Elle est basée sur leur propriété fondamentale : si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même polynôme non nul, alors une fraction égale sera obtenue.
Vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs !
Les membres des polynômes ne peuvent pas être abrégés !
Pour réduire une fraction algébrique, les polynômes du numérateur et du dénominateur doivent d’abord être factorisés.
Regardons des exemples de fractions réductrices.
Le numérateur et le dénominateur de la fraction contiennent des monômes. Ils représentent travail(nombres, variables et leurs puissances), multiplicateurs nous pouvons réduire.
On réduit les nombres à leur plus grand diviseur commun, c'est-à-dire sur le plus grand nombre, par lequel chacun de ces nombres est divisé. Pour 24 et 36, cela fait 12. Après réduction, il reste 2 de 24 et 3 de 36.
On réduit les degrés du degré ayant l'indice le plus bas. Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par le même diviseur et soustraire les exposants.
a² et a⁷ se réduisent à a². Dans ce cas, il reste un au numérateur de a² (on écrit 1 seulement dans le cas où, après réduction, il ne reste plus d'autres facteurs. De 24, il reste 2, donc on n'écrit pas 1 restant de a²). De a⁷, après réduction, a⁵ reste.
b et b sont réduits de b ; les unités résultantes ne sont pas écrites.
c³º et c⁵ sont raccourcis en c⁵. Ce qui reste de c³º est c²⁵, de c⁵ est un (on ne l'écrit pas). Ainsi,
Le numérateur et le dénominateur de cette fraction algébrique sont des polynômes. Vous ne pouvez pas annuler les termes des polynômes ! (vous ne pouvez pas réduire, par exemple, 8x² et 2x !). Pour réduire cette fraction, il vous faut . Le numérateur a un facteur commun de 4x. Sortons-le des parenthèses :
Le numérateur et le dénominateur ont le même facteur (2x-3). Nous réduisons la fraction de ce facteur. Au numérateur, nous avons 4x, au dénominateur - 1. Pour 1 propriété fractions algébriques, la fraction est 4x.
Vous ne pouvez réduire que les multiplicateurs (réduire fraction donnée sur 25x² c'est impossible !). Par conséquent, les polynômes du numérateur et du dénominateur de la fraction doivent être factorisés.
Le numérateur est le carré complet de la somme, le dénominateur est la différence des carrés. Après décomposition par formules de multiplication abrégées, on obtient :
On réduit la fraction de (5x+1) (pour ce faire, rayez les deux au numérateur comme exposant, laissant (5x+1)² (5x+1)) :
Le numérateur a un facteur commun de 2, retirons-le des parenthèses. Le dénominateur est la formule de la différence des cubes :
À la suite de l'expansion, le numérateur et le dénominateur ont reçu le même facteur (9+3a+a²). On en réduit la fraction :
Le polynôme au numérateur est composé de 4 termes. le premier terme avec le deuxième, le troisième avec le quatrième, et supprimez le facteur commun x² des premières parenthèses. Nous décomposons le dénominateur en utilisant la formule de la somme des cubes :
Au numérateur, retirons le facteur commun (x+2) entre parenthèses :
Réduisez la fraction de (x+2) :
La calculatrice en ligne fonctionne réduction de fractions algébriques conformément à la règle des fractions réductrices : remplacer la fraction d'origine par une fraction égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits, c'est-à-dire Diviser simultanément le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur plus grand facteur commun (PGCD). La calculatrice affiche également solution détaillée, ce qui vous aidera à comprendre la séquence de la réduction.
Donné:
Solution:
Effectuer une réduction de fraction
vérifier la possibilité d'effectuer une réduction de fraction algébrique
1) Détermination du plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction
déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique
2) Réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction
réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique
3) Sélection de la partie entière d'une fraction
séparer la partie entière d'une fraction algébrique
4) Conversion d'une fraction algébrique en fraction décimale
convertir une fraction algébrique en décimal
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I. Procédure de réduction d'une fraction algébrique à l'aide d'une calculatrice en ligne :
- Pour réduire une fraction algébrique, saisissez les valeurs du numérateur et du dénominateur de la fraction dans les champs appropriés. Si la fraction est mixte, remplissez également le champ correspondant à la partie entière de la fraction. Si la fraction est simple, laissez le champ de la partie entière vide.
- Mettre en place fraction négative, mettez un signe moins sur toute la partie de la fraction.
- En fonction de la fraction algébrique spécifiée, la séquence d'actions suivante est automatiquement effectuée :
- déterminer le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur d'une fraction;
- réduire le numérateur et le dénominateur d'une fraction par pgcd;
- mettre en évidence la partie entière d'une fraction, si le numérateur de la fraction finale est supérieur au dénominateur.
- convertir la fraction algébrique finale en fraction décimale arrondi au centième le plus proche.
II. Pour référence:
Une fraction est un nombre composé d'une ou plusieurs parties (fractions) d'une unité. Une fraction commune (fraction simple) s'écrit sous la forme de deux nombres (le numérateur de la fraction et le dénominateur de la fraction) séparés par une barre horizontale (la barre de fraction) indiquant le signe de division. Le numérateur d'une fraction est le nombre situé au-dessus de la ligne de fraction. Le numérateur indique combien de parts ont été prélevées sur l'ensemble. Le dénominateur d'une fraction est le nombre situé sous la ligne de fraction. Le dénominateur indique en combien de parties égales le tout est divisé. Une fraction simple est une fraction qui ne comporte pas de partie entière. Une fraction simple peut être propre ou impropre. fraction propre - une fraction dont le numérateur est inférieur au dénominateur, donc une fraction propre est toujours inférieure à un. Exemple de fractions propres : 8/7, 11/19, 16/17. Une fraction impropre est une fraction dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, donc une fraction impropre est toujours supérieure ou égale à un. Exemple de fractions impropres : 7/6, 8/7, 13/13. une fraction mixte est un nombre qui contient un nombre entier et une fraction propre, et désigne la somme de ce nombre entier et de la fraction propre. Toute fraction mixte peut être convertie en fraction impropre fraction simple. Exemple de fractions mixtes : 1¼, 2½, 4¾.
III. Note:
- Bloc de données source mis en surbrillance jaune , bloc de calcul intermédiaire attribué bleu , le bloc de solution est surligné en vert.
- Pour additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions communes ou mixtes, utilisez le calculateur de fractions en ligne avec des solutions détaillées.
Pour comprendre comment réduire des fractions, regardons d’abord un exemple.
Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par la même chose. 360 et 420 se terminent par un chiffre, nous pouvons donc réduire cette fraction de 2. Dans la nouvelle fraction, 180 et 210 sont également divisibles par 2, nous réduisons donc cette fraction de 2. Dans les nombres 90 et 105, la somme des chiffres est divisible par 3, donc ces deux nombres sont divisibles par 3, on réduit la fraction par 3. Dans la nouvelle fraction, 30 et 35 se terminent par 0 et 5, ce qui signifie que les deux nombres sont divisibles par 5, donc on réduit la fraction par 5. La fraction résultante de six septièmes est irréductible. C'est la réponse finale.
Nous pouvons arriver à la même réponse d’une manière différente.
360 et 420 se terminent par zéro, ce qui signifie qu'ils sont divisibles par 10. Nous réduisons la fraction de 10. Dans la nouvelle fraction, le numérateur 36 et le dénominateur 42 sont divisés par 2. Nous réduisons la fraction de 2. Dans la fraction suivante, le numérateur 18 et le dénominateur 21 sont divisés par 3, ce qui signifie que nous réduisons la fraction de 3. Nous sommes arrivés au résultat - six septièmes.
Et encore une solution.
La prochaine fois, nous examinerons des exemples de fractions réductrices.
La dernière fois, nous avons élaboré un plan, à la suite duquel vous pourrez apprendre à réduire rapidement les fractions. Considérons maintenant exemples spécifiques réduction des fractions.
Exemples.
Vérifions si le plus grand nombre est divisible par le plus petit nombre (numérateur par dénominateur ou dénominateur par numérateur) ? Oui, dans ces trois exemples, le plus grand nombre est divisé par le plus petit nombre. Ainsi, on réduit chaque fraction du plus petit des nombres (au numérateur ou au dénominateur). Nous avons:
Vérifions si le plus grand nombre est divisible par le plus petit nombre ? Non, ça ne partage pas.
Passons ensuite à la vérification du point suivant : la saisie du numérateur et du dénominateur se termine-t-elle par un, deux zéros ou plus ? Dans le premier exemple, le numérateur et le dénominateur se terminent par zéro, dans le deuxième exemple par deux zéros et dans le troisième par trois zéros. Cela signifie que nous réduisons la première fraction de 10, la deuxième de 100 et la troisième de 1000 :
Nous avons des fractions irréductibles.
Un nombre plus grand ne peut pas être divisé par un nombre plus petit et les nombres ne se terminent pas par des zéros.
Vérifions maintenant si le numérateur et le dénominateur sont dans la même colonne de la table de multiplication ? 36 et 81 sont tous deux divisibles par 9, 28 et 63 sont divisibles par 7, et 32 et 40 sont divisibles par 8 (ils sont aussi divisibles par 4, mais s'il y a le choix, on réduira toujours d'un plus grand). Ainsi, nous arrivons aux réponses :
Tous les nombres obtenus sont des fractions irréductibles.
Un nombre plus grand ne peut pas être divisé par un nombre plus petit. Mais l’enregistrement du numérateur et du dénominateur se termine par zéro. On réduit donc la fraction de 10 :
Cette fraction peut encore être réduite. On vérifie la table de multiplication : 48 et 72 sont tous deux divisibles par 8. On réduit la fraction par 8 :
On peut également réduire la fraction résultante par 3 :
Cette fraction est irréductible.
Le plus grand nombre n'est pas divisible par le plus petit nombre. Le numérateur et le dénominateur se terminent par zéro, ce qui signifie que nous réduisons la fraction de 10.
Nous vérifions les nombres obtenus au numérateur et au dénominateur pour et. Puisque la somme des chiffres de 27 et 531 est divisible par 3 et 9, cette fraction peut être réduite de 3 ou de 9. Nous choisissons la plus grande et réduisons de 9. Le résultat résultant est une fraction irréductible.
Comprenons ce qu'est les fractions réductrices, pourquoi et comment réduire les fractions, et donnons la règle de réduction des fractions et des exemples de son utilisation.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Qu'est-ce que "réduire des fractions"
Réduire la fractionRéduire une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un facteur commun positif et différent de un.
À la suite de cette action, une fraction avec un nouveau numérateur et un nouveau dénominateur sera obtenue, égale à la fraction d'origine.
Par exemple, prenons fraction commune 6 24 et raccourcissez-le. Divisez le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donne 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. Dans cet exemple, nous avons réduit la fraction originale de 2.
Réduire des fractions à une forme irréductible
Dans l’exemple précédent, nous avons réduit la fraction 6 24 par 2, ce qui donne la fraction 3 12. Il est facile de voir que cette fraction peut être encore réduite. Généralement, le but de la réduction de fractions est d’aboutir à une fraction irréductible. Comment réduire une fraction à sa forme irréductible ?
Cela peut être fait en réduisant le numérateur et le dénominateur de leur plus grand facteur commun (PGCD). Alors, par la propriété du plus grand commun diviseur, le numérateur et le dénominateur seront mutuellement nombres premiers, et la fraction sera irréductible.
une b = une ÷ N O D (une , b) b ÷ N O D (une , b)
Réduire une fraction à une forme irréductible
Pour réduire une fraction à sa forme irréductible, il faut diviser son numérateur et son dénominateur par leur pgcd.
Revenons à la fraction 6 24 du premier exemple et ramenons-la à sa forme irréductible. Le plus grand diviseur commun des nombres 6 et 24 est 6. Réduisons la fraction :
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
La réduction de fractions est pratique à utiliser pour ne pas travailler avec de grands nombres. En général, il existe une règle tacite en mathématiques : si vous pouvez simplifier une expression, alors vous devez le faire. Réduire une fraction signifie le plus souvent la réduire à une forme irréductible, et non simplement la réduire par le diviseur commun du numérateur et du dénominateur.
Règle de réduction des fractions
Pour réduire des fractions, rappelez-vous simplement la règle qui comprend deux étapes.
Règle de réduction des fractions
Pour réduire une fraction, il vous faut :
- Trouvez le pgcd du numérateur et du dénominateur.
- Divisez le numérateur et le dénominateur par leur pgcd.
Regardons des exemples pratiques.
Exemple 1. Réduisons la fraction.
Étant donné la fraction 182 195. Raccourcissons-le.
Trouvons le pgcd du numérateur et du dénominateur. Pour ce faire, dans ce cas, il est plus pratique d'utiliser l'algorithme euclidien.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13
Divisez le numérateur et le dénominateur par 13. On a:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Prêt. Nous avons obtenu une fraction irréductible égale à la fraction originale.
Sinon, comment pouvez-vous réduire des fractions ? Dans certains cas, il est pratique de factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis de supprimer tous les facteurs communs des parties supérieure et inférieure de la fraction.
Exemple 2. Réduire la fraction
Étant donné la fraction 360 2940. Raccourcissons-le.
Pour ce faire, imaginez la fraction originale sous la forme :
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Débarrassons-nous des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, ce qui donne :
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
Enfin, regardons une autre façon de réduire les fractions. C'est ce qu'on appelle la réduction séquentielle. En utilisant cette méthode, la réduction est effectuée en plusieurs étapes, dans chacune desquelles la fraction est réduite par un facteur commun évident.
Exemple 3. Réduire la fraction
Réduisons la fraction 2000 4400.
Il apparaît immédiatement que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun de 100. On réduit la fraction de 100 et on obtient :
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
On réduit à nouveau le résultat obtenu de 2 et on obtient une fraction irréductible :
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
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