Troncature de la pyramide. Surface latérale d'une pyramide tronquée

Une pyramide est un polyèdre ayant à sa base un polygone. Toutes les faces forment à leur tour des triangles qui convergent vers un sommet. Les pyramides sont triangulaires, quadrangulaires, etc. Afin de déterminer quelle pyramide se trouve devant vous, il suffit de compter le nombre d'angles à sa base. La définition de « hauteur d’une pyramide » se retrouve très souvent dans les problèmes de géométrie en programme scolaire. Dans cet article, nous essaierons de considérer différentes façons son emplacement.

Parties de la pyramide

Chaque pyramide est composée des éléments suivants :

• des faces latérales, qui ont trois coins et convergent au sommet ;
• l'apothème représente la hauteur qui descend de son sommet ;
• le sommet de la pyramide est un point qui relie les nervures latérales, mais ne se situe pas dans le plan de la base ;
• la base est un polygone sur lequel le sommet ne repose pas ;
• la hauteur d'une pyramide est un segment qui coupe le sommet de la pyramide et forme un angle droit avec sa base.

Comment trouver la hauteur d'une pyramide si son volume est connu

Grâce à la formule V = (S*h)/3 (dans la formule V est le volume, S est l'aire de la base, h est la hauteur de la pyramide) on trouve que h = (3*V)/ S. Pour consolider le matériel, résolvons immédiatement le problème. DANS base triangulaire est égal à 50 cm 2, tandis que son volume est de 125 cm 3. La hauteur de la pyramide triangulaire est inconnue, c'est ce que nous devons trouver. Tout est simple ici : on insère les données dans notre formule. On obtient h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Comment trouver la hauteur d'une pyramide si la longueur de la diagonale et ses arêtes sont connues

On s’en souvient, la hauteur de la pyramide forme un angle droit avec sa base. Cela signifie que la hauteur, le bord et la moitié de la diagonale forment ensemble. Beaucoup, bien sûr, se souviennent du théorème de Pythagore. Connaissant deux dimensions, il ne sera pas difficile de trouver la troisième quantité. Rappelons le théorème bien connu a² = b² + c², où a est l'hypoténuse, et dans notre cas le bord de la pyramide ; b - la première branche ou moitié de la diagonale et c - respectivement, la deuxième branche, ou la hauteur de la pyramide. De cette formule c² = a² - b².

Maintenant le problème : dans une pyramide régulière, la diagonale est de 20 cm, quand la longueur du bord est de 30 cm. Il faut trouver la hauteur. On résout : c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. D'où c = √ 500 = environ 22,4.

Comment trouver la hauteur d'une pyramide tronquée

C'est un polygone de section parallèle à sa base. La hauteur d'une pyramide tronquée est le segment qui relie ses deux bases. La hauteur peut être trouvée pour une pyramide régulière si les longueurs des diagonales des deux bases, ainsi que le bord de la pyramide, sont connus. Soit la diagonale de la plus grande base d1, tandis que la diagonale de la plus petite base est d2 et que le bord a une longueur l. Pour trouver la hauteur, vous pouvez abaisser les hauteurs depuis les deux points supérieurs opposés du diagramme jusqu'à sa base. On voit que nous avons deux triangles rectangles, il ne reste plus qu'à trouver la longueur de leurs pattes. Pour ce faire, soustrayez la plus petite de la plus grande diagonale et divisez par 2. Nous trouverons donc une branche : a = (d1-d2)/2. Après quoi, selon le théorème de Pythagore, il suffit de trouver la deuxième branche, qui est la hauteur de la pyramide.

Voyons maintenant tout cela en pratique. Nous avons une tâche devant nous. Une pyramide tronquée a un carré à la base, la longueur diagonale de la plus grande base est de 10 cm, tandis que la plus petite mesure 6 cm et le bord est de 4 cm. Vous devez trouver la hauteur. Tout d'abord, nous trouvons une jambe : a = (10-6)/2 = 2 cm. Une jambe est égale à 2 cm et l'hypoténuse est de 4 cm. Il s'avère que la deuxième jambe ou hauteur sera égale à 16- 4 = 12, c'est-à-dire h = √12 = environ 3,5 cm.

Comment construire une pyramide ? En surface R. Construisons un polygone, par exemple le pentagone ABCDE. Hors d'avion R. prenons un point S. En reliant le point S par des segments à tous les points du polygone, on obtient la pyramide SABCDE (Fig.).

Le point S est appelé haut, et le polygone ABCDE est base cette pyramide. Ainsi, une pyramide de sommet S et de base ABCDE est l'union de tous les segments où M ∈ ABCDE.

Les triangles SAB, SBC, SCD, SDE, SEA sont appelés faces latérales pyramides, côtés communs des faces latérales SA, SB, SC, SD, SE - côtes latérales.

Les pyramides s'appellent triangulaire, quadrangulaire, p-angulaire en fonction du nombre de côtés de la base. En figue. Des images de pyramides triangulaires, quadrangulaires et hexagonales sont données.

Le plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base s'appelle diagonale, et la section résultante est diagonale. En figue. 186 l'une des sections diagonales de la pyramide hexagonale est ombrée.

Le segment perpendiculaire passant du sommet de la pyramide jusqu'au plan de sa base est appelé la hauteur de la pyramide (les extrémités de ce segment sont le sommet de la pyramide et la base de la perpendiculaire).

La pyramide s'appelle correct, si la base de la pyramide est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté en son centre.

Toutes les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles isocèles congrus. Dans une pyramide régulière, toutes les arêtes latérales sont congruentes.

La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème pyramides. Tous les apothèmes d’une pyramide régulière sont congrus.

Si nous désignons le côté de la base comme UN, et l'apothème à travers h, alors l'aire d'une face latérale de la pyramide est de 1/2 ah.

La somme des aires de toutes les faces latérales de la pyramide s'appelle surface latérale pyramide et est désigné par le côté S.

Puisque la surface latérale d’une pyramide régulière est constituée de n visages congruents, alors

Côté S = 1/2 ah=P h / 2 ,

où P est le périmètre de la base de la pyramide. Ainsi,

Côté S =P h / 2

c'est à dire. L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème.

La surface totale de la pyramide est calculée par la formule

S = S ocn. + Côté S. .

Le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de sa base S ocn. à la hauteur H :

V = 1 / 3 S principal. N.

La dérivation de cette formule et de quelques autres sera donnée dans l'un des chapitres suivants.

Construisons maintenant une pyramide d'une manière différente. Soit un angle polyédrique, par exemple pentaédrique, de sommet S (Fig.).

Dessinons un avion R. de sorte qu'il coupe toutes les arêtes d'un angle polyédrique donné en différents points A, B, C, D, E (Fig.). Alors la pyramide SABCDE peut être considérée comme l'intersection d'un angle polyédrique et d'un demi-espace avec la frontière R., dans lequel se trouve le sommet S.

Évidemment, le nombre de toutes les faces de la pyramide peut être arbitraire, mais pas inférieur à quatre. Lorsqu'un angle trièdre coupe un plan, on obtient une pyramide triangulaire qui a quatre côtés. Toute pyramide triangulaire est parfois appelée tétraèdre, ce qui signifie tétraèdre.

Pyramide tronquée peut être obtenu si la pyramide est coupée par un plan parallèle au plan de la base.

En figue. Une image d’une pyramide tronquée quadrangulaire est donnée.

Les pyramides tronquées sont aussi appelées triangulaire, quadrangulaire, n-gonal en fonction du nombre de côtés de la base. De la construction d'une pyramide tronquée, il résulte qu'elle a deux bases : supérieure et inférieure. Les bases d'une pyramide tronquée sont deux polygones dont les côtés sont parallèles deux à deux. Les faces latérales de la pyramide tronquée sont des trapèzes.

Hauteur une pyramide tronquée est un segment perpendiculaire tiré de n'importe quel point de la base supérieure jusqu'au plan de la base inférieure.

Pyramide tronquée régulière appelée partie d'une pyramide régulière comprise entre la base et un plan de coupe parallèle à la base. La hauteur de la face latérale d'une pyramide tronquée régulière (trapèze) est appelée apothème.

Il peut être prouvé qu’une pyramide tronquée régulière a des bords latéraux congrus, que toutes les faces latérales sont congruentes et que tous les apothèmes sont congrus.

Si dans le bon format tronqué n-pyramide du charbon à travers UN Et bn indiquer les longueurs des côtés des bases supérieure et inférieure, et à travers h est la longueur de l'apothème, alors l'aire de chaque face latérale de la pyramide est égale à

1 / 2 (UN + bn) h

La somme des aires de toutes les faces latérales de la pyramide est appelée l'aire de sa surface latérale et est désignée côté S. . Évidemment, pour un tronqué correct n-pyramide du charbon

Côté S = n 1 / 2 (UN + bn) h.

Parce que Pennsylvanie= P et nb n= P 1 - les périmètres des bases de la pyramide tronquée, alors

Côté S = 1 / 2 (P + P 1) h,

c'est-à-dire que l'aire de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière est égale à la moitié du produit de la somme des périmètres de ses bases et de l'apothème.

Section parallèle à la base de la pyramide

Théorème. Si la pyramide est coupée par un plan parallèle à la base, alors :

1) les nervures latérales et la hauteur seront divisées en parties proportionnelles ;

2) en coupe transversale, vous obtiendrez un polygone similaire à la base ;

3) les surfaces transversales et les bases sont liées comme les carrés de leurs distances par rapport au sommet.

Il suffit de prouver le théorème d'une pyramide triangulaire.

Parce que plans parallèles sont coupés par un troisième plan le long de lignes parallèles, alors (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (fig.).

Les lignes parallèles coupent les côtés d'un angle en parties proportionnelles, et donc

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Par conséquent, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 et

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\droite|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 et

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Ainsi,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Les angles correspondants des triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont congrus, comme les angles à côtés parallèles et identiques. C'est pourquoi

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Les aires de triangles semblables sont liées comme les carrés des côtés correspondants :

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\droite|) $$

Ainsi,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Théorème. Si deux pyramides d'égales hauteurs sont coupées à la même distance du sommet par des plans parallèles aux bases, alors les aires des sections sont proportionnelles aux aires des bases.

Soient (Fig. 84) B et B 1 les aires des bases de deux pyramides, H la hauteur de chacune d'elles, b Et b 1 - zones de coupe par plans parallèles aux bases et éloignés des sommets à la même distance h.

D’après le théorème précédent on aura :

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\ : et \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
où
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\ : ou \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Conséquence. Si B = B 1, alors b = b 1, c'est-à-dire Si deux pyramides de hauteur égale ont des bases égales, alors les sections également espacées du sommet sont également égales.

Autres matériaux

Sur Cette leçon nous examinerons une pyramide tronquée, nous familiariserons avec une pyramide tronquée régulière et étudierons leurs propriétés.

Rappelons le concept de pyramide n-gonale en prenant l'exemple d'une pyramide triangulaire. Le triangle ABC est donné. En dehors du plan du triangle, on prend un point P, relié aux sommets du triangle. La surface polyédrique résultante est appelée pyramide (Fig. 1).

Riz. 1. Pyramide triangulaire

Découpons la pyramide avec un plan parallèle au plan de la base de la pyramide. La figure obtenue entre ces plans est appelée pyramide tronquée (Fig. 2).

Riz. 2. Pyramide tronquée

Éléments essentiels:

Base supérieure ;

Base inférieure ABC ;

De profil;

Si PH est la hauteur de la pyramide d’origine, alors c’est la hauteur de la pyramide tronquée.

Les propriétés d'une pyramide tronquée découlent du mode de sa construction, à savoir du parallélisme des plans des bases :

Toutes les faces latérales d'une pyramide tronquée sont des trapèzes. Prenons par exemple le bord. Il a la propriété de plans parallèles (puisque les plans sont parallèles, ils coupent la face latérale de la pyramide AVR originale le long de lignes droites parallèles), mais en même temps ils ne sont pas parallèles. Bien évidemment, le quadrilatère est un trapèze, comme toutes les faces latérales de la pyramide tronquée.

Le rapport des bases est le même pour tous les trapèzes :

Nous avons plusieurs paires de triangles similaires avec le même coefficient de similarité. Par exemple, les triangles et RAB sont similaires en raison du parallélisme des plans et , coefficient de similarité :

Dans le même temps, les triangles et les RVS sont similaires avec le coefficient de similarité :

Évidemment, les coefficients de similarité pour les trois paires de triangles similaires sont égaux, donc le rapport des bases est le même pour tous les trapèzes.

Une pyramide tronquée régulière est une pyramide tronquée obtenue en découpant une pyramide régulière avec un plan parallèle à la base (Fig. 3).

Riz. 3. Pyramide tronquée régulière

Définition.

Une pyramide est dite régulière si sa base est un n-gon régulier, et que son sommet est projeté au centre de ce n-gon (le centre du cercle inscrit et circonscrit).

Dans ce cas, il y a un carré à la base de la pyramide, et le sommet est projeté au point d'intersection de ses diagonales. La pyramide tronquée quadrangulaire régulière ABCD résultante a une base inférieure et une base supérieure. La hauteur de la pyramide originale est RO, celle de la pyramide tronquée est (Fig. 4).

Riz. 4. Pyramide tronquée quadrangulaire régulière

Définition.

La hauteur d'une pyramide tronquée est une perpendiculaire tracée depuis n'importe quel point d'une base jusqu'au plan de la deuxième base.

L'apothème de la pyramide originale est RM (M est le milieu de AB), l'apothème de la pyramide tronquée est (Fig. 4).

Définition.

L'apothème d'une pyramide tronquée est la hauteur de n'importe quelle face latérale.

Il est clair que tous les bords latéraux de la pyramide tronquée sont égaux les uns aux autres, c'est-à-dire que les faces latérales sont des trapèzes isocèles égaux.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière est égale au produit de la moitié de la somme des périmètres des bases et de l'apothème.

Preuve (pour une pyramide tronquée quadrangulaire régulière - Fig. 4) :

Il faut donc prouver :

L'aire de la surface latérale sera ici constituée de la somme des aires des faces latérales - les trapèzes. Puisque les trapèzes sont les mêmes, on a :

L'aire d'un trapèze isocèle est le produit de la moitié de la somme des bases et de la hauteur ; l'apothème est la hauteur du trapèze. Nous avons:

Q.E.D.

Pour une pyramide à n-gonaux :

Où n est le nombre de faces latérales de la pyramide, a et b sont les bases du trapèze et est l'apothème.

Côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière égale à 3 cm et 9 cm, hauteur - 4 cm.Trouvez l'aire de la surface latérale.

Riz. 5. Illustration du problème 1

Solution. Illustrons la condition :

Demandé par : , ,

Par le point O, nous traçons une droite MN parallèle aux deux côtés de la base inférieure, et de même par ce point nous traçons une droite (Fig. 6). Puisque les carrés et les constructions aux bases de la pyramide tronquée sont parallèles, on obtient un trapèze égal aux faces latérales. De plus, son côté passera par les milieux des bords supérieur et inférieur des faces latérales et sera l'apothème de la pyramide tronquée.

Riz. 6. Constructions supplémentaires

Considérons le trapèze résultant (Fig. 6). Dans ce trapèze, la base supérieure, la base inférieure et la hauteur sont connues. Vous devez trouver le côté qui est l’apothème d’une pyramide tronquée donnée. Traçons perpendiculairement à MN. A partir du point on abaisse la perpendiculaire NQ. On constate que la plus grande base est divisée en segments de trois centimètres (). Considérons un triangle rectangle, les pattes qu'il contient sont connues, c'est un triangle égyptien, en utilisant le théorème de Pythagore on détermine la longueur de l'hypoténuse : 5 cm.

Il y a maintenant tous les éléments pour déterminer l'aire de la surface latérale de la pyramide :

La pyramide est coupée par un plan parallèle à la base. Montrer, en utilisant l'exemple d'une pyramide triangulaire, que les arêtes latérales et la hauteur de la pyramide sont divisées par ce plan en parties proportionnelles.

Preuve. Illustrons :

Riz. 7. Illustration du problème 2

La pyramide RABC est donnée. PO - hauteur de la pyramide. La pyramide est coupée par un plan, on obtient une pyramide tronquée, et. Point - le point d'intersection de la hauteur du RO avec le plan de la base de la pyramide tronquée. Il faut prouver :

La clé de la solution réside dans la propriété des plans parallèles. Deux plans parallèles coupent un troisième plan de sorte que les lignes d'intersection sont parallèles. D'ici: . Le parallélisme des droites correspondantes implique la présence de quatre paires de triangles semblables :

De la similitude des triangles découle la proportionnalité des côtés correspondants. Caractéristique importante est que les coefficients de similarité de ces triangles sont les mêmes :

Q.E.D.

Une pyramide triangulaire régulière RABC ayant une hauteur et un côté de la base est disséquée par un plan passant par le milieu de la hauteur PH parallèle à la base ABC. Trouvez la surface latérale de la pyramide tronquée résultante.

Solution. Illustrons :

Riz. 8. Illustration du problème 3

ACB est un triangle régulier, H est le centre de ce triangle (le centre des cercles inscrits et circonscrits). RM est l'apothème d'une pyramide donnée. - apothème d'une pyramide tronquée. D'après la propriété des plans parallèles (deux plans parallèles coupent n'importe quel troisième plan de manière à ce que les lignes d'intersection soient parallèles), on a plusieurs paires de triangles similaires avec un coefficient de similarité égal. En particulier, nous nous intéressons à la relation :

Trouvons NM. C'est le rayon d'un cercle inscrit dans la base ; on connaît la formule correspondante :

Maintenant à partir de triangle rectangle RNM en utilisant le théorème de Pythagore, nous trouvons RM - apothème de la pyramide originale :

A partir du rapport initial :

Nous connaissons désormais tous les éléments pour trouver l'aire de la surface latérale d'une pyramide tronquée :

Ainsi, nous nous sommes familiarisés avec les concepts de pyramide tronquée et de pyramide tronquée régulière, avons donné des définitions de base, examiné les propriétés et prouvé le théorème sur l'aire de la surface latérale. La prochaine leçon portera sur la résolution de problèmes.

Bibliographie

1. I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les étudiants les établissements d'enseignement(de base et niveaux de profil) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill.
2. Sharygin I. F. Géométrie. 10e-11e année : manuel pour l'enseignement général les établissements d'enseignement/ Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e éd., stéréotype. - M. : Outarde, 2008. - 233 p. : ill.

1. Uztest.ru ().
2. FMclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Devoirs

Cette leçon vous aidera à vous faire une idée du sujet « Pyramide. Pyramide régulière et tronquée." Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide régulière et lui donner une définition. Ensuite, nous prouvons le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière et le théorème sur la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière.

Thème : Pyramide

Leçon : Corriger et pyramide tronquée

Définition: Une pyramide n-gonale régulière est une pyramide qui a un n-gon régulier à sa base, et la hauteur est projetée au centre de ce n-gon (Fig. 1).

Riz. 1

Pyramide triangulaire régulière

Considérons d’abord ∆ABC (Fig. 2), dans lequel AB=BC=CA (c’est-à-dire qu’un triangle régulier se trouve à la base de la pyramide). Dans un triangle régulier, les centres des cercles inscrits et circonscrits coïncident et constituent le centre du triangle lui-même. Dans ce cas, le centre se trouve comme suit : trouver le milieu AB - C 1, tracer un segment CC 1, qui est la médiane, la bissectrice et la hauteur ; de même, on retrouve le milieu de AC - B 1 et on trace le segment BB 1. L'intersection de BB 1 et CC 1 sera le point O, qui est le centre de ∆ABC.

Si l'on relie le centre du triangle O au sommet de la pyramide S, on obtient la hauteur de la pyramide SO ⊥ ABC, SO = h.

En reliant le point S aux points A, B et C, nous obtenons les bords latéraux de la pyramide.

Nous avons obtenu une pyramide SABC triangulaire régulière (Fig. 2).