Conversion d'un système numérique à un autre. Conversion de nombres en différents systèmes numériques avec solution

Ceux qui passent l'examen d'État unifié et plus encore...

Il est étrange que dans les cours d'informatique dans les écoles, on montre généralement aux étudiants la manière la plus complexe et la plus peu pratique de convertir des nombres d'un système à un autre. Cette méthode consiste à diviser séquentiellement le nombre original par la base et à collecter les restes de la division dans l'ordre inverse.

Par exemple, vous devez convertir le nombre 810 10 en binaire :

Nous écrivons le résultat dans l'ordre inverse de bas en haut. Il s'avère que 81010 = 11001010102

Si vous devez convertir des nombres assez grands en système binaire, l'échelle de division prend la taille d'un bâtiment à plusieurs étages. Et comment collecter tous les uns et tous les zéros sans en manquer un seul ?

Le programme d'examen d'État unifié en informatique comprend plusieurs tâches liées à la conversion des nombres d'un système à un autre. Il s'agit généralement d'une conversion entre les systèmes octal et hexadécimal et binaire. Il s'agit des sections A1, B11. Mais il existe également des problèmes avec d’autres systèmes de numérotation, comme dans la section B7.

Pour commencer, rappelons deux tableaux qu’il serait bon de connaître par cœur pour ceux qui choisissent l’informatique comme futur métier.

Tableau des puissances du numéro 2 :

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Il s'obtient facilement en multipliant le nombre précédent par 2. Ainsi, si vous ne vous souvenez pas de tous ces nombres, le reste n'est pas difficile à obtenir dans votre esprit à partir de ceux dont vous vous souvenez.

Tableau des nombres binaires de 0 à 15 avec représentation hexadécimale :

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	UN	B	C	D	E	F

Les valeurs manquantes sont également faciles à calculer en ajoutant 1 aux valeurs connues.

Conversion entière

Commençons donc par convertir directement vers le système binaire. Prenons le même numéro 810 10. Nous devons décomposer ce nombre en termes égaux à des puissances de deux.

1. Nous recherchons la puissance de deux la plus proche de 810 et ne la dépassant pas. C'est 2 9 = 512.
2. Soustrayez 512 de 810, nous obtenons 298.
3. Répétez les étapes 1 et 2 jusqu'à ce qu'il ne reste plus de 1 ou de 0.
4. Nous l'avons obtenu comme ceci : 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

Ensuite, il existe deux méthodes, vous pouvez utiliser n’importe laquelle d’entre elles. Comme il est facile de voir que dans tout système numérique, sa base est toujours 10. Le carré de la base sera toujours 100, le cube 1000. C'est-à-dire que le degré de la base du système numérique est 1 (un), et il y a autant de zéros derrière cela que le degré.

Méthode 1: Disposez 1 selon les rangs des indicateurs des termes. Dans notre exemple, ce sont 9, 8, 5, 3 et 1. Les places restantes contiendront des zéros. Nous avons donc la représentation binaire du nombre 810 10 = 1100101010 2. Les unités sont placées aux 9ème, 8ème, 5ème, 3ème et 1ère places, en comptant de droite à gauche à partir de zéro.

Méthode 2: Écrivons les termes sous forme de puissances de deux l'une sous l'autre, en commençant par le plus grand.

810 =

Ajoutons maintenant ces étapes, comme plier un éventail : 1100101010.

C'est tout. Dans le même temps, le problème « combien d'unités y a-t-il dans la notation binaire du nombre 810 ? » est également simplement résolu.

La réponse est autant qu’il y a de termes (puissances de deux) dans cette représentation. 810 en possède 5.

Maintenant, l'exemple est plus simple.

Convertissons le nombre 63 au système numérique 5-aire. La puissance la plus proche de 5 à 63 est 25 (carré 5). Un cube (125) sera déjà beaucoup. Autrement dit, 63 se situe entre le carré de 5 et le cube. Ensuite, nous sélectionnerons le coefficient pour 5 2. C'est 2.

On obtient 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

Et enfin, des traductions très simples entre les systèmes 8 et hexadécimaux. Puisque leur base est une puissance de deux, la traduction se fait automatiquement, simplement en remplaçant les nombres par leur représentation binaire. Pour le système octal, chaque chiffre est remplacé par trois chiffres binaires, et pour le système hexadécimal, par quatre. Dans ce cas, tous les zéros non significatifs sont requis, à l'exception du chiffre le plus significatif.

Convertissons le nombre 547 8 en binaire.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Un de plus, par exemple 7D6A 16.

7D6A16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	UN

Convertissons le nombre 7368 au système hexadécimal. Commençons par écrire les nombres en triplets, puis divisons-les en quadruples à partir de la fin : 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Convertissons le nombre C25 16 en système octal. Tout d’abord, nous écrivons les nombres par quatre, puis nous les divisons en trois à partir de la fin : C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Voyons maintenant la reconversion en décimal. Ce n'est pas difficile, l'essentiel est de ne pas se tromper dans les calculs. Nous développons le nombre en un polynôme avec les puissances de la base et leurs coefficients. Ensuite, nous multiplions et ajoutons le tout. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Conversion de nombres négatifs

Ici, vous devez tenir compte du fait que le nombre sera présenté sous forme de code complément à deux. Pour convertir un nombre en code supplémentaire, vous devez connaître la taille finale du nombre, c'est-à-dire dans quoi nous voulons l'insérer - en un octet, en deux octets, en quatre. Le chiffre le plus significatif d'un nombre signifie le signe. S’il y a 0, alors le nombre est positif, s’il y a 1, alors il est négatif. A gauche, le numéro est complété par un chiffre signe. Nous ne considérons pas les nombres non signés, ils sont toujours positifs et le bit le plus significatif est utilisé comme information.

Pour convertir un nombre négatif en complément binaire, vous devez convertir un nombre positif en binaire, puis changer les zéros en uns et les uns en zéros. Ajoutez ensuite 1 au résultat.

Alors, convertissons le nombre -79 en système binaire. Le numéro nous prendra un octet.

On convertit 79 au système binaire, 79 = 1001111. On ajoute des zéros à gauche à la taille de l'octet, 8 bits, on obtient 01001111. On change 1 en 0 et 0 en 1. On obtient 10110000. On ajoute 1 à le résultat, nous obtenons la réponse 10110001. En cours de route, nous répondons à la question de l'examen d'État unifié « combien d'unités y a-t-il dans la représentation binaire du nombre -79 ? La réponse est 4.

L'ajout de 1 à l'inverse d'un nombre élimine la différence entre les représentations +0 = 00000000 et -0 = 11111111. Dans le code complément à deux, elles seront écrites de la même manière que 00000000.

Conversion de nombres fractionnaires

Les nombres fractionnaires sont convertis de la manière inverse de la division des nombres entiers par la base, que nous avons examinée au tout début. C'est-à-dire en utilisant la multiplication séquentielle par une nouvelle base avec la collection de parties entières. Les parties entières obtenues lors de la multiplication sont collectées, mais ne participent pas aux opérations suivantes. Seules les fractions sont multipliées. Si le nombre d'origine est supérieur à 1, les parties entières et fractionnaires sont traduites séparément puis collées ensemble.

Convertissons le nombre 0,6752 au système binaire.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Le processus peut être poursuivi pendant une longue période jusqu'à ce que nous obtenions tous les zéros dans la partie fractionnaire ou que la précision requise soit atteinte. Arrêtons-nous au 6ème signe pour l'instant.

Il s'avère que 0,6752 = 0,101011.

Si le nombre était 5,6752, alors en binaire ce sera 101,101011.

La conversion de nombres d’un système numérique à un autre est une partie importante de l’arithmétique automatique. Considérons les règles de base de la traduction.

1. Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, il faut l'écrire sous la forme d'un polynôme, constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante de 2, et le calculer selon les règles de arithmétique décimale :

Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser la table des puissances de deux :

Tableau 4. Pouvoirs du numéro 2

n (degré)

Exemple.

2. Pour convertir un nombre octal en nombre décimal, il est nécessaire de l'écrire sous la forme d'un polynôme constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante du nombre 8, et de le calculer selon les règles du nombre décimal. arithmétique:

Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser le tableau des puissances de huit :

Tableau 5. Pouvoirs du nombre 8

n (degré)

Exemple. Convertissez le nombre au système de nombres décimaux.

3. Pour convertir un nombre hexadécimal en nombre décimal, il faut l'écrire sous la forme d'un polynôme, constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante du nombre 16, et le calculer selon le règles de l'arithmétique décimale :

Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser blitz des pouvoirs du numéro 16 :

Tableau 6. Pouvoirs du nombre 16

n (degré)

Exemple. Convertissez le nombre au système de nombres décimaux.

4. Pour convertir un nombre décimal au système binaire, il doit être divisé séquentiellement par 2 jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à 1. Un nombre dans le système binaire est écrit comme une séquence du résultat de la dernière division et des restes de la division dans l’ordre inverse.

Exemple. Convertissez le nombre en système de nombres binaires.

5. Pour convertir un nombre décimal en système octal, il doit être divisé séquentiellement par 8 jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à 7. Un nombre dans le système octal est écrit sous la forme d'une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et du reste de la division dans l’ordre inverse.

Exemple. Convertissez le nombre en système de nombres octaux.

6. Pour convertir un nombre décimal au système hexadécimal, il doit être divisé séquentiellement par 16 jusqu'à ce qu'il y ait un reste inférieur ou égal à 15. Un nombre dans le système hexadécimal est écrit sous la forme d'une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et les restes de la division dans l'ordre inverse.

Exemple. Convertissez le nombre en système numérique hexadécimal.

La calculatrice vous permet de convertir des nombres entiers et fractionnaires d'un système numérique à un autre. La base du système numérique ne peut pas être inférieure à 2 et supérieure à 36 (10 chiffres et 26 lettres latines après tout). La longueur des chiffres ne doit pas dépasser 30 caractères. Pour saisir des nombres fractionnaires, utilisez le symbole. ou, . Pour convertir un numéro d'un système à un autre, entrez le numéro d'origine dans le premier champ, la base du système de numérotation d'origine dans le deuxième et la base du système de numérotation vers lequel vous souhaitez convertir le numéro dans le troisième champ. puis cliquez sur le bouton "Obtenir l'enregistrement".

Numéro d'origine écrit en 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ième système de numérotation.

Je veux qu'un numéro soit écrit 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ième système de numérotation.

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Systèmes numériques

Les systèmes numériques sont divisés en deux types : positionnel Et pas de position. Nous utilisons le système arabe, il est positionnel, mais il existe aussi le système romain – il n’est pas positionnel. Dans les systèmes positionnels, la position d'un chiffre dans un nombre détermine de manière unique la valeur de ce nombre. Ceci est facile à comprendre en regardant un nombre à titre d’exemple.

Exemple 1. Prenons le nombre 5921 dans le système numérique décimal. Numérotons le nombre de droite à gauche en partant de zéro :

Le nombre 5921 peut s'écrire sous la forme suivante : 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Le nombre 10 est une caractéristique qui définit le système numérique. Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.

Exemple 2. Considérons le nombre décimal réel 1234,567. Numérotons-le en partant de la position zéro du nombre à partir de la virgule décimale vers la gauche et la droite :

Le nombre 1234,567 peut s'écrire sous la forme suivante : 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Conversion de nombres d'un système numérique à un autre

Le moyen le plus simple de convertir un nombre d'un système numérique à un autre consiste d'abord à convertir le nombre au système numérique décimal, puis le résultat obtenu dans le système numérique requis.

Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal

Pour convertir un nombre de n'importe quel système numérique en décimal, il suffit de numéroter ses chiffres, en commençant par zéro (le chiffre à gauche de la virgule décimale) de la même manière que dans les exemples 1 ou 2. Trouvons la somme des produits des chiffres du nombre par la base du système numérique à la puissance de la position de ce chiffre :

1. Convertissez le nombre 1001101.1101 2 au système numérique décimal.
Solution: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Répondre: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convertissez le nombre E8F.2D 16 au système numérique décimal.
Solution: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Répondre: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique

Pour convertir des nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique, les parties entières et fractionnaires du nombre doivent être converties séparément.

Conversion d'une partie entière d'un nombre d'un système numérique décimal vers un autre système numérique

Une partie entière est convertie d'un système numérique décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière d'un nombre par la base du système numérique jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à la base du système numérique. Le résultat de la traduction sera un enregistrement du reste, en commençant par le dernier.

3. Convertissez le nombre 273 10 en système numérique octal.
Solution: 273/8 = 34 et reste 1. 34/8 = 4 et reste 2. 4 est inférieur à 8, le calcul est donc terminé. L'enregistrement des soldes ressemblera à ceci : 421
Examen: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, le résultat est le même. Cela signifie que la traduction a été effectuée correctement.
Répondre: 273 10 = 421 8

Considérons la traduction de fractions décimales régulières en divers systèmes numériques.

Conversion de la partie fractionnaire d'un nombre du système numérique décimal vers un autre système numérique

Rappelez-vous qu'une fraction décimale propre s'appelle nombre réel avec une partie entière nulle. Pour convertir un tel nombre en un système numérique de base N, vous devez multiplier séquentiellement le nombre par N jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne zéro ou que le nombre de chiffres requis soit obtenu. Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière autre que zéro est obtenu, alors la partie entière n'est plus prise en compte, puisqu'elle est inscrite séquentiellement dans le résultat.

4. Convertissez le nombre 0,125 10 en système de nombres binaires.
Solution: 0,125·2 = 0,25 (0 est la partie entière qui deviendra le premier chiffre du résultat), 0,25·2 = 0,5 (0 est le deuxième chiffre du résultat), 0,5·2 = 1,0 (1 est le troisième chiffre du résultat, et puisque la partie fractionnaire est nulle, alors la traduction est terminée).
Répondre: 0.125 10 = 0.001 2

Écrivez le nombre dans le système de nombres binaires et les puissances de deux de droite à gauche. Par exemple, nous voulons convertir le nombre binaire 10011011 2 en décimal. Écrivons-le d'abord. Ensuite, nous écrivons les puissances de deux de droite à gauche. Commençons par 2 0, qui est égal à "1". Nous augmentons le degré d'un pour chaque numéro suivant. On s'arrête lorsque le nombre d'éléments de la liste est égal au nombre de chiffres du nombre binaire. Notre exemple de numéro, 10011011, comporte huit chiffres, donc une liste de huit éléments ressemblerait à ceci : 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Écrivez les chiffres du nombre binaire sous les puissances de deux correspondantes. Maintenant, écrivez simplement 10011011 sous les nombres 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 et 1, de sorte que chaque chiffre binaire corresponde à une puissance de deux différente. Le « 1 » le plus à droite du nombre binaire doit correspondre au « 1 » le plus à droite des puissances de deux, et ainsi de suite. Si vous préférez, vous pouvez écrire le nombre binaire au-dessus des puissances de deux. Le plus important est qu'ils soient assortis.

Faites correspondre les chiffres d'un nombre binaire avec les puissances de deux correspondantes. Tracez des lignes (de droite à gauche) qui relient chaque chiffre successif du nombre binaire à la puissance deux au-dessus. Commencez à tracer des lignes en reliant le premier chiffre d’un nombre binaire à la première puissance de deux au-dessus. Tracez ensuite une ligne allant du deuxième chiffre du nombre binaire à la deuxième puissance de deux. Continuez à connecter chaque nombre à la puissance de deux correspondante. Cela vous aidera à voir visuellement la relation entre deux ensembles de nombres différents.

Notez la valeur finale de chaque puissance de deux. Parcourez chaque chiffre d'un nombre binaire. Si le nombre est 1, écrivez la puissance de deux correspondante sous le nombre. Si ce nombre est 0, écrivez 0 sous le nombre.

• Puisque « 1 » correspond à « 1 », cela reste « 1 ». Puisque "2" correspond à "1", cela reste "2". Puisque « 4 » correspond à « 0 », il devient « 0 ». Puisque « 8 » correspond à « 1 », cela devient « 8 », et puisque « 16 » correspond à « 1 », cela devient « 16 ». "32" correspond à "0" et devient "0", "64" correspond à "0" et devient donc "0", tandis que "128" correspond à "1" et devient donc 128.

Additionnez les valeurs résultantes. Ajoutez maintenant les nombres résultants sous la ligne. Voici ce que vous devez faire : 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. C'est l'équivalent décimal du nombre binaire 10011011.

Écrivez la réponse avec un indice égal au système numérique. Il ne vous reste plus qu'à écrire 155 10 pour montrer que vous travaillez avec une réponse décimale, qui traite des puissances de dix. Plus vous convertissez des nombres binaires en décimaux, plus il vous sera facile de mémoriser les puissances de deux et plus vite vous pourrez accomplir la tâche.

Utilisez cette méthode pour convertir un nombre binaire avec un point décimal en forme décimale. Vous pouvez utiliser cette méthode même si vous souhaitez convertir un nombre binaire tel que 1,1 2 en nombre décimal. Tout ce que vous devez savoir, c'est que le nombre à gauche de la décimale est un nombre régulier et que le nombre à droite de la décimale est le nombre « divisé par deux », ou 1 x (1/2).

• "1" à gauche du nombre décimal correspond à 2 0, ou 1. 1 à droite du nombre décimal correspond à 2 -1, ou 0,5. Ajoutez 1 et 0,5 et vous obtenez 1,5, qui est l'équivalent décimal de 1,1 2.