți 10 Și ne-am dat deja seama că un astfel de număr nu există, ceea ce înseamnă că această ecuație nu are soluție și va fi a priori incorectă.

Lasa-ma sa iti spun,

Ca să nu împărțim la 0!

Tăiați 1 după cum doriți, pe lungime,

Doar nu împărți la 0!

Numărul în matematică zero ocupă un loc aparte. Faptul este că, în esență, înseamnă „nimic”, „gol”, dar semnificația sa este cu adevărat greu de supraestimat. Pentru a face acest lucru, este suficient să vă amintiți cel puțin cu ce anume marca zeroși începe numărarea coordonatelor poziției punctului în orice sistem de coordonate.

Zero utilizat pe scară largă în fracțiile zecimale pentru a determina valorile locurilor „vide”, atât înainte, cât și după virgulă zecimală. În plus, i se asociază una dintre regulile fundamentale ale aritmeticii, care afirmă că zero nu poate fi divizat. Logica sa, strict vorbind, provine din însăși esența acestui număr: într-adevăr, este imposibil să ne imaginăm că o valoare diferită de el (și ea însăși) ar fi împărțită în „nimic”.

Exemple de calcul

CU zero se efectuează toate operațiile aritmetice, iar ca „parteneri” săi pot folosi numere întregi, fracții ordinare și zecimale și toate pot avea atât valori pozitive, cât și negative. Să dăm exemple de implementare a acestora și câteva explicații pentru ele.

PLUS

Când adăugați zero la un anumit număr (atât întreg, cât și fracționar, atât pozitiv, cât și negativ), valoarea acestuia rămâne absolut neschimbată.

Exemplul 1

douăzeci și patru în plus zero este egal cu douăzeci și patru.

Exemplul 2

Şaptesprezece virgulă trei optimi plus zero este egal cu șaptesprezece virgulă trei optimi.

MULTIPLICARE

Când înmulțiți orice număr (întreg, fracție, pozitiv sau negativ) cu zero se dovedește zero.

Exemplul 1

De cinci sute optzeci și șase de ori zero egală zero.

Exemplul 2

Zeroînmulțit cu o sută treizeci și cinci virgulă șase șapte egali zero.

Exemplul 3

Zeroînmulțit cu zero egală zero.

DIVIZIA

Regulile de împărțire a numerelor între ele în cazurile în care unul dintre ele este zero diferă în funcție de rolul pe care îl joacă zeroul însuși: un dividend sau un divizor?

În cazurile în care zero reprezintă dividendul, rezultatul este întotdeauna egal cu acesta, indiferent de valoarea divizorului.

Exemplul 1

Zeroîmpărțit la două sute șaizeci și cinci egali zero.

Exemplul 2

Zeroîmpărțit la șaptesprezece cinci sute nouăzeci și șase egali zero.

0:

= 0

Divide zero la zero Conform regulilor matematicii, este imposibil. Aceasta înseamnă că atunci când se efectuează o astfel de procedură, coeficientul este incert. Astfel, în teorie, poate reprezenta absolut orice număr.

0: 0 = 8 deoarece 8 × 0 = 0

La matematică există o problemă de genul împărțirea lui zero la zero, nu are niciun sens, deoarece rezultatul său este o mulțime infinită. Această afirmație este totuși adevărată dacă nu sunt furnizate date suplimentare care ar putea afecta rezultatul final.

Acestea, dacă sunt prezente, ar trebui să constea în indicarea gradului de modificare a mărimii dividendului și a divizorului și chiar înainte de momentul în care s-au transformat în zero. Dacă aceasta este definită, atunci o expresie precum zeroîmparte la zero, în marea majoritate a cazurilor se pot atașa unele semnificații.

Această lecție va analiza cum să efectuați înmulțirea și împărțirea cu numere de forma 10, 100, 0,1, 0,001. Se vor rezolva și diverse exemple pe această temă.

Exercițiu. Cum se înmulțește numărul 25,78 cu 10?

Notația zecimală a unui număr dat este o notație scurtă pentru suma. Este necesar să o descriem mai detaliat:

Astfel, trebuie să înmulțiți suma. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu înmulți fiecare termen:

Se pare că...

Putem concluziona că înmulțirea unei fracții zecimale cu 10 este foarte simplă: trebuie să mutați punctul zecimal în poziția din dreapta.

Exercițiu.Înmulțiți 25,486 cu 100.

Înmulțirea cu 100 este la fel cu înmulțirea cu 10 de două ori. Cu alte cuvinte, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta de două ori:

Exercițiu.Împărțiți 25,78 la 10.

Ca și în cazul precedent, trebuie să prezentați numărul 25,78 ca o sumă:

Deoarece trebuie să împărțiți suma, aceasta este echivalentă cu împărțirea fiecărui termen:

Se pare că pentru a împărți la 10, trebuie să mutați punctul zecimal în poziția din stânga. De exemplu:

Exercițiu.Împărțiți 124,478 la 100.

Împărțirea la 100 este la fel cu împărțirea la 10 de două ori, astfel încât punctul zecimal se deplasează la stânga 2 locuri:

Dacă o fracție zecimală trebuie înmulțită cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea poziții câte zerouri există în multiplicator.

În schimb, dacă o fracție zecimală trebuie împărțită la 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu atâtea poziții câte zerouri există în multiplicator.

Exemplul 1

Înmulțirea cu 100 înseamnă mutarea zecimalei cu două locuri la dreapta.

După schimbare, puteți constata că nu mai există cifre după virgulă zecimală, ceea ce înseamnă că partea fracțională lipsește. Atunci nu este nevoie de virgulă, numărul este un întreg.

Exemplul 2

Trebuie să mutați 4 poziții spre dreapta. Dar sunt doar două cifre după virgulă zecimală. Merită să ne amintim că există o notație echivalentă pentru fracția 56,14.

Acum, înmulțirea cu 10.000 este ușor:

Dacă nu este foarte clar de ce puteți adăuga două zerouri la fracția din exemplul anterior, atunci videoclipul suplimentar de la link vă poate ajuta în acest sens.

Notații zecimale echivalente

Intrarea 52 înseamnă următoarele:

Dacă punem 0 în față, obținem intrarea 052. Aceste intrări sunt echivalente.

Este posibil să pun două zerouri în față? Da, aceste intrări sunt echivalente.

Acum să ne uităm la fracția zecimală:

Dacă atribui zero, obțineți:

Aceste intrări sunt echivalente. În mod similar, puteți atribui mai multe zerouri.

Astfel, orice număr poate avea mai multe zerouri după partea fracțională și mai multe zerouri înaintea părții întregi. Acestea vor fi intrări echivalente de același număr.

Exemplul 3

Deoarece are loc împărțirea cu 100, este necesar să mutați punctul zecimal cu 2 poziții la stânga. Nu există numere rămase în stânga punctului zecimal. Lipsește o întreagă parte. Această notație este adesea folosită de programatori. La matematică, dacă nu există o parte întreagă, atunci ei pun un zero în locul ei.

Exemplul 4

Trebuie să-l mutați la stânga cu trei poziții, dar există doar două poziții. Dacă scrieți mai multe zerouri în fața unui număr, acesta va fi o notație echivalentă.

Adică, atunci când vă deplasați la stânga, dacă numerele se epuizează, trebuie să le completați cu zerouri.

Exemplul 5

În acest caz, merită să ne amintim că o virgulă vine întotdeauna după întreaga parte. Apoi:

Înmulțirea și împărțirea cu numerele 10, 100, 1000 este o procedură foarte simplă. Situația este exact aceeași cu numerele 0,1, 0,01, 0,001.

Exemplu. Înmulțiți 25,34 cu 0,1.

Să scriem fracția zecimală 0,1 ca o fracție obișnuită. Dar înmulțirea cu este la fel cu împărțirea la 10. Prin urmare, trebuie să mutați punctul zecimal 1 poziție la stânga:

În mod similar, înmulțirea cu 0,01 înseamnă împărțirea la 100:

Exemplu. 5,235 împărțit la 0,1.

Soluția acestui exemplu este construită într-un mod similar: 0,1 este exprimat ca o fracție comună, iar împărțirea cu este aceeași cu înmulțirea cu 10:

Adică, pentru a împărți la 0,1, trebuie să mutați punctul zecimal în poziția dreaptă, ceea ce este echivalent cu înmulțirea cu 10.

Înmulțirea cu 10 și împărțirea cu 0,1 este același lucru. Virgula trebuie mutată la dreapta cu 1 poziție.

Împărțirea cu 10 și înmulțirea cu 0,1 sunt același lucru. Virgula trebuie mutată la dreapta cu 1 poziție:

Impartirea cu zero la matematică, diviziune în care divizorul este zero. O astfel de împărțire poate fi scrisă formal ⁄ 0, unde este dividendul.

În aritmetica obișnuită (cu numere reale), această expresie nu are sens, deoarece:

• pentru ≠ 0 nu există un număr care, atunci când este înmulțit cu 0, să dea, prin urmare niciun număr nu poate fi luat ca coeficient ⁄ 0;
• la = 0, împărțirea la zero este, de asemenea, nedefinită, deoarece orice număr atunci când este înmulțit cu 0 dă 0 și poate fi luat ca coeficient 0 ⁄ 0.

Din punct de vedere istoric, una dintre primele referiri la imposibilitatea matematică a atribuirii valorii ⁄ 0 este cuprinsă în critica lui George Berkeley a calculului infinitezimal.

Erori logice

Deoarece atunci când înmulțim orice număr cu zero, obținem întotdeauna zero ca rezultat, atunci când împărțim ambele părți ale expresiei × 0 = × 0, ceea ce este adevărat indiferent de valoarea lui și, cu 0 obținem expresia =, care este incorectă în cazul variabilelor specificate în mod arbitrar. Deoarece zero poate fi specificat nu în mod explicit, ci sub forma unei expresii matematice destul de complexe, de exemplu sub forma diferenței a două valori reduse între ele prin transformări algebrice, o astfel de împărțire poate fi o eroare destul de neevidentă. Introducerea imperceptibilă a unei astfel de diviziuni în procesul de demonstrare pentru a arăta identitatea unor cantități evident diferite, demonstrând astfel orice afirmație absurdă, este una dintre varietățile sofismului matematic.

În informatică

În programare, în funcție de limbajul de programare, tipul de date și valoarea dividendului, încercarea de împărțire la zero poate avea consecințe diferite. Consecințele împărțirii la zero în aritmetica întregă și reală sunt fundamental diferite:

• Atentat, încercare întregÎmpărțirea la zero este întotdeauna o eroare critică care face imposibilă execuția ulterioară a programului. Fie lansează o excepție (pe care programul o poate gestiona singur, evitând astfel o blocare), fie determină oprirea imediată a programului, afișând un mesaj de eroare necorectat și posibil conținutul stivei de apeluri. În unele limbaje de programare, cum ar fi Go, împărțirea întregului cu o constantă zero este considerată o eroare de sintaxă și determină compilarea anormală a programului.
• ÎN real consecințele aritmetice pot fi diferite în diferite limbi:

• aruncarea unei excepții sau oprirea programului, ca în cazul împărțirii întregi;
• obţinerea unei valori speciale nenumerice ca urmare a unei operaţii. În acest caz, calculele nu sunt întrerupte, iar rezultatul lor poate fi interpretat ulterior de programul însuși sau de utilizator ca o valoare semnificativă sau ca dovadă a calculelor incorecte. Un principiu utilizat pe scară largă este că, atunci când împărțim ca ⁄ 0, unde ≠ 0 este un număr în virgulă mobilă, rezultatul este egal cu pozitiv sau negativ (în funcție de semnul dividendului) infinit - sau, iar când = 0 rezultatul este un valoare specială NaN (abrev. . din engleză „not a number” - „not a number”). Această abordare este adoptată în standardul IEEE 754, care este susținut de multe limbaje de programare moderne.

Împărțirea accidentală cu zero într-un program de calculator poate provoca uneori defecțiuni costisitoare sau periculoase în hardware-ul controlat de program. De exemplu, la 21 septembrie 1997, ca urmare a unei împărțiri cu zero în sistemul de control computerizat al crucișatorului USS Yorktown (CG-48), toate echipamentele electronice din sistem s-au oprit, determinând sistemul de propulsie al navei să se oprească. opriți funcționarea.

Vezi si

Note

Funcția = 1 ⁄ . Când tinde spre zero din dreapta, tinde spre infinit; când tinde spre zero din stânga, tinde spre minus infinit

Dacă împărțiți orice număr la zero pe un calculator obișnuit, acesta vă va da litera E sau cuvântul Eroare, adică „eroare”.

Într-un caz similar, calculatorul de calculator scrie (în Windows XP): „Diviziunea la zero este interzisă”.

Totul este în concordanță cu regula cunoscută de la școală că nu poți împărți la zero.

Să ne dăm seama de ce.

Împărțirea este operația matematică inversă înmulțirii. Împărțirea se determină prin înmulțire.

Împărțiți un număr A(divizibil, de exemplu 8) după număr b(divizor, de exemplu numărul 2) - înseamnă găsirea unui astfel de număr X(cot), atunci când este înmulțit cu un divizor b rezultă dividendul A(4 2 = 8), adică Aîmparte la bînseamnă rezolvarea ecuaţiei x · b = a.

Ecuația a: b = x este echivalentă cu ecuația x · b = a.

Înlocuim împărțirea cu înmulțirea: în loc de 8: 2 = x scriem x · 2 = 8.

8: 2 = 4 este echivalent cu 4 2 = 8

18: 3 = 6 este echivalent cu 6 3 = 18

20: 2 = 10 este echivalent cu 10 2 = 20

Rezultatul împărțirii poate fi întotdeauna verificat prin înmulțire. Rezultatul înmulțirii unui divizor cu un coeficient trebuie să fie dividendul.

Să încercăm să împărțim la zero în același mod.

De exemplu, 6: 0 = ... Trebuie să găsim un număr care, înmulțit cu 0, va da 6. Dar știm că atunci când este înmulțit cu zero, obținem întotdeauna zero. Nu există un număr care, înmulțit cu zero, să dea altceva decât zero.

Când se spune că împărțirea la zero este imposibilă sau interzisă, înseamnă că nu există un număr care să corespundă rezultatului unei astfel de împărțiri (împărțirea la zero este posibilă, dar împărțirea nu este :)).

De ce se spune la școală că nu poți împărți la zero?

Prin urmare în definiție operația de împărțire a a la b subliniază imediat faptul că b ≠ 0.

Dacă tot ceea ce scrie mai sus ți s-a părut prea complicat, atunci încearcă doar: a împărți 8 la 2 înseamnă a afla câți doi trebuie să faci pentru a obține 8 (răspuns: 4). Împărțirea a 18 la 3 înseamnă a afla câți trei trebuie să luați pentru a obține 18 (răspuns: 6).

Împărțirea a 6 la zero înseamnă a afla câte zerouri trebuie să luați pentru a obține 6. Indiferent de câte zerouri luați, veți obține totuși un zero, dar nu veți obține niciodată 6, adică împărțirea la zero este nedefinită.

Un rezultat interesant se obține dacă încercați să împărțiți un număr la zero pe un calculator Android. Ecranul va afișa ∞ (infinit) (sau - ∞ dacă se împarte la un număr negativ). Acest rezultat este incorect deoarece numărul ∞ nu există. Aparent, programatorii au confundat operații complet diferite - împărțirea numerelor și găsirea limitei unei secvențe de numere n/x, unde x → 0. Când împărțim zero la zero, se va scrie NaN (Nu este un număr).

„Nu poți împărți la zero!” - Majoritatea școlarilor învață această regulă pe de rost, fără să pună întrebări. Toți copiii știu ce este „nu poți” și ce se va întâmpla dacă vei întreba ca răspuns: „De ce?” Dar, de fapt, este foarte interesant și important să știm de ce nu este posibil.

Chestia este că cele patru operații de aritmetică - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - sunt de fapt inegale. Matematicienii recunosc doar două dintre ele ca fiind valide: adunarea și înmulțirea. Aceste operații și proprietățile lor sunt incluse în însăși definiția conceptului de număr. Toate celelalte acțiuni sunt construite într-un fel sau altul din aceste două.

Luați în considerare, de exemplu, scăderea. Ce înseamnă 5 - 3 ? Elevul va răspunde simplu: trebuie să luați cinci obiecte, să luați (înlăturați) trei dintre ele și să vedeți câte au rămas. Dar matematicienii privesc această problemă cu totul diferit. Nu există scădere, există doar adunare. Prin urmare, intrarea 5 - 3 înseamnă un număr care, atunci când este adăugat unui număr 3 va da un număr 5 . Acesta este 5 - 3 este pur și simplu o versiune scurtă a ecuației: x + 3 = 5. Nu există nicio scădere în această ecuație.

Impartirea cu zero

Există doar o sarcină - să găsești un număr potrivit.

Același lucru este valabil și cu înmulțirea și împărțirea. Record 8: 4 poate fi înțeles ca rezultat al împărțirii a opt obiecte în patru grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formă scurtă a ecuației 4 x = 8.

Aici devine clar de ce este imposibil (sau mai degrabă imposibil) să se împartă la zero. Record 5: 0 este o abreviere pentru 0 x = 5. Adică, această sarcină este de a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu 0 va da 5 . Dar știm că atunci când este înmulțit cu 0 merge mereu 0 . Aceasta este o proprietate inerentă a lui zero, strict vorbind, parte a definiției sale.

Un astfel de număr încât, atunci când este înmulțit cu 0 va da altceva decât zero, pur și simplu nu există. Adică problema noastră nu are soluție. (Da, asta se întâmplă; nu orice problemă are o soluție.) Ceea ce înseamnă înregistrările 5: 0 nu corespunde unui anumit număr și pur și simplu nu înseamnă nimic și, prin urmare, nu are nicio semnificație. Lipsa de sens a acestei intrări este exprimată pe scurt spunând că nu puteți împărți la zero.

Cei mai atenți cititori din acest loc se vor întreba cu siguranță: este posibil să împărțim zero la zero?

Într-adevăr, ecuația 0 x = 0 rezolvat cu succes. De exemplu, puteți lua x = 0, și apoi obținem 0 0 = 0. Se dovedește 0: 0=0 ? Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să luăm x = 1. Primim 0 1 = 0. Dreapta? Mijloace, 0: 0 = 1 ? Dar poți lua orice număr și poți obține 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.

Dar dacă orice număr este potrivit, atunci nu avem niciun motiv să alegem unul dintre ele. Adică, nu putem spune cărui număr îi corespunde intrarea 0: 0 . Și dacă da, atunci suntem forțați să admitem că nici această intrare nu are sens. Se pare că nici măcar zero nu poate fi împărțit la zero. (În analiza matematică există cazuri când, din cauza unor condiții suplimentare ale problemei, se poate da preferință uneia dintre soluțiile posibile ale ecuației 0 x = 0; În astfel de cazuri, matematicienii vorbesc despre „dezvoltarea incertitudinii”, dar astfel de cazuri nu apar în aritmetică.)

Aceasta este particularitatea operațiunii de divizare. Mai exact, operația de înmulțire și numărul asociat acesteia au zero.

Ei bine, cei mai meticuloși, citind până aici, s-ar putea întreba: de ce se întâmplă să nu poți împărți la zero, dar să poți scădea zero? Într-un fel, aici începe matematica adevărată. Puteți răspunde numai prin familiarizarea cu definițiile matematice formale ale mulțimilor numerice și operațiile asupra acestora. Nu este atât de dificil, dar din anumite motive nu se predă la școală. Dar la cursurile de matematică de la universitate, asta vei fi predat în primul rând.

Funcția de divizare nu este definită pentru un interval în care divizorul este zero. Puteți împărți, dar rezultatul nu este sigur

Nu poți împărți la zero. gimnaziu clasa a 2-a matematică.

Dacă memoria îmi servește corect, atunci zero poate fi reprezentat ca o valoare infinitezimală, deci va exista infinit. Iar școala „zero - nimic” este doar o simplificare; sunt atât de multe în matematica școlii). Dar este imposibil fără ei, totul se va întâmpla la timp.

Conectați-vă pentru a scrie un răspuns

Impartirea cu zero

Coeficient din impartirea cu zero nu există alt număr decât zero.

Raționamentul aici este următorul: deoarece în acest caz niciun număr nu poate satisface definiția unui coeficient.

Să scriem, de exemplu,

Indiferent de numărul pe care îl încercați (să zicem, 2, 3, 7), nu este potrivit pentru că:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Ce se întâmplă dacă împărțiți la 0?

etc., dar trebuie să obțineți 2,3,7 în produs.

Putem spune că problema împărțirii unui număr diferit de zero la zero nu are soluție. Cu toate acestea, un număr altul decât zero poate fi împărțit la un număr cât se dorește de aproape de zero și, cu cât divizorul este mai aproape de zero, cu atât este mai mare câtul. Deci, dacă împărțim 7 la

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

apoi obținem coeficientii 70, 700, 7000, 70.000 etc., care cresc fără limită.

Prin urmare, ei spun adesea că câtul lui 7 împărțit la 0 este „infinit de mare” sau „egal cu infinit” și scrie

\[ 7: 0 = \infin \]

Sensul acestei expresii este că dacă divizorul se apropie de zero și dividendul rămâne egal cu 7 (sau se apropie de 7), atunci coeficientul crește fără limită.

Numărul 0 poate fi imaginat ca o anumită limită care separă lumea numerelor reale de cele imaginare sau negative. Din cauza poziției ambigue, multe operații cu această valoare numerică nu se supun logicii matematice. Imposibilitatea împărțirii la zero este un prim exemplu în acest sens. Și operațiile aritmetice permise cu zero pot fi efectuate folosind definiții general acceptate.

Istoria lui zero

Zero este punctul de referință în toate sistemele de numere standard. Europenii au început să folosească acest număr relativ recent, dar înțelepții Indiei antice au folosit zero cu o mie de ani înainte ca numărul gol să fie folosit în mod regulat de matematicienii europeni. Chiar înainte de indieni, zero era o valoare obligatorie în sistemul numeric mayaș. Acești americani au folosit sistemul numeric duozecimal, iar prima zi a fiecărei luni începea cu zero. Este interesant că printre mayași semnul care denotă „zero” a coincis complet cu semnul care denotă „infinitul”. Astfel, vechii mayași au ajuns la concluzia că aceste cantități sunt identice și de necunoscut.

Operații matematice cu zero

Operațiile matematice standard cu zero pot fi reduse la câteva reguli.

Adunare: dacă adăugați zero la un număr arbitrar, acesta nu își va schimba valoarea (0+x=x).

Scădere: Când scădeți zero din orice număr, valoarea scăderii rămâne neschimbată (x-0=x).

Înmulțire: Orice număr înmulțit cu 0 produce 0 (a*0=0).

Diviziunea: zero poate fi împărțit la orice număr diferit de zero. În acest caz, valoarea unei astfel de fracții va fi 0. Și împărțirea la zero este interzisă.

Exponentiație. Această acțiune poate fi efectuată cu orice număr. Un număr arbitrar ridicat la puterea zero va da 1 (x 0 =1).

Zero la orice putere este egal cu 0 (0 a = 0).

În acest caz, apare imediat o contradicție: expresia 0 0 nu are sens.

Paradoxurile matematicii

Mulți oameni știu de la școală că împărțirea la zero este imposibilă. Dar din anumite motive este imposibil de explicat motivul unei astfel de interdicții. De fapt, de ce nu există formula de împărțire la zero, dar alte acțiuni cu acest număr sunt destul de rezonabile și posibile? Răspunsul la această întrebare este dat de matematicieni.

Chestia este că operațiile aritmetice obișnuite pe care școlarii le învață în școala primară nu sunt, de fapt, atât de egale pe cât credem. Toate operațiile simple cu numere pot fi reduse la două: adunare și înmulțire. Aceste acțiuni constituie esența conceptului însuși de număr, iar alte operațiuni sunt construite pe utilizarea acestor două.

Adunarea și înmulțirea

Să luăm un exemplu de scădere standard: 10-2=8. La școală o consideră simplu: dacă scazi două din zece materii, rămân opt. Dar matematicienii privesc aceasta operatie cu totul diferit. La urma urmei, o astfel de operație precum scăderea nu există pentru ei. Acest exemplu poate fi scris în alt mod: x+2=10. Pentru matematicieni, diferența necunoscută este pur și simplu numărul care trebuie adăugat la doi pentru a face opt. Și nu este necesară nicio scădere aici, trebuie doar să găsiți valoarea numerică adecvată.

Înmulțirea și împărțirea sunt tratate la fel. În exemplul 12:4=3 puteți înțelege că vorbim despre împărțirea a opt obiecte în două grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formulă inversată pentru a scrie 3x4 = 12. Astfel de exemple de împărțire pot fi date la nesfârșit.

Exemple de împărțire la 0

Aici devine puțin clar de ce nu puteți împărți la zero. Înmulțirea și împărțirea cu zero urmează propriile reguli. Toate exemplele de împărțire a acestei cantități pot fi formulate ca 6:0 = x. Dar aceasta este o notație inversată a expresiei 6 * x=0. Dar, după cum știți, orice număr înmulțit cu 0 dă în produs doar 0. Această proprietate este inerentă însuși conceptului de valoare zero.

Se pare că nu există un astfel de număr care, înmulțit cu 0, să dea vreo valoare tangibilă, adică această problemă nu are soluție. Nu ar trebui să vă fie frică de acest răspuns; este un răspuns firesc pentru probleme de acest tip. Doar că înregistrarea 6:0 nu are niciun sens și nu poate explica nimic. Pe scurt, această expresie poate fi explicată prin nemuritoarea „diviziunea la zero este imposibilă”.

Există o operație 0:0? Într-adevăr, dacă operația de înmulțire cu 0 este legală, poate fi împărțit zero la zero? La urma urmei, o ecuație de forma 0x 5=0 este destul de legală. În loc de numărul 5 poți pune 0, produsul nu se va schimba.

Într-adevăr, 0x0=0. Dar tot nu poți împărți la 0. După cum am spus, împărțirea este pur și simplu inversul înmulțirii. Astfel, dacă în exemplul 0x5=0, trebuie să determinați al doilea factor, obținem 0x0=5. Sau 10. Sau infinit. Împărțirea infinitului la zero - cum vă place?

Dar dacă orice număr se potrivește în expresie, atunci nu are sens; nu putem alege doar unul dintr-un număr infinit de numere. Și dacă da, asta înseamnă că expresia 0:0 nu are sens. Se dovedește că chiar și zero în sine nu poate fi împărțit la zero.

Matematică superioară

Împărțirea cu zero este o bătaie de cap pentru matematica de liceu. Analiza matematică studiată în universitățile tehnice extinde ușor conceptul de probleme care nu au soluție. De exemplu, la expresia deja cunoscută 0:0 se adaugă altele noi, care nu au soluții la cursurile de matematică din școală:

• infinitul împărțit la infinit: ∞:∞;
• infinit minus infinit: ∞−∞;
• unitate ridicată la o putere infinită: 1 ∞ ;
• infinitul înmulțit cu 0: ∞*0;
• unele altele.

Este imposibil să rezolvi astfel de expresii folosind metode elementare. Dar matematica superioară, datorită posibilităților suplimentare pentru un număr de exemple similare, oferă soluții finale. Acest lucru este evident mai ales în considerarea problemelor din teoria limitelor.

Deblocarea incertitudinii

În teoria limitelor, valoarea 0 este înlocuită cu o variabilă infinitezimală condiționată. Iar expresiile în care, la înlocuirea valorii dorite, se obține împărțirea la zero, se transformă. Mai jos este un exemplu standard de extindere a unei limite folosind transformări algebrice obișnuite:

După cum puteți vedea în exemplu, simpla reducere a unei fracții duce valoarea acesteia la un răspuns complet rațional.

Când se iau în considerare limitele funcțiilor trigonometrice, expresiile acestora tind să fie reduse la prima limită remarcabilă. Când se iau în considerare limite în care numitorul devine 0 atunci când o limită este înlocuită, se folosește o a doua limită remarcabilă.

Metoda L'Hopital

În unele cazuri, limitele expresiilor pot fi înlocuite cu limitele derivatelor lor. Guillaume L'Hopital - matematician francez, fondator al școlii franceze de analiză matematică. El a demonstrat că limitele expresiilor sunt egale cu limitele derivatelor acestor expresii. În notație matematică, regula lui arată așa.