Processus aléatoires et leurs caractéristiques. Fonctions aléatoires complexes et leurs caractéristiques

Jusqu'à présent, nous n'avons étudié que des variables aléatoires scalaires ou vectorielles, dont chacune, à la suite de l'expérience, prend respectivement une valeur spécifique, scalaire ou vectorielle. Cependant, dans les applications, on rencontre également de telles variables aléatoires, dont les valeurs dans chaque expérience donnée varient en fonction du temps ou d'autres arguments. Chacune de ces variables aléatoires prend, à la suite de l'expérience, un ensemble innombrable (en général, indénombrable) de valeurs - une pour chaque valeur de l'argument ou pour chaque ensemble de valeurs des arguments. Ainsi, par exemple, en mesurant une quantité en constante évolution, nous obtenons une fonction qui détermine la loi de changement du résultat de mesure au fil du temps au cours du processus de mesure. Cette fonction a une valeur bien spécifique pour chaque instant de l'intervalle pendant lequel la mesure est effectuée. En répétant la mesure, apparemment dans les mêmes conditions, nous obtiendrons des fonctions différentes en raison de l'imprécision des instruments de mesure. Ainsi, le résultat de la mesure d’une quantité en constante évolution est une variable aléatoire qui, dans chaque expérience donnée, représente une certaine fonction du temps, et dans différentes expériences réalisées apparemment dans exactement les mêmes conditions, elle représente différentes fonctions du temps. Ces variables aléatoires sont des fonctions aléatoires. Le résultat de la mesure simultanée de plusieurs quantités en constante évolution (par exemple, les coordonnées d'un objet en mouvement) peut servir d'exemple de fonction aléatoire vectorielle, c'est-à-dire un ensemble de plusieurs fonctions aléatoires.

Une fonction aléatoire est une fonction dont la valeur pour chaque valeur donnée de l'argument (ou de plusieurs arguments)

est une variable aléatoire. Par expérience, une fonction aléatoire peut prendre diverses formes spécifiques. Toute fonction à laquelle une fonction aléatoire peut s'avérer égale à la suite d'une expérience est appelée une réalisation d'une fonction aléatoire (ou une valeur possible d'une fonction aléatoire). Conformément à la règle adoptée dans cet ouvrage pour désigner les variables aléatoires et leurs valeurs possibles, nous désignerons les fonctions aléatoires par les lettres majuscules de l'alphabet latin, par exemple, nous désignerons les Réalisations de fonctions aléatoires par les lettres minuscules correspondantes, par exemple x , oui, etc.

L'argument d'une fonction aléatoire ou l'ensemble de tous ses arguments sera désigné par la lettre ou la lettre 5 et écrit, comme il est d'usage, entre parenthèses après la désignation de la fonction elle-même, par exemple Si l'argument d'une fonction aléatoire est un ensemble de variables scalaires, il peut alors être considéré comme un vecteur à dimensions. Ainsi, les arguments des fonctions aléatoires dans la théorie présentée ci-dessous peuvent être des quantités scalaires ou vectorielles arbitraires.

Une fonction aléatoire peut également être considérée comme une collection infinie (en général, indénombrable) de variables aléatoires, dépendant d'un ou plusieurs paramètres en constante évolution. Chaque valeur donnée du paramètre (ou des paramètres) correspond à une variable aléatoire. Les variables déterminent la fonction aléatoire. Cette interprétation de la fonction aléatoire montre qu'une fonction aléatoire en tant qu'objet de recherche mathématique est beaucoup plus complexe qu'une variable aléatoire ordinaire, à savoir qu'elle équivaut à un ensemble infini (en général indénombrable) de Variables aléatoires.

Dans les applications physiques et techniques, il est souvent nécessaire de prendre en compte des fonctions aléatoires du temps. De telles fonctions aléatoires sont généralement appelées processus aléatoires ou stochastiques. En conséquence, la théorie des fonctions aléatoires d'une variable indépendante est souvent appelée théorie des processus aléatoires (stochastiques). Un exemple de fonction aléatoire du temps est l’erreur de mesure d’une quantité en constante évolution. En figue. La figure 18 montre un enregistrement de l'erreur de mesure de la coordonnée angulaire d'un aéronef par radar, emprunté à.

En physique, on doit souvent considérer des fonctions aléatoires des coordonnées d’un point dans l’espace. Un espace avec une distribution de valeurs d'une certaine quantité qui y est spécifiée est appelé un champ de cette quantité. Une fonction aléatoire des coordonnées d'un point dans l'espace donne

(cliquez pour voir l'analyse)

chaque point de l'espace se voit attribuer une variable aléatoire. De ce fait, lorsqu'on étudie une fonction aléatoire des coordonnées d'un point dans l'espace, on peut parler de champ aléatoire. Par conséquent, la théorie des fonctions aléatoires des coordonnées d'un point dans l'espace est souvent appelée théorie des champs aléatoires. Un exemple de champ aléatoire est le champ du vecteur vitesse du vent dans une atmosphère turbulente stable. Dans le cas général d'une atmosphère instable, le vecteur vitesse du vent est une fonction aléatoire des coordonnées d'un point dans l'espace et dans le temps.

Puisque pour chaque valeur donnée de l'argument, la valeur de la fonction aléatoire est une variable aléatoire scalaire ordinaire, alors la caractéristique probabiliste complète de cette valeur est sa loi de distribution. Cette loi de distribution est appelée loi de distribution unidimensionnelle d'une fonction aléatoire. La loi de distribution unidimensionnelle d'une fonction aléatoire dans le cas général dépend à la fois du paramètre et peut être spécifiée par une densité de probabilité unidimensionnelle. la loi de distribution dimensionnelle d'une fonction aléatoire est une caractéristique suffisante d'une fonction aléatoire pour les problèmes dans lesquels les valeurs de la fonction aléatoire pour différentes valeurs d'argument sont considérées isolément les unes des autres. Pour résoudre des problèmes dans lesquels il est nécessaire de considérer conjointement les valeurs d'une fonction aléatoire pour deux ou plusieurs valeurs de l'argument, il est nécessaire d'introduire des lois conjointes pour la distribution des valeurs d'une fonction aléatoire pour plusieurs valeurs de l'argument.

Une loi de distribution bidimensionnelle d'une fonction aléatoire est une loi conjointe de distribution de ses valeurs pour deux valeurs arbitrairement prises de l'argument. En général, une loi de distribution dimensionnelle d'une fonction aléatoire est une loi de distribution de la totalité de ses valeurs pour des valeurs arbitrairement prises de l'argument.Nous caractériserons la loi de distribution -dimensionnelle d'une fonction aléatoire par sa densité de probabilité -dimensionnelle qui en général, elle dépend des valeurs de l'argument comme paramètres.

Connaissant la densité de probabilité bidimensionnelle d'une fonction aléatoire, on peut déterminer sa densité de probabilité unidimensionnelle à l'aide de la formule (15.8). On obtient alors la relation

En général, connaissant la densité de probabilité dimensionnelle d'une fonction aléatoire, vous pouvez déterminer toutes ses densités de probabilité de nombres de dimensions inférieurs à l'aide de la formule (15.17). Par conséquent

Ainsi, en spécifiant la densité de probabilité dimensionnelle d’une fonction aléatoire, nous spécifions ainsi toutes ses densités de probabilité d’un plus petit nombre de dimensions. La loi de distribution d'une fonction aléatoire d'un plus grand nombre de dimensions est une caractéristique plus complète d'une fonction aléatoire que n'importe quelle loi de distribution d'un plus petit nombre de dimensions. Cependant, la loi de distribution d'un nombre fini de dimensions ne peut pas servir dans le cas général de caractéristique exhaustive d'une fonction aléatoire, puisque la connaissance de la loi de distribution à dimensions dans le cas général n'est pas suffisante pour déterminer les lois de distribution de plus que le nombre de dimensions. Ce n'est que dans des cas particuliers que la loi de distribution d'un nombre fini de mesures peut servir de caractéristique exhaustive d'une fonction aléatoire. Dans le cas général, pour caractériser complètement une fonction aléatoire, il est nécessaire de spécifier la séquence complète de ses lois de distribution, c'est-à-dire les densités de probabilité pour toutes les valeurs.

Si les valeurs d'une fonction aléatoire pour des valeurs différentes de l'argument sont des variables aléatoires indépendantes, alors la densité de probabilité -dimensionnelle d'une fonction aléatoire selon la formule (16.9) et la définition de l'indépendance des variables aléatoires (§ 16 ), pour tout, est exprimé à travers sa densité de probabilité unidimensionnelle par la formule

Cette formule montre qu'une caractéristique exhaustive d'une fonction aléatoire à valeurs indépendantes est sa loi de distribution unidimensionnelle.

Un exemple de fonctions aléatoires, dont les caractéristiques exhaustives sont des lois de distribution bidimensionnelles, peut servir de processus aléatoires de Markov. Un processus aléatoire de Markov, ou un processus aléatoire sans conséquences, est une fonction aléatoire d'une variable scalaire dont les valeurs, pour toute valeur de la variable, forment une simple chaîne de Markov. D'après la définition d'une chaîne de Markov simple,

donnée au § 47, la loi conditionnelle de distribution de la valeur d'une fonction aléatoire dépend uniquement de la valeur de la variable aléatoire et ne dépend pas des valeurs des variables aléatoires. Par conséquent, en appliquant systématiquement la formule générale (16.17), on obtient pour la densité de probabilité dimensionnelle d'un processus aléatoire de Markov la formule

Mais la densité de probabilité conditionnelle basée sur la formule (16.6) est égale à :

Les formules (48.4) et (48.5) donnent :

Les formules (48.1) et (48.6) montrent que la densité de probabilité bidimensionnelle d'un processus aléatoire de Markov pour tout peut être déterminée si sa densité de probabilité bidimensionnelle est connue. Par conséquent, la loi de distribution bidimensionnelle est une caractéristique exhaustive d’un processus aléatoire de Markov.

Le deuxième exemple de fonctions aléatoires, pour lesquelles une caractéristique exhaustive est une loi de distribution bidimensionnelle, peut être des fonctions aléatoires normalement distribuées. Nous considérerons qu'une fonction aléatoire est normalement distribuée si l'ensemble de ses valeurs pour tout changement dans l'argument forme un vecteur aléatoire normalement distribué. Au § 23, nous avons vu que la loi de distribution normale dimensionnelle est entièrement déterminée par les attentes mathématiques, les dispersions et les moments de corrélation des variables aléatoires. Mais les espérances mathématiques et les dispersions des variables aléatoires sont entièrement déterminées par la loi de distribution unidimensionnelle d'une fonction aléatoire, et leurs moments de corrélation - par la loi de distribution bidimensionnelle d'une fonction aléatoire. une fonction aléatoire normalement distribuée détermine complètement sa loi de distribution dimensionnelle à quelque fin que ce soit et constitue sa caractéristique exhaustive.

La fonction aléatoire à valeurs non corrélées est un peu plus générale que la fonction aléatoire à valeurs indépendantes. Cependant, une fonction aléatoire avec des valeurs non corrélées dans le cas général ne peut être complètement caractérisée par aucune loi de distribution de dimension finie. Malgré cela,

les fonctions aléatoires avec des valeurs non corrélées jouent un rôle important dans la théorie appliquée des fonctions aléatoires.

Il est facile de comprendre que l'intégrale d'une fonction aléatoire avec des valeurs non corrélées (dans le cas particulier indépendantes) est une fonction aléatoire avec des incréments non corrélés (indépendants) sur des zones de changement non chevauchantes dans l'argument. Au § 54 il sera montré que l'intégrale d'une fonction aléatoire à valeurs non corrélées n'a une variance finie que si la variance de cette fonction aléatoire est infinie. En conséquence, les fonctions aléatoires avec des valeurs non corrélées et une variance infinie, généralement appelées bruit blanc, sont particulièrement importantes pour les applications. Nous appellerons bruit blanc toute fonction aléatoire avec des valeurs non corrélées qui a une variance infinie et une variance finie de son intégrale sur toute plage finie de variation de l'argument. Ce terme est basé sur des concepts physiques associés à des grandeurs évoluant rapidement, dont les valeurs, séparées par des périodes de temps très courtes, sont pratiquement indépendantes. Nous verrons plus loin que lorsque de telles fonctions aléatoires sont développées en oscillations harmoniques élémentaires, les harmoniques de toutes les fréquences s'avèrent être d'intensité égale. Cette analogie avec la lumière blanche est la raison pour laquelle de telles fonctions aléatoires sont appelées bruit blanc. Il est pratique d'étendre ce nom à toutes les fonctions aléatoires possédant les propriétés répertoriées, quelle que soit la nature physique (ou mathématique) de leurs arguments.

Le bruit blanc sous sa forme pure n’existe pas dans la nature. Comme nous le verrons au § 74, une puissance infinie est nécessaire pour réaliser un bruit blanc. Par conséquent, le concept de bruit blanc est une abstraction mathématique pratique pour construire une théorie. En pratique, on ne peut parler que d'un degré plus ou moins proche du bruit blanc, que l'intervalle de temps minimum séparant les valeurs de la fonction aléatoire, qui peut être considérée comme pratiquement non corrélée, est suffisamment petit pour qu'il puisse être ignoré .

Il est évident qu'au lieu de caractériser une fonction aléatoire par une séquence de ses lois de distribution de différents nombres de dimensions, elle peut être caractérisée par une loi de distribution unidimensionnelle et une séquence de lois de distribution conditionnelles, qui peuvent être spécifiées par les lois de distribution conditionnelles correspondantes. densités de probabilité

Exactement de la même manière que la loi de distribution bidimensionnelle d'une fonction aléatoire a été définie, la loi de distribution bidimensionnelle de deux fonctions aléatoires est définie. La loi de distribution bidimensionnelle des fonctions aléatoires est la loi de distribution d'une fonction aléatoire bidimensionnelle. vecteur aléatoire dont les composantes

sont la valeur d'une fonction aléatoire pour une valeur donnée de l'argument et la valeur d'une fonction aléatoire pour une valeur donnée de l'argument. Les lois conjointes de distribution d'autres nombres de dimensions de deux ou plusieurs fonctions aléatoires sont déterminées de la même manière.

Une caractéristique exhaustive d'une fonction aléatoire est sa mesure de probabilité, dont la définition a été donnée au § 14 pour tout objet aléatoire, y compris les fonctions aléatoires. La mesure de probabilité d'une fonction aléatoire peut être déterminée si ses lois de distribution pour tous les nombres de mesures sont connues. Sélectionnons d'abord dans l'ensemble de toutes les réalisations possibles d'une fonction aléatoire X l'ensemble de toutes les réalisations dont les valeurs en points appartiennent à ces ensembles numériques. Selon la définition d'une mesure de probabilité, la valeur de la mesure de probabilité d'un la fonction aléatoire X, correspondant à l'ensemble de ses réalisations, est déterminée par la formule

Cette formule détermine la mesure de probabilité d'une fonction aléatoire X pour tous les ensembles du type considéré pour tout choix d'ensembles numériques. Associons maintenant chaque valeur de l'argument de la fonction aléatoire X à un certain ensemble numérique et considérons l'ensemble A de toutes les implémentations de la fonction aléatoire dont les valeurs pour toutes appartiennent aux ensembles correspondants Pour Afin de déterminer la valeur de la mesure de probabilité d'une fonction aléatoire X pour un tel ensemble de ses implémentations, on attribue à chaque entier positif un partition du domaine de changement de l'argument de la fonction aléatoire X en cellules de telle sorte que les tailles de toutes les cellules tendent vers zéro à . Dans chaque cellule de la partition, on sélectionne un point arbitraire pour que l'ensemble des points contienne tous les points correspondant aux partitions précédentes. Désignons par l'ensemble des réalisations d'une fonction aléatoire X, dont les valeurs en points appartiennent respectivement aux ensembles. On obtient alors une séquence d'ensembles de réalisations d'une fonction aléatoire X, dont chacun comprend tous les ensembles suivants . Supposons que le produit de tous les ensembles (c'est-à-dire l'ensemble des réalisations d'une fonction aléatoire X appartenant à tous les ensembles coïncide avec l'ensemble original de réalisations A, à l'exception de certaines réalisations exceptionnelles qui ont une probabilité totale d'occurrence nulle, pour tout choix d'un tel ensemble de réalisations A. Cette hypothèse impose certaines restrictions sur la nature des réalisations possibles d'une fonction aléatoire... À savoir, il est nécessaire que tout ensemble de ses réalisations puisse être déterminé avec n'importe quel degré de précision, imposant des restrictions sur en un nombre fini de points suffisamment proches les uns des autres. En supposant dans la formule (48.7)

Trouvons les valeurs de la mesure de probabilité d'une fonction aléatoire pour les ensembles. Les nombres forment une séquence monotone non croissante de nombres non négatifs. Il y a donc une limite

qui est la valeur de la mesure de probabilité de la fonction aléatoire X pour l'ensemble considéré de ses implémentations A.

Les formules (48.7) et (48.8) déterminent la mesure de probabilité d'une fonction aléatoire pour tous les ensembles cylindriques de réalisations. Cela suffit pour le définir pour n’importe quel ensemble d’implémentations.

Pour une fonction aléatoire, vous pouvez également définir la fonctionnelle de distribution, qui est une généralisation naturelle de la fonction de distribution d'une variable aléatoire. Conformément à la définition de la fonction de distribution (14.13), la fonctionnelle de distribution d'une fonction aléatoire X est la probabilité que l'inégalité soit satisfaite pour toutes les valeurs de l'argument

où est une fonction arbitrairement spécifiée. La quantité est une fonctionnelle, puisqu'elle dépend du type de fonction. Évidemment, la fonctionnelle de distribution d'une fonction aléatoire est la valeur de sa mesure de probabilité correspondant à l'ensemble de toutes les réalisations, dont les valeurs pour chacune appartiennent à la intervalle semi-infini correspondant. Par conséquent, sur la base de (48.8) et (48.7), la fonction aléatoire fonctionnelle de distribution X est exprimée par la formule

La mesure de probabilité et la fonctionnelle de distribution d'une fonction aléatoire n'ont pas encore beaucoup de signification pratique, du fait que les méthodes de calcul d'intégrales du type (18.12) pour une mesure de probabilité arbitrairement donnée sont actuellement très peu développées.

De manière tout à fait similaire, on peut généraliser la notion de fonction caractéristique aux fonctions aléatoires. En considérant une fonction aléatoire comme une collection d'un ensemble infini de variables aléatoires dépendant d'un paramètre en constante évolution et en généralisant la définition de la fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire dimensionnel (28.1), nous devrons étendre la somme de l'exposant à tous valeurs possibles du paramètre en constante évolution. Dans ce cas, nous devrons prendre et remplacer la somme à la place de l'intégrale. En conséquence, nous obtenons la définition de la fonctionnelle caractéristique d'une fonction aléatoire réelle

où l'intégrale s'étend sur tout le domaine de variation de l'argument. La fonctionnelle caractéristique d'une fonction aléatoire dépend de la fonction (c'est-à-dire des valeurs de cette fonction pour toutes les valeurs de l'argument

La caractéristique fonctionnelle est une caractéristique exhaustive d'une fonction aléatoire. En effet, définissant la fonction k comme une combinaison linéaire de fonctions impulsionnelles :

En fonction des propriétés de la -fonction, nous obtenons :

En comparant cette expression avec (28.1), nous arrivons à la conclusion que la quantité est une fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire dimensionnel avec des composantes. Par conséquent, en utilisant la formule (28.14), nous pouvons déterminer la densité de probabilité -dimensionnelle d'une fonction aléatoire pour n'importe quelle valeur. Ainsi, si la fonctionnelle caractéristique reçoit une fonction aléatoire, alors ses valeurs pour des types particuliers de fonctions déterminent toutes les lois de distribution d'une fonction aléatoire.

On peut donner une définition plus générale de la caractéristique fonctionnelle. Pour ce faire, il faut au préalable définir une fonctionnelle linéaire. Une fonctionnelle linéaire est une quantité qui dépend de la fonction et satisfait à la condition

où sont les constantes arbitraires et les fonctions arbitraires. L'intégrale de l'exposant dans la formule (48.11) est évidemment une fonctionnelle linéaire d'une fonction aléatoire. La somme dans l'exposant de la formule (48.13) est également une fonctionnelle linéaire d'une fonction aléatoire. La fonctionnelle linéaire d'une fonction peut être abrégée par en omettant les parenthèses et la notation de l'argument de la fonction x.

En généralisant la définition (48.11), on peut définir la fonctionnelle caractéristique d'une fonction aléatoire par la formule

où A est une fonctionnelle linéaire arbitraire. En spécifiant dans la formule (48.15) la fonctionnelle linéaire A sous forme d'intégrale ou de somme, on obtient les formules (48.11) et (48.13) comme cas particuliers de la formule (48.15). La formule (48.15) définit la caractéristique fonctionnelle dans le cas où l'argument de la fonction aléatoire X est un vecteur, dont certaines composantes sont des variables à variation continue, et d'autres composantes sont des variables discrètes, tandis que la formule (48.11) définit la caractéristique fonctionnelle uniquement dans c'est notamment le cas lorsque toutes les composantes du vecteur sont des variables en constante évolution.

Si la fonctionnelle caractéristique d'une fonction aléatoire X est définie par la formule

où sont certaines fonctions, et les indices des fonctionnelles linéaires A indiquent les fonctions auxquelles elles s'appliquent, puis les fonctions caractéristiques de tous les nombres de dimensions de la fonction aléatoire A

sera normal et, par conséquent, la fonction aléatoire X est normalement distribuée. Ainsi, la formule (48.16) détermine la fonctionnelle caractéristique d'une fonction aléatoire normalement distribuée. Cette formule est une généralisation évidente de la formule (28.18) pour la fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire normalement distribué.

Exemple 1. Trouver la densité de probabilité d'une fonction aléatoire d'une variable indépendante scalaire avec des incréments indépendants si sa valeur est égale à zéro et que son incrément sur n'importe quel intervalle est normalement distribué et a une espérance mathématique égale à zéro et à la variance

Dans ce cas, la valeur de la fonction aléatoire X à tout est égale à la somme de sa valeur à (égale à zéro) et de son incrément sur l'intervalle. Par conséquent, la densité de probabilité unidimensionnelle de la fonction aléatoire X est déterminée par la formule

La fonction aléatoire considérée est évidemment un processus aléatoire de Markov, puisque son incrément sur n'importe quel intervalle ne dépend pas de ses valeurs en dehors de cet intervalle et, par conséquent, sa valeur à la fin de l'intervalle n'est associée qu'à sa valeur au début de l'intervalle et n'a aucun lien statistique direct avec ses valeurs aux points précédant le début de l'intervalle. En conséquence, pour déterminer toutes les densités de probabilité d'une fonction aléatoire X dans ce cas, il suffit de trouver la densité de probabilité conditionnelle de sa valeur à la fin de n'importe quel intervalle par rapport à sa valeur au début de l'intervalle. Cette densité de probabilité conditionnelle est évidemment exprimée par la formule

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Fonction aléatoire - une fonction qui, du fait de l'expérience, peut prendre telle ou telle forme spécifique inconnue d'avance. Habituellement, l'argument d'une fonction aléatoire (r.f.) est le temps, alors la r.f. appelé processus aléatoire(s.p.).

S.f. argument en constante évolution t un tel r.v. est appelé, dont la distribution ne dépend pas seulement de l'argument t=t1, mais aussi sur quelles valeurs particulières cette quantité a pris pour d'autres valeurs de cet argument t = t 2. Ces camping-cars sont corrélés les uns aux autres et plus les valeurs des arguments sont proches, plus elles sont proches les unes des autres. A la limite, lorsque l'intervalle entre deux valeurs de l'argument tend vers zéro, le coefficient de corrélation est égal à un :

ceux. t 1 et t1+Dt1à Dt1®0 sont liés par une relation linéaire.

S.f. prend, à la suite d'une expérience, un ensemble innombrable (en général, indénombrable) de valeurs - une pour chaque valeur de l'argument ou pour chaque ensemble de valeurs des arguments. Cette fonction a une valeur très spécifique pour chaque instant. Le résultat de la mesure d’une quantité en constante évolution est une telle valeur r.v. qui, dans chaque expérience donnée, représente une certaine fonction du temps.

S.f. peut également être considéré comme un ensemble infini de r.v., dépendant d'un ou plusieurs paramètres en constante évolution t. Chaque valeur de paramètre donnée t correspond à un s dans Xt. Ensemble tous s.v. X t déterminer s.f. X(t). Ces véhicules récréatifs. sont corrélés les uns aux autres et plus ils sont forts, plus ils sont proches les uns des autres.

Élémentaire s.f. – c'est le produit d'un véhicule récréatif ordinaire. Xà une fonction non aléatoire j(t) : X(t)=X×j(t), c'est à dire. une telle SF, dans laquelle ce n'est pas la forme qui est aléatoire, mais seulement son échelle.

S.f. - a un m.o. égal à zéro. p– densité de distribution des véhicules récréatifs X(valeurs s.f. X(t)), pris à une valeur arbitraire t 1 argument t.

Mise en œuvre de s.f. X(t)– décrit par l’équation x=f1(t)à t=t1 et l'équation x=f2(t)à t=t2.

Fonctionne généralement x=f1(t) Et x=f2(t)– diverses fonctions. Mais ces fonctions sont identiques et linéaires, d'autant plus ( t1®t2) t 1 est plus proche de t 2.

Densité de probabilité unidimensionnelle s.f. p(x,t)- dépend de X et du paramètre t. Densité de probabilité bidimensionnelle p(x1,x2;t1,t2)– loi commune de répartition des valeurs X(t1) et X(t2) Avec. F. X(t) pour deux valeurs arbitraires t Et t argument ¢ t.

. (66.5)

En général, la fonction X(t) caractérisé par un grand nombre n-lois dimensionnelles de distribution .

M.o. s.f. X(t)- fonction non aléatoire, qui pour chaque valeur d'argument tégal à m.o. ordonnées s.f. avec cet argument t.

- fonction en fonction de X Et t.

De même, la dispersion est une fonction non aléatoire.

Degré de dépendance r.v. pour différentes valeurs de l'argument est caractérisé par une fonction d'autocorrélation.

Fonction d'autocorrélation s.f. X(t) Kx(ti,tj), qui pour chaque paire de valeurs ti, tjégal au moment de corrélation des ordonnées correspondantes du s.f. (à je = j la fonction de corrélation (c.f.) se transforme en dispersion du c.f.) ;

où est la densité de distribution conjointe de deux v.r. (valeurs s.f.) prises à deux valeurs arbitraires t 1 et t 2 arguments t. À t1=t2=t nous obtenons la variance D(t).

Fonction d'autocorrélation - un ensemble de m.o. produits d'écarts de deux ordonnées s.f. , pris avec les arguments t1 Et t 2, à partir des ordonnées de la fonction non aléatoire m.o. , pris avec les mêmes arguments.

La fonction d'autocorrélation caractérise le degré de variabilité du s.f. quand l'argument change. En figue. il est clair que la dépendance entre les valeurs du s.f. correspondant à deux valeurs données de l'argument t- plus faible dans le premier cas.

Riz. Fonctions aléatoires liées à la corrélation

Si deux s.f. X(t) Et Yt), formant le système ne sont pas indépendants, alors leur fonction de corrélation mutuelle est identiquement non nulle :

où est la densité de distribution conjointe de deux v.r. (valeurs de deux s.f. X(t) Et Yt)), pris avec deux arguments arbitraires ( t 1 - argument de fonction X(t), t 2 - argument de fonction Yt)).

Si X(t) et Y(t) sont indépendants, alors K XY( t1,t2)=0. Système de n s.f. X 1(t), X2(t),...,Xn(t) caractérisé n m.o. , n fonctions d'autocorrélation et plus encore n(n-1)/2 fonctions de corrélation.

Fonction de corrélation mutuelle (caractérise la relation entre deux s.f., c'est-à-dire la dépendance stochastique) de deux s.f. X(t) Et Yt)- fonction non aléatoire de deux arguments t moi et t j, qui pour chaque paire de valeurs t je, t j est égal au moment de corrélation des sections correspondantes du s.f. Il établit une connexion entre deux valeurs de deux fonctions (valeurs - r.v.), avec deux arguments t 1 et t 2.

Sont particulièrement importants Stationnaire fonctions aléatoires , dont les caractéristiques probabilistes ne changent pas avec un changement d'argument. M.o. stationnaire s.f. est constante (c'est-à-dire n'est pas une fonction), et la fonction de corrélation dépend uniquement de la différence entre les valeurs des arguments t moi et t j.

C'est une fonction paire (symétriquement OY).

Pour un intervalle de temps important t=t2-t1écart de l'ordonnée s.f. de sa m.o. à un moment donné t 2 devient pratiquement indépendant de la valeur de cet écart à l'instant t 1. Dans ce cas, la fonction KX(t), donnant la valeur du moment de corrélation entre X(t1) Et X(t2),à ½ t½®¥ tend vers zéro.

De nombreux s.f. stationnaires avoir ergodique propriété, qui est celle avec un intervalle d'observation augmentant de manière illimitée, la valeur moyenne observée du s.f. stationnaire. avec une probabilité égale à 1, s'approchera indéfiniment de sa m.o. Observation de s.f. stationnaires à différentes valeurs de t sur un intervalle suffisamment grand dans une expérience équivaut à observer ses valeurs à la même valeur t dans un certain nombre d'expériences.

Parfois, il est nécessaire de déterminer les caractéristiques du s.f. transformé. selon les caractéristiques du s.f. initial. Donc si

(70.5),

Que ceux. m.o. intégrale (dérivée) de s.f. égal à l'intégrale (dérivée) de m.o. ( yt)- taux de changement de s.f. X(t), - taux de changement de m.o.).

Lors de l'intégration ou de la différenciation de s.f. nous obtenons également s.f. Si X(t) est normalement distribué, alors Z(t) Et Yt) sont également normalement distribués. Si X(t)– stationnaire s.f., alors Z(t) plus stationnaire s.f., parce que dépend de t.

Exemples de fonctions de corrélation.

1) (de (2) à b®0) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5)(de (3) avec b®0); 6) (de (4) avec b®0).

Sur les cartes un= 1, b= 5, s= 1.

un- caractérise le taux de diminution de la corrélation entre les ordonnées du s.f. avec une différence croissante entre les arguments de ces ordonnées t.

un B- caractérise le « degré d'irrégularité du processus ». À faible un B les ordonnées du processus s'avèrent fortement corrélées et la mise en œuvre du processus s'apparente à une sinusoïde ; en général un B (71.5).

La formule (71) pour une fonction stationnaire prend la forme :

Fonction de corrélation s.f. et son dérivé . Pour un processus stationnaire différentiable, l'ordonnée s.f. et sa dérivée prises en même temps sont non corrélées r.v. (et pour un processus normal, indépendant).

En multipliant s.f. au déterministe, nous obtenons s.f. Z(t)=une(t)X(t), dont la fonction de corrélation est égale à

KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (72.5),

Où à)- fonction déterministe.

La somme de deux s.f. est aussi s.f. Z(t)=X(t)+Y(t) et sa fonction de corrélation en présence d'une corrélation entre X(t) et Y(t) :

KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+ 2KXY(t1,t2),(73.5)

Où KXY(t1,t2)- voir (68.5) - fonction de corrélation mutuelle de deux s.f. X(t) Et Yt).

Si X(t) Et Yt) sont indépendants, alors KXY(t1,t2)=0. M.o. s.f. Z(t): .

1. CONCEPT DE FONCTION ALÉATOIRE

Jusqu’à une certaine époque, la théorie des probabilités se limitait à la notion de variables aléatoires. Leur utilisation permet d'effectuer des calculs statiques prenant en compte des facteurs aléatoires. Cependant, les systèmes mécaniques sont également soumis à diverses influences dynamiques, c'est-à-dire à des influences aléatoires qui varient dans le temps. Il s'agit notamment des effets des vibrations et des chocs lors du mouvement des véhicules, des forces aérodynamiques provoquées par les turbulences atmosphériques, des forces sismiques, des charges provoquées par des écarts aléatoires par rapport aux conditions nominales de fonctionnement des machines.

Les phénomènes dynamiques aléatoires sont étudiés en analysant les tendances de l'économie (par exemple, l'évolution des cours des actions ou des devises). Le fonctionnement dans des conditions de perturbations aléatoires est typique des systèmes de contrôle de divers objets dynamiques.

Pour analyser de tels phénomènes, le concept est utilisé fonction aléatoire. Fonction aléatoire X(t) une telle fonction argument est appelée t, dont la valeur pour tout t est une variable aléatoire. Si l'argument prend des valeurs discrètes t 1 , t 2 , …, merci puis ils parlent d'une séquence aléatoire X 1 , X 2 ,…, Xk, Où X je = X(je).

Dans de nombreux problèmes pratiques, un argument non aléatoire t a le sens du temps, et la fonction aléatoire est appelée processus aléatoire, et la séquence aléatoire est des séries chronologiques. Dans le même temps, l'argument d'une fonction aléatoire peut avoir une signification différente. Par exemple, on peut parler du terrain Z(X, oui), où les arguments sont les coordonnées de localisation X Et oui, et le rôle d'une fonction aléatoire est joué par la hauteur au-dessus du niveau de la mer z. Dans ce qui suit, par souci de précision, compte tenu des applications des fonctions aléatoires à l’étude des systèmes dynamiques, nous parlerons de processus aléatoires.

Supposons que lorsqu'on étudie un processus aléatoire X(t) produit n des expériences indépendantes et des implémentations ont été obtenues

représentant n fonctions déterministes. La famille de courbes correspondante caractérise dans une certaine mesure les propriétés d'un processus aléatoire. Ainsi, la figure 1.1a montre des implémentations d'un processus aléatoire avec un niveau moyen constant et un étalement de valeurs autour de la moyenne ; sur la figure. 1.1b – implémentations d'un processus aléatoire avec une moyenne constante et un écart variable, sur la Fig. 1.1c – implémentations d'un processus aléatoire avec une moyenne et un étalement variables dans le temps.

Figure 1.1. Implémentations typiques de processus aléatoires

En figue. La figure 1.2 montre les implémentations de deux processus aléatoires qui ont le même niveau moyen et la même répartition, mais diffèrent en termes de fluidité. Réalisations du processus aléatoire de la Fig. 1.2a sont de nature haute fréquence, et sur la Fig. 1.2b – basse fréquence.

Riz. 1.2. Processus aléatoires à haute et basse fréquence

Ainsi, X(t) peut également être considéré comme un ensemble de toutes les implémentations possibles, soumises à certaines lois probabilistes. Comme pour les variables aléatoires, les fonctions de distribution ou densités fournissent une description complète de ces modèles. Un processus aléatoire est considéré comme étant donné si toutes les lois multidimensionnelles de distribution des variables aléatoires sont données X(je), X(t 2 ), …, X(tn) pour toutes les valeurs t 1 , t 2 , …, tn depuis la zone de changement d'argument t. On parle notamment de densité de distribution unidimensionnelle, de densité de distribution bidimensionnelle etc. .

Pour simplifier l'analyse, nous nous limitons dans la plupart des cas aux caractéristiques des moments, et nous utilisons le plus souvent des moments du premier et du deuxième ordre. Pour caractériser le niveau moyen d'un processus aléatoire, l'espérance mathématique est utilisée

. (1.1)

Pour caractériser l'amplitude des écarts d'un processus aléatoire par rapport au niveau moyen, la dispersion est utilisée

Pour caractériser la variabilité (douceur) d'un processus aléatoire, la fonction de corrélation (autocorrélation) est utilisée

(1.3)

Comme il ressort de (1.3), la fonction de corrélation est la covariance de variables aléatoires X(t 1) et X(t 2). La covariance, comme le montre le cours de théorie des probabilités, caractérise l'interdépendance entre X(t 1) et X(t 2).

Dans le cadre de la théorie de corrélation des fonctions aléatoires, qui opère uniquement sur les moments du premier et du second ordre, de nombreux problèmes techniques peuvent être résolus. En particulier, il est possible de déterminer des probabilités a priori et conditionnelles pour qu'un processus aléatoire dépasse des limites spécifiées. Dans le même temps, certains problèmes pratiquement importants ne peuvent être résolus au moyen de la théorie des corrélations et nécessitent l'utilisation de densités de distribution multidimensionnelles. Ces tâches incluent, par exemple, le calcul du temps moyen qu'un processus aléatoire passe au-dessus ou en dessous d'une limite donnée.

2. TYPES DE PROCESSUS ALÉATOIRES

2.1. Processus aléatoires quasi-déterministes

Remarques préliminaires. Trouvons l'image de Fourier de d-les fonctions.

Évidemment, la transformée de Fourier inverse est également valable :

Et:

1. Laissez le processus être une valeur constante x(t)=A o . Comme nous l'avons découvert précédemment, la fonction de corrélation d'un tel processus est égale à Trouvons la densité spectrale du processus par transformée de Fourier directe de la fonction R(t) :

Le spectre du processus est constitué d'un seul pic de type fonction impulsionnelle situé à l'origine. Ainsi, s’il n’y a qu’une seule fréquence dans un processus w=0, cela signifie que toute la puissance du processus est concentrée à cette fréquence, ce qui confirme la forme de la fonction S(w). Si une fonction aléatoire contient une composante constante, c'est-à-dire valeur moyenne, alors S(w) aura une discontinuité à l'origine et sera caractérisé par la présence d-fonctionne en un point w=0.

2. Pour la fonction harmonique X=A o péché(w 0 t+j) fonction de corrélation :

La densité spectrale est

Calendrier S(w) aura deux pics de type fonction impulsionnelle, situés symétriquement par rapport à l'origine des coordonnées à w=+w 0 et w=-w 0 . Cela suggère que la puissance du processus est concentrée sur deux fréquences + w 0 et - w 0 .

Si une fonction aléatoire a des composantes harmoniques, alors la densité spectrale présente des discontinuités en certains points. w= ± w 0 et se caractérise par la présence de deux fonctions delta situées en ces points.

bruit blanc . Le bruit blanc est compris comme un processus aléatoire qui a les mêmes valeurs de densité spectrale à toutes les fréquences de -¥ à +¥ : S( w) = Const.

Un exemple d'un tel processus sous certaines hypothèses est le bruit thermique, le rayonnement cosmique, etc. La fonction de corrélation d'un tel processus est égale à

Ainsi R(t) représente la fonction impulsion située à l'origine.

Ce processus est un processus purement aléatoire, car à n'importe t¹0 il n'y a aucune corrélation entre les valeurs suivantes et précédentes de la fonction aléatoire. Un processus avec une telle densité spectrale est physiquement irréaliste, car cela correspond à une variance et un carré moyen infiniment grands de la variable aléatoire :

Un tel processus correspond à une puissance infiniment grande et à une source d’énergie infiniment grande.

2. Bruit blanc à bande limitée. Ce processus est caractérisé par une densité spectrale de la forme

S(w)=Cà ½s½<w n,

S(w)=0 à ½w½>w n.

Où (- w n, w n) bande de fréquences pour la densité spectrale.

Il s'agit d'un processus aléatoire dont la densité spectrale reste quasiment constante dans la gamme de fréquences pouvant influencer le système de contrôle considéré, c'est-à-dire dans la gamme de fréquences transmise par le système. Type de courbe S(w) en dehors de cette plage n'a pas d'importance, car la partie de la courbe correspondant aux fréquences les plus élevées n'affectera pas le fonctionnement du système. Ce processus correspond à la fonction de corrélation

La variance du processus est égale à

5. Signal d'entrée typique d'un système de suivi. Le signal dont le graphique est représenté sur la figure 63 est considéré comme un signal typique. La vitesse de rotation de l'arbre d'entraînement du système d'asservissement maintient une valeur constante pendant certains intervalles de temps t 1, t 2,...

Le passage d'une valeur à une autre se produit instantanément. Les intervalles de temps obéissent à la loi de distribution de Poisson. Valeur attendue

Figure 63. Signal typique

Un graphique de ce type est obtenu en première approximation lors du suivi Radar derrière une cible en mouvement. Les valeurs de vitesse constante correspondent au déplacement de la cible en ligne droite. Un changement de signe ou d'amplitude de la vitesse correspond à la manœuvre cible.

Laisser m-nombre moyen de changements de vitesse par 1 s. Alors T=1/m sera la valeur moyenne des intervalles de temps pendant lesquels la vitesse angulaire maintient sa valeur constante. Appliqué à Radar cette valeur sera la durée moyenne pendant laquelle la cible se déplace en ligne droite. Pour déterminer la fonction de corrélation, il faut trouver la valeur moyenne du produit

Lors de la recherche de cette valeur, il peut y avoir deux cas.

1. Moments dans le temps t Et t+t appartiennent au même intervalle. Alors la moyenne du produit des vitesses angulaires sera égale au carré moyen de la vitesse angulaire ou dispersion :

2. Moments dans le temps t Et t+t appartiennent à des intervalles différents. Alors la moyenne du produit des vitesses sera égale à zéro, puisque les quantités W(t) Et W(t+t) pour différents intervalles peuvent être considérés comme des quantités indépendantes :

La fonction de corrélation est égale à :

où P 1 est la probabilité de trouver les instants t et t+t dans le même intervalle, et P 2 =1- P 1 la probabilité de les trouver dans des intervalles différents.

Estimons la valeur de P 1 . La probabilité qu'un changement de vitesse se produise dans un court intervalle de temps Dt est proportionnelle à cet intervalle et est égale à mDt ou Dt/T. La probabilité que la vitesse ne change pas pendant le même intervalle sera égale à 1-Dt/T. Pour un intervalle de temps t, la probabilité qu'il n'y ait aucun changement de vitesse, c'est-à-dire la probabilité de trouver les instants t et t+t dans le même intervalle de vitesse constante sera égale au produit de la probabilité de non changement de vitesse à chaque intervalle élémentaire Dt, car ces événements sont indépendants. Pour un intervalle fini on trouve que le nombre d'intervalles est égal à t/Dt et

En passant à la limite, on obtient

Devoir de cours

Donné : cinq premiers instants

UN 1 = 1, un 2= 2, un 3= 2, un 4= 1, une 5 = 1 (µ g = 0, µ 0 = 1).

Trouver : cinq points centraux.

Ayant à votre disposition cinq moments initiaux et cinq moments centraux, calculez les valeurs :

UN)valeur attendue;

b)dispersion;

V)écart-type;

G)le coefficient de variation ;

d)coefficient d'asymétrie ;

e)coefficient d'aplatissement.

À l'aide des données obtenues, décrivez qualitativement la densité de probabilité de ce processus.

1. Informations théoriques

Distributions de variables aléatoires et fonctions de distribution

La distribution d'une variable aléatoire numérique est une fonction qui détermine de manière unique la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur donnée ou appartienne à un intervalle donné.

La première est si la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs. Alors la distribution est donnée par la fonction P (X = X),attribuer à chaque valeur possible XVariable aléatoire Xla probabilité que X = x.

La seconde est si la variable aléatoire prend une infinité de valeurs. Ceci n'est possible que lorsque l'espace probabiliste sur lequel la variable aléatoire est définie est constitué d'un nombre infini d'événements élémentaires. Alors la distribution est donnée par l’ensemble des probabilités R (unX pour toutes les paires de nombres un B tel que UN La distribution peut être spécifiée à l'aide de ce qu'on appelle. fonction de distribution F(x) = P (X<х), définir pour tous les vrais X la probabilité que la variable aléatoire X prend des valeurs inférieures à X. Il est clair que

R (unX

Cette relation montre que la distribution peut être calculée à partir de la fonction de distribution et, inversement, la fonction de distribution peut être calculée à partir de la distribution.

Les fonctions de distribution utilisées dans les méthodes probabilistes-statistiques de prise de décision et autres recherches appliquées sont soit discrètes, continues, soit une combinaison de celles-ci.

Les fonctions de distribution discrète correspondent à des variables aléatoires discrètes qui prennent un nombre fini de valeurs ou de valeurs d'un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés par des nombres naturels (de tels ensembles sont appelés dénombrables en mathématiques). Leur graphique ressemble à une échelle à gradins (Fig. 1).

Exemple 1.Nombre Xles articles défectueux d'un lot prennent une valeur de 0 avec une probabilité de 0,3, une valeur de 1 avec une probabilité de 0,4, une valeur de 2 avec une probabilité de 0,2 et une valeur de 3 avec une probabilité de 0,1. Graphique de la fonction de distribution d'une variable aléatoire Xmontré sur la fig. 1.

Riz. 1. Graphique de la fonction de répartition du nombre de produits défectueux.

Les fonctions de distribution continue n'ont pas de sauts. Ils augmentent de façon monotone à mesure que l'argument augmente - de 0 pour x→∞ à 1 pour x→+∞. Les variables aléatoires qui ont des fonctions de distribution continue sont appelées continues.

Les fonctions de distribution continue utilisées dans les méthodes de prise de décision probabilistes-statistiques ont des dérivées. Dérivée première f(x)fonctions de distribution F(x)s'appelle la densité de probabilité,

À l'aide de la densité de probabilité, vous pouvez déterminer la fonction de distribution :

Pour toute fonction de distribution

Les propriétés répertoriées des fonctions de distribution sont constamment utilisées dans les méthodes probabilistes et statistiques de prise de décision. En particulier, la dernière égalité implique une forme spécifique de constantes dans les formules de densités de probabilité considérées ci-dessous.

Exemple 2.La fonction de distribution suivante est souvent utilisée :

(1)

Où UNEt b-quelques chiffres UN Trouvons la densité de probabilité de cette fonction de distribution :

(aux points X = UNEt x = bdérivée d'une fonction F(x)n'existe pas).

Une variable aléatoire de fonction de distribution (1) est dite « uniformément répartie sur le segment ». ».

Les fonctions de distribution mixtes se produisent notamment lorsque les observations s'arrêtent à un moment donné. Par exemple, lors de l'analyse de données statistiques obtenues en utilisant des plans de tests de fiabilité qui prévoient l'arrêt des tests après une certaine période. Ou lors de l’analyse de données sur des produits techniques nécessitant des réparations sous garantie.

Exemple 3.Supposons, par exemple, que la durée de vie d'une ampoule électrique soit une variable aléatoire avec une fonction de distribution. F(t),et le test est effectué jusqu'à ce que l'ampoule tombe en panne, si cela se produit moins de 100 heures après le début du test, ou jusqu'à ce que t0 = 100 heures. Laisser G(t)-fonction de répartition du temps de fonctionnement de l'ampoule en bon état lors de cet essai. Alors

Fonction G(t)a un saut à un moment donné t0 , puisque la variable aléatoire correspondante prend la valeur t0 avec probabilité 1-F(t0 )>0.

Caractéristiques des variables aléatoires.Dans les méthodes probabilistes-statistiques de prise de décision, un certain nombre de caractéristiques de variables aléatoires sont utilisées, exprimées par des fonctions de distribution et des densités de probabilité.

Pour décrire la différenciation des revenus, pour trouver des limites de confiance pour les paramètres de distribution de variables aléatoires et dans de nombreux autres cas, un concept tel que « quantile d'ordre » est utilisé. R",où 0 <р < 1 (noté XR.). Quantile d'ordre R.- la valeur d'une variable aléatoire pour laquelle la fonction de distribution prend la valeur R.ou il y a un « saut » à partir d'une valeur inférieure R.à une valeur supérieure R.(Fig.2). Il peut arriver que cette condition soit satisfaite pour toutes les valeurs de x appartenant à cet intervalle (c'est-à-dire que la fonction de distribution est constante sur cet intervalle et est égale à R).Chacune de ces valeurs est alors appelée un « quantile d’ordre » R".Pour les fonctions de distribution continue, il existe en règle générale un seul quantile XR. commande R.(Fig.2), et

F(xp)=p.(2)

Riz. 2. Détermination du quantile XR. commande R.

Exemple 4.Trouvons le quantile XR. commande R.pour la fonction de distribution F(x)À partir de 1).

À 0 <р < 1 quantile XR. se trouve à partir de l’équation

ceux. XR.= un+ p (b - a) = a (1-p) + bр.À p = 0 aucun XUN est un quantile d'ordre p= 0. Quantile d'ordre R.= 1 est n'importe quel nombre Xb.

Pour les distributions discrètes, en règle générale, il n'y a pas XR., satisfaisant l’équation (2). Plus précisément, si la distribution d'une variable aléatoire est donnée dans le tableau. 1, où X1 < х 2 <… < х À, puis l'égalité (2), considérée comme une équation par rapport à XR., n'a de solutions que pour kvaleurs R,à savoir,

p = p1

p = p1 +p2 ,

p = p1 +p2 +p3 ,

p = p1 +p2 + R.T, 3<т<к,

p = p, + p2 +… +pk

Tableau 1. Distribution d'une variable aléatoire discrète

Valeurs x variables aléatoires Xx1 X2 …XkProbabilités P (X = x)P1 R.2 …R.k

Pour ceux répertoriés Àvaleurs de probabilité R.solution XR. l'équation (2) n'est pas unique, à savoir,

F(x) =р, +р2 +… + R.T

pour tous Xtel que XT < х < х t+1. Ceux. XR. - n'importe quel nombre de l'intervalle (XT; Xm+1). Pour tout le monde R.à partir de l'intervalle (0 ; 1), non inclus dans la liste (3), il y a un « saut » à partir d'une valeur inférieure à R.à une valeur supérieure R.A savoir, si

p1 +p2 +… + pT 1 +p2 + … + pT+pt+1,

Que XR.=xt+1.

La propriété considérée des distributions discrètes crée des difficultés importantes lors de la tabulation et de l'utilisation de telles distributions, car il est impossible de conserver avec précision les valeurs numériques typiques des caractéristiques de distribution. Cela est particulièrement vrai pour les valeurs critiques et les niveaux de signification des tests statistiques non paramétriques (voir ci-dessous), puisque les distributions statistiques de ces tests sont discrètes.

L'ordre des quantiles est d'une grande importance dans les statistiques p =½. C'est ce qu'on appelle la médiane (variable aléatoire Xou ses fonctions de distribution F(x))et est désigné Fourrure).En géométrie, il existe le concept de « médiane » - une ligne droite passant par le sommet d'un triangle et divisant son côté opposé en deux. En statistique mathématique, la médiane divise en deux non pas le côté du triangle, mais la distribution d'une variable aléatoire : l'égalité F(x0,5 ) = 0,5 signifie que la probabilité d'arriver à gauche X0,5 et la probabilité d'arriver à droite X0,5 (ou directement X0,5 ) sont égaux entre eux et égaux ½ , ceux.

La médiane indique le « centre » de la distribution. Du point de vue de l'un des concepts modernes - la théorie des procédures statistiques stables - la médiane est une meilleure caractéristique d'une variable aléatoire qu'une espérance mathématique. Lors du traitement des résultats de mesure sur une échelle ordinale (voir le chapitre sur la théorie de la mesure), la médiane peut être utilisée, mais pas l'espérance mathématique.

Une caractéristique d'une variable aléatoire telle que le mode a une signification claire - la valeur (ou les valeurs) d'une variable aléatoire correspondant au maximum local de la densité de probabilité pour une variable aléatoire continue ou au maximum local de la probabilité pour une variable aléatoire discrète .

Si X0 - mode de variable aléatoire avec densité f(x),comme on le sait

du calcul différentiel,

Une variable aléatoire peut avoir plusieurs modes. Donc, pour une distribution uniforme (1) chaque point Xtel que UN< х < b, c'est la mode. Cependant, c'est une exception. La plupart des variables aléatoires utilisées dans les méthodes statistiques probabilistes de prise de décision et autres recherches appliquées ont un seul mode. Les variables aléatoires, les densités et les distributions qui ont un seul mode sont appelées unimodales.

L'espérance mathématique pour les variables aléatoires discrètes avec un nombre fini de valeurs est discutée dans le chapitre « Événements et probabilités ». Pour une variable aléatoire continue Xvaleur attendue M(X)satisfait l'égalité

Exemple 5.Attente pour une variable aléatoire uniformément distribuée Xéquivaut à

Pour les variables aléatoires considérées dans ce chapitre, toutes les propriétés des attentes et des variances mathématiques qui ont été considérées précédemment pour les variables aléatoires discrètes avec un nombre fini de valeurs sont vraies. Cependant, nous ne fournissons pas la preuve de ces propriétés, car elles nécessitent un approfondissement des subtilités mathématiques, ce qui n'est pas nécessaire pour la compréhension et l'application qualifiée des méthodes probabilistes-statistiques de prise de décision.

Commentaire. Ce manuel évite délibérément les subtilités mathématiques liées notamment aux notions d'ensembles mesurables et de fonctions mesurables, d'algèbre des événements, etc. Ceux qui souhaitent maîtriser ces notions devraient se tourner vers la littérature spécialisée, notamment l'encyclopédie.

Chacune des trois caractéristiques – espérance mathématique, médiane, mode – décrit le « centre » de la distribution de probabilité. La notion de « centre » peut être définie de différentes manières – d’où trois caractéristiques différentes. Cependant, pour une classe importante de distributions – symétrique unimodale – les trois caractéristiques coïncident.

Densité de distribution f(x)- densité de distribution symétrique, s'il y a un nombre X0 tel que

(3)

L'égalité (3) signifie que le graphique de la fonction y =f(x)symétrique par rapport à une ligne verticale passant par le centre de symétrie x = x0 . De (3) il s'ensuit que la fonction de distribution symétrique satisfait la relation

(4)

Pour une distribution symétrique avec un mode, l'espérance mathématique, la médiane et le mode coïncident et sont égaux X0 .

Le cas le plus important est la symétrie autour de 0, c'est-à-dire XP. = 0. Alors (3) et (4) deviennent des égalités

(5)

(6)

respectivement. Les relations ci-dessus montrent qu'il n'est pas nécessaire de tabuler des distributions symétriques pour tous X, il suffit d'avoir des tables pour x X0 .

Notons une autre propriété des distributions symétriques, qui est constamment utilisée dans les méthodes probabilistes-statistiques de prise de décision et autres recherches appliquées. Pour une fonction de distribution continue

R(une) = P (-une<Х une) = F(une) - F(-une),

Où F- fonction de distribution d'une variable aléatoire X.Si la fonction de distribution Fest symétrique par rapport à 0, c'est-à-dire la formule (6) est valable pour cela, alors

R(une) =2F(une) - 1.

Une autre formulation de l'énoncé en question est souvent utilisée : si

Si Et - quantiles d'ordre α et 1- α par conséquent (voir (2)) une fonction de distribution symétrique par rapport à 0, alors de (6) il résulte que

A partir des caractéristiques de la position - espérance mathématique, médiane, mode - passons aux caractéristiques de propagation de la variable aléatoire X:

écarts , écart-type σ et coefficient de variation v. La définition et les propriétés de la dispersion pour les variables aléatoires discrètes ont été discutées dans le chapitre précédent. Pour les variables aléatoires continues

L'écart type est la valeur non négative de la racine carrée de la variance :

Le coefficient de variation est le rapport de l'écart type à l'espérance mathématique :

Le coefficient de variation est appliqué lorsque M(X)>0.Il mesure l’écart en unités relatives, tandis que l’écart type est en unités absolues.

Exemple 6.Pour une variable aléatoire uniformément distribuée XTrouvons la dispersion, l'écart type et le coefficient de variation. L'écart est :

Remplacement variable permet d'écrire :

Où c = (b- UN)/2. L’écart type est donc égal à , et le coefficient de variation est :

Pour chaque variable aléatoire Xdéterminer trois autres quantités - centrées Oui,normalisé Vet donné U.Variable aléatoire centrée O-est la différence entre une variable aléatoire donnée Xet son espérance mathématique M(X),ceux. Oui= X - M(X).L'espérance mathématique de la variable aléatoire centrée Г est égale à 0, et la variance est la dispersion de cette variable aléatoire : M(Oui) =0, ré(Oui) = ré(X).Fonction de répartition FOui(X)variable aléatoire centrée Ouilié à la fonction de distribution F(x)variable aléatoire originale Xrapport:

FOui(x) =F (x + M(X)).

Les densités de ces variables aléatoires satisfont à l'égalité

FOui(x) =f (x + M(X)).

Variable aléatoire normalisée Vest le rapport d'une variable aléatoire donnée XÀ son écart type σ , c'est à dire. . Attente et variance d'une variable aléatoire normalisée Vexprimé à travers des caractéristiques XDonc:

Où v- coefficient de variation de la variable aléatoire d'origine X.Pour la fonction de distribution Fv(X)et la densité Fv(X)variable aléatoire normalisée Vnous avons:

Où F(x)- fonction de distribution de la variable aléatoire d'origine X,un f(x) -sa densité de probabilité.

Variable aléatoire réduite U-c'est la variable aléatoire centrée et normalisée :

Pour la variable aléatoire donnée :

(7)

Les variables aléatoires normalisées, centrées et réduites sont constamment utilisées à la fois dans les études théoriques et dans les algorithmes, les produits logiciels, la documentation réglementaire, technique et pédagogique. En particulier, parce que permettent de simplifier la justification des méthodes, la formulation des théorèmes et des formules de calcul.

Des transformations de variables aléatoires et des transformations plus générales sont utilisées. Donc si Y= aX+ b,Où UNet B - quelques chiffres, alors

(8)

Exemple 7.Si Que U -variable aléatoire donnée, et les formules (8) se transforment en formules (7).

Avec chaque variable aléatoire Xvous pouvez associer de nombreuses variables aléatoires Oui,donné par la formule U= aX+bà différents une>0Et b.Cet ensemble s'appelle famille à changement d'échelle,généré par une variable aléatoire X.Fonctions de répartition FOui(X)constituent une famille de distributions à changement d'échelle générée par la fonction de distribution F(x).Au lieu de Oui= aX+ butilise souvent l'enregistrement

(9)

Nombre Avecest appelé le paramètre de décalage, et le nombre d- paramètre d'échelle. La formule (9) montre que X -le résultat de la mesure d'une certaine quantité - entre dans Y - le résultat de la mesure de la même quantité si le début de la mesure est déplacé vers un point Avec,puis utilisez la nouvelle unité de mesure, en dfois plus grand que l’ancien.

Pour la famille des changements d'échelle (9), la distribution de X est dite standard. Dans les méthodes statistiques probabilistes de prise de décision et autres recherches appliquées, la distribution normale standard, la distribution standard de Weibull-Gnedenko, la distribution gamma standard, etc. sont utilisées (voir ci-dessous).

D'autres transformations de variables aléatoires sont également utilisées. Par exemple, pour une variable aléatoire positive Xenvisagent Oui=g X,où LG X-logarithme décimal d'un nombre X.Chaîne d'égalités