Dans cette leçon, vous apprendrez à transformer une expression contenant des parenthèses en une expression sans parenthèses. Vous apprendrez à ouvrir des parenthèses précédées d’un signe plus et d’un signe moins. Nous rappellerons comment ouvrir les parenthèses en utilisant la loi distributive de la multiplication. Les exemples considérés vous permettront de relier du matériel nouveau et déjà étudié en un seul tout.
Sujet : Résolution d'équations
Leçon : Développer les parenthèses
Comment développer des parenthèses précédées d'un signe « + ». Utiliser la loi associative de l'addition.
Si vous devez ajouter la somme de deux nombres à un nombre, vous pouvez d'abord ajouter le premier terme à ce nombre, puis le second.
À gauche du signe égal se trouve une expression avec parenthèses et à droite une expression sans parenthèses. Cela signifie que lorsque l'on passe du côté gauche de l'égalité vers la droite, les parenthèses s'ouvrent.
Regardons des exemples.
Exemple 1. 
En ouvrant les parenthèses, nous avons modifié l'ordre des actions. Il est devenu plus pratique de compter.
Exemple 2. 
Exemple 3.
Notez que dans les trois exemples, nous avons simplement supprimé les parenthèses. Formulons une règle :
Commentaire.
Si le premier terme entre parenthèses n’est pas signé, alors il doit être écrit avec un signe plus.
Vous pouvez suivre l'exemple étape par étape. Tout d’abord, ajoutez 445 à 889. Cette action peut être effectuée mentalement, mais elle n’est pas très facile. Ouvrons les parenthèses et voyons que la procédure modifiée simplifiera considérablement les calculs.
Si vous suivez la procédure indiquée, vous devez d'abord soustraire 345 de 512, puis ajouter au résultat 1345. En ouvrant les parenthèses, nous modifierons la procédure et simplifierons considérablement les calculs.
Illustrer un exemple et une règle.
Regardons un exemple : . Vous pouvez trouver la valeur d’une expression en additionnant 2 et 5, puis en prenant le nombre obtenu avec le signe opposé. Nous obtenons -7.
En revanche, le même résultat peut être obtenu en additionnant les nombres opposés à ceux d’origine.
Formulons une règle :
Exemple 1. 
Exemple 2.
La règle ne change pas s’il n’y a pas deux, mais trois termes ou plus entre parenthèses.
Exemple 3. 
Commentaire. Les signes sont inversés uniquement devant les termes.
Afin d’ouvrir les parenthèses, nous devons dans ce cas nous rappeler la propriété distributive.
Tout d’abord, multipliez la première tranche par 2 et la seconde par 3.
La première parenthèse est précédée du signe « + », ce qui signifie que les signes doivent rester inchangés. Le deuxième signe est précédé du signe « - », par conséquent, tous les signes doivent être remplacés par le signe opposé.
Bibliographie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathématiques 6ème année. - Gymnase, 2006.
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- Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Devoirs pour le cours de mathématiques de la 5e à la 6e année - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathématiques : Manuel-interlocuteur pour les classes 5-6 lycée. Bibliothèque du professeur de mathématiques. - Lumières, 1989.
- Tests en ligne de mathématiques ().
- Vous pouvez télécharger ceux spécifiés à la clause 1.2. livres().
Devoirs
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012. (lien voir 1.2)
- Devoirs : n° 1254, n° 1255, n° 1256 (b, d)
- Autres tâches : n° 1258(c), n° 1248
« Parenthèses ouvrantes » - Manuel de mathématiques, 6e année (Vilenkin)
Brève description:
Dans cette section, vous apprendrez comment développer les parenthèses dans des exemples. Pourquoi est-ce? Tout est pour la même chose qu'avant : pour que vous puissiez compter plus facilement et plus simplement, pour faire moins d'erreurs, et idéalement (le rêve de votre professeur de mathématiques) pour tout résoudre sans erreur.
Vous savez déjà que les parenthèses sont placées en notation mathématique si deux signes mathématiques apparaissent à la suite, si l'on veut montrer la combinaison de nombres, leur regroupement. Développer les parenthèses signifie se débarrasser des caractères inutiles. Par exemple : (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Vous souvenez-vous de la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition ? En effet, dans cet exemple, nous avons également supprimé les parenthèses pour simplifier les calculs. La propriété nommée de multiplication peut également être appliquée à quatre, trois, cinq termes ou plus. Par exemple : 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Avez-vous remarqué que lorsque vous ouvrez les parenthèses, les nombres qu'elles contiennent ne changent pas de signe si le nombre devant les parenthèses est positif ? Après tout, quinze est un nombre positif. Et si vous résolvez cet exemple : -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Nous avions un nombre négatif moins quinze devant les parenthèses, lorsque nous avons ouvert les parenthèses, tous les nombres ont commencé à changer de signe en un autre - le contraire - du plus au moins.
Sur la base des exemples ci-dessus, deux règles de base pour l'ouverture des parenthèses peuvent être énoncées :
1. Si vous avez un nombre positif devant les parenthèses, alors après avoir ouvert les parenthèses, tous les signes des nombres entre parenthèses ne changent pas, mais restent exactement les mêmes qu'avant.
2. Si vous avez un nombre négatif devant les parenthèses, après avoir ouvert les parenthèses, le signe moins n'est plus écrit et les signes de tous les nombres absolus entre parenthèses changent soudainement à l'opposé.
Par exemple : (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22 ; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Compliquons un peu nos exemples : (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Vous avez remarqué qu'en ouvrant la deuxième parenthèse, nous avons multiplié par 2, mais les signes sont restés les mêmes. Voici un exemple : (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, dans cet exemple le chiffre deux est négatif, il est avant le les parenthèses portent un signe moins, donc en les ouvrant, nous avons changé les signes des nombres en signes opposés (neuf était avec un plus, est devenu un moins, huit était avec un moins, est devenu un plus).
L'expansion des parenthèses est un type de transformation d'expression. Dans cette section, nous décrirons les règles d'ouverture des parenthèses et examinerons également les exemples de problèmes les plus courants.
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Qu’est-ce que les parenthèses ouvrantes ?
Les parenthèses sont utilisées pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions numériques, littérales et variables. Il est pratique de passer d’une expression avec parenthèses à une expression identiquement égale sans parenthèses. Par exemple, remplacez l'expression 2 · (3 + 4) par une expression de la forme 2 3 + 2 4 sans parenthèses. Cette technique est appelée ouverture des parenthèses.
Définition 1
L'expansion des parenthèses fait référence à des techniques permettant de se débarrasser des parenthèses et est généralement considérée en relation avec des expressions pouvant contenir :
- les signes « + » ou « - » avant les parenthèses contenant des sommes ou des différences ;
- le produit d'un nombre, d'une lettre ou de plusieurs lettres et d'une somme ou d'une différence, placé entre parenthèses.
C'est ainsi que nous avons l'habitude d'envisager le processus d'ouverture des parenthèses dans le cours programme scolaire. Cependant, personne ne nous empêche d’envisager cette action de manière plus large. On peut appeler parenthèse ouvrir la transition d'une expression qui contient des nombres négatifs entre parenthèses à une expression qui n'a pas de parenthèses. Par exemple, on peut passer de 5 + (− 3) − (− 7) à 5 − 3 + 7. En fait, c’est aussi une ouverture de parenthèses.
De la même manière, on peut remplacer le produit d'expressions entre parenthèses de la forme (a + b) · (c + d) par la somme a · c + a · d + b · c + b · d. Cette technique ne contredit pas non plus le sens des parenthèses ouvrantes.
Voici un autre exemple. Nous pouvons supposer que n'importe quelle expression peut être utilisée à la place des nombres et des variables dans les expressions. Par exemple, l'expression x 2 · 1 a - x + sin (b) correspondra à une expression sans parenthèses de la forme x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Un autre point mérite une attention particulière, qui concerne les particularités de l'enregistrement des décisions lors de l'ouverture des parenthèses. On peut écrire l'expression initiale entre parenthèses et le résultat obtenu après ouverture des parenthèses comme une égalité. Par exemple, après avoir développé les parenthèses au lieu de l'expression 3 − (5 − 7) nous obtenons l'expression 3 − 5 + 7 . Nous pouvons écrire ces deux expressions sous la forme de l’égalité 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Réaliser des actions avec des expressions lourdes peut nécessiter l'enregistrement de résultats intermédiaires. La solution aura alors la forme d’une chaîne d’égalités. Par exemple, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ou 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Règles d'ouverture des parenthèses, exemples
Commençons par examiner les règles d'ouverture des parenthèses.
Pour les nombres simples entre parenthèses
Les nombres négatifs entre parenthèses se retrouvent souvent dans les expressions. Par exemple, (− 4) et 3 + (− 4) . Les nombres positifs entre parenthèses ont également leur place.
Formulons une règle pour ouvrir des parenthèses contenant des nombres positifs uniques. Supposons que a soit un nombre positif. On peut alors remplacer (a) par a, + (a) par + a, - (a) par – a. Si au lieu de a nous prenons un nombre spécifique, alors selon la règle : le nombre (5) s'écrira comme 5 , l'expression 3 + (5) sans parenthèses prendra la forme 3 + 5 , puisque + (5) est remplacé par + 5 , et l'expression 3 + (− 5) est équivalente à l'expression 3 − 5 , parce que + (− 5) est remplacé par − 5 .
Les nombres positifs sont généralement écrits sans parenthèses, car les parenthèses ne sont pas nécessaires dans ce cas.
Considérons maintenant la règle d'ouverture des parenthèses contenant un seul nombre négatif. + (− une) nous remplaçons par − un, − (− a) est remplacé par + a. Si l'expression commence par un nombre négatif (− une), qui est écrit entre parenthèses, alors les parenthèses sont omises et à la place (− une) restes − un.
Voici quelques exemples: (− 5) peut s'écrire − 5, (− 3) + 0, 5 devient − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) devient 4 − 3 , et − (− 4) − (− 3) après ouverture des parenthèses prend la forme 4 + 3, puisque − (− 4) et − (− 3) est remplacé par + 4 et + 3 .
Il faut comprendre que l'expression 3 · (− 5) ne peut pas s'écrire 3 · − 5. Ceci sera discuté dans les paragraphes suivants.
Voyons sur quoi sont basées les règles d'ouverture des parenthèses.
Selon la règle, la différence a − b est égale à a + (− b) . Sur la base des propriétés des actions avec des nombres, nous pouvons créer une chaîne d'égalités (une + (− b)) + b = une + ((− b) + b) = une + 0 = une ce qui sera juste. Cette chaîne d'égalités, en vertu du sens de la soustraction, prouve que l'expression a + (− b) est la différence une - b.
Basé sur les propriétés des nombres opposés et les règles de soustraction nombres négatifs nous pouvons affirmer que − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
Il existe des expressions composées d’un nombre, de signes moins et de plusieurs paires de parenthèses. L'utilisation des règles ci-dessus vous permet de vous débarrasser séquentiellement des parenthèses, en passant des parenthèses intérieures aux parenthèses extérieures ou dans la direction opposée. Un exemple d’une telle expression serait − (− ((− (5)))) . Ouvrons les parenthèses, en passant de l'intérieur vers l'extérieur : − (− ((− (− 5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Cet exemple peut également être analysé dans le sens inverse : − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Sous un et b peuvent être compris non seulement comme des nombres, mais aussi comme des expressions numériques ou alphabétiques arbitraires précédées d'un signe "+" qui ne sont ni des sommes ni des différences. Dans tous ces cas, vous pouvez appliquer les règles de la même manière que nous l’avons fait pour les nombres simples entre parenthèses.
Par exemple, après avoir ouvert les parenthèses, l'expression − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2 : z) prendra la forme 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2 : z . Comment avons-nous fait ça? Nous savons que − (− 2 x) vaut + 2 x, et puisque cette expression vient en premier, alors + 2 x peut s'écrire 2 x, − (x2) = −x2, + (− 1 x) = − 1 x et − (2 x y 2 : z) = − 2 x y 2 : z.
En produits de deux nombres
Commençons par la règle d'ouverture des parenthèses dans le produit de deux nombres.
Faisons comme si un et b sont deux nombres positifs. Dans ce cas, le produit de deux nombres négatifs − un et − b de la forme (− a) · (− b) nous pouvons remplacer par (a · b) , et les produits de deux nombres de signes opposés de la forme (− a) · b et a · (− b) peut être remplacé par (− un b). Multiplier un moins par un moins donne un plus, et multiplier un moins par un plus, comme multiplier un plus par un moins donne un moins.
L'exactitude de la première partie de la règle écrite est confirmée par la règle de multiplication des nombres négatifs. Pour confirmer la deuxième partie de la règle, on peut utiliser les règles de multiplication des nombres avec différents signes.
Regardons quelques exemples.
Exemple 1
Considérons un algorithme d'ouverture de parenthèses dans le produit de deux nombres négatifs - 4 3 5 et - 2, de la forme (- 2) · - 4 3 5. Pour ce faire, remplacez l'expression originale par 2 · 4 3 5 . Ouvrons les parenthèses et obtenons 2 · 4 3 5 .
Et si l'on prend le quotient des nombres négatifs (− 4) : (− 2), alors l'entrée après ouverture des parenthèses ressemblera à 4 : 2
Au lieu de nombres négatifs − un et − b peut être n'importe quelle expression précédée d'un signe moins qui n'est ni une somme ni une différence. Il peut s'agir par exemple de produits, de quotients, de fractions, de puissances, de racines, de logarithmes, fonctions trigonométriques et ainsi de suite.
Ouvrons les parenthèses dans l'expression - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . D'après la règle, on peut faire les transformations suivantes : - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Expression (− 3) 2 peut être converti en l'expression (− 3 2) . Après cela, vous pouvez étendre les parenthèses : − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
La division de nombres par des signes différents peut également nécessiter un développement préalable des parenthèses : (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 et 2 3 4 : (- 3, 5) = - 2 3 4 : 3, 5 = - 2 3 4 : 3, 5.
La règle peut être utilisée pour effectuer des multiplications et des divisions d'expressions avec des signes différents. Donnons deux exemples.
1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3
péché (x) (- x 2) = (- péché (x) x 2) = - péché (x) x 2
En produits de trois nombres ou plus
Passons aux produits et aux quotients, qui contiennent un plus grand nombre de nombres. Développer les parenthèses fonctionnera ici règle suivante. À nombre pair Pour les nombres négatifs, vous pouvez omettre les parenthèses et remplacer les nombres par leurs opposés. Après cela, vous devez mettre l'expression résultante entre de nouvelles parenthèses. À nombre impair nombres négatifs, en omettant les parenthèses et en remplaçant les nombres par leurs opposés. Après cela, l'expression résultante doit être placée entre de nouvelles parenthèses et un signe moins doit être placé devant elle.
Exemple 2
Par exemple, prenons l'expression 5 · (− 3) · (− 2) , qui est le produit de trois nombres. Il existe deux nombres négatifs, nous pouvons donc écrire l’expression sous la forme (5 · 3 · 2) puis enfin ouvrez les parenthèses, obtenant l'expression 5 · 3 · 2.
Dans le produit (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4 : (− 1, 25) : (− 1) cinq nombres sont négatifs. donc (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4 : (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3 : 2 · 4 : 1, 25 : 1) . Ayant enfin ouvert les parenthèses, on obtient −2,5 3:2 4:1,25:1.
La règle ci-dessus peut être justifiée comme suit. Premièrement, nous pouvons réécrire de telles expressions sous forme de produit, en remplaçant la division par la multiplication par le nombre réciproque. Nous représentons chaque nombre négatif comme le produit d'un nombre multiplicateur et - 1 ou - 1 est remplacé par (− 1) une.
En utilisant la propriété commutative de multiplication, nous échangeons les facteurs et transférons tous les facteurs égaux à − 1 , au début de l'expression. Le produit d'un nombre pair moins un est égal à 1 et le produit d'un nombre impair est égal à − 1 , ce qui nous permet d'utiliser le signe moins.
Si nous n'utilisions pas la règle, alors la chaîne d'actions pour ouvrir les parenthèses dans l'expression - 2 3 : (- 2) · 4 : - 6 7 ressemblerait à ceci :
2 3 : (- 2) 4 : - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
La règle ci-dessus peut être utilisée lors de l'ouverture de parenthèses dans des expressions qui représentent des produits et des quotients avec un signe moins qui ne sont ni des sommes ni des différences. Prenons par exemple l'expression
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3 : 2 .
Il peut être réduit à l'expression sans parenthèses x 2 · x : 1 x · x - 3 : 2.
Parenthèses extensibles précédées d'un signe +
Considérons une règle qui peut être appliquée pour développer les parenthèses précédées d'un signe plus, et le « contenu » de ces parenthèses n'est ni multiplié ni divisé par un nombre ou une expression.
Selon la règle, les parenthèses, ainsi que le signe qui les précède, sont omis, tandis que les signes de tous les termes entre parenthèses sont conservés. S'il n'y a pas de signe avant le premier terme entre parenthèses, alors vous devez mettre un signe plus.
Exemple 3
Par exemple, nous donnons l'expression (12 − 3 , 5) − 7 . En omettant les parenthèses, on garde les signes des termes entre parenthèses et on met un signe plus devant le premier terme. L'entrée ressemblera à (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Dans l’exemple donné, il n’est pas nécessaire de placer un signe devant le premier terme, puisque + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Exemple 4
Regardons un autre exemple. Prenons l'expression x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x et effectuons les actions avec elle x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 une - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Voici un autre exemple d'extension de parenthèses :
Exemple 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Comment les parenthèses précédées d’un signe moins sont-elles développées ?
Considérons les cas où il y a un signe moins devant les parenthèses et qui ne sont multipliés (ou divisés) par aucun nombre ou expression. Selon la règle d'ouverture des parenthèses précédées d'un signe « - », les parenthèses avec le signe « - » sont omises et les signes de tous les termes à l'intérieur des parenthèses sont inversés.
Exemple 6
Par exemple:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Les expressions avec des variables peuvent être converties en utilisant la même règle :
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
nous obtenons x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Parenthèses ouvrantes lors de la multiplication d'un nombre par une parenthèse, expressions par une parenthèse
Ici, nous examinerons les cas où vous devez développer des parenthèses multipliées ou divisées par un nombre ou une expression. Formules de la forme (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) ou b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Où une 1 , une 2 , … , une n et b sont des nombres ou des expressions.
Exemple 7
Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression (3-7) 2. D'après la règle, on peut effectuer les transformations suivantes : (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . On obtient 3 · 2 − 7 · 2 .
En ouvrant les parenthèses dans l'expression 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, on obtient 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Multiplier une parenthèse par parenthèse
Considérons le produit de deux parenthèses de la forme (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Cela nous aidera à obtenir une règle pour ouvrir les parenthèses lors de la multiplication par parenthèse.
Afin de résoudre l'exemple donné, nous notons l'expression (b 1 + b 2) comme B. Cela nous permettra d'utiliser la règle de multiplication d'une parenthèse par une expression. Nous obtenons (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. En effectuant un remplacement inversé b par (b 1 + b 2), appliquez à nouveau la règle de multiplication d'une expression par une parenthèse : a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Grâce à un certain nombre de techniques simples, on peut arriver à la somme des produits de chacun des termes de la première tranche par chacun des termes de la deuxième tranche. La règle peut être étendue à n’importe quel nombre de termes entre parenthèses.
Formulons les règles de multiplication parenthèses par parenthèses : pour multiplier deux sommes ensemble, il faut multiplier chacun des termes de la première somme par chacun des termes de la deuxième somme et additionner les résultats.
La formule ressemblera à :
(une 1 + une 2 + . . . + une m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = une 1 b 1 + une 1 b 2 + . . . + une 1 b n + + une 2 b 1 + une 2 b 2 + . . . + une 2 b n + + . . . + + une m b 1 + une m b 1 + . . . un m b n
Développons les parenthèses dans l'expression (1 + x) · (x 2 + x + 6) C'est le produit de deux sommes. Écrivons la solution : (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Il convient de mentionner séparément les cas où il y a un signe moins entre parenthèses avec des signes plus. Par exemple, prenons l'expression (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Tout d'abord, présentons les expressions entre parenthèses sous forme de sommes : (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Nous pouvons maintenant appliquer la règle : (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Ouvrons les parenthèses : 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Expansion des parenthèses dans les produits de plusieurs parenthèses et expressions
S'il y a trois expressions ou plus entre parenthèses dans une expression, les parenthèses doivent être ouvertes séquentiellement. Vous devez commencer la transformation en mettant les deux premiers facteurs entre parenthèses. À l’intérieur de ces parenthèses, nous pouvons effectuer des transformations selon les règles évoquées ci-dessus. Par exemple, les parenthèses dans l'expression (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
L'expression contient trois facteurs à la fois (2 + 4) , 3 et (5 + 7 8) . Nous ouvrirons les parenthèses séquentiellement. Plaçons les deux premiers facteurs dans une autre parenthèse, que nous rendrons en rouge pour plus de clarté : (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Conformément à la règle de multiplication d'une parenthèse par un nombre, on peut effectuer les actions suivantes : ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Multiplier parenthèse par parenthèse : (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Support en nature
Diplômes dont les bases sont des expressions écrites entre parenthèses, avec en nature peut être considéré comme le produit de plusieurs parenthèses. De plus, selon les règles des deux paragraphes précédents, ils peuvent être écrits sans ces parenthèses.
Considérez le processus de transformation de l'expression (une + b + c) 2 . Il peut s'écrire comme le produit de deux parenthèses (une + b + c) · (une + b + c). Multiplions parenthèse par parenthèse et obtenons a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Regardons un autre exemple :
Exemple 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Division des parenthèses par nombre et des parenthèses par parenthèses
Pour diviser une parenthèse par un nombre, il faut que tous les termes entre parenthèses soient divisés par le nombre. Par exemple, (x 2 - x) : 4 = x 2 : 4 - x : 4 .
La division peut d'abord être remplacée par la multiplication, après quoi vous pouvez utiliser règle appropriée ouvrir des parenthèses dans une œuvre. La même règle s'applique lors de la division d'une parenthèse par une parenthèse.
Par exemple, nous devons ouvrir les parenthèses dans l'expression (x + 2) : 2 3 . Pour ce faire, remplacez d'abord la division en multipliant par le nombre réciproque (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3. Multipliez la parenthèse par le nombre (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Voici un autre exemple de division par parenthèses :
Exemple 9
1 x + x + 1 : (x + 2) .
Remplaçons la division par la multiplication : 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Faisons la multiplication : 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Ordre des parenthèses d'ouverture
Considérons maintenant l'ordre d'application des règles évoquées ci-dessus dans les expressions vue générale, c'est à dire. dans des expressions qui contiennent des sommes avec des différences, des produits avec des quotients, des parenthèses au degré naturel.
Procédure:
- la première étape consiste à élever les supports à une puissance naturelle ;
- dans un deuxième temps, l'ouverture des parenthèses en travaux et quotients est réalisée ;
- La dernière étape consiste à ouvrir les parenthèses dans les sommes et les différences.
Considérons l'ordre des actions en utilisant l'exemple de l'expression (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformons à partir des expressions 3 · (− 2) : (− 4) et 6 · (− 7) , qui devraient prendre la forme (3 2:4) et (− 6 · 7) . En remplaçant les résultats obtenus dans l'expression originale, nous obtenons : (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2 : 4) − (−6 · 7) . Ouvrez les parenthèses : − 5 + 3 · 2 : 4 + 6 · 7.
Lorsqu'il s'agit d'expressions contenant des parenthèses entre parenthèses, il est pratique d'effectuer des transformations en travaillant de l'intérieur vers l'extérieur.
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6ème année. Une partie de la leçon consiste à expliquer du nouveau matériel.
Parenthèses extensibles.
Tout d’abord, décryptons ce terme. Que signifie « ouvrir les parenthèses » ? Cela signifie que nous devons présenter une expression qui contient des parenthèses comme une expression égale à elle, mais sans parenthèses. En fait, cette activité n’est pas nouvelle pour vous. Vous avez déjà étudié la loi combinatoire de l’addition, d’où vous avez appris que
(une + b) + c = une + (b + c) = une + b + c
trois nombres peuvent être ajoutés dans n’importe quel ordre. Nous ouvrons les parenthèses et ajoutons les nombres comme bon nous semble.
Par exemple,
(980 + 275) + 20
il est clair qu'il est beaucoup plus facile d'ajouter d'abord 980 et 20, puis d'ajouter 275 à 1000, nous allons donc ouvrir les parenthèses et effectuer l'addition de la manière qui nous est la plus simple.
(980 + 275) + 20 = 980 + 20 +275 = 1000 + 275 = 1275
Nous pouvons appeler ces actions qui vous sont familières l’ouverture des parenthèses. Il y avait une expression avec des parenthèses, maintenant sans eux.
De plus, vous connaissez la loi distributive de la multiplication, dans laquelle l'ouverture des parenthèses se produit également
une × (b + c) = ab + ac.
Il en va de même pour la soustraction.
une × (b - c) = ab - ac
Il y a des parenthèses sur le côté gauche de l'égalité, mais à droite il n'y en a plus - les parenthèses sont ouvertes.
À propos, si les côtés droit et gauche des égalités sont inversés, cette formule peut être appelée la « règle de mise entre parenthèses du facteur commun ».
ab + ac = une × (b + c)
ab - ac = a × (b - c)
Qu'apprendrons-nous de nouveau sur l'ouverture des parenthèses en 6e ? Cette année, nous nous sommes familiarisés avec les nombres négatifs et avons appris à les additionner, les multiplier et les diviser. Nous rencontrons désormais souvent des expressions contenant de très nombreuses parenthèses. Et il est nécessaire d’apprendre la règle universelle pour ouvrir ces parenthèses.
Cette règle semble simple :
S'il y a un signe + avant les parenthèses, alors les parenthèses et ce + peuvent être omis et les signes des termes entre parenthèses ne changeront pas. Vous vous souvenez que l'on comprend l'absence de signe devant un chiffre (ou des parenthèses) comme un signe +.
+ (a + b – c) = a + b – c
(une – b + c) = une – b + c
(- une + b + c) = - une + b + c
S'il y a un signe - devant les parenthèses, alors les parenthèses et ceci - peuvent être omis et les signes des termes entre parenthèses changeront à l'opposé.
- (a + b – c) = - a – b + c
- (a – b + c) = - a + b – c
- (- a + b + c) = a – b – c
Ainsi, le plus ne change pas les signes des termes entre parenthèses, mais le moins le fait. Et je noterai également que nous parlons de seulement sur le changement des signes + et -. Aucun autre signe ne change.
Exemple:
3 + (-5) – (-7)
Ici, nous voyons deux paires de crochets que nous allons ouvrir. Avant les premières parenthèses il y a un +, avant la seconde il y a un moins.
3 + (-5) – (-7) = -3 - 5 +7 = -8 + 7 = -1
Simplifions l'expression :
4,74 – (2a + 3,74) = 4,74 – 2a – 3,74 = 1 – 2a
Réfléchissons maintenant à ce que nous ferons si nous devons ouvrir les parenthèses dans l'expression suivante :
2 × (-5 + une)
Selon la loi distributive de la multiplication, nous devons multiplier les deux tour à tour avec chaque terme entre parenthèses et écrire la somme des résultats en réponse.
2 × (-5 + a) = 2 × (-5) + 2 × a = -10 + 2a
Il n'est pas nécessaire d'écrire le signe de multiplication entre le chiffre et la lettre.
Dans ce cas, le multiplicateur devant la parenthèse était positif.
Développons les parenthèses :
3 × (-5 + 2у) =15 – 6У
Développons les parenthèses :
42 × (2v - 11) = -84v + 462
Résumons : nous avons découvert ce que signifie « ouvrir des parenthèses » et appris à effectuer cette action dans des exemples où des nombres négatifs sont présents.
A+(b + c) peut s'écrire sans parenthèses : a+(b + c)=a + b + c. Cette opération s’appelle l’ouverture des parenthèses.
Exemple 1. Ouvrons les parenthèses dans l'expression a + (- b + c).
Solution. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
S’il y a un signe « + » devant les parenthèses, alors vous pouvez omettre les parenthèses et ce signe « + » tout en conservant les signes des termes entre parenthèses. Si le premier terme entre parenthèses est écrit sans signe, alors il doit être écrit avec un signe « + ».
Exemple 2. Trouvons la valeur de l'expression -2,87+ (2,87-7,639).
Solution. En ouvrant les parenthèses, on obtient - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.
Pour trouver la valeur de l'expression - (- 9 + 5), il faut ajouter Nombres-9 et 5 et trouvez le nombre opposé à la somme résultante : -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
La même valeur peut être obtenue d'une autre manière : notez d'abord les nombres opposés à ces termes (c'est-à-dire changez leurs signes), puis ajoutez : 9 + (- 5) = 4. Ainsi, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Pour écrire une somme opposée à la somme de plusieurs termes, il faut changer les signes de ces termes.
Cela signifie - (a + b) = - a - b.
Exemple 3. Trouvons la valeur de l'expression 16 - (10 -18 + 12).
Solution. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Pour ouvrir des parenthèses précédées d'un signe « - », vous devez remplacer ce signe par « + », en changeant les signes de tous les termes entre parenthèses par l'opposé, puis ouvrir les parenthèses.
Exemple 4. Trouvons la valeur de l'expression 9,36-(9,36 - 5,48).
Solution. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Développer les parenthèses et appliquer des propriétés commutatives et associatives ajout vous permettent de simplifier les calculs.
Exemple 5. Trouvons la valeur de l'expression (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Solution. Tout d'abord, ouvrons les parenthèses, puis trouvons séparément la somme de tous les nombres positifs et séparément la somme de tous les nombres négatifs et, enfin, additionnons les résultats :
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Exemple 6. Trouvons la valeur de l'expression
Solution. Tout d’abord, imaginons chaque terme comme la somme de leurs parties entières et fractionnaires, puis ouvrons les parenthèses, puis ajoutons les entiers et séparément fractionnaire parties et enfin additionner les résultats :
Comment ouvrir des parenthèses précédées d’un signe « + » ? Comment trouver la valeur d’une expression qui est l’opposé de la somme de plusieurs nombres ? Comment développer des parenthèses précédées d'un signe « - » ?
1218. Ouvrez les parenthèses :
une) 3,4+(2,6+ 8,3) ; c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57) ; d) c+(-une + b).
1219. Trouver le sens de l'expression :
1220. Ouvrez les parenthèses :
une) 85+(7,8+ 98) ; d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5 ; e) -a + (m-2,6) ; h) -(ab + c);
c) 64-(90 + 100) ; e) c+(- un-b); i) (mn) - (pk).
1221. Ouvrez les parenthèses et trouvez le sens de l'expression :
1222. Simplifiez l'expression :
1223. Écrire montant deux expressions et simplifiez-les :
a) - 4 - m et m + 6,4 ; d) a+b et p - b
b) 1,1+a et -26-a ; e) - m + n et -k - n ;
c) a + 13 et -13 + b ; e)m - n et n - m.
1224. Écrivez la différence de deux expressions et simplifiez-la :
1226. Utilisez l'équation pour résoudre le problème :
a) Il y a 42 livres sur une étagère et 34 sur l'autre. Plusieurs livres ont été retirés de la deuxième étagère, et autant de livres ont été retirés de la première étagère qu'il en restait sur la seconde. Après cela, il restait 12 livres sur la première étagère. Combien de livres ont été retirés de la deuxième étagère ?
b) Il y a 42 élèves en première année, 3 élèves de moins en deuxième qu'en troisième. Combien y a-t-il d’élèves en troisième année s’il y a 125 élèves dans ces trois années ?
1227. Trouver le sens de l'expression :
1228. Calculer oralement :
1229. Trouver valeur la plus élevée expressions:
1230. Précisez 4 entiers consécutifs si :
a) le plus petit d'entre eux est -12 ; c) le plus petit d'entre eux est n ;
b) le plus grand d'entre eux est -18 ; d) le plus grand d'entre eux est égal à k.
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