Le module x est égal à 7 solutions. Module d'un nombre (valeur absolue d'un nombre), définitions, exemples, propriétés

Le terme (module) traduit littéralement du latin signifie « mesure ». Ce concept a été introduit en mathématiques par le scientifique anglais R. Cotes. Et le mathématicien allemand K. Weierstrass a introduit le signe du module - un symbole qui désigne ce concept lors de l'écriture.

D'abord ce conceptétudié en mathématiques selon le programme de 6e année lycée. Selon une définition, le module est la valeur absolue d'un nombre réel. En d’autres termes, pour connaître le module d’un nombre réel, il faut ignorer son signe.

Valeur graphiquement absolue UN noté comme |une|.

Principal caractéristique Ce concept est qu’il s’agit toujours d’une quantité non négative.

Les nombres qui diffèrent les uns des autres uniquement par leur signe sont appelés nombres opposés. Si une valeur est positive, alors son opposé est négatif et zéro est son opposé.

Signification géométrique

Si nous considérons le concept de module du point de vue de la géométrie, il désignera alors la distance mesurée en segments unitaires depuis l'origine des coordonnées jusqu'à point donné. Cette définition révèle pleinement signification géométrique le terme étudié.

Graphiquement, cela peut être exprimé comme suit : |a| = OA.

Propriétés de valeur absolue

Ci-dessous, nous examinerons toutes les propriétés mathématiques de ce concept et les manières de l'écrire sous forme d'expressions littérales :

Caractéristiques de la résolution d'équations avec module

Si nous parlons de résoudre des équations mathématiques et des inégalités contenant un module, nous devons alors nous rappeler que pour les résoudre, vous devrez ouvrir ce signe.

Par exemple, si le signe d'une valeur absolue contient une expression mathématique, alors avant d'ouvrir le module, il est nécessaire de prendre en compte les définitions mathématiques actuelles.

|A + 5| = A + 5, si A est supérieur ou égal à zéro.

5-A, si, Une valeur est inférieure à zéro.

Dans certains cas, le signe peut être révélé sans ambiguïté pour n'importe quelle valeur de la variable.

Regardons un autre exemple. Construisons une ligne de coordonnées sur laquelle nous marquons toutes les valeurs numériques dont la valeur absolue sera 5.

Vous devez d’abord tracer une ligne de coordonnées, y marquer l’origine des coordonnées et définir la taille d’un segment unitaire. De plus, la ligne droite doit avoir une direction. Maintenant, sur cette ligne, il est nécessaire d'appliquer des marquages ​​qui seront égaux à la taille d'un segment unitaire.

Ainsi, nous pouvons voir que sur cette ligne de coordonnées il y aura deux points d'intérêt avec des valeurs 5 et -5.

Dans cet article, nous analyserons en détail la valeur absolue d'un nombre. Nous donnerons diverses définitions du module d'un nombre, introduirons la notation et présenterons illustrations graphiques. En même temps, considérons divers exemples trouver le module d'un nombre par définition. Après cela, nous listerons et justifierons les principales propriétés du module. A la fin de l'article, nous parlerons de la façon dont un module est défini et localisé nombre complexe.

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Module Nombre - définition, notation et exemples

Nous introduisons d'abord désignation du module numérique. Nous écrirons le module du nombre a comme , c'est-à-dire qu'à gauche et à droite du nombre nous mettrons des tirets verticaux pour former le signe du module. Donnons quelques exemples. Par exemple, le module −7 peut s'écrire ; le module 4.125 s'écrit , et le module a une notation de la forme .

La définition suivante du module fait référence à , et donc à , et aux nombres entiers, ainsi qu'aux nombres rationnels et irrationnels, en tant que parties constitutives de l'ensemble des nombres réels. Nous parlerons du module d'un nombre complexe en.

Définition.

Module du nombre a– c'est soit le nombre a lui-même, si a est un nombre positif, soit le nombre −a, l'opposé du nombre a, si a est un nombre négatif, ou 0 si a=0 .

La définition exprimée du module d'un nombre est souvent écrite en le formulaire suivant , cette entrée signifie que si a>0 , si a=0 , et si a<0 .

Le dossier peut être présenté sous une forme plus compacte . Cette notation signifie que si (a est supérieur ou égal à 0), et si a<0 .

Il y a aussi l'entrée . Ici, nous devrions expliquer séparément le cas où a=0. Dans ce cas nous avons , mais −0=0, puisque zéro est considéré comme un nombre opposé à lui-même.

Donne moi exemples de recherche du module d'un nombre en utilisant une définition donnée. Par exemple, trouvons les modules des nombres 15 et . Commençons par trouver. Puisque le nombre 15 est positif, son module, par définition, est égal à ce nombre lui-même, c'est-à-dire . Quel est le module d'un nombre ? Puisque est un nombre négatif, son module est égal au nombre opposé au nombre, c'est-à-dire le nombre . Ainsi, .

Pour conclure ce point, nous présentons une conclusion très pratique à utiliser en pratique pour trouver le module d'un nombre. De la définition du module d'un nombre il résulte que le module d'un nombre est égal au nombre sous le signe du module sans tenir compte de son signe, et à partir des exemples discutés ci-dessus, cela est très clairement visible. L'énoncé énoncé explique pourquoi le module d'un nombre est également appelé valeur absolue du nombre. Donc le module du nombre et valeur absolue les chiffres, c'est la même chose.

Module d'un nombre sous forme de distance

Géométriquement, le module d'un nombre peut être interprété comme distance. Donne moi déterminer le module d'un nombre par la distance.

Définition.

Module du nombre a– c'est la distance entre l'origine sur la ligne de coordonnées et le point correspondant au nombre a.

Cette définition est cohérente avec la définition du module d'un nombre donnée dans le premier paragraphe. Précisons ce point. La distance de l'origine au point correspondant à un nombre positif est égale à ce nombre. Zéro correspond à l'origine, donc la distance de l'origine au point de coordonnée 0 est égale à zéro (il n'est pas nécessaire de mettre de côté un seul segment unitaire ni un seul segment qui constitue une fraction d'un segment unitaire pour pour aller du point O à un point de coordonnée 0). La distance de l'origine à un point de coordonnée négative est égale au nombre opposé à la coordonnée de ce point, puisqu'elle est égale à la distance de l'origine au point dont la coordonnée est le nombre opposé.

Par exemple, le module du nombre 9 est égal à 9, puisque la distance de l'origine au point de coordonnée 9 est égale à neuf. Donnons un autre exemple. Le point de coordonnée −3,25 est situé à une distance de 3,25 du point O, donc .

La définition énoncée du module d'un nombre est un cas particulier de la définition du module de la différence de deux nombres.

Définition.

Module de la différence de deux nombres a et b est égal à la distance entre les points de la ligne de coordonnées de coordonnées a et b.

Autrement dit, si des points sur la ligne de coordonnées A(a) et B(b) sont donnés, alors la distance du point A au point B est égale au module de la différence entre les nombres a et b. Si l'on prend le point O (origine) comme point B, alors on obtient la définition du module d'un nombre donnée au début de ce paragraphe.

Déterminer le module d'un nombre à l'aide de la racine carrée arithmétique

Se produit occasionnellement détermination du module via la racine carrée arithmétique.

Par exemple, calculons les modules des nombres −30 et en nous basant sur cette définition. Nous avons. De même, on calcule le module des deux tiers : .

La définition du module d'un nombre par la racine carrée arithmétique est également cohérente avec la définition donnée dans le premier paragraphe de cet article. Montrons-le. Soit a un nombre positif et soit −a un nombre négatif. Alors Et , si a=0 , alors .

Propriétés des modules

Le module a un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés du module. Nous allons maintenant présenter les principaux et les plus fréquemment utilisés. Pour justifier ces propriétés, nous nous appuierons sur la définition du module d'un nombre en termes de distance.

Commençons par la propriété la plus évidente du module : Le module d'un nombre ne peut pas être un nombre négatif. Sous forme littérale, cette propriété a la forme de n'importe quel nombre a. Cette propriété est très simple à justifier : le module d’un nombre est une distance, et la distance ne peut pas être exprimée par un nombre négatif.

Passons à la propriété du module suivante. Le module d'un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul. Le module de zéro est nul par définition. Zéro correspond à l'origine ; aucun autre point sur la ligne de coordonnées ne correspond à zéro, puisque chaque nombre réel est associé à un seul point sur la ligne de coordonnées. Pour la même raison, tout nombre autre que zéro correspond à un point différent de l'origine. Et la distance de l’origine à tout point autre que le point O n’est pas nulle, puisque la distance entre deux points est nulle si et seulement si ces points coïncident. Le raisonnement ci-dessus prouve que seul le module de zéro est égal à zéro.

Poursuivre. Les nombres opposés ont des modules égaux, c'est-à-dire pour tout nombre a. En effet, deux points sur la ligne de coordonnées dont les coordonnées sont des nombres opposés sont à la même distance de l'origine, ce qui signifie que les modules de nombres opposés sont égaux.

La propriété suivante du module est : Le module du produit de deux nombres est égal au produit des modules de ces nombres, c'est, . Par définition, le module du produit des nombres a et b est égal soit à ab si , soit à −(a · b) si . Des règles de multiplication des nombres réels, il s'ensuit que le produit des modules des nombres a et b est égal soit à a·b, , soit à −(a·b) si , ce qui prouve la propriété en question.

Le module du quotient de a divisé par b est égal au quotient du module d'un nombre divisé par le module de b, c'est, . Justifions cette propriété du module. Puisque le quotient est égal au produit, alors. Grâce à la propriété précédente, nous avons . Il ne reste plus qu'à utiliser l'égalité , qui est valable grâce à la définition du module d'un nombre.

La propriété suivante d'un module s'écrit sous forme d'inégalité : , a , b et c sont des nombres réels arbitraires. L'inégalité écrite n'est rien d'autre que inégalité triangulaire. Pour que cela soit clair, prenons les points A(a), B(b), C(c) sur la ligne de coordonnées et considérons un triangle dégénéré ABC, dont les sommets se trouvent sur la même ligne. Par définition, le module de la différence est égal à la longueur du segment AB, - à la longueur du segment AC, et - à la longueur du segment CB. Puisque la longueur d’un côté d’un triangle ne dépasse pas la somme des longueurs des deux autres côtés, alors l’inégalité est vraie. , par conséquent, l’inégalité est également vraie.

L'inégalité qui vient d'être démontrée est beaucoup plus courante sous la forme . L'inégalité écrite est généralement considérée comme une propriété distincte du module avec la formulation : « Le module de la somme de deux nombres ne dépasse pas la somme des modules de ces nombres" Mais l’inégalité découle directement de l’inégalité si l’on met −b au lieu de b et prends c=0.

Module d'un nombre complexe

Donne moi définition du module d'un nombre complexe. Qu'il nous soit donné nombre complexe, écrit sous forme algébrique, où x et y sont des nombres réels, représentant respectivement les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe z donné, et est l'unité imaginaire.

Instructions

Si un module est représenté comme une fonction continue, alors la valeur de son argument peut être positive ou négative : |x| = x, x ≥ 0 ; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + je(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + je(y1 - y2);

Il est facile de voir que l’addition et la soustraction de nombres complexes suivent la même règle que l’addition et .

Le produit de deux nombres complexes est égal à :

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Puisque i^2 = -1, le résultat final est :

(x1*x2 - y1*y2) + je(x1*y2 + x2*y1).

Les opérations d'exponentiation et d'extraction de racine pour les nombres complexes sont définies de la même manière que pour les nombres réels. Cependant, dans la région complexe, pour tout nombre, il existe exactement n nombres b tels que b^n = a, c'est-à-dire n racines du nième degré.

En particulier, cela signifie que toute équation algébrique de degré n avec une variable a exactement n racines complexes, dont certaines peuvent être .

Vidéo sur le sujet

Sources:

• Conférence "Nombres complexes" en 2019

Une racine est une icône qui désigne l'opération mathématique de recherche d'un nombre dont l'élévation à la puissance indiquée devant le signe racine devrait donner le nombre indiqué sous ce même signe. Souvent, pour résoudre des problèmes impliquant des racines, il ne suffit pas de simplement calculer la valeur. Il est nécessaire d'effectuer des opérations supplémentaires, dont la saisie d'un nombre, d'une variable ou d'une expression sous le signe racine.

Instructions

Déterminez l’exposant racine. Un exposant est un entier indiquant la puissance à laquelle il faut élever le résultat du calcul de la racine pour obtenir l'expression radicale (le nombre dont cette racine est extraite). L'exposant racine en exposant avant l'icône racine. Si celle-ci n'est pas précisée, il s'agit de la racine carrée dont la puissance est deux. Par exemple, l'exposant de la racine √3 est deux, l'exposant de ³√3 est trois, l'exposant de la racine ⁴√3 est quatre, etc.

Élevez le nombre que vous souhaitez saisir sous le signe de la racine à une puissance égale à l'exposant de cette racine, déterminé par vos soins à l'étape précédente. Par exemple, si vous devez saisir le nombre 5 sous le signe racine ⁴√3, alors l'indice du degré racine est quatre et vous avez besoin du résultat de l'élévation de 5 à la puissance quatrième 5⁴=625. Vous pouvez le faire de la manière qui vous convient - dans votre tête, à l'aide d'une calculatrice ou des services correspondants hébergés.

Entrez la valeur obtenue à l'étape précédente sous le signe racine comme multiplicateur de l'expression radicale. Pour l'exemple utilisé à l'étape précédente avec l'ajout de ⁴√3 5 (5*⁴√3) sous la racine, cette action peut être effectuée comme ceci : 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Simplifiez l’expression radicale résultante si possible. Pour un exemple des étapes précédentes, il vous suffit de multiplier les nombres sous le signe racine : 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Ceci termine l'opération de saisie du numéro sous la racine.

Si le problème contient des variables inconnues, les étapes décrites ci-dessus peuvent être effectuées sous forme générale. Par exemple, si vous devez saisir une variable inconnue x sous la quatrième racine et que l'expression radicale est 5/x³, alors la séquence entière d'actions peut être écrite comme suit : x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Sources:

• comment s'appelle le signe racine ?

Les chiffres réels ne suffisent pas à résoudre les problèmes équation quadratique. L'équation quadratique la plus simple qui n'a pas de racine parmi les nombres réels est x^2+1=0. En le résolvant, il s'avère que x=±sqrt(-1), et selon les lois de l'algèbre élémentaire, extraire la racine d'un degré pair du négatif Nombres c'est interdit.

L'un des sujets les plus difficiles pour les étudiants consiste à résoudre des équations contenant une variable sous le signe du module. Voyons d'abord à quoi cela est lié ? Pourquoi, par exemple, la plupart des enfants résolvent-ils des équations quadratiques comme des fous, mais ont-ils tant de problèmes avec un concept aussi loin d'être complexe qu'un module ?

À mon avis, toutes ces difficultés sont liées au manque de règles clairement formulées pour résoudre les équations avec un module. Ainsi, lors de la résolution d'une équation quadratique, l'étudiant sait avec certitude qu'il doit d'abord appliquer la formule discriminante, puis les formules des racines de l'équation quadratique. Que faire si un module est trouvé dans l'équation ? Nous essaierons de décrire clairement le plan d'action nécessaire pour le cas où l'équation contient une inconnue sous le signe du module. Nous donnerons plusieurs exemples pour chaque cas.

Mais d'abord, rappelons-nous définition du module. Donc modulo le nombre un ce numéro lui-même est appelé si un non négatif et -un, si numéro un moins que zéro. Vous pouvez l'écrire comme ceci :

|une| = a si a ≥ 0 et |a| = -a si un< 0

Parlant de la signification géométrique du module, il ne faut pas oublier que chaque nombre réel correspond à un certain point sur l'axe des nombres - son coordonner. Ainsi, le module ou valeur absolue d'un nombre est la distance de ce point à l'origine de l'axe numérique. La distance est toujours spécifiée sous forme de nombre positif. Ainsi, le module de tout nombre négatif est un nombre positif. À propos, même à ce stade, de nombreux étudiants commencent à être confus. Le module peut contenir n'importe quel nombre, mais le résultat de l'utilisation du module est toujours un nombre positif.

Passons maintenant directement à la résolution des équations.

1. Considérons une équation de la forme |x| = c, où c est un nombre réel. Cette équation peut être résolue en utilisant la définition du module.

On divise tous les nombres réels en trois groupes : ceux qui sont supérieurs à zéro, ceux qui sont inférieurs à zéro, et le troisième groupe est le nombre 0. On écrit la solution sous forme de diagramme :

(±c, si c > 0

Si |x| = c, alors x = (0, si c = 0

(pas de racines si avec< 0

1) |x| = 5, parce que 5 > 0, alors x = ±5 ;

2) |x| = -5, car -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, alors x = 0.

2. Équation de la forme |f(x)| = b, où b > 0. Pour résoudre cette équation il faut se débarrasser du module. Nous procédons de cette façon : f(x) = b ou f(x) = -b. Vous devez maintenant résoudre chacune des équations résultantes séparément. Si dans l'équation originale b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, parce que 4 > 0, alors

x + 2 = 4 ou x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, parce que 11 > 0, alors

x 2 – 5 = 11 ou x 2 – 5 = -11

x2 = 16 x2 = -6

x = ± 4 pas de racines

3) |x2 – 5x| = -8, car -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Une équation de la forme |f(x)| = g(x). Selon la signification du module, une telle équation aura des solutions si son membre de droite est supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire g(x) ≥ 0. Alors on aura :

f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Cette équation aura des racines si 5x – 10 ≥ 0. C'est là que commence la solution de telles équations.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solutions :

2x – 1 = 5x – 10 ou 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Nous combinons O.D.Z. et la solution, on obtient :

La racine x = 11/7 ne correspond pas à l'O.D.Z., elle est inférieure à 2, mais x = 3 satisfait cette condition.

Réponse : x = 3

2) |x – 1| = 1 – x2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Résolvons cette inégalité en utilisant la méthode des intervalles :

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solutions :

x – 1 = 1 – x 2 ou x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ou x = 1 x = 0 ou x = 1

3. Nous combinons la solution et O.D.Z. :

Seules les racines x = 1 et x = 0 conviennent.

Réponse : x = 0, x = 1.

4. Équation de la forme |f(x)| = |g(x)|. Une telle équation est équivalente aux deux équations suivantes f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Cette équation est équivalente aux deux suivantes :

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ou x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ou x = 4 x = 2 ou x = 1

Réponse : x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Équations résolues par la méthode de substitution (remplacement de variable). Cette méthode de solution est plus facilement expliquée dans exemple spécifique. Donnons donc une équation quadratique de module :

x2 – 6|x| + 5 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc l’équation peut être réécrite comme suit :

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors on aura :

t 2 – 6t + 5 = 0. En résolvant cette équation, nous trouvons que t = 1 ou t = 5. Revenons au remplacement :

|x| = 1 ou |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Réponse : x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Regardons un autre exemple :

x2 + |x| – 2 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors :

t 2 + t – 2 = 0. En résolvant cette équation, on obtient t = -2 ou t = 1. Revenons au remplacement :

|x| = -2 ou |x| = 1

Pas de racines x = ± 1

Réponse : x = -1, x = 1.

6. Un autre type d'équations est celui des équations à module « complexe ». De telles équations incluent des équations qui ont des « modules dans un module ». Les équations de ce type peuvent être résolues en utilisant les propriétés du module.

1) |3 – |x|| = 4. Nous agirons de la même manière que dans les équations du deuxième type. Parce que 4 > 0, alors on obtient deux équations :

3 – |x| = 4 ou 3 – |x| = -4.

Exprimons maintenant le module x dans chaque équation, alors |x| = -1 ou |x| = 7.

Nous résolvons chacune des équations résultantes. Il n’y a pas de racines dans la première équation, car -1< 0, а во втором x = ±7.

Réponse x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Nous résolvons cette équation de la même manière :

3 + |x + 1| = 5 ou 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ou x + 1 = -2. Pas de racines.

Réponse : x = -3, x = 1.

Il y a aussi méthode universelle résoudre des équations avec module. Il s'agit de la méthode des intervalles. Mais nous y reviendrons plus tard.

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