Passons à la définition du logarithme. Théorèmes de base sur les logarithmes

Le concept de logarithme et d'identité logarithmique de base

Le concept de logarithme et l'identité logarithmique de base sont étroitement liés, puisque la définition du logarithme en notation mathématique est.

L'identité logarithmique de base découle de la définition d'un logarithme :

Définition 1

Logarithme est appelé l'exposant $ n $, lorsqu'il est élevé auquel les nombres $ a $ obtiennent le nombre $ b $.

Remarque 1

L'équation exponentielle $ a ^ n = b $ pour $ a> 0 $, $ a \ ne 1 $ n'a pas de solution pour $ b $ non positif et a une racine unique pour $ b $ positif. Cette racine s'appelle logarithme du nombre $ b $ à la base $ a $ et écrire:

$ a ^ (\ log_ (a) b) = b $.

Définition 2

Expression

$ a ^ (\ log_ (a) b) = b $

sont appelés identité logarithmique de baseà condition que $ a, b> 0 $, $ a \ ne 1 $.

Exemple 1

17 $ ^ (\ log_ (17) 6) = 6 $;

$ e ^ (\ ln⁡13) = 13 $;

10 $ ^ (\ lg23) = 23 $.

Identité logarithmique de base

Le principal l'identité logarithmique est appelée parce que il est presque toujours utilisé lorsque vous travaillez avec des logarithmes. De plus, avec son aide, les propriétés de base des logarithmes sont justifiées.

Exemple 2

$ 7 ^ 5 = 16 807 $, donc $ \ log_ (7) 16 807 = 5 $.

$ 3 ^ (- 5) = \ frac (1) (243) $, donc $ \ log_ (3) \ frac (1) (243) = - 5 $.

$ 11 ^ 0 = 1 $, donc $ \ log_ (11) ⁡1 = 0 $.

Envisager conséquence de l'identité logarithmique de base:

Définition 3

Si deux logarithmes de même base sont égaux, alors les expressions du logarithme sont également égales :

si $ \ log_ (a) ⁡b = \ log_ (a) c $, alors $ b = c $.

Envisager restrictions qui s'appliquent à l'identité logarithmique :

Parce que en élevant à n'importe quelle puissance de un, on obtient toujours un, et l'égalité $ x = \ log_ (a) ⁡b $ n'existe que pour $ b = 1 $, alors $ \ log_ (1) ⁡1 $ sera quelconque nombre réel... Pour éviter cette ambiguïté, prenons $ a \ ne 1 $.

Selon la définition, le logarithme pour $ a = 0 $ ne peut exister que pour $ b = 0 $. Parce que en élevant à n'importe quelle puissance de zéro, nous obtenons toujours zéro, alors $ \ log_ (0) 0 $ peut être n'importe quel nombre réel. Pour éviter cette ambiguïté, prenons $ a \ ne 0 $. Pour $ a rationnel et irrationnel valeurs du logarithme, puisque un degré avec un exposant rationnel et irrationnel ne peut être calculé que pour des bases positives. Pour éviter une telle situation, prenez $ a> 0 $.

$ b> 0 $ découle de la condition $ a> 0 $, puisque $ x = \ log_ (a) ⁡b $, et la puissance d'un nombre positif a sera toujours positive.

L'identité logarithmique de base est souvent utilisée pour simplifier les expressions logarithmiques.

Exemple 3

Calculez 81 $ ^ (\ log_ (9) 7) $.

Solution.

Pour pouvoir utiliser l'identité logarithmique de base, il faut que la base du logarithme et le degré soient les mêmes. On écrit la base du diplôme sous la forme :

On peut maintenant écrire :

$ 81 ^ (\ log_ (9) 7) = (9 ^ 2) ^ (\ log_ (9) 7) = $

on utilisera la propriété de degré :

$ = 9 ^ (2 \ cdot \ log_ (9) 7) = 9 ^ (\ log_ (9) 7) \ cdot 9 ^ (\ log_ (9) 7) = $

l'identité logarithmique de base peut maintenant être appliquée à chaque facteur :

$ = 7 \ cdot 7 = 49 $.

Remarque 2

Pour appliquer l'identité logarithmique de base, vous pouvez également recourir au remplacement de la base du logarithme par une expression placée sous le signe du logarithme, et vice versa.

Exemple 4

Calculez $ 7 ^ (\ frac (1) (\ log_ (11) 7)) $.

Solution.

$ 7 ^ (\ frac (1) (\ log_ (11) 7)) = 7 ^ (\ log_ (7) 11) = 11 $.

Réponse: $11$.

Exemple 5

Calculez $ 7 ^ (\ frac (3) (\ log_ (11) 7)) $.

\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Expliquons de manière plus simple. Par exemple, \ (\ log_ (2) (8) \) est égal à la puissance à laquelle \ (2 \) doit être élevé pour obtenir \ (8 \). Il est donc clair que \ (\ log_ (2) (8) = 3 \).

Exemples:		\ (\ log_ (5) (25) = 2 \)		puisque \ (5 ^ (2) = 25 \)
		\ (\ log_ (3) (81) = 4 \)		puisque \ (3 ^ (4) = 81 \)
		\ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (32) \) \ (= - 5 \)		puisque \ (2 ^ (- 5) = \) \ (\ frac (1) (32) \)

Logarithme argument et base

Tout logarithme a l'"anatomie" suivante :

L'argument du logarithme est généralement écrit à son niveau, avec la base en indice plus proche du signe du logarithme. Et cette entrée se lit comme ceci : "logarithme de vingt-cinq à base cinq."

Comment calculer le logarithme ?

Pour calculer le logarithme, vous devez répondre à la question : à quel degré la base doit-elle être élevée pour obtenir l'argument ?

Par exemple, calculez le logarithme : a) \ (\ log_ (4) (16) \) b) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) c) \ (\ log _ ( \ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) d) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)

a) A quel degré faut-il élever \ (4 \) pour obtenir \ (16 \) ? Evidemment dans le second. C'est pourquoi:

\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)

\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)

c) Dans quelle mesure faut-il élever \ (\ sqrt (5) \) pour obtenir \ (1 \) ? Et quel degré fait n'importe quel numéro un ? Zéro, bien sûr !

\ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) = 0 \)

d) Dans quelle mesure faut-il élever \ (\ sqrt (7) \) pour obtenir \ (\ sqrt (7) \) ? Dans le premier - tout nombre au premier degré est égal à lui-même.

\ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) = 1 \)

e) Dans quelle mesure faut-il élever \ (3 \) pour obtenir \ (\ sqrt (3) \) ? De nous savons que c'est un degré fractionnaire, et donc la racine carrée est le degré \ (\ frac (1) (2) \).

\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)

Exemple : Calculer le logarithme \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)

Solution :

\ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = x \)		Nous devons trouver la valeur du logarithme, désignons-le par x. Utilisons maintenant la définition d'un logarithme : \ (\ log_ (a) (c) = b \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (a ^ (b) = c \)
\ ((4 \ carré (2)) ^ (x) = 8 \)		Quel est le lien entre \ (4 \ sqrt (2) \) et \ (8 \) ? Deux, car les deux nombres peuvent être représentés par deux : \ (4 = 2 ^ (2) \) \ (\ sqrt (2) = 2 ^ (\ frac (1) (2)) \) \ (8 = 2 ^ (3) \)
\ (((2 ^ (2) \ cdot2 ^ (\ frac (1) (2)))) ^ (x) = 2 ^ (3) \)		A gauche, on utilise les propriétés du degré : \ (a ^ (m) \ cdot a ^ (n) = a ^ (m + n) \) et \ ((a ^ (m)) ^ (n) = un ^ (m \ cdot n) \)
\ (2 ^ (\ frac (5) (2) x) = 2 ^ (3) \)		Les motifs sont égaux, on passe à l'égalité des indicateurs
\ (\ frac (5x) (2) \) \ (= 3 \)		Multiplier les deux membres de l'équation par \ (\ frac (2) (5) \)
		La racine résultante est la valeur du logarithme

Réponse : \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = 1,2 \)

Pourquoi avez-vous trouvé un logarithme ?

Pour comprendre cela, résolvons l'équation : \ (3 ^ (x) = 9 \). Faites simplement correspondre \ (x \) pour que l'égalité fonctionne. Bien sûr, \ (x = 2 \).

Résolvez maintenant l'équation : \ (3 ^ (x) = 8 \) Qu'est-ce que x ? C'est juste le point.

Les plus vifs d'esprit diront : « X est un peu moins que deux. Comment écrivez-vous exactement ce nombre ? Pour répondre à cette question, ils ont trouvé un logarithme. Grâce à lui, la réponse ici peut s'écrire \ (x = \ log_ (3) (8) \).

Je tiens à souligner que \ (\ log_ (3) (8) \), comme tout logarithme n'est qu'un nombre... Oui, cela semble inhabituel, mais court. Parce que si nous voulions l'écrire sous forme de fraction décimale, cela ressemblerait à ceci : \ (1.892789260714 ..... \)

Exemple : Résoudre l'équation \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)

Solution :

\ (4 ^ (5x-4) = 10 \)		\ (4 ^ (5x-4) \) et \ (10 ​​​​\) ne peuvent être réduits à la même raison. Cela signifie que nous ne pouvons pas nous passer du logarithme. Utilisons la définition d'un logarithme : \ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)
\ (\ log_ (4) (10) = 5x-4 \)		Refléter l'équation de sorte que x soit à gauche
\ (5x-4 = \ log_ (4) (10) \)		Avant nous. Déplacez \ (4 \) vers la droite. Et ne vous laissez pas intimider par le logarithme, traitez-le comme un nombre ordinaire.
\ (5x = \ log_ (4) (10) +4 \)		Divisez l'équation par 5
\ (x = \) \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)		C'est notre racine. Oui, cela semble étrange, mais ils ne choisissent pas la réponse.

Réponse : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)

Logarithmes décimaux et naturels

Comme indiqué dans la définition d'un logarithme, sa base peut être n'importe quel nombre positif autre qu'un \ ((a> 0, a \ neq1) \). Et parmi tous les motifs possibles, il y en a deux qui se produisent si souvent qu'une notation courte spéciale a été inventée pour les logarithmes avec eux :

Logarithme népérien : un logarithme dont la base est le nombre d'Euler \ (e \) (égal approximativement à \ (2,7182818 ... \)), et s'écrit un logarithme tel que \ (\ ln (a) \).

C'est-à-dire, \ (\ ln (a) \) est le même que \ (\ log_ (e) (a) \)

Logarithme décimal : Un logarithme de base 10 s'écrit \ (\ lg (a) \).

C'est-à-dire, \ (\ lg (a) \) est le même que \ (\ log_ (10) (a) \), où \ (a \) est un nombre.

Identité logarithmique de base

Les logarithmes ont de nombreuses propriétés. L'un d'eux s'appelle « Identité logarithmique de base » et ressemble à ceci :

\ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \)

Cette propriété découle directement de la définition. Voyons comment exactement cette formule est née.

Rappelons une brève notation de la définition d'un logarithme :

si \ (a ^ (b) = c \) alors \ (\ log_ (a) (c) = b \)

C'est-à-dire que \ (b \) est identique à \ (\ log_ (a) (c) \). On peut alors écrire \ (\ log_ (a) (c) \) au lieu de \ (b \) dans la formule \ (a ^ (b) = c \). Il s'est avéré \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - l'identité logarithmique principale.

Vous pouvez trouver le reste des propriétés des logarithmes. Avec leur aide, vous pouvez simplifier et calculer les valeurs d'expressions avec des logarithmes, qui sont difficiles à calculer "de front".

Exemple : Trouver la valeur de l'expression \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)

Solution :

Réponse : \(25\)

Comment écrire un nombre sous forme de logarithme ?

Comme mentionné ci-dessus, tout logarithme n'est qu'un nombre. L'inverse est également vrai : n'importe quel nombre peut être écrit sous forme de logarithme. Par exemple, nous savons que \ (\ log_ (2) (4) \) est égal à deux. Ensuite, vous pouvez écrire \ (\ log_ (2) (4) \) au lieu de deux.

Mais \ (\ log_ (3) (9) \) est aussi \ (2 \), vous pouvez donc aussi écrire \ (2 = \ log_ (3) (9) \). De même, avec \ (\ log_ (5) (25) \), et \ (\ log_ (9) (81) \), etc. C'est-à-dire qu'il s'avère

\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ log_ (7) (49) ... \)

Ainsi, si nous en avons besoin, nous pouvons, n'importe où (même dans une équation, même dans une expression, même dans une inégalité), écrire deux sous forme de logarithme avec n'importe quelle base - nous écrivons simplement la base au carré comme argument.

De même avec un triple - il peut être écrit comme \ (\ log_ (2) (8) \), ou comme \ (\ log_ (3) (27) \), ou comme \ (\ log_ (4) (64) \) ... Ici nous écrivons la base dans un cube comme argument :

\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ log_ (7) (343) ... \)

Et avec un quatre :

\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ log_ (7) (2401) ... \)

Et avec moins un :

\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1 ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)

Et avec un tiers :

\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)

Tout nombre \ (a \) peut être représenté comme un logarithme de base \ (b \) : \ (a = \ log_ (b) (b ^ (a)) \)

Exemple : Trouver le sens de l'expression \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)

Solution :

Réponse : \(1\)

Donc, nous avons devant nous des pouvoirs de deux. Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver le degré auquel vous devez augmenter deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez augmenter de deux à la quatrième puissance. Et pour obtenir 64, vous devez augmenter de deux à la sixième puissance. Cela peut être vu à partir du tableau.

Et maintenant - en fait, la définition du logarithme :

Le logarithme de base a de l'argument x est la puissance à laquelle le nombre a doit être élevé pour obtenir le nombre x.

Notation : log a x = b, où a est la base, x est l'argument, b est en fait le logarithme.

Par exemple, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (log base 2 de 8 est trois, puisque 2 3 = 8). Avec le même succès log 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.

L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre dans une base donnée s'appelle le logarithme. Ajoutons donc une nouvelle ligne à notre table :

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Malheureusement, tous les logarithmes ne sont pas calculés aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le journal 2 5. Le numéro 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se trouve quelque part sur le segment. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

De tels nombres sont dits irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits indéfiniment, et ils ne se répètent jamais. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Il est important de comprendre que le logarithme est une expression à deux variables (base et argument). Au début, beaucoup ne savent pas où se trouve la base et où se trouve l'argument. Pour éviter les malentendus gênants, il suffit de jeter un œil à l'image :

Devant nous n'est rien de plus que la définition du logarithme. Rappelles toi: le logarithme est le degréà laquelle la base doit être élevée pour obtenir l'argument. C'est la base qui est élevée au pouvoir - sur la photo elle est surlignée en rouge. Il s'avère que la base est toujours en bas ! Je dis cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et aucune confusion ne surgit.

Nous avons compris la définition - il reste à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire se débarrasser du signe du journal. Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :

1. L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Ceci découle de la définition du degré par un indicateur rationnel, auquel se réduit la définition du logarithme.
2. La base doit être différente de un, puisque l'on est toujours un à un degré quelconque. Pour cette raison, la question « dans quelle mesure il faut en élever un pour obtenir un deux » n'a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !

De telles restrictions sont appelées plage de valeurs valides(ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1.

Notez qu'il n'y a aucune restriction sur le nombre b (la valeur du logarithme). Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = -1, car 0,5 = 2 -1.

Cependant, nous ne considérons maintenant que les expressions numériques, pour lesquelles la connaissance de l'ODV du logarithme n'est pas requise. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les compilateurs de tâches. Mais lorsque les équations logarithmiques et les inégalités entreront en jeu, les exigences du DHS deviendront obligatoires. En effet, à la base et dans l'argumentation il peut y avoir des constructions très fortes qui ne correspondent pas forcément aux restrictions ci-dessus.

Voyons maintenant le schéma général de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :

1. Présentez la base a et l'argument x comme une puissance avec la plus petite base possible supérieure à un. En cours de route, il vaut mieux se débarrasser des fractions décimales;
2. Résoudre l'équation de la variable b : x = a b ;
3. Le nombre b résultant sera la réponse.

C'est tout! Si le logarithme s'avère irrationnel, cela se verra déjà à la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très pertinente : cela réduit la probabilité d'erreur et simplifie grandement les calculs. C'est la même chose avec les fractions décimales : si vous les convertissez immédiatement en fractions ordinaires, il y aura beaucoup moins d'erreurs.

Voyons comment ce schéma fonctionne avec des exemples spécifiques :

Tâche. Calculer le logarithme : log 5 25

1. Représentons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Composons et résolvons l'équation :
log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. J'ai reçu la réponse : 2.

Tâche. Calculer le logarithme :

Tâche. Calculer le log de : log 4 64

1. Représentons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Composons et résolvons l'équation :
   log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. J'ai reçu la réponse : 3.

Tâche. Calculer le logarithme : log 16 1

1. Représentons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Composons et résolvons l'équation :
   log 16 1 = b (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Reçu la réponse : 0.

Tâche. Calculer le log de : log 7 14

1. Représentons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 n'est pas représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Du point précédent, il s'ensuit que le logarithme n'est pas compté ;
3. La réponse est pas de changement : log 7 14.

Une petite note sur le dernier exemple. Comment s'assurer qu'un nombre n'est pas une puissance exacte d'un autre nombre ? C'est très simple - il suffit de le prendre en compte dans les facteurs premiers. Si la factorisation contient au moins deux facteurs différents, le nombre n'est pas une puissance exacte.

Tâche. Découvrez si les puissances exactes du nombre sont : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; Quatorze .

8 = 2 2 2 = 2 3 - le degré exact, car il n'y a qu'un seul facteur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas un degré exact, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois pas un degré exact ;
14 = 7 2 - encore une fois pas un degré exact ;

Notez également que les nombres premiers eux-mêmes sont toujours des puissances exactes d'eux-mêmes.

Logarithme décimal

Certains logarithmes sont si courants qu'ils ont un nom et une désignation spéciaux.

Le logarithme décimal de x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre 10 doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : lg x.

Par exemple, lg 10 = 1 ; lg 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.

Désormais, lorsqu'une phrase comme "Trouver lg 0.01" apparaît dans un manuel, sachez que ce n'est pas une faute de frappe. C'est le logarithme décimal. Cependant, si vous n'êtes pas habitué à une telle désignation, vous pouvez toujours la réécrire :
log x = log 10 x

Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires est également vrai pour les nombres décimaux.

Un algorithme naturel

Il existe un autre logarithme qui a sa propre notation. D'une certaine manière, c'est encore plus important que le nombre décimal. C'est le logarithme népérien.

Le logarithme népérien de x est le logarithme de base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre e doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : ln x.

Beaucoup se demanderont : qu'est-ce que le nombre e d'autre ? C'est un nombre irrationnel, sa signification exacte ne peut être trouvée et écrite. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459 ...

Nous n'allons pas approfondir ce qu'est ce nombre et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme népérien :
ln x = log e x

Ainsi, ln e = 1 ; ln e 2 = 2; Dans e 16 = 16 - etc. D'autre part, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel est irrationnel. Sauf, bien sûr, les unités : ln 1 = 0.

Pour les logarithmes naturels, toutes les règles sont vraies qui sont vraies pour les logarithmes ordinaires.

Le logarithme d'un nombre b positif en base a (a> 0, a n'est pas égal à 1) est un nombre c tel que ac = b : log ab = c ⇔ ac = b (a> 0, a ≠ 1, b > 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Attention : le logarithme d'un nombre non positif n'est pas défini. De plus, la base du logarithme doit être un nombre positif, différent de 1. Par exemple, si on carré -2, on obtient le nombre 4, mais cela ne veut pas dire que le logarithme à la base -2 de 4 est 2.

Identité logarithmique de base

a log a b = b (a> 0, a ≠ 1) (2)

Il est important que les domaines de définition des côtés droit et gauche de cette formule soient différents. Le membre de gauche est défini uniquement pour b> 0, a> 0 et a 1. Le membre de droite est défini pour tout b et ne dépend pas du tout de a. Ainsi, l'utilisation de l'« identité » logarithmique de base dans la résolution d'équations et d'inéquations peut entraîner une modification de la GDV.

Deux conséquences évidentes de la définition d'un logarithme

log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a> 0, a ≠ 1) (4)

En effet, en élevant le nombre a à la première puissance, on obtient le même nombre, et en l'élevant à la puissance zéro, on en obtient un.

Logarithme du produit et logarithme du quotient

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (5)

Log a b c = log a b - log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (6)

Je voudrais mettre en garde les écoliers contre l'utilisation inconsidérée de ces formules lors de la résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques. Lorsqu'ils sont utilisés "de gauche à droite", l'ODZ se rétrécit, et lorsque vous passez de la somme ou de la différence de logarithmes au logarithme du produit ou du quotient, l'ODV s'élargit.

En effet, l'expression log a (f (x) g (x)) est définie dans deux cas : lorsque les deux fonctions sont strictement positives, ou lorsque f (x) et g (x) sont tous deux inférieurs à zéro.

En transformant cette expression en somme log a f (x) + log a g (x), on est obligé de se limiter au seul cas où f (x)> 0 et g (x)> 0. Il y a un rétrécissement de la plage de valeurs admissibles, ce qui est catégoriquement inacceptable, car cela peut entraîner la perte de solutions. Un problème similaire existe pour la formule (6).

Le degré peut s'exprimer en dehors du signe du logarithme

log a b p = p log a b (a> 0, a 1, b> 0) (7)

Et encore une fois, je voudrais appeler à la précision. Considérez l'exemple suivant :

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Le membre de gauche de l'égalité est défini, évidemment, pour toutes les valeurs de f (x), sauf zéro. Le côté droit est uniquement pour f (x)> 0 ! En supprimant la puissance du logarithme, nous réduisons à nouveau l'ODV. La procédure inverse étend la plage de valeurs valides. Toutes ces remarques s'appliquent non seulement au degré 2, mais aussi à tout degré pair.

La formule pour le passage à une nouvelle base

log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1) (8)

C'est le cas rare où l'ODV ne change pas pendant la transformation. Si vous avez raisonnablement choisi une base c (positive et non égale à 1), la transition vers une nouvelle formule de base est totalement sûre.

Si nous choisissons le nombre b comme nouvelle base c, nous obtenons un cas particulier important de la formule (8) :

Log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) (9)

Quelques exemples simples avec des logarithmes

Exemple 1. Calculez : lg2 + lg50.
Solution. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Nous avons utilisé la formule de la somme des logarithmes (5) et la définition du logarithme décimal.

Exemple 2. Calculez : lg125 / lg5.
Solution. lg125 / lg5 = log 5 125 = 3. Nous avons utilisé la formule de transition vers une nouvelle base (8).

Tableau des formules liées aux logarithmes

a log a b = b (a> 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a> 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0)

log a b c = log a b - log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0)

log a b p = p log a b (a> 0, a ≠ 1, b> 0)

log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1)

Aujourd'hui, nous allons parler de formules logarithmiques et donner à titre indicatif exemples de solutions.

En eux-mêmes, ils impliquent des modèles de décision selon les propriétés de base des logarithmes. Avant d'appliquer les formules des logarithmes de la solution, nous rappelons pour vous d'abord toutes les propriétés :

Maintenant, sur la base de ces formules (propriétés), nous montrons exemples de résolution de logarithmes.

Exemples de résolution de logarithmes basés sur des formules.

Logarithme un nombre positif b en base a (noté log a b) est l'exposant auquel a doit être élevé pour obtenir b, tandis que b> 0, a> 0 et 1.

Selon la définition, log a b = x, ce qui équivaut à a x = b, donc log a a x = x.

Logarithmes, exemples:

log 2 8 = 3, car 2 3 = 8

log 7 49 = 2, car 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, car 5 -1 = 1/5

Logarithme décimal est le logarithme usuel, à la base duquel est 10. Il est noté lg.

log 10 100 = 2, car 10 2 = 100

Un algorithme naturel- aussi le logarithme usuel est le logarithme, mais avec la base e (e = 2,71828 ... est un nombre irrationnel). Il est désigné comme ln.

Il est conseillé de se souvenir des formules ou des propriétés des logarithmes, car nous en aurons besoin à l'avenir lors de la résolution de logarithmes, d'équations logarithmiques et d'inéquations. Essayons à nouveau chaque formule avec des exemples.

• Identité logarithmique de base
  un journal a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4

• Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes
  log a (b / c) = log a b - log a c

  9 log 5 50/9 log 5 2 = 9 log 5 50 log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Propriétés de la puissance d'un logarithme et de la base d'un logarithme

  L'exposant du logarithme du nombre log a b m = mlog a b

  L'exposant de la base du logarithme log a n b = 1 / n * log a b

  log a n b m = m / n * log a b,

  si m = n, on obtient log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Déménager dans une nouvelle fondation
  log a b = log c b / log c a,

  si c = b, on obtient log b b = 1

  alors log a b = 1 / log b a

  log 0,8 3 * log 3 1,25 = log 0,8 3 * log 0,8 1,25 / log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Comme vous pouvez le voir, les formules des logarithmes ne sont pas aussi compliquées qu'il y paraît. Maintenant, après avoir examiné des exemples de résolution de logarithmes, nous pouvons passer aux équations logarithmiques. Nous examinerons plus en détail des exemples de résolution d'équations logarithmiques dans l'article : "". Ne manquez pas!

Si vous avez encore des questions sur la solution, écrivez-les dans les commentaires de l'article.

Remarque : nous avons décidé de nous former dans une autre classe, d'étudier à l'étranger comme option pour le développement d'événements.