Problèmes sur le thème des relations proportionnelles directes et inverses. Proportionnalité directe et inverse

23.09.2019

Dans mon travail, j'utilise formes différentes et méthodes d'enseignement, j'essaie d'utiliser diverses techniques d'organisation Activités éducatives afin que les étudiants soient intéressés à travailler dans les cours. Ce n'est que dans ce cas que l'activité cognitive des étudiants augmente et que la pensée commence à fonctionner de manière plus productive et créative. L’un des moyens de susciter un intérêt croissant pour le sujet est l’utilisation des technologies de l’information.

L'utilisation des technologies informatiques en classe permet de changer continuellement les formes de travail, d'alterner constamment les exercices oraux et écrits, de mettre en œuvre différentes approches pour résoudre des problèmes mathématiques, ce qui crée et entretient constamment la tension intellectuelle des élèves et forme en eux un intérêt durable pour l’étude de ce sujet.

Le travail de groupe pendant la leçon stimule l'activité cognitive des élèves, favorise leur implication dans des activités créatives et de communication. Dans le processus de travail individuel, les étudiants eux-mêmes s'efforcent de résoudre des problèmes ; l'éducation se transforme en auto-éducation.

Performance tâches créatives favorise l'utilisation connaissances scolaires dans des situations réelles.

Type de cours : leçon combinée

Objectifs de la leçon:

Cognitif:
- assurer que les élèves comprennent consciemment les concepts de dépendance proportionnelle directe et inverse lors de la résolution de problèmes ;
- vérifiez votre niveau de connaissances sur ce sujet grâce diverses formes travail.
Du développement:
- activer l'activité mentale des étudiants grâce à la participation de chacun d'eux au processus de travail ;
- développer l'attention, la mémoire, les capacités intellectuelles et créatives ;
- développer la sphère émotionnelle des étudiants pendant le processus d'apprentissage ;
- développer le contrôle et la maîtrise de soi.
Éducatif:
- créer des sentiments de coopération et d’entraide ;
- développer des compétences pratiques;
- développer un intérêt pour le sujet étudié.

Plan de cours:

Organisation du temps(2 minutes.)
Comptage oral (4 min.)
Analyse des problèmes résolus par les étudiants (5 min.)
Minute d'éducation physique (2 min.)
Consolidation de la matière étudiée, travail de groupe (16 min.)
Travail indépendant (13 min.)
Résumé de la leçon (2 min.)
Devoirs(1 minute.)

PENDANT LES COURS

1. Moment organisationnel

Salutation mutuelle, enregistrement du sujet de la leçon. Organisation du travail avec des cartes d'autocontrôle.

2. Répétition du matériel

a) Solution de problèmes de proportionnalité directe et inverse par deux élèves du tableau
b) les autres répètent oralement les concepts de base :

Quels sont les nombres x et y appelés dans la proportion x : a = b : y ?
l'égalité de deux relations s'appelle...
Quel type de relation est appelé directement proportionnel ?
Quel type de relation est appelé inversement proportionnel ?
un centième de nombre vaut...

Travailler avec des cartes de maîtrise de soi (nombre maximum de points – 1).

3. Comptage oral

1. Jeu « Silence »

a) Laquelle des égalités peut être appelée proportions ?

Si la proportion est correcte, les élèves lèvent des cartons verts ; sinon, des cartons rouges.

b) Les relations suivantes sont-elles directement ou inversement proportionnelles ?

1) le nombre de lecteurs par rapport au nombre de livres dans la bibliothèque ;
2) la distance parcourue par la voiture à vitesse et temps de déplacement constants ;
3) l'âge de la personne et la pointure de ses chaussures ;
4) le périmètre du carré et la longueur de ses côtés ;
5) vitesse et temps lors du passage sur la même section de l'itinéraire.

Si l’affirmation est vraie, alors les élèves lèvent des cartons verts ; sinon, des cartons rouges.

Travailler avec des cartes de maîtrise de soi (le score maximum pour le comptage oral est de 2).

2. Analyse des problèmes résolus par les élèves au tableau.

a) L'hirondelle a parcouru une certaine distance en 0,5 heure à une vitesse de 50 km/h. Combien de minutes faudra-t-il à un martinet pour parcourir la même distance si sa vitesse est de 100 km/h ?

Solution:

Soit x heures le temps de vol du martinet.

50 km/h – 0,5 h
100 km/h – Xh

0,25 h = 25/100 = 1/4 h = 15 min.

Répondre: en 15 minutes.

b) La betterave a été amenée à la sucrerie, d'où l'on obtient 12 % de sucre. Quelle quantité de sucre seront produites à partir de 30 tonnes de betteraves de cette variété ?

Solution:

Laissez x t de sucre sortir.

Répondre: 3,6 t.

4. Minute d'éducation physique

5. Travail de groupe

Il y a des cartes sur vos tables. Ils ont 4 tâches chacun. Les groupes 1, 3, 5 décident en partant du n°1. Les groupes 2, 4, 6 résolvent à partir du numéro 4 (dans l'ordre inverse).

1) 80 kg de pommes de terre contiennent 14 kg d'amidon. Trouvez le pourcentage d'amidon dans ces pommes de terre.

Solution:

Supposons que x% d'amidon soit contenu dans les pommes de terre.

17,5% sont de l'amidon.

Répondre: 17, 5 %

2) Vous pouvez nager d'un village à un autre le long de la rivière en 1h30. Combien de temps faudra-t-il à un bateau à moteur pour parcourir cet itinéraire si la vitesse du bateau est de 3 km/h et la vitesse du bateau est de 13,5 km/h. hein ?

Solution:

Soit x heures le temps pendant lequel le bateau bouge


	3km/h 13,5km/h	– 1h30 – Xh

Répondre: 20 minutes

3) Lors du nettoyage des graines de tournesol, 28 % sont des coques. Quelle quantité de céréales pures sera produite à partir de 150 tonnes de graines de tournesol ?

Solution:

Soit x t de grain obtenu.

150 – 42 = 108 (t)

108 tonnes de céréales.

Répondre: 108 t.

4) Pour transporter la cargaison, 48 véhicules d'une capacité de charge de 7,5 tonnes ont été nécessaires. Combien de véhicules d'une capacité de charge de 4,5 tonnes sont nécessaires pour transporter la même cargaison ?

Solution:

Prenons x véhicules d'une capacité de charge de 4,5 tonnes.

Réponse : 80 voitures.

Vérifier les solutions aux problèmes au tableau.

Travailler avec des cartes de maîtrise de soi (nombre maximum de points – 8 ; chaque tâche 2 points)

5. Travail indépendant individuel 4 possibilités.

Option I

1) Papa a payé 48 roubles pour 4 boîtes de crayons identiques. Combien coûtent 7 de ces boîtes de crayons ?

2) Trois étudiants ont désherbé un lit de jardin en 4 heures. Combien d’heures faudra-t-il à 2 étudiants pour réaliser le même travail ?

Option II

1) Lors de la cuisson de la viande, il reste 65 % de la masse. Quelle quantité de viande cuite obtiendrez-vous avec 2 kg de viande crue ?

2) Quatre maçons peuvent terminer le travail en 15 jours. En combien de jours trois maçons peuvent-ils réaliser ce travail ?

Option III

1) La fleur de tilleul perd 74 % de son poids. Combien de fleurs de tilleul sèches peut-on obtenir à partir de 300 kg de fleurs fraîches ?

2) Un motocycliste a roulé pendant 3 heures à une vitesse de 60 km/h. Combien d'heures lui faudra-t-il pour parcourir la même distance à une vitesse de 45 km/h ?

Option IV

1) Les agriculteurs cubains nous offrent de la canne à sucre pour la production sucrière. Lorsqu'elle est transformée en sucre, la canne à sucre perd 91 % de sa masse initiale. De quelle quantité de canne à sucre faut-il pour obtenir 900 kg de sucre ?

2) Par une journée chaude, 6 Kostsy ont bu un fût de kvas en 1,5 heure. Combien de Kostsy boiront le même fût en 3 heures ?

7. Résumer la leçon

– Quels types de problèmes avons-nous résolus en classe ?

Les élèves résument la leçon dans des cartes de maîtrise de soi et donnent des notes

16-17 points – « 5 »
13-15 points – « 4 »
9-12 points – « 3 »

– Les objectifs de la leçon ont été atteints et, surtout, le travail s'est déroulé dans une atmosphère créative.

8. Devoirs

Répétez les étapes 13 à 18.

Devoir de manuel : N° 817, n° 812, différencié n° 818.

Littérature

Manuel de mathématiques 6ème année les établissements d'enseignement, auteurs : N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburgd, Moscou. "Mnémosyne", 2011.
Collection tâches de test pour le contrôle thématique et final Mathématiques 6e année Moscou, "Intellect-Center" 2009.
A.I. Ershova, V.V. Goloborodko. Mathématiques 6. Indépendant et papiers de test.– M : Ilexa, 2011.

La proportionnalité est une relation entre deux quantités, dans laquelle une modification de l'une d'elles entraîne une modification de l'autre du même montant.

La proportionnalité peut être directe ou inverse. DANS Cette leçon nous examinerons chacun d'eux.

Contenu de la leçon

Proportionnalité directe

Supposons que la voiture roule à une vitesse de 50 km/h. On rappelle que la vitesse est la distance parcourue par unité de temps (1 heure, 1 minute ou 1 seconde). Dans notre exemple, la voiture roule à une vitesse de 50 km/h, c'est-à-dire qu'en une heure elle parcourra une distance de cinquante kilomètres.

Représentons sur la figure la distance parcourue par la voiture en 1 heure.

Laissez la voiture rouler encore une heure à la même vitesse de cinquante kilomètres par heure. Ensuite, il s'avère que la voiture parcourra 100 km

Comme le montre l'exemple, doubler le temps entraîne une augmentation de la distance parcourue du même montant, c'est-à-dire deux fois.

Des quantités telles que le temps et la distance sont dites directement proportionnelles. Et la relation entre ces quantités s'appelle proportionnalité directe.

La proportionnalité directe est le rapport entre deux quantités dans lequel une augmentation de l'une d'elles entraîne une augmentation de l'autre du même montant.

et vice versa, si une quantité diminue d'un certain nombre de fois, alors l'autre diminue du même nombre de fois.

Supposons que le plan initial était de conduire une voiture sur 100 km en 2 heures, mais qu'après avoir parcouru 50 km, le conducteur a décidé de se reposer. Il s'avère ensuite qu'en réduisant la distance de moitié, le temps diminuera du même montant. En d’autres termes, réduire la distance parcourue entraînera une diminution du temps d’autant.

Une caractéristique intéressante des quantités directement proportionnelles est que leur rapport est toujours constant. Autrement dit, lorsque les valeurs de quantités directement proportionnelles changent, leur rapport reste inchangé.

Dans l'exemple considéré, la distance était initialement de 50 km et le temps était d'une heure. Le rapport distance/temps est le nombre 50.

Mais nous avons multiplié par 2 le temps de trajet, ce qui l'a rendu égal à deux heures. En conséquence, la distance parcourue a augmenté du même montant, c'est-à-dire qu'elle est devenue égale à 100 km. Le rapport de cent kilomètres à deux heures est à nouveau le nombre 50

Le nombre 50 s'appelle coefficient de proportionnalité directe. Il montre la distance qu'il y a par heure de mouvement. Dans ce cas, le coefficient joue le rôle de vitesse de déplacement, puisque la vitesse est le rapport de la distance parcourue au temps.

Les proportions peuvent être faites à partir de quantités directement proportionnelles. Par exemple, les ratios constituent la proportion :

Cinquante kilomètres correspondent à une heure, ce que cent kilomètres correspondent à deux heures.

Exemple 2. Le coût et la quantité des biens achetés sont directement proportionnels. Si 1 kg de bonbons coûte 30 roubles, alors 2 kg des mêmes bonbons coûteront 60 roubles, 3 kg 90 roubles. À mesure que le coût d'un produit acheté augmente, sa quantité augmente du même montant.

Puisque le coût d'un produit et sa quantité sont des quantités directement proportionnelles, leur rapport est toujours constant.

Écrivons quel est le rapport de trente roubles pour un kilogramme

Écrivons maintenant quel est le rapport entre soixante roubles et deux kilogrammes. Ce rapport sera à nouveau égal à trente :

Ici, le coefficient de proportionnalité directe est le nombre 30. Ce coefficient indique le nombre de roubles par kilogramme de bonbons. DANS dans cet exemple le coefficient joue le rôle du prix d'un kilogramme de marchandise, puisque le prix est le rapport du coût de la marchandise à sa quantité.

Proportionnalité inverse

Considérez l'exemple suivant. La distance entre les deux villes est de 80 km. Le motocycliste a quitté la première ville et, à une vitesse de 20 km/h, a atteint la deuxième ville en 4 heures.

Si la vitesse d'un motocycliste était de 20 km/h, cela signifie qu'il parcourait chaque heure une distance de vingt kilomètres. Représentons sur la figure la distance parcourue par le motocycliste et le temps de son déplacement :

Au retour, la vitesse du motocycliste était de 40 km/h et il a effectué 2 heures sur le même trajet.

Il est facile de remarquer que lorsque la vitesse change, le temps de déplacement change du même montant. De plus, cela a changé dans la direction opposée - c'est-à-dire que la vitesse a augmenté, mais le temps, au contraire, a diminué.

Des quantités telles que la vitesse et le temps sont dites inversement proportionnelles. Et la relation entre ces quantités s'appelle proportionnalité inverse.

La proportionnalité inverse est la relation entre deux quantités dans laquelle une augmentation de l'une d'elles entraîne une diminution de l'autre du même montant.

et vice versa, si une quantité diminue d'un certain nombre de fois, alors l'autre augmente du même nombre de fois.

Par exemple, si au retour la vitesse du motocycliste était de 10 km/h, alors il parcourrait les mêmes 80 km en 8 heures :

Comme le montre l'exemple, une diminution de la vitesse a entraîné une augmentation du temps de déplacement du même montant.

La particularité des quantités inversement proportionnelles est que leur produit est toujours constant. Autrement dit, lorsque les valeurs de quantités inversement proportionnelles changent, leur produit reste inchangé.

Dans l'exemple considéré, la distance entre les villes était de 80 km. Lorsque la vitesse et le temps de déplacement du motocycliste changeaient, cette distance restait toujours inchangée

Un motocycliste pourrait parcourir cette distance à une vitesse de 20 km/h en 4 heures, et à une vitesse de 40 km/h en 2 heures, et à une vitesse de 10 km/h en 8 heures. Dans tous les cas, le produit de la vitesse et du temps était égal à 80 km

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Cours de mathématiques en 6ème

sur le thème "Avant et arrière dépendances proportionnelles"

Développé
professeur de mathématiques
Établissement d'enseignement municipal "École secondaire Mikhaïlovskaya du nom
héros Union soviétique V.F. Nesterov"
Kleymenova D.M.

Objectifs de la leçon :

1. Didactique :

promouvoir la formation et la consolidation de compétences en résolution de problèmes en utilisant des proportions ;

apprendre à identifier deux quantités dans des conditions problématiques et à établir le type de relation entre elles ;

rédiger une courte note et faire une proportion ;

consolider les compétences et les capacités pour résoudre des équations qui ont la forme de proportions.

2. Développement :

développer la mémoire, l’attention, poursuivre le développement du discours mathématique des élèves ;

promouvoir le développement activité créativeétudiants et intérêt pour le sujet des mathématiques.

3. Éducatif :

cultiver la précision, développer l'intérêt pour les mathématiques ;

cultiver la capacité d'écouter attentivement les opinions des autres, cultiver la confiance en soi, cultiver une culture de la communication.

Équipement: TSO requis pour la présentation : ordinateur et projecteur, feuilles de papier pour noter les réponses, fiches pour réaliser l'étape de réflexion (trois pour chacune), pointeur.

Type de cours : leçon d’application des connaissances.

Formes d'organisation des cours :travail frontal, collectif, individuel.

Structure de la leçon :

Moment d'organisation, salutations, souhaits.

Vérification du matériel étudié.

Message du sujet de la leçon.

Répétition du matériel appris.

L'étape de contrôle et d'autocontrôle des connaissances et des méthodes d'action.

Étape de synthèse de la leçon.

Devoirs.

Réflexion.

Pendant les cours

Organisation du temps. (diapositive 3)
(Accueillir, enregistrer les absents, vérifier l'état de préparation des élèves au processus éducatif, distribuer des dépliants et des cartes de réflexion, vérifier l'état de préparation de la classe pour le cours, organiser l'attention de l'élève).

Le professeur lit : (diapositive n°3)

Les mathématiques sont la base et la reine de toutes les sciences,
Et je te conseille de te lier d'amitié avec elle, mon amie.
Si vous suivez ses sages lois,
Vous augmenterez vos connaissances
Allez-vous commencer à les utiliser ?
Pouvez-vous nager sur la mer ?
Vous pouvez voler dans l'espace.
Vous pouvez construire une maison pour des personnes :
Cela durera cent ans.
Ne sois pas paresseux, travaille, essaie,
Comprendre le sel de la science.
Essayez de tout prouver
Mais sans relâche.

2. Vérification du matériel étudié.

(Identifie les problèmes dans les connaissances et les méthodes d'activité des étudiants et détermine les raisons de leur apparition, élimine les lacunes identifiées lors du test.)

Enquête orale : (diapositive n°4)

Quel est le rapport de deux nombres ?

Comment trouver une fraction d'un nombre ?

Qu’est-ce que la proportion ?

Quelles quantités sont dites directement proportionnelles ?

Que montre le rapport de deux nombres ?

Comment trouver un nombre par sa fraction ?

La propriété principale de proportion.

Quelles quantités sont dites inversement proportionnelles ?

Terminer la phrase: (diapositive 5). (Les enfants accomplissent d'abord la tâche de manière autonome, en écrivant sur des morceaux de papier uniquement les lettres correspondant à la bonne réponse. Ensuite, ils lèvent la main. Après cela, l'enseignant lit la question à voix haute et les élèves répondent).

La dépendance proportionnelle directe est une telle dépendance de quantités dans laquelle...

Une dépendance proportionnelle inverse est une dépendance de quantités dans lesquelles...

Pour trouver le terme extrême inconnu de la proportion...

Bite moyenne les proportions sont égales à...

La proportion est correcte si...

AVEC) …Lorsqu'une valeur augmente plusieurs fois, l'autre diminue du même montant.

X) ...le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens de la proportion.

A) ... lorsqu'une valeur augmente plusieurs fois, l'autre augmente du même montant.

P) ... vous devez diviser le produit des termes moyens de la proportion par le terme extrême connu.

U) ...quand une valeur augmente plusieurs fois, l'autre augmente du même montant.

E) ...le rapport du produit des termes extrêmes à la moyenne connue.

Répondre:SUCCÈS.(diapositive 6)

Dictée graphique (diapositives 7 à 10).

Ne dites pas "oui" ou "non"

Et dessinez une icône.

« Oui » avec un signe « + », non avec un signe « - ».

(Les élèves travaillent de manière autonome. Les réponses sont écrites sur des morceaux de papier. Auto-test à l'aide de la diapositive n°. A la fin du cours, l'enseignant regarde les morceaux de papier)

Si l'aire d'un rectangle est constante, alors sa longueur et sa largeur sont inversement proportionnelles.

La taille et l'âge d'un enfant sont directement proportionnels.

Si la largeur d'un rectangle est constante, sa longueur et sa superficie sont directement proportionnelles.

La vitesse d’une voiture et le temps pendant lequel elle se déplace sont inversement proportionnels.

La vitesse d'une voiture et la distance parcourue sont inversement proportionnelles.

Le revenu d'une billetterie de cinéma est directement proportionnel au nombre de billets vendus, vendus au même prix.

La capacité de charge des machines et leur nombre sont inversement proportionnels.

Le périmètre d'un carré et la longueur de son côté sont directement proportionnels.

A prix constant, le coût d’un produit et sa masse sont inversement proportionnels.

Réponse : + - + + - + + - -(Diapositive n°10)

Obtenez une évaluation.(diapositive n°11)

8 à 9 bonnes réponses - "5"

6-7 bonnes réponses - "4"

4-5 bonnes réponses - "3"

Comptage oral : (diapositives 12-13)

Allez, mets les crayons de côté !

Pas de papiers, pas de stylos, pas de craie !

Comptage verbal! Nous faisons cette chose

Uniquement par le pouvoir de l'esprit et de l'âme !

Exercice: Trouvez le terme inconnu de la proportion :

Réponses : 1) 39 ; 24 ; 3 ; 24 ; 21.

2)10; 3; 13.

Message du sujet de la leçon. diapositive numéro 14 (Fournit de la motivation aux écoliers pour étudier.)

Le sujet de notre leçon est « Relations proportionnelles directes et inverses ».

Dans les leçons précédentes, nous avons examiné la dépendance proportionnelle directe et inverse des quantités. Aujourd'hui, dans la leçon, nous allons résoudre divers problèmes en utilisant des proportions, en établissant le type de connexion entre les données. Répétons la propriété fondamentale des proportions. Et la leçon suivante, concluant sur ce sujet, c'est-à-dire leçon - test.

Démontré diapositive numéro 15

L'étape de généralisation et de systématisation des connaissances.

1) Tâche1.

Créez des proportions pour résoudre des problèmes :(travailler dans des cahiers)

UN)Un cycliste parcourt 75 km en 3 heures. Combien de temps faudra-t-il à un cycliste pour parcourir 125 km à la même vitesse ?

b) 8 tuyaux identiques remplissent une piscine en 25 minutes. Combien de minutes faudra-t-il pour remplir une piscine avec 10 de ces tuyaux ?

c) Une équipe de 8 travailleurs réalise la tâche en 15 jours. Combien de travailleurs peuvent accomplir cette tâche en 10 jours tout en travaillant avec la même productivité ?

d) A partir de 5,6 kg de tomates, on obtient 2 litres de sauce tomate. Combien de litres de sauce peut-on obtenir avec 54 kg de tomates ?

Vérifier les réponses. ( Slide n°16) (auto-évaluation : mettre + ou - au crayondes cahiers; analyser les erreurs)

Réponses:a) 3:x=75:125c) 8 : x=10 : 15

b) 8:10= X:2 5 d) 5,6:54=2 : X

2) Minute d'éducation physique. (diapositive n° 17-22)

Nous nous sommes rapidement levés de nos bureaux

Et ils ont marché sur place.

Et puis nous avons souri

Ils s'étendaient de plus en plus haut.

Assis - s'est levé, s'est assis - s'est levé

En une minute, nous avons repris des forces.

Redressez vos épaules

Augmenter, abaisser,

Tourne à droite, tourne à gauche

Et asseyez-vous à nouveau à votre bureau.

3) Résoudre le problème (diapositive numéro 23)

№788 (p. 130, manuel de Vilenkin)(après l'avoir analysé vous-même)

Au printemps, lors des travaux d'aménagement paysager de la ville, des tilleuls ont été plantés dans la rue. 95 % de tous les tilleuls plantés ont été acceptés. Combien de tilleuls ont été plantés si 57 tilleuls ont été plantés ?

Lisez le problème.

Quelles sont les deux quantités abordées dans le problème ?(sur le nombre de tilleuls et leurs pourcentages)

Quelle est la relation entre ces quantités ?(directement proportionnel)

Prenez une brève note, mesurez et résolvez le problème.

Solution:

	Tilleuls (pcs.)	Intérêt %
Ils ont emprisonné
Accepté

;
; x=60.

Réponse : 60 tilleuls ont été plantés.

4) Résolvez le problème : (diapositive n°24-25) (après analyse, décidez vous-même ; vérification mutuelle, puis la solution s'affiche à l'écran, diapositive n°23)

Pour chauffer le bâtiment scolaire, du charbon a été stocké pendant 180 jours à un taux de consommation de 0,6 tonne de charbon par jour. Combien de jours cet approvisionnement durera-t-il si 0,5 tonne est dépensée quotidiennement ?

Solution:

Brève entrée :

Poids (t)

en 1 jour

Quantité

jours

Selon la norme

Faisons une proportion :

;
;
jours

Réponse : 216 jours.

5) N° 793 (p. 131)(champ d'analyse indépendant ; maîtrise de soi.

(Diapositive n°26)

Dans le minerai de fer, pour 7 parts de fer, il y a 3 parts d’impuretés. Combien de tonnes d’impuretés y a-t-il dans le minerai qui contient 73,5 tonnes de fer ?

Solution: (diapositive n°27)

Quantité

les pièces

Poids

Fer

73,5

Impuretés

;
;

Réponse : 31,5 kg d'impuretés.

6) Résumer les résultats de l'étape. (diapositive n°28)

Formulons donc un algorithme pour résoudre des problèmes en utilisant des proportions.

Algorithme pour résoudre des problèmes directs

et relations inversement proportionnelles :

Un nombre inconnu est désigné par la lettre x.

La condition est écrite sous forme de tableau.

Le type de relation entre les quantités est établi.

Une relation directement proportionnelle est indiquée par des flèches orientées de manière identique, et une relation inversement proportionnelle est indiquée par des flèches dirigées de manière opposée.

La proportion est enregistrée.

Son membre inconnu est localisé.

5. Répétition du matériel étudié. (diapositive n°29)

№763(s)(page 125)(avec commentaires au tableau)

6. Étape de contrôle et d'autocontrôle des connaissances et des méthodes d'action.
(diapositive n° 30-32)

Travail indépendant (10 - 15 min) (Vérification mutuelle : les élèves se vérifient mutuellement à l'aide de diapositives prêtes à l'emploi travail indépendant, en réglant + ou -. A la fin du cours, l'enseignant récupère les cahiers pour révision).

Résolvez les problèmes en faisant des proportions.

№1. Le cycliste a mis 0,7 heure à se déplacer d'un village à l'autre à une vitesse de 12,5 km/h. À quelle vitesse a-t-il dû rouler pour parcourir ce trajet en 0,5 heure ?

Solution:

Brève entrée :

	Vitesse (km/h)	Temps (heures)
	12,5

Faisons une proportion :

;
;
km/h

Réponse : 17,5 km/h

№2. A partir de 5 kg de prunes fraîches, vous obtenez 1,5 kg de pruneaux. Combien de pruneaux donneront 17,5 kg de prunes fraîches ?

Solution:

Brève entrée :

	Prunes (kg)	Pruneaux (kg)

	17,5

Faisons une proportion :

;
;
kg

Réponse : 5,25 kg

№3. La voiture a parcouru 500 km avec 35 litres d’essence. Combien de litres d’essence faudra-t-il pour parcourir 420 km ?

Solution:

Brève entrée :

	Distance (km)	Essence (l)

6ème année

LEÇON N°12. Chapitre 1 . Ratios, proportions, pourcentages (26 heures)

Sujet . Direct et proportionnalité inverse. S/r n°3.

Cible. P. tester les connaissances des élèves sur le thème "Proportions". Définir des quantités directement proportionnelles et inversement proportionnelles. Apprenez à résoudre des problèmes sur ce sujet.

Pendant les cours.

Option 1. Option 1.

Résoudre la proportion : Résoudre la proportion :

1)
, 1)
,

,
,

. Répondre:
.
. Répondre:
.

2) , 2)
,

,
,

. Répondre: .
. Répondre:
.

3)
, 3)
,

,
,

. Répondre:
.
. Répondre:
.

Explication du nouveau matériel.

Proportionnalité directe et inverse.

Tableau multimédia. Demande électronique. Catalogue. Animation. Consommation d'électricité dans l'appartement. (1 min 31 s)

(Diapositive 2). Que le stylo coûte 3 roubles. (c'est le prix). Il est alors facile de calculer le coût de deux, trois, etc. stylos selon la formule : .

Nombre de poignées, pcs.

Coût, frotter.

Notez que lorsque le nombre de stylos augmente plusieurs fois, leur coût augmente du même montant.

On dit que le prix d’achat est directement proportionnel au nombre de stylos achetés.

(Diapositive 3). Définition. Les deux quantités sont appeléesdirectement proportionnel , si lorsque l'un d'eux augmente plusieurs fois, l'autre augmente du même montant.

Si deux quantités sont directement proportionnelles, alors les rapports des valeurs correspondantes de ces quantités sont égaux.

(Diapositive 4). Exemples de grandeurs directement proportionnelles :

1. Le périmètre d’un carré et la longueur d’un côté d’un carré sont des quantités directement proportionnelles.
.

2. Si la vitesse de déplacement est constante, alors la distance parcourue et le temps de déplacement sont des quantités directement proportionnelles.
.

3. Si la productivité du travail est constante, alors le volume de travail effectué et le temps sont des valeurs directement proportionnelles.
.

4. Le revenu d'une billetterie de cinéma est directement proportionnel au nombre de billets vendus au même prix. Etc.

(Diapositive 5). Problème 1 . Pour 5 cahiers carrés, nous avons payé 40 roubles. Combien paieront-ils pour 12 cahiers identiques ?

Quantité Coût

5 cahiers – 40 roubles. Proportionnalité directe

12 cahiers – x p.

Solution.

Parce que quantités directement proportionnel équivaut à

96 roubles. paiera 12 cahiers. Répondre: 96 frotter.

(Diapositive 6). Ils veulent acheter pour 120 roubles. plusieurs livres identiques. Ensuite, il est facile de calculer le nombre de livres pour 10 roubles, 20 roubles, 30 roubles. 40 roubles. etc. selon la formule :
.

Prix, frotter.

Nombre de livres, pcs.

Notez que lorsque le prix d’un livre augmente plusieurs fois, sa quantité diminue d’autant. .

On dit que le nombre de livres achetés inversement leur prix.

(Diapositive 7). Définition. Les deux quantités sont appeléesinversement proportionnel , si lorsque l'un d'eux augmente plusieurs fois, l'autre diminue du même montant.

Si les quantités sont inversement proportionnelles, alors le rapport des valeurs d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs d'une autre quantité.

(Diapositive 8). Exemples de quantités inversement proportionnelles :

1. Si la distance parcourue est constante, alors la vitesse de déplacement et le temps de déplacement sont des quantités inversement proportionnelles.
.

2. Si la productivité du travail est constante, alors le volume de travail effectué et le temps sont inversement proportionnels.
.

(Diapositive 9). Problème 2 . 6 ouvriers termineront le travail en 5 heures. Combien de temps faudra-t-il à 3 travailleurs pour terminer ce travail ?

Quantité Temps

6 ouvriers – 5 heures Proportionnalité inverse

3 ouvriers – x h

Solution.

Parce que quantités inversement proportionnel, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises d'une quantité égal à l'inverse par rapport aux valeurs correspondantes d'une autre grandeur.

En 10 heures, 3 ouvriers effectueront ce travail. Répondre: 10 heures

Algorithme pour résoudre des problèmes.

Écrivez une courte note et déterminez le type de proportionnalité. (Les valeurs du même nom sont écrites les unes en dessous des autres)

Composez une proportion.

Si deux quantités directement proportionnel, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises de la première quantité est égal au rapport de deux valeurs correspondantes de la deuxième quantité.
Si deux quantités inversement proportionnel, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes d'une autre quantité.

Trouvez le terme inconnu de la proportion.

Analysez le résultat et notez la réponse.

Solution d'exercices.

Cas d'étude 21 n° 75(a). 100 g de solution contiennent 4 g de sel. Quelle quantité de sel contiennent 300 g de cette solution ?

Sel en solution

100g – 4g Proportionnalité directe

300 g – x g

Solution.

Parce que quantités directement proportionnel, puis le rapport de deux valeurs arbitrairement prises de la première quantité équivaut à la relation entre deux valeurs correspondantes de la deuxième quantité.

12 g de sel sont contenus dans 300 g de cette solution. Répondre: 12g.

École 22 n°88. Certains travaux peuvent être réalisés par 6 personnes en 18 jours. Combien de jours faudra-t-il à 9 personnes pour accomplir le même travail, en travaillant avec autant de succès que la première ?

Quantité Temps

6 personnes – 18 jours. Proportionnalité inverse kg de minerai riche en fer. Quelle quantité de minerai remplace 4 tonnes de ferraille ?

Devoirs.§ 1.5 (apprendre la théorie). N° 73, 75(b), 77(a), 84(b).

Résoudre des problèmes du livre de problèmes Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd pour la 6e année en mathématiques sur le sujet :

Chapitre I. Fractions communes.
§ 4. Relations et proportions :
22. Relations proportionnelles directes et inverses

1 Pour 3,2 kg de marchandises, ils ont payé 115,2 roubles. Combien devriez-vous payer pour 1,5 kg de ce produit ?
SOLUTION

2 Deux rectangles ont la même aire. La longueur du premier rectangle est de 3,6 m et la largeur est de 2,4 m. La longueur du second est de 4,8 m. Trouvez sa largeur.
SOLUTION

782 Déterminer si la relation entre les grandeurs est directe, inverse ou non proportionnelle : le chemin parcouru par la voiture avec vitesse constante, et l'heure de son mouvement ; le coût des biens achetés à un prix unique et sa quantité ; l'aire du carré et la longueur de son côté ; la masse de la barre d'acier et son volume ; le nombre de travailleurs effectuant un travail avec la même productivité du travail et le délai d'exécution ; le coût du produit et sa quantité achetée pour une certaine somme d'argent ; l'âge de la personne et la pointure de ses chaussures ; le volume du cube et la longueur de son arête ; le périmètre du carré et la longueur de son côté ; une fraction et son dénominateur, si le numérateur ne change pas ; une fraction et son numérateur si le dénominateur ne change pas.
SOLUTION

783 Une bille d'acier d'un volume de 6 cm3 a une masse de 46,8 g Quelle est la masse d'une bille faite du même acier si son volume est de 2,5 cm3 ?
SOLUTION

784 À partir de 21 kg de graines de coton, 5,1 kg d'huile ont été obtenus. Quelle quantité d’huile sera obtenue à partir de 7 kg de graines de coton ?
SOLUTION

785 Pour la construction du stade, 5 bulldozers ont dégagé le chantier en 210 minutes. Combien de temps faudra-t-il à 7 bulldozers pour nettoyer ce site ?
SOLUTION

786 Pour transporter la cargaison, 24 véhicules d'une capacité de transport de 7,5 tonnes ont été nécessaires. Combien de véhicules d'une capacité de transport de 4,5 tonnes sont nécessaires pour transporter la même cargaison ?
SOLUTION

787 Pour déterminer la germination des graines, des pois ont été semés. Sur les 200 pois semés, 170 ont germé. Quel pourcentage de pois ont germé ?
SOLUTION

788 Lors du dimanche de verdissement de la ville, des tilleuls ont été plantés dans la rue. 95 % de tous les tilleuls plantés ont été acceptés. Combien d’entre eux ont été plantés si 57 tilleuls étaient plantés ?
SOLUTION

789 Il y a 80 élèves dans la section ski. Parmi eux se trouvent 32 filles. Quel pourcentage des participants à la section sont des filles et des garçons ?
SOLUTION

790 Selon le plan, l'usine était censée fondre 980 tonnes d'acier en un mois. Mais le plan a été réalisé à 115 %. Combien de tonnes d’acier l’usine a-t-elle produit ?
SOLUTION

791 En 8 mois, le travailleur a réalisé 96 % du plan annuel. Quel pourcentage du plan annuel le travailleur réalisera-t-il en 12 mois s'il travaille avec la même productivité ?
SOLUTION

792 En trois jours, 16,5 % de toutes les betteraves ont été récoltées. Combien de jours faudra-t-il pour récolter 60,5 % des betteraves si vous travaillez à la même productivité ?
SOLUTION

793 Dans le minerai de fer, pour 7 parties de fer, il y a 3 parties d'impuretés. Combien de tonnes d’impuretés y a-t-il dans le minerai qui contient 73,5 tonnes de fer ?
SOLUTION

794 Pour préparer le bortsch, pour 100 g de viande, vous devez prendre 60 g de betteraves. Combien de betteraves faut-il prendre pour 650 g de viande ?
SOLUTION

796 Exprimer chacune des fractions suivantes comme la somme de deux fractions de numérateur 1.
SOLUTION

797 A partir des nombres 3, 7, 9 et 21, formez deux proportions correctes.
SOLUTION

798 Les termes moyens de la proportion sont 6 et 10. Quels peuvent être les termes extrêmes ? Donne des exemples.
SOLUTION

799 A quelle valeur de x la proportion est-elle correcte.
SOLUTION

800 Trouvez le rapport de 2 min à 10 sec ; 0,3 m2 à 0,1 dm2 ; 0,1 kg à 0,1 g ; 4 heures à 1 journée ; 3 dm3 à 0,6 m3
SOLUTION

801 Où sur le rayon de coordonnées doit se trouver le nombre c pour que la proportion soit correcte.
SOLUTION

802 Couvrir la table avec une feuille de papier. Ouvrez la première ligne pendant quelques secondes puis, en la fermant, essayez de répéter ou d'écrire les trois chiffres de cette ligne. Si vous avez reproduit correctement tous les nombres, passez à la deuxième ligne du tableau. S'il y a une erreur dans une ligne, écrivez vous-même plusieurs séries du même numéro nombres à deux chiffres et pratiquer la mémorisation. Si vous pouvez reproduire sans erreur au moins cinq nombres à deux chiffres, vous avez une bonne mémoire.
SOLUTION

804 Est-il possible de composer proportion correcteà partir des numéros suivants.
SOLUTION

805 À partir de l'égalité des produits 3 · 24 = 8 · 9, formez trois proportions correctes.
SOLUTION

806 La longueur du segment AB est de 8 dm et la longueur du segment CD est de 2 cm. Trouvez le rapport des longueurs AB et CD. Quelle partie de AB correspond à la longueur CD ?
SOLUTION

807 Un voyage au sanatorium coûte 460 roubles. Le syndicat prend en charge 70% du coût du voyage. Combien un vacancier paiera-t-il pour un voyage ?
SOLUTION

808 Trouvez le sens de l'expression.
SOLUTION

809 1) Lors du traitement d'une pièce moulée pesant 40 kg, 3,2 kg ont été gaspillés. Quel est le pourcentage de la masse de la pièce issue de la coulée ? 2) Lors du tri des céréales de 1 750 kg, 105 kg ont été gaspillés. Quel pourcentage de céréales reste-t-il ?