Tout nombre multiplié par 0 est égal. Mathématiques amusantes

Même à l'école, les professeurs essayaient de nous enfoncer dans la tête la règle la plus simple : « Tout nombre multiplié par zéro est égal à zéro ! », - mais de nombreuses controverses surgissent constamment autour de lui. Certaines personnes se souviennent simplement de la règle et ne se soucient pas de la question « pourquoi ? » "Tu ne peux pas et c'est tout, parce qu'ils l'ont dit à l'école, la règle est la règle !" Quelqu'un peut remplir la moitié d'un cahier de formules, prouvant cette règle ou, au contraire, son illogisme.

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Qui a raison au final ?

Lors de ces disputes, les deux personnes aux points de vue opposés se regardent comme un bélier et prouvent de toutes leurs forces qu'elles ont raison. Cependant, si vous les regardez de côté, vous pouvez voir non pas un, mais deux béliers, reposant leurs cornes l'une sur l'autre. La seule différence entre eux est que l’un est légèrement moins instruit que l’autre.

Le plus souvent, ceux qui considèrent cette règle comme incorrecte tentent de faire appel à la logique de cette manière :

J'ai deux pommes sur ma table, si je mets zéro pomme dessus, c'est-à-dire que je n'en mets pas une seule, alors mes deux pommes ne disparaîtront pas ! La règle est illogique !

En effet, les pommes ne disparaîtront nulle part, mais pas parce que la règle est illogique, mais parce qu'une équation légèrement différente est utilisée ici : 2 + 0 = 2. Écartons donc tout de suite cette conclusion - elle est illogique, même si elle a le but opposé - faire appel à la logique.

Qu'est-ce que la multiplication

A l'origine la règle de multiplication n'a été défini que pour les nombres naturels : la multiplication est un nombre ajouté à lui-même un certain nombre de fois, ce qui implique que le nombre est naturel. Ainsi, tout nombre avec multiplication peut être réduit à cette équation :

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

De cette équation il résulte que cette multiplication est une addition simplifiée.

Qu'est-ce que zéro

Tout le monde le sait depuis l'enfance : zéro c'est le vide. Malgré le fait que ce vide ait une désignation, il ne porte rien du tout. Les anciens scientifiques orientaux pensaient différemment - ils abordaient la question avec philosophie et établissaient des parallèles entre le vide et l'infini et voyaient une signification profonde dans ce nombre. Après tout, zéro, qui signifie vide, se trouvant à côté de tout nombre naturel, le multiplie par dix. D'où toute la controverse sur la multiplication - ce nombre comporte tellement d'incohérences qu'il devient difficile de ne pas s'y tromper. De plus, le zéro est constamment utilisé pour définir des chiffres vides dans les fractions décimales, cela se fait avant et après la virgule décimale.

Est-il possible de multiplier par le vide ?

Vous pouvez multiplier par zéro, mais cela ne sert à rien, car, quoi qu'on en dise, même en multipliant des nombres négatifs, vous obtiendrez toujours zéro. Il suffit de se rappeler cette règle simple et de ne plus jamais poser cette question. En fait, tout est plus simple qu'il n'y paraît à première vue. Il n'y a pas de significations cachées ni de secrets, comme le croyaient les anciens scientifiques. Ci-dessous, nous donnerons l'explication la plus logique selon laquelle cette multiplication est inutile, car lorsque vous multipliez un nombre par celui-ci, vous obtiendrez toujours la même chose - zéro.

Revenant au tout début, à l'argument sur deux pommes, 2 fois 0 ressemble à ceci :

• Si vous mangez deux pommes cinq fois, alors vous mangez 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 pommes
• Si vous en mangez deux trois fois, alors vous mangez 2×3 = 2+2+2 = 6 pommes
• Si vous mangez deux pommes zéro fois, alors rien ne sera mangé - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Après tout, manger une pomme 0 fois signifie ne pas en manger une seule. Cela sera clair même pour le plus petit enfant. Quoi qu'on en dise, le résultat sera 0, deux ou trois peuvent être remplacés par absolument n'importe quel nombre et le résultat sera absolument le même. Et pour faire simple, alors zéro n'est rien, et quand as-tu il n'y a rien, alors peu importe combien vous multipliez, c'est toujours pareil sera nul. La magie n’existe pas et rien ne fera une pomme, même si l’on multiplie 0 par un million. C'est l'explication la plus simple, la plus compréhensible et la plus logique de la règle de multiplication par zéro. Pour une personne qui est loin de toutes les formules et mathématiques, une telle explication suffira pour que la dissonance dans la tête se résolve et que tout se mette en place.

Division

De tout ce qui précède, une autre règle importante découle :

On ne peut pas diviser par zéro !

Cette règle est également constamment ancrée dans nos têtes depuis l’enfance. Nous savons simplement qu’il est impossible de tout faire sans se remplir la tête d’informations inutiles. Si on vous demande de manière inattendue pourquoi il est interdit de diviser par zéro, alors la plupart seront confus et ne seront pas en mesure de répondre clairement à la question la plus simple du programme scolaire, car il n'y a pas tellement de différends et de contradictions autour de cette règle.

Tout le monde a simplement mémorisé la règle et n'a pas divisé par zéro, sans se douter que la réponse était cachée à la surface. L'addition, la multiplication, la division et la soustraction sont inégales ; parmi ce qui précède, seules la multiplication et l'addition sont valables, et toutes les autres manipulations avec des nombres sont construites à partir d'elles. C'est-à-dire que la notation 10 : 2 est une abréviation de l'équation 2 * x = 10. Cela signifie que la notation 10 : 0 est la même abréviation pour 0 * x = 10. Il s'avère que la division par zéro est une tâche à trouvez un nombre, en multipliant par 0, vous obtenez 10. Et nous avons déjà compris qu'un tel nombre n'existe pas, ce qui signifie que cette équation n'a pas de solution, et elle sera a priori incorrecte.

Laisse moi te dire,

Pour ne pas diviser par 0 !

Coupez-en 1 comme vous le souhaitez, dans le sens de la longueur,

Ne divisez pas par 0 !

Nombre en mathématiques zéro occupe une place particulière. Le fait est que cela signifie essentiellement « rien », « le vide », mais sa signification est vraiment difficile à surestimer. Pour ce faire, il suffit de se rappeler au moins avec quoi exactement zéro et le comptage des coordonnées de la position du point dans n’importe quel système de coordonnées commence.

Zéro largement utilisé dans les fractions décimales pour déterminer les valeurs des places « vides », avant et après la virgule décimale. De plus, l'une des règles fondamentales de l'arithmétique y est associée, qui stipule que zéro ne peut être divisé. Sa logique, à proprement parler, découle de l'essence même de ce nombre : en effet, il est impossible d'imaginer qu'une valeur différente de lui (et elle-même aussi) se divise en « rien ».

Exemples de calcul

AVEC zéro toutes les opérations arithmétiques sont effectuées et, comme « partenaires », elles peuvent utiliser des nombres entiers, des fractions ordinaires et décimales, et toutes peuvent avoir des valeurs positives et négatives. Donnons des exemples de leur mise en œuvre et quelques explications.

AJOUT

Lors de l'ajout zéroà un certain nombre (à la fois entier et fractionnaire, positif et négatif), sa valeur reste absolument inchangée.

Exemple 1

vingt-quatre plus zéro est égal à vingt-quatre.

Exemple 2

Dix-sept virgule trois huitièmes plus zéro est égal à dix-sept virgule trois huitièmes.

MULTIPLICATION

Lors de la multiplication d'un nombre (entier, fraction, positif ou négatif) par zéro il s'avère zéro.

Exemple 1

Cinq cent quatre vingt six fois zéroéquivaut à zéro.

Exemple 2

Zéro multiplié par cent trente-cinq virgule six sept est égal à zéro.

Exemple 3

Zéro multiplier par zéroéquivaut à zéro.

DIVISION

Les règles de division des nombres entre eux dans les cas où l'un d'eux est un zéro diffèrent selon le rôle que joue le zéro lui-même : un dividende ou un diviseur ?

Dans les cas où zéro représente le dividende, le résultat lui est toujours égal, quelle que soit la valeur du diviseur.

Exemple 1

Zéro divisé par deux cent soixante-cinq est égal à zéro.

Exemple 2

Zéro divisé par dix-sept cinq cent quatre-vingt-seize est égal à zéro.

0:

= 0

Diviser zéro à zéro Selon les règles mathématiques, c’est impossible. Cela signifie que lors de l'exécution d'une telle procédure, le quotient est incertain. Ainsi, en théorie, cela peut représenter absolument n’importe quel nombre.

0 : 0 = 8 car 8 × 0 = 0

En mathématiques, il existe un problème comme division de zéro par zéro, n’a aucun sens puisque son résultat est un ensemble infini. Cette affirmation est toutefois vraie si aucune donnée supplémentaire n’est fournie qui pourrait affecter le résultat final.

Ceux-ci, s'ils sont présents, devraient consister à indiquer le degré de changement dans la grandeur du dividende et du diviseur, et même avant le moment où ils se sont transformés en zéro. Si cela est défini, alors une expression telle que zéro diviser par zéro, dans la grande majorité des cas, une certaine signification peut être attachée.

Cette leçon expliquera comment effectuer une multiplication et une division par des nombres de la forme 10, 100, 0,1, 0,001. Divers exemples sur ce sujet seront également résolus.

Exercice. Comment multiplier le nombre 25,78 par 10 ?

La notation décimale d'un nombre donné est une notation abrégée pour le montant. Il est nécessaire de le décrire plus en détail :

Il faut donc multiplier le montant. Pour ce faire, vous pouvez simplement multiplier chaque terme :

Il se trouve que...

On peut en conclure que multiplier une fraction décimale par 10 est très simple : il faut déplacer la virgule décimale vers la droite.

Exercice. Multipliez 25,486 par 100.

Multiplier par 100 équivaut à multiplier deux fois par 10. En d’autres termes, vous devez déplacer la virgule décimale deux fois vers la droite :

Exercice. Divisez 25,78 par 10.

Comme dans le cas précédent, vous devez présenter le nombre 25,78 comme une somme :

Puisqu’il faut diviser la somme, cela équivaut à diviser chaque terme :

Il s'avère que pour diviser par 10, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche. Par exemple:

Exercice. Divisez 124,478 par 100.

Diviser par 100 équivaut à diviser par 10 deux fois, donc la virgule décimale se déplace de 2 places vers la gauche :

Si une fraction décimale doit être multipliée par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite d'autant de positions qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

À l’inverse, si une fraction décimale doit être divisée par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche d’autant de positions qu’il y a de zéros dans le multiplicateur.

Exemple 1

Multiplier par 100 signifie déplacer la décimale de deux places vers la droite.

Après le décalage, vous constaterez qu'il n'y a plus de chiffres après la virgule décimale, ce qui signifie qu'il manque la partie fractionnaire. Il n’y a alors pas besoin de virgule, le nombre est un entier.

Exemple 2

Vous devez vous déplacer de 4 positions vers la droite. Mais il n’y a que deux chiffres après la virgule. Il convient de rappeler qu'il existe une notation équivalente pour la fraction 56,14.

Maintenant, multiplier par 10 000 est facile :

S'il n'est pas très clair pourquoi vous pouvez ajouter deux zéros à la fraction dans l'exemple précédent, alors la vidéo supplémentaire sur le lien peut vous aider.

Notations décimales équivalentes

L'entrée 52 signifie ce qui suit :

Si on met 0 devant, on obtient l'entrée 052. Ces entrées sont équivalentes.

Est-il possible de mettre deux zéros devant ? Oui, ces entrées sont équivalentes.

Examinons maintenant la fraction décimale :

Si vous attribuez zéro, vous obtenez :

Ces entrées sont équivalentes. De même, vous pouvez attribuer plusieurs zéros.

Ainsi, tout nombre peut avoir plusieurs zéros après la partie fractionnaire et plusieurs zéros avant la partie entière. Ce seront des entrées équivalentes du même numéro.

Exemple 3

Puisqu'une division par 100 se produit, il est nécessaire de déplacer la virgule décimale de 2 positions vers la gauche. Il n'y a plus de chiffres à gauche de la virgule décimale. Il manque toute une partie. Cette notation est souvent utilisée par les programmeurs. En mathématiques, s’il n’y a pas de partie entière, alors on met un zéro à sa place.

Exemple 4

Vous devez le déplacer vers la gauche de trois positions, mais il n'y a que deux positions. Si vous écrivez plusieurs zéros devant un nombre, ce sera une notation équivalente.

Autrement dit, lorsque vous vous déplacez vers la gauche, si les chiffres sont épuisés, vous devez les remplir de zéros.

Exemple 5

Dans ce cas, il convient de rappeler qu'une virgule vient toujours après la partie entière. Alors:

Multiplier et diviser par les nombres 10, 100, 1000 est une procédure très simple. La situation est exactement la même avec les nombres 0,1, 0,01, 0,001.

Exemple. Multipliez 25,34 par 0,1.

Écrivons la fraction décimale 0,1 comme une fraction ordinaire. Mais multiplier par équivaut à diviser par 10. Par conséquent, vous devez déplacer la virgule décimale d’une position vers la gauche :

De même, multiplier par 0,01 équivaut à diviser par 100 :

Exemple. 5,235 divisé par 0,1.

La solution de cet exemple est construite de la même manière : 0,1 est exprimé comme une fraction commune, et diviser par équivaut à multiplier par 10 :

Autrement dit, pour diviser par 0,1, vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite, ce qui équivaut à multiplier par 10.

Multiplier par 10 et diviser par 0,1, c'est la même chose. La virgule doit être déplacée vers la droite d'une position.

Diviser par 10 et multiplier par 0,1, c'est la même chose. La virgule doit être déplacée vers la droite d'une position :

Division par zéro en mathématiques, division dont le diviseur est zéro. Une telle division peut s'écrire formellement ⁄ 0, où est le dividende.

En arithmétique ordinaire (avec des nombres réels), cette expression n'a pas de sens, puisque :

• pour ≠ 0, il n'y a pas de nombre qui, multiplié par 0, donne, donc aucun nombre ne peut être pris comme quotient ⁄ 0 ;
• à = 0, la division par zéro est également indéfinie, puisque tout nombre multiplié par 0 donne 0 et peut être considéré comme le quotient 0 ⁄ 0.

Historiquement, l'une des premières références à l'impossibilité mathématique d'attribuer la valeur ⁄ 0 est contenue dans la critique du calcul infinitésimal par George Berkeley.

Erreurs logiques

Puisque lorsque nous multiplions un nombre par zéro, nous obtenons toujours zéro, lorsque nous divisons les deux parties de l'expression × 0 = × 0, ce qui est vrai quelle que soit la valeur de et, par 0, nous obtenons l'expression =, qui est incorrect dans le cas de variables spécifiées arbitrairement. Puisque zéro peut être spécifié non pas explicitement, mais sous la forme d'une expression mathématique assez complexe, par exemple sous la forme de la différence de deux valeurs réduites l'une à l'autre par des transformations algébriques, une telle division peut être une erreur plutôt peu évidente. L'introduction imperceptible d'une telle division dans le processus de preuve afin de montrer l'identité de quantités manifestement différentes, prouvant ainsi toute affirmation absurde, est l'une des variétés du sophisme mathématique.

En informatique

En programmation, selon le langage de programmation, le type de données et la valeur du dividende, tenter de diviser par zéro peut avoir des conséquences différentes. Les conséquences de la division par zéro en arithmétique entière et réelle sont fondamentalement différentes :

• Tentative entier la division par zéro est toujours une erreur critique qui rend impossible l'exécution ultérieure du programme. Soit il lève une exception (que le programme peut gérer lui-même, évitant ainsi un crash), soit il provoque l'arrêt immédiat du programme, affichant un message d'erreur non corrigible et éventuellement le contenu de la pile d'appels. Dans certains langages de programmation, tels que Go, la division entière par une constante nulle est considérée comme une erreur de syntaxe et provoque une compilation anormale du programme.
• DANS réel les conséquences arithmétiques peuvent être différentes selon les langues :

• lancer une exception ou arrêter le programme, comme avec une division entière ;
• obtention d'une valeur non numérique spéciale à la suite d'une opération. Dans ce cas, les calculs ne sont pas interrompus et leur résultat peut ensuite être interprété par le programme lui-même ou par l'utilisateur comme une valeur significative ou comme la preuve de calculs incorrects. Un principe largement utilisé est que lors d'une division comme ⁄ 0, où ≠ 0 est un nombre à virgule flottante, le résultat est égal à l'infini positif ou négatif (selon le signe du dividende) - ou, et lorsque = 0 le résultat est un valeur spéciale NaN (abr. . de l'anglais « not a number » - « not a number »). Cette approche est adoptée dans la norme IEEE 754, qui est prise en charge par de nombreux langages de programmation modernes.

Une division accidentelle par zéro dans un programme informatique peut parfois provoquer des dysfonctionnements coûteux ou dangereux dans le matériel contrôlé par le programme. Par exemple, le 21 septembre 1997, à la suite d'une division par zéro dans le système de contrôle informatisé du croiseur de la marine américaine USS Yorktown (CG-48), tous les équipements électroniques du système se sont éteints, provoquant la mise hors tension du système de propulsion du navire. arrêter de fonctionner.

voir également

Remarques

Fonction = 1 ⁄ . Lorsqu'elle tend vers zéro à partir de la droite, elle tend vers l'infini ; quand tend vers zéro à partir de la gauche, tend vers moins l'infini

Si vous divisez un nombre par zéro sur une calculatrice ordinaire, elle vous donnera la lettre E ou le mot Erreur, c'est-à-dire « erreur ».

Dans un cas similaire, la calculatrice de l'ordinateur écrit (sous Windows XP) : « La division par zéro est interdite. »

Tout est conforme à la règle connue de l'école selon laquelle on ne peut pas diviser par zéro.

Voyons pourquoi.

La division est l'opération mathématique inverse de la multiplication. La division est déterminée par multiplication.

Diviser un nombre un(divisible, par exemple 8) par nombre b(diviseur, par exemple le nombre 2) - signifie trouver un tel nombre X(quotient), lorsqu'il est multiplié par un diviseur b il s'avère que le dividende un(4 2 = 8), soit un diviser par b signifie résoudre l’équation x · b = a.

L'équation a : b = x est équivalente à l'équation x · b = a.

On remplace la division par la multiplication : au lieu de 8 : 2 = x on écrit x · 2 = 8.

8 : 2 = 4 équivaut à 4 2 = 8

18 : 3 = 6 équivaut à 6 3 = 18

20 : 2 = 10 équivaut à 10 2 = 20

Le résultat de la division peut toujours être vérifié par multiplication. Le résultat de la multiplication d'un diviseur par un quotient doit être le dividende.

Essayons de diviser par zéro de la même manière.

Par exemple, 6 : 0 = ... Nous devons trouver un nombre qui, multiplié par 0, donnera 6. Mais nous savons que multiplié par zéro, nous obtenons toujours zéro. Il n’existe pas de nombre qui, multiplié par zéro, donne autre chose que zéro.

Lorsqu'ils disent que la division par zéro est impossible ou interdite, ils veulent dire qu'il n'existe aucun nombre correspondant au résultat d'une telle division (la division par zéro est possible, mais la division ne l'est pas :)).

Pourquoi dit-on à l’école qu’on ne peut pas diviser par zéro ?

Donc dans définition l'opération de division de a par b souligne immédiatement que b ≠ 0.

Si tout ce qui est écrit ci-dessus vous semble trop compliqué, alors essayez : Diviser 8 par 2, c'est découvrir combien de deux il faut prendre pour obtenir 8 (réponse : 4). Diviser 18 par 3, c'est découvrir combien de trois il faut prendre pour obtenir 18 (réponse : 6).

Diviser 6 par zéro signifie découvrir combien de zéros vous devez prendre pour obtenir 6. Peu importe le nombre de zéros que vous prenez, vous obtiendrez toujours un zéro, mais vous n'obtiendrez jamais 6, c'est-à-dire que la division par zéro n'est pas définie.

Un résultat intéressant est obtenu si vous essayez de diviser un nombre par zéro sur une calculatrice Android. L'écran affichera ∞ (infini) (ou - ∞ en cas de division par un nombre négatif). Ce résultat est incorrect car le nombre ∞ n'existe pas. Apparemment, les programmeurs ont confondu des opérations complètement différentes : diviser des nombres et trouver la limite d'une séquence numérique n/x, où x → 0. Lors de la division de zéro par zéro, NaN (Not a Number) sera écrit.

« On ne peut pas diviser par zéro ! » - La plupart des écoliers apprennent cette règle par cœur, sans se poser de questions. Tous les enfants savent ce que signifie « vous ne pouvez pas » et que se passera-t-il si vous leur demandez en réponse : « Pourquoi ? Mais en fait, il est très intéressant et important de savoir pourquoi cela n’est pas possible.

Le fait est que les quatre opérations arithmétiques – addition, soustraction, multiplication et division – sont en réalité inégales. Les mathématiciens n’en reconnaissent que deux comme valables : l’addition et la multiplication. Ces opérations et leurs propriétés sont incluses dans la définition même de la notion de nombre. Toutes les autres actions sont construites d’une manière ou d’une autre à partir de ces deux-là.

Prenons par exemple la soustraction. Que signifie 5 - 3 ? L'élève répondra simplement : il faut prendre cinq objets, en emporter (enlever) trois et voir combien il en reste. Mais les mathématiciens envisagent ce problème d’une manière complètement différente. Il n’y a pas de soustraction, il n’y a que des additions. Donc l'entrée 5 - 3 désigne un nombre qui, lorsqu'il est ajouté à un nombre 3 donnera un numéro 5 . C'est 5 - 3 est simplement une version abrégée de l'équation : x + 3 = 5. Il n'y a pas de soustraction dans cette équation.

Division par zéro

Il n'y a qu'une tâche : trouver un numéro approprié.

Il en va de même pour la multiplication et la division. Enregistrer 8: 4 peut être compris comme le résultat de la division de huit objets en quatre piles égales. Mais en réalité, ce n’est qu’une forme abrégée de l’équation 4 x = 8.

C'est là que l'on comprend pourquoi il est impossible (ou plutôt impossible) de diviser par zéro. Enregistrer 5: 0 est une abréviation de 0 x = 5. Autrement dit, cette tâche consiste à trouver un nombre qui, multiplié par 0 va donner 5 . Mais nous savons que multiplié par 0 ça marche toujours 0 . Il s’agit d’une propriété inhérente au zéro, à proprement parler, qui fait partie de sa définition.

Un nombre tel que, multiplié par 0 donnera autre chose que zéro, cela n’existe tout simplement pas. Autrement dit, notre problème n'a pas de solution. (Oui, cela arrive ; tous les problèmes n’ont pas de solution.) Ce qui signifie que les enregistrements 5: 0 ne correspond à aucun nombre spécifique, et cela ne veut tout simplement rien dire et n'a donc aucune signification. L’absurdité de cette entrée est brièvement exprimée en disant qu’on ne peut pas diviser par zéro.

Les lecteurs les plus attentifs de cet endroit se demanderont certainement : est-il possible de diviser zéro par zéro ?

En effet, l'équation 0 x = 0 résolu avec succès. Par exemple, vous pouvez prendre x = 0, et on obtient alors 0 0 = 0. Il s'avère 0: 0=0 ? Mais ne nous précipitons pas. Essayons de prendre x = 1. On a 0 1 = 0. Droite? Moyens, 0: 0 = 1 ? Mais vous pouvez prendre n'importe quel numéro et obtenir 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.

Mais si un nombre convient, nous n’avons aucune raison d’en choisir un. Autrement dit, nous ne pouvons pas dire à quel numéro correspond l'entrée. 0: 0 . Et si tel est le cas, nous sommes obligés d’admettre que cette entrée n’a également aucun sens. Il s’avère que même zéro ne peut pas être divisé par zéro. (En analyse mathématique, il y a des cas où, en raison de conditions supplémentaires du problème, on peut privilégier l'une des solutions possibles à l'équation 0 x = 0; Dans de tels cas, les mathématiciens parlent de « déploiement de l’incertitude », mais de tels cas ne se produisent pas en arithmétique.)

C'est la particularité de l'opération de division. Plus précisément, l'opération de multiplication et le nombre qui lui est associé ont zéro.

Eh bien, les plus méticuleux, après avoir lu jusqu'ici, pourraient se demander : pourquoi se fait-il qu'on ne puisse pas diviser par zéro, mais qu'on puisse soustraire zéro ? Dans un sens, c’est ici que commencent les vraies mathématiques. Vous ne pouvez y répondre qu’en vous familiarisant avec les définitions mathématiques formelles des ensembles numériques et leurs opérations. Ce n'est pas si difficile, mais pour une raison quelconque, cela n'est pas enseigné à l'école. Mais dans les cours de mathématiques à l’université, c’est ce qui vous sera enseigné en premier.

La fonction de division n'est pas définie pour une plage où le diviseur est zéro. Vous pouvez diviser, mais le résultat n'est pas certain

Vous ne pouvez pas diviser par zéro. Mathématiques de 2e année du secondaire.

Si ma mémoire est bonne, alors zéro peut être représenté comme une valeur infinitésimale, il y aura donc l'infini. Et le « zéro - rien » de l'école n'est qu'une simplification ; il y en a tellement en mathématiques à l'école). Mais sans eux, c’est impossible, tout arrivera en temps voulu.

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Division par zéro

Quotient de division par zéro il n'y a pas de nombre autre que zéro.

Le raisonnement est ici le suivant : puisque dans ce cas aucun nombre ne peut satisfaire à la définition d'un quotient.

Écrivons, par exemple,

Quel que soit le nombre que vous essayez (par exemple 2, 3, 7), il ne convient pas car :

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Que se passe-t-il si vous divisez par 0 ?

etc., mais vous devez obtenir 2,3,7 dans le produit.

On peut dire que le problème de la division d’un nombre non nul par zéro n’a pas de solution. Cependant, un nombre autre que zéro peut être divisé par un nombre aussi proche de zéro que souhaité, et plus le diviseur est proche de zéro, plus le quotient est grand. Donc si on divise 7 par

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

on obtient alors les quotients 70, 700, 7000, 70 000, etc., qui augmentent sans limite.

Par conséquent, ils disent souvent que le quotient de 7 divisé par 0 est « infiniment grand » ou « égal à l’infini », et écrivent

\[ 7 : 0 = \infin \]

Le sens de cette expression est que si le diviseur se rapproche de zéro et que le dividende reste égal à 7 (ou s'approche de 7), alors le quotient augmente sans limite.

Le nombre 0 peut être imaginé comme une certaine frontière séparant le monde des nombres réels de ceux imaginaires ou négatifs. En raison de la position ambiguë, de nombreuses opérations avec cette valeur numérique n'obéissent pas à la logique mathématique. L’impossibilité de diviser par zéro en est un excellent exemple. Et les opérations arithmétiques autorisées avec zéro peuvent être effectuées en utilisant des définitions généralement acceptées.

Histoire de zéro

Le zéro est le point de référence dans tous les systèmes numériques standard. Les Européens ont commencé à utiliser ce nombre relativement récemment, mais les sages de l’Inde ancienne utilisaient le zéro mille ans avant que le nombre vide ne soit régulièrement utilisé par les mathématiciens européens. Même avant les Indiens, zéro était une valeur obligatoire dans le système numérique maya. Ces Américains utilisaient le système de numérotation duodécimal et le premier jour de chaque mois commençait par un zéro. Il est intéressant de noter que chez les Mayas, le signe désignant « zéro » coïncidait complètement avec le signe désignant « l'infini ». Ainsi, les anciens Mayas concluaient que ces quantités étaient identiques et inconnaissables.

Opérations mathématiques avec zéro

Les opérations mathématiques standard avec zéro peuvent être réduites à quelques règles.

Ajout : si vous ajoutez zéro à un nombre arbitraire, cela ne changera pas sa valeur (0+x=x).

Soustraction : lors de la soustraction de zéro à un nombre quelconque, la valeur de la soustraction reste inchangée (x-0=x).

Multiplication : tout nombre multiplié par 0 produit 0 (a*0=0).

Division : zéro peut être divisé par n'importe quel nombre différent de zéro. Dans ce cas, la valeur d'une telle fraction sera 0. Et la division par zéro est interdite.

Exponentiation. Cette action peut être effectuée avec n'importe quel numéro. Un nombre arbitraire élevé à la puissance zéro donnera 1 (x 0 =1).

Zéro à n’importe quelle puissance est égal à 0 (0 a = 0).

Dans ce cas, une contradiction surgit immédiatement : l'expression 0 0 n'a pas de sens.

Paradoxes des mathématiques

Beaucoup de gens savent depuis l’école que la division par zéro est impossible. Mais pour une raison quelconque, il est impossible d'expliquer la raison d'une telle interdiction. En fait, pourquoi la formule pour diviser par zéro n'existe-t-elle pas, mais d'autres actions avec ce nombre sont tout à fait raisonnables et possibles ? La réponse à cette question est donnée par les mathématiciens.

Le fait est que les opérations arithmétiques habituelles que les écoliers apprennent à l’école primaire ne sont en fait pas aussi égales qu’on le pense. Toutes les opérations simples sur les nombres peuvent être réduites à deux : l’addition et la multiplication. Ces actions constituent l’essence même du concept de nombre, et d’autres opérations se construisent sur l’utilisation de ces deux éléments.

Addition et multiplication

Prenons un exemple de soustraction standard : 10-2=8. À l'école, on considère cela simplement : si on soustrait deux de dix matières, il en reste huit. Mais les mathématiciens envisagent cette opération d’une manière complètement différente. Après tout, une opération telle que la soustraction n’existe pas pour eux. Cet exemple peut s'écrire autrement : x+2=10. Pour les mathématiciens, la différence inconnue est simplement le nombre qu’il faut ajouter à deux pour obtenir huit. Et aucune soustraction n'est requise ici, il vous suffit de trouver la valeur numérique appropriée.

La multiplication et la division sont traitées de la même manière. Dans l'exemple 12:4=3, vous pouvez comprendre qu'il s'agit de diviser huit objets en deux piles égales. Mais en réalité, il ne s’agit que d’une formule inversée pour écrire 3x4 = 12. De tels exemples de division peuvent être donnés à l’infini.

Exemples de division par 0

C’est là que l’on comprend un peu pourquoi on ne peut pas diviser par zéro. La multiplication et la division par zéro suivent leurs propres règles. Tous les exemples de division de cette quantité peuvent être formulés comme suit : 6:0 = x. Mais c'est une notation inversée de l'expression 6 * x=0. Mais, comme vous le savez, tout nombre multiplié par 0 ne donne dans le produit que 0. Cette propriété est inhérente au concept même de valeur nulle.

Il s'avère qu'il n'existe pas de nombre qui, multiplié par 0, donne une valeur tangible, c'est-à-dire que ce problème n'a pas de solution. Vous ne devriez pas avoir peur de cette réponse ; c’est une réponse naturelle à des problèmes de ce type. C'est juste que le record 6:0 n'a aucun sens et ne peut rien expliquer. Bref, cette expression peut s’expliquer par l’immortel « la division par zéro est impossible ».

Y a-t-il une opération 0:0 ? En effet, si l’opération de multiplication par 0 est légale, zéro peut-il être divisé par zéro ? Après tout, une équation de la forme 0x 5=0 est tout à fait légale. Au lieu du chiffre 5 vous pouvez mettre 0, le produit ne changera pas.

En effet, 0x0=0. Mais on ne peut toujours pas diviser par 0. Comme indiqué, la division est simplement l’inverse de la multiplication. Ainsi, si dans l’exemple 0x5=0, il faut déterminer le deuxième facteur, on obtient 0x0=5. Ou 10. Ou l'infini. Diviser l'infini par zéro - ça vous plaît ?

Mais si un nombre quelconque entre dans l’expression, alors cela n’a pas de sens ; nous ne pouvons pas en choisir un seul parmi un nombre infini de nombres. Et si c’est le cas, cela signifie que l’expression 0:0 n’a aucun sens. Il s’avère que même zéro lui-même ne peut pas être divisé par zéro.

Mathématiques supérieures

La division par zéro est un casse-tête pour les mathématiques au secondaire. L'analyse mathématique étudiée dans les universités techniques élargit légèrement la notion de problèmes sans solution. Par exemple, de nouvelles expressions sont ajoutées à l'expression déjà connue 0:0, qui n'ont pas de solutions dans les cours de mathématiques à l'école :

• infini divisé par l'infini : ∞:∞ ;
• l'infini moins l'infini : ∞−∞ ;
• unité élevée à une puissance infinie : 1 ∞ ;
• l'infini multiplié par 0 : ∞*0 ;
• Quelques autres.

Il est impossible de résoudre de telles expressions à l’aide de méthodes élémentaires. Mais les mathématiques supérieures, grâce à des possibilités supplémentaires pour un certain nombre d'exemples similaires, fournissent des solutions finales. Cela est particulièrement évident dans l’examen des problèmes issus de la théorie des limites.

Libérer l’incertitude

Dans la théorie des limites, la valeur 0 est remplacée par une variable infinitésimale conditionnelle. Et les expressions dans lesquelles, lors de la substitution de la valeur souhaitée, une division par zéro est obtenue, sont converties. Vous trouverez ci-dessous un exemple standard d'expansion d'une limite à l'aide de transformations algébriques ordinaires :

Comme vous pouvez le voir dans l’exemple, la simple réduction d’une fraction conduit à une réponse tout à fait rationnelle.

Lorsqu’on considère les limites des fonctions trigonométriques, leurs expressions ont tendance à se réduire à la première limite remarquable. Lorsque l'on considère des limites dans lesquelles le dénominateur devient 0 lorsqu'une limite est substituée, une deuxième limite remarquable est utilisée.

Méthode L'Hôpital

Dans certains cas, les limites des expressions peuvent être remplacées par les limites de leurs dérivées. Guillaume L'Hôpital - mathématicien français, fondateur de l'école française d'analyse mathématique. Il a prouvé que les limites des expressions sont égales aux limites des dérivées de ces expressions. En notation mathématique, sa règle ressemble à ceci.