Écrivez une équation pour le plan tangent et la normale. Comment trouver les équations du plan tangent et la normale à la surface en un point donné

Disons une surface définie par une équation de la forme

Introduisons la définition suivante.

Définition 1. Une ligne droite est dite tangente à la surface en un certain point si elle est

tangente à toute courbe située à la surface et passant par le point.

Puisqu'un nombre infini de courbes différentes situées sur la surface passent par le point P, alors, d'une manière générale, il y aura un nombre infini de tangentes à la surface passant par ce point.

Introduisons la notion de points singuliers et ordinaires d'une surface

Si en un point les trois dérivées sont égales à zéro ou si au moins une de ces dérivées n'existe pas, alors le point M est appelé point singulier de la surface. Si en un point les trois dérivées existent et sont continues, et qu'au moins l'une d'entre elles est différente de zéro, alors le point M est appelé point ordinaire de la surface.

Nous pouvons maintenant formuler le théorème suivant.

Théorème. Toutes les lignes tangentes à une surface donnée (1) en son point ordinaire P se trouvent dans le même plan.

Preuve. Considérons une certaine ligne L sur la surface (Fig. 206) passant par un point donné P de la surface. Supposons que la courbe considérée soit donnée par des équations paramétriques

La tangente à la courbe sera la tangente à la surface. Les équations de cette tangente ont la forme

Si les expressions (2) sont substituées dans l'équation (1), alors cette équation se transformera en une identité par rapport à t, puisque la courbe (2) se trouve sur la surface (1). En le différenciant, nous obtenons

Les projections de ce vecteur dépendent - des coordonnées du point P ; notons que puisque le point P est ordinaire, ces projections au point P ne disparaissent pas simultanément et donc

tangente à une courbe passant par le point P et s'étendant sur la surface. Les projections de ce vecteur sont calculées à partir des équations (2) à la valeur du paramètre t correspondant au point P.

Calculons le produit scalaire des vecteurs N et qui est égal à la somme des produits des projections du même nom :

Sur la base de l'égalité (3), l'expression du côté droit est égale à zéro, donc,

De la dernière égalité il résulte que le vecteur LG et le vecteur tangent à la courbe (2) au point P sont perpendiculaires. Le raisonnement ci-dessus est valable pour toute courbe (2) passant par le point P et s'étendant sur la surface. Par conséquent, chaque tangente à la surface au point P est perpendiculaire au même vecteur N et donc toutes ces tangentes se trouvent dans un même plan perpendiculaire au vecteur LG. Le théorème a été prouvé.

Définition 2. Le plan dans lequel se trouvent toutes les lignes tangentes aux lignes sur la surface passant par son point P donné est appelé plan tangent à la surface au point P (Fig. 207).

Notez qu'en des points singuliers de la surface, il peut ne pas y avoir de plan tangent. En de tels points, les lignes tangentes à la surface peuvent ne pas se trouver dans le même plan. Par exemple, le sommet d’une surface conique est un point singulier.

Les tangentes à la surface conique en ce point ne se trouvent pas dans le même plan (elles forment elles-mêmes une surface conique).

Écrivons l'équation du plan tangent à la surface (1) en un point ordinaire. Puisque ce plan est perpendiculaire au vecteur (4), son équation a donc la forme

Si l'équation de la surface est donnée sous la forme ou si l'équation du plan tangent prend dans ce cas la forme

Commentaire. Si on met la formule (6), alors cette formule prendra la forme

son membre de droite est le différentiel complet de la fonction. Ainsi, . Ainsi, la différentielle totale d'une fonction de deux variables en un point correspondant aux incréments des variables indépendantes x et y est égale à l'incrément correspondant de l'appliqué du plan tangent à la surface, qui est le graphique de cette fonction.

Définition 3. Une ligne droite passant par un point de la surface (1) perpendiculaire au plan tangent est appelée normale à la surface (Fig. 207).

Les plans tangents jouent un rôle important en géométrie. La construction de plans tangents a une importance pratique, puisque leur présence permet de déterminer la direction de la normale à la surface au point de contact. Ce problème est largement utilisé dans la pratique de l'ingénierie. Les plans tangents sont également utilisés pour construire les contours de figures géométriques délimitées par des surfaces fermées. Théoriquement, les plans tangents à une surface sont utilisés en géométrie différentielle pour étudier les propriétés d'une surface dans la région du point de contact.

Concepts et définitions de base

Le plan tangent à la surface doit être considéré comme la position limite du plan sécant (par analogie avec la ligne tangente à la courbe, qui est également définie comme la position limite de la sécante).

Un plan tangent à une surface en un point donné de la surface est l'ensemble de toutes les lignes droites - tangentes tracées à la surface passant par un point donné.

En géométrie différentielle, il est prouvé que toutes les tangentes à une surface tracée en un point ordinaire sont coplanaires (appartenant au même plan).

Voyons comment tracer une ligne droite tangente à la surface. La tangente t à la surface β en un point M spécifié sur la surface (Fig. 203) représente la position limite de la sécante l j coupant la surface en deux points (MM 1, MM 2, ..., MM n) lorsque le les points d'intersection coïncident (M ≡ M n , l n ≡ l M). Évidemment (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, puisque g ⊂ β. De ce qui précède, découle la définition suivante : tangente à une surface est une ligne droite tangente à toute courbe appartenant à la surface.

Puisque le plan est défini par deux droites sécantes, pour définir un plan tangent à la surface en un point donné, il suffit de tracer deux lignes arbitraires appartenant à la surface (de forme simple de préférence) passant par ce point, et de construire des tangentes à chacun d'eux au point d'intersection de ces lignes. Les tangentes construites déterminent de manière unique le plan tangent. Une représentation visuelle du dessin d'un plan α tangent à la surface β en un point donné M est donnée sur la Fig. 204. Cette figure montre également la normale n à la surface β.

La normale à la surface en un point donné est une droite perpendiculaire au plan tangent et passant par le point de tangence.

La ligne d'intersection de la surface avec un plan passant par la normale est appelée section normale de la surface. Selon le type de surface, le plan tangent peut avoir un ou plusieurs points (lignes) avec la surface. La ligne de tangence peut en même temps être la ligne d'intersection de la surface avec le plan.

Il existe également des cas où il y a des points sur la surface où il est impossible de tracer une tangente à la surface ; ces points sont appelés singuliers. A titre d'exemple de points singuliers, on peut citer les points appartenant au bord de retour de la surface du torse, ou le point d'intersection du méridien de la surface de révolution avec son axe, si le méridien et l'axe ne se coupent pas à droite. angles.

Les types de toucher dépendent de la nature de la courbure de la surface.

Courbure de la surface

Les questions de courbure de surface ont été étudiées par le mathématicien français F. Dupin (1784-1873), qui a proposé une manière visuelle de représenter les changements dans la courbure des sections normales d'une surface.

Pour ce faire, dans le plan tangent à la surface considérée au point M (Fig. 205, 206), des segments égaux aux racines carrées des valeurs des rayons de courbure correspondants de ces sections sont posés sur les tangentes à les sections normales des deux côtés de ce point. Un ensemble de points - les extrémités des segments définissent une courbe appelée Indicatrice de Dupin. L'algorithme de construction de l'indicatrice de Dupin (Fig. 205) peut s'écrire :

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β ;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

où R est le rayon de courbure.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) est l'indicatrice de Dupin.

Si l'indicatrice Dupin d'une surface est une ellipse, alors le point M est dit elliptique, et la surface est appelée surface à points elliptiques.(Fig. 206). Dans ce cas, le plan tangent n'a qu'un seul point commun avec la surface, et toutes les lignes appartenant à la surface et se coupant au point considéré sont situées d'un côté du plan tangent. Des exemples de surfaces avec des points elliptiques sont : un paraboloïde de révolution, un ellipsoïde de révolution, une sphère (dans ce cas, l'indicatrice de Dupin est un cercle, etc.).

Lorsque vous dessinez un plan tangent à la surface du torse, le plan touchera cette surface le long d'une génératrice droite. Les points sur cette droite sont appelés parabolique, et la surface est une surface avec des points paraboliques. L'indicatrice de Dupin est dans ce cas deux lignes parallèles (Fig. 207*).

En figue. 208 montre une surface composée de points dans lesquels

* Une courbe du second ordre - une parabole - peut, dans certaines conditions, se diviser en deux lignes parallèles réelles, deux lignes parallèles imaginaires, deux lignes coïncidentes. En figue. 207, nous avons affaire à deux véritables lignes parallèles.

Tout plan tangent coupe la surface. Une telle surface est appelée hyperbolique, et les points qui lui appartiennent sont points hyperboliques. L'indicatrice de Dupin est dans ce cas une hyperbole.

Une surface dont tous les points sont hyperboliques a la forme d'une selle (plan oblique, hyperboloïde monofeuillet, surfaces de révolution concaves, etc.).

Une surface peut avoir des points de différents types, par exemple, sur la surface du torse (Fig. 209) le point M est elliptique ; le point N est parabolique ; le point K est hyperbolique.

Au cours de la géométrie différentielle, il est prouvé que les sections normales dans lesquelles les valeurs de courbure K j = 1/ R j (où R j est le rayon de courbure de la section considérée) ont des valeurs extrêmes sont situées dans deux plans mutuellement perpendiculaires.

De telles courbures K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min sont appelées valeurs principales, et les valeurs H = (K 1 + K 2)/2 et K = K 1 K 2 sont respectivement la courbure moyenne de la surface et le total ( courbure gaussienne) de la surface au point considéré. Pour les points elliptiques K > 0, les points hyperboliques K

Spécification d'un plan tangent à une surface sur un diagramme de Monge

Ci-dessous, à l'aide d'exemples précis, nous montrerons la construction d'un plan tangent à une surface avec des points elliptiques (exemple 1), paraboliques (exemple 2) et hyperboliques (exemple 3).

EXEMPLE 1. Construire un plan α tangent à la surface de révolution β avec des points elliptiques. Considérons deux options pour résoudre ce problème : a) le point M ∈ β et b) le point M ∉ β

Option a (Fig. 210).

Le plan tangent est déterminé par deux tangentes t 1 et t 2 tracées au point M au parallèle et au méridien de la surface β.

Les projections de la tangente t 1 au parallèle h de la surface β seront t" 1 ⊥ (S"M") et t" 1 || axe x La projection horizontale de la tangente t" 2 au méridien d de la surface β passant par le point M coïncidera avec la projection horizontale du méridien. Pour trouver la projection frontale de la tangente t" 2, le plan méridien γ(γ ∋ M) est transféré à la position γ en tournant autour de l'axe de la surface β 1, parallèle au plan π 2. Dans ce cas, point M → M 1 (M" 1, M" 1). La projection de la tangente t" 2 rarr; t" 2 1 est déterminée par (M" 1 S"). Si l'on ramène maintenant le plan γ 1 à sa position d'origine, alors le point S" restera en place (comme appartenant à l'axe de rotation), et M" 1 → M" et la projection frontale de la tangente t" 2 resteront être déterminé (M" S")

Deux tangentes t 1 et t 2 se coupant en un point M ∈ β définissent un plan α tangent à la surface β.

Option b (Fig. 211)

Pour construire un plan tangent à une surface passant par un point n'appartenant pas à la surface, il faut partir des considérations suivantes : passant par un point extérieur à la surface constitué de points elliptiques, on peut tracer de nombreux plans tangents à la surface. L'enveloppe de ces surfaces sera une surface conique. Par conséquent, s’il n’y a pas d’instructions supplémentaires, alors le problème a de nombreuses solutions et se réduit dans ce cas à dessiner une surface conique γ tangente à une surface donnée β.

En figue. 211 montre la construction d'une surface conique γ tangente à la sphère β. Tout plan α tangent à la surface conique γ sera tangent à la surface β.

Pour construire des projections de la surface γ à partir des points M" et M" nous dessinons des tangentes aux cercles h" et f" - les projections de la sphère. Marquez les points de contact 1 (1" et 1"), 2 (2" et 2"), 3 (3" et 3") et 4 (4" et 4"). Projection horizontale d'un cercle - la ligne de tangence de la surface conique et de la sphère est projetée dans [ 1"2"] Pour trouver les points de l'ellipse dans lesquels ce cercle sera projeté sur le plan frontal des projections, nous utiliserons les parallèles de la sphère.

En figue. 211 on détermine ainsi les projections frontales des points E et F (E" et F"). Ayant une surface conique γ, on lui construit un plan tangent α. La nature et la séquence du graphique

Les constructions à réaliser pour cela sont données dans l'exemple suivant.

EXEMPLE 2 Construire un plan α tangent à la surface β avec des points paraboliques

Comme dans l'exemple 1, nous considérons deux solutions : a) le point N ∈ β ; b) point N ∉ β

Option a (Fig. 212).

Une surface conique fait référence aux surfaces comportant des points paraboliques (voir Fig. 207.) Un plan tangent à une surface conique la touche le long d'une génératrice rectiligne. Pour la construire, il faut :

1) par un point N donné tracer un générateur SN (S"N" et S"N");

2) marquer le point d'intersection de la génératrice (SN) avec le guide d : (SN) ∩ d = A ;

3) soufflera également sur la tangente t à d au point A.

La génératrice (SA) et la tangente t qui la coupe définissent le plan α tangent à la surface conique β en un point N* donné.

Tracer un plan α, tangent à la surface conique β et passant par le point N, n'appartient pas à

* Puisque la surface β est constituée de points paraboliques (à l'exception du sommet S), le plan tangent α à celle-ci aura en commun non pas un point N, mais une droite (SN).

en appuyant sur une surface donnée, il faut :

1) passant par un point donné N et le sommet S de la surface conique β tracer une droite a (a" et a") ;

2) déterminer la trace horizontale de cette droite H a ;

3) par H a tracer les tangentes t" 1 et t" 2 de la courbe h 0β - la trace horizontale de la surface conique ;

4) relier les points tangents A (A" et A") et B (B" et B") au sommet de la surface conique S (S" et S").

Les lignes sécantes t 1, (AS) et t 2, (BS) déterminent les plans tangents souhaités α 1 et α 2

EXEMPLE 3. Construire un plan α tangent à la surface β avec des points hyperboliques.

Le point K (Fig. 214) est situé à la surface du globoïde (la surface interne de l'anneau).

Pour déterminer la position du plan tangent α il faut :

1) tracer une parallèle à la surface β h(h", h") passant par le point K ;

2) passant par le point K" tracer une tangente t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) pour déterminer les directions des projections de la tangente à la section méridionale, il faut tracer le plan γ passant par le point K et l'axe de la surface, la projection horizontale t" 2 coïncidera avec h 0γ ; pour construire la projection frontale de la tangente t" 2, on translation d'abord le plan γ en le faisant tourner autour de l'axe de la surface de rotation jusqu'à la position γ 1 || π2. Dans ce cas, la section méridionale par le plan γ s'alignera avec l'arc de contour gauche de la projection frontale - demi-cercle g".

Le point K (K", K"), appartenant à la courbe de section méridionale, se déplacera vers la position K 1 (K" 1, K" 1). Par K" 1 on trace une projection frontale de la tangente t" 2 1, combinée avec le plan γ 1 || position π 2 et marquons le point de son intersection avec la projection frontale de l'axe de rotation S" 1. On ramène le plan γ 1 à sa position d'origine, point K" 1 → K" (point S" 1 ≡ S") La projection frontale de la tangente t" 2 est déterminée par les points K" et S".

Les tangentes t 1 et t 2 définissent le plan tangent souhaité α, qui coupe la surface β le long de la courbe l.

EXEMPLE 4. Construire un plan α tangent à la surface β au point K. Le point K est situé à la surface d'un hyperboloïde de révolution à une feuille (Fig. 215).

Ce problème peut être résolu en adhérant à l'algorithme utilisé dans l'exemple précédent, mais en tenant compte du fait que la surface d'un hyperboloïde de révolution à une seule feuille est une surface réglée qui possède deux familles de génératrices rectilignes, et chacune des génératrices d'une famille recoupe tous les générateurs de l'autre famille (voir § 32, fig. 138). À travers chaque point de cette surface, deux lignes droites sécantes peuvent être tracées - des génératrices, qui seront simultanément tangentes à la surface d'un hyperboloïde de révolution à une feuille.

Ces tangentes définissent le plan tangent, c'est-à-dire que le plan tangent à la surface d'un hyperboloïde de révolution à une feuille coupe cette surface le long de deux droites g 1 et g 2. Pour construire des projections de ces droites, il suffit de reporter la projection horizontale du point K et les tangentes t" 1 et t" 2 à l'horizontale

projection totale du cercle d" 2 - la gorge de la surface d'un hyperboloïde de révolution à feuille unique ; déterminer les points 1" et 2 auxquels t" 1 et t" 2 se coupent l'un et les surfaces directrices d 1. A partir de 1" et 2", nous trouvons 1" et 2", qui, avec K", déterminent les projections frontales des lignes requises.

À un moment donné et a des dérivées partielles continues, dont au moins une ne disparaît pas, alors au voisinage de ce point, la surface définie par l'équation (1) sera la bonne surface.

En plus de ce qui précède manière implicite de spécifier la surface peut être définie évidemment, si l'une des variables, par exemple z, peut être exprimée en fonction des autres :

Il y a aussi paramétrique mode d'affectation. Dans ce cas, la surface est déterminée par le système d'équations :

Le concept d'une surface simple

Plus précisément, surfaces simples est appelée l'image d'une cartographie homéomorphe (c'est-à-dire une cartographie biunivoque et mutuellement continue) de l'intérieur d'un carré unitaire. Cette définition peut recevoir une expression analytique.

Soit un carré sur un plan de système de coordonnées rectangulaires u et v, dont les coordonnées des points internes satisfont aux inégalités 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Exemple surfaces simples est un hémisphère. La sphère entière n'est pas surfaces simples. Cela nécessite une généralisation plus poussée du concept de surface.

Un sous-ensemble de l'espace dont chaque point a un voisinage qui est surfaces simples, appelé la bonne surface .

Surface en géométrie différentielle

Hélicoïde

Caténoïde

La métrique ne détermine pas de manière unique la forme de la surface. Par exemple, la métrique d'un hélicoïde et d'un caténoïde, paramétrées en conséquence, coïncide, c'est-à-dire qu'il existe une correspondance entre leurs régions qui préserve toutes les longueurs (isométrie). Les propriétés conservées sous les transformations isométriques sont appelées géométrie interne surfaces. La géométrie interne ne dépend pas de la position de la surface dans l'espace et ne change pas lorsqu'elle est pliée sans tension ni compression (par exemple, lorsqu'un cylindre est plié en cône).

Les coefficients métriques déterminent non seulement les longueurs de toutes les courbes, mais aussi en général les résultats de toutes les mesures à l'intérieur de la surface (angles, aires, courbure, etc.). Par conséquent, tout ce qui dépend uniquement de la métrique fait référence à la géométrie interne.

Section normale et normale

Vecteurs normaux aux points de la surface

L'une des principales caractéristiques d'une surface est sa normale- vecteur unitaire perpendiculaire au plan tangent en un point donné :

.

Le signe de la normale dépend du choix des coordonnées.

Une section d'une surface par un plan contenant la normale (en un point donné) forme une certaine courbe sur la surface, appelée section normale surfaces. La normale principale d'une section normale coïncide avec la normale à la surface (au signe près).

Si la courbe sur la surface n'est pas une section normale, alors sa normale principale forme un certain angle θ avec la normale de la surface. Alors la courbure k courbe liée à la courbure k n section normale (de même tangente) par la formule de Meunier :

Les coordonnées du vecteur unitaire normal pour différentes méthodes de définition d'une surface sont données dans le tableau :

	Coordonnées normales en un point de la surface
affectation implicite
affectation explicite
spécification paramétrique

Courbure

Pour différentes directions en un point donné de la surface, différentes courbures de la section normale sont obtenues, appelées courbure normale; on lui attribue un signe plus si la normale principale de la courbe va dans le même sens que la normale à la surface, ou un signe moins si les directions des normales sont opposées.

D'une manière générale, en tout point d'une surface il existe deux directions perpendiculaires e 1 et e 2, dans laquelle la courbure normale prend des valeurs minimales et maximales ; ces directions sont appelées principal. L'exception est le cas lorsque la courbure normale dans toutes les directions est la même (par exemple, près d'une sphère ou à l'extrémité d'un ellipsoïde de révolution), alors toutes les directions en un point sont principales.

Surfaces avec courbure négative (à gauche), nulle (au centre) et positive (à droite).

Les courbures normales dans les directions principales sont appelées courbures principales; notons-les κ 1 et κ 2. Taille:

K= κ 1 κ 2

appelé Courbure gaussienne, courbure complète ou simplement courbure surfaces. Il y a aussi le terme scalaire de courbure, ce qui implique le résultat de la convolution du tenseur de courbure ; dans ce cas, la courbure scalaire est deux fois plus grande que la courbure gaussienne.

La courbure gaussienne peut être calculée via une métrique, et est donc un objet de la géométrie intrinsèque des surfaces (à noter que les courbures principales n'appartiennent pas à la géométrie intrinsèque). Vous pouvez classer les points de surface en fonction du signe de courbure (voir figure). La courbure du plan est nulle. La courbure d'une sphère de rayon R est égale partout. Il existe également une surface de courbure négative constante - la pseudosphère.

Lignes géodésiques, courbure géodésique

La courbe sur la surface s'appelle ligne géodésique, ou simplement géodésique, si en tous ses points la normale principale à la courbe coïncide avec la normale à la surface. Exemple : sur un plan, les géodésiques sont des droites et des segments de droites, sur une sphère - des grands cercles et leurs segments.

Définition équivalente : pour une ligne géodésique, la projection de sa normale principale sur le plan osculateur est le vecteur zéro. Si la courbe n'est pas géodésique, alors la projection spécifiée est différente de zéro ; sa longueur s'appelle courbure géodésique k g courbe sur la surface. Il y a une relation :

,

Où k- courbure de cette courbe, k n- la courbure de sa section normale de même tangente.

Les lignes géodésiques font référence à la géométrie interne. Listons leurs principales propriétés.

• Par un point de surface donné dans une direction donnée passe une et une seule géodésique.
• Sur une surface suffisamment petite de la surface, deux points peuvent toujours être reliés par une géodésique, et de plus, par un seul. Explication : sur une sphère, les pôles opposés sont reliés par un nombre infini de méridiens, et deux points proches peuvent être reliés non seulement par un segment d'un grand cercle, mais aussi par son addition à un cercle complet, de sorte que l'unicité soit maintenue uniquement dans le petit.
• Une géodésique est le chemin le plus court. Plus strictement : sur une petite partie de la surface, le chemin le plus court entre des points donnés se situe le long d'une géodésique.

Carré

Un autre attribut important de la surface est sa carré, qui est calculé par la formule :

En coordonnées on obtient :

	affectation explicite	spécification paramétrique
expression de zone

Une surface est définie comme un ensemble de points dont les coordonnées satisfont un certain type d'équation :

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Si la fonction F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) est continue en un certain point et a des dérivées partielles continues, dont au moins une ne disparaît pas, alors au voisinage de ce point la surface donnée par l'équation (1) sera la bonne surface.

En plus de ce qui précède manière implicite de spécifier, la surface peut être définie évidemment, si l'une des variables, par exemple z, peut être exprimée en fonction des autres :

z = f (x, y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Plus strictement surfaces simples est appelée l'image d'une cartographie homéomorphe (c'est-à-dire une cartographie biunivoque et mutuellement continue) de l'intérieur d'un carré unitaire. Cette définition peut recevoir une expression analytique.

Soit un carré sur un plan de système de coordonnées rectangulaires u et v, dont les coordonnées des points internes satisfont aux inégalités 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Exemple surfaces simples est un hémisphère. La sphère entière n'est pas surfaces simples. Cela nécessite une généralisation plus poussée du concept de surface.

Un sous-ensemble de l'espace dont chaque point a un voisinage qui est surfaces simples, appelé la bonne surface .

Surface en géométrie différentielle

Hélicoïde

Caténoïde

La métrique ne détermine pas de manière unique la forme de la surface. Par exemple, les métriques d'un hélicoïde et d'un caténoïde, paramétrées en conséquence, coïncident, c'est-à-dire qu'il existe une correspondance entre leurs régions qui préserve toutes les longueurs (isométrie). Les propriétés conservées sous les transformations isométriques sont appelées géométrie interne surfaces. La géométrie interne ne dépend pas de la position de la surface dans l'espace et ne change pas lorsqu'elle est pliée sans tension ni compression (par exemple, lorsqu'un cylindre est plié en cône).

Coefficients métriques E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) déterminer non seulement les longueurs de toutes les courbes, mais aussi de manière générale les résultats de toutes les mesures à l'intérieur de la surface (angles, aires, courbure, etc.). Par conséquent, tout ce qui dépend uniquement de la métrique fait référence à la géométrie interne.

Section normale et normale

Vecteurs normaux aux points de la surface

L'une des principales caractéristiques d'une surface est sa normale- vecteur unitaire perpendiculaire au plan tangent en un point donné :

m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r u ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

Le signe de la normale dépend du choix des coordonnées.

Une section d'une surface par un plan contenant la normale à la surface en un point donné forme une certaine courbe appelée section normale surfaces. La normale principale d'une section normale coïncide avec la normale à la surface (au signe près).

Si la courbe sur la surface n'est pas une section normale, alors sa normale principale forme un certain angle avec la normale de la surface. θ (\displaystyle \theta). Alors la courbure k (style d'affichage k) courbe liée à la courbure k n ( displaystyle k_ (n)) section normale (de même tangente) par la formule de Meunier :

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

Les coordonnées du vecteur unitaire normal pour différentes méthodes de définition d'une surface sont données dans le tableau :

	Coordonnées normales en un point de la surface
affectation implicite	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))
affectation explicite	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ partiel x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1))))
spécification paramétrique	(D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\right)^(2)))))

Ici ré (y , z) ré (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z vous ′ z v ′ x vous ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ commencer(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Tous les dérivés sont pris au point (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Courbure

Pour différentes directions en un point donné de la surface, différentes courbures de la section normale sont obtenues, appelées courbure normale; on lui attribue un signe plus si la normale principale de la courbe va dans le même sens que la normale à la surface, ou un signe moins si les directions des normales sont opposées.

D'une manière générale, en tout point d'une surface il existe deux directions perpendiculaires e 1 (\displaystyle e_(1)) Et e 2 (\displaystyle e_(2)), dans lequel la courbure normale prend des valeurs minimales et maximales ; ces directions sont appelées principal. L'exception est le cas lorsque la courbure normale dans toutes les directions est la même (par exemple, près d'une sphère ou à l'extrémité d'un ellipsoïde de révolution), alors toutes les directions en un point sont principales.

Surfaces avec courbure négative (à gauche), nulle (au centre) et positive (à droite).

Les courbures normales dans les directions principales sont appelées courbures principales; désignons-les κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) Et κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Taille:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

appelée courbure gaussienne, courbure totale ou simplement courbure de surface. Il y a aussi le terme scalaire de courbure, ce qui implique le résultat de la convolution du tenseur de courbure ; dans ce cas, la courbure scalaire est deux fois plus grande que la courbure gaussienne.

La courbure gaussienne peut être calculée via une métrique, et est donc un objet de la géométrie intrinsèque des surfaces (à noter que les courbures principales n'appartiennent pas à la géométrie intrinsèque). Vous pouvez classer les points de surface en fonction du signe de courbure (voir figure). La courbure du plan est nulle. La courbure d'une sphère de rayon R est égale partout 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Il existe également une surface de courbure négative constante -

À savoir, à propos de ce que vous voyez dans le titre. Il s’agit essentiellement d’un « analogue spatial » problèmes de recherche de tangente Et normales au graphique d'une fonction d'une variable, et donc aucune difficulté ne devrait survenir.

Commençons par les questions de base : QU'EST-CE qu'un plan tangent et QU'EST-CE qu'une normale ? Beaucoup de gens comprennent ces concepts au niveau de l'intuition. Le modèle le plus simple qui me vient à l’esprit est une balle sur laquelle repose un mince morceau de carton plat. Le carton se situe le plus près possible de la sphère et la touche en un seul point. De plus, au point de contact, il est fixé avec une aiguille dressée vers le haut.

En théorie, il existe une définition assez ingénieuse du plan tangent. Imaginez un gratuit surface et le point qui lui appartient. Évidemment, beaucoup de choses passent par le point lignes spatiales, qui appartiennent à cette surface. Qui a quelles associations ? =) ...personnellement, j'imaginais une pieuvre. Supposons que chacune de ces lignes ait tangente spatiale au point .

Définition 1: plan tangentà la surface en un point - c'est avion, contenant les tangentes à toutes les courbes appartenant à une surface donnée et passant par le point.

Définition 2: normaleà la surface en un point - c'est droit, passant par un point donné perpendiculaire au plan tangent.

Simple et élégant. D'ailleurs, pour que vous ne mouriez pas d'ennui à cause de la simplicité du matériel, je partagerai un peu plus tard avec vous un secret élégant qui vous permettra d'oublier de bourrer diverses définitions UNE FOIS POUR TOUTES.

Faisons connaissance avec les formules de travail et l'algorithme de solution à l'aide d'un exemple spécifique. Dans la grande majorité des problèmes, il est nécessaire de construire à la fois l’équation du plan tangent et l’équation normale :

Exemple 1

Solution:si la surface est donnée par l'équation (c'est-à-dire implicitement), alors l'équation du plan tangent à une surface donnée en un point peut être trouvée à l'aide de la formule suivante :

J'accorde une attention particulière aux dérivées partielles inhabituelles - leur il ne faut pas confondre Avec dérivées partielles d'une fonction implicitement spécifiée (bien que la surface soit spécifiée implicitement). Pour trouver ces dérivées, il faut se guider par règles pour différencier une fonction de trois variables, c'est-à-dire que lors d'une différenciation par rapport à une variable, les deux autres lettres sont considérées comme des constantes :

Sans sortir de la caisse, on retrouve la dérivée partielle au point :

De même:

Ce fut le moment le plus désagréable de la décision, dans lequel une erreur, si elle n'est pas commise, apparaît constamment. Cependant, il existe ici une technique de vérification efficace, dont j'ai parlé en classe. Dérivée directionnelle et gradient.

Tous les « ingrédients » ont été trouvés et il s’agit désormais d’une substitution prudente avec des simplifications supplémentaires :

– équation générale le plan tangent souhaité.

Je recommande fortement de vérifier également cette étape de la solution. Vous devez d'abord vous assurer que les coordonnées du point tangent satisfont réellement à l'équation trouvée :

- une véritable égalité.

Maintenant, nous « supprimons » les coefficients de l'équation générale du plan et vérifions leur coïncidence ou leur proportionnalité avec les valeurs correspondantes. Dans ce cas, ils sont proportionnels. Comme vous vous en souvenez cours de géométrie analytique, - Ce vecteur normal plan tangent, et il est aussi vecteur de guidage ligne droite normale. Composons équations canoniques normales par point et vecteur directeur :

En principe, les dénominateurs peuvent être réduits de deux, mais cela n'est pas particulièrement nécessaire

Répondre:

Il n'est pas interdit de désigner les équations par quelques lettres, mais, encore une fois, pourquoi ? Ici, il est déjà extrêmement clair de quoi il s’agit.

Les deux exemples suivants sont à résoudre par vous-même. Un petit « virelangue mathématique » :

Exemple 2

Trouvez les équations du plan tangent et de la normale à la surface au point.

Et une tâche intéressante d'un point de vue technique :

Exemple 3

Écrire des équations pour le plan tangent et la normale à la surface en un point

À ce point.

Il y a toutes les chances non seulement de se tromper, mais aussi de rencontrer des difficultés lors de l'enregistrement équations canoniques de la droite. Et les équations normales, comme vous le comprenez probablement, sont généralement écrites sous cette forme. Bien que, en raison de l'oubli ou de la méconnaissance de certaines nuances, la forme paramétrique soit plus qu'acceptable.

Exemples approximatifs de l'exécution finale des solutions à la fin de la leçon.

Existe-t-il un plan tangent en un point quelconque de la surface ? En général, bien sûr que non. L'exemple classique est surface conique et point - les tangentes en ce point forment directement une surface conique et, bien sûr, ne se trouvent pas dans le même plan. Il est facile de vérifier analytiquement que quelque chose ne va pas : .

Une autre source de problèmes est le fait inexistence toute dérivée partielle en un point. Cependant, cela ne signifie pas qu’en un point donné il n’existe pas de plan tangent unique.

Mais il s’agissait plutôt de vulgarisation scientifique que d’informations pratiquement significatives, et revenons aux questions urgentes :

Comment écrire des équations pour le plan tangent et la normale en un point,
si la surface est spécifiée par une fonction explicite?

Réécrivons-le implicitement :

Et en utilisant les mêmes principes on trouve les dérivées partielles :

Ainsi, la formule du plan tangent se transforme en l’équation suivante :

Et par conséquent, les équations normales canoniques :

Comme vous pouvez le deviner, - ce sont déjà des « vrais » dérivées partielles d'une fonction de deux variables au point que nous désignons par la lettre « z » et qui a été trouvé 100 500 fois.

Veuillez noter que dans cet article, il suffit de rappeler la toute première formule, à partir de laquelle, si nécessaire, il est facile de déduire tout le reste. (bien sûr, avoir un niveau de formation de base). C'est exactement l'approche qui devrait être utilisée lors de l'étude des sciences exactes, c'est-à-dire à partir d’un minimum d’informations il faut s’efforcer de « tirer » un maximum de conclusions et de conséquences. La « considération » et les connaissances existantes vous aideront ! Ce principe est également utile car il vous sauvera très probablement dans une situation critique alors que vous en savez très peu.

Développons les formules « modifiées » avec quelques exemples :

Exemple 4

Écrire des équations pour le plan tangent et la normale à la surface au point .

Il y a ici une légère superposition avec les notations - maintenant la lettre désigne un point sur l'avion, mais que pouvez-vous faire - une lettre si populaire...

Solution: composons l'équation du plan tangent souhaité à l'aide de la formule :

Calculons la valeur de la fonction au point :

Calculons Dérivées partielles du 1er ordreà ce point:

Ainsi:

attention, ne vous précipitez pas :

Écrivons les équations canoniques de la normale au point :

Répondre:

Et un dernier exemple pour votre propre solution :

Exemple 5

Notez les équations pour le plan tangent et la normale à la surface au point.

Final - car j'ai expliqué pratiquement tous les points techniques et il n'y a rien de spécial à ajouter. Même les fonctions elles-mêmes proposées dans cette tâche sont ennuyeuses et monotones - en pratique, vous êtes presque assuré de tomber sur un « polynôme », et en ce sens, l'exemple n° 2 avec un exposant ressemble à un « mouton noir ». Soit dit en passant, il est beaucoup plus probable de rencontrer une surface définie par une équation, et c'est une autre raison pour laquelle la fonction a été incluse dans l'article en tant que numéro deux.

Et enfin, le secret promis : alors comment éviter de bourrer les définitions ? (Bien sûr, je ne parle pas de la situation où un étudiant bachote fébrilement quelque chose avant un examen)

La définition de tout concept/phénomène/objet permet tout d’abord de répondre à la question suivante : QU’EST-CE QUE C’EST ? (qui/tel/tel/sont). Consciemment En répondant à cette question, vous devriez essayer de réfléchir significatif panneaux, certainement identifier un concept/phénomène/objet particulier. Oui, au début, cela s'avère quelque peu linguistique, inexact et redondant (le professeur vous corrigera =)), mais avec le temps, un discours scientifique assez décent se développe.

Entraînez-vous sur les objets les plus abstraits, par exemple, répondez à la question : qui est Cheburashka ? Ce n'est pas si simple ;-) Est-ce un « personnage de conte de fées avec de grandes oreilles, de grands yeux et une fourrure brune » ? Loin et très loin d'une définition - on ne sait jamais qu'il existe des personnages avec de telles caractéristiques... Mais ceci est beaucoup plus proche de la définition : "Cheburashka est un personnage inventé par l'écrivain Eduard Uspensky en 1966, qui... (liste des principales caractéristiques distinctives)". Remarquez à quel point tout a bien commencé