Fonction de distribution de probabilité d'une variable aléatoire et ses propriétés.

Considérez la fonction F(x), défini sur toute la droite numérique comme suit : pour chaque X signification F(x) est égal à la probabilité qu'une variable aléatoire discrète prenne une valeur inférieure à X, c'est à dire.

(18)

Cette fonction est appelée fonction de distribution de probabilité, ou brièvement, fonction de distribution.

Exemple 1. Trouvez la fonction de distribution de la variable aléatoire donnée dans l'exemple 1, point 1.

Solution: Il est clair que si, alors F(x)=0, puisqu'il ne prend pas de valeurs inférieures à un. Si donc ; si donc . Mais l'événement<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Donc pour nous avons F(x)=1/3. Les valeurs de la fonction sont dans les intervalles et sont calculées de la même manière. Enfin, si x>6 Que F(x)=1, puisque dans ce cas toute valeur possible (1, 2, 3, 4, 5, 6) moins que X. Graphique d'une fonction F(x) montré sur la fig. 4.

Exemple 2. Trouvez la fonction de distribution de la variable aléatoire donnée dans l'exemple 2, paragraphe 1.

Solution: Il est évident que

Calendrier F(x) montré sur la fig. 5.

Connaître la fonction de distribution F(x), il est facile de trouver la probabilité qu'une variable aléatoire satisfasse les inégalités.
Considérons le cas où une variable aléatoire prendrait une valeur inférieure à . Cet événement se décompose en la somme de deux événements incompatibles : 1) la variable aléatoire prend des valeurs inférieures à , c'est-à-dire ; 2) la variable aléatoire prend des valeurs qui satisfont aux inégalités. En utilisant l'axiome d'addition, on obtient

Mais par définition de la fonction de distribution F(x)[cm. formule (18)], nous avons , ; donc,

(19)

Ainsi, la probabilité qu'une variable aléatoire discrète tombe dans un intervalle est égale à l'incrément de la fonction de distribution sur cet intervalle.

Considérons les propriétés de base de la fonction de distribution.
1°. La fonction de distribution est non décroissante.
En fait, laissez< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Par conséquent, de la formule (19), il résulte que , c'est à dire. .

2°. Les valeurs de la fonction de distribution satisfont les inégalités .
Cette propriété découle du fait que F(x) défini comme probabilité [voir formule (18)]. Il est clair que * et .

3°. La probabilité qu'une variable aléatoire discrète prenne l'une des valeurs possibles xi est égale au saut de la fonction de distribution au point xi.
En effet, laissez xi est la valeur prise par la variable aléatoire discrète, et . En supposant , , dans la formule (19), nous obtenons

Ceux. signification p(xi)égal au saut de fonction** xi. Cette propriété est clairement illustrée sur la Fig. 4 et fig. 5.

* Ci-après sont introduites les notations suivantes : , .
** On peut montrer que F(xi)=F(xi-0), c'est à dire. quelle est la fonction F(x) reste continu en un point xi.

3. Variables aléatoires continues.

En plus des variables aléatoires discrètes, dont les valeurs possibles forment une séquence finie ou infinie de nombres qui ne remplissent complètement aucun intervalle, il existe souvent des variables aléatoires dont les valeurs possibles forment un certain intervalle. Un exemple d'une telle variable aléatoire est l'écart par rapport à la valeur nominale d'une certaine taille d'une pièce avec un processus technologique correctement ajusté. Ce type de variables aléatoires ne peut pas être spécifié à l'aide de la loi de distribution de probabilité p(x). Cependant, ils peuvent être spécifiés à l'aide de la fonction de distribution de probabilité F(x). Cette fonction est définie exactement de la même manière que dans le cas d'une variable aléatoire discrète :

Ainsi, ici aussi la fonction F(x) défini sur toute la droite numérique, et sa valeur au point X est égale à la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur inférieure à X.
La formule (19) et les propriétés 1° et 2° sont valables pour la fonction de distribution de toute variable aléatoire. La preuve s'effectue de la même manière que dans le cas d'une quantité discrète.
La variable aléatoire s'appelle continu, si pour cela il existe une fonction continue par morceaux* non négative qui satisfait pour toutes les valeurs Xégalité

Sur la base de la signification géométrique de l'intégrale en tant qu'aire, nous pouvons dire que la probabilité de réaliser les inégalités est égale à l'aire d'un trapèze curviligne avec une base , délimité en haut par la courbe (Fig. 6).

Depuis , et basé sur la formule (22)

Notez que pour une variable aléatoire continue, la fonction de distribution F(x) continu à tout moment X, où la fonction est continue. Cela découle du fait que F(x) est différentiable en ces points.
Basé sur la formule (23), en supposant x1 =x, , nous avons

En raison de la continuité de la fonction F(x) nous comprenons cela

Ainsi

Ainsi, la probabilité qu'une variable aléatoire continue puisse prendre n'importe quelle valeur unique x est nulle.
Il s'ensuit que les événements consistant en la réalisation de chacune des inégalités

Ils ont la même probabilité, c'est-à-dire

En fait, par exemple,

Parce que

Commentaire. Comme nous le savons, si un événement est impossible, alors la probabilité qu’il se produise est nulle. Avec la définition classique de la probabilité, lorsque le nombre de résultats du test est fini, la proposition inverse est également vraie : si la probabilité d’un événement est nulle, alors l’événement est impossible, puisque dans ce cas aucun des résultats du test ne le favorise. Dans le cas d'une variable aléatoire continue, le nombre de ses valeurs possibles est infini. La probabilité que cette quantité prenne une valeur spécifique x1 comme nous l'avons vu, est égal à zéro. Il ne s'ensuit cependant pas que cet événement soit impossible, puisqu'à la suite du test la variable aléatoire peut notamment prendre la valeur x1. Par conséquent, dans le cas d'une variable aléatoire continue, il est logique de parler de la probabilité que la variable aléatoire tombe dans l'intervalle, et non de la probabilité qu'elle prenne une valeur spécifique.
Ainsi, par exemple, lors de la fabrication d'un rouleau, nous ne nous intéressons pas à la probabilité que son diamètre soit égal à la valeur nominale. Ce qui nous importe, c'est la probabilité que le diamètre du rouleau se situe dans la plage de tolérance.

Définition de la fonction de distribution

Soit $X$ une variable aléatoire, et $x$ la probabilité de distribution de cette variable aléatoire.

Définition 1

Une fonction de distribution est une fonction $F(x)$ satisfaisant la condition $F\left(x\right)=P(X

Autrement, la fonction de distribution est parfois appelée fonction de distribution cumulative ou loi intégrale de distribution.

En général, le graphique de la fonction de distribution est un graphique d'une fonction non décroissante avec une plage de valeurs appartenant au segment $\left$ (et 0 et 1 sont nécessairement inclus dans la plage de valeurs). Dans ce cas, la fonction peut avoir ou non des sauts de fonction (Fig. 1)

Figure 1. Exemple de graphique de fonction de distribution

Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète

Soit la variable aléatoire $X$ discrète. Et qu'on lui donne une série de sa distribution. Pour une telle valeur, la fonction de distribution de probabilité peut s’écrire sous la forme suivante :

Fonction de distribution d'une variable aléatoire continue

Soit maintenant la variable aléatoire $X$ continue.

Le graphique de la fonction de distribution d'une telle variable aléatoire représente toujours une fonction continue non décroissante (Fig. 3).

Considérons maintenant le cas où la variable aléatoire $X$ est mixte.

Le graphique de la fonction de distribution d'une telle variable aléatoire est toujours une fonction non décroissante qui a une valeur minimale de 0 et une valeur maximale de 1, mais qui n'est pas une fonction continue sur tout le domaine de définition (c'est-à-dire qu'elle a des sauts à des points individuels) (Fig. 4).

Figure 4. Fonction de distribution de variables aléatoires mixtes

Exemples de problèmes pour trouver la fonction de distribution

Exemple 1

Un certain nombre de distributions de l'occurrence de l'événement $A$ dans trois expériences sont données.

Graphique 5.

Trouvez la fonction de distribution de probabilité et tracez-la.

Solution.

Puisque la variable aléatoire est discrète, on peut utiliser la formule $\F\left(x\right)=\sum\limits_(x_i

Pour $x>3$, $F\left(x\right)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$ ;

De là, nous obtenons la fonction de distribution de probabilité suivante :

Graphique 6.

Construisons son graphique :

Graphique 7.

Exemple 2

Une expérience est réalisée dans laquelle l'événement $A$ peut se produire ou non. La probabilité que cet événement se produise est de 0,6$. Trouvez et construisez la fonction de distribution d’une variable aléatoire.

Solution.

Puisque la probabilité que l'événement $A$ se produise est égale à $0,6$, alors la probabilité que cet événement ne se produise pas est égale à $1-0,6=0,4$.

Construisons d'abord une série de distribution pour cette variable aléatoire :

Figure 8.

Puisque la variable aléatoire est discrète, on retrouve la fonction de distribution par analogie avec le problème 1 :

Lorsque $x\le 0$, $F\left(x\right)=0$ ;

Pour $x>1$, $F\left(x\right)=0,4+0,6=1$ ;

On obtient ainsi la fonction de distribution suivante :

Graphique 9.

Construisons son graphique :

Graphique 10.

Définition d'une fonction de variables aléatoires. Fonction de l'argument aléatoire discret et ses caractéristiques numériques. Fonction d'argument aléatoire continu et ses caractéristiques numériques. Fonctions de deux arguments aléatoires. Détermination de la fonction de distribution de probabilité et de la densité pour une fonction de deux arguments aléatoires.

Loi de distribution de probabilité d'une fonction d'une variable aléatoire

Lors de la résolution de problèmes liés à l'évaluation de la précision de fonctionnement de divers systèmes automatiques, de la précision de production d'éléments individuels de systèmes, etc., il est souvent nécessaire de prendre en compte les fonctions d'une ou plusieurs variables aléatoires. De telles fonctions sont également des variables aléatoires. Par conséquent, lors de la résolution de problèmes, il est nécessaire de connaître les lois de distribution des variables aléatoires apparaissant dans le problème. Dans ce cas, la loi de distribution du système d'arguments aléatoires et la dépendance fonctionnelle sont généralement connues.

Se pose alors un problème que l’on peut formuler comme suit.

Étant donné un système de variables aléatoires (X_1,X_2,\ldots,X_n), dont la loi de distribution est connue. Une variable aléatoire Y est considérée en fonction de ces variables aléatoires :

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Il faut déterminer la loi de distribution de la variable aléatoire Y, connaissant la forme des fonctions (6.1) et la loi de distribution conjointe de ses arguments.

Considérons le problème de la loi de distribution d'une fonction d'un argument aléatoire

Y=\varphi(X).

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Alors Y=\varphi(X) est également une variable aléatoire discrète avec des valeurs possibles. Si toutes les valeurs y_1,y_2,\ldots,y_n sont différents, alors pour chaque k=1,2,\ldots,n les événements \(X=x_k\) et \(Y=y_k=\varphi(x_k)\) sont identiques. Ainsi,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

et la série de distribution requise a la forme

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(tableau)

Si parmi les chiffres y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) il y en a des identiques, alors chaque groupe de valeurs identiques y_k=\varphi(x_k) doit se voir attribuer une colonne dans le tableau et les probabilités correspondantes additionnées.

Pour les variables aléatoires continues, le problème se pose comme suit : connaissant la densité de distribution f(x) de la variable aléatoire X, trouver la densité de distribution g(y) de la variable aléatoire Y=\varphi(X). Pour résoudre le problème, nous considérons deux cas.

Supposons d'abord que la fonction y=\varphi(x) est monotone croissante, continue et dérivable sur l'intervalle (a;b) sur lequel se situent toutes les valeurs possibles de X. Alors la fonction inverse x=\psi(y) existe, tout en étant également croissante de façon monotone, continue et différentiable. Dans ce cas on obtient

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Exemple 1. Variable aléatoire X distribuée avec densité

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Trouver la loi de distribution de la variable aléatoire Y associée à la valeur X par la dépendance Y=X^3.

Solution. Puisque la fonction y=x^3 est monotone sur l'intervalle (-\infty;+\infty), on peut appliquer la formule (6.2). La fonction inverse par rapport à la fonction \varphi(x)=x^3 est \psi(y)=\sqrt(y) , sa dérivée \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Ainsi,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Considérons le cas d'une fonction non monotone. Soit la fonction y=\varphi(x) telle que la fonction inverse x=\psi(y) soit ambiguë, c'est-à-dire qu'une valeur de y correspond à plusieurs valeurs de l'argument x, que l'on note x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), où n est le nombre de sections dans lesquelles la fonction y=\varphi(x) change de manière monotone. Alors

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Exemple 2. Dans les conditions de l'exemple 1, trouvez la distribution de la variable aléatoire Y=X^2.

Solution. La fonction inverse x=\psi(y) est ambiguë. Une valeur de l'argument y correspond à deux valeurs de la fonction x

En appliquant la formule (6.3), on obtient :

\begin(rassemblé)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\right)^2/2)\!\left|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\right)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\end(rassemblé)

Loi de distribution d'une fonction de deux variables aléatoires

Soit la variable aléatoire Y fonction de deux variables aléatoires formant le système (X_1;X_2), c'est-à-dire Y=\varphi(X_1;X_2). La tâche consiste à trouver la distribution de la variable aléatoire Y en utilisant la distribution connue du système (X_1;X_2).

Soit f(x_1;x_2) la densité de distribution du système de variables aléatoires (X_1;X_2) . Introduisons en considération une nouvelle quantité Y_1 égale à X_1 et considérons le système d'équations

Nous supposerons que ce système est résoluble de manière unique par rapport à x_1,x_2

et satisfait aux conditions de différentiabilité.

Densité de distribution de la variable aléatoire Y

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

Notez que le raisonnement ne change pas si la nouvelle valeur introduite Y_1 est égale à X_2.

Espérance mathématique d'une fonction de variables aléatoires

En pratique, il existe souvent des cas où il n'est pas particulièrement nécessaire de déterminer complètement la loi de distribution d'une fonction de variables aléatoires, mais il suffit simplement d'indiquer ses caractéristiques numériques. Ainsi se pose le problème de déterminer les caractéristiques numériques des fonctions de variables aléatoires en plus des lois de distribution de ces fonctions.

Soit la variable aléatoire Y fonction de l'argument aléatoire X avec une loi de distribution donnée

Y=\varphi(X).

Il faut, sans trouver la loi de distribution de la quantité Y, déterminer son espérance mathématique

M(Y)=M[\varphi(X)].

Soit X une variable aléatoire discrète ayant une série de distribution

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Faisons un tableau des valeurs de la valeur Y et des probabilités de ces valeurs :

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Ce tableau n'est pas une série de distribution de la variable aléatoire Y, puisque dans le cas général certaines valeurs peuvent coïncider les unes avec les autres et les valeurs de la rangée supérieure ne sont pas nécessairement par ordre croissant. Cependant, l'espérance mathématique de la variable aléatoire Y peut être déterminée par la formule

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

puisque la valeur déterminée par la formule (6.4) ne peut pas changer du fait que sous le signe somme certains termes seront combinés à l'avance et l'ordre des termes sera modifié.

La formule (6.4) ne contient pas explicitement la loi de distribution de la fonction \varphi(X) elle-même, mais contient uniquement la loi de distribution de l'argument X. Ainsi, pour déterminer l’espérance mathématique de la fonction Y=\varphi(X), il n’est pas du tout nécessaire de connaître la loi de répartition de la fonction \varphi(X), mais plutôt de connaître la loi de répartition de l’argument X.

Pour une variable aléatoire continue, l'espérance mathématique est calculée à l'aide de la formule

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

où f(x) est la densité de distribution de probabilité de la variable aléatoire X.

Considérons des cas où, pour trouver l'espérance mathématique d'une fonction d'arguments aléatoires, la connaissance même des lois de distribution des arguments n'est pas requise, mais il suffit de connaître seulement certaines de leurs caractéristiques numériques. Formulons ces cas sous forme de théorèmes.

Théorème 6.1. L'espérance mathématique de la somme de deux variables aléatoires dépendantes et indépendantes est égale à la somme des espérances mathématiques de ces variables :

M(X+Oui)=M(X)+M(Oui).

Théorème 6.2. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires est égale au produit de leurs espérances mathématiques plus le moment de corrélation :

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Corollaire 6.1. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires non corrélées est égale au produit de leurs espérances mathématiques.

Corollaire 6.2. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques.

Variance d'une fonction de variables aléatoires

Par définition de la dispersion, nous avons D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Ainsi,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Où .

Nous présentons les formules de calcul uniquement pour le cas d'arguments aléatoires continus. Pour une fonction d'un argument aléatoire Y=\varphi(X), la variance est exprimée par la formule

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

Où M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- espérance mathématique de la fonction \varphi(X) ; f(x) - densité de distribution de la valeur X.

La formule (6.5) peut être remplacée par la suivante :

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Considérons théorèmes de dispersion, qui jouent un rôle important dans la théorie des probabilités et ses applications.

Théorème 6.3. La variance de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des variances de ces grandeurs plus la somme doublée des moments de corrélation de chacune des sommes avec toutes les suivantes :

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i

Corollaire 6.3. La variance de la somme des variables aléatoires non corrélées est égale à la somme des variances des termes :

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

c'est-à-dire que le moment de corrélation de deux fonctions de variables aléatoires est égal à l'espérance mathématique du produit de ces fonctions moins le produit des espérances mathématiques.

Regardons l'essentiel propriétés du moment de corrélation et du coefficient de corrélation.

Propriété 1. L'ajout de constantes aux variables aléatoires ne modifie pas le moment de corrélation et le coefficient de corrélation.

Propriété 2. Pour toutes variables aléatoires X et Y, la valeur absolue du moment de corrélation ne dépasse pas la moyenne géométrique des variances de ces valeurs :

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

Fonction de distribution de probabilité et ses propriétés.

La fonction de distribution de probabilité F(x) d'une variable aléatoire X au point x est la probabilité qu'à la suite d'une expérience, la variable aléatoire prenne une valeur inférieure à x, c'est-à-dire F(x)=P(X< х}.
Considérons les propriétés de la fonction F(x).

1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. En effet, par définition, F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, puisque par définition, F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur dans l'intervalle [Α Β] est égale à l'incrément de la fonction de distribution de probabilité sur cet intervalle. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x 2)≥ F(x 1), si x 2, > x 1, c'est-à-dire La fonction de distribution de probabilité est une fonction non décroissante.

5. La fonction de distribution de probabilité reste continue. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) pour x→ x o

Les différences entre les fonctions de distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes et continues peuvent être bien illustrées par des graphiques. Supposons, par exemple, qu'une variable aléatoire discrète ait n valeurs possibles dont les probabilités sont égales à P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Si x ≤ x 1, alors F(X)=0, puisqu'il n'y a pas de valeurs possibles de la variable aléatoire à gauche de x. Si x1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .

Cela signifie F(x)=P(X=x 1 )=p 1 .At x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

Considérons la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle , Δx>0 : P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.

Si F(x) a une discontinuité au point x, alors la probabilité P(X=x) sera égale au saut de fonction en ce point. Ainsi, la probabilité qu’une valeur possible se produise pour une valeur continue est nulle. L'expression P(X=x)=0 doit être comprise comme la limite de la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un voisinage infinitésimal du point x pour P(Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Pour les variables discrètes, ces probabilités ne sont pas les mêmes dans le cas où les limites de l'intervalle Α et (ou) Β coïncident avec les valeurs possibles de la variable aléatoire. Pour une variable aléatoire discrète, il faut prendre strictement en compte le type d'inégalité dans la formule P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

La fonction de distribution est la forme la plus générale de spécification de la loi de distribution. Il est utilisé pour spécifier des variables aléatoires discrètes et continues. Il est généralement désigné . Fonction de répartition détermine la probabilité qu'une variable aléatoire prenne des valeurs inférieures à un nombre réel fixe, c'est-à-dire . La fonction de distribution caractérise pleinement une variable aléatoire d'un point de vue probabiliste. On l'appelle également fonction de distribution cumulative.

L'interprétation géométrique de la fonction de distribution est très simple. Si une variable aléatoire est considérée comme un point aléatoire sur un axe (Fig. 6), qui, à la suite d'un test, peut prendre l'une ou l'autre position sur cet axe, alors la fonction de distribution est la probabilité qu'un point aléatoire en conséquence du test tombera à gauche du point.

Pour une variable aléatoire discrète, qui peut prendre des valeurs,, ... ,, la fonction de distribution a la forme

,

où l'inégalité sous le signe somme signifie que la sommation s'étend à toutes les valeurs de plus petite ampleur. De cette formule, il s'ensuit que la fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète est discontinue et augmente par sauts lors du passage par des points,,...,, et l'ampleur du saut est égale à la probabilité de la valeur correspondante (Fig. 7 ). La somme de tous les sauts dans la fonction de distribution est égale à un.

Une variable aléatoire continue a une fonction de distribution continue, le graphique de cette fonction a la forme d'une courbe lisse (Fig. 8).

Riz. 7. Fig. 8.

Considérons les propriétés générales des fonctions de distribution.

Propriété 1. La fonction de distribution est une fonction non négative comprise entre zéro et un :

La validité de cette propriété découle du fait que la fonction de distribution est définie comme la probabilité d'un événement aléatoire consistant dans le fait que.

Propriété 2. La probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle est égale à la différence entre les valeurs de la fonction de distribution aux extrémités de cet intervalle, c'est-à-dire

Il s’ensuit que la probabilité d’une valeur individuelle d’une variable aléatoire continue est nulle.

Propriété 3. La fonction de distribution d'une variable aléatoire est une fonction non décroissante, c'est-à-dire lorsque .

Propriété 4. À moins l'infini, la fonction de distribution est nulle et à plus l'infini, la fonction de distribution est un, c'est-à-dire.

Exemple 1. La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est donnée par l'expression

Trouvez le coefficient et tracez un graphique. Déterminez la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur sur l'intervalle à la suite de l'expérience.

Solution. Puisque la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est continue, on obtient : . D'ici. Le graphique des fonctions est présenté sur la Fig. 9.

D’après la deuxième propriété de la fonction de distribution, nous avons :

.

4. Densité de distribution de probabilité et ses propriétés.

La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est sa caractéristique probabiliste. Mais il présente l'inconvénient qu'il est difficile d'en juger la nature de la distribution d'une variable aléatoire dans un petit voisinage de l'un ou l'autre point de l'axe numérique. Une idée plus claire de la nature de la distribution d'une variable aléatoire continue est donnée par une fonction appelée densité de distribution de probabilité ou fonction de distribution différentielle d'une variable aléatoire.

Densité de distributionégal à la dérivée de la fonction de distribution, c'est-à-dire

.

La signification de la densité de distribution est qu'elle indique la fréquence à laquelle une variable aléatoire apparaît dans un certain voisinage d'un point lorsque les expériences sont répétées. Une courbe représentant la densité de distribution d'une variable aléatoire est appelée courbe de distribution.

Considérons les propriétés de la densité de distribution.

Propriété 1. La densité de distribution est non négative, c'est-à-dire

Propriété 2. La fonction de distribution d'une variable aléatoire est égale à l'intégrale de la densité dans l'intervalle de à, c'est-à-dire