Comment calculer une fraction avec un exposant négatif. Résoudre des problèmes dans Excel

peut être trouvé en utilisant la multiplication. Par exemple : 5+5+5+5+5+5=5x6. Une telle expression est dite que la somme de termes égaux est repliée en un produit. Et vice versa, si l’on lit cette égalité de droite à gauche, on constate que l’on a élargi la somme des termes égaux. De même, vous pouvez réduire le produit de plusieurs facteurs égaux 5x5x5x5x5x5=5 6.

Autrement dit, au lieu de multiplier six facteurs identiques 5x5x5x5x5x5, ils écrivent 5 6 et disent « cinq puissance six ».

L'expression 5 6 est une puissance d'un nombre, où :

5 - base de diplômes;

6 - exposant.

Les actions par lesquelles le produit de facteurs égaux est réduit à une puissance sont appelées élever à la puissance.

DANS vue générale le degré avec la base "a" et l'exposant "n" s'écrit ainsi

Élever le nombre a à la puissance n signifie trouver le produit de n facteurs dont chacun est égal à a

Si la base du degré « a » est égale à 1, alors la valeur du degré pour tout nombre naturel n sera égale à 1. Par exemple, 1 5 =1, 1 256 =1

Si vous élevez le chiffre « a » à premier degré, alors nous obtenons le nombre a lui-même : un 1 = un

Si vous augmentez un chiffre à zéro degré, puis à la suite de calculs, nous en obtenons un. un 0 = 1

Les deuxième et troisième puissances d’un nombre sont considérées comme spéciales. Ils leur ont trouvé des noms : le deuxième degré s'appelle mettre le nombre au carré, troisième - cube Ce nombre.

N’importe quel nombre peut être élevé à une puissance – positive, négative ou zéro. Dans ce cas, les règles suivantes ne s'appliquent pas :

Lorsqu’on trouve la puissance d’un nombre positif, le résultat est un nombre positif.

Lors du calcul de zéro dans diplôme naturel nous obtenons zéro.

xm · xn = x m + n

par exemple : 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

À diviser les pouvoirs avec les mêmes bases On ne change pas la base, mais on soustrait les exposants :

xm / x n = x m - n , Où, m > n,

par exemple : 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Lors du calcul élever un pouvoir à un pouvoir Nous ne changeons pas la base, mais multiplions les exposants les uns par les autres.

(au m ) n = oui m n

par exemple : (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = xn · ouais ,

par exemple :(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Lors de l'exécution de calculs selon élever une fraction à une puissance on élève le numérateur et le dénominateur de la fraction à une puissance donnée

(x/y)n = xn / o n

par exemple : (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​​​​​/ 5) · (2 ​​​​​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

La séquence de calculs lorsque vous travaillez avec des expressions contenant un diplôme.

Lors de calculs d'expressions sans parenthèses, mais contenant des puissances, ils effectuent d'abord des exponentiations, puis des multiplications et des divisions, et ensuite seulement des opérations d'addition et de soustraction.

Si vous devez calculer une expression contenant des parenthèses, effectuez d'abord les calculs entre parenthèses dans l'ordre indiqué ci-dessus, puis les actions restantes dans le même ordre de gauche à droite.

Très largement dans les calculs pratiques, des tableaux de puissances prêts à l'emploi sont utilisés pour simplifier les calculs.

L'exponentiation est une opération étroitement liée à la multiplication ; cette opération est le résultat de la multiplication répétée d'un nombre par lui-même. Représentons-le par la formule : a1 * a2 * … * an = an.

Par exemple, a=2, n=3 : 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

En général, l'exponentiation est souvent utilisée dans diverses formules en mathématiques et en physique. Cette fonction a une finalité plus scientifique que les quatre principales : Addition, Soustraction, Multiplication, Division.

Élever un nombre à une puissance

Élever un nombre à une puissance n’est pas une opération compliquée. Elle est liée à la multiplication de la même manière que la relation entre multiplication et addition. La notation an est une notation courte du nième nombre de nombres « a » multipliés les uns par les autres.

Considérez au maximum l'exponentiation exemples simples, passant aux plus complexes.

Par exemple, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Quatre au carré (à la puissance deux) est égal à seize. Si vous ne comprenez pas la multiplication 4*4, alors lisez notre article sur la multiplication.

Regardons un autre exemple : 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinq au cube (à la puissance trois) est égal à cent vingt-cinq.

Autre exemple : 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Neuf au cube équivaut à sept cent vingt-neuf.

Formules d'exponentiation

Pour élever correctement à une puissance, vous devez vous rappeler et connaître les formules données ci-dessous. Il n'y a rien de très naturel à cela, l'essentiel est d'en comprendre l'essence et alors non seulement elles seront mémorisées, mais elles sembleront également faciles.

Élever un monôme à un pouvoir

Qu'est-ce qu'un monôme ? Il s'agit d'un produit de nombres et de variables en n'importe quelle quantité. Par exemple, deux est un monôme. Et cet article porte précisément sur l’élévation de ces monômes au rang de pouvoirs.

En utilisant les formules d'exponentiation, il ne sera pas difficile de calculer l'exponentiation d'un monôme.

Par exemple, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Si vous élevez un monôme à une puissance, alors chaque composant du monôme est élevé à une puissance.

En élevant une variable qui possède déjà une puissance à une puissance, les puissances sont multipliées. Par exemple, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Élever à une puissance négative

Une puissance négative est l’inverse d’un nombre. Quel est le nombre réciproque ? L'inverse de tout nombre X est 1/X. Autrement dit, X-1=1/X. C’est l’essence du degré négatif.

Prenons l'exemple (3Y)^-3 :

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Pourquoi donc? Puisqu'il y a un moins dans le degré, nous transférons simplement cette expression au dénominateur, puis l'élevons à la puissance trois. Simple n'est-ce pas ?

Élever à une puissance fractionnaire

Commençons par examiner le problème à exemple spécifique. 43/2. Que signifie le degré 3/2 ? 3 – numérateur, signifie élever un nombre (dans ce cas 4) à un cube. Le nombre 2 est le dénominateur ; c'est l'extraction de la racine deuxième d'un nombre (dans ce cas, 4).

Nous obtenons ensuite la racine carrée de 43 = 2^3 = 8. Réponse : 8.

Ainsi, le dénominateur d'un degré fractionnaire peut être soit 3, soit 4, ou n'importe quel nombre jusqu'à l'infini, et ce nombre détermine le degré racine carrée, extrait d'un nombre donné. Bien entendu, le dénominateur ne peut pas être nul.

Élever une racine pour devenir un pouvoir

Si la racine est élevée à un degré égal au degré de la racine elle-même, alors la réponse sera une expression radicale. Par exemple, (√x)2 = x. Et ainsi, dans tous les cas, le degré de racine et le degré d’élévation de la racine sont égaux.

Si (√x)^4. Alors (√x)^4=x^2. Pour vérifier la solution, on traduit l'expression en une expression avec puissance fractionnaire. Puisque la racine est carrée, le dénominateur est 2. Et si la racine est élevée à la puissance quatre, alors le numérateur est 4. On obtient 4/2=2. Réponse : x = 2.

De toute façon la meilleure option convertissez simplement l’expression en une expression avec une puissance fractionnaire. Si la fraction ne s'annule pas, alors c'est la réponse, à condition que la racine du nombre donné ne soit pas isolée.

Élever un nombre complexe au pouvoir

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ? Nombre complexe– une expression ayant la formule a + b * i ; a, b sont des nombres réels. i est un nombre qui, une fois mis au carré, donne le nombre -1.

Regardons un exemple. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

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Exponentiation en ligne

À l'aide de notre calculatrice, vous pouvez calculer l'élévation d'un nombre à une puissance :

Exponentiation 7e année

Les écoliers ne commencent à accéder au pouvoir qu'à partir de la septième année.

L'exponentiation est une opération étroitement liée à la multiplication ; cette opération est le résultat de la multiplication répétée d'un nombre par lui-même. Représentons-le par la formule : a1 * a2 * … * an=an.

Par exemple, a=2, n=3 : 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Exemples de solution :

Présentation de l'exponentiation

Présentation sur l'élévation aux pouvoirs, conçue pour les élèves de septième année. La présentation pourra clarifier certains points flous, mais ces points ne seront probablement pas éclaircis grâce à notre article.

Conclusion

Nous n'avons examiné que la pointe de l'iceberg, pour mieux comprendre les mathématiques - inscrivez-vous à notre cours : Accélérer le calcul mental - PAS le calcul mental.

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Formules de diplômes utilisé dans le processus de réduction et de simplification expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.

Nombre c est n-ième puissance d'un nombre un Quand:

Opérations avec diplômes.

1. Multiplication des puissances de c la même base leurs indicateurs s'additionnent :

suis·une n = une m + n .

2. Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits :

3. Puissance du produit de 2 nombres ou plus multiplicateurs est égal au produit des puissances de ces facteurs :

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Diplôme fractions est égal au rapport des puissances du dividende et du diviseur :

(une/b) n = une n /b n .

5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

(une m) n = une m n .

Chaque formule ci-dessus est vraie dans le sens de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Opérations avec racines.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale à travail racines de ces facteurs :

2. La racine d'un rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance :

4. Si vous augmentez le degré de racine dans n une fois et en même temps, intégrer n la puissance est un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de racine dans n extraire la racine en même temps n-ième puissance d'un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à valeur absolue indicateur non positif :

Formule suis:a n =a m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi avec m< n.

Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pour formuler suis:a n =a m - n est devenu juste quand m=n, la présence de zéro degré est requise.

Un diplôme avec un indice nul. Le pouvoir de n'importe quel nombre, non égal à zéro, avec un exposant zéro est égal à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Construire nombre réel UN au degré m/n, vous devez extraire la racine n le degré de m-ième puissance de ce nombre UN.