L'aire d'une figure délimitée par des graphiques de fonctions quadratiques. Calculateur en ligne Calculer l'intégrale définie (aire d'un trapèze courbe)

Dans la section précédente, consacrée à l'analyse de la signification géométrique d'une intégrale définie, nous avons reçu un certain nombre de formules pour calculer l'aire d'un trapèze curviligne :

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pour une fonction continue et non négative y = f (x) sur l'intervalle [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pour une fonction continue et non positive y = f (x) sur l'intervalle [ a ; b ] .

Ces formules sont applicables à la résolution de problèmes relativement simples. En réalité, nous serons souvent amenés à travailler avec des figures plus complexes. À cet égard, nous consacrerons cette section à une analyse des algorithmes de calcul de l'aire des figures limitées par des fonctions sous forme explicite, c'est-à-dire comme y = f(x) ou x = g(y).

Théorème

Soit les fonctions y = f 1 (x) et y = f 2 (x) définies et continues sur l'intervalle [ a ; b ] , et f 1 (x) ≤ f 2 (x) pour toute valeur x de [ a ; b ] . Ensuite, la formule de calcul de l'aire de la figure G, délimitée par les lignes x = a, x = b, y = f 1 (x) et y = f 2 (x) ressemblera à S (G) = ∫ un b f 2 (x) - f 1 (x) ré x .

Une formule similaire sera applicable pour l'aire d'une figure délimitée par les droites y = c, y = d, x = g 1 (y) et x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) ré y .

Preuve

Regardons trois cas pour lesquels la formule sera valable.

Dans le premier cas, compte tenu de la propriété d'additivité de l'aire, la somme des aires de la figure originale G et du trapèze curviligne G 1 est égale à l'aire de la figure G 2. Cela signifie que

Par conséquent, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Nous pouvons effectuer la dernière transition en utilisant la troisième propriété de l'intégrale définie.

Dans le second cas, l'égalité est vraie : S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) ré x

L'illustration graphique ressemblera à :

Si les deux fonctions sont non positives, on obtient : S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) ré x . L'illustration graphique ressemblera à :

Passons maintenant au cas général où y = f 1 (x) et y = f 2 (x) coupent l'axe O x.

Nous désignons les points d'intersection par x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ces points divisent le segment [a; b ] en n parties x i - 1 ; x je, je = 1, 2, . . . , n, où α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ainsi,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Nous pouvons effectuer la dernière transition en utilisant la cinquième propriété de l'intégrale définie.

Illustrons le cas général sur le graphique.

La formule S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x peut être considérée comme prouvée.

Passons maintenant à l'analyse d'exemples de calcul de l'aire des figures limitées par les lignes y = f (x) et x = g (y).

Nous commencerons notre examen de l’un des exemples en construisant un graphique. L'image nous permettra de représenter des formes complexes comme des unions de formes plus simples. S'il vous est difficile de construire des graphiques et des figures dessus, vous pouvez étudier la section sur les fonctions élémentaires de base, la transformation géométrique des graphiques de fonctions, ainsi que la construction de graphiques tout en étudiant une fonction.

Exemple 1

Il est nécessaire de déterminer l'aire de la figure, qui est limitée par la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 et les droites y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique dans le système de coordonnées cartésiennes.

Sur le segment [ 1 ; 4 ] le graphique de la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 est situé au dessus de la droite y = - 1 3 x - 1 2. A cet égard, pour obtenir la réponse nous utilisons la formule obtenue précédemment, ainsi que la méthode de calcul de l'intégrale définie à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Réponse : S(G) = 13

Regardons un exemple plus complexe.

Exemple 2

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les lignes y = x + 2, y = x, x = 7.

Solution

Dans ce cas, nous n’avons qu’une seule droite située parallèlement à l’axe des x. C'est x = 7. Cela nous oblige à trouver nous-mêmes la deuxième limite de l’intégration.

Construisons un graphique et traçons dessus les lignes données dans l'énoncé du problème.

Ayant le graphique sous les yeux, on peut facilement déterminer que la limite inférieure d'intégration sera l'abscisse du point d'intersection du graphique de la droite y = x et de la semi-parabole y = x + 2. Pour trouver l'abscisse on utilise les égalités :

y = x + 2 O DZ : x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Il s'avère que l'abscisse du point d'intersection est x = 2.

Nous attirons votre attention sur le fait que dans l'exemple général du dessin, les lignes y = x + 2, y = x se coupent au point (2 ; 2), de tels calculs détaillés peuvent donc sembler inutiles. Nous avons proposé ici une solution aussi détaillée uniquement parce que, dans des cas plus complexes, la solution peut ne pas être aussi évidente. Cela signifie qu'il est toujours préférable de calculer analytiquement les coordonnées de l'intersection des lignes.

Sur l'intervalle [ 2 ; 7] le graphique de la fonction y = x est situé au dessus du graphique de la fonction y = x + 2. Appliquons la formule pour calculer la superficie :

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Réponse : S (G) = 59 6

Exemple 3

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les graphiques des fonctions y = 1 x et y = - x 2 + 4 x - 2.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique.

Définissons les limites de l'intégration. Pour ce faire, on détermine les coordonnées des points d'intersection des droites en assimilant les expressions 1 x et - x 2 + 4 x - 2. A condition que x ne soit pas nul, l'égalité 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devient équivalente à l'équation du troisième degré - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 à coefficients entiers. Pour vous rafraîchir la mémoire de l'algorithme de résolution de telles équations, on peut se référer à la section « Résolution d'équations cubiques ».

La racine de cette équation est x = 1 : - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

En divisant l'expression - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 par le binôme x - 1, on obtient : - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Nous pouvons trouver les racines restantes de l'équation x 2 - 3 x - 1 = 0 :

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; X 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Nous avons trouvé l'intervalle x ∈ 1 ; 3 + 13 2, dans lequel le chiffre G est contenu au-dessus de la ligne bleue et en dessous de la ligne rouge. Cela nous aide à déterminer l'aire de la figure :

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Réponse : S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemple 4

Il faut calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les courbes y = x 3, y = - log 2 x + 1 et l'axe des abscisses.

Solution

Traçons toutes les lignes sur le graphique. Nous pouvons obtenir le graphique de la fonction y = - log 2 x + 1 à partir du graphique y = log 2 x si nous le positionnons symétriquement par rapport à l'axe des x et le déplaçons d'une unité. L'équation de l'axe des x est y = 0.

Marquons les points d'intersection des lignes.

Comme le montre la figure, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = 0 se coupent au point (0 ; 0). Cela se produit parce que x = 0 est la seule racine réelle de l'équation x 3 = 0.

x = 2 est la seule racine de l'équation - log 2 x + 1 = 0, donc les graphiques des fonctions y = - log 2 x + 1 et y = 0 se coupent au point (2 ; 0).

x = 1 est la seule racine de l'équation x 3 = - log 2 x + 1 . À cet égard, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = - log 2 x + 1 se coupent au point (1 ; 1). La dernière affirmation n'est peut-être pas évidente, mais l'équation x 3 = - log 2 x + 1 ne peut pas avoir plus d'une racine, puisque la fonction y = x 3 est strictement croissante et la fonction y = - log 2 x + 1 est strictement décroissante.

L'autre solution implique plusieurs options.

Option 1

On peut imaginer la figure G comme la somme de deux trapèzes curvilignes situés au dessus de l'axe des x, dont le premier est situé en dessous de la ligne médiane sur le segment x ∈ 0 ; 1, et le second est en dessous de la ligne rouge sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela signifie que l'aire sera égale à S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Option n°2

La figure G peut être représentée comme la différence de deux chiffres dont le premier est situé au-dessus de l'axe des x et en dessous de la ligne bleue sur le segment x ∈ 0 ; 2, et la seconde entre les lignes rouge et bleue sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela nous permet de trouver la zone comme suit :

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dans ce cas, pour trouver l'aire vous devrez utiliser une formule de la forme S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. En fait, les lignes qui délimitent la figure peuvent être représentées comme des fonctions de l'argument y.

Résolvons les équations y = x 3 et - log 2 x + 1 par rapport à x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

On obtient la surface requise :

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Réponse : S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemple 5

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les lignes y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solution

Avec une ligne rouge on trace la droite définie par la fonction y = x. On trace la droite y = - 1 2 x + 4 en bleu, et la droite y = 2 3 x - 3 en noir.

Marquons les points d'intersection.

Trouvons les points d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = - 1 2 x + 4 :

x = - 1 2 x + 4 O DZ : x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Vérifier : x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 non La solution de l'équation x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 est la solution de l'équation ⇒ (4; 2) point d'intersection i y = x et y = - 1 2 x + 4

Trouvons le point d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = 2 3 x - 3 :

x = 2 3 x - 3 O DZ : x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Vérifier : x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 est la solution de l'équation ⇒ (9 ; 3) point a s y = x et y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Il n'y a pas de solution à l'équation

Trouvons le point d'intersection des droites y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3 :

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) point d'intersection y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3

Méthode n°1

Imaginons l'aire de la figure souhaitée comme la somme des aires des figures individuelles.

Alors l’aire de la figure est :

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Méthode n°2

L'aire de la figure originale peut être représentée comme la somme de deux autres figures.

Ensuite, nous résolvons l'équation de la droite par rapport à x, et seulement après cela, nous appliquons la formule pour calculer l'aire de la figure.

y = x ⇒ x = y 2 ligne rouge y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ligne noire y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

La zone est donc :

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 ans + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 ans 2 - 7 4 ans 1 2 + - y 3 3 + 3 ans 2 4 + 9 2 ans 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Comme vous pouvez le constater, les valeurs sont les mêmes.

Réponse : S (G) = 11 3

Résultats

Pour trouver l'aire d'une figure limitée par des lignes données, nous devons construire des lignes sur un plan, trouver leurs points d'intersection et appliquer la formule pour trouver l'aire. Dans cette section, nous avons examiné les variantes de tâches les plus courantes.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Considérons un trapèze courbe délimité par l'axe Ox, la courbe y=f(x) et deux droites : x=a et x=b (Fig. 85). Prenons une valeur arbitraire de x (mais pas a ni b). Donnons-lui un incrément h = dx et considérons une bande délimitée par les droites AB et CD, l'axe Ox et l'arc BD appartenant à la courbe considérée. Nous appellerons cette bande une bande élémentaire. L'aire d'une bande élémentaire diffère de l'aire du rectangle ACQB par le triangle curviligne BQD, et l'aire de ce dernier est inférieure à l'aire du rectangle BQDM de côtés BQ = =h= dx) QD=Ay et aire égale à hAy = Ay dx. À mesure que le côté h diminue, le côté Du diminue également et simultanément avec h tend vers zéro. Par conséquent, l’aire du BQDM est infinitésimale du second ordre. L'aire d'une bande élémentaire est l'incrément de l'aire, et l'aire du rectangle ACQB, égale à AB-AC ==/(x) dx> est la différentielle de l'aire. Par conséquent, on retrouve l'aire elle-même en intégrant son différentiel. Dans la figure considérée, la variable indépendante l : passe de a à b, donc la surface requise 5 sera égale à 5= \f(x) dx. (I) Exemple 1. Calculons l'aire délimitée par la parabole y - 1 -x*, les droites X =--Fj-, x = 1 et l'axe O* (Fig. 86). à la Fig. 87. Fig. 86. 1 Ici f(x) = 1 - l?, les limites d'intégration sont a = - et £ = 1, donc J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemple 2. Calculons l'aire limitée par la sinusoïde y = sinXy, l'axe Ox et la droite (Fig. 87). En appliquant la formule (I), on obtient A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Exemple 3. Calculer l'aire limitée par l'arc de la sinusoïde ^у = sin jc, ci-joint entre deux points d'intersection adjacents avec l'axe Ox (par exemple, entre l'origine et le point d'abscisse i). Notez que d’après des considérations géométriques, il est clair que cette aire sera le double de l’aire de​​l’exemple précédent. Cependant, faisons les calculs : I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o En effet, notre hypothèse s'est avérée correcte. Exemple 4. Calculez l'aire délimitée par la sinusoïde et l'axe Ox à une période (Fig. 88). Les calculs préliminaires suggèrent que la surface sera quatre fois plus grande que dans l'exemple 2. Cependant, après avoir effectué les calculs, nous obtenons « i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ce résultat nécessite des précisions. Pour clarifier l'essence du problème, nous calculons également l'aire limitée par la même sinusoïde y = sin l : et l'axe Ox compris entre l et 2i. En appliquant la formule (I), on obtient 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Ainsi, on voit que cette zone s’est avérée négative. En la comparant avec l'aire calculée dans l'exercice 3, on constate que leurs valeurs absolues sont les mêmes, mais les signes sont différents. Si l'on applique la propriété V (voir chapitre XI, § 4), on obtient 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ce qui s'est passé dans cet exemple n'est pas un accident. Toujours la zone située en dessous de l'axe Ox, à condition que la variable indépendante change de gauche à droite, est obtenue lors du calcul à l'aide d'intégrales. Dans ce cours, nous considérerons toujours les zones sans signalisation. Par conséquent, la réponse dans l’exemple qui vient d’être discuté sera : la surface requise est 2 + |-2| = 4. Exemple 5. Calculons l'aire du BAB montré sur la Fig. 89. Cette zone est limitée par l'axe Ox, la parabole y = - xr et la droite y - = -x+\. Aire d'un trapèze curviligne L'aire requise OAB se compose de deux parties : OAM et MAV. Puisque le point A est le point d'intersection d'une parabole et d'une droite, on trouvera ses coordonnées en résolvant le système d'équations 3 2 Y = mx. (il suffit de trouver l'abscisse du point A). En résolvant le système, nous trouvons l ; = ~. Par conséquent, la superficie doit être calculée en parties, premier carré. OAM puis pl. MAV : .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = [remplacement:

] =

Cela signifie que l'intégrale impropre converge et que sa valeur est égale à .

Retour avant

Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si ce travail vous intéresse, veuillez télécharger la version complète.

Mots clés: trapèze intégral et curviligne, zone de figures délimitée par des lys

Équipement: tableau de repérage, ordinateur, projecteur multimédia

Type de cours: cours-conférence

Objectifs de la leçon:

• éducatif: créer une culture du travail mental, créer une situation de réussite pour chaque élève et créer une motivation positive pour l'apprentissage ; développer la capacité de parler et d’écouter les autres.
• développement: formation de la pensée indépendante de l'étudiant dans l'application des connaissances dans diverses situations, la capacité d'analyser et de tirer des conclusions, le développement de la logique, le développement de la capacité à poser correctement des questions et à y trouver des réponses. Améliorer la formation des compétences informatiques et informatiques, développer la réflexion des étudiants au cours de l'exécution des tâches proposées, développer une culture algorithmique.
• éducatif: former des concepts sur un trapèze curviligne, sur une intégrale, maîtriser les compétences de calcul des aires de figures planes

Méthode d'enseignement: explicatif et illustratif.

Pendant les cours

Dans les cours précédents, nous avons appris à calculer les aires de figures dont les limites sont des lignes brisées. En mathématiques, il existe des méthodes qui permettent de calculer les aires de figures délimitées par des courbes. De telles figures sont appelées trapèzes curvilignes et leur aire est calculée à l'aide de primitives.

Trapèze curviligne ( diapositive 1)

Un trapèze courbe est une figure délimitée par le graphique d'une fonction, ( sh.m.), droit x = un Et x = b et l'axe des x

Différents types de trapèzes courbes ( diapositive 2)

On considère différents types de trapèzes curvilignes et on remarque : l'une des droites est dégénérée en un point, le rôle de fonction limite est joué par la droite

Aire d'un trapèze courbe (diapositive 3)

Corriger l'extrémité gauche de l'intervalle UN, et le bon X nous allons changer, c'est-à-dire que nous déplaçons la paroi droite du trapèze curviligne et obtenons une figure changeante. L'aire d'un trapèze curviligne variable délimité par le graphe de la fonction est une primitive F pour la fonction F

Et sur le segment [ un; b] aire d'un trapèze curviligne formé par la fonction F, est égal à l'incrément de la primitive de cette fonction :

Exercice 1 :

Trouver l'aire d'un trapèze curviligne délimité par le graphique de la fonction : f(x) = x2 et droit y = 0, x = 1, x = 2.

Solution: ( selon l'algorithme diapositive 3)

Traçons un graphique de la fonction et des lignes

Trouvons l'une des primitives de la fonction f(x) = x2 :

Autotest sur diapositive

Intégral

Considérons un trapèze curviligne défini par la fonction F sur le segment [ un; b]. Divisons ce segment en plusieurs parties. L'aire de l'ensemble du trapèze sera divisée en la somme des aires des trapèzes courbes plus petits. ( diapositive 5). Chacun de ces trapèzes peut être approximativement considéré comme un rectangle. La somme des aires de ces rectangles donne une idée approximative de toute l'aire du trapèze courbe. Plus nous divisons le segment [ un; b], plus nous calculons la surface avec précision.

Écrivons ces arguments sous forme de formules.

Divisez le segment [ un; b] en n parties par points x 0 =a, x1,...,xn = b. Longueur k-ème désigner par xk = xk – xk-1. Faisons une somme

Géométriquement, cette somme représente l'aire de la figure ombrée sur la figure ( sh.m.)

Les sommes de la forme sont appelées sommes intégrales pour la fonction F. (chut)

Les sommes intégrales donnent une valeur approximative de la superficie. La valeur exacte est obtenue en passant à la limite. Imaginons que nous affinions la partition du segment [ un; b] de sorte que les longueurs de tous les petits segments tendent vers zéro. Ensuite, l'aire de la figure composée se rapprochera de l'aire du trapèze courbe. On peut dire que l'aire d'un trapèze courbe est égale à la limite des sommes intégrales, Sc.t. (chut) ou intégrale, c'est-à-dire

Définition:

Intégrale d'une fonction f(x) depuis un avant b appelée la limite des sommes intégrales

= (chut)

Formule de Newton-Leibniz.

On rappelle que la limite des sommes intégrales est égale à l'aire d'un trapèze curviligne, ce qui signifie qu'on peut écrire :

Sc.t. = (chut)

D'autre part, l'aire d'un trapèze courbe est calculée à l'aide de la formule

S k.t. (chut)

En comparant ces formules, on obtient :

= (chut)

Cette égalité s'appelle la formule de Newton-Leibniz.

Pour faciliter le calcul, la formule s'écrit :

= = (chut)

Tâches : (sh.m.)

1. Calculez l'intégrale à l'aide de la formule de Newton-Leibniz : ( vérifiez la diapositive 5)

2. Composez les intégrales selon le dessin ( vérifiez la diapositive 6)

3. Trouvez l'aire de la figure délimitée par les droites : y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositive 7)

Trouver les aires des figures planes ( diapositive 8)

Comment trouver l'aire de figures qui ne sont pas des trapèzes courbes ?

Soit deux fonctions dont vous voyez les graphiques sur la diapositive . (chut) Trouver l'aire de la figure ombrée . (chut). La figure en question est-elle un trapèze courbe ? Comment pouvez-vous trouver son aire en utilisant la propriété d’additivité de l’aire ? Considérons deux trapèzes courbes et soustrayons l'aire de l'autre de l'aire de l'un d'eux ( ch.m.)

Créons un algorithme pour trouver la zone à l'aide d'une animation sur une diapositive :

1. Fonctions graphiques
2. Projeter les points d'intersection des graphiques sur l'axe des x
3. Ombrez le chiffre obtenu lorsque les graphiques se croisent
4. Trouvez des trapèzes curvilignes dont l'intersection ou l'union est la figure donnée.
5. Calculer l'aire de chacun d'eux
6. Trouver la différence ou la somme des aires

Tâche orale : Comment obtenir l'aire d'une figure ombrée (dire à l'aide de l'animation, diapositives 8 et 9)

Devoirs: Parcourez les notes, n° 353 (a), n° 364 (a).

Bibliographie

1. L'algèbre et les débuts de l'analyse : un manuel pour les classes 9-11 de l'école du soir (poste) / éd. G.D. Glaser. - M : Lumières, 1983.
2. Bashmakov M.I. L'algèbre et les débuts de l'analyse : un manuel pour les 10e et 11e années du secondaire / Bashmakov M.I. - M : Lumières, 1991.
3. Bashmakov M.I. Mathématiques : manuel pour les établissements débutants. et mercredi prof. éducation / M.I. Bachmakov. - M : Académie, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algèbre et débuts de l'analyse : manuel pour les classes 10-11. établissements d'enseignement / A.N. Kolmogorov. - M : Éducation, 2010.
5. Ostrovski S.L. Comment faire une présentation pour une leçon ?/ S.L. Ostrovski. – M. : Premier septembre 2010.