Type d'emploi : 7

Condition

La droite y=3x+2 est tangente au graphique de la fonction y=-12x^2+bx-10. Trouvez b, étant donné que l'abscisse du point tangent est inférieure à zéro.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point du graphe de la fonction y=-12x^2+bx-10 par lequel passe la tangente à ce graphe.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y"(x_0)=-24x_0+b=3. Par contre, le point de tangence appartient simultanément au graphe du fonction et la tangente, soit -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. On obtient un système d'équations \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cas)

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1. D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

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Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique des dérivées. Tangente au graphique d'une fonction

Condition

La droite y=-3x+4 est parallèle à la tangente au graphique de la fonction y=-x^2+5x-7. Trouvez l'abscisse du point tangent.

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Solution

Le coefficient angulaire de la droite du graphique de la fonction y=-x^2+5x-7 en un point arbitraire x_0 est égal à y"(x_0). Mais y"=-2x+5, ce qui signifie y" (x_0)=-2x_0+5. Angulaire le coefficient de la droite y=-3x+4 spécifié dans la condition est égal à -3. Les droites parallèles ont les mêmes coefficients de pente. On trouve donc une valeur x_0 telle que =- 2x_0 +5=-3.

On obtient : x_0 = 4.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau de profil" Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique des dérivées. Tangente au graphique d'une fonction

Condition

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Solution

A partir de la figure, nous déterminons que la tangente passe par les points A(-6; 2) et B(-1; 1). Notons C(-6; 1) le point d'intersection des droites x=-6 et y=1, et par \alpha l'angle ABC (on voit sur la figure qu'il est aigu). Alors la droite AB forme un angle \pi -\alpha avec la direction positive de l'axe Ox, qui est obtus.

Comme on le sait, tg(\pi -\alpha) sera la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x_0. remarquerez que tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. De là, en utilisant les formules de réduction, nous obtenons : tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique des dérivées. Tangente au graphique d'une fonction

Condition

La droite y=-2x-4 est tangente au graphique de la fonction y=16x^2+bx+12. Trouvez b, étant donné que l'abscisse du point tangent est supérieure à zéro.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point du graphe de la fonction y=16x^2+bx+12 par lequel

est tangente à ce graphique.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y"(x_0)=32x_0+b=-2. Par contre, le point de tangence appartient simultanément au graphe du fonction et la tangente, soit 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 On obtient un système d'équations \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cas)

En résolvant le système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1. Selon la condition d'abscisse, les points tangents sont supérieurs à zéro, donc x_0=1, alors b=-2-32x_0=-34.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique des dérivées. Tangente au graphique d'une fonction

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x), définie sur l'intervalle (-2 ; 8). Déterminez le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle à la droite y=6.

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Solution

La droite y=6 est parallèle à l'axe Ox. Par conséquent, nous trouvons des points où la tangente au graphique de la fonction est parallèle à l'axe Ox. Sur ce graphique, ces points sont des points extremum (points maximum ou minimum). Comme vous pouvez le constater, il y a 4 points extrêmes.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique des dérivées. Tangente au graphique d'une fonction

Condition

La droite y=4x-6 est parallèle à la tangente au graphique de la fonction y=x^2-4x+9. Trouvez l'abscisse du point tangent.

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Solution

La pente de la tangente au graphique de la fonction y=x^2-4x+9 en un point arbitraire x_0 est égale à y"(x_0). Mais y"=2x-4, ce qui signifie y"(x_0)= 2x_0-4. La pente de la tangente y =4x-7, spécifiée dans la condition, est égale à 4. Les droites parallèles ont les mêmes coefficients angulaires. On trouve donc une valeur de x_0 telle que 2x_0-4 = 4. On obtenir : x_0 = 4.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique des dérivées. Tangente au graphique d'une fonction

Condition

La figure montre le graphique de la fonction y=f(x) et la tangente à celle-ci au point d'abscisse x_0. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x_0.

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Solution

À partir de la figure, nous déterminons que la tangente passe par les points A(1 ; 1) et B(5 ; 4). Notons C(5; 1) le point d'intersection des droites x=5 et y=1, et par \alpha l'angle BAC (on voit sur la figure qu'il est aigu). Alors la droite AB forme un angle \alpha avec la direction positive de l’axe Ox.

Équation de la tangente au graphique d'une fonction

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Région de Tcheliabinsk

Équation de la tangente au graphique d'une fonction

L'article a été publié avec le soutien du complexe hôtelier ITAKA+. En séjournant dans la ville des constructeurs navals de Severodvinsk, vous ne rencontrerez pas le problème de trouver un logement temporaire. , sur le site du complexe hôtelier « ITHAKA+ » http://itakaplus.ru, vous pouvez louer facilement et rapidement un appartement en ville, pour n'importe quelle période, avec un paiement journalier.

Sur scène moderne développement de l'éducation, l'une de ses tâches principales est la formation d'une personnalité à la pensée créative. La capacité de créativité des étudiants ne peut être développée que s'ils sont systématiquement impliqués dans les bases des activités de recherche. La base permettant aux étudiants d'utiliser leurs pouvoirs créatifs, leurs capacités et leurs talents est constituée de connaissances et de compétences à part entière. À cet égard, le problème de la formation d'un système de connaissances et de compétences de base pour chaque sujet du cours de mathématiques scolaire n'est pas négligeable. Dans le même temps, des compétences à part entière devraient être l'objectif didactique non pas de tâches individuelles, mais d'un système soigneusement pensé de celles-ci. Au sens le plus large, un système est compris comme un ensemble d’éléments en interaction interconnectés, intègres et dotés d’une structure stable.

Considérons une technique pour apprendre aux étudiants à écrire une équation pour une tangente au graphique d'une fonction. Essentiellement, tous les problèmes liés à la recherche de l'équation tangente se résument à la nécessité de sélectionner parmi un ensemble (faisceau, famille) de droites celles qui satisfont à une certaine exigence - elles sont tangentes au graphique d'une certaine fonction. Dans ce cas, l'ensemble des lignes à partir duquel la sélection est effectuée peut être précisé de deux manières :

a) un point situé sur le plan xOy (crayon central de lignes) ;
b) coefficient angulaire (faisceau parallèle de lignes droites).

A cet égard, en étudiant le thème « Tangente au graphe d'une fonction » afin d'isoler les éléments du système, nous avons identifié deux types de problèmes :

1) problèmes sur une tangente donnés par le point par lequel elle passe ;
2) problèmes sur une tangente donnée par sa pente.

La formation à la résolution de problèmes tangents a été réalisée à l'aide de l'algorithme proposé par A.G. Mordkovitch. Sa différence fondamentale avec celles déjà connues est que l'abscisse du point tangent est désignée par la lettre a (au lieu de x0), et donc l'équation tangente prend la forme

y = f(une) + f "(une)(x – une)

(à comparer avec y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Cette technique méthodologique, à notre avis, permet aux étudiants de comprendre rapidement et facilement où sont écrites les coordonnées du point actuel l'équation générale de la tangente et où sont les points de contact.

Algorithme de composition de l'équation tangente au graphique de la fonction y = f(x)

1. Désignons l'abscisse du point tangent par la lettre a.
2. Trouvez f(a).
3. Trouvez f "(x) et f "(a).
4. Remplacez les nombres trouvés a, f(a), f "(a) dans équation générale tangente y = f(a) = f "(a)(x – a).

Cet algorithme peut être compilé sur la base de l’identification indépendante des opérations par les étudiants et de la séquence de leur mise en œuvre.

La pratique a montré que la solution séquentielle de chacun des problèmes clés à l'aide d'un algorithme permet de développer les compétences d'écriture de l'équation d'une tangente au graphique d'une fonction par étapes, et les étapes de l'algorithme servent de points de référence pour les actions. . Cette approche correspond à la théorie de la formation progressive des actions mentales développée par P.Ya. Galperin et N.F. Talyzina.

Dans le premier type de tâches, deux tâches clés ont été identifiées :

• la tangente passe par un point situé sur la courbe (problème 1) ;
• la tangente passe par un point ne se trouvant pas sur la courbe (problème 2).

Tâche 1. Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction au point M(3; – 2).

Solution. Le point M(3; – 2) est un point tangent, puisque

1. a = 3 – abscisse du point tangent.
2.f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – équation tangente.

Problème 2. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = – x 2 – 4x + 2 passant par le point M(– 3 ; 6).

Solution. Le point M(– 3 ; 6) n'est pas un point tangent, puisque f(– 3) 6 (Fig.2).

2. f(une) = – une 2 – 4une + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – équation tangente.

La tangente passe par le point M(– 3; 6), donc ses coordonnées satisfont à l'équation de la tangente.

6 = – une 2 – 4une + 2 – 2(une + 2)(– 3 – une),
une 2 + 6une + 8 = 0^ un 1 = – 4, un 2 = – 2.

Si a = – 4, alors l’équation tangente est y = 4x + 18.

Si a = – 2, alors l’équation tangente a la forme y = 6.

Dans le deuxième type, les tâches clés seront les suivantes :

• la tangente est parallèle à une ligne (problème 3) ;
• la tangente passe sous un certain angle par rapport à la ligne donnée (problème 4).

Problème 3. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = x 3 – 3x 2 + 3, parallèle à la droite y = 9x + 1.

Solution.

1. a – abscisse du point tangent.
2. f(une) = une 3 – 3une 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Mais, d'un autre côté, f "(a) = 9 (condition de parallélisme). Cela signifie que nous devons résoudre l'équation 3a 2 – 6a = 9. Ses racines sont a = – 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4. 1) une = – 1 ;
2) f(– 1) = – 1 ;
3) f "(– 1) = 9 ;
4) y = – 1 + 9(x + 1) ;

y = 9x + 8 – équation tangente ;

1) une = 3 ;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9 ;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – équation tangente.

Problème 4. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = 0,5x 2 – 3x + 1, passant sous un angle de 45° par rapport à la droite y = 0 (Fig. 4).

Solution. A partir de la condition f "(a) = tan 45° on trouve a : a – 3 = 1^une = 4.

1. a = 4 – abscisse du point tangent.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – équation tangente.

Il est facile de montrer que la solution à tout autre problème revient à résoudre un ou plusieurs problèmes clés. Considérons les deux problèmes suivants à titre d'exemple.

1. Écrivez les équations des tangentes à la parabole y = 2x 2 – 5x – 2, si les tangentes se coupent à angle droit et que l'une d'elles touche la parabole au point d'abscisse 3 (Fig. 5).

Solution. L’abscisse du point tangent étant donnée, la première partie de la solution se réduit au problème clé 1.

1. a = 3 – abscisse du point de tangence d'un des côtés de l'angle droit.
2.f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – équation de la première tangente.

Laissez un – angle d'inclinaison de la première tangente. Puisque les tangentes sont perpendiculaires, alors l’angle d’inclinaison de la deuxième tangente est égal à. De l’équation y = 7x – 20 de la première tangente nous avons tg a = 7. Trouvons

Cela signifie que la pente de la deuxième tangente est égale à .

La solution supplémentaire se résume à la tâche clé 3.

Soit B(c; f(c)) le point de tangence de la deuxième droite, alors

1. – abscisse du deuxième point de tangence.
2.
3.
4.
– équation de la deuxième tangente.

Note. Le coefficient angulaire de la tangente peut être trouvé plus facilement si les élèves connaissent le rapport des coefficients des droites perpendiculaires k 1 k 2 = – 1.

2. Écrivez les équations de toutes les tangentes communes aux graphiques de fonctions

Solution. La tâche revient à trouver l'abscisse des points tangents des tangentes communes, c'est-à-dire résoudre le problème clé 1 sous forme générale, établir un système d'équations puis le résoudre (Fig. 6).

1. Soit a l'abscisse du point tangent situé sur le graphique de la fonction y = x 2 + x + 1.
2. f(une) = une 2 + une + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = une 2 + une + 1 + (2a + 1)(x – une) = (2a + 1)x + 1 – une 2 .

1. Soit c l'abscisse du point tangent situé sur le graphique de la fonction
2.
3. f "(c) = c.
4.

Puisque les tangentes sont générales, alors

Donc y = x + 1 et y = – 3x – 3 sont des tangentes communes.

L'objectif principal des tâches considérées est de préparer les étudiants à reconnaître de manière autonome le type de problème clé lors de la résolution de problèmes plus complexes qui nécessitent certaines compétences de recherche (capacité d'analyser, de comparer, de généraliser, d'émettre une hypothèse, etc.). Ces tâches incluent toute tâche dans laquelle la tâche clé est incluse en tant que composant. Considérons comme exemple le problème (inverse du problème 1) de trouver une fonction à partir de la famille de ses tangentes.

3. Pour quoi b et c sont les droites y = x et y = – 2x tangentes au graphique de la fonction y = x 2 + bx + c ?

Solution.

Soit t l'abscisse du point de tangence de la droite y = x avec la parabole y = x 2 + bx + c ; p est l'abscisse du point de tangence de la droite y = – 2x avec la parabole y = x 2 + bx + c. Alors l'équation tangente y = x prendra la forme y = (2t + b)x + c – t 2 , et l'équation tangente y = – 2x prendra la forme y = (2p + b)x + c – p 2 .

Composons et résolvons un système d'équations

Répondre:

Problèmes à résoudre de manière autonome

1. Écrivez les équations des tangentes tracées au graphique de la fonction y = 2x 2 – 4x + 3 aux points d'intersection du graphique avec la droite y = x + 3.

Réponse : y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Pour quelles valeurs de a la tangente tracée au graphe de la fonction y = x 2 – hache au point du graphe d'abscisse x 0 = 1 passe-t-elle par le point M(2 ; 3) ?

Réponse : a = 0,5.

3. Pour quelles valeurs de p la droite y = px – 5 touche-t-elle la courbe y = 3x 2 – 4x – 2 ?

Réponse : p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Trouver tous les points communs du graphique de la fonction y = 3x – x 3 et la tangente tracée à ce graphique passant par le point P(0; 16).

Réponse : A(2 ; – 2), B(– 4 ; 52).

5. Trouvez la distance la plus courte entre la parabole y = x 2 + 6x + 10 et la ligne droite

Répondre:

6. Sur la courbe y = x 2 – x + 1, trouvez le point où la tangente au graphique est parallèle à la droite y – 3x + 1 = 0.

Réponse : M(2 ; 3).

7. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = x 2 + 2x – | 4x |, qui le touche en deux points. Faites un dessin.

Réponse : y = 2x – 4.

8. Montrer que la droite y = 2x – 1 ne coupe pas la courbe y = x 4 + 3x 2 + 2x. Trouvez la distance entre leurs points les plus proches.

Répondre:

9. Sur la parabole y = x 2, deux points sont pris en abscisses x 1 = 1, x 2 = 3. Une sécante est tracée par ces points. En quel point de la parabole la tangente à celle-ci sera-t-elle parallèle à la sécante ? Écrivez les équations sécantes et tangentes.

Réponse : y = 4x – 3 – équation sécante ; y = 4x – 4 – équation tangente.

10. Trouvez l'angle q entre les tangentes au graphique de la fonction y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, tracées aux points d'abscisses 0 et 1.

Réponse : q = 45°.

11. En quels points la tangente au graphique de la fonction forme-t-elle un angle de 135° avec l'axe Ox ?

Réponse : A(0 ; – 1), B(4 ; 3).

12. Au point A(1; 8) de la courbe une tangente est tracée. Trouvez la longueur du segment tangent entre les axes de coordonnées.

Répondre:

13. Écrivez l'équation de toutes les tangentes communes aux graphiques des fonctions y = x 2 – x + 1 et y = 2x 2 – x + 0,5.

Réponse : y = – 3x et y = x.

14. Trouver la distance entre les tangentes au graphique de la fonction parallèle à l’axe des x.

Répondre:

15. Déterminez sous quels angles la parabole y = x 2 + 2x – 8 coupe l'axe des x.

Réponse : q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Graphique de fonction trouver tous les points dont la tangente à chacun desquels à ce graphique coupe les demi-axes positifs des coordonnées, en coupant des segments égaux.

Réponse : A(– 3 ; 11).

17. La droite y = 2x + 7 et la parabole y = x 2 – 1 se coupent aux points M et N. Trouvez le point K d'intersection des droites tangentes à la parabole aux points M et N.

Réponse : K(1 ; – 9).

18. Pour quelles valeurs de b la droite y = 9x + b est-elle tangente au graphique de la fonction y = x 3 – 3x + 15 ?

Réponse 1; 31.

19. Pour quelles valeurs de k la droite y = kx – 10 n'a-t-elle qu'un seul point commun avec le graphique de la fonction y = 2x 2 + 3x – 2 ? Pour les valeurs trouvées de k, déterminez les coordonnées du point.

Réponse : k 1 = – 5, A(– 2 ; 0) ; k 2 = 11, B(2; 12).

20. Pour quelles valeurs de b la tangente tracée au graphique de la fonction y = bx 3 – 2x 2 – 4 au point d'abscisse x 0 = 2 passe-t-elle par le point M(1 ; 8) ?

Réponse : b = – 3.

21. Une parabole dont le sommet est sur l'axe Ox touche la droite passant par les points A(1; 2) et B(2; 4) au point B. Trouvez l'équation de la parabole.

Répondre:

22. A quelle valeur du coefficient k la parabole y = x 2 + kx + 1 touche-t-elle l'axe Ox ?

Réponse : k = d 2.

23. Trouvez les angles entre la droite y = x + 2 et la courbe y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Trouvez la distance entre les tangentes au graphique de la fonction et les génératrices avec la direction positive de l'axe Ox à un angle de 45°.

Répondre:

30. Trouvez le lieu des sommets de toutes les paraboles de la forme y = x 2 + ax + b tangente à la droite y = 4x – 1.

Réponse : droite y = 4x + 3.

Littérature

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algèbre et débuts de l'analyse : 3600 problèmes pour les écoliers et ceux qui entrent à l'université. – M., Outarde, 1999.
2. Mordkovich A. Séminaire quatre pour les jeunes enseignants. Sujet : Applications dérivées. – M., « Mathématiques », n° 21/94.
3. Formation de connaissances et de compétences basées sur la théorie de l'assimilation progressive des actions mentales. / Éd. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Université d'État de Moscou, 1968.

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Y = f(x) et si à ce stade une tangente peut être tracée au graphique de la fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors le coefficient angulaire de la tangente est égal à f"(a). Nous avons déjà utilisé à plusieurs reprises. Par exemple, au § 33, il a été établi que le graphique de la fonction y = sin x (sinusoïde) à l'origine forme un angle de 45° avec l'axe des x (plus précisément la tangente à la le graphique à l'origine fait un angle de 45° avec la direction positive de l'axe des x), et dans l'exemple 5 § 33 points ont été trouvés dans les délais donnés les fonctions, dans lequel la tangente est parallèle à l'axe des x. Dans l'exemple 2 du § 33, une équation a été établie pour la tangente au graphique de la fonction y = x 2 au point x = 1 (plus précisément, au point (1 ; 1), mais le plus souvent seule la valeur de l'abscisse est indiqué, estimant que si la valeur de l'abscisse est connue, alors la valeur de l'ordonnée peut être trouvée à partir de l'équation y = f(x)). Dans cette section, nous développerons un algorithme pour composer une équation tangente au graphique de n'importe quelle fonction.

Soit donné la fonction y = f(x) et le point M (a; f(a)), et on sait aussi que f"(a) existe. Créons une équation pour la tangente au graphique du fonction donnée dans point donné. Cette équation, comme l'équation de toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées, a la forme y = kx+m, la tâche est donc de trouver les valeurs des coefficients k et m.

Il n'y a aucun problème avec le coefficient angulaire k : on sait que k = f"(a). Pour calculer la valeur de m, on utilise le fait que la droite souhaitée passe par le point M(a; f (a)) Cela signifie que si nous substituons les coordonnées du point M dans l'équation de la droite, nous obtenons l'égalité correcte : f(a) = ka+m, d'où nous trouvons que m = f(a) - ka.
Il reste à substituer les valeurs trouvées des coefficients du kit dans l'équation droit:

Nous avons obtenu l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point x=a.
Si, disons,
En remplaçant les valeurs trouvées a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 dans l'équation (1), nous obtenons : y = 1+2(x-f), c'est-à-dire y = 2x-1.
Comparez ce résultat avec celui obtenu dans l'exemple 2 du § 33. Naturellement, la même chose s'est produite.
Créons une équation pour la tangente au graphique de la fonction y = tan x à l'origine. Nous avons: cela signifie cos x f"(0) = 1. En remplaçant les valeurs trouvées a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 dans l'équation (1), nous obtenons : y = x.
C'est pourquoi nous avons tracé la tangentoïde au § 15 (voir Fig. 62) passant par l'origine des coordonnées sous un angle de 45° par rapport à l'axe des abscisses.
Résoudre ces problèmes suffisamment exemples simples, nous avons en fait utilisé un certain algorithme, contenu dans la formule (1). Rendons cet algorithme explicite.

ALGORITHME DE DÉVELOPPEMENT D'UNE ÉQUATION POUR UNE TANGENTE AU GRAPHIQUE DE LA FONCTION y = f(x)

1) Désigner l'abscisse du point tangent par la lettre a.
2) Calculez 1 (a).
3) Trouvez f"(x) et calculez f"(a).
4) Remplacez les nombres trouvés a, f(a), (a) dans la formule (1).

Exemple 1.Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction au point x = 1.
Utilisons l'algorithme, en tenant compte du fait que dans dans cet exemple

En figue. 126 une hyperbole est représentée, une droite y = 2 est construite.
Le dessin confirme les calculs ci-dessus : en effet, la droite y = 2 touche l'hyperbole au point (1 ; 1).

Répondre: y = 2-x.
Exemple 2. Tracez une tangente au graphique de la fonction afin qu'elle soit parallèle à la droite y = 4x - 5.
Clarifions la formulation du problème. L'exigence de « tracer une tangente » signifie généralement « former une équation pour la tangente ». C'est logique, car si une personne était capable de créer une équation pour une tangente, il est peu probable qu'elle ait des difficultés à construire sur avion coordonné droite selon son équation.
Utilisons l'algorithme de composition de l'équation tangente en tenant compte de cela dans cet exemple Mais, contrairement à l'exemple précédent, il y a une ambiguïté : l'abscisse du point tangent n'est pas explicitement indiquée.
Commençons à penser comme ça. La tangente souhaitée doit être parallèle à la droite y = 4x-5. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs pentes sont égales. Cela signifie que le coefficient angulaire de la tangente doit être égal au coefficient angulaire de la droite donnée : Ainsi, nous pouvons trouver la valeur de a à partir de l’équation f"(a) = 4.
Nous avons:
De l'équation Cela signifie qu'il existe deux tangentes qui satisfont aux conditions du problème : l'une au point d'abscisse 2, l'autre au point d'abscisse -2.
Vous pouvez maintenant suivre l'algorithme.

Exemple 3. A partir du point (0 ; 1) tracer une tangente au graphique de la fonction
Utilisons l'algorithme de composition de l'équation tangente, en tenant compte du fait que dans cet exemple, notons qu'ici, comme dans l'exemple 2, l'abscisse du point tangent n'est pas explicitement indiquée. Néanmoins, nous suivons l'algorithme.

Par condition, la tangente passe par le point (0 ; 1). En substituant les valeurs x = 0, y = 1 dans l'équation (2), on obtient :
Comme vous pouvez le voir, dans cet exemple, ce n'est qu'à la quatrième étape de l'algorithme que nous avons réussi à trouver l'abscisse du point tangent. En substituant la valeur a =4 dans l'équation (2), on obtient :

En figue. 127 présente une illustration géométrique de l'exemple considéré : un graphique de la fonction est tracé

Au § 32 nous avons noté que pour une fonction y = f(x) ayant une dérivée en un point fixe x, l'égalité approchée est valable :

Pour faciliter le raisonnement ultérieur, changeons la notation : au lieu de x nous écrirons a, au lieu de nous écrirons x et, par conséquent, au lieu de nous écrirons x-a. Alors l’égalité approximative écrite ci-dessus prendra la forme :

Regardez maintenant la fig. 128. Une tangente est tracée au graphique de la fonction y = f(x) au point M (a; f (a)). Le point x est marqué sur l'axe des x à proximité de a. Il est clair que f(x) est l'ordonnée du graphique de la fonction au point spécifié x. Qu'est-ce que f(a) + f"(a) (x-a) ? C'est l'ordonnée de la tangente correspondant au même point x - voir formule (1). Quelle est la signification de l'égalité approximative (3) ? Le fait que Pour calculer la valeur approximative de la fonction, prenez la valeur en ordonnée de la tangente.

Exemple 4. Trouver la valeur approximative expression numérique 1,02 7 .
Il s'agit deà propos de trouver la valeur de la fonction y = x 7 au point x = 1,02. Utilisons la formule (3), en tenant compte du fait que dans cet exemple
En conséquence nous obtenons :

Si on utilise une calculatrice, on obtient : 1,02 7 = 1,148685667...
Comme vous pouvez le constater, la précision de l’approximation est tout à fait acceptable.
Répondre: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algèbre 10e année

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