Déclaration- une phrase déclarative dont on peut dire qu'elle est vraie ou fausse. En algèbre, les énoncés simples se voient attribuer des variables logiques (A, B, C, etc.)

Variable booléenne est une simple déclaration.
Les variables booléennes sont désignées par des majuscules et des minuscules avec des lettres latines(a-z, A-Z) et ne peut prendre que deux valeurs - 1 si la déclaration est vraie, ou 0 si la déclaration est fausse.

Exemples de déclarations :

Fonction logique- avec fausse déclaration, qui est obtenu en effectuant des opérations logiques sur des instructions simples.

Pour former des énoncés complexes, ils sont le plus souvent utilisés opérations logiques de base, exprimé à l'aide de connecteurs logiques « et », « ou », « non ».
Par exemple,

Beaucoup de gens n'aiment pas le temps humide.

Soit A = « Beaucoup de gens aiment le temps pluvieux. » On obtient une fonction logique F(A) = pas A.

Ligaments « NON », « ET », « OU » sont remplacés par des opérations logiques inversion , conjonction , disjonction . Ce opérations logiques de base, avec lequel vous pouvez écrire n’importe quelle expression logique.

Formule logique (expression logique) – une formule contenant uniquement des quantités logiques et des signes d’opérations logiques. Le résultat d'une formule booléenne est VRAI (1) ou FAUX (0).

La valeur d'une fonction logique dépend des valeurs des variables logiques qu'elle contient. Par conséquent, la valeur d'une fonction logique peut être déterminée à l'aide d'un tableau spécial ( tables de vérité), qui répertorie tous valeurs possibles variables logiques entrantes et leurs valeurs de fonction correspondantes.

Opérations logiques de base (de base) :

1. Multiplication logique (conjonction), de lat. konjunctio - Je connecte :
Combiner deux (ou plusieurs) instructions en une seule à l'aide de la conjonction AND ;
dans les langages de programmation – Et.
Notations acceptées : /\ , , и et.
En algèbre des ensembles, la conjonction correspond à l'opération d'intersection d'ensembles.

Une conjonction est vraie si et seulement si toutes les affirmations qu’elle contient sont vraies.

Exemple:
Considérez l'énoncé composé « 2 2 = 4 et 3 3 = 10 ». Soulignons des déclarations simples :

B = « 3 3 = 10 » = 0 (puisque c'est une fausse déclaration)
Par conséquent, la fonction logique F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (conformément à la table de vérité), c'est-à-dire que cette affirmation composée est fausse.

2. Addition logique (disjonction), de lat. disjunctio - je distingue :
Combiner deux (ou plusieurs) instructions en une seule en utilisant la conjonction OR ;
dans les langages de programmation – Ou.
Désignation : \/, +, ou, ou.
En algèbre des ensembles, la disjonction correspond à l'opération de combinaison d'ensembles.

Une disjonction est fausse si et seulement si toutes les affirmations qu’elle contient sont fausses.

Exemple:
Considérez l'énoncé composé « 2 2 = 4 ou 2 2 = 5 ». Soulignons des déclarations simples :
A = « 2 2 = 4 » = 1 (puisque c'est une affirmation vraie)
B = « 2 2 = 5 » = 0 (puisque c'est une fausse déclaration)
Par conséquent, la fonction logique F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (conformément à la table de vérité), c'est-à-dire que cette affirmation composée est vraie.

3. Déni (inversion), de lat. InVersion – Je le retourne :

Correspond à la particule NON, aux phrases PAS VRAI, CELA ou PAS VRAI, CELA ;
dans les langages de programmation – Non ;
Désignation : non A, ¬A, non
En algèbre des ensembles, la négation logique correspond à l'opération d'addition à un ensemble universel.

Inverse Le i d'une variable booléenne est vrai si la variable elle-même est fausse, et inversement, l'inverse est faux si la variable est vraie.

Exemple:

A = (deux fois deux égale quatre) = 1.

¬A= ( Ce n'est pas vrai que deux fois deux égale quatre) = 0.

Considérez la déclaration A : «  La Lune est le satellite de la Terre« ; alors ¬A sera formulé ainsi : « La Lune n'est pas un satellite de la Terre“.

Considérez la déclaration : « Il n’est pas vrai que 4 soit divisible par 3. » Notons A la simple affirmation « 4 est divisible par 3 ». Alors forme logique la négation de cette affirmation a la forme ¬A

Priorité des opérations logiques :

Les opérations dans une expression logique sont effectuées de gauche à droite, en tenant compte des parenthèses V suivant d'accord:
1. inversion ;
2. conjonction ;
3. disjonction ;
Pour modifier l'ordre spécifié des opérations logiques, des parenthèses sont utilisées.

Expressions booléennes composées les algèbres propositionnelles sont appelées formules.
La valeur vraie ou fausse d'une formule peut être déterminée par les lois de l'algèbre logique sans se référer à la signification :
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 – vrai
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 – faux

Chers amis, nous sommes heureux de vous voir sur cette page ! Cher visiteur, il est possible que vous recherchiez Citations simples avec des dessins sur ce sujet. Cool! Vous avez trouvé ce que vous cherchiez. Nous vous souhaitons une lecture époustouflante et un perfectionnement personnel !

Ceux qui testent constamment leur vie jusqu'à la limite atteignent tôt ou tard leur objectif et y mettent fin de manière spectaculaire.

J'ai réalisé que pour comprendre le sens de la vie, il faut avant tout que la vie ne soit pas dénuée de sens et mauvaise, puis raisonner pour la comprendre. Tolstoï L.N.

Comment un amour plus fort, plus elle est sans défense. Duchesse Diane (Marie de Bossac)

Une fois dans sa vie, la fortune frappe à la porte de chaque personne, mais à ce moment-là, une personne est souvent assise dans le pub le plus proche et n'entend aucun coup. Mark Twain

Je n'ai pas peur de quelqu'un qui étudie 10 000 frappes différentes. J'ai peur de celui qui étudie un coup 10 000 fois.

Je rêve de toi tous les jours, je pense à toi la nuit !

Quiconque ne peut pas avoir les 2/3 de la journée pour lui-même doit être appelé esclave. Friedrich Nietzsche

J'ai fait partie de ceux qui ont accepté de parler du sens de la vie afin d'être prêt à éditer la mise en page sur ce sujet. Eco U.

Desinit in piscem mulier formosa superne - une femme belle sur le dessus se termine par une queue de poisson.

Nous sommes esclaves de nos habitudes. Changez vos habitudes, votre vie va changer. Robert Kiyosaki

Vous pourriez tendre la main et saisir le bonheur. C'est très proche ! Mais tu regardes toujours en arrière

Vous pouvez toujours vous pardonner vos erreurs si vous avez seulement le courage de les admettre. Bruce Lee

Le premier souffle d'amour est le dernier souffle de sagesse. Antoine Bret.

L'amitié est un amour sans ailes. Byron

Si une personne peut dire ce qu’est l’amour, alors elle n’a aimé personne.

Tout ce dont vous tombez amoureux, embrassez-le.

grâce à plusieurs personnes je peux surmonter ma fierté et ma peur...

Notre amour a commencé au premier regard.

La jalousie est une trahison par soupçon de trahison. V. Krotov

Avec un homme unique - je veux le répéter !

Une femme romantique est dégoûtée par le sexe sans amour. C'est pourquoi elle se précipite pour tomber amoureuse au premier regard. Lydia Yasinskaïa

L'amour est à l'intérieur de chacun, mais cela vaut la peine de le montrer uniquement à ceux qui sont ouverts à vous.

Le secret de l'amour pour une personne commence au moment où on la regarde sans désir de la posséder, sans désir de la gouverner, sans désir de profiter de ses dons ou de sa personnalité de quelque manière que ce soit - on regarde simplement et sommes émerveillés par la beauté qui nous a été révélée. Antoine, métropolite de Sourozh

j'aimerais être dans société primitive. Vous n’avez pas besoin de penser à l’argent, à l’armée, aux titres ou diplômes universitaires. Seuls les femmes, le bétail et les esclaves sont importants.

Lorsqu'il est inconfortable pour une personne de s'allonger d'un côté, elle se retourne de l'autre, et lorsqu'il est inconfortable pour elle de vivre, elle ne fait que se plaindre. Et vous faites un effort et vous vous retournez. Maxime Gorki

La lente aiguille du temps lisse les montagnes. Voltaire

Les femmes ont tout le cœur, même la tête. Jean Paul

Ton baiser était si doux que j'étais tout simplement inspiré de bonheur !

Une personne se tend, comme une pousse, vers le Luminaire et devient plus grande. Rêvant de rêves impossibles, il atteint des sommets.

Mieux véritable amitié que du faux amour !

Nous ne pouvons pas être privés du respect de nous-mêmes à moins de le donner nous-mêmes à Gandhi.

L'amour est l'égoïsme ensemble.

La connaissance rend une personne plus significative et les actions lui donnent de l'éclat. Mais beaucoup de gens ont tendance à regarder sans peser. T. Carlyle

Ce n'est qu'en Russie qu'on appelle ses proches... Mon chagrin !

L'amour non partagé n'est pas de l'amour, mais de la torture !

L'adéquation est la capacité de faire deux choses : se taire à temps et parler à temps.

Le bonheur vient avec un bon jugement, le bon jugement vient avec l'expérience et l'expérience vient avec un mauvais jugement.

Ne vous attendez pas à ce que les choses deviennent plus faciles, plus simples ou meilleures. Ce ne sera pas le cas. Il y aura toujours des difficultés. Apprenez à être heureux dès maintenant. Sinon, vous n'aurez pas le temps.

La vie, heureuse ou malheureuse, réussie ou ratée, reste extrêmement intéressante. B. Shaw

Ne vous considérez pas comme sage : sinon votre âme s'exaltera dans l'orgueil et vous tomberez entre les mains de vos ennemis. Antoine le Grand

Faire la cour à sa femme lui paraissait aussi absurde que chasser du gibier rôti. Émile Krotky

Les lettres, les cadeaux et les images sur papier glacé exprimant votre affection sont importants. Mais il est encore plus important de s’écouter face à face, c’est un art grand et rare. T. Jansson.

La vie est si diaboliquement arrangée que sans savoir haïr, il est impossible d'aimer sincèrement. M. Gorki

C'est sympa quand ton proche t'offre juste un énorme bouquet, c'est sympa, bon sang !

Sans peur, les gens se transforment en imbéciles téméraires qui perdent souvent la vie. Isaac Asimov Voyage Fantastique II

Un ami est une âme vivant dans deux corps. Aristote

Être une personne qui ne pense qu’à elle-même ne signifie pas faire ce qu’elle veut. Cela signifie vouloir que le monde entier vive comme vous le souhaitez. — O. Wilde

Chaque mère devrait se réserver quelques minutes de temps libre pour faire la vaisselle.

Une déclaration est une formation plus complexe qu'un nom. Lorsque nous décomposons des déclarations en parties plus simples, nous obtenons toujours un nom ou un autre. Supposons que la déclaration « Le soleil est une étoile » inclut les noms « Soleil » et « étoile » comme parties.

Déclaration - une phrase grammaticalement correcte, prise avec le sens (contenu) qu'elle exprime et étant vraie ou fausse.

Le concept d'énoncé est l'un des plus originaux, concepts clés logique moderne. En tant que tel, il ne permet pas une définition précise qui soit également applicable dans ses différentes sections.

Une affirmation est considérée comme vraie si la description qu’elle donne correspond à la situation réelle, et fausse si elle n’y correspond pas. « Vrai » et « faux » sont appelés « valeurs de vérité des déclarations ».

À partir de déclarations individuelles différentes façons vous pouvez construire de nouvelles déclarations. Par exemple, à partir des affirmations « Le vent souffle » et « Il pleut », on peut former des affirmations plus complexes « Le vent souffle et il pleut », « Soit le vent souffle, soit il pleut », « S'il il pleut, puis le vent souffle », etc.

La déclaration s'appelle simple,à moins qu'il n'inclue d'autres déclarations dans le cadre de celui-ci.

La déclaration s'appelle complexe, s'il est obtenu à l'aide de connecteurs logiques à partir d'autres instructions plus simples.

Considérons le plus moyens importants construire des énoncés complexes.

Discours négatif se compose d'une affirmation initiale et d'une négation, généralement exprimées par les mots « non », « ce n'est pas vrai que ». Un énoncé négatif est donc un énoncé complexe : il inclut comme partie un énoncé différent de lui. Par exemple, en niant l'énoncé « 10 - nombre pair» est l’affirmation « 10 n’est pas un nombre pair » (ou : « Ce n’est pas vrai que 10 soit un nombre pair »).

Désignons les déclarations par des lettres A, B, C,... Le sens plein de la notion de négation d'un énoncé est donné par la condition : si l'énoncé UN est vrai, sa négation est fausse, et si UN est faux, sa négation est vraie. Par exemple, puisque l’affirmation « 1 est un nombre entier positif » est vraie, sa négation « 1 n’est pas un nombre entier positif » est fausse, et puisque « 1 est un nombre premier » est fausse, sa négation « 1 n’est pas un nombre premier » est fausse. " est vrai.

Relier deux instructions à l’aide du mot « et » produit une instruction complexe appelée conjonction. Les instructions connectées de cette manière sont appelées « membres d’une conjonction ».

Par exemple, si l’on combine ainsi les affirmations « Il fait chaud aujourd’hui » et « Hier il faisait froid », on obtient la conjonction « Aujourd’hui il fait chaud et hier il faisait froid ».

Une conjonction n'est vraie que si les deux affirmations qu'elle contient sont vraies ; si au moins un de ses membres est faux, alors toute la conjonction est fausse.

Dans le langage ordinaire, deux énoncés sont reliés par la conjonction « et » lorsqu’ils sont liés l’un à l’autre par leur contenu ou leur signification. La nature de ce lien n'est pas tout à fait claire, mais il est clair que nous ne considérerions pas la conjonction « Il marchait en manteau et je marchais vers l'université » comme une expression qui a un sens et peut être vraie ou fausse. Bien que les affirmations « 2 est un nombre premier » et « Moscou est Grande ville» sont vrais, nous ne sommes pas enclins à considérer comme vraie leur conjonction « 2 est un nombre premier et Moscou est une grande ville », puisque les énoncés constitutifs n'ont pas de sens interconnectés. En simplifiant le sens de la conjonction et des autres connecteurs logiques et, à cette fin, en abandonnant le concept peu clair de « connexion des énoncés par le sens », la logique rend le sens de ces connecteurs à la fois plus large et plus spécifique.

Relier deux instructions en utilisant le mot « ou » donne disjonction ces déclarations. Les déclarations qui forment une disjonction sont appelées « membres de la disjonction ».

Le mot « ou » dans le langage courant a deux différentes significations. Parfois, cela signifie « l’un ou l’autre ou les deux », et parfois « l’un ou l’autre, mais pas les deux ». Par exemple, la mention « Cette saison, je veux aller chez la Dame de Pique ou Aïda » permet de visiter l'onera deux fois. Dans la déclaration « Il étudie à Moscou ou à Université de Iaroslavl"implique que la personne mentionnée étudie dans une seule de ces universités.

Le premier sens de « ou » s’appelle non exclusif. Pris dans ce sens, la disjonction de deux énoncés signifie qu'au moins un de ces énoncés est vrai, qu'ils soient tous les deux vrais ou non. Pris dans la seconde exclusif ou au sens strict, la disjonction de deux énoncés stipule que l'un des énoncés est vrai et le second est faux.

Une disjonction non exclusive est vraie lorsqu'au moins un de ses énoncés constitutifs est vrai, et fausse uniquement lorsque ses deux membres sont faux.

Une disjonction exclusive est vraie lorsqu’un seul de ses termes est vrai, et elle est fausse lorsque ses deux termes sont vrais ou que les deux sont faux.

En logique et en mathématiques, le mot « ou » est presque toujours utilisé dans un sens non exclusif.

Instruction conditionnelle - une déclaration complexe, généralement formulée à l'aide du connecteur « si..., alors... » et établissant cet événement, cet état, etc. est, dans un sens ou dans un autre, la base ou la condition d'un autre.

Par exemple : « S'il y a du feu, alors il y a de la fumée », « Si un nombre est divisible par 9, il est divisible par 3 », etc.

Une instruction conditionnelle est composée de deux instructions plus simples. Celui qui est précédé du mot « si » s’appelle base, ou antécédent(précédent), l’énoncé qui suit le mot « cela » s’appelle conséquence, ou consécutif(subséquent).

En affirmant un énoncé conditionnel, nous entendons tout d'abord qu'il ne peut pas se produire que ce qui est dit dans sa base ait lieu et que ce qui est dit dans la conséquence soit absent. En d’autres termes, il ne peut pas arriver que l’antécédent soit vrai et que le conséquent soit faux.

En termes d'énoncé conditionnel, les concepts de conditions suffisantes et nécessaires sont généralement définis : l'antécédent (fond) est une condition suffisante pour le conséquent (conséquence), et le conséquent est condition nécessaire pour l'antécédent. Par exemple, la vérité de l’énoncé conditionnel « Si le choix est rationnel, alors la meilleure des alternatives disponibles est choisie » signifie que la rationalité est une raison suffisante pour choisir la meilleure des options disponibles et que le choix d’une telle option est une condition nécessaire à sa rationalité.

Une fonction typique d'une instruction conditionnelle est de justifier une instruction par référence à une autre instruction. Par exemple, le fait que l’argent soit électriquement conducteur peut être justifié par le fait qu’il s’agit d’un métal : « Si l’argent est un métal, il est électriquement conducteur ».

Le lien entre le justificatif et le justifié (fondement et conséquence) exprimé par une déclaration conditionnelle est difficile à caractériser dans vue générale, et ce n'est que parfois que sa nature est relativement claire. Cette connexion peut être, premièrement, une connexion de conséquence logique qui a lieu entre les prémisses et la conclusion d'une conclusion correcte (« Si toutes les créatures multicellulaires vivantes sont mortelles et que la méduse est une telle créature, alors elle est mortelle ») ; deuxièmement, par la loi de la nature (« Si un corps est soumis à un frottement, il commencera à s'échauffer ») ; troisièmement, un lien causal (« Si la Lune est au nœud de son orbite à la nouvelle lune, éclipse solaire"); quatrièmement, modèle social, règle, tradition, etc. (« Si la société change, la personne aussi », « Si le conseil est raisonnable, il doit être mis en œuvre »).

Le lien exprimé par une déclaration conditionnelle s'accompagne généralement de la croyance que la conséquence « découle » avec une certaine nécessité de la raison et qu'il existe une loi générale que, ayant pu formuler, nous pourrions logiquement déduire la conséquence de la raison. raison.

Par exemple, l’énoncé conditionnel « Si le bismuth est un métal est plastique » semble présupposer la loi générale « Aucun métal n’est plastique », faisant du conséquent de cet énoncé une conséquence logique de son antécédent.

Tant dans le langage ordinaire que dans le langage scientifique, un énoncé conditionnel, en plus de la fonction de justification, peut également remplir un certain nombre d'autres tâches : formuler une condition qui n'est associée à aucun implicite loi commune ou une règle (« Si je veux, je couperai mon manteau ») ; enregistrez n'importe quelle séquence (« Si l'été dernier était sec, alors cette année il pleut ») ; exprimer son incrédulité sous une forme particulière (« Si vous résolvez ce problème, je prouverai le dernier théorème de Fermat ») ; opposition (« Si un sureau pousse dans le jardin, alors un gars vit à Kiev »), etc. La multiplicité et l'hétérogénéité des fonctions d'une instruction conditionnelle compliquent considérablement son analyse.

L'utilisation d'instructions conditionnelles est associée à certains facteurs psychologiques. Ainsi, nous formulons habituellement une telle affirmation seulement si nous ne savons pas avec certitude si son antécédent et sa conséquence sont vrais ou faux. Sinon, son utilisation semble contre nature (« Si le coton est du métal, c’est un conducteur électrique »).

L’énoncé conditionnel trouve une application très large dans tous les domaines du raisonnement. En logique, il est généralement représenté par déclaration implicite, ou implications. En même temps, la logique clarifie, systématise et simplifie l'usage du « si..., alors... », le libérant de l'influence de facteurs psychologiques.

La logique est notamment abstraite du fait que le lien entre raison et conséquence, caractéristique d'un énoncé conditionnel, selon le contexte, peut s'exprimer non seulement par « si..., alors... », mais aussi par d'autres moyens linguistiques. Par exemple, « Puisque l'eau est un liquide, elle transmet la pression dans toutes les directions de manière uniforme », « Bien que la pâte à modeler ne soit pas un métal, c'est du plastique », « Si le bois était du métal, il serait conducteur d'électricité », etc. Ces déclarations et d’autres similaires sont représentées implicitement dans le langage de la logique, bien que l’utilisation de « si…, alors… » ne serait pas tout à fait naturelle.

En affirmant une implication, nous affirmons qu'il ne peut pas arriver que sa base soit présente et que sa conséquence soit absente. En d’autres termes, une implication n’est fausse que si sa raison est vraie et sa conséquence est fausse.

Cette définition suppose, comme les définitions précédentes des connecteurs, que chaque énoncé est vrai ou faux et que la valeur de vérité d'un énoncé complexe dépend uniquement des valeurs de vérité des énoncés constitutifs et de la manière dont ils sont connectés.

Une implication est vraie lorsque sa raison et sa conséquence sont toutes deux vraies ou fausses ; elle est vraie si sa raison est fausse et si sa conséquence est vraie. Ce n’est que dans le quatrième cas, lorsque la raison est vraie et la conséquence fausse, que l’implication est fausse.

Il n'est pas sous-entendu que les déclarations UN Et DANS sont en quelque sorte liés les uns aux autres dans le contenu. Si vrai DANS déclaration "si UN, Que DANS" vrai, peu importe si UN vrai ou faux et il est lié en termes de sens à DANS ou non.

Par exemple, les affirmations suivantes sont considérées comme vraies : « S'il y a de la vie sur le Soleil, alors deux et deux font quatre », « Si la Volga est un lac, alors Tokyo est un grand village », etc. Une instruction conditionnelle est également vraie lorsque UN faux, et encore une fois indifférent, vrai DANS ou non et son contenu est-il lié à UN ou non. Les affirmations vraies incluent : « Si le Soleil est un cube, alors la Terre est un triangle », « Si deux plus deux égale cinq, alors Tokyo est Petite ville" et ainsi de suite.

Dans le raisonnement ordinaire, il est peu probable que toutes ces affirmations soient considérées comme significatives, et encore moins comme vraies.

Bien que l’implication soit utile à de nombreuses fins, elle n’est pas entièrement cohérente avec la compréhension habituelle de la connexion conditionnelle. L'implication couvre de nombreuses caractéristiques importantes du comportement logique d'une instruction conditionnelle, mais en même temps, elle n'en constitue pas une description suffisamment adéquate.

Au cours du dernier demi-siècle, de vigoureuses tentatives ont été menées pour réformer la théorie de l’implication. En même temps, il ne s'agissait pas d'abandonner le concept d'implication décrit, mais d'introduire, avec lui, un autre concept qui prend en compte non seulement les valeurs de vérité des énoncés, mais aussi leur lien dans le contenu.

Étroitement lié à l'implication équivalence, parfois appelé « double implication ».

L'équivalence est un énoncé complexe « A si et seulement si B », formé d'énoncés de Li B et se décomposant en deux implications : « si UN, alors B", et "si B, alors UN". Par exemple : « Un triangle est équilatéral si et seulement s’il est équiangulaire. » Le terme « équivalence » désigne également le connecteur « …, si et seulement si… », à l'aide duquel un énoncé complexe donné est formé de deux énoncés. Au lieu de « si et seulement si », « si et seulement si », « si et seulement si », etc. peuvent être utilisés à cette fin.

Si les connecteurs logiques sont définis en termes de vérité et de mensonge, une équivalence est vraie si et seulement si les deux énoncés constitutifs ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire quand ils sont tous les deux vrais ou tous les deux faux. En conséquence, une équivalence est fausse lorsque l’une des affirmations qu’elle contient est vraie et l’autre est fausse.

Déclarations simples et complexes. Négation d'une déclaration

La logique mathématique, dont les bases ont été posées par G. Leibniz dès le XVIIe siècle, s'est formée comme discipline scientifique seulement dans milieu du 19ème siècle grâce aux travaux des mathématiciens J. Boole et O. Morgan, qui ont créé l'algèbre de la logique.

1. Une déclaration est toute phrase déclarative dont on sait qu’elle est vraie ou fausse. Les déclarations peuvent être exprimées à l’aide de mots, ainsi que de symboles mathématiques, chimiques et autres. Voici quelques exemples:

b) 2+6>8 (fausse déclaration),

c) la somme des nombres 2 et 6 est supérieure au nombre 8 (fausse affirmation) ;

d) II + VI > VII (affirmation vraie) ;

e) il existe des civilisations extraterrestres au sein de notre Galaxie (cette affirmation est sans aucun doute vraie ou fausse, mais on ne sait pas encore laquelle de ces possibilités est vraie).

Il est clair que les affirmations b) et c) signifient la même chose, mais elles sont exprimées différemment. En général, nous écrirons des énoncés comme ceci : a : (La Lune est un satellite de la Terre) ; b:(il existe un nombre réel x tel que 2x+5=15) ; c : (tous les triangles sont isocèles).

Toutes les phrases ne sont pas des affirmations. Par exemple, les points d'exclamation et phrases interrogatives les déclarations ne le sont pas (« De quelle couleur est cette maison ? », « Bois jus de tomate!", "Stop!", etc.). Les définitions ne sont pas des déclarations, par exemple, "Appelons un segment reliant le sommet d'un triangle au milieu du côté opposé une médiane." Ici, seul le nom d'un objet est établie. Ainsi, les définitions, mais peuvent être vraies ou fausses, elles enregistrent seulement l'utilisation acceptée des termes. Les phrases "Il a les yeux gris" ou "x 2 - 4x + 3 = 0" ne sont pas non plus - elles n'indiquent pas quelle personne nous parlons de ou pour lequel x l'égalité est considérée. De telles phrases avec un membre inconnu (variable) sont appelées déclarations vagues. Notez que la phrase « Certaines personnes ont les yeux gris » ou « Pour tout x l'égalité x 2 - 4x + 3 = 0 » est déjà une affirmation (la première d'entre elles est vraie et la seconde est fausse).

2. Un énoncé qui peut être décomposé en parties sera appelé complexe, et un énoncé qui ne peut pas être davantage décomposé sera appelé simple. Par exemple, l'énoncé « Aujourd'hui à 16 heures, j'étais à l'école et à 18 heures je suis allé à la patinoire » se compose de deux parties : « Aujourd'hui à 16 heures l'après-midi j'étais à l'école » et « Aujourd'hui à 18 heures je suis allé à la patinoire ». Ou cette affirmation : « la fonction y = ax 2 + bx + c est continue et différentiable pour toutes les valeurs X" se compose de deux énoncés simples : « La fonction y = ax 2 + bx + c est continue pour toutes les valeurs de x » et « la fonction y = ax 2 + bx + c est différentiable pour toutes les valeurs de x ».

Tout comme d'autres nombres peuvent être obtenus à partir de nombres donnés en utilisant des opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, de même à partir d'énoncés donnés, de nouveaux peuvent être obtenus en utilisant des opérations qui ont des noms spéciaux : conjonction, disjonction, implication, équivalence, négation. Bien que ces noms semblent inhabituels, ils désignent uniquement des connexions bien connues de phrases individuelles avec les connecteurs « et », « ou », « si... alors... », « si et seulement si... », ainsi que l'ajout de la particule « non » à l'énoncé.

3. La négation d'un énoncé a est un énoncé a tel que a est faux si a est vrai, et a est vrai si a est faux. La notation a se lit comme ceci : « Pas a » ou « Ce n'est pas vrai que a ». Essayons de comprendre cette définition avec des exemples. Considérez les déclarations suivantes :

a : (Aujourd’hui à midi j’étais à la patinoire) ;

b : (Aujourd'hui j'étais à la patinoire pas à midi) ;

s : (j'étais à la patinoire à midi, pas aujourd'hui) ;

d:(Aujourd'hui à midi j'étais à l'école) ;

e : (Aujourd’hui j’étais à la patinoire à 15h) ;

f:(Aujourd'hui à midi je n'étais pas à la patinoire) ;

À première vue, toutes les déclarations b à f nient la déclaration a. Mais en réalité, ce n’est pas le cas. Si vous lisez attentivement la signification de l'énoncé b, vous remarquerez que les deux énoncés a et b peuvent s'avérer faux en même temps - cela se produirait si aujourd'hui je n'étais pas du tout à la patinoire. Il en va de même pour les affirmations a et c, a et a. Et les affirmations a et e peuvent s'avérer à la fois vraies (si, par exemple, je patinais de 23 heures à 16 heures) et en même temps fausses (si aujourd'hui je n'étais pas du tout à la patinoire ). Et seule l'énoncé f a la propriété suivante : elle est vraie dans le cas où l'énoncé a est faux, et fausse dans le cas où l'énoncé a est vrai. Cela signifie que l’énoncé f est la négation de l’énoncé a, c’est-à-dire f = a. Le tableau suivant montre la relation entre les instructions a et ;

Les lettres « i » et « l » sont respectivement les abréviations des mots « vrai » et « faux ». Ces mots en logique sont appelés valeurs de vérité. Cette table est appelée table de vérité.

Une déclaration est une formation plus complexe qu'un nom. Lorsque nous décomposons des déclarations en parties plus simples, nous obtenons toujours un nom ou un autre. Supposons que la déclaration « Le soleil est une étoile » inclut les noms « Soleil » et « étoile » comme parties.

Déclaration- une phrase grammaticalement correcte, prise ensemble avec le sens (contenu) qu'elle exprime et étant vraie ou fausse.

Le concept d'énoncé est l'un des premiers concepts clés de la logique. En tant que tel, il ne permet pas une définition précise qui soit également applicable dans ses différentes sections.

Une affirmation est considérée comme vraie si la description qu’elle donne correspond à la situation réelle, et fausse si elle n’y correspond pas. « Vrai » et « faux » sont appelés « valeurs de vérité des déclarations ».

À partir d’énoncés individuels, de nouveaux énoncés peuvent être construits de différentes manières.

Par exemple, à partir des affirmations « Le vent souffle » et « Il pleut », vous pouvez former des affirmations plus complexes « Le vent souffle et il pleut », « Soit le vent souffle, soit il pleut », « S'il pleut, alors le vent souffle ", etc. .

La déclaration s'appelle simple,à moins qu'il n'inclue d'autres déclarations dans le cadre de celui-ci.

La déclaration s'appelle Je suis complique, s'il est obtenu à l'aide de connecteurs logiques à partir d'autres instructions plus simples.

Considérons les manières les plus importantes de construire des énoncés complexes.

Discours négatif se compose d'une affirmation initiale et d'une négation, généralement exprimées par les mots « non », « ce n'est pas vrai que ». Un énoncé négatif est donc un énoncé complexe : il inclut comme partie un énoncé différent de lui. Par exemple, la négation de l'affirmation « 10 est un nombre pair » est l'affirmation « 10 n'est pas un nombre pair » (ou : « Il n'est pas vrai que 10 soit un nombre pair »).

Désignons les énoncés par les lettres A, B, C,... Le sens plein de la notion de négation d'un énoncé est donné par la condition : si l'énoncé A est vrai, sa négation est fausse, et si A est faux, sa négation est vraie. Par exemple, puisque « 1 est un nombre entier positif » est vrai, sa négation « 1 n'est pas un nombre entier positif » est fausse, et puisque « 1 est un nombre premier » est fausse, sa négation « 1 n'est pas un nombre premier » est fausse. vrai.

Relier deux instructions à l’aide du mot « et » produit une instruction complexe appelée conjonction. Les instructions connectées de cette manière sont appelées « membres d’une conjonction ».

Par exemple, si l’on combine ainsi les affirmations « Il fait chaud aujourd’hui » et « Hier il faisait froid », on obtient la conjonction « Aujourd’hui il fait chaud et hier il faisait froid ».

Une conjonction n'est vraie que si les deux affirmations qu'elle contient sont vraies ; si au moins un de ses membres est faux, alors toute la conjonction est fausse.

Dans le langage ordinaire, deux énoncés sont reliés par la conjonction « et » lorsqu’ils sont liés l’un à l’autre par leur contenu ou leur signification. La nature de ce lien n'est pas tout à fait claire, mais il est clair que nous ne considérerions pas la conjonction « Il marchait en manteau et je marchais vers l'université » comme une expression qui a un sens et peut être vraie ou fausse. Bien que les affirmations « 2 est un nombre premier » et « Moscou est une grande ville » soient vraies, nous ne sommes pas non plus enclins à considérer leur conjonction « 2 est un nombre premier et Moscou est une grande ville » comme étant vraie non plus, car son les déclarations constitutives n'ont pas de sens les unes par rapport aux autres. En simplifiant le sens de la conjonction et des autres connecteurs logiques et, à cette fin, en abandonnant le concept peu clair de « connexion des énoncés par le sens », la logique rend le sens de ces connecteurs à la fois plus large et plus clair.

Relier deux instructions en utilisant le mot « ou » donne disjonction ces déclarations. Les déclarations qui forment une disjonction sont appelées « membres de la disjonction ». .

Le mot « ou » a deux significations différentes dans le langage courant. Parfois, cela signifie « l’un ou l’autre ou les deux », et parfois « l’un ou l’autre, mais pas les deux ». Par exemple, la déclaration « Cette saison, je veux aller à La Dame de Pique ou à Aida » permet la possibilité d'aller à l'opéra deux fois. La mention « Il étudie à l'Université de Moscou ou de Iaroslavl » implique que la personne en question a étudié dans une seule de ces universités.

Le premier sens de « ou » s’appelle non exclusif. Pris dans ce sens, la disjonction de deux énoncés signifie qu'au moins un de ces énoncés est vrai, qu'ils soient tous les deux vrais ou non. Pris dans la seconde exclusif, ou stricte, la disjonction de deux affirmations indique que l'une des affirmations est vraie et la seconde est fausse.

Une disjonction non exclusive est vraie lorsqu'au moins un de ses énoncés constitutifs est vrai, et fausse uniquement lorsque ses deux membres sont faux.

Une disjonction exclusive est vraie lorsqu’un seul de ses termes est vrai, et elle est fausse lorsque ses deux termes sont vrais ou que les deux sont faux.

En logique et en mathématiques, le mot « ou » est presque toujours utilisé dans un sens non exclusif.

Instruction conditionnelle - une déclaration complexe, généralement formulée à l'aide du connecteur « si… alors… » et établissant qu'un événement, un état, etc. est dans un sens ou dans un autre la base ou la condition d'un autre.

Par exemple : « S'il y a du feu, alors il y a de la fumée », « Si un nombre est divisible par 9, il est divisible par 3 », etc.

Une instruction conditionnelle est composée de deux instructions plus simples. Celui qui est précédé du mot « si » s’appelle base, ou antécédent(précédent), l’énoncé qui suit le mot « cela » s’appelle conséquence, ou consécutif(subséquent).

En affirmant un énoncé conditionnel, nous entendons tout d'abord qu'il ne peut pas se produire que ce qui est dit dans sa base ait lieu et que ce qui est dit dans la conséquence soit absent. En d’autres termes, il ne peut pas arriver que l’antécédent soit vrai et que le conséquent soit faux.

En termes d'énoncé conditionnel, les concepts de conditions suffisantes et nécessaires sont généralement définis : l'antécédent (fond) est une condition suffisante pour le conséquent (conséquence), et le conséquent est une condition nécessaire pour l'antécédent. Par exemple, la vérité de l’énoncé conditionnel « Si le choix est rationnel, alors la meilleure des alternatives disponibles est choisie » signifie que la rationalité est une raison suffisante pour choisir la meilleure des options disponibles et que le choix d’une telle option est une condition nécessaire à sa rationalité.

Une fonction typique d'une instruction conditionnelle est de justifier une instruction par référence à une autre instruction. Par exemple, le fait que l’argent soit électriquement conducteur peut être justifié par le fait qu’il s’agit d’un métal : « Si l’argent est un métal, il est électriquement conducteur ».

Le lien entre le fondement et le fondement (motif et conséquence) exprimé par une déclaration conditionnelle est difficile à caractériser en termes généraux, et ce n'est que parfois que sa nature est relativement claire. Cette connexion peut être, premièrement, une connexion de conséquence logique qui a lieu entre les prémisses et la conclusion d'une conclusion correcte (« Si toutes les créatures multicellulaires vivantes sont mortelles et que la méduse est une telle créature, alors elle est mortelle ») ; deuxièmement, par la loi de la nature (« Si un corps est soumis à un frottement, il commencera à s'échauffer ») ; troisièmement, un lien causal (« Si la Lune est au nœud de son orbite à la nouvelle lune, une éclipse solaire se produit ») ; quatrièmement, un modèle social, une règle, une tradition (« Si la société change, la personne change aussi », « Si le conseil est raisonnable, il doit être suivi »), etc.

Le lien exprimé par une déclaration conditionnelle s'accompagne généralement de la croyance que la conséquence « découle » avec une certaine nécessité de la raison et qu'il existe une loi générale que, ayant pu formuler, nous pourrions logiquement déduire la conséquence de la raison. raison.

Par exemple, l’énoncé conditionnel « Si le bismuth est un métal, il est ductile » semble présupposer la loi générale « Tous les métaux sont ductiles », faisant du conséquent de cet énoncé une conséquence logique de son antécédent.

Tant dans le langage ordinaire que dans le langage scientifique, un énoncé conditionnel, en plus de la fonction de justification, peut également remplir un certain nombre d'autres tâches : formuler une condition qui n'est associée à aucune loi ou règle générale implicite (« Si je veux, je couperai mon manteau»); enregistrez une séquence (« Si l'été dernier était sec, alors cette année il pleut ») ; exprimer son incrédulité sous une forme particulière (« Si vous résolvez ce problème, je prouverai le dernier théorème de Fermat ») ; opposition (« Si un sureau pousse dans le jardin, alors un oncle vit à Kiev »), etc. Les fonctions nombreuses et hétérogènes d'une instruction conditionnelle compliquent considérablement son analyse.

L'utilisation d'instructions conditionnelles est associée à certains facteurs psychologiques. Nous formulons habituellement une telle affirmation seulement si nous ne savons pas avec certitude si son antécédent et sa conséquence sont vrais ou faux. Sinon, son utilisation semble contre nature (« Si le coton est métallique, il est conducteur d’électricité »).

L’énoncé conditionnel trouve une application très large dans tous les domaines du raisonnement. En logique, il est généralement représenté par énoncé implicite, ou conséquences. En même temps, la logique clarifie, systématise et simplifie l'usage du « si..., alors... » et le libère de l'influence des facteurs psychologiques.

La logique est notamment abstraite du fait que le lien entre raison et conséquence, caractéristique d'un énoncé conditionnel, selon le contexte, peut être exprimé non seulement par « si... alors... », mais aussi par d'autres termes linguistiques. moyens.

Par exemple, « Puisque l’eau est un liquide, elle transmet uniformément la pression dans toutes les directions », « Bien que la pâte à modeler ne soit pas un métal, c’est du plastique », « Si le bois était du métal, il serait conducteur d’électricité », etc. les déclarations sont représentées dans le langage de la logique par implication, bien que l’utilisation de « si… alors… » ne serait pas tout à fait naturelle.

En affirmant une implication, nous affirmons qu'il ne peut pas arriver que sa base ait lieu et que sa conséquence soit absente. En d’autres termes, une implication n’est fausse que si sa raison est vraie et sa conséquence est fausse.

Cette définition suppose, comme les définitions précédentes des connecteurs, que chaque énoncé est vrai ou faux et que la valeur de vérité d'un énoncé complexe dépend uniquement des valeurs de vérité de ses énoncés constitutifs et de la manière dont ils sont connectés.

Une implication est vraie lorsque sa raison et sa conséquence sont toutes deux vraies ou fausses ; elle est vraie si sa raison est fausse et si sa conséquence est vraie. Ce n’est que dans le quatrième cas, lorsque la raison est vraie et la conséquence fausse, que l’implication est fausse.

Cela n’implique pas que les déclarations A et B soient liées d’une manière ou d’une autre dans leur contenu. Si B est vrai, l’énoncé « si A, alors B » est vrai, que A soit vrai ou faux et qu’il ait ou non un lien de sens avec B.

Par exemple, les affirmations suivantes sont considérées comme vraies : « S'il y a de la vie sur le Soleil, alors deux fois deux égale quatre », « Si la Volga est un lac, alors Tokyo est un grand village », etc. L'affirmation conditionnelle est également vraie. lorsque A est faux, et en même temps encore, cela ne fait aucune différence que B soit vrai ou non et qu'il ait ou non un rapport de contenu avec A. Les affirmations vraies incluent : « Si le Soleil est un cube, alors la Terre est un triangle », « Si deux et deux font cinq, alors Tokyo est une petite ville », etc.

Dans le raisonnement ordinaire, il est peu probable que toutes ces affirmations soient considérées comme significatives, et encore moins comme vraies.

Bien que l’implication soit utile à de nombreuses fins, elle n’est pas entièrement cohérente avec la compréhension habituelle de la connexion conditionnelle. L'implication couvre de nombreuses caractéristiques importantes du comportement logique d'une instruction conditionnelle, mais en même temps, elle n'en constitue pas une description suffisamment adéquate.

Au cours du dernier demi-siècle, de vigoureuses tentatives ont été menées pour réformer la théorie de l’implication. En même temps, il ne s'agissait pas d'abandonner le concept d'implication décrit, mais d'introduire, avec lui, un autre concept qui prend en compte non seulement les valeurs de vérité des énoncés, mais aussi leur lien dans le contenu.

Étroitement lié à l'implication équivalence, parfois appelée « double implication ».

Équivalence- un énoncé complexe « A, si et seulement si B », formé des énoncés A et B et se décomposant en deux implications : « si A, alors B », et « si B, alors A ». Par exemple : « Un triangle est équilatéral si et seulement s’il est équiangulaire. » Le terme « équivalence » désigne également le connecteur « …, si et seulement si… », à l'aide duquel un énoncé complexe donné est formé de deux énoncés. Au lieu de « si et seulement si », « si et seulement si », « si et seulement si », etc. peuvent être utilisés à cette fin.

Si les connecteurs logiques sont définis en termes de vérité et de mensonge, une équivalence est vraie si et seulement si les deux énoncés qui la composent ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire lorsqu'ils sont à la fois vrais et faux. En conséquence, une équivalence est fausse lorsque l’une des affirmations qu’elle contient est vraie et l’autre est fausse.

Lors de l'examen des moyens de former des énoncés complexes à partir d'énoncés simples, la structure interne des énoncés simples n'a pas été prise en compte. Ils ont été considérés comme des particules indécomposables avec une seule propriété : être vraies ou fausses. Des paroles simples

Ce n'est pas un hasard s'ils sont parfois appelés atomiques : à partir d'eux, comme à partir de briques élémentaires, à l'aide de connecteurs logiques « et », « ou », etc., divers énoncés complexes (« moléculaires ») sont construits.

Il faut maintenant s'attarder sur la question de structure interne, ou la structure interne, des déclarations simples elles-mêmes : à partir de quelles parties spécifiques elles sont composées et comment ces parties sont interconnectées.

Il faut immédiatement souligner que des déclarations simples peuvent être décomposées de différentes manières en leurs éléments constitutifs. Le résultat de la décomposition dépend du but pour lequel elle est effectuée, c'est-à-dire du concept d'inférence logique (conséquence logique) dans le cadre duquel de telles déclarations sont analysées.

L'intérêt particulier pour les énoncés catégoriques s'explique principalement par le fait que le développement de la logique en tant que science a commencé avec l'étude de leurs connexions logiques. De plus, les énoncés de ce type sont largement utilisés dans notre raisonnement. La théorie des connexions logiques des énoncés catégoriques est généralement appelée syllogistique.

Par exemple, dans la déclaration « Tous les dinosaures sont éteints », l’attribut « étant éteint » est attribué aux dinosaures. Dans la proposition « Certains dinosaures ont volé », la capacité de voler est attribuée à certaines espèces de dinosaures. La proposition « Toutes les comètes ne sont pas des astéroïdes » nie la présence de l’attribut « être un astéroïde » dans chacune des comètes. La proposition « Certains animaux ne sont pas herbivores » nie le caractère herbivore de certains animaux.

Si nous ignorons les caractéristiques quantitatives contenues dans un énoncé catégorique et exprimées par les mots « tous » et « certains », nous obtenons deux versions de ces énoncés : affirmative et négative. Leur structure :

"S est P" et "S n'est pas P"

où la lettre S représente le nom de l'objet discuté dans la déclaration, et la lettre P est le nom d'une caractéristique inhérente ou non inhérente à cet objet.

Le nom de l'objet mentionné dans une déclaration catégorique est appelé sujet, et le nom de son attribut est prédicat. Le sujet et le prédicat s'appellent termesénoncés catégoriques et sont reliés par des connecteurs « est » ou « n'est pas » (« est » ou « n'est pas », etc.). Par exemple, dans l'énoncé « Le soleil est une étoile », les termes sont les noms « Soleil » et « étoile » (le premier d'entre eux est le sujet de l'énoncé, le second est son prédicat), et le mot « est » est le connecteur.

Des déclarations simples comme « S est (n'est pas) P » sont appelées attributives : elles impliquent l'attribution (attribution) d'une certaine propriété à un objet.

Les déclarations attributives s'opposent aux déclarations sur les relations dans lesquelles des relations sont établies entre deux ou plusieurs objets : « Trois font moins de cinq », « Kiev est plus grande qu'Odessa », « Le printemps est meilleur que l'automne », « Paris est situé entre Moscou et New York », etc. Les déclarations sur les relations jouent un rôle important en science, en particulier en mathématiques. Ils ne sont pas réductibles à des énoncés catégoriques, puisque les relations entre plusieurs objets (telles que « égal », « aime », « plus chaud », « est entre », etc.) ne sont pas réductibles aux propriétés des objets individuels. L’un des défauts majeurs de la logique traditionnelle était qu’elle considérait les jugements sur les relations comme réductibles aux jugements sur les propriétés.

Dans un énoncé catégorique, un lien entre un objet et une caractéristique n'est pas simplement établi, mais une certaine caractéristique quantitative du sujet de l'énoncé est également donnée. Dans des déclarations telles que « Tous les S sont (ne sont pas) P », le mot « tous » signifie « chacun des objets de la classe correspondante ». Dans des déclarations telles que « Certains S sont (ne sont pas) P », le mot « certains » est utilisé dans un sens non exclusif et signifie « certains, ou peut-être tous ». Dans un sens exclusif, le mot « certains » signifie « seulement certains » ou « certains, mais pas tous ». La différence entre les deux sens de ce mot peut être illustrée par l’affirmation « Certaines étoiles sont des étoiles ». Dans un sens non exclusif, cela signifie « Certaines étoiles, peut-être toutes, sont des étoiles » et c'est évidemment vrai. Au sens d'exclusion, cette affirmation signifie « Seules certaines étoiles sont des étoiles » et est clairement fausse.

Dans les énoncés catégoriques, l'appartenance de certaines caractéristiques aux objets considérés est affirmée ou niée et il est indiqué si l'on parle de tous ces objets ou de certains d'entre eux.

Ainsi, quatre types d’énoncés catégoriques sont possibles :

Tout S est P - une déclaration généralement affirmative,

Un certain S est P - une déclaration affirmative particulière,

Tout S n'est pas P - une affirmation généralement négative,

Un certain S n'est pas P - une déclaration négative particulière.

Les déclarations catégoriques peuvent être considérées comme le résultat de la substitution de certains noms dans les expressions suivantes avec des espaces (ellipses) : « Tous… sont… », « Certains… sont… », « Tous… sont… » pas… » et « Certains… ne sont pas… ». Chacune de ces expressions est une constante logique ( opération logique), vous permettant d'obtenir une déclaration de deux noms. Par exemple, en remplaçant les noms « volants » et « oiseaux » au lieu de points, nous obtenons respectivement les énoncés suivants : « Tous les volants sont des oiseaux », « Certains volants sont des oiseaux »,

Inférences

« Tous ceux qui volent ne sont pas des oiseaux » et « Certains qui volent ne sont pas des oiseaux ». Les première et troisième affirmations sont fausses et les deuxième et quatrième sont vraies.

Inférences

"D'une goutte d'eau, une personne qui sait penser logiquement peut conclure à l'existence de l'océan Atlantique ou chutes du Niagara, même s'il n'a vu ni l'un ni l'autre et n'en a jamais entendu parler... Par les ongles d'une personne, par ses mains, ses chaussures, le pli de son pantalon au niveau des genoux, par l'épaississement de la peau du pouce et l'index, par l'expression de son visage et les poignets de sa chemise - à de telles bagatelles, il n'est pas difficile de deviner sa profession. Et il ne fait aucun doute que tout cela pris ensemble incitera un observateur averti à tirer les bonnes conclusions.»

Ceci est une citation d’un article politique du plus célèbre détective et consultant de la littérature mondiale, Sherlock Holmes. Basé les moindres détails, il a construit des chaînes de raisonnement logiquement impeccables et a résolu des crimes complexes, souvent sans quitter son appartement de Baker Street. Holmes a utilisé une méthode déductive qu'il a lui-même créée et qui, comme le croyait son ami le Dr Watson, a amené la résolution de crimes au bord d'une science exacte.

Bien sûr, Holmes a quelque peu exagéré l'importance de la déduction en criminologie, mais son raisonnement sur méthode déductive ont fait leur travail. La « déduction » d'un terme spécial connu seulement de quelques-uns est devenue un concept couramment utilisé et même à la mode. La vulgarisation de l'art du raisonnement correct, et surtout du raisonnement déductif, n'est pas moins un mérite de Holmes que tous les crimes qu'il a résolus. Il a réussi à « donner à la logique le charme d'un rêve, se frayant un chemin à travers le labyrinthe cristallin des déductions possibles jusqu'à une seule conclusion brillante » (V. Nabokov).

La déduction est cas particulier inférences.

DANS dans un sens largeinférence - une opération logique à la suite de laquelle une nouvelle déclaration est obtenue à partir d'une ou plusieurs déclarations acceptées (prémisses) - une conclusion (conclusion, conséquence).

Selon qu'il existe ou non un lien entre les prémisses et la conclusion conséquence logique, deux types d’inférences peuvent être distingués.

Au coeur raisonnement déductif réside une loi logique, en raison de laquelle la conclusion découle avec une nécessité logique des prémisses acceptées.

Particularité une telle conclusion est qu’elle mène toujours de vraies prémisses à une vraie conclusion.

DANS raisonnement inductif le lien entre les prémisses et la conclusion ne repose pas sur la loi de la logique, mais sur des fondements factuels ou psychologiques qui ne sont pas de nature purement formelle.

Dans une telle inférence, la conclusion ne découle pas logiquement des prémisses et peut contenir des informations qui n'y figurent pas. La fiabilité des prémisses ne signifie donc pas la fiabilité de l’énoncé qui en dérive inductivement. L'induction ne donne que le probable, ou plausible, des conclusions qui nécessitent une vérification plus approfondie.

Les inférences déductives comprennent, par exemple, les éléments suivants :

S'il pleut, le sol est mouillé. Il pleut.

Le sol est humide.

Si l’hélium est un métal, il est conducteur d’électricité. L'hélium n'est pas conducteur d'électricité.

L'hélium n'est pas un métal.

La ligne séparant les prémisses de la conclusion remplace, comme d'habitude, le mot « donc ».

Des exemples d'induction incluent le raisonnement :

L'Argentine est une république ; Le Brésil est une république ; Le Venezuela est une république ; L'Équateur est une république.

L'Argentine, le Brésil, le Venezuela et l'Équateur sont des États d'Amérique latine.

Tous les États latino-américains sont des républiques .

L'Italie est une république, le Portugal est une république, la Finlande est une république, la France est une république.

L'Italie, le Portugal, la Finlande et la France sont des pays d'Europe occidentale.

Tous les pays d'Europe occidentale sont des républiques.

L'induction n'offre pas une garantie complète d'obtenir une nouvelle vérité à partir de celles existantes. Le maximum dont nous pouvons parler est un certain degré de probabilité que l’énoncé soit déduit. Ainsi, les prémisses de la première et de la deuxième inférences inductives sont vraies, mais la conclusion de la première est vraie et la seconde est fausse. En effet, tous les États latino-américains sont des républiques ; mais parmi les pays d'Europe occidentale, il existe non seulement des républiques, mais aussi des monarchies, par exemple l'Angleterre, la Belgique et l'Espagne.

Inférences

Les déductions particulièrement caractéristiques sont les transitions logiques des connaissances générales aux connaissances particulières, telles que :

Tous les métaux sont ductiles. Le cuivre est un métal.

Le cuivre est ductile.

Dans tous les cas où il faut considérer certains phénomènes à partir de ce qui est déjà connu règle générale et pour tirer la conclusion nécessaire concernant ces phénomènes, nous concluons sous forme de déduction. Le raisonnement menant de la connaissance de certains objets (connaissance privée) à la connaissance de tous les objets d'une certaine classe (connaissance générale) est une induction typique. Il est toujours possible que la généralisation se révèle hâtive et infondée (« Napoléon est un commandant ; Souvorov est un commandant ; cela signifie que chaque personne est un commandant »).

En même temps, on ne peut pas identifier la déduction avec le passage du général au particulier, et l'induction avec le passage du particulier au général.

Dans l'argumentation, « Shakespeare a écrit des sonnets ; il n'est donc pas vrai que Shakespeare n'ait pas écrit de sonnets. » Il y a une déduction, mais il n'y a pas de transition du général au particulier. Le raisonnement « Si l’aluminium est plastique ou l’argile est plastique, alors l’aluminium est plastique » est, comme on le pense communément, inductif, mais il n’y a pas de transition du particulier au général.

La déduction est la dérivation de conclusions aussi fiables que les prémisses acceptées, l'induction est la dérivation de conclusions probables (plausibles). Les inférences inductives incluent à la fois les transitions du particulier au général et l'analogie, méthodes d'établissement liens causals, confirmation des conséquences, justification délibérée, etc.

L’intérêt particulier porté au raisonnement déductif est compréhensible. Ils permettent d'obtenir de nouvelles vérités à partir des connaissances existantes, et de plus, à l'aide du raisonnement pur, sans recourir à l'expérience, à l'intuition, au bon sens, etc. La déduction offre une garantie de succès à cent pour cent, et ne fournit pas simplement une ou une autre probabilité – peut-être même élevée – d’aboutir à une conclusion vraie. En partant de prémisses vraies et en raisonnant de manière déductive, nous sommes sûrs d’obtenir des connaissances fiables dans tous les cas.

Tout en soulignant l'importance de la déduction dans le processus de déploiement et de justification des connaissances, il ne faut pas pour autant la séparer de l'induction et sous-estimer cette dernière. Presque toutes dispositions générales, y compris les lois scientifiques, sont le résultat d'une généralisation inductive. En ce sens, l’induction est la base de nos connaissances. En soi, il ne garantit pas sa véracité et sa validité, mais il suscite des hypothèses, les relie à l'expérience et leur confère ainsi une certaine crédibilité, plus ou moins haut degré probabilités. L'expérience est la source et le fondement connaissance humaine. L'induction, à partir de ce qui est compris dans l'expérience, est un moyen nécessaire de sa généralisation et de sa systématisation.

LOIS LOGIQUES

Chapitre

Concept de loi logique

Les lois logiques constituent la base de la pensée humaine. Ils déterminent quand d’autres déclarations découlent logiquement de certaines déclarations et représentent ce cadre de fer invisible sur lequel repose un raisonnement cohérent et sans lequel il se transforme en un discours chaotique et incohérent. Sans loi logique, il est impossible de comprendre ce qu’est une conséquence logique, et donc ce qu’est une preuve.

La pensée correcte ou, comme on dit habituellement, la pensée logique, consiste à penser selon les lois de la logique, selon les modèles abstraits qu'elles fixent. Cela explique l'importance de ces lois.

Les lois logiques homogènes sont combinées en systèmes logiques, également appelés « logiques ». Chacun d'eux donne une description de la structure logique d'un certain fragment, ou type, de notre raisonnement.

Par exemple, les lois qui décrivent les connexions logiques des énoncés, indépendamment de la structure interne de ces derniers, sont combinées dans un système appelé « logique propositionnelle ». Les lois logiques qui déterminent les connexions des énoncés catégoriques forment un système logique appelé « logique des énoncés catégoriques », ou « syllogistique », etc.

Les lois logiques sont objectives et ne dépendent pas de la volonté et de la conscience de l'homme. Ils ne sont pas le résultat d’un accord entre des personnes, d’une convention spécialement élaborée ou formée spontanément. Ils ne sont pas le produit d’une sorte d’« esprit du monde », comme le croyait autrefois Platon. Le pouvoir des lois de la logique sur une personne, leur force obligatoire pour penser correctement est dû au fait qu'elles représentent un reflet dans la pensée humaine. monde réel et l'expérience séculaire de sa connaissance et de sa transformation par l'homme.

Comme toutes les autres lois scientifiques, les lois logiques sont universelles et nécessaires. Ils opèrent toujours et partout, s’étendant également à tous les peuples et à toutes les époques. Représentants

Concept de loi logique

différentes nations et différentes cultures, hommes et femmes, Égyptiens anciens et Polynésiens modernes, du point de vue de la logique de leur raisonnement, ne diffèrent pas les uns des autres.

La nécessité inhérente aux lois logiques est en un certain sens encore plus urgente et immuable que la nécessité naturelle ou physique. Il est même impossible d’imaginer que ce qui est logiquement nécessaire puisse en être autrement. Si quelque chose contredit les lois de la nature et est physiquement impossible, alors aucun ingénieur, aussi talentueux soit-il, ne pourra le mettre en œuvre. Mais si quelque chose contredit les lois de la logique et est logiquement impossible, alors non seulement un ingénieur - même un être tout-puissant, s'il apparaissait soudainement, ne serait pas en mesure de lui donner vie.

Comme indiqué précédemment, dans un raisonnement correct, la conclusion découle des prémisses avec une nécessité logique, et le schéma général d'un tel raisonnement est une loi logique.

Le nombre de schémas de raisonnement correct (lois logiques) est infini. Beaucoup de ces schémas nous sont connus grâce à la pratique du raisonnement. Nous les appliquons intuitivement, sans nous rendre compte que chaque inférence que nous faisons utilise correctement l’une ou l’autre loi logique.

Avant d'entrer concept général loi logique, nous donnons plusieurs exemples de schémas de raisonnement qui représentent des lois logiques. Au lieu des variables A, B, C, ..., habituellement utilisées pour désigner des énoncés, nous utiliserons, comme cela se faisait dans l'Antiquité, les mots « premier » et « deuxième », en remplacement des variables.

« S’il y a un premier, alors il y a un second ; il y a le premier ; il y en a donc un deuxième. Ce schéma de raisonnement permet de passer de l'énoncé d'un énoncé conditionnel (« S'il y a un premier, alors il y a un second ») et de l'énoncé de son fondement (« Il y a un premier ») à l'énoncé d'une conséquence ( "Il y a une seconde"). Selon ce schéma, en particulier, le raisonnement se déroule : « Si la glace est chauffée, elle fond ; la glace est chauffée ; donc il fond.

Un autre schéma de raisonnement correct : « Soit le premier, soit le second a lieu ; il y a le premier ; cela veut dire qu’il n’y en a pas de deuxième. Grâce à ce schéma, à partir de deux alternatives mutuellement exclusives et en établissant laquelle d'entre elles est la bonne, on passe à la négation de la deuxième alternative. Par exemple : « Soit Dostoïevski est né à Moscou, soit il est né à Saint-Pétersbourg. Dostoïevski est né à Moscou. Cela signifie qu’il n’est pas vrai qu’il soit né à Saint-Pétersbourg.» Dans le western américain "Le Bon, la Brute et le Truand" Mauvais garçon dit à un autre : « Rappelez-vous que le monde est divisé en deux parties : ceux qui tiennent un revolver et ceux qui creusent. J’ai le revolver maintenant, alors prends la pelle. Ce raisonnement s'appuie également sur le schéma indiqué.

Et un dernier exemple préliminaire d’une loi logique, ou d’un schéma général de raisonnement correct : « C’est le premier ou le deuxième. Mais le premier ne l’est pas. Cela signifie que c’est le dernier cas. Au lieu de l'expression « premier », substituons l'énoncé « Il fait jour », et au lieu de « deuxième », nous remplaçons l'énoncé « Il fait nuit ». À partir du diagramme abstrait, nous obtenons le raisonnement : « Est-ce le jour ou est-ce la nuit ? Mais ce n’est pas vrai qu’il fait jour.

Alors il fait nuit maintenant.

Voici quelques-uns circuits simples raisonnement correct, illustrant le concept de loi logique. Des centaines et des centaines de projets similaires nous trottent dans la tête, même si nous n’en sommes pas conscients. Sur cette base, nous raisonnons logiquement ou correctement.

Loi de la logique (loi logique)- une expression qui inclut uniquement des constantes et des variables logiques au lieu de parties significatives et qui est vraie dans n'importe quel domaine de raisonnement.

Prenons comme exemple une expression constituée uniquement de variables et de constantes logiques, l'expression : « Si A, alors B ; signifie, si ce n’est pas A, alors pas B. » Les constantes logiques ici sont les connecteurs propositionnels « si, alors » et « non ». Les variables A et B représentent certaines déclarations. Disons que A est la déclaration « Il y a une cause » et B est la déclaration « Il y a un effet ». Avec ce contenu spécifique, on obtient le raisonnement : « S’il y a une cause, alors il y a un effet ; Cela signifie que s’il n’y a pas d’effet, alors il n’y a pas de cause. » Supposons en outre qu'au lieu de A, l'énoncé « Le nombre est divisible par six » soit remplacé, et qu'au lieu de B, l'énoncé « Le nombre est divisible par trois » soit remplacé. Avec ce contenu spécifique, basé sur le schéma en question, on obtient le raisonnement : « Si un nombre est divisible par six, il est divisible par trois. Donc si un nombre n’est pas divisible par trois, il n’est pas divisible par six. » Quelles que soient les autres affirmations substituées aux variables A et B, si ces affirmations sont vraies, alors la conclusion qui en est tirée sera vraie.

En logique, on fait généralement une réserve que la zone d'objets sur laquelle le raisonnement est mené et dont parlent les énoncés substitués dans la loi logique ne peut pas être vide : elle doit contenir au moins un objet. Autrement, raisonner selon le schéma, qui est une loi de la logique, peut conduire de prémisses vraies à une conclusion fausse.

Par exemple, des prémisses vraies « Tous les éléphants sont des animaux » et « Tous les éléphants ont des trompes », selon la loi de la logique, découle la vraie conclusion « Certains animaux ont des trompes ». Mais si le domaine des objets en question est vide, suivre la loi de la logique ne garantit pas une vraie conclusion étant donné les vraies prémisses. Nous raisonnerons selon le même schéma, mais cette fois à propos de montagnes d’or. Tirons une conclusion : « Toutes les montagnes d’or sont des montagnes ; toutes les montagnes dorées sont dorées ; c’est pourquoi certaines montagnes sont dorées. Les deux prémisses de cette conclusion sont vraies. Mais sa conclusion « Certaines montagnes sont dorées » est clairement fausse : il n’y a pas de montagne dorée.

Concept de loi logique

Ainsi, le raisonnement basé sur la loi de la logique se caractérise par deux caractéristiques :

Un tel raisonnement mène toujours de vraies prémisses à une vraie conclusion ;

La conséquence découle des prémisses avec une nécessité logique.

La loi logique est aussi appelée tautologie logique.

Tautologie logique- une expression qui reste vraie, quels que soient les objets dont on parle, ou une expression « toujours vraie ».

Par exemple, tous les résultats des substitutions dans la loi logique de la double négation « Si A, alors ce n'est pas vrai que ce n'est pas A » sont des affirmations vraies : « Si la suie est noire, alors il n'est pas vrai qu'elle ne soit pas noire », "Si une personne tremble de peur, alors il n'est pas vrai qu'elle ne tremble pas de peur", etc.

Comme déjà mentionné, le concept de loi logique est directement lié au concept d'implication logique : la conclusion découle logiquement des prémisses acceptées si elle y est liée par une loi logique. Par exemple, des prémisses « Si A, alors B » et « Si B, alors C », la conclusion « Si A, alors C » découle logiquement, puisque l'expression « Si A, alors B, et si B, alors C, alors si A , alors C" représente une loi logique, à savoir loi de transitivité(transitivité). Disons, des prémisses « Si une personne est père, alors elle est parent » et « Si une personne est parent, alors elle est père ou mère », selon cette loi, le corollaire suit : « Si un Une personne est père, alors elle est père ou mère.

Suite logique- la relation entre les prémisses et la conclusion d'une inférence dont le schéma général est une loi logique.

Puisque la connexion d'implication logique repose sur une loi logique, elle se caractérise par deux caractéristiques :

La conséquence logique mène des vraies prémisses seulement à une vraie conclusion ;

La conclusion qui découle des prémisses en découle avec une nécessité logique.

Toutes les lois logiques ne définissent pas directement le concept de conséquence logique. Il existe des lois qui décrivent d'autres connexions logiques : « et », « ou », « ce n'est pas vrai que », etc. et ne sont qu'indirectement liées à la relation d'implication logique. C'est notamment la loi de la contradiction examinée ci-dessous : « Il n'est pas vrai qu'une déclaration prise arbitrairement et