Exemples de fractions en ligne. Fractions propres et impropres

Les mathématiques sont l’une des sciences les plus importantes, dont les applications peuvent être constatées dans des disciplines telles que la chimie, la physique et même la biologie. L'étude de cette science permet de développer certaines qualités mentales et d'améliorer sa capacité de concentration. L'un des sujets qui méritent une attention particulière dans le cours de mathématiques est l'addition et la soustraction de fractions. De nombreux étudiants ont du mal à étudier. Peut-être que notre article vous aidera à mieux comprendre ce sujet.

Comment soustraire des fractions dont les dénominateurs sont les mêmes

Les fractions sont les mêmes nombres avec lesquels vous pouvez effectuer diverses opérations. Leur différence avec les nombres entiers réside dans la présence d'un dénominateur. C'est pourquoi, lorsque vous effectuez des opérations avec des fractions, vous devez étudier certaines de leurs caractéristiques et règles. Le cas le plus simple est la soustraction de fractions ordinaires dont les dénominateurs sont représentés par le même nombre. Réaliser cette action ne sera pas difficile si vous connaissez une règle simple :

• Afin de soustraire une seconde à une fraction, il est nécessaire de soustraire le numérateur de la fraction soustraite du numérateur de la fraction à réduire. Nous écrivons ce nombre au numérateur de la différence et laissons le même dénominateur : k/m - b/m = (k-b)/m.

Exemples de soustraction de fractions dont les dénominateurs sont les mêmes

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Du numérateur de la fraction « 7 » on soustrait le numérateur de la fraction « 3 » à soustraire, on obtient « 4 ». Nous écrivons ce nombre au numérateur de la réponse et au dénominateur nous mettons le même nombre qui était dans les dénominateurs des première et deuxième fractions - "19".

L'image ci-dessous montre plusieurs autres exemples similaires.

Considérons un exemple plus complexe où des fractions avec des dénominateurs similaires sont soustraites :

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Du numérateur de la fraction "29" étant réduit en soustrayant tour à tour les numérateurs de toutes les fractions suivantes - "3", "8", "2", "7". En conséquence, nous obtenons le résultat "9", que nous notons au numérateur de la réponse, et au dénominateur nous notons le nombre qui est au dénominateur de toutes ces fractions - "47".

Additionner des fractions qui ont le même dénominateur

L'addition et la soustraction de fractions ordinaires suivent le même principe.

• Afin d'additionner des fractions dont les dénominateurs sont les mêmes, vous devez additionner les numérateurs. Le nombre résultant est le numérateur de la somme, et le dénominateur restera le même : k/m + b/m = (k + b)/m.

Voyons à quoi cela ressemble à l'aide d'un exemple :

1/4 + 2/4 = 3/4.

Au numérateur du premier terme de la fraction - "1" - ajoutez le numérateur du deuxième terme de la fraction - "2". Le résultat - "3" - est écrit au numérateur de la somme, et le dénominateur reste le même que celui présent dans les fractions - "4".

Fractions avec différents dénominateurs et leur soustraction

Nous avons déjà considéré l'opération avec des fractions ayant le même dénominateur. Comme nous le voyons, sachant règles simples, résoudre de tels exemples est assez simple. Mais que se passe-t-il si vous devez effectuer une opération avec des fractions qui ont des dénominateurs différents ? De nombreux élèves du secondaire sont déconcertés par de tels exemples. Mais même ici, si vous connaissez le principe de la solution, les exemples ne vous seront plus difficiles. Il existe également ici une règle sans laquelle la résolution de telles fractions est tout simplement impossible.

Pour soustraire des fractions de dénominateurs différents, il faut les réduire au même plus petit dénominateur.



Nous parlerons plus en détail de la façon de procéder.

Propriété d'une fraction

Afin de ramener plusieurs fractions au même dénominateur, il faut utiliser la propriété principale d'une fraction dans la solution : après avoir divisé ou multiplié le numérateur et le dénominateur par même nombre vous obtenez une fraction égale à celle donnée.

Ainsi, par exemple, la fraction 2/3 peut avoir des dénominateurs tels que « 6 », « 9 », « 12 », etc., c'est-à-dire qu'elle peut avoir la forme de n'importe quel nombre multiple de « 3 ». Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par « 2 », nous obtenons la fraction 4/6. Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par « 3 », nous obtenons 6/9, et si nous effectuons une opération similaire avec le nombre « 4 », nous obtenons 8/12. Une égalité peut s'écrire comme suit :

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Comment convertir plusieurs fractions au même dénominateur

Voyons comment réduire plusieurs fractions au même dénominateur. Par exemple, prenons les fractions présentées dans l'image ci-dessous. Vous devez d’abord déterminer quel nombre peut devenir le dénominateur pour chacun d’eux. Pour faciliter les choses, factorisons les dénominateurs existants.

Le dénominateur de la fraction 1/2 et de la fraction 2/3 ne peut pas être factorisé. Le dénominateur 7/9 a deux facteurs 7/9 = 7/(3 x 3), le dénominateur de la fraction 5/6 = 5/(2 x 3). Nous devons maintenant déterminer quels facteurs seront les plus petits pour ces quatre fractions. Puisque la première fraction a le chiffre « 2 » au dénominateur, cela signifie qu'elle doit être présente dans tous les dénominateurs ; dans la fraction 7/9 il y a deux triplets, ce qui signifie que les deux doivent également être présents au dénominateur. Compte tenu de ce qui précède, nous déterminons que le dénominateur est composé de trois facteurs : 3, 2, 3 et est égal à 3 x 2 x 3 = 18.



Considérons la première fraction - 1/2. Il y a un « 2 » dans son dénominateur, mais il n'y a pas un seul chiffre « 3 », mais il devrait y en avoir deux. Pour ce faire, on multiplie le dénominateur par deux triplets, mais, selon la propriété d'une fraction, il faut multiplier le numérateur par deux triplets :
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Nous effectuons les mêmes opérations avec les fractions restantes.

• 2/3 - il manque un trois et un deux au dénominateur :
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ou 7/(3 x 3) - il manque un deux au dénominateur :
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ou 5/(2 x 3) - il manque un trois au dénominateur :
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Dans l'ensemble, cela ressemble à ceci :



Comment soustraire et additionner des fractions qui ont des dénominateurs différents

Comme mentionné ci-dessus, pour additionner ou soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, il faut les réduire au même dénominateur, puis utiliser les règles de soustraction de fractions ayant le même dénominateur, qui ont déjà été évoquées.

Regardons ceci à titre d'exemple : 4/18 - 3/15.

Trouver le multiple des nombres 18 et 15 :

• Le nombre 18 est composé de 3 x 2 x 3.
• Le nombre 15 est composé de 5 x 3.
• Le commun multiple sera les facteurs suivants : 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Une fois le dénominateur trouvé, il faut calculer le facteur qui sera différent pour chaque fraction, c'est-à-dire le nombre par lequel il faudra multiplier non seulement le dénominateur, mais aussi le numérateur. Pour ce faire, divisez le nombre que nous avons trouvé (le commun multiple) par le dénominateur de la fraction pour laquelle des facteurs supplémentaires doivent être déterminés.

• 90 divisé par 15. Le nombre résultant « 6 » sera un multiplicateur de 3/15.
• 90 divisé par 18. Le nombre résultant « 5 » sera un multiplicateur de 4/18.

La prochaine étape de notre solution consiste à réduire chaque fraction au dénominateur « 90 ».

Nous avons déjà parlé de la façon dont cela se fait. Voyons comment cela s'écrit dans un exemple :

(4x5)/(18x5) - (3x6)/(15x6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Si les fractions ont de petits nombres, vous pouvez alors déterminer le dénominateur commun, comme dans l'exemple présenté dans l'image ci-dessous.



Il en va de même pour ceux qui ont des dénominateurs différents.

Soustraction et avoir des parties entières

Nous avons déjà discuté en détail de la soustraction de fractions et de leur addition. Mais comment soustraire si la fraction a partie entière? Encore une fois, utilisons quelques règles :

• Convertissez toutes les fractions qui ont une partie entière en fractions impropres. Parlant en mots simples, retirez toute la pièce. Pour ce faire, multipliez le nombre de la partie entière par le dénominateur de la fraction et ajoutez le produit obtenu au numérateur. Le nombre qui sort après ces actions est le numérateur de la fraction impropre. Le dénominateur reste inchangé.
• Si les fractions ont des dénominateurs différents, elles doivent être réduites au même dénominateur.
• Effectuez une addition ou une soustraction avec les mêmes dénominateurs.
• Lorsque vous recevez une fraction impropre, sélectionnez la partie entière.



Il existe une autre manière d’ajouter et de soustraire des fractions avec des parties entières. Pour ce faire, les actions sont effectuées séparément avec des parties entières et les actions avec des fractions séparément, et les résultats sont enregistrés ensemble.



L'exemple donné est constitué de fractions qui ont le même dénominateur. Dans le cas où les dénominateurs sont différents, ils doivent être ramenés à la même valeur, puis effectuer les actions comme indiqué dans l'exemple.

Soustraire des fractions de nombres entiers

Un autre type d'opération avec des fractions est le cas où il faut soustraire une fraction. À première vue, un tel exemple semble difficile à résoudre. Cependant, tout est assez simple ici. Pour le résoudre, vous devez convertir l'entier en fraction, et avec le même dénominateur que celui de la fraction soustraite. Ensuite, nous effectuons une soustraction similaire à la soustraction avec des dénominateurs identiques. Dans un exemple, cela ressemble à ceci :

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

La soustraction de fractions (6e année) présentée dans cet article est la base pour résoudre plus exemples complexes, qui seront discutés dans les cours suivants. La connaissance de ce sujet est ensuite utilisée pour résoudre des fonctions, des dérivées, etc. Par conséquent, il est très important de comprendre et de comprendre les opérations avec les fractions évoquées ci-dessus.

Dans cet article, un professeur de mathématiques et de physique explique comment effectuer des opérations élémentaires avec des fractions ordinaires : addition et soustraction, multiplication et division. Apprenez à représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre et vice versa, ainsi qu'à réduire des fractions.

Additionner et soustraire des fractions communes

Rappelons que dénominateur la fraction est le nombre qui est par le bas, UN numérateur- le numéro qui se trouve au-dessus de de la ligne fractionnaire. Par exemple, dans une fraction, le nombre est le numérateur et le nombre est le dénominateur.

Dénominateur commun est le plus petit nombre possible divisible à la fois par le dénominateur de la première fraction et par le dénominateur de la deuxième fraction.

Exemple 1. Ajoutez deux fractions : .

Utilisons l'algorithme décrit ci-dessus :

1) Le plus petit nombre, qui est divisible à la fois par le dénominateur de la première fraction et par le dénominateur de la deuxième fraction, est égal à . Ce nombre sera le dénominateur commun. Nous devons maintenant réduire les deux fractions à dénominateur commun.

2) Ajoutez les fractions obtenues : .

Multiplier des fractions communes

En d’autres termes, pour tous les nombres réels , , , , l’égalité suivante est vraie :

Exemple 2. Multiplier des fractions : .

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule présentée ci-dessus : .

Diviser des fractions

En d’autres termes, pour tous les nombres réels , , , , , l’égalité suivante est vraie :

Exemple 3. Diviser des fractions : .

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule ci-dessus : .

Représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre

Voyons maintenant quoi faire si vous devez effectuer une opération avec des fractions présentées sous forme de nombres fractionnaires. Dans ce cas, vous devez d'abord représenter les nombres fractionnaires sous forme de fractions impropres, puis effectuer l'opération nécessaire.

Rappelons que faux On appelle une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal à son dénominateur.

Rappelons également qu'un nombre mixte a fraction Et partie entière. Par exemple, un nombre fractionnaire a une partie fractionnaire égale à et une partie entière égale à .

Exemple 4. Exprimez un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre.

Utilisons l'algorithme présenté ci-dessus : .

Exemple 5. Représente une fraction impropre sous la forme d'un nombre fractionnaire.

Pour exprimer une partie comme fraction du tout, vous devez diviser la partie en tout.

Tache 1. Il y a 30 élèves dans la classe, quatre sont absents. Quelle proportion d’étudiants sont absents ?

Solution:

Répondre: Il n'y a aucun élève dans la classe.

Trouver une fraction à partir d'un nombre

Pour résoudre des problèmes dans lesquels il faut trouver une partie d'un tout qui soit juste règle suivante:

Si une partie d'un tout est exprimée sous forme de fraction, alors pour trouver cette partie, vous pouvez diviser le tout par le dénominateur de la fraction et multiplier le résultat par son numérateur.

Tache 1. Il y avait 600 roubles, ce montant a été dépensé. Combien d'argent as-tu dépensé?

Solution: pour trouver 600 roubles ou plus, nous devons diviser ce montant en 4 parties, nous découvrirons ainsi combien d'argent représente un quart de la partie :

600 : 4 = 150 (r.)

Répondre: dépensé 150 roubles.

Tâche 2. Il y avait 1000 roubles, ce montant a été dépensé. Combien d’argent a été dépensé ?

Solution: d'après l'énoncé du problème, nous savons que 1 000 roubles se composent de cinq parties égales. Voyons d’abord combien de roubles font un cinquième de 1000, puis nous découvrirons combien de roubles font deux cinquièmes :

1) 1000 : 5 = 200 (r.) - un cinquième.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - deux cinquièmes.

Ces deux actions peuvent être combinées : 1000 : 5 · 2 = 400 (r.).

Répondre: 400 roubles ont été dépensés.

La deuxième façon de trouver une partie d’un tout :

Pour trouver une partie d’un tout, vous pouvez multiplier le tout par la fraction exprimant cette partie du tout.

Tâche 3. Selon la charte de la coopérative, pour que l'assemblée de reporting soit valable, au moins au moins les membres de l'organisation doivent être présents. La coopérative compte 120 membres. Quelle composition une réunion de reporting peut-elle avoir lieu ?

Solution:

Répondre: la réunion de reporting peut avoir lieu s'il y a 80 membres de l'organisation.

Trouver un nombre par sa fraction

Pour résoudre des problèmes dans lesquels vous devez trouver un tout à partir d’une partie, la règle suivante s’applique :

Si une partie du tout recherché est exprimée sous forme de fraction, alors pour trouver ce tout, vous pouvez diviser cette partie par le numérateur de la fraction et multiplier le résultat par son dénominateur.

Tache 1. Nous avons dépensé 50 roubles, ce qui était inférieur au montant initial. Trouvez le montant d’argent initial.

Solution: d'après la description du problème, nous voyons que 50 roubles sont 6 fois inférieurs au montant initial, c'est-à-dire que le montant initial est 6 fois supérieur à 50 roubles. Pour trouver ce montant, il faut multiplier 50 par 6 :

50 · 6 = 300 (r.)

Répondre: le montant initial est de 300 roubles.

Tâche 2. Nous avons dépensé 600 roubles, ce qui était moins que le montant initial. Trouvez le montant initial.

Solution: Nous supposerons que le nombre requis est constitué des trois tiers. Selon la condition, les deux tiers du nombre équivaut à 600 roubles. Tout d'abord, trouvons un tiers du montant initial, puis combien de roubles représentent les trois tiers (le montant initial) :

1) 600 : 2 3 = 900 (r.)

Répondre: le montant initial est de 900 roubles.

La deuxième façon de trouver un tout à partir de sa partie :

Pour trouver un tout par la valeur exprimant sa partie, vous pouvez diviser cette valeur par la fraction exprimant cette partie.

Tâche 3. Segment de ligne UN B, égale à 42 cm, est la longueur du segment CD. Trouver la longueur du segment CD.

Solution:

Répondre: longueur des segments CD 70cm.

Tâche 4. Des pastèques ont été apportées au magasin. Avant le déjeuner, le magasin vendait les pastèques qu'il avait apportées, et après le déjeuner, il restait 80 pastèques à vendre. Combien de pastèques avez-vous apporté au magasin ?

Solution: Tout d’abord, découvrons quelle partie des pastèques apportées correspond au nombre 80. Pour ce faire, prenons le nombre total de pastèques apportées comme une seule et soustrayons-en le nombre de pastèques qui ont été vendues (vendues) :

Ainsi, nous avons appris que 80 pastèques proviennent de nombre total apporté des pastèques. Nous découvrons maintenant combien de pastèques composent le montant total, puis combien de pastèques composent (le nombre de pastèques apportées) :

2) 80 : 4 15 = 300 (pastèques)

Répondre: Au total, 300 pastèques ont été apportées au magasin.

Cet article examine les opérations sur les fractions. Des règles d'addition, de soustraction, de multiplication, de division ou d'exponentiation de fractions de la forme A B seront formées et justifiées, où A et B peuvent être des nombres, des expressions numériques ou des expressions avec des variables. En conclusion, des exemples de solutions avec des descriptions détaillées seront considérés.

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Règles pour effectuer des opérations avec des fractions numériques générales

Fractions numériques vue générale avoir un numérateur et un dénominateur qui contiennent des nombres naturels ou des expressions numériques. Si l'on considère des fractions telles que 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, alors il est clair que le numérateur et le dénominateur peuvent avoir non seulement des nombres, mais aussi des expressions de différents types.

Définition 1

Il existe des règles selon lesquelles les opérations avec des fractions ordinaires sont effectuées. Il convient également aux fractions générales :

• Lors de la soustraction de fractions ayant des dénominateurs similaires, seuls les numérateurs sont ajoutés et le dénominateur reste le même, à savoir : a d ± c d = a ± c d, les valeurs a, c et d ≠ 0 sont des nombres ou des expressions numériques.
• Lors de l'ajout ou de la soustraction d'une fraction avec différents dénominateurs, il faut réduire au général, puis ajouter ou soustraire les fractions résultantes avec les mêmes exposants. Littéralement, cela ressemble à ceci : a b ± c d = a · p ± c · r s, où les valeurs a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 sont des nombres réels, et b · p = d · r = s . Lorsque p = d et r = b, alors a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Lors de la multiplication de fractions, l'action est effectuée avec des numérateurs, après quoi avec des dénominateurs, nous obtenons alors a b · c d = a · c b · d, où a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 agissent comme des nombres réels.
• Lorsqu'on divise une fraction par une fraction, on multiplie le premier par le deuxième inverse, c'est-à-dire qu'on échange le numérateur et le dénominateur : a b : c d = a b · d c.

Justification des règles

Définition 2

Il y a les points mathématiques suivants sur lesquels vous devez vous fier lors du calcul :

• la barre oblique signifie le signe de division ;
• la division par un nombre est assimilée à une multiplication par sa valeur réciproque ;
• application de la propriété des opérations avec des nombres réels ;
• application de la propriété fondamentale des fractions et des inégalités numériques.

Avec leur aide, vous pouvez effectuer des transformations de la forme :

une d ± c d = une · d - 1 ± c · d - 1 = une ± c · d - 1 = une ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Exemples

Dans le paragraphe précédent, nous avons parlé des opérations avec des fractions. C'est après cela qu'il faut simplifier la fraction. Ce sujet a été abordé en détail dans le paragraphe sur la conversion de fractions.

Tout d'abord, regardons un exemple d'addition et de soustraction de fractions avec le même dénominateur.

Exemple 1

Étant donné les fractions 8 2, 7 et 1 2, 7, alors selon la règle il faut additionner le numérateur et réécrire le dénominateur.

Solution

On obtient alors une fraction de la forme 8 + 1 2, 7. Après avoir effectué l'addition, on obtient une fraction de la forme 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Donc, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Répondre: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Il existe une autre solution. Pour commencer, on passe à la forme d'une fraction ordinaire, après quoi on effectue une simplification. Cela ressemble à ceci :

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemple 2

Soustrayons de 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 une fraction de la forme 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Puisque des dénominateurs égaux sont donnés, cela signifie que nous calculons une fraction avec le même dénominateur. Nous obtenons cela

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Il existe des exemples de calcul de fractions avec différents dénominateurs. Un point important est la réduction à un dénominateur commun. Sans cela, nous ne pourrons pas réaliser actions supplémentaires avec des fractions.

Le processus rappelle vaguement une réduction à un dénominateur commun. Autrement dit, une recherche est effectuée pour le plus petit diviseur commun au dénominateur, après quoi les facteurs manquants sont ajoutés aux fractions.

Si les fractions ajoutées n’ont pas de facteurs communs, alors leur produit peut en devenir un.

Exemple 3

Regardons l'exemple de l'addition des fractions 2 3 5 + 1 et 1 2.

Solution

Dans ce cas, le dénominateur commun est le produit des dénominateurs. Nous obtenons alors cela 2 · 3 5 + 1. Ensuite, lors de la définition de facteurs supplémentaires, nous obtenons que pour la première fraction, elle est égale à 2 et pour la seconde, elle est égale à 3 5 + 1. Après multiplication, les fractions sont réduites à la forme 4 2 · 3 5 + 1. La réduction générale de 1 2 sera 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Nous ajoutons les expressions fractionnaires résultantes et obtenons cela

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Répondre: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Lorsque nous parlons de fractions générales, nous ne parlons généralement pas du plus petit dénominateur commun. Il n'est pas rentable de prendre le produit des numérateurs comme dénominateur. Vous devez d’abord vérifier s’il existe un numéro dont la valeur est inférieure à celle de leur produit.

Exemple 4

Prenons l'exemple de 1 6 · 2 1 5 et 1 4 · 2 3 5, lorsque leur produit est égal à 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Ensuite, nous prenons 12 · 2 3 5 comme dénominateur commun.

Regardons des exemples de multiplication de fractions générales.

Exemple 5

Pour ce faire, vous devez multiplier 2 + 1 6 et 2 · 5 3 · 2 + 1.

Solution

En suivant la règle, il faut réécrire et écrire le produit des numérateurs au dénominateur. Nous obtenons cela 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Une fois qu’une fraction a été multipliée, vous pouvez faire des réductions pour la simplifier. Alors 5 · 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

En utilisant la règle de passage de la division à la multiplication par une fraction réciproque, on obtient une fraction qui est l'inverse de celle donnée. Pour ce faire, le numérateur et le dénominateur sont inversés. Regardons un exemple :

5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Ensuite, ils doivent multiplier et simplifier la fraction obtenue. Si nécessaire, débarrassez-vous de l'irrationalité du dénominateur. Nous obtenons cela

5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Répondre: 5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Ce paragraphe est applicable lorsqu'un nombre ou une expression numérique peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur égal à 1, alors l'opération avec une telle fraction est considérée comme un paragraphe distinct. Par exemple, l'expression 1 6 · 7 4 - 1 · 3 montre que la racine de 3 peut être remplacée par une autre expression 3 1. Ensuite, cette entrée ressemblera à la multiplication de deux fractions de la forme 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Effectuer des opérations sur des fractions contenant des variables

Les règles discutées dans le premier article sont applicables aux opérations avec des fractions contenant des variables. Considérez la règle de soustraction lorsque les dénominateurs sont les mêmes.

Il faut prouver que A, C et D (D n'est pas égal à zéro) peut être n'importe quelle expression, et l'égalité A D ± C D = A ± C D est équivalente à sa plage de valeurs admissibles.

Il faut prendre un ensemble de variables ODZ. Alors A, C, D doivent prendre les valeurs correspondantes a 0 , c 0 et j 0. La substitution de la forme A D ± C D entraîne une différence de la forme a 0 d 0 ± c 0 d 0 , où, en utilisant la règle d'addition, nous obtenons une formule de la forme a 0 ± c 0 d 0 . Si nous substituons l'expression A ± C D, alors nous obtenons la même fraction de la forme a 0 ± c 0 d 0. De là, nous concluons que la valeur sélectionnée qui satisfait à l'ODZ, A ± C D et A D ± C D est considérée comme égale.

Pour toute valeur des variables, ces expressions seront égales, c'est-à-dire qu'elles sont dites identiquement égales. Cela signifie que cette expression est considérée comme une égalité prouvable de la forme A D ± C D = A ± C D .

Exemples d'ajout et de soustraction de fractions avec des variables

Lorsque vous avez les mêmes dénominateurs, il vous suffit d’ajouter ou de soustraire les numérateurs. Cette fraction peut être simplifiée. Parfois, vous devez travailler avec des fractions identiques, mais à première vue, cela n'est pas perceptible, car certaines transformations doivent être effectuées. Par exemple, x 2 3 x 1 3 + 1 et x 1 3 + 1 2 ou 1 2 sin 2 α et sin a cos a. Le plus souvent, une simplification de l’expression originale est nécessaire afin de retrouver les mêmes dénominateurs.

Exemple 6

Calculer : 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Solution

1. Pour effectuer le calcul, vous devez soustraire les fractions qui ont le même dénominateur. Ensuite, nous obtenons que x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Après quoi, vous pouvez étendre les supports avec du casting termes similaires. On obtient que x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Puisque les dénominateurs sont les mêmes, il ne reste plus qu'à additionner les numérateurs en laissant le dénominateur : l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   L'ajout est terminé. On voit qu'il est possible de réduire la fraction. Son numérateur peut être additionné à l'aide de la formule du carré de la somme, on obtient alors (l g x + 2) 2 à partir de formules de multiplication abrégées. Ensuite, nous obtenons cela
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Fractions données de la forme x - 1 x - 1 + x x + 1 avec des dénominateurs différents. Après la transformation, vous pouvez passer à l'ajout.

Considérons une double solution.

La première méthode consiste à factoriser le dénominateur de la première fraction à l'aide de carrés, puis à le réduire. On obtient une fraction de la forme

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Donc x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Dans ce cas, il est nécessaire de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

La deuxième méthode consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par l'expression x - 1. Ainsi, nous nous débarrassons de l'irrationalité et passons à l'addition de fractions avec le même dénominateur. Alors

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - xx-1

Répondre: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Dans le dernier exemple, nous avons constaté que la réduction à un dénominateur commun est inévitable. Pour ce faire, vous devez simplifier les fractions. Lors de l'addition ou de la soustraction, vous devez toujours rechercher un dénominateur commun, qui ressemble au produit des dénominateurs avec des facteurs supplémentaires ajoutés aux numérateurs.

Exemple 7

Calculer les valeurs des fractions : 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Solution

1. Le dénominateur ne nécessite aucun calcul complexe, vous devez donc choisir leur produit sous la forme 3 x 7 + 2 · 2, puis choisir x 7 + 2 · 2 pour la première fraction comme facteur supplémentaire et 3 pour la seconde. En multipliant, on obtient une fraction de la forme x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. On constate que les dénominateurs sont présentés sous la forme d'un produit, ce qui signifie que des transformations supplémentaires ne sont pas nécessaires. Le dénominateur commun sera considéré comme un produit de la forme x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Donc x4 est un facteur supplémentaire à la première fraction, et ln(x + 1) à la seconde. Ensuite on soustrait et on obtient :
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - péché x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - péché x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - péché x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2x-4)
3. Cet exemple est logique lorsque l’on travaille avec des dénominateurs de fractions. Il faut appliquer les formules de la différence des carrés et du carré de la somme, puisqu'elles permettront de passer à une expression de la forme 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. On voit que les fractions sont réduites à un dénominateur commun. Nous obtenons cela cos x - x · cos x + x 2 .

Ensuite, nous obtenons cela

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Répondre:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Exemples de multiplication de fractions avec des variables

Lors de la multiplication de fractions, le numérateur est multiplié par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Ensuite, vous pouvez appliquer la propriété de réduction.

Exemple 8

Multipliez les fractions x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 et 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Solution

Il faut faire une multiplication. Nous obtenons cela

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 péché (2 x - x)

Le nombre 3 est déplacé à la première place pour la commodité des calculs, et vous pouvez réduire la fraction de x 2, nous obtenons alors une expression de la forme

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 péché (2 x - x)

Répondre: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · péché (2 · x - x) .

Division

La division des fractions est similaire à la multiplication, puisque la première fraction est multipliée par la seconde réciproque. Si nous prenons par exemple la fraction x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 et divisons par 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, alors cela peut s'écrire

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 : 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , puis remplacer par un produit de la forme x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 péché (2 x - x)

Exponentiation

Passons à l'examen des opérations avec des fractions générales avec exponentiation. Si vous avez un diplôme avec indicateur naturel, alors l'action est considérée comme une multiplication comme des fractions. Mais il est recommandé d’utiliser une approche générale basée sur les propriétés des diplômes. Toutes les expressions A et C, où C n'est pas identiquement égal à zéro, et tout réel r sur l'ODZ pour une expression de la forme A C r l'égalité A C r = A r C r est valide. Le résultat est une fraction élevée à une puissance. Par exemple, considérez :

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procédure pour effectuer des opérations avec des fractions

Les opérations sur les fractions sont effectuées selon certaines règles. En pratique, on remarque qu'une expression peut contenir plusieurs fractions ou expressions fractionnaires. Ensuite, il faut effectuer toutes les actions dans un ordre strict : élever à une puissance, multiplier, diviser, puis additionner et soustraire. S'il y a des parenthèses, la première action y est effectuée.

Exemple 9

Calculez 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Solution

Puisque nous avons le même dénominateur, alors 1 - x cos x et 1 c o s x, mais les soustractions ne peuvent pas être effectuées selon la règle : d'abord, les actions entre parenthèses sont effectuées, puis la multiplication, puis l'addition. Ensuite, en calculant, nous obtenons cela

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

En remplaçant l'expression par celle d'origine, nous obtenons que 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. En multipliant des fractions, nous avons : 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Après avoir effectué toutes les substitutions, nous obtenons 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Vous devez maintenant travailler avec des fractions qui ont des dénominateurs différents. On a:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos xx

Répondre: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

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Fraction- un nombre constitué d'un nombre entier de fractions d'une unité et représenté sous la forme : a/b

Numérateur de la fraction (a)- le numéro situé au-dessus de la ligne de fraction et indiquant le nombre d'actions dans lesquelles la part a été divisée.

Dénominateur de fraction (b)- le numéro situé sous la ligne de la fraction et indiquant en combien de parties l'unité est divisée.

2. Réduire les fractions à un dénominateur commun

3. Opérations arithmétiques sur des fractions ordinaires

3.1. Ajout de fractions ordinaires

3.2. Soustraire des fractions

3.3. Multiplier des fractions communes

3.4. Diviser des fractions

4. Nombres réciproques

5. Décimales

6. Opérations arithmétiques sur les décimales

6.1. Ajouter des décimales

6.2. Soustraire des décimales

6.3. Multiplier des décimales

6.4. Division décimale

#1. La propriété principale d'une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre qui n'est pas égal à zéro, vous obtenez une fraction égale à celle donnée.

3/7=3*3/7*3=9/21, soit 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - voici à quoi ressemble la propriété principale d'une fraction.

En d'autres termes, nous obtenons une fraction égale à celle donnée en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par le même entier naturel.

Si annonce=bc, alors deux fractions a/b =c /d sont considérés comme égaux.

Par exemple, les fractions 3/5 et 9/15 seront égales, puisque 3*15=5*9, soit 45=45

Réduire une fraction est le processus de remplacement d'une fraction dans laquelle la nouvelle fraction est égale à l'originale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

Il est d'usage de réduire les fractions en fonction de la propriété fondamentale de la fraction.

Par exemple, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (le numérateur et le dénominateur sont divisés par le nombre 3, par 5 et par 15).

Fraction irréductible est une fraction de la forme 3/4 ​ ​ , où le numérateur et le dénominateur sont mutuels nombres premiers. Le but principal de la réduction d’une fraction est de la rendre irréductible.

2. Réduire les fractions à un dénominateur commun

Pour ramener deux fractions à un dénominateur commun, il faut :

1) factoriser le dénominateur de chaque fraction en facteurs premiers ;

2) multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par ceux manquants

facteurs provenant de l'expansion du deuxième dénominateur ;

3) multiplier le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par les facteurs manquants du premier développement.

Exemples : Réduire des fractions à un dénominateur commun.

Factorisons les dénominateurs en facteurs simples : 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par le facteur manquant 5 de la deuxième expansion.

numérateur et dénominateur de la fraction dans les facteurs manquants 3 et 2 du premier développement.

= , 90 – dénominateur commun des fractions.

3. Opérations arithmétiques sur les fractions ordinaires

3.1. Ajout de fractions ordinaires

a) Si les dénominateurs sont identiques, le numérateur de la première fraction est ajouté au numérateur de la deuxième fraction, laissant le dénominateur le même. Comme vous pouvez le voir dans l'exemple :

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Pour différents dénominateurs, les fractions sont d'abord réduites à un dénominateur commun, puis les numérateurs sont additionnés selon la règle a) :

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Soustraire des fractions

a) Si les dénominateurs sont identiques, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, en laissant le dénominateur identique :

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Si les dénominateurs des fractions sont différents, alors les fractions sont d'abord ramenées à un dénominateur commun, puis les actions sont répétées comme au point a).

3.3. Multiplier des fractions communes

La multiplication de fractions obéit à la règle suivante :

a/b*c/d=a*c/b*d,

c'est-à-dire qu'ils multiplient les numérateurs et les dénominateurs séparément.

Par exemple:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Diviser des fractions

Les fractions sont divisées de la manière suivante :

a/b:c/d=a*d/b*c,

c'est-à-dire que la fraction a/b est multipliée par la fraction inverse de celle donnée, c'est-à-dire multipliée par d/c.

Exemple : 7/2 :1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Nombres réciproques

Si a*b=1, alors le nombre b est numéro réciproque pour le numéro a.

Exemple : pour le chiffre 9 l'inverse est 1/9 ​ ​ , depuis le 9*1/9 = 1 , pour le nombre 5 - le nombre inverse 1/5 ​ ​ , parce que 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Décimales

Décimal est une fraction propre dont le dénominateur est égal à 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Par exemple : 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Les incorrects avec un dénominateur sont écrits de la même manière 10^n ou des nombres mixtes.

Par exemple : 51/10= 5,1; 763/100=7,63

N'importe quel nombre peut être représenté sous forme de fraction décimale fraction commune avec un dénominateur qui est un diviseur d'une certaine puissance de 10.

un changeur, qui est un diviseur d'une certaine puissance du nombre 10.

Exemple : 5 est un diviseur de 100, c'est donc une fraction 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Opérations arithmétiques sur les décimales

6.1. Ajouter des décimales

Pour additionner deux fractions décimales, vous devez les disposer de manière à ce qu'il y ait des chiffres identiques les uns sous les autres et une virgule sous la virgule, puis additionner les fractions comme des nombres ordinaires.

6.2. Soustraire des décimales

Elle s'effectue de la même manière que l'addition.

6.3. Multiplier des décimales

En multipliant Nombres décimaux Il suffit de multiplier les nombres donnés, sans faire attention aux virgules (comme les nombres naturels), et dans la réponse obtenue, une virgule à droite sépare autant de chiffres qu'il y a après la virgule décimale dans les deux facteurs au total.

Multiplions 2,7 par 1,3. Nous avons 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . On sépare deux chiffres à droite par une virgule (le premier et le deuxième nombres ont un chiffre après la virgule décimale ; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). En conséquence nous obtenons 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Si le résultat obtenu contient moins de chiffres qu'il n'est nécessaire de les séparer par une virgule, alors les zéros manquants sont écrits devant, par exemple :

Pour multiplier par 10, 100, 1000, il faut déplacer la virgule décimale de 1, 2, 3 chiffres vers la droite (si nécessaire, un certain nombre de zéros sont attribués à droite).

Par exemple: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Division décimale

Diviser une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière que diviser un nombre naturel par un nombre naturel. La virgule dans le quotient est placée une fois la division de la partie entière terminée.

Si la partie entière du dividende est inférieure au diviseur, alors la réponse est zéro entier, par exemple :

Regardons comment diviser une décimale par une décimale. Disons que nous devons diviser 2,576 par 1,12. Tout d'abord, multiplions le dividende et le diviseur de la fraction par 100, c'est-à-dire déplaçons la virgule vers la droite du dividende et du diviseur d'autant de chiffres qu'il y a dans le diviseur après la virgule (en dans cet exemple par deux). Ensuite, vous devez diviser la fraction 257,6 par l'entier naturel 112, c'est-à-dire que le problème se réduit au cas déjà considéré :

Il arrive que le résultat final ne soit pas toujours obtenu décimal en divisant un nombre par un autre. Le résultat est une fraction décimale infinie. Dans de tels cas, on passe aux fractions ordinaires.

Par exemple, 2,8 : 0,09= 28/10 : 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .