Degré de fraction négatif. Analyse des problèmes pour une solution indépendante

Le pouvoir est utilisé pour simplifier l’opération de multiplication d’un nombre par lui-même. Par exemple, au lieu d'écrire, vous pouvez écrire 4 5 (\style d'affichage 4^(5))(une explication de cette transition est donnée dans la première section de cet article). Les diplômes facilitent l'écriture longue ou expressions complexes ou des équations ; les puissances sont également faciles à ajouter et à soustraire, ce qui donne une expression ou une équation simplifiée (par exemple, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Note: si tu dois décider équation exponentielle(dans une telle équation, l'inconnue est dans l'exposant), lisez.

Pas

Résoudre des problèmes simples avec les diplômes

Multipliez la base de l'exposant par elle-même un nombre de fois égal à l'exposant. Si vous devez résoudre un problème de puissance à la main, réécrivez la puissance sous la forme d’une opération de multiplication, où la base de la puissance est multipliée par elle-même. Par exemple, étant donné un diplôme 3 4 (\style d'affichage 3^(4)). Dans ce cas, la base de puissance 3 doit être multipliée par elle-même 4 fois : 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Voici d'autres exemples :

Tout d’abord, multipliez les deux premiers nombres. Par exemple, 4 5 (\style d'affichage 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne vous inquiétez pas, le processus de calcul n'est pas aussi compliqué qu'il y paraît à première vue. Multipliez d’abord les deux premiers quatre, puis remplacez-les par le résultat. Comme ça:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multipliez le résultat (16 dans notre exemple) par le nombre suivant. Chaque prochain résultat augmentera proportionnellement. Dans notre exemple, multipliez 16 par 4. Comme ceci :

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 * 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 * 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 * 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 * 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Continuez à multiplier le résultat des deux premiers nombres par le nombre suivant jusqu'à ce que vous obteniez votre réponse finale. Pour ce faire, multipliez les deux premiers nombres, puis multipliez le résultat obtenu par le nombre suivant de la séquence. Cette méthode est valable pour n'importe quel diplôme. Dans notre exemple, vous devriez obtenir : 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Résolvez les problèmes suivants. Vérifiez votre réponse à l'aide d'une calculatrice.

   • 8 2 (\style d'affichage 8^(2))
   • 3 4 (\style d'affichage 3^(4))
   • 10 7 (\style d'affichage 10^(7))

3. Sur votre calculatrice, recherchez la clé intitulée « exp » ou « x n (\style d'affichage x^(n))", ou "^". En utilisant cette clé, vous élèverez un nombre à une puissance. Il est presque impossible de calculer manuellement un diplôme avec un grand indicateur (par exemple, le diplôme 9 15 (\style d'affichage 9^(15))), mais la calculatrice peut facilement faire face à cette tâche. Sous Windows 7, la calculatrice standard peut être basculée en mode ingénierie ; Pour ce faire, cliquez sur « Affichage » -> « Ingénierie ». Pour passer en mode normal, cliquez sur « Affichage » -> « Normal ».

   • Vérifiez votre réponse en utilisant moteur de recherche(Google ou Yandex). À l'aide de la touche "^" du clavier de votre ordinateur, saisissez l'expression dans le moteur de recherche, qui affichera instantanément la bonne réponse (et vous suggérera peut-être des expressions similaires à étudier).

   Addition, soustraction, multiplication de puissances

   1. Vous ne pouvez ajouter et soustraire des degrés que s’ils ont les mêmes bases. Si vous devez ajouter des puissances avec les mêmes bases et exposants, vous pouvez alors remplacer l'opération d'addition par l'opération de multiplication. Par exemple, étant donné l'expression 4 5 + 4 5 (\style d'affichage 4^(5)+4^(5)). N'oubliez pas que le diplôme 4 5 (\style d'affichage 4^(5)) peut être représenté sous la forme 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Ainsi, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(où 1 +1 =2). Autrement dit, comptez le nombre de diplômes similaires, puis multipliez ce diplôme par ce nombre. Dans notre exemple, élevez 4 à la puissance cinquième, puis multipliez le résultat obtenu par 2. N'oubliez pas que l'opération d'addition peut être remplacée par l'opération de multiplication, par exemple : 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Voici d'autres exemples :

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. En multipliant les puissances avec la même base leurs indicateurs s'additionnent (la base ne change pas). Par exemple, étant donné l'expression x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dans ce cas, il suffit d’ajouter les indicateurs en laissant la base inchangée. Ainsi, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Voici une explication visuelle de cette règle :

      Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés. Par exemple, un diplôme est délivré. Puisque les exposants sont multipliés, alors (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Le but de cette règle est que vous multipliez par les puissances (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sur lui-même cinq fois. Comme ça:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Puisque la base est la même, les exposants s’additionnent simplement : (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Degré c indicateur négatif doit être converti en fraction (puissance inverse). Peu importe si vous ne savez pas ce qu'est un diplôme réciproque. Si vous recevez un diplôme avec un exposant négatif, par ex. 3 − 2 (\style d'affichage 3^(-2)), écrivez ce degré au dénominateur de la fraction (mettez 1 au numérateur), et rendez l'exposant positif. Dans notre exemple : 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Voici d'autres exemples :

      Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits (la base ne change pas). L’opération de division est l’inverse de l’opération de multiplication. Par exemple, étant donné l'expression 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Soustrayez l’exposant du dénominateur de l’exposant du numérateur (ne changez pas la base). Ainsi, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • La puissance au dénominateur peut s’écrire comme suit : 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\style d'affichage 4^(-2)). N'oubliez pas qu'une fraction est un nombre (puissance, expression) avec un exposant négatif.

   4. Vous trouverez ci-dessous quelques expressions qui vous aideront à apprendre à résoudre des problèmes avec les exposants. Les expressions données couvrent le matériel présenté dans cette section. Pour voir la réponse, sélectionnez simplement l’espace vide après le signe égal.

   Résoudre des problèmes avec des exposants fractionnaires

   Une puissance avec un exposant fractionnaire (par exemple, ) est convertie en opération racine. Dans notre exemple : x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Ici, le nombre qui se trouve au dénominateur de l'exposant fractionnaire n'a pas d'importance. Par exemple, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- est la quatrième racine de « x », c'est-à-dire x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Si l’exposant est une fraction impropre, alors l’exposant peut être décomposé en deux puissances pour simplifier la solution du problème. Il n'y a rien de compliqué à cela - rappelez-vous simplement la règle des puissances multiplicatrices. Par exemple, un diplôme est délivré. Convertissez une telle puissance en une racine dont la puissance est égale au dénominateur de l'exposant fractionnaire, puis élevez cette racine à une puissance égale au numérateur de l'exposant fractionnaire. Pour ce faire, rappelez-vous que 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dans notre exemple :

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Certaines calculatrices ont un bouton pour calculer les exposants (vous devez d'abord saisir la base, puis appuyer sur le bouton, puis saisir l'exposant). Il est noté ^ ou x^y.
   3. N'oubliez pas que tout nombre à la puissance première est égal à lui-même, par exemple : 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) De plus, tout nombre multiplié ou divisé par un est égal à lui-même, par ex. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Et 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Sachez que la puissance 0 0 n'existe pas (une telle puissance n'a pas de solution). Si vous essayez de résoudre un tel diplôme sur une calculatrice ou sur un ordinateur, vous recevrez une erreur. Mais rappelez-vous que tout nombre à la puissance zéro est 1, par exemple : 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. En mathématiques supérieures, qui fonctionnent avec des nombres imaginaires : e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Où je = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e est une constante environ égale à 2,7 ; a est une constante arbitraire. La preuve de cette égalité peut être trouvée dans n’importe quel manuel de mathématiques supérieures.

   Avertissements

   • À mesure que l’exposant augmente, sa valeur augmente considérablement. Donc, si la réponse vous semble fausse, il se peut qu’elle soit correcte. Vous pouvez tester cela en traçant n'importe quelle fonction exponentielle, telle que 2 x.

Dans ce document, nous verrons ce qu’est la puissance d’un nombre. En plus des définitions de base, nous formulerons ce que sont les puissances à exposants naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés par des exemples de problèmes.

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Nous formulons d’abord la définition de base du degré c indicateur naturel. Pour ce faire, nous devons rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons d'avance que pour l'instant nous prendrons comme base un nombre réel (noté par la lettre a), et un nombre naturel comme indicateur (noté par la lettre n).

Définition 1

La puissance d'un nombre a d'exposant naturel n est le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal au nombre a. Le diplôme s'écrit ainsi : un, et sous forme de formule sa composition peut être représentée comme suit :

Par exemple, si l’exposant est 1 et la base est a, alors la première puissance de a s’écrit un 1. Sachant que a est la valeur du facteur et 1 est le nombre de facteurs, on peut conclure que un 1 = un.

En général, on peut dire qu'un diplôme est une forme pratique d'enregistrement grande quantité facteurs égaux. Donc, un enregistrement de la forme 8 8 8 8 peut être raccourci à 8 4 . De la même manière, une œuvre nous aide à éviter d'enregistrer grand nombre termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Nous en avons déjà parlé dans l’article consacré à la multiplication des nombres naturels.

Comment lire correctement l’entrée du diplôme ? L'option généralement acceptée est « a à la puissance n ». Ou vous pouvez dire « nième puissance d’un » ou « anth puissance ». Si, disons, dans l'exemple, nous avons rencontré l'entrée 8 12 , on peut lire « 8 puissance 12 », « 8 puissance 12 » ou « 12 puissance 8 ».

Les deuxième et troisième puissances des nombres ont leurs propres noms établis : carré et cube. Si nous voyons la deuxième puissance, par exemple le nombre 7 (7 2), alors nous pouvons dire « 7 au carré » ou « carré du nombre 7 ». De même, le troisième degré se lit ainsi : 5 3 - c'est le « cube du chiffre 5 » ou « 5 au cube ». Cependant, vous pouvez aussi utiliser la formulation standard « à la puissance deux/troisième » ; ce ne sera pas une erreur.

Exemple 1

Regardons un exemple de degré avec un exposant naturel : pour 5 7 cinq sera la base et sept sera l’exposant.

Il n'est pas nécessaire que la base soit un nombre entier : pour le diplôme (4 , 32) 9 la base sera la fraction 4, 32 et l'exposant sera neuf. Faites attention aux parenthèses : cette notation est faite pour toutes les puissances dont les bases diffèrent des nombres naturels.

Par exemple : 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

A quoi servent les parenthèses ? Ils permettent d'éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées : (− 2) 3 Et − 2 3 . Le premier d’entre eux signifie un nombre négatif moins deux élevé à une puissance avec un exposant naturel de trois ; le second est le nombre correspondant à la valeur opposée du degré 2 3 .

Parfois, dans les livres, vous pouvez trouver une orthographe légèrement différente de la puissance d'un nombre - un^n(où a est la base et n est l'exposant). Autrement dit, 4 ^ 9 est identique à 4 9 . Dans le cas où n est numéro à plusieurs chiffres, il est pris entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Mais nous utiliserons la notation un comme plus courant.

Il est facile de deviner comment calculer la valeur d’un exposant avec un exposant naturel à partir de sa définition : il suffit de multiplier un nième nombre de fois. Nous en avons parlé davantage dans un autre article.

La notion de degré est l'inverse d'une autre concept mathématique- la racine du nombre. Si nous connaissons la valeur de la puissance et l’exposant, nous pouvons calculer sa base. Le diplôme possède certaines propriétés spécifiques utiles pour résoudre des problèmes, dont nous avons discuté dans un document séparé.

En exposants, il peut y avoir non seulement entiers, mais aussi toutes les valeurs entières en général, y compris les valeurs négatives et les zéros, car elles appartiennent également à l'ensemble des entiers.

Définition 2

La puissance d'un nombre avec un exposant entier positif peut être représentée sous la forme d'une formule : .

Dans ce cas, n est n’importe quel entier positif.

Comprenons le concept de zéro degré. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du quotient pour des puissances de bases égales. Il est formulé ainsi :

Définition 3

Égalité une m : une n = une m − n sera vrai dans les conditions suivantes : m et n sont des nombres naturels, m< n , a ≠ 0 .

La dernière condition est importante car elle évite la division par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, alors on obtient le résultat suivant : une n : une n = une n − n = une 0

Mais en même temps a n : a n = 1 est un quotient nombres égaux un et un. Il s’avère que la puissance nulle de tout nombre non nul est égale à un.

Cependant, une telle preuve ne s’applique pas à zéro à la puissance zéro. Pour ce faire, nous avons besoin d'une autre propriété des puissances : la propriété des produits de puissances de bases égales. Cela ressemble à ceci : une m · une n = une m + n .

Si n est égal à 0, alors une m · une 0 = une m(cette égalité nous prouve aussi que un 0 = 1). Mais si et est également égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m · 0 0 = 0 m, Ce sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe à quoi exactement la valeur du degré est égale 0 0 , c'est-à-dire qu'il peut être égal à n'importe quel nombre, et cela n'affectera pas l'exactitude de l'égalité. Donc une notation de la forme 0 0 n'a pas de signification particulière et nous ne la lui attribuerons pas.

Si on le souhaite, il est facile de vérifier que un 0 = 1 converge avec la propriété degré (une m) n = une m nà condition que la base du diplôme ne soit pas nulle. Ainsi, la puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est un.

Exemple 2

Regardons un exemple avec des nombres spécifiques : Donc, 5 0 - unité, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , et la valeur 0 0 indéfini.

Après le degré zéro, il suffit de comprendre ce qu’est un degré négatif. Pour ce faire, nous avons besoin de la même propriété du produit de puissances de bases égales que nous avons déjà utilisée ci-dessus : a m · a n = a m + n.

Introduisons la condition : m = − n, alors a ne doit pas être égal à zéro. Il s'ensuit que une − n · une n = une − n + n = une 0 = 1. Il s'avère qu'un n et a−n nous avons des nombres mutuellement réciproques.

En conséquence, a à la puissance entière négative n’est rien de plus que la fraction 1 a n.

Cette formulation confirme que pour un degré avec un exposant entier négatif, toutes les mêmes propriétés sont valables qu'un degré avec un exposant naturel (à condition que la base ne soit pas égale à zéro).

Exemple 3

Une puissance a avec un exposant entier négatif n peut être représentée par une fraction 1 a n . Ainsi, a - n = 1 a n sous réserve de une ≠ 0 et n est n'importe quel nombre naturel.

Illustrons notre idée avec des exemples précis :

Exemple 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire clairement tout ce qui a été dit en une seule formule :

Définition 4

La puissance d'un nombre d'exposant naturel z est : a z = a z, e avec l et z - entier positif 1, z = 0 et a ≠ 0, (pour z = 0 et a = 0 le résultat est 0 0, le les valeurs de l'expression 0 0 ne sont pas définies) 1 a z, si et z est un entier négatif et a ≠ 0 (si z est un entier négatif et a = 0 vous obtenez 0 z, egoz la valeur est indéterminée)

Que sont les puissances avec un exposant rationnel ?

Nous avons examiné les cas où l'exposant contient un nombre entier. Cependant, vous pouvez élever un nombre à la puissance même lorsque son exposant contient un nombre fractionnaire. C'est ce qu'on appelle le degré c indicateur rationnel. Dans cette section, nous prouverons qu’elle possède les mêmes propriétés que les autres puissances.

Ce qui s'est passé nombres rationnels? Leur variété comprend à la fois entière et nombres fractionnaires, tandis que les nombres fractionnaires peuvent être représentés comme des fractions ordinaires (à la fois positives et négatives). Formulons la définition de la puissance d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où n est un nombre naturel et m est un nombre entier.

Nous avons un certain degré avec un exposant fractionnaire a m n . Pour que la propriété de pouvoir soit valable, l'égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.

Étant donné la définition de la nième racine et que a m n n = a m, nous pouvons accepter la condition a m n = a m n si a m n a un sens pour les valeurs données de m, n et a.

Les propriétés ci-dessus d'un degré avec un exposant entier seront vraies sous la condition a m n = a m n .

La principale conclusion de notre raisonnement est la suivante : la puissance d'un certain nombre a avec un exposant fractionnaire m/n est la nième racine du nombre a à la puissance m. Ceci est vrai si, pour des valeurs données de m, n et a, l'expression a m n reste significative.

1. On peut limiter la valeur de la base du degré : prenons a, qui pour les valeurs positives de m sera supérieur ou égal à 0, et pour les valeurs négatives - strictement inférieur (puisque pour m ≤ 0 on a 0 m, mais un tel degré n'est pas défini). Dans ce cas, la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire ressemblera à ceci :

Une puissance avec un exposant fractionnaire m/n pour un nombre positif a est la nième racine de a élevée à la puissance m. Cela peut être exprimé sous la forme d'une formule :

Pour une puissance de base nulle, cette disposition convient également, mais seulement si son exposant est un nombre positif.

Une puissance avec une base zéro et un exposant fractionnaire positif m/n peut être exprimée comme

0 m n = 0 m n = 0 à condition que m soit un entier positif et n soit un nombre naturel.

Pour un rapport négatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Notons un point. Depuis que nous avons introduit la condition selon laquelle a est supérieur ou égal à zéro, nous avons fini par écarter certains cas.

L'expression a m n a parfois encore un sens pour certaines valeurs négatives de a et certains m. Ainsi, les entrées correctes sont (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, dans lesquelles la base est négative.

2. La deuxième approche consiste à considérer séparément la racine a m n avec des exposants pairs et impairs. Ensuite, nous devrons introduire une condition supplémentaire : le degré a, dans l'exposant duquel se trouve une fraction ordinaire réductible, est considéré comme le degré a, dans l'exposant duquel se trouve la fraction irréductible correspondante. Nous expliquerons plus tard pourquoi nous avons besoin de cette condition et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons la notation a m · k n · k , alors nous pouvons la réduire à a m n et simplifier les calculs.

Si n est un nombre impair et que la valeur de m est positive et que a est un nombre non négatif, alors a m n a du sens. La condition pour que a soit non négatif est nécessaire car une racine de degré pair ne peut pas être extraite d’un nombre négatif. Si la valeur de m est positive, alors a peut être à la fois négatif et nul, car La racine impaire peut être extraite de n’importe quel nombre réel.

Combinons toutes les définitions ci-dessus en une seule entrée :

Ici, m/n signifie une fraction irréductible, m est n'importe quel nombre entier et n est n'importe quel nombre naturel.

Définition 5

Pour toute fraction réductible ordinaire m · k n · k le degré peut être remplacé par a m n .

La puissance d'un nombre a avec un exposant fractionnaire irréductible m/n – peut s'exprimer sous la forme a m n dans les cas suivants : - pour tout réel a, entiers valeurs positives m et valeurs naturelles impaires n. Exemple : 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Pour tout a réel non nul, valeurs entières négatives de m et valeurs impaires de n, par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Pour tout a non négatif, entier positif m et même n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Pour tout a positif, entier négatif m et même n, par exemple, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Pour d’autres valeurs, le degré avec un exposant fractionnaire n’est pas déterminé. Exemples de tels diplômes : - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Expliquons maintenant l'importance de la condition évoquée ci-dessus : pourquoi remplacer une fraction à exposant réductible par une fraction à exposant irréductible. Si nous ne l'avions pas fait, nous aurions eu les situations suivantes, disons 6/10 = 3/5. Alors cela devrait être vrai (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , et (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

La définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, que nous avons présentée en premier, est plus pratique à utiliser en pratique que la seconde, nous continuerons donc à l'utiliser.

Définition 6

Ainsi, la puissance d'un nombre positif a avec un exposant fractionnaire m/n est définie comme 0 m n = 0 m n = 0. En cas de négatif un la notation a m n n'a pas de sens. Puissance de zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0 , pour les exposants fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.

En conclusion, on note que tout indicateur fractionnaire peut s'écrire sous la forme nombre mixte, et sous la forme décimal: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant fraction ordinaire et continuez à utiliser la définition du degré avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, nous obtenons :

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Que sont les puissances à exposants irrationnels et réels ?

Que sont les nombres réels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, afin de comprendre ce qu'est un degré avec un exposant réel, nous devons définir des degrés avec des exposants rationnels et irrationnels. Nous avons déjà mentionné les rationnels ci-dessus. Traitons étape par étape les indicateurs irrationnels.

Exemple 5

Supposons que nous ayons un nombre irrationnel a et une séquence de ses approximations décimales a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Par exemple, prenons la valeur a = 1,67175331. . . , Alors

une 0 = 1, 6, une 1 = 1, 67, une 2 = 1, 671, . . . , un 0 = 1,67, un 1 = 1,6717, un 2 = 1,671753, . . .

On peut associer des séquences d'approximations à une séquence de degrés a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Si nous nous souvenons de ce que nous avons dit plus tôt sur l'élévation des nombres à des puissances rationnelles, nous pouvons alors calculer nous-mêmes les valeurs de ces puissances.

Prenons par exemple une = 3, alors a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . etc.

La séquence de puissances peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur de la puissance de base a et d'exposant irrationnel a. Résultat : un diplôme avec un exposant irrationnel de la forme 3 1, 67175331. . peut être réduit au nombre 6, 27.

Définition 7

La puissance d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a s'écrit a a . Sa valeur est la limite de la séquence a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , où une 0 , une 1 , une 2 , . . . sont des approximations décimales successives du nombre irrationnel une. Un degré avec une base nulle peut également être défini pour les exposants irrationnels positifs, avec 0 a = 0 Donc, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Mais cela ne peut pas être fait pour les valeurs négatives, puisque, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 π n'est pas définie. Une unité élevée à n'importe quelle puissance irrationnelle reste une unité, par exemple, et 1 2, 1 5 en 2 et 1 - 5 seront égaux à 1.

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L'exponentiation est une opération étroitement liée à la multiplication ; cette opération est le résultat de la multiplication répétée d'un nombre par lui-même. Représentons-le par la formule : a1 * a2 * … * an = an.

Par exemple, a=2, n=3 : 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

En général, l'exponentiation est souvent utilisée dans diverses formules en mathématiques et en physique. Cette fonction a une finalité plus scientifique que les quatre principales : Addition, Soustraction, Multiplication, Division.

Élever un nombre à une puissance

Élever un nombre à une puissance n’est pas une opération compliquée. Elle est liée à la multiplication de la même manière que la relation entre multiplication et addition. La notation an est une notation courte du nième nombre de nombres « a » multipliés les uns par les autres.

Considérez au maximum l'exponentiation exemples simples, passant aux plus complexes.

Par exemple, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Quatre au carré (à la puissance deux) est égal à seize. Si vous ne comprenez pas la multiplication 4*4, alors lisez notre article sur la multiplication.

Regardons un autre exemple : 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinq au cube (à la puissance trois) est égal à cent vingt-cinq.

Autre exemple : 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Neuf au cube équivaut à sept cent vingt-neuf.

Formules d'exponentiation

Pour élever correctement à une puissance, vous devez vous rappeler et connaître les formules données ci-dessous. Il n'y a rien de très naturel à cela, l'essentiel est d'en comprendre l'essence et alors non seulement elles seront mémorisées, mais elles sembleront également faciles.

Élever un monôme à un pouvoir

Qu'est-ce qu'un monôme ? Il s'agit d'un produit de nombres et de variables en n'importe quelle quantité. Par exemple, deux est un monôme. Et cet article porte précisément sur l’élévation de ces monômes au rang de pouvoirs.

En utilisant les formules d'exponentiation, il ne sera pas difficile de calculer l'exponentiation d'un monôme.

Par exemple, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Si vous élevez un monôme à une puissance, alors chaque composant du monôme est élevé à une puissance.

En élevant une variable qui possède déjà une puissance à une puissance, les puissances sont multipliées. Par exemple, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Élever à une puissance négative

Une puissance négative est l’inverse d’un nombre. Quel est le nombre réciproque ? L'inverse de tout nombre X est 1/X. Autrement dit, X-1=1/X. C’est l’essence du degré négatif.

Prenons l'exemple (3Y)^-3 :

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Pourquoi donc? Puisqu'il y a un moins dans le degré, nous transférons simplement cette expression au dénominateur, puis l'élevons à la puissance trois. Simple n'est-ce pas ?

Élever à une puissance fractionnaire

Commençons par examiner le problème à exemple spécifique. 43/2. Que signifie le degré 3/2 ? 3 – numérateur, signifie élever un nombre (dans ce cas 4) à un cube. Le nombre 2 est le dénominateur ; c'est l'extraction de la racine deuxième d'un nombre (dans ce cas, 4).

Nous obtenons ensuite la racine carrée de 43 = 2^3 = 8. Réponse : 8.

Ainsi, le dénominateur d'un degré fractionnaire peut être soit 3, soit 4, ou n'importe quel nombre jusqu'à l'infini, et ce nombre détermine le degré racine carrée, extrait par derrière numéro donné. Bien entendu, le dénominateur ne peut pas être nul.

Élever une racine pour devenir un pouvoir

Si la racine est élevée à un degré égal au degré de la racine elle-même, alors la réponse sera une expression radicale. Par exemple, (√x)2 = x. Et ainsi, dans tous les cas, le degré de racine et le degré d’élévation de la racine sont égaux.

Si (√x)^4. Alors (√x)^4=x^2. Pour vérifier la solution, nous convertissons l’expression en une expression à puissance fractionnaire. Puisque la racine est carrée, le dénominateur est 2. Et si la racine est élevée à la puissance quatre, alors le numérateur est 4. On obtient 4/2=2. Réponse : x = 2.

De toute façon la meilleure option convertissez simplement l’expression en une expression avec une puissance fractionnaire. Si la fraction ne s'annule pas, alors c'est la réponse, à condition que la racine du nombre donné ne soit pas isolée.

Élever un nombre complexe au pouvoir

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ? Nombre complexe– une expression ayant la formule a + b * i ; a, b sont des nombres réels. i est un nombre qui, une fois mis au carré, donne le nombre -1.

Regardons un exemple. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

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Exponentiation en ligne

À l'aide de notre calculatrice, vous pouvez calculer l'élévation d'un nombre à une puissance :

Exponentiation 7e année

Les écoliers ne commencent à accéder au pouvoir qu'à partir de la septième année.

L'exponentiation est une opération étroitement liée à la multiplication ; cette opération est le résultat de la multiplication répétée d'un nombre par lui-même. Représentons-le par la formule : a1 * a2 * … * an=an.

Par exemple, a=2, n=3 : 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Exemples de solution :

Présentation de l'exponentiation

Présentation sur l'élévation aux pouvoirs, conçue pour les élèves de septième année. La présentation pourra clarifier certains points flous, mais ces points ne seront probablement pas éclaircis grâce à notre article.

Conclusion

Nous n'avons examiné que la pointe de l'iceberg, pour mieux comprendre les mathématiques - inscrivez-vous à notre cours : Accélérer le calcul mental - PAS le calcul mental.

Au cours du cours, vous apprendrez non seulement des dizaines de techniques de multiplication, d'addition, de multiplication, de division et de calcul de pourcentages simplifiées et rapides, mais vous les mettrez également en pratique dans des tâches spéciales et des jeux éducatifs ! Le calcul mental nécessite également beaucoup d'attention et de concentration, qui sont activement entraînées lors de la résolution de problèmes intéressants.

Un nombre élevé à une puissance Ils appellent un numéro multiplié par lui-même plusieurs fois.

Puissance d'un nombre avec une valeur négative (un) peut être déterminé de la même manière que la façon dont la puissance du même nombre avec un exposant positif est déterminée (un) . Cependant, cela nécessite également définition supplémentaire. La formule est définie comme suit :

un = (1/un n)

Les propriétés des puissances négatives des nombres sont similaires à celles des puissances à exposant positif. Équation présentée un m/a n= un m-n peut être juste comme

« Nulle part, comme en mathématiques, la clarté et l'exactitude de la conclusion ne permettent à une personne d'échapper à une réponse en contournant la question.».

A.D. Alexandrov

à n plus m , et avec m plus n . Regardons un exemple : 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Vous devez d’abord déterminer le nombre qui sert de définition du diplôme. b=une(-n) . Dans cet exemple -n est un exposant b - la valeur numérique souhaitée, un - la base du diplôme sous forme d'une valeur numérique naturelle. Déterminez ensuite le module, c'est-à-dire la valeur absolue d'un nombre négatif, qui fait office d'exposant. Calculer la puissance d'un nombre relatif donné nombre absolu, comme indicateur. La valeur du degré se trouve en divisant un par le nombre obtenu.

Riz. 1

Considérons la puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire négatif. Imaginons que le nombre a soit n'importe quel nombre positif, nombres n Et m - des entiers. Selon la définition un , qui est élevé au pouvoir - est égal à un divisé par le même nombre avec une puissance positive (Figure 1). Lorsque la puissance d’un nombre est une fraction, dans de tels cas, seuls les nombres avec des exposants positifs sont utilisés.

Cela vaut le coup de s'en souvenir que zéro ne peut jamais être l'exposant d'un nombre (la règle de la division par zéro).

La diffusion d'un concept tel que le nombre est devenue une manipulation telle que les calculs de mesure, ainsi que le développement des mathématiques en tant que science. L'introduction de valeurs négatives était due au développement de l'algèbre, qui a donné solutions générales problèmes arithmétiques, quelles que soient leur signification spécifique et leurs données numériques initiales. En Inde aux VIe-XIe siècles valeurs négatives les nombres étaient systématiquement utilisés lors de la résolution de problèmes et étaient interprétés de la même manière qu’aujourd’hui. DANS science européenne les nombres négatifs ont commencé à être largement utilisés grâce à R. Descartes, qui a donné une interprétation géométrique des nombres négatifs comme directions des segments. C'est Descartes qui proposa de désigner un nombre élevé à la puissance pour l'afficher sous la forme d'une formule à deux étages. un .

La calculatrice vous aide à élever rapidement un nombre à une puissance en ligne. La base du degré peut être n’importe quel nombre (entiers et réels). L'exposant peut également être un nombre entier ou réel, et peut également être positif ou négatif. Il faut rappeler que pour nombres négatifs L'augmentation à une puissance non entière n'est pas définie et la calculatrice signalera donc une erreur si vous la tentez.

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Qu'est-ce que la puissance naturelle d'un nombre ?

Le nombre p est appelé la puissance n d'un nombre si p est égal au nombre a multiplié par lui-même n fois : p = a n = a·...·a
n - appelé exposant, et le nombre a est base de diplôme.

Comment élever un nombre à une puissance naturelle ?

Comprendre comment construire différents numéros aux pouvoirs naturels, considérons quelques exemples :

Exemple 1. Élevez le nombre trois à la puissance quatrième. Autrement dit, il faut calculer 3 4
Solution: comme mentionné ci-dessus, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Répondre: 3 4 = 81 .

Exemple 2. Élevez le nombre cinq à la puissance cinquième. C'est-à-dire qu'il faut calculer 5 5
Solution: de même, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Répondre: 5 5 = 3125 .

Ainsi, pour élever un nombre à diplôme naturel, il vous suffit de le multiplier par lui-même n fois.

Qu'est-ce qu'une puissance négative d'un nombre ?

La puissance négative -n de a est un divisé par a à la puissance n : a -n = .

Dans ce cas, une puissance négative n’existe que pour les nombres non nuls, sinon une division par zéro se produirait.

Comment élever un nombre à une puissance entière négative ?

Pour élever un nombre non nul à une puissance négative, vous devez calculer la valeur de ce nombre à la même puissance positive et diviser un par le résultat.

Exemple 1. Élevez le nombre deux à la puissance moins quatrième. Autrement dit, vous devez calculer 2 -4

Solution: comme indiqué ci-dessus, 2 -4 = = = 0,0625.

Répondre: 2 -4 = 0.0625 .