Résolvez des équations rationnelles fractionnaires en ligne. Résoudre des équations quadratiques

Dans le cours de mathématiques de 7ème, on rencontre pour la première fois équations à deux variables, mais ils ne sont étudiés que dans le contexte de systèmes d'équations à deux inconnues. C'est pourquoi toute une série de problèmes dans lesquels certaines conditions sont introduites sur les coefficients de l'équation qui les limite tombent hors de vue. De plus, les méthodes de résolution de problèmes telles que « Résoudre une équation en nombres naturels ou entiers » sont également ignorées, bien que dans Matériel d'examen d'État unifié Et lors des examens d'entrée, des problèmes de ce genre se posent de plus en plus souvent.

Quelle équation sera appelée équation à deux variables ?

Ainsi, par exemple, les équations 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ou xy = 12 sont des équations à deux variables.

Considérons l'équation 2x – y = 1. Elle devient vraie lorsque x = 2 et y = 3, donc cette paire de valeurs variables est une solution à l'équation en question.

Ainsi, la solution de toute équation à deux variables est un ensemble de paires ordonnées (x ; y), valeurs des variables qui transforment cette équation en une véritable égalité numérique.

Une équation à deux inconnues peut :

UN) avoir une solution. Par exemple, l'équation x 2 + 5y 2 = 0 a une solution unique (0 ; 0) ;

b) avoir plusieurs solutions. Par exemple, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 a 4 solutions : (5 ; 2), (-5 ; 2), (5 ; -2), (-5 ; - 2);

V) n'ai pas de solutions. Par exemple, l'équation x 2 + y 2 + 1 = 0 n'a pas de solution ;

G) avoir une infinité de solutions. Par exemple, x + y = 3. Les solutions de cette équation seront des nombres dont la somme est égale à 3. L'ensemble des solutions de cette équation peut s'écrire sous la forme (k ; 3 – k), où k est n'importe quel réel nombre.

Les principales méthodes de résolution d'équations à deux variables sont des méthodes basées sur des expressions de factorisation, isolant un carré complet, utilisant les propriétés d'une équation quadratique, des expressions limitées et des méthodes d'estimation. L'équation est généralement transformée en une forme à partir de laquelle un système permettant de trouver les inconnues peut être obtenu.

Factorisation

Exemple 1.

Résolvez l’équation : xy – 2 = 2x – y.

Solution.

Nous regroupons les termes à des fins de factorisation :

(xy + y) – (2x + 2) = 0. De chaque parenthèse nous retirons un facteur commun :

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0 ;

(x + 1)(y – 2) = 0. On a :

y = 2, x – n'importe quel nombre réel ou x = -1, y – n'importe quel nombre réel.

Ainsi, la réponse est toutes les paires de la forme (x; 2), x € R et (-1; y), y € R.

Égal à zéro n'est pas nombres négatifs

Exemple 2.

Résolvez l'équation : 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solution.

Regroupement:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Maintenant, chaque parenthèse peut être pliée en utilisant la formule de différence au carré.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

La somme de deux expressions non négatives est nulle seulement si 3x – 2 = 0 et 2y – 3 = 0.

Cela signifie x = 2/3 et y = 3/2.

Réponse : (2/3 ; 3/2).

Méthode d'estimation

Exemple 3.

Résolvez l'équation : (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solution.

Dans chaque parenthèse nous sélectionnons un carré complet :

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimons le sens des expressions entre parenthèses.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 et (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, alors le côté gauche de l'équation est toujours au moins 2. L'égalité est possible si :

(x + 1) 2 + 1 = 1 et (y – 2) 2 + 2 = 2, ce qui signifie x = -1, y = 2.

Réponse : (-1 ; 2).

Faisons connaissance avec une autre méthode de résolution d'équations à deux variables du deuxième degré. Cette méthode consiste à traiter l'équation comme carré par rapport à une variable.

Exemple 4.

Résolvez l'équation : x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solution.

Résolvons l'équation comme une équation quadratique pour x. Trouvons le discriminant :

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . L'équation n'aura de solution que lorsque D = 0, c'est-à-dire si y = 4. Nous substituons la valeur de y dans l'équation d'origine et constatons que x = 3.

Réponse : (3 ; 4).

Souvent dans les équations à deux inconnues, ils indiquent restrictions sur les variables.

Exemple 5.

Résolvez l'équation en nombres entiers : x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solution.

Réécrivons l'équation sous la forme x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Le côté droit de l'équation résultante lorsqu'il est divisé par 5 donne un reste de 2. Par conséquent, x 2 n'est pas divisible par 5. Mais le carré d'un un nombre non divisible par 5 donne un reste de 1 ou 4. Ainsi, l'égalité est impossible et il n'y a pas de solutions.

Réponse : pas de racines.

Exemple 6.

Résolvez l'équation : (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solution.

Soulignons les carrés complets dans chaque parenthèse :

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Le côté gauche de l'équation est toujours supérieur ou égal à 3. L'égalité est possible à condition que |x| – 2 = 0 et y + 3 = 0. Ainsi, x = ± 2, y = -3.

Réponse : (2 ; -3) et (-2 ; -3).

Exemple 7.

Pour chaque paire d'entiers négatifs (x;y) satisfaisant l'équation
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculez la somme (x + y). Veuillez indiquer le plus petit montant dans votre réponse.

Solution.

Sélectionnons des carrés complets :

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37 ;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Puisque x et y sont des nombres entiers, leurs carrés sont également des nombres entiers. On obtient la somme des carrés de deux entiers égale à 37 si l'on additionne 1 + 36. Donc :

(x – y) 2 = 36 et (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 et (y + 2) 2 = 36.

En résolvant ces systèmes et en tenant compte du fait que x et y sont négatifs, nous trouvons des solutions : (-7 ; -1), (-9 ; -3), (-7 ; -8), (-9 ; -8).

Réponse : -17.

Ne désespérez pas si vous avez des difficultés à résoudre des équations à deux inconnues. Avec un peu de pratique, vous pouvez gérer n'importe quelle équation.

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Résolution de tout type d'équations en ligne sur le site destiné aux étudiants et écoliers pour consolider la matière étudiée. Équations en ligne. Il existe des types d'équations algébriques, paramétriques, transcendantales, fonctionnelles, différentielles et autres. Certaines classes d'équations ont des solutions analytiques, qui sont pratiques car elles donnent non seulement la valeur exacte de la racine, mais permettent également d'écrire la solution dans la forme forme d'une formule, qui peut inclure des paramètres. Les expressions analytiques permettent non seulement de calculer les racines, mais aussi d'analyser leur existence et leur quantité en fonction des valeurs des paramètres, ce qui est souvent encore plus important pour application pratique, comment valeurs spécifiques racines Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs des arguments pour lesquelles cette égalité est atteinte. Sur valeurs possibles des conditions supplémentaires peuvent être imposées sur les arguments (entier, réel, etc.). Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Vous pouvez résoudre l'équation en ligne instantanément et avec une grande précision du résultat. Les arguments des fonctions spécifiées (parfois appelés « variables ») sont appelés « inconnues » dans le cas d'une équation. Les valeurs des inconnues auxquelles cette égalité est atteinte sont appelées solutions ou racines de cette équation. On dit que les racines satisfont à cette équation. Résoudre une équation en ligne, c'est trouver l'ensemble de toutes ses solutions (racines) ou prouver qu'il n'y a pas de racines. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Les équations dont les ensembles de racines coïncident sont appelées équivalentes ou égales. Les équations qui n’ont pas de racines sont également considérées comme équivalentes. L'équivalence des équations a la propriété de symétrie : si une équation est équivalente à une autre, alors la deuxième équation est équivalente à la première. L'équivalence des équations a la propriété de transitivité : si une équation est équivalente à une autre, et la seconde est équivalente à une troisième, alors la première équation est équivalente à la troisième. La propriété d'équivalence des équations permet d'effectuer avec elles des transformations, sur lesquelles reposent les méthodes pour les résoudre. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Le site vous permettra de résoudre l'équation en ligne. Les équations pour lesquelles des solutions analytiques sont connues comprennent les équations algébriques ne dépassant pas le quatrième degré : équation linéaire, équation quadratique, équation cubique et une équation du quatrième degré. Équations algébriques de degrés supérieurs en cas général ils n'ont pas de solution analytique, bien que certains d'entre eux puissent être réduits à des équations de degrés inférieurs. Les équations qui incluent des fonctions transcendantales sont appelées transcendantales. Parmi elles, des solutions analytiques sont connues pour certaines équations trigonométriques, puisque les zéros fonctions trigonométriques bien connu. Dans le cas général, lorsqu'une solution analytique ne peut être trouvée, des méthodes numériques sont utilisées. Les méthodes numériques ne fournissent pas de solution exacte, mais permettent seulement de réduire l'intervalle dans lequel se situe la racine à une certaine valeur prédéterminée. Résoudre des équations en ligne.. Équations en ligne.. Au lieu d'une équation en ligne, nous imaginerons comment se forme la même expression dépendance linéaire et pas seulement le long d'une droite tangente, mais aussi au point même d'inflexion du graphique. Cette méthode est indispensable à tout moment dans l’étude du sujet. Il arrive souvent que la résolution d’équations se rapproche de la valeur finale en utilisant des nombres infinis et en écrivant des vecteurs. Il est nécessaire de vérifier les données initiales et c'est l'essence de la tâche. Sinon, la condition locale est convertie en formule. Inversion le long d'une droite de fonction donnée, que le calculateur d'équation calculera sans trop de retard dans l'exécution, le décalage sera servi par le privilège de l'espace. Nous parlerons de la réussite des étudiants dans le milieu scientifique. Cependant, comme tout ce qui précède, cela nous aidera dans le processus de recherche et lorsque vous résoudrez complètement l'équation, stockerez la réponse résultante aux extrémités du segment de droite. Les lignes dans l'espace se coupent en un point et ce point est appelé coupé par les lignes. L'intervalle sur la ligne est indiqué comme spécifié précédemment. Le poste le plus élevé pour l'étude des mathématiques sera publié. Attribuer une valeur d'argument de manière paramétrique surface donnée et résoudre l'équation en ligne sera en mesure d'exposer les principes d'un accès productif à la fonction. La bande de Möbius, ou l'infini comme on l'appelle, ressemble à un huit. Il s’agit d’une surface à un côté et non à deux côtés. Selon le principe généralement connu de tous, nous accepterons objectivement les équations linéaires comme désignation de base comme c'est le cas dans le domaine de la recherche. Seules deux valeurs d'arguments donnés séquentiellement sont capables de révéler la direction du vecteur. En supposant qu'une autre solution aux équations en ligne est bien plus que simplement la résoudre, cela signifie obtenir une version à part entière de l'invariant. Sans approche intégrée les étudiants ont du mal à étudier ce materiel. Comme auparavant, pour chaque cas particulier, notre calculateur d'équations en ligne pratique et intelligent aidera tout le monde dans les moments difficiles, car il vous suffit de spécifier les paramètres d'entrée et le système lui-même calculera la réponse. Avant de commencer à saisir des données, nous aurons besoin d’un outil de saisie, ce qui peut être réalisé sans trop de difficulté. Le nombre de chaque estimation de réponse conduira à une équation quadratique pour nos conclusions, mais ce n'est pas si facile à faire, car il est facile de prouver le contraire. La théorie, en raison de ses caractéristiques, n’est pas étayée par des connaissances pratiques. Voir un calculateur de fractions au stade de la publication de la réponse n'est pas une tâche facile en mathématiques, car l'alternative consistant à écrire un nombre sur un ensemble contribue à augmenter la croissance de la fonction. Cependant, il serait inexact de ne pas parler de la formation des étudiants, c'est pourquoi nous dirons chacun ce qu'il faut faire. L'équation cubique trouvée précédemment appartiendra à juste titre au domaine de la définition et contiendra l'espace des valeurs numériques, ainsi que des variables symboliques. Ayant appris ou mémorisé le théorème, nos étudiants ne feront leurs preuves qu'avec le meilleur côté, et nous serons heureux pour eux. Contrairement aux intersections de champs multiples, nos équations en ligne sont décrites par un plan de mouvement en multipliant deux et trois lignes numériques combinées. Un ensemble en mathématiques n’est pas défini de manière unique. La meilleure solution, selon les étudiants, est un enregistrement complet de l'expression. Comme on le disait en langage scientifique, l'abstraction des expressions symboliques n'entre pas dans l'état des choses, mais la solution des équations donne un résultat sans ambiguïté dans tous les domaines. cas connus. La durée du cours de l'enseignant dépend des besoins de cette proposition. L'analyse a montré la nécessité de toutes les techniques informatiques dans de nombreux domaines, et il est absolument clair qu'un calculateur d'équations est un outil indispensable entre les mains douées d'un étudiant. Une approche loyale de l’étude des mathématiques détermine l’importance des points de vue provenant de différentes directions. Vous souhaitez identifier l'un des théorèmes clés et résoudre l'équation de telle manière, en fonction de la réponse dont il sera nécessaire de l'appliquer ultérieurement. L'analyse dans ce domaine prend de l'ampleur. Commençons par le début et dérivons la formule. Après avoir franchi le niveau d'augmentation de la fonction, la ligne le long de la tangente au point d'inflexion conduira certainement au fait que la résolution de l'équation en ligne sera l'un des aspects principaux de la construction de ce même graphique à partir de l'argument de la fonction. Une approche amateur a le droit d'être appliquée si cette condition ne contredit pas les conclusions des étudiants. C'est la sous-tâche qui met au second plan l'analyse des conditions mathématiques sous forme d'équations linéaires dans le domaine existant de définition de l'objet. La compensation dans le sens de l'orthogonalité annule l'avantage d'une valeur absolue unique. La résolution modulo d'équations en ligne donne le même nombre de solutions si vous ouvrez d'abord les parenthèses avec un signe plus puis avec un signe moins. Dans ce cas, il y aura deux fois plus de solutions et le résultat sera plus précis. Un calculateur d'équations en ligne stable et correct est la réussite dans la réalisation de l'objectif visé dans la tâche définie par l'enseignant. Il semble possible de choisir la bonne méthode en raison des différences significatives entre les points de vue des grands scientifiques. L'équation quadratique résultante décrit la courbe des lignes, appelée parabole, et le signe déterminera sa convexité dans le système de coordonnées carrées. De l’équation, nous obtenons à la fois le discriminant et les racines elles-mêmes selon le théorème de Vieta. La première étape consiste à représenter l’expression comme une fraction propre ou impropre et à utiliser un calculateur de fraction. En fonction de cela, le plan de nos calculs ultérieurs sera formé. Mathématiques à approche théorique sera utile à chaque étape. Nous présenterons certainement le résultat sous la forme d'une équation cubique, car nous cacherons ses racines dans cette expression afin de simplifier la tâche d'un étudiant universitaire. Toutes les méthodes sont bonnes si elles conviennent à une analyse superficielle. Les opérations arithmétiques supplémentaires n'entraîneront pas d'erreurs de calcul. Détermine la réponse avec une précision donnée. En utilisant la solution d'équations, soyons réalistes : trouver la variable indépendante d'une fonction donnée n'est pas si facile, surtout pendant la période d'étude des droites parallèles à l'infini. Compte tenu de l’exception, la nécessité est très évidente. La différence de polarité est claire. De l'expérience de l'enseignement dans les instituts, notre professeur a appris leçon principale, dans lequel les équations ont été étudiées en ligne au sens mathématique complet. Ici, nous parlions d’efforts plus importants et de compétences particulières dans l’application de la théorie. Il ne faut pas regarder à travers un prisme pour parvenir à nos conclusions. Jusqu'à récemment, on pensait qu'un ensemble fermé augmentait rapidement dans la région telle qu'elle est et que la solution des équations devait simplement être étudiée. Dans un premier temps, nous n'avons pas tout considéré options possibles, mais cette approche est plus que jamais justifiée. Des actions supplémentaires entre parenthèses justifient certaines avancées selon les axes des ordonnées et des abscisses, qui ne peuvent être négligées à l'œil nu. Dans le sens d’une augmentation proportionnelle étendue de la fonction, il existe un point d’inflexion. Une fois de plus, nous prouverons comment condition nécessaire sera appliqué pendant tout l'intervalle de diminution de l'une ou l'autre position descendante du vecteur. Dans un espace confiné, nous sélectionnerons une variable du bloc initial de notre script. Un système construit à partir de trois vecteurs est responsable de l'absence du moment de force principal. Cependant, le calculateur d'équation a généré et aidé à trouver tous les termes de l'équation construite, à la fois au-dessus de la surface et le long de lignes parallèles. Traçons un cercle autour du point de départ. Ainsi, nous commencerons à remonter le long des lignes de coupe et la tangente décrira le cercle sur toute sa longueur, ce qui donnera une courbe appelée développante. Au fait, racontons un peu l'histoire de cette courbe. Le fait est qu’historiquement, en mathématiques, il n’existait pas de concept des mathématiques elles-mêmes dans leur compréhension pure comme c’est le cas aujourd’hui. Auparavant, tous les scientifiques étaient engagés dans une tâche commune, à savoir la science. Plus tard, plusieurs siècles plus tard, lorsque monde scientifique Remplie d'une quantité colossale d'informations, l'humanité identifiait encore de nombreuses disciplines. Ils restent toujours inchangés. Et pourtant, chaque année, des scientifiques du monde entier tentent de prouver que la science est illimitée et que l’on ne résoudra l’équation que si l’on possède des connaissances dans le domaine. sciences naturelles. Il n’est peut-être pas possible d’y mettre définitivement un terme. Y penser est aussi inutile que de réchauffer l’air extérieur. Trouvons l'intervalle auquel l'argument, si sa valeur est positive, déterminera le module de la valeur dans une direction fortement croissante. La réaction vous aidera à trouver au moins trois solutions, mais vous devrez les vérifier. Commençons par le fait que nous devons résoudre l'équation en ligne en utilisant le service unique de notre site Web. Entrons les deux côtés de l'équation donnée, cliquez sur le bouton « RÉSOLU » et obtenons la réponse exacte en quelques secondes seulement. DANS cas spéciaux Prenons un livre de mathématiques et vérifions notre réponse, c'est-à-dire qu'il suffit de regarder la réponse et tout deviendra clair. Le même projet de parallélépipède artificiel redondant verra le jour. Il existe un parallélogramme avec ses côtés parallèles, et il explique de nombreux principes et approches pour étudier la relation spatiale du processus ascendant d'accumulation d'espace creux dans des formules de forme naturelle. Des équations linéaires ambiguës montrent la dépendance de la variable souhaitée par rapport à notre commun ce moment décision de temps et vous devez d'une manière ou d'une autre dériver et apporter fraction impropreà un cas non trivial. Marquez dix points sur la ligne droite et tracez une courbe passant par chaque point dans la direction donnée, avec le point convexe vers le haut. Sans difficultés particulières, notre calculateur d'équations présentera une expression sous une forme telle que sa vérification de la validité des règles sera évidente dès le début de l'enregistrement. Le système de représentations spéciales de la stabilité pour les mathématiciens vient en premier, sauf disposition contraire de la formule. Nous y répondrons par une présentation détaillée d'un rapport sur le thème de l'état isomorphe d'un système plastique de corps et la résolution d'équations en ligne décrira le mouvement de chaque point matériel de ce système. Au niveau des recherches approfondies, il faudra clarifier en détail la question des inversions au moins de la couche inférieure de l’espace. Par ordre croissant sur la section de discontinuité de la fonction, nous appliquerons méthode générale un excellent chercheur, d'ailleurs, notre compatriote, et nous parlerons ci-dessous du comportement de l'avion. En raison des fortes caractéristiques d'une fonction définie analytiquement, nous utilisons le calculateur d'équations en ligne uniquement aux fins prévues, dans les limites d'autorité qui en découlent. En raisonnant plus loin, nous concentrerons notre examen sur l'homogénéité de l'équation elle-même, c'est-à-dire que son côté droit est égal à zéro. Assurons-nous encore une fois que notre décision en mathématiques est correcte. Afin d’éviter d’obtenir une solution triviale, nous apporterons quelques ajustements aux conditions initiales du problème de stabilité conditionnelle du système. Créons une équation quadratique, pour laquelle nous écrivons deux entrées en utilisant une formule bien connue et trouvons les racines négatives. Si une racine est supérieure de cinq unités aux deuxième et troisième racines, alors en apportant des modifications à argument principal nous déformons ainsi les conditions initiales de la sous-tâche. De par sa nature même, quelque chose d’inhabituel en mathématiques peut toujours être décrit au centième d’un nombre positif le plus proche. Le calculateur de fractions est plusieurs fois supérieur à ses analogues sur des ressources similaires au meilleur moment de charge du serveur. Sur la surface du vecteur vitesse croissant le long de l'axe des ordonnées, nous traçons sept lignes courbées dans des directions opposées les unes aux autres. La commensurabilité de l'argument de fonction attribué est en avance sur les lectures du compteur de solde de récupération. En mathématiques, on peut représenter ce phénomène à travers une équation cubique à coefficients imaginaires, ainsi que dans la progression bipolaire de droites décroissantes. Points critiques Les différences de température décrivent à bien des égards le processus de décomposition d’une fonction fractionnaire complexe en facteurs. Si on vous demande de résoudre une équation, ne vous précipitez pas pour le faire tout de suite, évaluez d'abord l'ensemble du plan d'action, puis acceptez. la bonne approche. Il y aura certainement des avantages. La facilité de travail est évidente, et il en va de même en mathématiques. Résolvez l'équation en ligne. Toutes les équations en ligne représentent un certain type d'enregistrement de nombres ou de paramètres et une variable qui doit être déterminée. Calculez cette même variable, c'est-à-dire trouvez des valeurs ou des intervalles spécifiques d'un ensemble de valeurs auxquels l'identité sera maintenue. Les conditions initiales et finales en dépendent directement. La solution générale des équations comprend généralement certaines variables et constantes, grâce auxquelles nous obtiendrons des familles entières de solutions pour un énoncé de problème donné. En général, cela justifie les efforts investis pour augmenter la fonctionnalité d'un cube spatial d'un côté égal à 100 centimètres. Vous pouvez appliquer un théorème ou un lemme à n’importe quelle étape de la construction d’une réponse. Le site produit progressivement un calculateur d'équations, si nécessaire, sur n'importe quel intervalle de sommation des produits affichés plus petite valeur. Dans la moitié des cas, une telle boule est creuse, non dans une plus grande mesure répond aux exigences pour définir une réponse intermédiaire. Au moins sur l'axe des ordonnées dans le sens de la représentation vectorielle décroissante, cette proportion sera sans doute plus optimale que l'expression précédente. A l'heure où l'on fait une analyse ponctuelle complète sur les fonctions linéaires, nous allons, en effet, rassembler tous nos nombres complexes et espaces planaires bipolaires. En remplaçant une variable dans l'expression résultante, vous résoudrez l'équation étape par étape et donnerez la réponse la plus détaillée avec une grande précision. Il serait de bon ton de la part d'un élève de vérifier à nouveau ses actions en mathématiques. La proportion dans le rapport des fractions a enregistré l'intégrité du résultat dans tous les domaines d'activité importants du vecteur zéro. La trivialité se confirme à la fin des actions réalisées. Avec une tâche simple, les étudiants n'auront peut-être aucune difficulté s'ils résolvent l'équation en ligne dans les plus brefs délais, mais n'oublient pas toutes les différentes règles. Un ensemble de sous-ensembles se croisent dans une région de notation convergente. DANS différents cas le produit n’est pas factorisé par erreur. Vous serez aidé à résoudre l'équation en ligne dans notre première section, dédiée aux bases des techniques mathématiques pour les sections importantes pour les étudiants des universités et des écoles techniques. Nous n’aurons pas à attendre quelques jours pour obtenir des réponses, puisque le processus d’interaction optimale de l’analyse vectorielle avec la recherche séquentielle de solutions a été breveté au début du siècle dernier. Il s’avère que les efforts pour établir des relations avec l’équipe environnante n’ont pas été vains : il fallait évidemment autre chose en premier. Plusieurs générations plus tard, les scientifiques du monde entier ont fait croire que les mathématiques étaient la reine des sciences. Qu'il s'agisse de la réponse de gauche ou de la bonne, les termes exhaustifs doivent quand même être écrits sur trois lignes, puisque dans notre cas nous ne parlerons certainement que d'analyse vectorielle des propriétés de la matrice. Les équations non linéaires et linéaires, ainsi que les équations biquadratiques, occupent une place particulière dans notre livre sur les meilleures pratiques calculer la trajectoire de mouvement dans l'espace de tous les points matériels d'un système fermé. Aidez-nous à donner vie à votre idée analyse linéaire produit scalaire trois vecteurs consécutifs. À la fin de chaque instruction, la tâche est facilitée par la mise en œuvre d'exceptions numériques optimisées dans les superpositions d'espace numérique effectuées. Un jugement différent ne contrastera pas avec la réponse trouvée dans forme libre triangle dans un cercle. L'angle entre deux vecteurs contient le pourcentage de marge requis, et la résolution d'équations en ligne révèle souvent une certaine racine commune de l'équation, par opposition aux conditions initiales. L'exception joue le rôle de catalyseur dans tout le processus inévitable de recherche d'une solution positive dans le domaine de la définition d'une fonction. S'il n'est pas dit que vous ne pouvez pas utiliser un ordinateur, alors un calculateur d'équations en ligne est parfait pour vos problèmes difficiles. Il vous suffit de saisir vos données conditionnelles dans le bon format et notre serveur vous délivrera le format le plus rapide possible. dès que possible réponse complète résultante. Une fonction exponentielle augmente beaucoup plus vite qu'une fonction linéaire. Les Talmuds de la littérature des bibliothèques intelligentes en témoignent. Effectuera le calcul dans dans un sens général comme le ferait une équation quadratique donnée avec trois coefficients complexes. La parabole dans la partie supérieure du demi-plan caractérise un mouvement parallèle rectiligne le long des axes de la pointe. Il convient ici de mentionner la différence potentielle dans l’espace de travail du corps. En échange d'un résultat sous-optimal, notre calculateur de fractions occupe à juste titre la première position dans l'évaluation mathématique de l'examen des programmes fonctionnels côté serveur. La simplicité d'utilisation de ce service sera appréciée par des millions d'internautes. Si vous ne savez pas comment l'utiliser, nous serons heureux de vous aider. Nous aimerions aussi particulièrement noter et mettre en évidence l'équation cubique issue d'un certain nombre de problèmes de l'école primaire, lorsqu'il faut trouver rapidement ses racines et construire un graphique de la fonction sur un plan. Diplômes supérieurs la reproduction est l'un des problèmes mathématiques complexes de l'institut et un nombre d'heures suffisant est alloué à son étude. Comme toutes les équations linéaires, les nôtres ne font pas exception selon de nombreuses règles objectives : regardez sous différents points de vue, et il s'avère simple et suffisant de fixer les conditions initiales. L'intervalle d'augmentation coïncide avec l'intervalle de convexité de la fonction. Résoudre des équations en ligne. L'étude de la théorie est basée sur des équations en ligne provenant de nombreuses sections de l'étude de la discipline principale. Dans le cas de cette approche des problèmes incertains, il est très simple de présenter la solution des équations sous une forme prédéterminée et non seulement de tirer des conclusions, mais également de prédire le résultat d'une telle solution positive. Un service dans les meilleures traditions mathématiques nous aidera à apprendre la matière, comme c'est la coutume en Orient. DANS meilleurs moments intervalle de temps, les tâches similaires étaient multipliées par un facteur commun de dix. L'abondance de multiplications de plusieurs variables dans le calculateur d'équations a commencé à se multiplier par des variables qualitatives plutôt que quantitatives telles que la masse ou le poids corporel. Afin d'éviter les cas de déséquilibre du système matériel, la dérivation d'un transformateur tridimensionnel sur la convergence triviale de matrices mathématiques non dégénérées nous apparaît bien évidente. Terminez la tâche et résolvez l'équation dans les coordonnées données, puisque la conclusion est inconnue à l'avance, tout comme toutes les variables incluses dans le temps post-espace. Sur court terme déplacer le facteur commun au-delà des parenthèses et diviser par le plus grand diviseur commun les deux parties à l'avance. À partir du sous-ensemble de nombres couvert résultant, extrayez de manière détaillée trente-trois points d'affilée sur une courte période. À tel point que de la meilleure façon possible Résoudre une équation en ligne est possible pour chaque étudiant. Pour l’avenir, disons une chose importante mais essentielle, sans laquelle il sera difficile de vivre à l’avenir. Au siècle dernier, le grand scientifique a remarqué un certain nombre de tendances dans la théorie des mathématiques. Dans la pratique, le résultat n’a pas été tout à fait l’impression attendue des événements. Cependant, en principe, cette solution même d'équations en ligne contribue à améliorer la compréhension et la perception d'une approche holistique de l'étude et à la consolidation pratique de la matière théorique couverte par les étudiants. Il est beaucoup plus facile de le faire pendant votre temps d'étude.

=

I. hache 2 =0 – incomplet équation quadratique (b=0, c=0 ). Solution : x=0. Réponse : 0.

Résolvez des équations.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Solution. Ouvrons les parenthèses en multipliant 2x pour chaque terme entre parenthèses :

2x 2 +6x=6x-x 2 ; On déplace les termes de la droite vers la gauche :

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Voici des termes similaires :

3x 2 =0, donc x=0.

Répondre: 0.

II. hache 2 +bx=0 –incomplet équation quadratique (c=0 ). Solution : x (ax+b)=0 → x 1 =0 ou ax+b=0 → x 2 =-b/a. Réponse : 0 ; -b/a.

5x2-26x=0.

Solution. Supprimons le facteur commun X en dehors des parenthèses :

x(5x-26)=0; chaque facteur peut être égal à zéro :

x=0 ou 5x-26=0→ 5x=26, divisez les deux côtés de l'égalité par 5 et on obtient : x=5,2.

Répondre: 0; 5,2.

Exemple 3. 64x+4x2 =0.

Solution. Supprimons le facteur commun 4x en dehors des parenthèses :

4x(16+x)=0. Nous avons trois facteurs, 4≠0 donc, ou x=0 ou 16+x=0. De la dernière égalité nous obtenons x=-16.

Répondre: -16; 0.

Exemple 4.(x-3)2 +5x=9.

Solution. En appliquant la formule du carré de la différence de deux expressions, nous ouvrirons les parenthèses :

x2 -6x+9+5x=9; transformer sous la forme : x 2 -6x+9+5x-9=0 ; Présentons des termes similaires :

x2-x=0 ; nous allons le retirer X en dehors des parenthèses, on obtient : x (x-1)=0. D'ici ou x=0 ou x-1=0→ x=1.

Répondre: 0; 1.

III. hache 2 +c=0 –incomplet équation quadratique (b=0 ); Solution : hache 2 =-c → x 2 =-c/a.

Si (-Californie)<0 , alors il n'y a pas de vraies racines. Si (-c/à)>0

Exemple 5. x2-49=0.

Solution.

x 2 =49, à partir d'ici x=±7. Répondre:-7; 7.

Exemple 6. 9x2-4=0.

Solution.

Souvent, vous devez trouver la somme des carrés (x 1 2 +x 2 2) ou la somme des cubes (x 1 3 +x 2 3) des racines d'une équation quadratique, moins souvent - la somme des valeurs réciproques ​​des carrés des racines ou somme des racines carrées arithmétiques des racines d'une équation quadratique :

Le théorème de Vieta peut vous aider :

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p ; x1 ∙x2 =q.

Exprimons à travers p Et q:

1) somme des carrés des racines de l'équation x 2 +px+q=0;

2) somme des cubes des racines de l'équation x2 +px+q=0.

Solution.

1) Expression x1 2 +x2 2 obtenu en mettant au carré les deux côtés de l'équation x 1 + x 2 = -p ;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; ouvrez les parenthèses : x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; nous exprimons la quantité requise : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Nous obtenons une égalité utile : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Expression x1 3 +x2 3 Représentons la somme des cubes par la formule :

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Une autre équation utile : x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Exemples.

3)x2-3x-4=0. Sans résoudre l'équation, calculez la valeur de l'expression x1 2 +x2 2.

Solution.

x 1 + x 2 =-p=3, et le travail x1 ∙x2 =q=dans l'exemple 1) égalité :

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Nous avons -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9 ; q= x1x2 = -4. Alors x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Répondre: x1 2 +x2 2 =17.

4) x2 -2x-4=0. Calculez : x 1 3 +x 2 3 .

Solution.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines de cette équation quadratique réduite est x 1 + x 2 =-p=2, et le travail x1 ∙x2 =q=-4. Appliquons ce que nous avons reçu ( dans l'exemple 2) égalité : x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Répondre: x1 3 +x2 3 =32.

Question : et si on nous donnait une équation quadratique non réduite ? Réponse : il peut toujours être « réduit » en divisant terme à terme par le premier coefficient.

5) 2x2 -5x-7=0. Sans décider, calculez : x1 2 +x2 2.

Solution. On nous donne une équation quadratique complète. Divisez les deux côtés de l'égalité par 2 (le premier coefficient) et obtenez l'équation quadratique suivante : x2 -2,5x-3,5=0.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines est égale à 2,5 ; le produit des racines est égal -3,5 .

Nous le résolvons de la même manière que dans l'exemple 3) en utilisant l'égalité : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Répondre: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6)x2-5x-2=0. Trouver:

Transformons cette égalité et, en utilisant le théorème de Vieta, remplaçons la somme des racines par -p, et le produit des racines à travers q, nous obtenons une autre formule utile. Lors de la dérivation de la formule, nous avons utilisé l'égalité 1) : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Dans notre exemple x 1 + x 2 =-p=5 ; x1 ∙x2 =q=-2. Nous substituons ces valeurs dans la formule résultante :

7)x2 -13x+36=0. Trouver:

Transformons cette somme et obtenons une formule qui peut être utilisée pour trouver la somme des racines carrées arithmétiques à partir des racines d'une équation quadratique.

Nous avons x 1 + x 2 =-p=13 ; x1 ∙x2 =q=36. Nous substituons ces valeurs dans la formule résultante :

Conseil : Vérifiez toujours la possibilité de trouver les racines d'une équation quadratique par une méthode adaptée, car 4 examiné formules utiles permettent de réaliser rapidement une tâche, notamment dans les cas où le discriminant est un numéro « gênant ». Dans tous les cas simples, trouver les racines et opérer dessus. Par exemple, dans le dernier exemple, nous sélectionnons les racines en utilisant le théorème de Vieta : la somme des racines doit être égale à 13 , et le produit des racines 36 . Quels sont ces chiffres ? Certainement, 4 et 9. Calculons maintenant la somme des racines carrées de ces nombres : 2+3=5. C'est ça!

I. Théorème de Vieta pour l'équation quadratique réduite.

Somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 est égal au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre :

x 1 + x 2 = -p ; x1 ∙x2 =q.

Trouvez les racines de l'équation quadratique donnée en utilisant le théorème de Vieta.

Exemple 1) x 2 -x-30=0. C'est l'équation quadratique réduite ( x2 +px+q=0), deuxième coefficient p=-1, et le membre gratuit q=-30. Tout d’abord, assurons-nous que cette équation a des racines et que les racines (le cas échéant) seront exprimées en nombres entiers. Pour ce faire, il suffit que le discriminant soit le carré parfait d’un nombre entier.

Trouver le discriminant D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Or, selon le théorème de Vieta, la somme des racines doit être égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, c'est-à-dire ( -p), et le produit est égal au terme libre, c'est-à-dire ( q). Alors:

x1 +x2 =1 ; x1 ∙x2 =-30. Il faut choisir deux nombres tels que leur produit soit égal à -30 , et le montant est unité. Ce sont des chiffres -5 Et 6 . Réponse : -5 ; 6.

Exemple 2) x 2 +6x+8=0. On a l'équation quadratique réduite avec le deuxième coefficient p=6 et membre gratuit q=8. Assurons-nous qu'il existe des racines entières. Trouvons le discriminant J 1 J 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Le discriminant D 1 est le carré parfait du nombre 1 , ce qui signifie que les racines de cette équation sont des nombres entiers. Sélectionnons les racines à l'aide du théorème de Vieta : la somme des racines est égale à –р=-6, et le produit des racines est égal à q=8. Ce sont des chiffres -4 Et -2 .

En fait : -4-2=-6=-р ; -4∙(-2)=8=q. Réponse : -4 ; -2.

Exemple 3) x 2 +2x-4=0. Dans cette équation quadratique réduite, le deuxième coefficient p=2, et le membre gratuit q=-4. Trouvons le discriminant J 1, puisque le deuxième coefficient est nombre pair. J 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Le discriminant n'est pas un carré parfait du nombre, donc nous le faisons conclusion: Les racines de cette équation ne sont pas des nombres entiers et ne peuvent être trouvées à l’aide du théorème de Vieta. Cela signifie que nous résolvons cette équation, comme d'habitude, en utilisant les formules (dans ce cas, en utilisant les formules). On a:

Exemple 4).Écrivez une équation quadratique en utilisant ses racines si x1 =-7, x2 =4.

Solution. L'équation recherchée s'écrira sous la forme : x 2 +px+q=0, et, basé sur le théorème de Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 →p=3 ; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . L’équation prendra alors la forme : x2 +3x-28=0.

Exemple 5).Écrivez une équation quadratique en utilisant ses racines si :

II. Théorème de Vieta pour une équation quadratique complète hache 2 +bx+c=0.

La somme des racines est moins b, divisé par UN, le produit des racines est égal à Avec, divisé par UN:

x 1 + x 2 = -b/a ; x 1 ∙x 2 =c/une.

Exemple 6). Trouver la somme des racines d'une équation quadratique 2x2 -7x-11=0.

Solution.

Nous nous assurons que cette équation aura des racines. Pour ce faire, il suffit de créer une expression pour le discriminant, et, sans la calculer, de s'assurer simplement que le discriminant est supérieur à zéro. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Utilisons maintenant théorème Vieta pour plein équations du second degré.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Exemple 7). Trouver le produit des racines d'une équation quadratique 3x2 +8x-21=0.

Solution.

Trouvons le discriminant J 1, puisque le deuxième coefficient ( 8 ) est un nombre pair. J 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . L'équation quadratique a 2 racine, selon le théorème de Vieta, le produit des racines x 1 ∙x 2 =c:une=-21:3=-7.

I. hache 2 +bx+c=0– équation quadratique générale

Discriminant D=b 2 - 4ac.

Si D>0, alors nous avons deux vraies racines :

Si D=0, alors nous avons une seule racine (ou deux racines égales) x=-b/(2a).

Si D<0, то действительных корней нет.

Exemple 1) 2x2 +5x-3=0.

Solution. un=2; b=5; c=-3.

D = b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 vraies racines.

4x2 +21x+5=0.

Solution. un=4; b=21; c=5.

D = b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 vraies racines.

II. hache 2 +bx+c=0 – équation quadratique de forme particulière avec même une seconde

coefficient b

Exemple 3) 3x2 -10x+3=0.

Solution. un=3; b=-10 (nombre pair) ; c=3.

Exemple 4) 5x2 -14x-3=0.

Solution. un=5; b= -14 (nombre pair) ; c=-3.

Exemple 5) 71x2 +144x+4=0.

Solution. un=71; b=144 (nombre pair) ; c=4.

Exemple 6) 9x2 -30x+25=0.

Solution. un=9; b=-30 (nombre pair) ; c=25.

III. hache 2 +bx+c=0 – équation quadratique type privé fourni: a-b+c=0.

La première racine est toujours égale à moins un et la deuxième racine est toujours égale à moins Avec, divisé par UN:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Exemple 7) 2x2 +9x+7=0.

Solution. un=2; b=9; c=7. Vérifions l'égalité : a-b+c=0. On a: 2-9+7=0 .

Alors x1 =-1, x2 =-c/a=-7/2=-3,5. Répondre: -1; -3,5.

IV. hache 2 +bx+c=0 – équation quadratique d'une forme particulière soumise à : a+b+c=0.

La première racine est toujours égale à un et la deuxième racine est égale à Avec, divisé par UN:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Exemple 8) 2x2 -9x+7=0.

Solution. un=2; b=-9; c=7. Vérifions l'égalité : a+b+c=0. On a: 2-9+7=0 .

Alors x1 =1, x2 =c/a=7/2=3,5. Répondre: 1; 3,5.

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Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. Il est absolument nécessaire de pouvoir les résoudre.

Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a, b et c sont des nombres arbitraires et a ≠ 0.

Avant d'étudier des méthodes de résolution spécifiques, notez que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :

1. N'avoir pas de racines ;
2. Avoir exactement une racine ;
3. Ils ont deux racines différentes.

C'est une différence importante entre les équations quadratiques et les équations linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d’une équation ? Il y a une chose merveilleuse à cela - discriminant.

Discriminant

Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac.

Il faut connaître cette formule par cœur. D’où cela vient n’a plus d’importance maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:

1. Si D< 0, корней нет;
2. Si D = 0, il y a exactement une racine ;
3. Si D > 0, il y aura deux racines.

Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme beaucoup de gens le croient pour une raison quelconque. Jetez un œil aux exemples et vous comprendrez tout vous-même :

Tâche. Combien de racines ont les équations quadratiques :

1. x 2 − 8x + 12 = 0 ;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0 ;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
une = 1, b = −8, c = 12 ;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Le discriminant est donc positif, donc l’équation a deux racines différentes. Nous analysons la deuxième équation de la même manière :
une = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines. La dernière équation restante est :
une = 1 ; b = −6 ; c = 9 ;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminant égal à zéro- il y aura une racine.

Veuillez noter que des coefficients ont été notés pour chaque équation. Oui, c’est long, oui, c’est fastidieux, mais on ne va pas mélanger les probabilités et faire des erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.

D'ailleurs, si vous comprenez, au bout d'un moment, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à faire cela quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tant que ça.

Racines d'une équation quadratique

Passons maintenant à la solution elle-même. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :

Formule de base pour les racines d'une équation quadratique

Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtiendrez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0 ;
2. 15 − 2x − x2 = 0 ;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Première équation :
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = −2 ; c = −3 ;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Trouvons-les :

Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = −2 ; c = 15 ;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fin(aligner)\]

Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ une = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N’importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :

Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lors de la substitution de coefficients négatifs dans la formule. Là encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera : regardez la formule littéralement, notez chaque étape - et très bientôt vous vous débarrasserez des erreurs.

Équations quadratiques incomplètes

Il arrive qu'une équation quadratique soit légèrement différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:

1. x2 + 9x = 0 ;
2. X 2 - 16 = 0.

Il est facile de remarquer qu’il manque un terme dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standards : elles ne nécessitent même pas de calculer le discriminant. Alors, introduisons un nouveau concept :

L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est égal à zéro.

Bien entendu, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro : b = c = 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 = 0. Évidemment, une telle équation a une racine unique : x = 0.

Considérons les cas restants. Soit b = 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0. Transformons-la un peu :

Depuis l'arithmétique Racine carrée n'existe qu'à partir d'un nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a) ≥ 0. Conclusion :

1. Si dans une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 l'inégalité (−c /a) ≥ 0 est satisfaite, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus ;
2. Si (−c /a)< 0, корней нет.

Comme vous pouvez le constater, aucun discriminant n'était nécessaire : il n'y a aucun calcul complexe dans les équations quadratiques incomplètes. En fait, il n'est même pas nécessaire de se souvenir de l'inégalité (−c /a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S’il y a un nombre positif, il y aura deux racines. S’il est négatif, il n’y aura aucune racine.

Regardons maintenant les équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :

Sortir le facteur commun des parenthèses

Le produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, examinons quelques-unes de ces équations :

Tâche. Résoudre des équations quadratiques :

1. x 2 - 7x = 0 ;
2. 5x2 + 30 = 0 ;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 ; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Il n'y a pas de racines, parce que un carré ne peut pas être égal à un nombre négatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5 ; x 2 = −1,5.

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Résoudre l'équation dans vue générale. Dans une telle équation, les coefficients variables et les racines souhaitées sont interconnectés. La puissance la plus élevée d’une variable détermine l’ordre d’une telle équation. Sur cette base, diverses méthodes et théorèmes sont utilisés pour les équations afin de trouver des solutions. Résoudre des équations de ce type signifie trouver les racines requises sous forme générale. Notre service vous permet de résoudre en ligne même les équations algébriques les plus complexes. Vous pouvez obtenir à la fois une solution générale de l'équation et une solution particulière pour les valeurs numériques des coefficients que vous spécifiez. Pour résoudre une équation algébrique sur le site, il suffit de remplir correctement seulement deux champs : les côtés gauche et droit de l'équation donnée. Les équations algébriques à coefficients variables ont un nombre infini de solutions, et en posant certaines conditions, les solutions privées sont sélectionnées parmi un ensemble de solutions. Équation quadratique. L'équation quadratique a la forme ax^2+bx+c=0 pour a>0. Résoudre des équations quadratiques implique de trouver les valeurs de x auxquelles l'égalité ax^2+bx+c=0 est vraie. Pour ce faire, trouvez la valeur discriminante à l'aide de la formule D=b^2-4ac. Si le discriminant est inférieur à zéro, alors l'équation n'a pas de racines réelles (les racines proviennent du champ nombres complexes), si égal à zéro, alors l'équation a une racine réelle, et si le discriminant est supérieur à zéro, alors l'équation a deux racines réelles, qui sont trouvées par la formule : D= -b+-sqrt/2a. Pour résoudre une équation quadratique en ligne, il vous suffit de saisir les coefficients de l'équation (entiers, fractions ou décimaux). S'il y a des signes de soustraction dans une équation, vous devez mettre un signe moins devant les termes correspondants de l'équation. Vous pouvez résoudre une équation quadratique en ligne en fonction du paramètre, c'est-à-dire des variables contenues dans les coefficients de l'équation. Notre service en ligne pour trouver solutions générales. Équations linéaires. Pour des solutions équations linéaires(ou systèmes d'équations), il existe quatre méthodes principales utilisées dans la pratique. Nous décrirons chaque méthode en détail. Méthode de substitution. La résolution d'équations à l'aide de la méthode de substitution nécessite d'exprimer une variable en fonction des autres. Après cela, l’expression est remplacée par d’autres équations du système. D'où le nom de la méthode de solution, c'est-à-dire qu'au lieu d'une variable, son expression est substituée par les variables restantes. En pratique, la méthode nécessite des calculs complexes, même si elle est facile à comprendre, donc résoudre une telle équation en ligne permettra de gagner du temps et de faciliter les calculs. Il vous suffit d'indiquer le nombre d'inconnues dans l'équation et de renseigner les données des équations linéaires, puis le service effectuera le calcul. Méthode Gauss. La méthode s'appuie sur les transformations les plus simples du système afin d'arriver à un système triangulaire équivalent. A partir de là, les inconnues sont déterminées une à une. En pratique, il faut résoudre une telle équation en ligne avec Description détaillée, grâce auquel vous aurez une bonne compréhension de la méthode gaussienne de résolution de systèmes d'équations linéaires. Notez le système d'équations linéaires dans le format correct et tenez compte du nombre d'inconnues afin de résoudre le système avec précision. Méthode de Cramer. Cette méthode résout des systèmes d’équations dans les cas où le système a une solution unique. La principale action mathématique ici est le calcul des déterminants matriciels. La résolution d'équations selon la méthode Cramer s'effectue en ligne, vous recevez instantanément le résultat avec une description complète et détaillée. Il suffit de remplir le système de coefficients et de sélectionner le nombre de variables inconnues. Méthode matricielle. Cette méthode consiste à collecter les coefficients des inconnues de la matrice A, les inconnues de la colonne X et les termes libres de la colonne B. Ainsi, le système d'équations linéaires se réduit à une équation matricielle de la forme AxX = B. Cette équation n'a une solution unique que si le déterminant de la matrice A est différent de zéro, sinon le système n'a pas de solutions, ou un nombre infini de solutions. Résoudre des équations à l'aide de la méthode matricielle implique de trouver la matrice inverse A.