Que signifie le signe somme avant les parenthèses ? Résolution d'équations linéaires simples

Parmi les différentes expressions considérées en algèbre, les sommes de monômes occupent une place importante. Voici des exemples de telles expressions :
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

La somme des monômes s’appelle un polynôme. Les termes d'un polynôme sont appelés termes du polynôme. Les monômes sont également classés comme polynômes, considérant un monôme comme un polynôme composé d'un seul membre.

Par exemple, un polynôme
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
peut être simplifié.

Représentons tous les termes sous forme de monômes de la forme standard :
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Présentons des termes similaires dans le polynôme résultant :
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Le résultat est un polynôme dont tous les termes sont des monômes de la forme standard, et parmi eux il n'y en a pas de similaires. De tels polynômes sont appelés polynômes de forme standard.

Derrière degré de polynôme de forme standard, assument les pouvoirs les plus élevés de ses membres. Ainsi, le binôme \(12a^2b - 7b\) a le troisième degré, et le trinôme \(2b^2 -7b + 6\) a le deuxième.

En règle générale, les termes des polynômes de forme standard contenant une variable sont classés par ordre décroissant des exposants. Par exemple:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

La somme de plusieurs polynômes peut être transformée (simplifiée) en un polynôme de forme standard.

Parfois, les termes d’un polynôme doivent être divisés en groupes, en plaçant chaque groupe entre parenthèses. Puisque les parenthèses fermantes sont la transformation inverse des parenthèses ouvrantes, il est facile de formuler règles d'ouverture des parenthèses :

Si un signe «+» est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec les mêmes signes.

Si un signe « - » est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.

Transformation (simplification) du produit d'un monôme et d'un polynôme

En utilisant la propriété distributive de la multiplication, vous pouvez transformer (simplifier) ​​le produit d'un monôme et d'un polynôme en un polynôme. Par exemple:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Le produit d'un monôme et d'un polynôme est identiquement égal à la somme des produits de ce monôme et de chacun des termes du polynôme.

Ce résultat est généralement formulé sous forme de règle.

Pour multiplier un monôme par un polynôme, vous devez multiplier ce monôme par chacun des termes du polynôme.

Nous avons déjà utilisé cette règle à plusieurs reprises pour multiplier par une somme.

Produit de polynômes. Transformation (simplification) du produit de deux polynômes

En général, le produit de deux polynômes est identiquement égal à la somme du produit de chaque terme d'un polynôme et de chaque terme de l'autre.

Habituellement, la règle suivante est utilisée.

Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre et additionner les produits résultants.

Formules de multiplication abrégées. Somme des carrés, différences et différence de carrés

Vous devez traiter certaines expressions dans les transformations algébriques plus souvent que d’autres. Les expressions les plus courantes sont peut-être \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) et \(a^2 - b^2 \), c'est-à-dire le carré de la somme, le carré de la différence et la différence des carrés. Vous avez remarqué que les noms de ces expressions semblent incomplets, par exemple, \((a + b)^2 \) n'est bien sûr pas seulement le carré de la somme, mais le carré de la somme de a et b . Cependant, le carré de la somme de a et b n'apparaît pas très souvent : en règle générale, au lieu des lettres a et b, il contient diverses expressions, parfois assez complexes.

Les expressions \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) peuvent être facilement converties (simplifiées) en polynômes de la forme standard ; en fait, vous avez déjà rencontré cette tâche lors de la multiplication de polynômes :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Il est utile de mémoriser les identités résultantes et de les appliquer sans calculs intermédiaires. De brèves formulations verbales y contribuent.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - le carré de la somme est égal à la somme des carrés et au produit double.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - le carré de la différence est égal à la somme des carrés sans le produit doublé.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la différence des carrés est égale au produit de la différence et de la somme.

Ces trois identités permettent de remplacer ses parties de gauche par celles de droite dans les transformations et vice versa - les parties de droite par celles de gauche. Le plus difficile est de voir les expressions correspondantes et de comprendre comment les variables a et b y sont remplacées. Examinons plusieurs exemples d'utilisation de formules de multiplication abrégées.

Au Ve siècle avant JC, l'ancien philosophe grec Zénon d'Élée formula ses célèbres apories, dont la plus célèbre est l'aporie « Achille et la tortue ». Voici à quoi cela ressemble :

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour, la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes ... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce sur quoi je souhaite attirer particulièrement l’attention, c’est que deux points dans le temps et deux points dans l’espace sont des choses différentes qu’il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : différentes pièces de monnaie ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes sont uniques pour chaque pièce...

Et maintenant j'ai la question la plus intéressante : où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Ainsi, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope, nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure d’une même quantité conduisent à des résultats différents après les avoir comparées, cela n’a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.

Inscrivez-vous sur la porte Il ouvre la porte et dit :

Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.

Nous allons maintenant passer aux parenthèses ouvrantes dans les expressions dans lesquelles l'expression entre parenthèses est multipliée par un nombre ou une expression. Formulons une règle pour ouvrir les parenthèses précédées d'un signe moins : les parenthèses ainsi que le signe moins sont omises, et les signes de tous les termes entre parenthèses sont remplacés par les signes opposés.

Un type de transformation d’expression est l’expansion des parenthèses. Les expressions numériques, littérales et variables peuvent être écrites à l'aide de parenthèses, qui peuvent indiquer l'ordre des actions, contenir un nombre négatif, etc. Supposons que dans les expressions décrites ci-dessus, au lieu de nombres et de variables, il puisse y avoir n'importe quelle expression.

Et prêtons attention à un autre point concernant les particularités de l'écriture d'une solution lors de l'ouverture des parenthèses. Dans le paragraphe précédent, nous avons traité de ce qu’on appelle les parenthèses ouvrantes. Pour ce faire, il existe des règles d'ouverture des parenthèses, que nous allons maintenant passer en revue. Cette règle est dictée par le fait que les nombres positifs sont généralement écrits sans parenthèses ; dans ce cas, les parenthèses ne sont pas nécessaires. L'expression (−3,7)−(−2)+4+(−9) peut s'écrire sans parenthèses sous la forme −3,7+2+4−9.

Enfin, la troisième partie de la règle est simplement due aux particularités de l'écriture des nombres négatifs à gauche dans l'expression (dont nous avons parlé dans la section sur les parenthèses pour l'écriture des nombres négatifs). Vous pouvez rencontrer des expressions composées d'un nombre, de signes moins et de plusieurs paires de parenthèses. Si vous ouvrez les parenthèses, en passant de l'interne à l'externe, alors la solution sera la suivante : −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Comment ouvrir les parenthèses ?

Voici une explication : −(−2 x) vaut +2 x, et puisque cette expression vient en premier, +2 x peut s'écrire 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x et −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. La première partie de la règle écrite d'ouverture des parenthèses découle directement de la règle de multiplication des nombres négatifs. Sa deuxième partie est une conséquence de la règle de multiplication des nombres par des signes différents. Passons à des exemples de parenthèses ouvrantes dans les produits et quotients de deux nombres de signes différents.

Parenthèses ouvrantes : règles, exemples, solutions.

La règle ci-dessus prend en compte toute la chaîne de ces actions et accélère considérablement le processus d'ouverture des parenthèses. La même règle vous permet d'ouvrir des parenthèses dans des expressions qui sont des produits et des expressions partielles avec un signe moins qui ne sont pas des sommes ni des différences.

Regardons des exemples d'application de cette règle. Donnons la règle correspondante. Ci-dessus, nous avons déjà rencontré des expressions de la forme −(a) et −(−a), qui sans parenthèses s'écrivent respectivement −a et a. Par exemple, −(3)=3, et. Ce sont des cas particuliers de la règle énoncée. Examinons maintenant des exemples de parenthèses ouvrantes lorsqu'elles contiennent des sommes ou des différences. Montrons des exemples d'utilisation de cette règle. Notons l'expression (b1+b2) par b, après quoi nous utilisons la règle de multiplication de la parenthèse par l'expression du paragraphe précédent, nous avons (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

Par récurrence, cette affirmation peut être étendue à un nombre arbitraire de termes dans chaque parenthèse. Il reste à ouvrir les parenthèses dans l'expression résultante, en utilisant les règles des paragraphes précédents, au final on obtient 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

La règle en mathématiques est d'ouvrir les parenthèses s'il y a (+) et (-) devant les parenthèses.

Cette expression est le produit de trois facteurs (2+4), 3 et (5+7·8). Vous devrez ouvrir les parenthèses de manière séquentielle. Maintenant, nous utilisons la règle pour multiplier une parenthèse par un nombre, nous avons ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Les degrés dont les bases sont des expressions écrites entre parenthèses, avec des exposants naturels peuvent être considérés comme le produit de plusieurs parenthèses.

Par exemple, transformons l'expression (a+b+c)2. Tout d'abord, nous l'écrivons comme un produit de deux parenthèses (a+b+c)·(a+b+c), maintenant nous multiplions une parenthèse par une parenthèse, nous obtenons a·a+a·b+a·c+ b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

On dira aussi que pour élever les sommes et différences de deux nombres à une puissance naturelle, il convient d’utiliser la formule binomiale de Newton. Par exemple, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Il n'est pas moins pratique de remplacer d'abord la division par la multiplication, puis d'utiliser la règle correspondante pour ouvrir les parenthèses dans un produit.

Reste à comprendre l'ordre d'ouverture des parenthèses à l'aide d'exemples. Prenons l'expression (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Nous substituons ces résultats dans l'expression originale : (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Il ne reste plus qu'à finir d'ouvrir les parenthèses, on a donc −5+3·2:4+6·7. Cela signifie que lorsque l'on passe du côté gauche de l'égalité vers la droite, les parenthèses s'ouvrent.

Notez que dans les trois exemples, nous avons simplement supprimé les parenthèses. Tout d’abord, ajoutez 445 à 889. Cette action peut être effectuée mentalement, mais elle n’est pas très facile. Ouvrons les parenthèses et voyons que la procédure modifiée simplifiera considérablement les calculs.

Comment étendre les parenthèses à un autre degré

Illustrer un exemple et une règle. Regardons un exemple : . Vous pouvez trouver la valeur d’une expression en additionnant 2 et 5, puis en prenant le nombre obtenu avec le signe opposé. La règle ne change pas s’il n’y a pas deux, mais trois termes ou plus entre parenthèses. Commentaire. Les signes sont inversés uniquement devant les termes. Afin d’ouvrir les parenthèses, nous devons dans ce cas nous rappeler la propriété distributive.

Pour les nombres simples entre parenthèses

Votre erreur ne réside pas dans les signes, mais dans une mauvaise manipulation des fractions ? En 6e année, nous avons appris les nombres positifs et négatifs. Comment allons-nous résoudre des exemples et des équations ?

Combien y a-t-il entre parenthèses ? Que pouvez-vous dire de ces expressions ? Bien entendu, le résultat du premier et du deuxième exemples est le même, ce qui signifie qu'on peut mettre un signe égal entre eux : -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Qu'a-t-on fait des parenthèses ?

Démonstration de la diapositive 6 avec les règles d'ouverture des parenthèses. Ainsi, les règles d'ouverture des parenthèses nous aideront à résoudre des exemples et à simplifier les expressions. Ensuite, les élèves sont invités à travailler en binôme : ils doivent utiliser des flèches pour relier l'expression contenant des parenthèses avec l'expression correspondante sans parenthèses.

Diapositive 11 Une fois à Sunny City, Znayka et Dunno se sont disputés pour savoir lequel d'entre eux avait résolu correctement l'équation. Ensuite, les élèves résolvent l’équation eux-mêmes en utilisant les règles d’ouverture des parenthèses. Résolution d'équations » Objectifs du cours : pédagogique (renforcement des connaissances sur le thème : « Ouverture des parenthèses.

Sujet de cours : « Parenthèses ouvrantes. Dans ce cas, vous devez multiplier chaque terme des premières parenthèses par chaque terme des deuxièmes parenthèses, puis additionner les résultats. Tout d'abord, les deux premiers facteurs sont pris, enfermés dans une parenthèse supplémentaire, et à l'intérieur de ces parenthèses, les parenthèses sont ouvertes selon l'une des règles déjà connues.

rawalan.freezeet.ru

Parenthèses ouvrantes : règles et exemples (7e année)

La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs expressions numériques . Par exemple, dans l'expression numérique \(5·3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5·3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\) l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).

Cependant, si nous avons affaire à expression algébrique contenant variable- par exemple, comme ceci : \(2(x-3)\) - alors il est impossible de calculer la valeur entre parenthèses, la variable gêne. Par conséquent, dans ce cas, les parenthèses sont « ouvertes » en utilisant les règles appropriées.

Règles d'ouverture des parenthèses

S'il y a un signe plus devant la parenthèse, alors la parenthèse est simplement supprimée, l'expression qu'elle contient reste inchangée. Autrement dit:

Il faut ici préciser qu'en mathématiques, pour raccourcir les notations, il est d'usage de ne pas écrire le signe plus s'il apparaît en premier dans l'expression. Par exemple, si nous ajoutons deux nombres positifs, par exemple sept et trois, alors nous n'écrivons pas \(+7+3\), mais simplement \(7+3\), malgré le fait que sept soit aussi un nombre positif . De même, si vous voyez par exemple l’expression \((5+x)\) – sachez que avant le support il y a un plus, qui n'est pas écrit.

Exemple . Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires : \((x-11)+(2+3x)\).
Solution : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

S'il y a un signe moins devant la parenthèse, alors lorsque la parenthèse est supprimée, chaque membre de l'expression à l'intérieur change de signe pour le signe opposé :

Ici, il est nécessaire de préciser que pendant que a était entre parenthèses, il y avait un signe plus (ils ne l'ont tout simplement pas écrit), et après avoir retiré la parenthèse, ce plus s'est transformé en moins.

Exemple : Simplifiez l'expression \(2x-(-7+x)\).
Solution : à l'intérieur de la parenthèse il y a deux termes : \(-7\) et \(x\), et avant la parenthèse il y a un moins. Cela signifie que les signes changeront - et le sept sera désormais un plus et le x sera désormais un moins. Ouvrez le support et nous présentons des termes similaires .

Exemple. Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solution : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

S'il y a un facteur devant la parenthèse, alors chaque membre de la parenthèse est multiplié par celui-ci, c'est-à-dire :

Exemple. Développez les parenthèses \(5(3-x)\).
Solution : Dans la parenthèse nous avons \(3\) et \(-x\), et avant la parenthèse il y a un cinq. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \(5\) - je vous rappelle que Le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse n'est pas écrit en mathématiques pour réduire la taille des entrées.

Exemple. Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
Solution : Comme dans l'exemple précédent, les \(-3x\) et \(5\) entre parenthèses sont multipliés par \(-2\).

Reste à considérer la dernière situation.

Lors de la multiplication d'une parenthèse par une parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :

Exemple. Développez les parenthèses \((2-x)(3x-1)\).
Solution : Nous avons un produit de parenthèses et il peut être développé immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas nous tromper, procédons étape par étape.
Étape 1. Retirez le premier support et multipliez chaque membre par le deuxième support :

Étape 2. Développez les produits des parenthèses et du facteur comme décrit ci-dessus :
- Tout d'abord...

Étape 3. Maintenant, nous multiplions et présentons des termes similaires :

Il n'est pas nécessaire de décrire toutes les transformations avec autant de détails, vous pouvez les multiplier tout de suite. Mais si vous apprenez simplement à ouvrir des parenthèses et à écrire en détail, il y aura moins de risques de faire des erreurs.

Note à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous en souvenir qu'une seule, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.

Parenthèse dans une parenthèse

Parfois, dans la pratique, des problèmes surviennent avec des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : simplifiez l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pour résoudre avec succès de telles tâches, vous avez besoin de :
- bien comprendre l'imbrication des parenthèses - laquelle se trouve dans laquelle ;
— ouvrez les crochets séquentiellement, en commençant par exemple par le plus intérieur.

Il est important lors de l'ouverture de l'un des supports ne touche pas au reste de l'expression, je le réécris tel quel.
Regardons la tâche écrite ci-dessus à titre d'exemple.

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solution:

Commençons la tâche en ouvrant le support intérieur (celui à l'intérieur). En le développant, nous ne traitons que de ce qui s'y rapporte directement - c'est le support lui-même et le moins devant lui (surligné en vert). Nous réécrivons tout le reste (non mis en évidence) de la même manière.

Résoudre des problèmes de mathématiques en ligne

Calculateur en ligne.
Simplifier un polynôme.
Multiplication de polynômes.

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Pendant que le programme est en cours d'exécution :
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Un peu de théorie.

Produit d'un monôme et d'un polynôme. Le concept de polynôme

Parmi les différentes expressions considérées en algèbre, les sommes de monômes occupent une place importante. Voici des exemples de telles expressions :

La somme des monômes s’appelle un polynôme. Les termes d'un polynôme sont appelés termes du polynôme. Les monômes sont également classés comme polynômes, considérant un monôme comme un polynôme composé d'un seul membre.

Représentons tous les termes sous forme de monômes de la forme standard :

Présentons des termes similaires dans le polynôme résultant :

Le résultat est un polynôme dont tous les termes sont des monômes de la forme standard, et parmi eux il n'y en a pas de similaires. De tels polynômes sont appelés polynômes de forme standard.

Derrière degré de polynôme de forme standard, assument les pouvoirs les plus élevés de ses membres. Ainsi, un binôme a le troisième degré et un trinôme a le deuxième.

En règle générale, les termes des polynômes de forme standard contenant une variable sont classés par ordre décroissant des exposants. Par exemple:

La somme de plusieurs polynômes peut être transformée (simplifiée) en un polynôme de forme standard.

Parfois, les termes d’un polynôme doivent être divisés en groupes, en plaçant chaque groupe entre parenthèses. Puisque les parenthèses fermantes sont la transformation inverse des parenthèses ouvrantes, il est facile de formuler règles d'ouverture des parenthèses :

Si un signe «+» est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec les mêmes signes.

Si un signe « - » est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.

Transformation (simplification) du produit d'un monôme et d'un polynôme

En utilisant la propriété distributive de la multiplication, vous pouvez transformer (simplifier) ​​le produit d'un monôme et d'un polynôme en un polynôme. Par exemple:

Le produit d'un monôme et d'un polynôme est identiquement égal à la somme des produits de ce monôme et de chacun des termes du polynôme.

Ce résultat est généralement formulé sous forme de règle.

Pour multiplier un monôme par un polynôme, vous devez multiplier ce monôme par chacun des termes du polynôme.

Nous avons déjà utilisé cette règle à plusieurs reprises pour multiplier par une somme.

Produit de polynômes. Transformation (simplification) du produit de deux polynômes

En général, le produit de deux polynômes est identiquement égal à la somme du produit de chaque terme d'un polynôme et de chaque terme de l'autre.

Habituellement, la règle suivante est utilisée.

Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre et additionner les produits résultants.

Formules de multiplication abrégées. Somme des carrés, différences et différence de carrés

Vous devez traiter certaines expressions dans les transformations algébriques plus souvent que d’autres. Les expressions les plus courantes sont peut-être u, c'est-à-dire le carré de la somme, le carré de la différence et la différence des carrés. Vous avez remarqué que les noms de ces expressions semblent incomplets, par exemple, il ne s'agit bien sûr pas seulement du carré de la somme, mais du carré de la somme de a et b. Cependant, le carré de la somme de a et b n'apparaît pas très souvent : en règle générale, au lieu des lettres a et b, il contient diverses expressions, parfois assez complexes.

Les expressions peuvent être facilement converties (simplifiées) en polynômes de forme standard ; en fait, vous avez déjà rencontré une telle tâche lors de la multiplication de polynômes :

Il est utile de mémoriser les identités résultantes et de les appliquer sans calculs intermédiaires. De brèves formulations verbales y contribuent.

- le carré de la somme est égal à la somme des carrés et du produit double.

- le carré de la différence est égal à la somme des carrés sans le double produit.

- la différence des carrés est égale au produit de la différence et de la somme.

Ces trois identités permettent de remplacer ses parties de gauche par celles de droite dans les transformations et vice versa - les parties de droite par celles de gauche. Le plus difficile est de voir les expressions correspondantes et de comprendre comment les variables a et b y sont remplacées. Examinons plusieurs exemples d'utilisation de formules de multiplication abrégées.

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Parenthèses extensibles

Nous continuons à étudier les bases de l'algèbre. Dans cette leçon, nous apprendrons comment développer les parenthèses dans les expressions. Développer les parenthèses signifie supprimer les parenthèses d’une expression.

Pour ouvrir des parenthèses, vous n'avez besoin de mémoriser que deux règles. Avec une pratique régulière, vous pouvez ouvrir les supports les yeux fermés et les règles qui devaient être mémorisées peuvent être oubliées en toute sécurité.

La première règle pour ouvrir les parenthèses

Considérons l'expression suivante :

La valeur de cette expression est 2 . Ouvrons les parenthèses dans cette expression. Développer les parenthèses signifie s'en débarrasser sans affecter le sens de l'expression. Autrement dit, après s'être débarrassé des parenthèses, la valeur de l'expression 8+(−9+3) devrait toujours être égal à deux.

La première règle pour ouvrir les parenthèses est la suivante :

Lors de l'ouverture des parenthèses, s'il y a un plus devant les parenthèses, alors ce plus est omis avec les parenthèses.

On voit donc cela dans l'expression 8+(−9+3) Il y a un signe plus devant les parenthèses. Ce plus doit être omis ainsi que les parenthèses. En d’autres termes, les parenthèses disparaîtront avec le plus qui les précédait. Et ce qui était entre parenthèses sera écrit sans changement :

8−9+3 . Cette expression est égale à 2 , comme l'expression précédente entre parenthèses, était égal à 2 .

8+(−9+3) Et 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Exemple 2. Développer les parenthèses dans l'expression 3 + (−1 − 4)

Il y a un plus devant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses restera inchangé :

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 2 + (−1)

Dans cet exemple, l’ouverture des parenthèses est devenue une sorte d’opération inverse consistant à remplacer la soustraction par l’addition. Qu'est-ce que ça veut dire?

En expression 2−1 une soustraction se produit, mais elle peut être remplacée par une addition. On obtient alors l'expression 2+(−1) . Mais si dans l'expression 2+(−1) ouvrez les supports, vous obtenez l'original 2−1 .

Par conséquent, la première règle d’ouverture des parenthèses peut être utilisée pour simplifier les expressions après certaines transformations. Autrement dit, débarrassez-le des parenthèses et simplifiez-le.

Par exemple, simplifions l'expression 2a+a−5b+b .

Pour simplifier cette expression, des termes similaires peuvent être donnés. Rappelons que pour réduire des termes similaires, il faut additionner les coefficients des termes similaires et multiplier le résultat par la partie commune de la lettre :

J'ai une expression 3a+(−4b). Supprimons les parenthèses dans cette expression. Il y a un plus devant les parenthèses, nous utilisons donc la première règle pour ouvrir les parenthèses, c'est-à-dire que nous omettons les parenthèses ainsi que le plus qui précède ces parenthèses :

Donc l'expression 2a+a−5b+b simplifie à 3a−4b .

Après avoir ouvert certaines parenthèses, vous en rencontrerez peut-être d’autres en cours de route. Nous leur appliquons les mêmes règles qu’aux premiers. Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression suivante :

Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans ce cas, la première règle d'ouverture des parenthèses s'applique, à savoir l'omission des parenthèses ainsi que du signe plus qui précède ces parenthèses :

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 6+(−3)+(−2)

Aux deux endroits où il y a des parenthèses, elles sont précédées d'un plus. Ici encore, la première règle des parenthèses ouvrantes s’applique :

Parfois, le premier terme entre parenthèses est écrit sans signe. Par exemple, dans l'expression 1+(2+3−4) premier terme entre parenthèses 2 écrit sans signe. La question se pose, quel signe apparaîtra devant les deux après que les parenthèses et le plus devant les parenthèses aient été omis ? La réponse s'impose d'elle-même : il y aura un plus devant les deux.

En fait, même entre parenthèses, il y a un plus devant les deux, mais on ne le voit pas car ce n’est pas écrit. Nous avons déjà dit que la notation complète des nombres positifs ressemble à +1, +2, +3. Mais selon la tradition, les plus ne s'écrivent pas, c'est pourquoi nous voyons les nombres positifs qui nous sont familiers. 1, 2, 3 .

Par conséquent, pour développer les parenthèses dans l’expression 1+(2+3−4) , comme d'habitude, vous devez omettre les parenthèses ainsi que le signe plus devant ces parenthèses, mais écrivez le premier terme qui était entre parenthèses avec un signe plus :

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Exemple 4. Développer les parenthèses dans l'expression −5 + (2 − 3)

Il y a un plus devant les parenthèses, nous appliquons donc la première règle pour ouvrir les parenthèses, à savoir, nous omettons les parenthèses ainsi que le plus qui précède ces parenthèses. Mais le premier terme, que l'on écrit entre parenthèses avec un signe plus :

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Exemple 5. Développer les parenthèses dans l'expression (−5)

Il y a un plus devant les parenthèses, mais il n’est pas écrit car il n’y a pas d’autres nombres ou expressions avant. Notre tâche est de supprimer les parenthèses en appliquant la première règle d'ouverture des parenthèses, à savoir omettre les parenthèses avec ce plus (même s'il est invisible)

Exemple 6. Développer les parenthèses dans l'expression 2a + (−6a + b)

Il y a un plus devant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses sera écrit tel quel :

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Exemple 7. Développer les parenthèses dans l'expression 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Il y a deux endroits dans cette expression où vous devez développer les parenthèses. Dans les deux sections, il y a un plus avant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses sera écrit tel quel :

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

La deuxième règle pour ouvrir les parenthèses

Examinons maintenant la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses. Il est utilisé lorsqu'il y a un moins avant les parenthèses.

S'il y a un moins avant les parenthèses, alors ce moins est omis avec les parenthèses, mais les termes qui étaient entre parenthèses changent de signe pour le signe opposé.

Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression suivante

On voit qu'il y a un moins avant les parenthèses. Cela signifie que vous devez appliquer la deuxième règle d'expansion, à savoir omettre les parenthèses ainsi que le signe moins devant ces parenthèses. Dans ce cas, les termes qui étaient entre parenthèses changeront de signe en sens inverse :

Nous avons une expression sans parenthèses 5+2+3 . Cette expression est égale à 10, tout comme l’expression précédente entre parenthèses était égale à 10.

Ainsi, entre les expressions 5−(−2−3) Et 5+2+3 vous pouvez mettre un signe égal, puisqu'ils sont égaux à la même valeur :

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Exemple 2. Développer les parenthèses dans l'expression 6 − (−2 − 5)

Il y a un moins avant les parenthèses, nous appliquons donc la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses, à savoir, nous omettons les parenthèses ainsi que le moins qui précède ces parenthèses. Dans ce cas, on écrit les termes qui étaient entre parenthèses avec des signes opposés :

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 2 − (7 + 3)

Il y a un moins avant les parenthèses, nous appliquons donc la deuxième règle pour l'ouverture des parenthèses :

Exemple 4. Développer les parenthèses dans l'expression −(−3 + 4)

Exemple 5. Développer les parenthèses dans l'expression −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans le premier cas, il faut appliquer la deuxième règle pour l'ouverture des parenthèses, et lorsqu'il s'agit de l'expression +(−9−2) vous devez appliquer la première règle :

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Exemple 6. Développer les parenthèses dans l'expression −(−une − 1)

Exemple 7. Développer les parenthèses dans l'expression −(4a + 3)

Exemple 8. Développer les parenthèses dans l'expression un − (4b + 3) + 15

Exemple 9. Développer les parenthèses dans l'expression 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans le premier cas, vous devez appliquer la première règle pour l'ouverture des parenthèses, et lorsqu'il s'agit de l'expression −(3c+5) vous devez appliquer la deuxième règle :

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Exemple 10. Développer les parenthèses dans l'expression −une − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Il y a trois endroits où vous devez ouvrir les supports. Vous devez d'abord appliquer la deuxième règle d'ouverture des parenthèses, puis la première, puis à nouveau la seconde :

−une − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −une + 4a − 6b + 8c − 15

Mécanisme d'ouverture du support

Les règles d'ouverture des parenthèses que nous avons maintenant examinées sont basées sur la loi distributive de la multiplication :

En fait parenthèses ouvrantes est la procédure où le facteur commun est multiplié par chaque terme entre parenthèses. Suite à cette multiplication, les parenthèses disparaissent. Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Par conséquent, si vous devez multiplier un nombre par une expression entre parenthèses (ou multiplier une expression entre parenthèses par un nombre), vous devez dire ouvrons les parenthèses.

Mais quel est le lien entre la loi distributive de la multiplication et les règles d’ouverture des parenthèses que nous avons examinées plus tôt ?

Le fait est qu’avant toute parenthèse, il existe un facteur commun. Dans l'exemple 3×(4+5) le facteur commun est 3 . Et dans l'exemple une(b+c) le facteur commun est une variable un.

S'il n'y a pas de nombres ou de variables avant les parenthèses, alors le facteur commun est 1 ou −1 , en fonction du signe placé devant les parenthèses. S’il y a un plus devant les parenthèses, alors le facteur commun est 1 . S’il y a un moins avant les parenthèses, alors le facteur commun est −1 .

Par exemple, développons les parenthèses dans l’expression −(3b−1). Il y a un signe moins devant les parenthèses, vous devez donc utiliser la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses, c'est-à-dire omettre les parenthèses ainsi que le signe moins devant les parenthèses. Et écrivez l'expression qui était entre parenthèses avec des signes opposés :

Nous avons élargi les parenthèses en utilisant la règle d'expansion des parenthèses. Mais ces mêmes parenthèses peuvent être ouvertes en utilisant la loi distributive de la multiplication. Pour ce faire, écrivez d'abord avant les parenthèses le facteur commun 1, qui n'a pas été écrit :

Le signe moins qui se trouvait auparavant avant les parenthèses faisait référence à cette unité. Vous pouvez maintenant ouvrir les parenthèses en utilisant la loi distributive de la multiplication. A cet effet, le facteur commun −1 vous devez multiplier par chaque terme entre parenthèses et additionner les résultats.

Pour plus de commodité, nous remplaçons la différence entre parenthèses par le montant :

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Comme la dernière fois nous avons reçu l'expression −3b+1. Tout le monde conviendra que cette fois, plus de temps a été consacré à la résolution d'un exemple aussi simple. Par conséquent, il est plus sage d'utiliser des règles toutes faites pour ouvrir les parenthèses, dont nous avons discuté dans cette leçon :

Mais cela ne fait pas de mal de savoir comment fonctionnent ces règles.

Dans cette leçon, nous avons appris une autre transformation identique. En ouvrant les parenthèses, en mettant le général entre parenthèses et en apportant des termes similaires, vous pouvez légèrement élargir l'éventail des problèmes à résoudre. Par exemple:

Ici, vous devez effectuer deux actions : ouvrez d'abord les parenthèses, puis apportez des termes similaires. Donc dans l'ordre :

1) Ouvrez les supports :

2) Nous présentons des termes similaires :

Dans l'expression résultante −10b+(−1) vous pouvez étendre les parenthèses :

Exemple 2. Ouvrez les parenthèses et ajoutez des termes similaires dans l'expression suivante :

1) Ouvrons les parenthèses :

2) Présentons des termes similaires. Cette fois, pour gagner du temps et de l'espace, nous n'écrirons pas comment les coefficients sont multipliés par la partie commune de la lettre

Exemple 3. Simplifier une expression 8m+3m et trouve sa valeur à m=−4

1) Tout d’abord, simplifions l’expression. Pour simplifier l'expression 8m+3m, vous pouvez en retirer le facteur commun m en dehors des parenthèses :

2) Trouver la valeur de l'expression m(8+3)à m=−4. Pour ce faire, dans l'expression m(8+3) au lieu d'une variable m remplacer le numéro −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Dans cette vidéo, nous analyserons tout un ensemble d'équations linéaires résolues à l'aide du même algorithme - c'est pourquoi elles sont appelées les plus simples.

Tout d'abord, définissons : qu'est-ce qu'une équation linéaire et laquelle est dite la plus simple ?

Une équation linéaire est une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule variable, et seulement au premier degré.

L'équation la plus simple signifie la construction :

Toutes les autres équations linéaires sont réduites au plus simple à l'aide de l'algorithme :

1. Développez les parenthèses, le cas échéant ;
2. Déplacez les termes contenant une variable d’un côté du signe égal et les termes sans variable de l’autre ;
3. Donnez des termes similaires à gauche et à droite du signe égal ;
4. Divisez l'équation résultante par le coefficient de la variable $x$.

Bien entendu, cet algorithme n’aide pas toujours. Le fait est que parfois, après toutes ces machinations, le coefficient de la variable $x$ s'avère égal à zéro. Dans ce cas, deux options sont possibles :

1. L’équation n’a aucune solution. Par exemple, quand quelque chose comme $0\cdot x=8$ s'avère, c'est-à-dire à gauche se trouve zéro et à droite un nombre autre que zéro. Dans la vidéo ci-dessous, nous examinerons plusieurs raisons pour lesquelles cette situation est possible.
2. La solution réside dans tous les chiffres. Le seul cas où cela est possible est lorsque l'équation a été réduite à la construction $0\cdot x=0$. Il est tout à fait logique que peu importe ce que $x$ nous substituons, il s'avérera toujours « zéro est égal à zéro », c'est-à-dire corriger l'égalité numérique.

Voyons maintenant comment tout cela fonctionne à l'aide d'exemples concrets.

Exemples de résolution d'équations

Aujourd'hui, nous traitons d'équations linéaires, et uniquement des plus simples. En général, une équation linéaire désigne toute égalité contenant exactement une variable, et cela ne va qu'au premier degré.

De telles constructions sont résolues à peu près de la même manière :

1. Tout d'abord, vous devez développer les parenthèses, s'il y en a (comme dans notre dernier exemple) ;
2. Puis combinez similaire
3. Enfin, isolez la variable, c'est-à-dire déplacez d'un côté tout ce qui est lié à la variable, les termes dans lesquels elle est contenue, et déplacez de l'autre tout ce qui reste sans elle.

Ensuite, en règle générale, vous devez en amener des similaires de chaque côté de l'égalité résultante, et après cela, il ne reste plus qu'à diviser par le coefficient "x", et nous obtiendrons la réponse finale.

En théorie, cela semble simple et agréable, mais en pratique, même des lycéens expérimentés peuvent commettre des erreurs offensantes dans des équations linéaires assez simples. En règle générale, des erreurs sont commises soit lors de l'ouverture des parenthèses, soit lors du calcul des « plus » et des « moins ».

De plus, il arrive qu'une équation linéaire n'ait aucune solution, ou que la solution soit la droite numérique entière, c'est-à-dire n'importe quel chiffre. Nous examinerons ces subtilités dans la leçon d'aujourd'hui. Mais nous commencerons, comme vous l’avez déjà compris, par les tâches les plus simples.

Schéma de résolution d'équations linéaires simples

Tout d'abord, permettez-moi d'écrire à nouveau l'intégralité du schéma de résolution des équations linéaires les plus simples :

1. Développez les parenthèses, le cas échéant.
2. Nous isolons les variables, c'est-à-dire Nous déplaçons tout ce qui contient des « X » d’un côté, et tout ce qui ne contient pas de « X » de l’autre.
3. Nous présentons des termes similaires.
4. On divise le tout par le coefficient de « x ».

Bien sûr, ce schéma ne fonctionne pas toujours, il comporte certaines subtilités et astuces, et nous allons maintenant les connaître.

Résoudre des exemples réels d'équations linéaires simples

Tâche n°1

La première étape nous oblige à ouvrir les parenthèses. Mais ils ne figurent pas dans cet exemple, nous sautons donc cette étape. Dans la deuxième étape, nous devons isoler les variables. Attention : nous parlons uniquement de conditions individuelles. Écrivons-le :

Nous présentons des termes similaires à gauche et à droite, mais cela a déjà été fait ici. Passons donc à la quatrième étape : diviser par le coefficient :

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Nous avons donc eu la réponse.

Tâche n°2

Nous pouvons voir les parenthèses dans ce problème, alors développons-les :

À gauche et à droite, nous voyons à peu près le même design, mais agissons selon l'algorithme, c'est-à-dire séparer les variables :

En voici quelques similaires :

À quelles racines cela fonctionne-t-il ? Réponse : pour n'importe lequel. Par conséquent, nous pouvons écrire que $x$ est n’importe quel nombre.

Tâche n°3

La troisième équation linéaire est plus intéressante :

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Il y a ici plusieurs parenthèses, mais elles ne sont multipliées par rien, elles sont simplement précédées de signes différents. Décomposons-les :

Nous effectuons la deuxième étape déjà connue de nous :

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Faisons le calcul :

Nous effectuons la dernière étape - divisons le tout par le coefficient « x » :

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Choses à retenir lors de la résolution d'équations linéaires

Si l'on ignore les tâches trop simples, je voudrais dire ceci :

• Comme je l'ai dit plus haut, toutes les équations linéaires n'ont pas de solution - parfois il n'y a tout simplement pas de racines ;
• Même s’il y a des racines, il peut n’y en avoir aucune – il n’y a rien de mal à cela.

Zéro est le même nombre que les autres ; vous ne devez en aucun cas le discriminer ou supposer que si vous obtenez zéro, vous avez fait quelque chose de mal.

Une autre fonctionnalité est liée à l’ouverture des parenthèses. Attention : lorsqu'il y a un « moins » devant eux, nous le supprimons, mais entre parenthèses nous changeons les signes en opposé. Et puis nous pourrons l'ouvrir à l'aide d'algorithmes standards : nous obtiendrons ce que nous avons vu dans les calculs ci-dessus.

Comprendre ce simple fait vous aidera à éviter de commettre des erreurs stupides et blessantes au lycée, alors que de telles choses sont considérées comme allant de soi.

Résolution d'équations linéaires complexes

Passons à des équations plus complexes. Maintenant, les constructions deviendront plus complexes et lors de diverses transformations, une fonction quadratique apparaîtra. Cependant, il ne faut pas avoir peur de cela, car si, selon le plan de l'auteur, nous résolvons une équation linéaire, alors pendant le processus de transformation, tous les monômes contenant une fonction quadratique s'annuleront certainement.

Exemple n°1

Évidemment, la première étape consiste à ouvrir les parenthèses. Faisons-le très soigneusement :

Jetons maintenant un coup d'œil à la confidentialité :

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

En voici quelques similaires :

Évidemment, cette équation n’a pas de solutions, nous écrirons donc ceci dans la réponse :

\[\varrien\]

ou il n'y a pas de racines.

Exemple n°2

Nous effectuons les mêmes actions. Premier pas:

Déplaçons tout avec une variable vers la gauche, et sans elle - vers la droite :

En voici quelques similaires :

Évidemment, cette équation linéaire n’a pas de solution, nous l’écrirons donc ainsi :

\[\varrien\],

ou il n'y a pas de racines.

Nuances de la solution

Les deux équations sont complètement résolues. En utilisant ces deux expressions comme exemple, nous étions une fois de plus convaincus que même dans les équations linéaires les plus simples, tout n'est peut-être pas si simple : il peut y en avoir une, ou aucune, ou une infinité de racines. Dans notre cas, nous avons considéré deux équations, toutes deux n’ayant tout simplement pas de racines.

Mais je voudrais attirer votre attention sur un autre fait : comment travailler avec les parenthèses et comment les ouvrir s'il y a un signe moins devant elles. Considérons cette expression :

Avant d'ouvrir, il faut tout multiplier par « X ». Attention : se multiplie chaque terme individuel. À l'intérieur, il y a deux termes - respectivement, deux termes et multipliés.

Et ce n'est qu'après avoir effectué ces transformations apparemment élémentaires, mais très importantes et dangereuses, que vous pourrez ouvrir le support du point de vue du fait qu'il y a un signe moins après. Oui, oui : seulement maintenant, lorsque les transformations sont terminées, on se souvient qu'il y a un signe moins devant les parenthèses, ce qui signifie que tout en dessous change simplement de signe. Dans le même temps, les parenthèses elles-mêmes disparaissent et, surtout, le « moins » avant disparaît également.

On fait de même avec la deuxième équation :

Ce n’est pas par hasard que je prête attention à ces petits faits apparemment insignifiants. Parce que la résolution d'équations est toujours une séquence de transformations élémentaires, où l'incapacité d'effectuer des actions simples de manière claire et compétente conduit au fait que des lycéens viennent me voir et réapprennent à résoudre des équations aussi simples.

Bien sûr, le jour viendra où vous perfectionnerez ces compétences jusqu’à devenir automatiques. Vous n'aurez plus à effectuer autant de transformations à chaque fois, vous écrirez tout sur une seule ligne. Mais pendant que vous apprenez, vous devez écrire chaque action séparément.

Résoudre des équations linéaires encore plus complexes

Ce que nous allons résoudre maintenant peut difficilement être qualifié de tâche la plus simple, mais le sens reste le même.

Tâche n°1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Multiplions tous les éléments de la première partie :

Faisons un peu d'intimité :

En voici quelques similaires :

Terminons la dernière étape :

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Voici notre réponse finale. Et, malgré le fait que lors du processus de résolution, nous avions des coefficients avec une fonction quadratique, ils s'annulaient, ce qui rend l'équation linéaire et non quadratique.

Tâche n°2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Effectuons soigneusement la première étape : multipliez chaque élément de la première parenthèse par chaque élément de la seconde. Il devrait y avoir un total de quatre nouveaux termes après les transformations :

Effectuons maintenant soigneusement la multiplication dans chaque terme :

Déplaçons les termes avec « X » vers la gauche, et ceux sans - vers la droite :

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Voici des termes similaires :

Une fois de plus, nous avons reçu la réponse définitive.

Nuances de la solution

La remarque la plus importante concernant ces deux équations est la suivante : dès que l'on commence à multiplier des parenthèses qui contiennent plus d'un terme, cela se fait selon la règle suivante : on prend le premier terme du premier et on multiplie avec chaque élément de la deuxième; puis nous prenons le deuxième élément du premier et multiplions de la même manière avec chaque élément du second. En conséquence, nous aurons quatre mandats.

À propos de la somme algébrique

Avec ce dernier exemple, je voudrais rappeler aux étudiants ce qu'est une somme algébrique. En mathématiques classiques, par $1-7$, nous entendons une construction simple : soustraire sept de un. En algèbre, on entend par là ceci : au nombre « un » on ajoute un autre nombre, à savoir « moins sept ». C'est en quoi une somme algébrique diffère d'une somme arithmétique ordinaire.

Dès que, lors de l'exécution de toutes les transformations, de chaque addition et multiplication, vous commencerez à voir des constructions similaires à celles décrites ci-dessus, vous n'aurez tout simplement aucun problème en algèbre lorsque vous travaillerez avec des polynômes et des équations.

Enfin, examinons quelques autres exemples qui seront encore plus complexes que ceux que nous venons d'examiner, et pour les résoudre, nous devrons légèrement étendre notre algorithme standard.

Résoudre des équations avec des fractions

Pour résoudre de telles tâches, nous devrons ajouter une étape supplémentaire à notre algorithme. Mais d’abord, permettez-moi de vous rappeler notre algorithme :

1. Ouvrez les supports.
2. Variables séparées.
3. Apportez-en des similaires.
4. Divisez par le rapport.

Hélas, ce merveilleux algorithme, malgré toute son efficacité, s'avère pas tout à fait approprié lorsque nous avons des fractions devant nous. Et dans ce que nous verrons ci-dessous, nous avons une fraction à gauche et à droite dans les deux équations.

Comment travailler dans ce cas ? Oui, c'est très simple ! Pour ce faire, vous devez ajouter une étape supplémentaire à l'algorithme, qui peut être effectuée avant et après la première action, à savoir se débarrasser des fractions. L’algorithme sera donc le suivant :

1. Débarrassez-vous des fractions.
2. Ouvrez les supports.
3. Variables séparées.
4. Apportez-en des similaires.
5. Divisez par le rapport.

Que signifie « se débarrasser des fractions » ? Et pourquoi cela peut-il être fait à la fois après et avant la première étape standard ? En fait, dans notre cas, toutes les fractions sont numériques dans leur dénominateur, c'est-à-dire Partout, le dénominateur n’est qu’un nombre. Par conséquent, si nous multiplions les deux côtés de l’équation par ce nombre, nous nous débarrasserons des fractions.

Exemple n°1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Débarrassons-nous des fractions de cette équation :

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Attention : tout est multiplié par « quatre » une fois, c'est-à-dire ce n’est pas parce que vous avez deux parenthèses que vous devez multiplier chacune par « quatre ». Écrivons :

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Développons maintenant :

On isole la variable :

Nous effectuons la réduction de termes similaires :

\[-4x=-1\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nous avons reçu la solution finale, passons à la deuxième équation.

Exemple n°2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ici, nous effectuons toutes les mêmes actions :

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Le problème est résolu.

C’est en fait tout ce que je voulais vous dire aujourd’hui.

Points clés

Les principales conclusions sont les suivantes :

• Connaître l'algorithme de résolution d'équations linéaires.
• Possibilité d'ouvrir les parenthèses.
• Ne vous inquiétez pas si vous avez des fonctions quadratiques quelque part, elles seront très probablement réduites au cours du processus de transformations ultérieures.
• Il existe trois types de racines dans les équations linéaires, même les plus simples : une seule racine, la droite numérique entière est une racine et aucune racine du tout.

J'espère que cette leçon vous aidera à maîtriser un sujet simple mais très important pour une meilleure compréhension de toutes les mathématiques. Si quelque chose n'est pas clair, allez sur le site et résolvez les exemples qui y sont présentés. Restez à l'écoute, bien d'autres choses intéressantes vous attendent !