Logarithme de logarithme à bases égales. Logarithme

Nous continuons à étudier les logarithmes. Dans cet article, nous parlerons de calculer des logarithmes, ce processus est appelé logarithme. Nous comprendrons d’abord le calcul des logarithmes par définition. Voyons ensuite comment les valeurs des logarithmes sont trouvées à l'aide de leurs propriétés. Après cela, nous nous concentrerons sur le calcul des logarithmes à travers les valeurs initialement spécifiées d'autres logarithmes. Enfin, apprenons à utiliser les tables de logarithmes. La théorie entière est fournie avec des exemples avec des solutions détaillées.

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Calculer des logarithmes par définition

Dans les cas les plus simples, il est possible d'effectuer assez rapidement et facilement trouver le logarithme par définition. Examinons de plus près comment ce processus se déroule.

Son essence est de représenter le nombre b sous la forme a c, à partir duquel, par définition d'un logarithme, le nombre c est la valeur du logarithme. Autrement dit, par définition, la chaîne d'égalités suivante correspond à la recherche du logarithme : log a b=log a a c =c.

Ainsi, calculer un logarithme revient par définition à trouver un nombre c tel que a c = b, et le nombre c lui-même est la valeur souhaitée du logarithme.

Compte tenu des informations contenues dans les paragraphes précédents, lorsque le nombre sous le signe du logarithme est donné par une certaine puissance de la base du logarithme, vous pouvez immédiatement indiquer à quoi est égal le logarithme - il est égal à l'exposant. Montrons les solutions à l'aide d'exemples.

Exemple.

Trouvez log 2 2 −3 et calculez également le logarithme népérien du nombre e 5,3.

Solution.

La définition du logarithme permet de dire immédiatement que log 2 2 −3 =−3. En effet, le nombre sous le signe du logarithme est égal à la base 2 à la puissance −3.

De même, on retrouve le deuxième logarithme : lne 5,3 =5,3.

Répondre:

log 2 2 −3 =−3 et lne 5,3 =5,3.

Si le nombre b sous le signe du logarithme n'est pas spécifié comme puissance de la base du logarithme, vous devez alors examiner attentivement s'il est possible de proposer une représentation du nombre b sous la forme a c . Souvent cette représentation est assez évidente, surtout lorsque le nombre sous le signe du logarithme est égal à la base à la puissance 1, ou 2, ou 3,...

Exemple.

Calculez les logarithmes log 5 25 , et .

Solution.

Il est facile de voir que 25=5 2, cela permet de calculer le premier logarithme : log 5 25=log 5 5 2 =2.

Passons au calcul du deuxième logarithme. Le nombre peut être représenté par une puissance de 7 : (à voir si nécessaire). Ainsi, .

Réécrivons le troisième logarithme sous la forme suivante. Maintenant tu peux voir ça , d'où nous concluons que . Par conséquent, par la définition du logarithme .

Brièvement, la solution pourrait s'écrire comme suit : .

Répondre:

journal 5 25=2 , Et .

Lorsqu'il existe un nombre naturel suffisamment grand sous le signe du logarithme, cela ne fait pas de mal de le prendre en compte en facteurs premiers. Il est souvent utile de représenter un nombre tel qu'une certaine puissance de la base du logarithme, et donc de calculer ce logarithme par définition.

Exemple.

Trouvez la valeur du logarithme.

Solution.

Certaines propriétés des logarithmes permettent de spécifier immédiatement la valeur des logarithmes. Ces propriétés incluent la propriété du logarithme de un et la propriété du logarithme d'un nombre égal à la base : log 1 1=log a a 0 =0 et log a a=log a a 1 =1. Autrement dit, lorsque sous le signe du logarithme se trouve un nombre 1 ou un nombre a égal à la base du logarithme, alors dans ces cas les logarithmes sont respectivement égaux à 0 et 1.

Exemple.

À quoi sont égaux les logarithmes et log10 ?

Solution.

Puisque , alors de la définition du logarithme il résulte .

Dans le deuxième exemple, le nombre 10 sous le signe du logarithme coïncide avec sa base, donc le logarithme décimal de dix est égal à un, c'est-à-dire lg10=lg10 1 =1.

Répondre:

ET lg10=1 .

Notez que le calcul des logarithmes par définition (dont nous avons parlé dans le paragraphe précédent) implique l'utilisation de l'égalité log a a p =p, qui est l'une des propriétés des logarithmes.

En pratique, lorsqu'un nombre sous le signe du logarithme et la base du logarithme sont facilement représentés comme une puissance d'un certain nombre, il est très pratique d'utiliser la formule , qui correspond à l'une des propriétés des logarithmes. Regardons un exemple de recherche d'un logarithme qui illustre l'utilisation de cette formule.

Exemple.

Calculez le logarithme.

Solution.

Répondre:

.

Les propriétés des logarithmes non mentionnées ci-dessus sont également utilisées dans les calculs, mais nous en parlerons dans les paragraphes suivants.

Trouver des logarithmes à l'aide d'autres logarithmes connus

Les informations contenues dans ce paragraphe poursuivent le sujet de l'utilisation des propriétés des logarithmes lors de leur calcul. Mais ici, la principale différence est que les propriétés des logarithmes sont utilisées pour exprimer le logarithme original en fonction d'un autre logarithme dont la valeur est connue. Donnons un exemple pour clarifier. Disons que nous savons que log 2 3≈1,584963, alors nous pouvons trouver, par exemple, log 2 6 en effectuant une petite transformation en utilisant les propriétés du logarithme : log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dans l’exemple ci-dessus, il nous suffisait d’utiliser la propriété du logarithme d’un produit. Cependant, il est beaucoup plus souvent nécessaire d'utiliser un arsenal plus large de propriétés de logarithmes afin de calculer le logarithme d'origine à travers ceux donnés.

Exemple.

Calculez le logarithme de 27 en base 60 si vous savez que log 60 2=a et log 60 5=b.

Solution.

Nous devons donc trouver le journal 60 27 . Il est facile de voir que 27 = 3 3 , et le logarithme original, en raison de la propriété du logarithme de la puissance, peut être réécrit sous la forme 3·log 60 3 .

Voyons maintenant comment exprimer log 60 3 en termes de logarithmes connus. La propriété du logarithme d'un nombre égal à la base permet d'écrire le log d'égalité 60 60=1. Par contre, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Ainsi, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ainsi, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Enfin, nous calculons le logarithme original : log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Répondre:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Séparément, il convient de mentionner la signification de la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme de la forme . Il permet de passer de logarithmes à base quelconque à des logarithmes à base spécifique dont les valeurs sont connues ou il est possible de les retrouver. Habituellement, à partir du logarithme original, en utilisant la formule de transition, ils passent aux logarithmes dans l'une des bases 2, e ou 10, car pour ces bases il existe des tableaux de logarithmes qui permettent de calculer leurs valeurs avec un certain degré de précision. Dans le paragraphe suivant, nous montrerons comment cela se fait.

Tables de logarithme et leurs utilisations

Pour le calcul approximatif des valeurs du logarithme, vous pouvez utiliser tables de logarithme. La table de logarithme de base 2, la table de logarithme népérien et la table de logarithme décimal les plus couramment utilisées. Lorsque vous travaillez dans le système de nombres décimaux, il est pratique d'utiliser un tableau de logarithmes basé sur la base dix. Avec son aide, nous apprendrons à trouver les valeurs des logarithmes.

Le tableau présenté permet de retrouver les valeurs des logarithmes décimaux des nombres de 1 000 à 9 999 (avec trois décimales) avec une précision d'un dix millième. Nous analyserons le principe de trouver la valeur d'un logarithme à l'aide d'un tableau de logarithmes décimaux à l'aide d'un exemple précis - c'est plus clair ainsi. Trouvons log1.256.

Dans la colonne de gauche du tableau des logarithmes décimaux on retrouve les deux premiers chiffres du nombre 1,256, c'est-à-dire qu'on trouve 1,2 (ce nombre est entouré en bleu pour plus de clarté). Le troisième chiffre du nombre 1.256 (chiffre 5) se trouve dans la première ou la dernière ligne à gauche de la double ligne (ce nombre est entouré de rouge). Le quatrième chiffre du nombre initial 1.256 (chiffre 6) se trouve dans la première ou la dernière ligne à droite de la double ligne (ce nombre est entouré d'un trait vert). Nous trouvons maintenant les nombres dans les cellules du tableau logarithmique à l'intersection de la ligne marquée et des colonnes marquées (ces nombres sont surlignés en orange). La somme des nombres marqués donne la valeur souhaitée du logarithme décimal précis à la quatrième décimale, c'est-à-dire log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Est-il possible, à l'aide du tableau ci-dessus, de trouver les valeurs des logarithmes décimaux des nombres qui ont plus de trois chiffres après la virgule décimale, ainsi que ceux qui dépassent la plage de 1 à 9,999 ? Oui, vous pouvez. Montrons comment cela se fait avec un exemple.

Calculons lg102.76332. Vous devez d'abord écrire numéro sous forme standard: 102,76332=1,0276332·10 2. Après cela, la mantisse doit être arrondie à la troisième décimale, nous avons 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, tandis que le logarithme décimal d'origine est approximativement égal au logarithme du nombre résultant, c'est-à-dire que nous prenons log102,76332≈lg1,028·10 2. Nous appliquons maintenant les propriétés du logarithme : lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Enfin, on retrouve la valeur du logarithme lg1.028 à partir du tableau des logarithmes décimaux lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. En conséquence, l'ensemble du processus de calcul du logarithme ressemble à ceci : log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

En conclusion, il convient de noter qu'en utilisant un tableau de logarithmes décimaux, vous pouvez calculer la valeur approximative de n'importe quel logarithme. Pour ce faire, il suffit d'utiliser la formule de transition pour accéder aux logarithmes décimaux, retrouver leurs valeurs dans le tableau et effectuer le reste des calculs.

Par exemple, calculons log 2 3 . D'après la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme, nous avons . À partir du tableau des logarithmes décimaux, nous trouvons log3≈0,4771 et log2≈0,3010. Ainsi, .

Bibliographie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Le logarithme d'un nombre positif b en base a (a>0, a n'est pas égal à 1) est un nombre c tel que a c = b : log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Notez que le logarithme d'un nombre non positif n'est pas défini. De plus, la base du logarithme doit être un nombre positif qui n'est pas égal à 1. Par exemple, si on met -2 au carré, on obtient le nombre 4, mais cela ne veut pas dire que le logarithme à la base -2 de 4 est égal à 2.

Identité logarithmique de base

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Il est important que la portée de la définition des côtés droit et gauche de cette formule soit différente. Le côté gauche est défini uniquement pour b>0, a>0 et a ≠ 1. Le côté droit est défini pour tout b et ne dépend pas du tout de a. Ainsi, l’application de « l’identité » logarithmique de base lors de la résolution d’équations et d’inégalités peut conduire à une modification de la DO.

Deux conséquences évidentes de la définition du logarithme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

En effet, en élevant le nombre a à la puissance premier, on obtient le même nombre, et en l'élevant à la puissance zéro, on obtient un.

Logarithme du produit et logarithme du quotient

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Je voudrais mettre en garde les écoliers contre l'utilisation inconsidérée de ces formules lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités. Lorsqu'on les utilise « de gauche à droite », l'ODZ se rétrécit, et lorsqu'on passe de la somme ou de la différence des logarithmes au logarithme du produit ou du quotient, l'ODZ s'agrandit.

En effet, l'expression log a (f (x) g (x)) est définie dans deux cas : lorsque les deux fonctions sont strictement positives ou lorsque f(x) et g(x) sont tous deux inférieurs à zéro.

En transformant cette expression en somme log a f (x) + log a g (x), on est obligé de se limiter uniquement au cas où f(x)>0 et g(x)>0. Il y a un rétrécissement de la plage des valeurs acceptables, ce qui est catégoriquement inacceptable, car cela peut conduire à une perte de solutions. Un problème similaire existe pour la formule (6).

Le degré peut être retiré du signe du logarithme

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Et encore une fois, je voudrais appeler à l’exactitude. Prenons l'exemple suivant :

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Le côté gauche de l’égalité est évidemment défini pour toutes les valeurs de f(x) sauf zéro. Le côté droit est uniquement pour f(x)>0 ! En retirant le degré du logarithme, nous réduisons à nouveau l'ODZ. La procédure inverse conduit à un élargissement de la plage des valeurs acceptables. Toutes ces remarques s’appliquent non seulement à la puissance 2, mais aussi à toute puissance paire.

Formule pour passer à une nouvelle fondation

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ce cas rare où l'ODZ ne change pas pendant la transformation. Si vous avez judicieusement choisi la base c (positive et non égale à 1), la formule pour passer à une nouvelle base est totalement sûre.

Si l'on choisit le nombre b comme nouvelle base c, on obtient un cas particulier important de formule (8) :

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Quelques exemples simples avec des logarithmes

Exemple 1. Calculez : log2 + log50.
Solution. log2 + log50 = log100 = 2. Nous avons utilisé la formule de la somme des logarithmes (5) et la définition du logarithme décimal.

Exemple 2. Calculez : lg125/lg5.
Solution. log125/log5 = log 5 125 = 3. Nous avons utilisé la formule de déplacement vers une nouvelle base (8).

Tableau des formules liées aux logarithmes

un journal a b = b (une > 0, une ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

1.1. Détermination de l'exposant pour un exposant entier

X1 = X
X2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N fois

1.2. Zéro degré.

Par définition, il est généralement admis que la puissance nulle de tout nombre est 1 :

1.3. Degré négatif.

X-N = 1/XN

1.4. Pouvoir fractionnaire, racine.

X 1/N = N racine de X.

Par exemple : X 1/2 = √X.

1.5. Formule pour ajouter des puissances.

X (N+M) = XN *XM

1.6.Formule pour soustraire des puissances.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formule pour multiplier les puissances.

XN*M = (XN)M

1.8. Formule pour élever une fraction à une puissance.

(X/Y) N = X N /Oui N

2. Numéro e.

La valeur du nombre e est égale à la limite suivante :

E = lim(1+1/N), comme N → ∞.

Avec une précision de 17 chiffres, le nombre e est 2,71828182845904512.

3. L'égalité d'Euler.

Cette égalité relie cinq nombres qui jouent un rôle particulier en mathématiques : 0, 1, e, pi, unité imaginaire.

E (je*pi) + 1 = 0

4. Fonction exponentielle exp(x)

exp(x) = ex

5. Dérivée de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle a une propriété remarquable : la dérivée de la fonction est égale à la fonction exponentielle elle-même :

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithme.

6.1. Définition de la fonction logarithme

Si x = b y, alors le logarithme est la fonction

Y = Journal b(x).

Le logarithme montre à quelle puissance un nombre doit être élevé - la base du logarithme (b) pour obtenir un nombre donné (X). La fonction logarithme est définie pour X supérieur à zéro.

Par exemple : Log 10 (100) = 2.

6.2. Logarithme décimal

Voici le logarithme en base 10 :

Y = Journal 10 (x) .

Noté Log(x) : Log(x) = Log 10 (x).

Un exemple d’utilisation du logarithme décimal est le décibel.

6.3. Décibel

L'élément est mis en évidence sur une page séparée Décibel

6.4. Logarithme binaire

Voici le logarithme en base 2 :

Y = Journal 2 (x).

Noté Lg(x) : Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Un algorithme naturel

Voici le logarithme en base e :

Y = Journal e (x) .

Noté Ln(x) : Ln(x) = Log e (X)
Le logarithme népérien est la fonction inverse de la fonction exponentielle exp(X).

6.6. Points caractéristiques

Log(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formule du logarithme du produit

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formule du logarithme du quotient

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logarithme de la formule de puissance

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formule de conversion en logarithme avec une base différente

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Exemple:

Journal 2 (8) = Journal 10 (8)/Journal 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Des formules utiles dans la vie

Il existe souvent des problèmes de conversion du volume en surface ou en longueur et le problème inverse : la conversion de la surface en volume. Par exemple, les planches sont vendues en cubes (mètres cubes), et nous devons calculer quelle surface de mur peut être recouverte de planches contenues dans un certain volume, voir calcul des planches, combien de planches y a-t-il dans un cube. Ou, si les dimensions du mur sont connues, vous devez calculer le nombre de briques, voir calcul des briques.

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Logarithme d'un nombre N basé sur UN appelé exposant X , auquel vous devez construire UN pour obtenir le numéro N

À condition que
,
,

De la définition du logarithme, il résulte que
, c'est à dire.
- cette égalité est l'identité logarithmique de base.

Les logarithmes en base 10 sont appelés logarithmes décimaux. Au lieu de
écrire
.

Logarithmes à la base e sont appelés naturels et sont désignés
.

Propriétés de base des logarithmes.

Le logarithme de un est égal à zéro pour n'importe quelle base.

Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

3) Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes

Facteur
appelé module de transition des logarithmes à la base un aux logarithmes à la base b .

En utilisant les propriétés 2 à 5, il est souvent possible de réduire le logarithme d'une expression complexe au résultat d'opérations arithmétiques simples sur des logarithmes.

Par exemple,

De telles transformations d'un logarithme sont appelées logarithmes. Les transformations inverses des logarithmes sont appelées potentialisation.

Chapitre 2. Éléments de mathématiques supérieures.

1. Limites

Limite de la fonction
est un nombre fini A si, comme xx 0 pour chaque prédéterminé
, il y a un tel nombre
que dès que
, Que
.

Une fonction qui a une limite en diffère d'une quantité infinitésimale :
, où- b.m.v., c'est-à-dire
.

Exemple. Considérez la fonction
.

En s'efforçant
, fonction oui tend vers zéro :

1.1. Théorèmes de base sur les limites.

La limite d'une valeur constante est égale à cette valeur constante

.

La limite de la somme (différence) d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme (différence) des limites de ces fonctions.

La limite du produit d'un nombre fini de fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions.

La limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites de ces fonctions si la limite du dénominateur n'est pas nulle.

Des limites merveilleuses

,
, Où

1.2. Exemples de calcul de limite

Cependant, toutes les limites ne se calculent pas aussi facilement. Le plus souvent, calculer la limite revient à faire apparaître une incertitude du type : ou .

.

2. Dérivée d'une fonction

Ayons une fonction
, en continu sur le segment
.

Argument j'ai eu une augmentation
. Ensuite la fonction recevra un incrément
.

Valeur des arguments correspond à la valeur de la fonction
.

Valeur des arguments
correspond à la valeur de la fonction.

Ainsi, .

Trouvons la limite de ce rapport à
. Si cette limite existe, alors on l'appelle la dérivée de la fonction donnée.

Définition 3 Dérivée d'une fonction donnée
par argumentation est appelée la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, lorsque l'incrément de l'argument tend arbitrairement vers zéro.

Dérivée d'une fonction
peut être désigné comme suit :

; ; ; .

Définition 4L'opération consistant à trouver la dérivée d'une fonction est appelée différenciation.

2.1. Signification mécanique du dérivé.

Considérons le mouvement rectiligne d'un corps rigide ou d'un point matériel.

Laissez à un moment donné point en mouvement
était à distance depuis la position de départ
.

Après un certain temps
elle a parcouru une certaine distance
. Attitude =- vitesse moyenne d'un point matériel
. Trouvons la limite de ce rapport, en tenant compte du fait que
.

Par conséquent, déterminer la vitesse instantanée de déplacement d'un point matériel se réduit à trouver la dérivée de la trajectoire par rapport au temps.

2.2. Valeur géométrique de la dérivée

Ayons une fonction définie graphiquement
.

Riz. 1. Signification géométrique de la dérivée

Si
, puis pointez
, se déplacera le long de la courbe, en se rapprochant du point
.

Ainsi
, c'est à dire. la valeur de la dérivée pour une valeur donnée de l'argument numériquement égal à la tangente de l'angle formé par la tangente en un point donné avec la direction positive de l'axe
.

2.3. Tableau des formules de différenciation de base.

Fonction de puissance

Fonction exponentielle

Fonction logarithmique

Fonction trigonométrique

Fonction trigonométrique inverse

2.4. Règles de différenciation.

Dérivé de

Dérivée de la somme (différence) des fonctions

Dérivée du produit de deux fonctions

Dérivée du quotient de deux fonctions

2.5. Dérivée d'une fonction complexe.

Soit la fonction donnée
de telle sorte qu'il puisse être représenté sous la forme

Et
, où la variable est un argument intermédiaire, alors

La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction donnée par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à x.

Exemple 1.

Exemple 2.

3. Fonction différentielle.

Qu'il y ait
, différentiable sur un certain intervalle
laisse tomber à cette fonction a une dérivée

,

alors nous pouvons écrire

(1),

Où - une quantité infinitésimale,

depuis quand

En multipliant tous les termes d'égalité (1) par
nous avons:

Où
- b.m.v. ordre supérieur.

Ordre de grandeur
appelé différentiel de la fonction
et est désigné

.

3.1. Valeur géométrique du différentiel.

Soit la fonction donnée
.

Fig.2. Signification géométrique du différentiel.

.

Évidemment, la différentielle de la fonction
est égal à l'incrément de l'ordonnée de la tangente en un point donné.

3.2. Dérivés et différentiels de divers ordres.

S'il y a
, Alors
est appelée la dérivée première.

La dérivée de la dérivée première est appelée dérivée du second ordre et s'écrit
.

Dérivée du nième ordre de la fonction
est appelée la dérivée d'ordre (n-1) et s'écrit :

.

La différentielle de la différentielle d'une fonction est appelée différentielle du second ordre ou différentielle du second ordre.

.

.

3.3 Résoudre des problèmes biologiques par différenciation.

Tache 1. Des études ont montré que la croissance d'une colonie de micro-organismes obéit à la loi
, Où N – nombre de micro-organismes (en milliers), t – temps (jours).

b) La population de la colonie augmentera-t-elle ou diminuera-t-elle pendant cette période ?

Répondre. La taille de la colonie va augmenter.

Tâche 2. L'eau du lac est périodiquement testée pour surveiller la teneur en bactéries pathogènes. À travers t jours après le test, la concentration de bactéries est déterminée par le rapport

.

Quand le lac aura-t-il une concentration minimale de bactéries et sera-t-il possible de s'y baigner ?

Solution : Une fonction atteint max ou min lorsque sa dérivée est nulle.

,

Déterminons que le maximum ou le minimum sera dans 6 jours. Pour ce faire, prenons la dérivée seconde.

Réponse : Après 6 jours, il y aura une concentration minimale de bactéries.

Commençons avec propriétés du logarithme de un. Sa formulation est la suivante : le logarithme de l'unité est égal à zéro, c'est-à-dire enregistrer un 1=0 pour tout a>0, a≠1. La preuve n'est pas difficile : puisque a 0 =1 pour tout a satisfaisant les conditions ci-dessus a>0 et a≠1, alors l'égalité log a 1=0 à prouver découle immédiatement de la définition du logarithme.

Donnons des exemples d'application de la propriété considérée : log 3 1=0, log1=0 et .

Passons à la propriété suivante : le logarithme d'un nombre égal à la base est égal à un, c'est, log a a = 1 pour une>0, une≠1. En effet, puisque a 1 =a pour tout a, alors par définition du logarithme log a a=1.

Des exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes sont les égalités log 5 5=1, log 5,6 5,6 et lne=1.

Par exemple, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 et .

Logarithme du produit de deux nombres positifs x et y sont égaux au produit des logarithmes de ces nombres : log a (x y)=log a x+log a y, une>0 , une≠1 . Démontrons la propriété du logarithme d'un produit. En raison des propriétés du diplôme un journal a x+log a y =un journal a x ·un journal a y, et puisque par l'identité logarithmique principale un log a x =x et un log a y =y, alors un log a x ·a log a y =x·y. Ainsi, un log a x+log a y =x·y, d'où, par la définition d'un logarithme, découle l'égalité prouvée.

Montrons des exemples d'utilisation de la propriété du logarithme d'un produit : log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 et .

La propriété du logarithme d'un produit peut être généralisée au produit d'un nombre fini n de nombres positifs x 1 , x 2 , …, x n comme log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Cette égalité peut être prouvée sans problème.

Par exemple, le logarithme naturel du produit peut être remplacé par la somme de trois logarithmes naturels des nombres 4, e et.

Logarithme du quotient de deux nombres positifs x et y sont égaux à la différence entre les logarithmes de ces nombres. La propriété du logarithme d'un quotient correspond à une formule de la forme , où a>0, a≠1, x et y sont des nombres positifs. La validité de cette formule est prouvée ainsi que celle du logarithme d'un produit : puisque , puis par définition d'un logarithme.

Voici un exemple d'utilisation de cette propriété du logarithme : .

Passons à propriété du logarithme de la puissance. Le logarithme d'un degré est égal au produit de l'exposant et du logarithme du module de la base de ce degré. Écrivons cette propriété du logarithme d'une puissance sous forme de formule : log a b p =p·log a |b|, où a>0, a≠1, b et p sont des nombres tels que le degré b p a du sens et b p >0.

Nous prouvons d’abord cette propriété pour b positif. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors b p =(a log a b) p , et l'expression résultante, en raison de la propriété de puissance, est égale à a p·log a b . On arrive donc à l'égalité b p =a p·log a b, d'où, par la définition d'un logarithme, on conclut que log a b p =p·log a b.

Il reste à prouver cette propriété pour b négatif. Notons ici que l'expression log a b p pour b négatif n'a de sens que pour les exposants pairs p (puisque la valeur du degré b p doit être supérieure à zéro, sinon le logarithme n'aura pas de sens), et dans ce cas b p =|b| p. Alors bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, d'où log a b p =p·log a |b| .

Par exemple, et ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Il découle de la propriété précédente propriété du logarithme à partir de la racine: le logarithme de la nième racine est égal au produit de la fraction 1/n par le logarithme de l'expression radicale, soit , où a>0, a≠1, n est un nombre naturel supérieur à un, b>0.

La preuve est basée sur l'égalité (voir), qui est valable pour tout b positif, et la propriété du logarithme de la puissance : .

Voici un exemple d'utilisation de cette propriété : .

Maintenant, prouvons formule pour passer à une nouvelle base de logarithme gentil . Pour ce faire, il suffit de prouver la validité de l'égalité log c b=log a b·log c a. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors log c b=log c a log a b . Il reste à utiliser la propriété du logarithme du degré : journal c a journal a b = journal a b journal c a. Cela prouve l'égalité log c b=log a b·log c a, ce qui signifie que la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme a également été prouvée.

Montrons quelques exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes : et .

La formule de passage à une nouvelle base vous permet de passer au travail avec des logarithmes ayant une base « pratique ». Par exemple, il peut être utilisé pour accéder à des logarithmes naturels ou décimaux afin de pouvoir calculer la valeur d'un logarithme à partir d'un tableau de logarithmes. La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet également, dans certains cas, de retrouver la valeur d'un logarithme donné lorsque les valeurs de certains logarithmes avec d'autres bases sont connues.

Un cas particulier de formule de transition vers une nouvelle base de logarithme pour c=b de la forme est souvent utilisé . Cela montre que log a b et log b a – . Par exemple, .

La formule est également souvent utilisée , ce qui est pratique pour trouver des valeurs de logarithme. Pour confirmer nos propos, nous montrerons comment il peut être utilisé pour calculer la valeur d'un logarithme de la forme . Nous avons . Pour prouver la formule il suffit d'utiliser la formule de passage à une nouvelle base du logarithme a : .

Reste à prouver les propriétés de comparaison des logarithmes.

Montrons que pour tout nombre positif b 1 et b 2, b 1 log a b 2 , et pour a>1 – l'inégalité log a b 1

Enfin, il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des logarithmes. Limitons-nous à la preuve de sa première partie, c'est-à-dire que nous prouverons que si a 1 >1, a 2 >1 et a 1 1 est vrai log a 1 b>log a 2 b . Les autres affirmations de cette propriété des logarithmes sont prouvées selon un principe similaire.

Utilisons la méthode inverse. Supposons que pour un 1 >1, un 2 >1 et un 1 1 est vrai log a 1 b≤log a 2 b . Sur la base des propriétés des logarithmes, ces inégalités peuvent être réécrites comme Et respectivement, et il en résulte que log b a 1 ≤log b a 2 et log b a 1 ≥log b a 2, respectivement. Alors, selon les propriétés des puissances de mêmes bases, les égalités b log b a 1 ≥b log b a 2 et b log b a 1 ≥b log b a 2 doivent être vraies, c'est-à-dire a 1 ≥a 2 . Nous sommes donc arrivés à une contradiction avec la condition a 1

Bibliographie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).