Comment calculer le point d'intersection de deux lignes. Intersection de deux lignes

Ligne perpendiculaire

Cette tâche est probablement l'une des plus populaires et des plus demandées dans les manuels scolaires. Les tâches basées sur ce sujet sont variées. C'est la définition du point d'intersection de deux droites, c'est aussi la définition de l'équation d'une droite passant par un point de la droite d'origine sous n'importe quel angle.

Nous aborderons ce sujet en utilisant dans nos calculs les données obtenues en utilisant

C'est là qu'a été envisagée la transformation de l'équation générale d'une droite en une équation à coefficient angulaire et vice versa, et la détermination des paramètres restants de la droite selon des conditions données.

Que nous manque-t-il pour résoudre les problèmes auxquels cette page est consacrée ?

1. Formules pour calculer l'un des angles entre deux lignes sécantes.

Si nous avons deux droites données par les équations :

alors l'un des angles est calculé comme ceci :

2. Équation d'une droite avec une pente passant par un point donné

De la formule 1, nous pouvons voir deux états limites

a) quand alors et donc ces deux droites données sont parallèles (ou coïncident)

b) quand , alors , et donc ces droites sont perpendiculaires, c'est-à-dire se coupent à angle droit.

Quelles pourraient être les données initiales pour résoudre de tels problèmes, autres que la ligne droite donnée ?

Un point sur une ligne droite et l'angle auquel la deuxième ligne droite le coupe

Deuxième équation de la droite

Quels problèmes un bot peut-il résoudre ?

1. Deux lignes sont données (explicitement ou indirectement, par exemple par deux points). Calculez le point d'intersection et les angles auxquels ils se croisent.

2. Étant donné une droite, un point sur une droite et un angle. Déterminer l'équation d'une ligne droite qui coupe une ligne donnée à un angle spécifié

Exemples

Deux droites sont données par des équations. Trouvez le point d'intersection de ces lignes et les angles auxquels elles se coupent

ligne_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

On obtient le résultat suivant

Équation de la première ligne

y = 2,2 x + (1,2)

Équation de la deuxième ligne

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Angle d'intersection de deux droites (en degrés)

-42.357454705937

Point d'intersection de deux lignes

x = -3,5

y = -6,5

N'oubliez pas que les paramètres de deux lignes sont séparés par une virgule, et les paramètres de chaque ligne sont séparés par un point-virgule.

Une ligne droite passe par deux points (1:-4) et (5:2). Trouvez l'équation de la droite qui passe par le point (-2 : -8) et coupe la droite d'origine à un angle de 30 degrés.

Nous connaissons une ligne droite parce que nous connaissons les deux points par lesquels elle passe.

Reste à déterminer l'équation de la deuxième droite. Nous connaissons un point, mais au lieu du second, l'angle sous lequel la première ligne coupe la seconde est indiqué.

Il semble que tout soit connu, mais l'essentiel ici est de ne pas commettre d'erreurs. Nous parlons de l'angle (30 degrés) non pas entre l'axe des x et la ligne, mais entre la première et la deuxième ligne.

C'est pourquoi nous publions ainsi. Déterminons les paramètres de la première ligne et découvrons à quel angle elle coupe l'axe des x.

ligne xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Équation générale Ax+By+C = 0

Coefficient A = -6

Facteur B = 4

Facteur C = 22

Coefficient une= 3,6666666666667

Coefficient b = -5,5

Coefficient k = 1,5

Angle d'inclinaison par rapport à l'axe (en degrés) f = 56,309932474019

Coefficient p = 3,0508510792386

Coefficient q = 2,5535900500422

Distance entre les points = 7,211102550928

On voit que la première ligne coupe l'axe selon un angle 56,309932474019 degrés.

Les données sources ne disent pas exactement comment la deuxième ligne coupe la première. Après tout, vous pouvez construire deux lignes qui satisfont aux conditions, la première étant tournée de 30 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre et la seconde de 30 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Comptons-les

Si la deuxième ligne est tournée de 30 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors la deuxième ligne aura le degré d'intersection avec l'axe des x. 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 degrés

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Paramètres d'une ligne droite selon des paramètres spécifiés

Équation générale Ax+By+C = 0

Coefficient A = 23,011106998916

Coefficient B = -1,4840558255286

Coefficient C = 34,149767393603

Équation d'une droite en segments x/a+y/b = 1

Coefficient une= -1,4840558255286

Coefficient b = 23,011106998916

Équation d'une droite de coefficient angulaire y = kx + b

Coefficient k = 15,505553499458

Angle d'inclinaison par rapport à l'axe (en degrés) f = 86,309932474019

Équation normale de la droite x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Coefficient p = -1,4809790664999

Coefficient q = 3,0771888256405

Distance entre les points = 23,058912962428

Distance d'un point à une droite li =

c'est-à-dire que notre équation de deuxième ligne est y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

Si les lignes se coupent en un point, alors ses coordonnées sont la solution systèmes d'équations linéaires

Comment trouver le point d’intersection des lignes ? Résolvez le système.

Voici signification géométrique d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues- ce sont deux lignes qui se croisent (le plus souvent) sur un plan.

Il est pratique de diviser la tâche en plusieurs étapes. L'analyse de l'état suggère qu'il est nécessaire :
1) Faites une équation d’une droite.
2) Écrivez une équation pour la deuxième ligne.
3) Découvrez la position relative des lignes.
4) Si les lignes se coupent, trouvez le point d'intersection.

Exemple 13.

Trouver le point d'intersection des lignes

Solution: Il est conseillé de rechercher le point d'intersection par la méthode analytique. Résolvons le système :

Répondre:

P.6.4. Distance d'un point à une ligne

Devant nous se trouve une bande droite de la rivière et notre tâche est d'y accéder par le chemin le plus court. Il n'y a pas d'obstacles et l'itinéraire le plus optimal sera de se déplacer le long de la perpendiculaire. Autrement dit, la distance d’un point à une ligne est la longueur du segment perpendiculaire.

La distance en géométrie est traditionnellement désignée par la lettre grecque « rho », par exemple : – la distance du point « em » à la droite « de ».

Distance du point à une ligne droite exprimé par la formule

Exemple 14.

Trouver la distance d'un point à une ligne

Solution: il suffit de substituer soigneusement les nombres dans la formule et d'effectuer les calculs :

Répondre:

P.6.5. Angle entre des lignes droites.

Exemple 15.

Trouvez l'angle entre les lignes.

1. Vérifiez si les lignes sont perpendiculaires :

Calculons le produit scalaire des vecteurs directeurs des lignes :
, ce qui signifie que les lignes ne sont pas perpendiculaires.
2. Trouvez l'angle entre les lignes droites à l'aide de la formule :

Ainsi:

Répondre:

Courbes du second ordre. Cercle

Supposons qu'un système de coordonnées rectangulaires 0xy soit spécifié sur le plan.

Courbe du deuxième ordre est une droite sur un plan défini par une équation du deuxième degré relative aux coordonnées actuelles du point M(x, y, z). En général, cette équation ressemble à :

où les coefficients A, B, C, D, E, L sont des nombres réels quelconques, et au moins un des nombres A, B, C est non nul.

1.Cercle est un ensemble de points sur un plan dont la distance à un point fixe M 0 (x 0, y 0) est constante et égale à R. Le point M 0 est appelé le centre du cercle, et le nombre R est son rayon

– équation d'un cercle de centre au point M 0 (x 0, y 0) et de rayon R.

Si le centre du cercle coïncide avec l’origine des coordonnées, alors on a :

– équation canonique d’un cercle.

Ellipse.

Ellipse est un ensemble de points sur un plan, pour chacun desquels la somme des distances à deux points donnés est une valeur constante (et cette valeur est supérieure aux distances entre ces points). Ces points sont appelés foyers d'ellipse.

est l'équation canonique de l'ellipse.

La relation s'appelle excentricité ellipse et est noté : , . Depuis lors< 1.

Par conséquent, à mesure que le rapport diminue, il tend vers 1, c'est-à-dire b diffère peu de a et la forme de l’ellipse se rapproche de la forme d’un cercle. Dans le cas limite où , on obtient un cercle dont l'équation est

x 2 + y 2 = une 2.

Hyperbole

Hyperbole est un ensemble de points sur un plan, pour chacun desquels la valeur absolue de la différence de distances à deux points donnés, appelée des trucs, est une quantité constante (à condition que cette quantité soit inférieure à la distance entre les foyers et ne soit pas égale à 0).

Soit F 1, F 2 les foyers, la distance entre eux sera notée 2c, le paramètre de la parabole).

– équation canonique d’une parabole.

Notez que l’équation pour p négatif définit également une parabole, qui sera située à gauche de l’axe 0y. L'équation décrit une parabole, symétrique par rapport à l'axe 0y, située au-dessus de l'axe 0x pour p > 0 et en dessous de l'axe 0x pour p< 0.

Leçon de la série « Algorithmes géométriques »

Bonjour cher lecteur !

Continuons à nous familiariser avec les algorithmes géométriques. Dans la dernière leçon, nous avons trouvé l’équation d’une droite en utilisant les coordonnées de deux points. On obtient une équation de la forme :

Aujourd'hui, nous allons écrire une fonction qui, à l'aide des équations de deux droites, trouvera les coordonnées de leur point d'intersection (s'il y en a un). Pour vérifier l’égalité des nombres réels, nous utiliserons la fonction spéciale RealEq().

Les points du plan sont décrits par une paire de nombres réels. Lors de l'utilisation d'un type réel, il est préférable d'implémenter des opérations de comparaison à l'aide de fonctions spéciales.

La raison est connue : sur le type Réel dans le système de programmation Pascal, il n'y a pas de relation d'ordre, il est donc préférable de ne pas utiliser d'enregistrements de la forme a = b, où a et b sont des nombres réels.
Aujourd'hui, nous allons présenter la fonction RealEq() pour implémenter l'opération « = » (strictement égale) :

Fonction RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strictement égal) commencer RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tâche. Les équations de deux droites sont données : et . Trouvez le point de leur intersection.

Solution. La solution évidente est de résoudre le système d’équations linéaires : Réécrivons ce système un peu différemment :
(1)

Introduisons la notation suivante : , , . Ici D est le déterminant du système, et sont les déterminants résultant du remplacement de la colonne de coefficients de l'inconnue correspondante par une colonne de termes libres. Si , alors le système (1) est défini, c’est-à-dire qu’il a une solution unique. Cette solution peut être trouvée à l'aide des formules suivantes : , appelées Formules Cramer. Permettez-moi de vous rappeler comment est calculé le déterminant du second ordre. Le déterminant distingue deux diagonales : la principale et la secondaire. La diagonale principale est constituée d'éléments pris dans la direction allant du coin supérieur gauche du déterminant vers le coin inférieur droit. Diagonale latérale - du coin supérieur droit au coin inférieur gauche. Le déterminant du second ordre est égal au produit des éléments de la diagonale principale moins le produit des éléments de la diagonale secondaire.

Le code utilise la fonction RealEq() pour vérifier l'égalité. Les calculs sur des nombres réels sont effectués avec une précision de _Eps=1e-7.

Programme geom2 ; Const _Eps : Real=1e-7 ; (précision du calcul) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy :Real ; Fonction RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strictement égal) commencer RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Nous avons compilé un programme avec lequel vous pouvez, connaissant les équations des droites, trouver les coordonnées de leurs points d'intersection.

Si droit

se situer dans le même plan, alors

ou sous forme vectorielle

Inversement, si la condition (3) est satisfaite, alors les lignes se trouvent dans le même plan.

Explication. Si les droites (1) et (2) se trouvent dans le même plan, alors une droite se trouve dans ce dernier (Fig. 177), c'est-à-dire les vecteurs sont coplanaires (et vice versa). C'est ce qu'exprime l'équation (3) (voir § 120).

Commentaire. Si (dans ce cas (3) est nécessairement satisfait), alors les droites sont parallèles. Sinon, les lignes satisfaisant la condition (3) se coupent.

Exemple. Déterminer si les lignes se croisent

et si oui, à quel moment.

Solution. Les droites (1) et (2) se trouvent dans le même plan, puisque le déterminant (3), égal à, disparaît. Ces droites ne sont pas parallèles (les coefficients de direction ne sont pas proportionnels). Pour trouver le point d'intersection, vous devez résoudre un système de quatre équations (1), (2) à trois inconnues. En règle générale, un tel système n’a pas de solutions, mais dans ce cas (en raison de la réalisation de la condition (3)), il existe une solution. Après avoir résolu un système de trois équations quelconques, nous obtenons La quatrième équation est satisfaite. Point d'intersection (1 ; 2 ; 3).

Dans un espace bidimensionnel, deux lignes ne se coupent qu'en un seul point, défini par les coordonnées (x, y). Puisque les deux droites passent par leur point d’intersection, les coordonnées (x, y) doivent satisfaire les deux équations qui décrivent ces droites. Avec quelques compétences supplémentaires, vous pouvez trouver les points d'intersection des paraboles et autres courbes quadratiques.

Pas

Point d'intersection de deux lignes

Écrivez l’équation de chaque droite en isolant la variable « y » sur le côté gauche de l’équation. Les autres termes de l’équation doivent être placés du côté droit de l’équation. Peut-être que l'équation qui vous est donnée contiendra la variable f(x) ou g(x) au lieu de « y » ; dans ce cas, isolez une telle variable. Pour isoler une variable, effectuez les calculs appropriés des deux côtés de l'équation.

• Si les équations des droites ne vous sont pas données, sur la base des informations que vous connaissez.
• Exemple. Étant donné des lignes droites décrites par des équations et y − 12 = − 2 X (\displaystyle y-12=-2x). Pour isoler le « y » dans la deuxième équation, ajoutez le nombre 12 des deux côtés de l’équation :

1. Vous recherchez le point d'intersection des deux droites, c'est-à-dire un point dont les coordonnées (x, y) satisfont aux deux équations. Puisque la variable « y » se trouve du côté gauche de chaque équation, les expressions situées du côté droit de chaque équation peuvent être assimilées. Écrivez une nouvelle équation.

   • Exemple. Parce que y = x + 3 (\ displaystyle y = x + 3) Et y = 12 − 2 x (\ displaystyle y = 12-2x), alors on peut écrire l'égalité suivante : .

2. Trouvez la valeur de la variable "x". La nouvelle équation ne contient qu'une seule variable, "x". Pour trouver "x", isolez cette variable sur le côté gauche de l'équation en effectuant les calculs appropriés des deux côtés de l'équation. Vous devriez obtenir une équation de la forme x = __ (si vous ne pouvez pas faire cela, consultez cette section).

   • Exemple. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Ajouter 2 x (\style d'affichage 2x) de chaque côté de l’équation :
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Soustrayez 3 de chaque côté de l’équation :
   • 3 x = 9 (\style d'affichage 3x=9)
   • Divisez chaque côté de l'équation par 3 :
   • x = 3 (\style d'affichage x=3).

3. Utilisez la valeur trouvée de la variable "x" pour calculer la valeur de la variable "y". Pour ce faire, remplacez la valeur trouvée de « x » dans l'équation (n'importe laquelle) de la ligne droite.

   • Exemple. x = 3 (\style d'affichage x=3) Et y = x + 3 (\ displaystyle y = x + 3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\ displaystyle y = 6)

4. Vérifiez la réponse. Pour ce faire, remplacez la valeur de « x » dans l’autre équation de la droite et trouvez la valeur de « y ». Si vous obtenez des valeurs y différentes, vérifiez que vos calculs sont corrects.

   • Exemple: x = 3 (\style d'affichage x=3) Et y = 12 − 2 x (\ displaystyle y = 12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\ displaystyle y = 6)
   • Vous avez la même valeur pour y, il n’y a donc aucune erreur dans vos calculs.

5. Notez les coordonnées (x,y). Après avoir calculé les valeurs de « x » et « y », vous avez trouvé les coordonnées du point d'intersection de deux droites. Notez les coordonnées du point d'intersection sous la forme (x, y).

   • Exemple. x = 3 (\style d'affichage x=3) Et y = 6 (\ displaystyle y = 6)
   • Ainsi, deux droites se coupent en un point de coordonnées (3,6).

6. Calculs dans des cas particuliers. Dans certains cas, la valeur de la variable « x » est introuvable. Mais cela ne veut pas dire que vous avez commis une erreur. Un cas particulier se produit lorsque l'une des conditions suivantes est remplie :

   • Si deux droites sont parallèles, elles ne se coupent pas. Dans ce cas, la variable « x » sera simplement réduite et votre équation se transformera en une égalité dénuée de sens (par exemple, 0 = 1 (\style d'affichage 0=1)). Dans ce cas, notez dans votre réponse que les lignes ne se croisent pas ou qu’il n’y a pas de solution.
   • Si les deux équations décrivent une seule ligne droite, il y aura alors un nombre infini de points d’intersection. Dans ce cas, la variable « x » sera simplement réduite, et votre équation se transformera en une égalité stricte (par exemple, 3 = 3 (\style d'affichage 3=3)). Dans ce cas, notez dans votre réponse que les deux lignes coïncident.

   Problèmes avec les fonctions quadratiques

   1. Définition d'une fonction quadratique. Dans une fonction quadratique, une ou plusieurs variables ont un deuxième degré (mais pas supérieur), par exemple : x 2 (\style d'affichage x^(2)) ou y 2 (\style d'affichage y^(2)). Les graphiques des fonctions quadratiques sont des courbes qui ne peuvent pas se croiser ou qui peuvent se croiser en un ou deux points. Dans cette section, nous vous expliquerons comment trouver le ou les points d'intersection des courbes quadratiques.

   2. Réécrivez chaque équation en isolant la variable « y » sur le côté gauche de l'équation. Les autres termes de l’équation doivent être placés du côté droit de l’équation.

      • Exemple. Trouver le(s) point(s) d'intersection des graphiques x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) Et
      • Isolez la variable "y" sur le côté gauche de l'équation :
      • Et y = x + 7 (\ displaystyle y = x + 7) .
      • Dans cet exemple, vous disposez d’une fonction quadratique et d’une fonction linéaire. N'oubliez pas que si vous disposez de deux fonctions quadratiques, les calculs sont similaires aux étapes décrites ci-dessous.

   3. Égalisez les expressions du côté droit de chaque équation. Puisque la variable « y » se trouve du côté gauche de chaque équation, les expressions situées du côté droit de chaque équation peuvent être assimilées.

      • Exemple. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) Et y = x + 7 (\ displaystyle y = x + 7)

   4. Transférez tous les termes de l’équation résultante sur son côté gauche et écrivez 0 sur le côté droit. Pour ce faire, faites quelques calculs de base. Cela vous permettra de résoudre l'équation résultante.

      • Exemple. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Soustrayez "x" des deux côtés de l'équation :
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Soustrayez 7 des deux côtés de l’équation :

   5. Résolvez l'équation quadratique. En déplaçant tous les termes de l’équation vers la gauche, vous obtenez une équation quadratique. Il peut être résolu de trois manières : en utilisant une formule spéciale, et.

      • Exemple. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Lorsque vous factorisez une équation, vous obtenez deux binômes qui, une fois multipliés, vous donnent l’équation d’origine. Dans notre exemple, le premier terme x 2 (\style d'affichage x^(2)) peut être décomposé en x * x. Notez ceci : (x)(x) = 0
      • Dans notre exemple, le terme libre -6 peut être factorisé dans les facteurs suivants : − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Dans notre exemple, le deuxième terme est x (ou 1x). Additionnez chaque paire de facteurs du terme fictif (dans notre exemple -6) jusqu'à obtenir 1. Dans notre exemple, la paire de facteurs appropriée du terme fictif est les nombres -2 et 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), parce que − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Remplissez les espaces avec la paire de nombres trouvée : .

   6. N'oubliez pas le deuxième point d'intersection des deux graphiques. Si vous résolvez le problème rapidement et sans beaucoup de soin, vous risquez d'oublier le deuxième point d'intersection. Voici comment trouver les coordonnées x de deux points d'intersection :

      • Exemple (factorisation). Si dans l'équation. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) l'une des expressions entre parenthèses sera égale à 0, alors l'équation entière sera égale à 0. On peut donc l'écrire comme ceci : x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\style d'affichage x=2) Et x + 3 = 0 (\style d'affichage x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (c'est-à-dire que vous avez trouvé deux racines de l'équation).
      • Exemple (utiliser une formule ou compléter un carré parfait). Lorsque vous utilisez l’une de ces méthodes, une racine carrée apparaîtra dans le processus de résolution. Par exemple, l'équation de notre exemple prendra la forme x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). N'oubliez pas qu'en prenant la racine carrée, vous obtiendrez deux solutions. Dans notre cas: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Et 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Écrivez donc deux équations et trouvez deux valeurs de x.

   7. Les graphiques se croisent en un point ou ne se croisent pas du tout. De telles situations se produisent si les conditions suivantes sont remplies :

      • Si les graphiques se croisent en un point, alors l'équation quadratique est décomposée en facteurs identiques, par exemple (x-1) (x-1) = 0, et la racine carrée de 0 apparaît dans la formule ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). Dans ce cas, l’équation n’a qu’une seule solution.
      • Si les graphiques ne se coupent pas du tout, alors l'équation n'est pas factorisée et la racine carrée d'un nombre négatif apparaît dans la formule (par exemple, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Dans ce cas, écrivez dans votre réponse qu’il n’y a pas de solution.