Factoriser une formule trinomiale. Trinôme carré

Développer des polynômes pour obtenir un produit peut parfois sembler déroutant. Mais ce n’est pas si difficile si vous comprenez le processus étape par étape. L'article décrit en détail comment factoriser un trinôme quadratique.

Beaucoup de gens ne comprennent pas comment factoriser un trinôme carré et pourquoi cela est fait. À première vue, cela peut sembler un exercice futile. Mais en mathématiques, rien n’est fait pour rien. La transformation est nécessaire pour simplifier l'expression et faciliter le calcul.

Un polynôme de la forme – ax²+bx+c, appelé trinôme quadratique. Le terme « a » doit être négatif ou positif. En pratique, cette expression est appelée équation quadratique. Par conséquent, ils le disent parfois différemment : comment développer une équation quadratique.

Intéressant! Un polynôme est appelé carré en raison de son plus grand degré, le carré. Et un trinôme - à cause des 3 composantes.

Quelques autres types de polynômes :

• binôme linéaire (6x+8) ;
• quadrinôme cubique (x³+4x²-2x+9).

Factoriser un trinôme quadratique

Tout d'abord, l'expression est égale à zéro, puis vous devez trouver les valeurs des racines x1 et x2. Il se peut qu’il n’y ait pas de racines, qu’il y en ait une ou deux. La présence de racines est déterminée par le discriminant. Il faut connaître sa formule par cœur : D=b²-4ac.

Si le résultat D est négatif, il n’y a pas de racines. Si positif, il y a deux racines. Si le résultat est zéro, la racine est un. Les racines sont également calculées à l'aide de la formule.

Si, lors du calcul du discriminant, le résultat est nul, vous pouvez utiliser n'importe laquelle des formules. En pratique, la formule est simplement raccourcie : -b/2a.

Formules pour différentes significations les discriminants diffèrent.

Si D est positif :

Si D égal à zéro:

Calculateurs en ligne

Sur Internet, il y a calculateur en ligne. Il peut être utilisé pour effectuer une factorisation. Certaines ressources offrent la possibilité de visualiser la solution étape par étape. De tels services aident à mieux comprendre le sujet, mais vous devez essayer de bien le comprendre.

Vidéo utile : Factorisation d'un trinôme quadratique

Exemples

Nous vous invitons à visionner exemples simples, comment factoriser une équation quadratique.

Exemple 1

Cela montre clairement que le résultat est deux x parce que D est positif. Ils doivent être remplacés dans la formule. Si les racines s'avèrent négatives, le signe dans la formule devient le contraire.

Nous connaissons la formule de factorisation d'un trinôme quadratique : a(x-x1)(x-x2). On met les valeurs entre parenthèses : (x+3)(x+2/3). Il n’y a pas de nombre devant un terme dans une puissance. Cela veut dire qu'il y en a un là-bas, il descend.

Exemple 2

Cet exemple montre clairement comment résoudre une équation qui a une racine.

Nous substituons la valeur résultante :

Exemple 3

Donné : 5x²+3x+7

Tout d'abord, calculons le discriminant, comme dans les cas précédents.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Le discriminant est négatif, ce qui signifie qu’il n’y a pas de racines.

Après avoir reçu le résultat, vous devez ouvrir les parenthèses et vérifier le résultat. Le trinôme original devrait apparaître.

Solution alternative

Certaines personnes n’ont jamais pu se lier d’amitié avec le discriminateur. Il existe une autre façon de factoriser un trinôme quadratique. Pour plus de commodité, la méthode est présentée avec un exemple.

Étant donné : x²+3x-10

Nous savons que nous devrions obtenir 2 parenthèses : (_)(_). Lorsque l'expression ressemble à ceci : x²+bx+c, au début de chaque parenthèse on met x : (x_)(x_). Les deux nombres restants sont le produit qui donne « c », c'est-à-dire dans ce cas -10. La seule façon de savoir de quels chiffres il s’agit est de les sélectionner. Les nombres substitués doivent correspondre au terme restant.

Par exemple, en multipliant les nombres suivants, on obtient -10 :

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Non.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Non.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Non.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Convient.

Cela signifie que la transformation de l'expression x2+3x-10 ressemble à ceci : (x-2)(x+5).

Important! Il faut faire attention à ne pas confondre les signes.

Développement d'un trinôme complexe

Si « a » est supérieur à un, les difficultés commencent. Mais tout n’est pas aussi difficile qu’il y paraît.

Pour factoriser, vous devez d’abord voir si quelque chose peut être factorisé.

Par exemple, étant donné l'expression : 3x²+9x-30. Ici, le chiffre 3 est retiré entre parenthèses :

3(x²+3x-10). Le résultat est le trinôme déjà bien connu. La réponse ressemble à ceci : 3(x-2)(x+5)

Comment décomposer si le terme qui est dans le carré est négatif ? Dans ce cas, le chiffre -1 est retiré entre parenthèses. Par exemple : -x²-10x-8. L'expression ressemblera alors à ceci :

Le schéma diffère peu du précédent. Il y a juste quelques nouveautés. Disons que l'expression est donnée : 2x²+7x+3. La réponse est également écrite entre 2 parenthèses qui doivent être remplies (_)(_). Dans la 2ème parenthèse est écrit x, et dans la 1ère ce qui reste. Cela ressemble à ceci : (2x_)(x_). Sinon, le schéma précédent est répété.

Le chiffre 3 est donné par les nombres :

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Nous résolvons des équations en substituant ces nombres. La dernière option convient. Cela signifie que la transformation de l'expression 2x²+7x+3 ressemble à ceci : (2x+1)(x+3).

Autres cas

Il n'est pas toujours possible de convertir une expression. Avec la deuxième méthode, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation. Mais la possibilité de transformer des termes en produit n'est vérifiée qu'à travers le discriminant.

Il vaut la peine de s'entraîner à résoudre des équations quadratiques afin qu'il n'y ait aucune difficulté lors de l'utilisation des formules.

Vidéo utile : factoriser un trinôme

Conclusion

Vous pouvez l'utiliser de n'importe quelle manière. Mais il vaut mieux pratiquer les deux jusqu’à ce qu’ils deviennent automatiques. En outre, apprendre à bien résoudre les équations quadratiques et à factoriser les polynômes est nécessaire pour ceux qui envisagent de lier leur vie aux mathématiques. Tous les sujets mathématiques suivants sont construits sur cela.

Décomposition trinômes carrés par facteurs fait référence à devoirs scolaires auquel tout le monde est confronté tôt ou tard. Comment faire? Quelle est la formule pour factoriser un trinôme quadratique ? Voyons cela étape par étape à l'aide d'exemples.

Formule générale

La factorisation des trinômes carrés s'effectue en résolvant équation quadratique. Il s'agit d'un problème simple qui peut être résolu par plusieurs méthodes : en trouvant le discriminant, en utilisant le théorème de Vieta, il existe également une solution graphique. Les deux premières méthodes sont étudiées au lycée.

La formule générale ressemble à ceci :lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algorithme pour terminer la tâche

Pour factoriser des trinômes quadratiques, vous devez connaître le théorème de Vita, disposer d'un programme de solution, être capable de trouver une solution graphiquement ou rechercher les racines d'une équation du deuxième degré à l'aide de la formule discriminante. Si un trinôme quadratique est donné et qu’il doit être factorisé, l’algorithme est le suivant :

1) Égalisez l’expression originale à zéro pour obtenir une équation.

2) Apportez termes similaires(s'il y a un tel besoin).

3) Trouvez les racines de tout d'une manière connue. La méthode graphique est mieux utilisée si l’on sait à l’avance que les racines sont des nombres entiers et de petits nombres. Il faut se rappeler que le nombre de racines est égal au degré maximum de l'équation, c'est-à-dire que l'équation quadratique a deux racines.

4) Remplacez la valeur X dans l’expression (1).

5) Écrivez la factorisation des trinômes quadratiques.

Exemples

La pratique permet de comprendre enfin comment cette tâche est réalisée. Des exemples illustrent la factorisation d'un trinôme carré :

il faut développer l'expression :

Recourons à notre algorithme :

1)x2 -17x+32=0

2) les termes similaires sont réduits

3) en utilisant la formule de Vieta, il est difficile de trouver des racines à cet exemple, il vaut donc mieux utiliser l'expression pour le discriminant :

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Remplaçons les racines que nous avons trouvées dans la formule de base de la décomposition :

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Alors la réponse sera la suivante :

x2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Vérifions si les solutions trouvées par le discriminant correspondent aux formules de Vieta :

14,845 . 2,155=32

Pour ces racines, le théorème de Vieta est appliqué, elles ont été trouvées correctement, ce qui signifie que la factorisation que nous avons obtenue est également correcte.

De même, nous développons 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x2 =-7-(337)1/2

Dans le cas précédent, les solutions n'étaient pas des nombres entiers, mais des nombres réels, faciles à trouver si vous avez une calculatrice devant vous. Maintenant, regardons plus exemple complexe, dans lequel les racines seront complexes : facteur x 2 + 4x + 9. En utilisant la formule de Vieta, les racines ne peuvent pas être trouvées et le discriminant est négatif. Les racines seront sur le plan complexe.

D=-20

Sur cette base, nous obtenons les racines qui nous intéressent -4+2i*5 1/2 et -4-2i * 5 1/2 puisque (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

On obtient la décomposition souhaitée en substituant les racines dans la formule générale.

Autre exemple : il faut factoriser l'expression 23x 2 -14x+7.

Nous avons l'équation 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Cela signifie que les racines sont 14+21.166i et 14-21.166i. La réponse sera :

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21 166i ).

Donnons un exemple qui peut être résolu sans l'aide d'un discriminant.

Disons que nous devons développer l'équation quadratique x 2 -32x+255. Évidemment, il peut aussi être résolu à l’aide d’un discriminant, mais dans ce cas, il est plus rapide de trouver les racines.

x1 =15

x2 =17

Moyens x2-32x+255 =(x-15)(x-17).

Le monde est plongé dans grande quantité Nombres. Tous les calculs sont effectués avec leur aide.

Les gens apprennent les chiffres pour la vie plus tard Ne tombez pas dans le piège de la tromperie. Il faut énormément de temps pour s'éduquer et déterminer son propre budget.

Les mathématiques sont science exacte qui joue un grand rôle dans la vie. À l'école, les enfants étudient les nombres, puis les actions qui les concernent.

Les opérations sur les nombres sont complètement différentes : multiplication, expansion, addition et autres. En plus des formules simples, des actions plus complexes sont également utilisées dans l’étude des mathématiques. Il existe un grand nombre de formules qui peuvent être utilisées pour connaître n'importe quelle valeur.

À l’école, dès que l’algèbre apparaît, des formules de simplification s’ajoutent à la vie de l’élève. Il existe des équations dans lesquelles il y a deux nombres inconnus, mais trouvez d'une manière simple ne fonctionnera pas. Un trinôme est une combinaison de trois monômes utilisant méthode simple soustraction et addition. Le trinôme est résolu à l'aide du théorème de Vieta et du discriminant.

Formule pour factoriser un trinôme quadratique

Il y en a deux corrects et des solutions simples exemple:

• discriminant;
• Théorème de Vieta.

Un trinôme carré a un carré inconnu et également un nombre sans carré. La première option pour résoudre le problème utilise la formule de Vieta. C'est une formule simple, si les nombres qui précèdent l'inconnu seront la valeur minimale.

Pour les autres équations où un nombre précède l'inconnue, l'équation doit être résolue par le discriminant. Il s’agit d’une solution plus complexe, mais le discriminant est utilisé beaucoup plus souvent que le théorème de Vieta.

Dans un premier temps, pour tout trouver variables d'équation il faut élever l'exemple à 0. La solution de l'exemple peut être vérifiée et vous pouvez savoir si les nombres sont correctement ajustés.

Discriminant

1. Il est nécessaire d'assimiler l'équation à 0.

2. Chaque nombre avant x sera appelé les nombres a, b, c. Puisqu’il n’y a pas de nombre devant le premier carré x, il est égal à 1.

3. Maintenant, la solution de l'équation commence par le discriminant :

4. Nous avons maintenant trouvé le discriminant et trouvons deux x. La différence est que dans un cas b sera précédé d'un plus, et dans l'autre d'un moins :

5. En résolvant deux nombres, les résultats étaient -2 et -1. Remplacez dans l'équation d'origine :

6. Dans cet exemple, il y avait deux options correctes. Si les deux solutions conviennent, alors chacune d’elles est vraie.

Des équations plus complexes sont également résolues à l'aide du discriminant. Mais si la valeur discriminante elle-même est inférieure à 0, alors l’exemple est incorrect. Lors de la recherche, le discriminant est toujours à la racine et une valeur négative ne peut pas être à la racine.

Théorème de Vieta

Il est utilisé pour résoudre des problèmes faciles où le premier x n’est pas précédé d’un nombre, c’est-à-dire a=1. Si l’option correspond, alors le calcul est effectué à l’aide du théorème de Vieta.

Pour résoudre n’importe quel trinôme il faut élever l'équation à 0. Les premières étapes du discriminant et du théorème de Vieta ne sont pas différentes.

2. Maintenant, les différences entre les deux méthodes commencent. Le théorème de Vieta utilise non seulement le calcul « sec », mais aussi la logique et l'intuition. Chaque chiffre a sa propre lettre a, b, c. Le théorème utilise la somme et le produit de deux nombres.

Souviens-toi! Le nombre b a toujours le signe opposé lorsqu’on l’ajoute, mais le nombre c reste inchangé !

Remplacement des valeurs de données dans l'exemple , on a:

3. En utilisant la méthode logique, nous substituons les nombres les plus appropriés. Considérons toutes les options de solution :

1. Les nombres sont 1 et 2. Une fois additionnés, nous obtenons 3, mais si nous multiplions, nous n’obtenons pas 4. Cela ne correspond pas.
2. Valeur 2 et -2. Une fois multiplié, il sera de -4, mais une fois ajouté, il s'avère être 0. Ne convient pas.
3. Numéros 4 et -1. Puisque la multiplication implique une valeur négative, cela signifie que l’un des nombres sera négatif. Convient pour additionner et multiplier. Option correcte.

4. Il ne reste plus qu'à vérifier en disposant les nombres et voir si l'option sélectionnée est correcte.

5. Grâce à la vérification en ligne, nous avons appris que -1 ne correspond pas aux conditions de l'exemple et constitue donc une solution incorrecte.

Lors de l'ajout valeur négative dans l'exemple, vous devez mettre le numéro entre parenthèses.

En mathématiques, il y aura toujours des problèmes simples et des problèmes difficiles. La science elle-même comprend une variété de problèmes, de théorèmes et de formules. Si vous comprenez et appliquez correctement les connaissances, toutes les difficultés liées aux calculs seront insignifiantes.

Les mathématiques ne nécessitent pas une mémorisation constante. Vous devez apprendre à comprendre la solution et apprendre plusieurs formules. Peu à peu, selon des conclusions logiques, il est possible de résoudre des problèmes et des équations similaires. Une telle science peut paraître très difficile à première vue, mais si l’on plonge dans le monde des chiffres et des problèmes, la vision changera radicalement. meilleur côté.

Spécialités techniques restent toujours les plus recherchés au monde. Maintenant, dans le monde technologies modernes, les mathématiques sont devenues un attribut indispensable de tout domaine. Nous devons toujours nous rappeler propriétés bénéfiques mathématiques.

Développer un trinôme à l'aide d'une parenthèse

En plus de résoudre les méthodes habituelles, il en existe une autre : la décomposition entre parenthèses. Utilisé en utilisant la formule Vieta.

1. Égalisez l’équation à 0.

hache 2 +bx+c= 0

2. Les racines de l’équation restent les mêmes, mais au lieu de zéro, elles utilisent désormais des formules d’expansion entre parenthèses.

hache 2 + bx+ c = une (x – x 1) (x – x 2)

2 X 2 – 4 X – 6 = 2 (X + 1) (X – 3)

4. Solution x=-1, x=3

Trinôme carré est appelé un polynôme de la forme hache 2 +boîte +c, Où X– variable, un,b,c– quelques nombres, et a ≠ 0.

Coefficient UN appelé coefficient senior, c – Membre gratuit trinôme carré.

Exemples de trinômes quadratiques :

2 x2 + 5x+4(Ici un = 2, b = 5, c = 4)

x2 – 7x + 5(Ici un = 1, b = -7, c = 5)

9x2 + 9x – 9(Ici un = 9, b = 9, c = -9)

Coefficient b ou coefficient c ou les deux coefficients peuvent être égaux à zéro en même temps. Par exemple:

5 x2 + 3X(Iciune = 5,b = 3,c = 0, donc il n'y a pas de valeur pour c dans l'équation).

6x2 – 8 (Icia = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Icia = 2, b = 0, c = 0)

La valeur de la variable à laquelle le polynôme disparaît est appelée racine du polynôme.

Pour trouver les racines d’un trinôme quadratiquehache 2 + boîte + c, nous devons l'assimiler à zéro -
c'est-à-dire résoudre l'équation quadratiquehache 2 + boîte + c = 0 (voir section "Équation quadratique").

Factoriser un trinôme quadratique

Exemple:

Factorisons le trinôme 2 X 2 + 7x – 4.

On voit : coefficient UN = 2.

Trouvons maintenant les racines du trinôme. Pour ce faire, nous l'assimilons à zéro et résolvons l'équation

2X 2 + 7x – 4 = 0.

Comment résoudre une telle équation - voir dans la section « Formules des racines d'une équation quadratique. Discriminant." Ici, nous indiquerons immédiatement le résultat des calculs. Notre trinôme a deux racines :

x1 = 1/2, x2 = –4.

Remplaçons les valeurs des racines dans notre formule en prenant la valeur du coefficient entre parenthèses UN, et on obtient :

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Le résultat obtenu peut s'écrire différemment en multipliant le coefficient 2 par le binôme X – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Le problème est résolu : le trinôme est factorisé.

Un tel développement peut être obtenu pour tout trinôme quadratique ayant des racines.

ATTENTION!

Si le discriminant d'un trinôme quadratique est nul, alors ce trinôme a une racine, mais lors de la décomposition du trinôme, cette racine est prise comme la valeur de deux racines - c'est-à-dire comme la même valeur X 1 etX 2 .

Par exemple, un trinôme a une racine égale à 3. Alors x 1 = 3, x 2 = 3.

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