Calculateur en ligne.
Évaluer une expression avec fractions numériques.
Multiplier, soustraire, diviser, additionner et réduire des fractions avec différents dénominateurs.

Avec ce calculateur en ligne, vous pouvez multiplier, soustraire, diviser, additionner et réduire des fractions avec des dénominateurs différents.

Le programme fonctionne avec des fractions numériques régulières, impropres et mixtes.

Ce programme (calculateur en ligne) peut :
- effectuer l'addition de fractions mixtes avec différents dénominateurs
- effectuer la soustraction de fractions mixtes avec différents dénominateurs
- diviser des fractions mixtes avec des dénominateurs différents
- multiplier des fractions mixtes avec différents dénominateurs
- réduire les fractions à un dénominateur commun
- convertir des fractions mixtes en fractions impropres
- réduire les fractions

Vous pouvez également saisir non pas une expression avec des fractions, mais une seule fraction.
Dans ce cas, la fraction sera réduite et la partie entière sera séparée du résultat.

Le calculateur en ligne pour calculer des expressions avec des fractions numériques ne donne pas seulement la réponse au problème, il fournit une solution détaillée avec des explications, c'est-à-dire affiche le processus de recherche d’une solution.

Ce programme peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation pour essais et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie des expressions avec des fractions numériques, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'expressions avec des fractions numériques

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Entrée : -2/3 + 7/5
Résultat : \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette : &
Entrée : -1&2/3 * 5&8/3
Résultat : \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

La division des fractions est introduite par le signe deux-points : :
Entrée : -9&37/12 : -3&5/14
Résultat : \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
N'oubliez pas que vous ne pouvez pas diviser par zéro !

Vous pouvez utiliser des parenthèses lors de la saisie d'expressions contenant des fractions numériques.
Saisir: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Résultat : \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Entrez une expression utilisant des fractions numériques.

Calculer

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Un peu de théorie.

Fractions ordinaires. Division avec reste

Si nous devons diviser 497 par 4, alors lors de la division, nous verrons que 497 n'est pas également divisible par 4, c'est-à-dire le reste de la division demeure. Dans de tels cas, on dit que c'est terminé division avec reste, et la solution s'écrit comme suit :
497 : 4 = 124 (1 reste).

Les composantes de division du côté gauche de l'égalité sont appelées de la même manière que dans la division sans reste : 497 - dividende, 4 - diviseur. Le résultat de la division divisée avec un reste est appelé privé incomplet. Dans notre cas, il s’agit du nombre 124. Et enfin, la dernière composante, qui n’est pas en division ordinaire, est reste. Dans les cas où il n’y a pas de reste, on dit qu’un nombre est divisé par un autre. sans laisser de trace, ou complètement. On pense qu'avec une telle division, le reste égal à zéro. Dans notre cas, le reste est 1.

Le reste est toujours inférieur au diviseur.

La division peut être vérifiée par multiplication. Si, par exemple, il existe une égalité 64 : 32 = 2, alors la vérification peut se faire comme ceci : 64 = 32 * 2.

Souvent, dans les cas où une division avec un reste est effectuée, il est pratique d'utiliser l'égalité
une = b * n + r,
où a est le dividende, b est le diviseur, n est le quotient partiel, r est le reste.

Diviser le quotient nombres naturels peut être écrit sous forme de fraction.

Le numérateur d'une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur.

Puisque le numérateur d’une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur, croire que la ligne d'une fraction signifie l'action de division. Parfois, il est pratique d’écrire la division sous forme de fraction sans utiliser le signe « : ».

Le quotient de la division des nombres naturels m et n peut s'écrire sous la forme d'une fraction \(\frac(m)(n)\), où le numérateur m est le dividende et le dénominateur n est le diviseur :
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Fidèle suivre les règles:

Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser l'unité en n parties égales (actions) et prendre m de ces parties.

Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser le nombre m par le nombre n.

Pour trouver une partie d'un tout, il faut diviser le nombre correspondant au tout par le dénominateur et multiplier le résultat par le numérateur de la fraction qui exprime cette partie.

Pour trouver un tout à partir de sa partie, il faut diviser le nombre correspondant à cette partie par le numérateur et multiplier le résultat par le dénominateur de la fraction qui exprime cette partie.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Cette propriété est appelée propriété principale d'une fraction.

Les deux dernières transformations sont appelées réduire une fraction.

Si les fractions doivent être représentées comme des fractions avec le même dénominateur, alors cette action est appelée réduire des fractions à un dénominateur commun.

Fractions propres et impropres. Numéros mixtes

Vous savez déjà qu'une fraction peut être obtenue en divisant un tout en parties égales et en prenant plusieurs de ces parties. Par exemple, la fraction \(\frac(3)(4)\) signifie trois quarts de un. Dans de nombreux problèmes du paragraphe précédent, les fractions étaient utilisées pour représenter des parties d’un tout. Le bon sens veut que la partie soit toujours inférieure au tout, mais qu'en est-il des fractions telles que \(\frac(5)(5)\) ou \(\frac(8)(5)\ ? Il est clair que cela ne fait plus partie de l'unité. C'est probablement pourquoi les fractions dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur sont appelées fractions impropres. Les fractions restantes, c'est-à-dire les fractions dont le numérateur inférieur au dénominateur, appelé fractions correctes.

Comme vous le savez, n'importe quel fraction commune, à la fois correct et incorrect, peut être considéré comme le résultat de la division du numérateur par le dénominateur. Ainsi, en mathématiques, contrairement au langage ordinaire, le terme « fraction impropre » ne signifie pas que nous avons fait quelque chose de mal, mais seulement que le numérateur de cette fraction est supérieur ou égal au dénominateur.

Si un nombre est constitué d'une partie entière et d'une fraction, alors tel les fractions sont appelées mixtes.

Par exemple:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 est la partie entière et \(\frac(2)(3) \) est la partie fractionnaire.

Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b)\) est divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut diviser son numérateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b)\) n'est pas divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut multiplier son dénominateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Notez que la deuxième règle est également vraie lorsque le numérateur est divisible par n. On peut donc l’utiliser lorsqu’il est difficile de déterminer au premier coup d’œil si le numérateur d’une fraction est divisible par n ou non.

Actions avec des fractions. Additionner des fractions.

Vous pouvez effectuer des opérations arithmétiques avec des nombres fractionnaires, tout comme avec des nombres naturels. Voyons d'abord ajouter des fractions. Ajoutez facilement des fractions avec mêmes dénominateurs. Trouvons, par exemple, la somme de \(\frac(2)(7)\) et \(\frac(3)(7)\). Il est facile de comprendre que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.

À l'aide de lettres, la règle d'addition de fractions ayant des dénominateurs similaires peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Si vous devez additionner des fractions avec des dénominateurs différents, elles doivent d'abord être réduites à un dénominateur commun. Par exemple:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et associatives de l'addition sont valables.

Ajouter des fractions mixtes

Les notations telles que \(2\frac(2)(3)\) sont appelées fractions mélangées. Dans ce cas, le chiffre 2 est appelé partie entière fraction mixte, et le nombre \(\frac(2)(3)\) est son partie fractionnaire. L’entrée \(2\frac(2)(3)\) se lit comme suit : « deux et deux tiers ».

En divisant le nombre 8 par le nombre 3, vous pouvez obtenir deux réponses : \(\frac(8)(3)\) et \(2\frac(2)(3)\). Ils expriment le même nombre fractionnaire, c'est-à-dire \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Ainsi, la fraction impropre \(\frac(8)(3)\) est représentée comme une fraction mixte \(2\frac(2)(3)\). Dans de tels cas, on dit qu'à partir d'une fraction impropre a mis en évidence toute la partie.

Soustraire des fractions (nombres fractionnaires)

Soustraction nombres fractionnaires, comme les nombres naturels, est déterminé sur la base de l'action d'addition : en soustraire un autre à un nombre signifie trouver un nombre qui, ajouté au second, donne le premier. Par exemple:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) puisque \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

La règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs similaires est similaire à la règle pour additionner de telles fractions :
Pour trouver la différence entre des fractions ayant les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur identique.

En utilisant des lettres, cette règle s'écrit ainsi :
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplier des fractions

Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs et écrire le premier produit comme numérateur et le second comme dénominateur.

À l'aide de lettres, la règle de multiplication des fractions peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

À l'aide de la règle formulée, vous pouvez multiplier une fraction par un nombre naturel, par une fraction mixte, ainsi que multiplier des fractions mixtes. Pour ce faire, vous devez écrire un nombre naturel sous forme de fraction avec un dénominateur 1, une fraction mixte - sous forme de fraction impropre.

Le résultat de la multiplication doit être simplifié (si possible) en réduisant la fraction et en isolant toute la partie de la fraction impropre.

Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et combinatoires de la multiplication, ainsi que la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, sont valables.

Division de fractions

Prenons la fraction \(\frac(2)(3)\) et « retournons-la », en échangeant le numérateur et le dénominateur. On obtient la fraction \(\frac(3)(2)\). Cette fraction est appelée inverse fractions \(\frac(2)(3)\).

Si nous « inversons » maintenant la fraction \(\frac(3)(2)\), nous obtiendrons la fraction originale \(\frac(2)(3)\). Par conséquent, des fractions telles que \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(3)(2)\) sont appelées mutuellement inverse.

Par exemple, les fractions \(\frac(6)(5) \) et \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) et \(\frac (18 )(7)\).

À l'aide de lettres, les fractions réciproques peuvent s'écrire comme suit : \(\frac(a)(b) \) et \(\frac(b)(a) \)

Il est clair que le produit des fractions réciproques est égal à 1. Par exemple : \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

En utilisant des fractions réciproques, vous pouvez réduire la division de fractions à la multiplication.

La règle pour diviser une fraction par une fraction est :
Pour diviser une fraction par une autre, vous devez multiplier le dividende par l’inverse du diviseur.

Considérons la fraction $\frac63$. Sa valeur est 2, puisque $\frac63 =6:3 = 2$. Que se passe-t-il si le numérateur et le dénominateur sont multipliés par 2 ? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Évidemment, la valeur de la fraction n'a pas changé, donc $\frac(12)(6)$ comme y est également égal à 2. Vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur par 3 et obtenez $\frac(18)(9)$, ou par 27 et obtenez $\frac(162)(81)$, ou par 101 et obtenez $\frac(606)(303)$. Dans chacun de ces cas, la valeur de la fraction que l'on obtient en divisant le numérateur par le dénominateur est 2. Cela signifie qu'elle n'a pas changé.

Le même schéma s’observe dans le cas d’autres fractions. Si le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(120)(60)$ (égal à 2) sont divisés par 2 (le résultat est $\frac(60)(30)$), ou par 3 (le résultat est $\frac(40)(20) $), ou par 4 (résultat $\frac(30)(15)$) et ainsi de suite, alors dans chaque cas la valeur de la fraction reste inchangée et égale à 2.

Cette règle s'applique également aux fractions qui ne sont pas égales nombre entier.

Si le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(1)(3)$ sont multipliés par 2, nous obtenons $\frac(2)(6)$, c'est-à-dire que la valeur de la fraction n'a pas changé. Et en effet, si vous divisez la tarte en 3 parts et en prenez une, ou si vous la divisez en 6 parts et prenez 2 parts, vous obtiendrez la même quantité de tarte dans les deux cas. Par conséquent, les nombres $\frac(1)(3)$ et $\frac(2)(6)$ sont identiques. Formulons une règle générale.

Le numérateur et le dénominateur de n'importe quelle fraction peuvent être multipliés ou divisés par le même nombre sans changer la valeur de la fraction.

Cette règle s'avère très utile. Par exemple, cela permet dans certains cas, mais pas toujours, d'éviter les opérations avec de grands nombres.

Par exemple, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(126)(189)$ par 63 et obtenir la fraction $\frac(2)(3)$, avec laquelle il est beaucoup plus facile de calculer. Encore un exemple. On peut diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(155)(31)$ par 31 et obtenir la fraction $\frac(5)(1)$ ou 5, puisque 5:1=5.

Dans cet exemple, nous avons rencontré pour la première fois une fraction dont le dénominateur est 1. Ces fractions jouent un rôle important dans les calculs. Il ne faut pas oublier que n'importe quel nombre peut être divisé par 1 et que sa valeur ne changera pas. Autrement dit, $\frac(273)(1)$ est égal à 273 ; $\frac(509993)(1)$ est égal à 509993 et ​​ainsi de suite. Par conséquent, nous n’avons pas besoin de diviser les nombres par , puisque chaque entier peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur de 1.

Avec de telles fractions dont le dénominateur est 1, vous pouvez effectuer les mêmes opérations arithmétiques qu'avec toutes les autres fractions : $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1) ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Vous vous demandez peut-être à quoi cela sert-il de représenter un entier sous la forme d’une fraction avec une unité sous la ligne, car il est plus pratique de travailler avec un entier. Mais le fait est que représenter un entier sous forme de fraction nous donne la possibilité d’effectuer diverses opérations plus efficacement lorsque nous traitons à la fois d’entiers et de fractions. Par exemple, pour apprendre additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Supposons que nous devions ajouter $\frac(1)(3)$ et $\frac(1)(5)$.

On sait qu’on ne peut additionner que des fractions dont les dénominateurs sont égaux. Cela signifie que nous devons apprendre à réduire les fractions à une forme où leurs dénominateurs sont égaux. Dans ce cas, nous aurons à nouveau besoin du fait que nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre sans changer sa valeur.

Tout d'abord, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(1)(3)$ par 5. On obtient $\frac(5)(15)$, la valeur de la fraction n'a pas changé. Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(1)(5)$ par 3. Nous obtenons $\frac(3)(15)$, encore une fois la valeur de la fraction n'a pas changé. Par conséquent, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Essayons maintenant d'appliquer ce système à l'addition de nombres contenant à la fois des parties entières et fractionnaires.

Nous devons ajouter $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Tout d'abord, convertissons tous les termes en fractions et obtenons : $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Maintenant, nous devons ramener toutes les fractions à un dénominateur commun, pour cela nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 12, la deuxième par 4 et la troisième par 3. En conséquence, nous obtenons $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, qui est égal à $\frac(55)(12)$. Si tu veux te débarrasser fraction impropre, il peut être transformé en un nombre composé d'un entier et d'une fraction : $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ou $4\frac(7 )( 12)$.

Toutes les règles qui permettent opérations avec des fractions, que nous venons d’étudier, sont également valables dans le cas de nombres négatifs. Ainsi, -1 : 3 peut s'écrire sous la forme $\frac(-1)(3)$ et 1 : (-3) sous la forme $\frac(1)(-3)$.

Puisque diviser un nombre négatif par un nombre positif et diviser un nombre positif par un nombre négatif donne des nombres négatifs, dans les deux cas, la réponse sera un nombre négatif. C'est

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ou $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Le signe moins, lorsqu'il est écrit de cette façon, fait référence à la fraction entière, et non séparément au numérateur ou au dénominateur.

D'un autre côté, (-1) : (-3) peut s'écrire $\frac(-1)(-3)$, et puisque diviser un nombre négatif par un nombre négatif donne un nombre positif, alors $\frac (-1 )(-3)$ peut s'écrire sous la forme $+\frac(1)(3)$.

Addition et soustraction fractions négatives s'effectue de la même manière que l'addition et la soustraction de fractions positives. Par exemple, qu'est-ce que $1- 1\frac13$ ? Représentons les deux nombres sous forme de fractions et obtenons $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Ramenons les fractions à un dénominateur commun et obtenons $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, c'est-à-dire $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, ou $-\frac(1)(3)$.

Les règles pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents sont très simples.

Examinons étape par étape les règles d'addition de fractions avec différents dénominateurs :

1. Trouvez le LCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. Le LCM résultant sera le dénominateur commun des fractions ;

2. Réduire les fractions à un dénominateur commun ;

3. Additionnez les fractions réduites à un dénominateur commun.

Sur exemple simple Apprenons à appliquer les règles d'addition de fractions avec des dénominateurs différents.

Exemple

Un exemple d'addition de fractions avec différents dénominateurs.

Additionnez des fractions avec différents dénominateurs :

1	+	5
6		12

Nous déciderons étape par étape.

1. Trouvez le LCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs.

Le nombre 12 est divisible par 6.

Nous en concluons que 12 est le plus petit commun multiple des nombres 6 et 12.

Réponse : le nombre des nombres 6 et 12 est 12 :

LCM(6, 12) = 12

Le LCM résultant sera le dénominateur commun de deux fractions 1/6 et 5/12.

2. Réduisez les fractions à un dénominateur commun.

Dans notre exemple, seule la première fraction doit être réduite à un dénominateur commun de 12, car la deuxième fraction a déjà un dénominateur de 12.

Divisez le dénominateur commun de 12 par le dénominateur de la première fraction :

2 a un multiplicateur supplémentaire.

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la première fraction (1/6) par un facteur supplémentaire de 2.

§ 87. Addition de fractions.

L’addition de fractions présente de nombreuses similitudes avec l’addition de nombres entiers. L'addition de fractions est une action consistant dans le fait que plusieurs nombres (termes) donnés sont combinés en un seul nombre (somme), contenant toutes les unités et fractions des unités des termes.

Nous considérerons successivement trois cas :

1. Addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs.
2. Addition de fractions avec des dénominateurs différents.
3. Ajout de nombres mixtes.

1. Addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Prenons un exemple : 1/5 + 2/5.

Prenons le segment AB (Fig. 17), prenons-le comme un seul et divisons-le en 5 parties égales, alors la partie AC de ce segment sera égale à 1/5 du segment AB, et une partie du même segment CD sera égale à 2/5 AB.

D'après le dessin, il ressort clairement que si l'on prend le segment AD, il sera égal à 3/5 AB ; mais le segment AD est précisément la somme des segments AC et CD. On peut donc écrire :

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

En considérant ces termes et la somme résultante, on voit que le numérateur de la somme a été obtenu en additionnant les numérateurs des termes, et le dénominateur est resté inchangé.

De là, nous obtenons règle suivante: Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le même dénominateur.

Regardons un exemple :

2. Addition de fractions avec des dénominateurs différents.

Additionnons les fractions : 3 / 4 + 3 / 8 Il faut d'abord les réduire au plus petit dénominateur commun :

Le lien intermédiaire 6/8 + 3/8 n'a pas pu être écrit ; nous l'avons écrit ici pour plus de clarté.

Ainsi, pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, il faut d'abord les réduire au plus petit dénominateur commun, additionner leurs numérateurs et étiqueter le dénominateur commun.

Prenons un exemple (nous écrirons des facteurs supplémentaires au-dessus des fractions correspondantes) :

3. Ajout de nombres mixtes.

Additionnons les nombres : 2 3/8 + 3 5/6.

Rassemblons d’abord les parties fractionnaires de nos nombres à un dénominateur commun et réécrivons-les à nouveau :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières et fractionnaires séquentiellement :

§ 88. Soustraction de fractions.

La soustraction de fractions se définit de la même manière que la soustraction de nombres entiers. Il s'agit d'une action à l'aide de laquelle, étant donné la somme de deux termes et de l'un d'eux, un autre terme est trouvé. Considérons successivement trois cas :

1. Soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs.
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.
3. Soustraction de nombres fractionnaires.

1. Soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Regardons un exemple :

13 / 15 - 4 / 15

Prenons le segment AB (Fig. 18), prenons-le comme une unité et divisons-le en 15 parties égales ; alors la partie AC de ce segment représentera 1/15 de AB, et la partie AD de ce même segment correspondra à 13/15 AB. Mettons de côté un autre segment ED égal à 4/15 AB.

Nous devons soustraire la fraction 4/15 de 13/15. Sur le dessin, cela signifie que le segment ED doit être soustrait du segment AD. En conséquence, le segment AE restera, soit 9/15 du segment AB. On peut donc écrire :

L'exemple que nous avons fait montre que le numérateur de la différence a été obtenu en soustrayant les numérateurs, mais le dénominateur est resté le même.

Par conséquent, pour soustraire des fractions ayant des dénominateurs similaires, vous devez soustraire le numérateur de la soustraction du numérateur de la fin inférieure et laisser le même dénominateur.

2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.

Exemple. 3/4 - 5/8

Tout d’abord, réduisons ces fractions au plus petit dénominateur commun :

L'intermédiaire 6/8 - 5/8 est écrit ici pour plus de clarté, mais peut être ignoré plus tard.

Ainsi, pour soustraire une fraction d'une fraction, il faut d'abord les réduire au plus petit dénominateur commun, puis soustraire le numérateur du petit bout du numérateur du petit bout et signer le dénominateur commun sous leur différence.

Regardons un exemple :

3. Soustraction de nombres fractionnaires.

Exemple. 10 3/4 - 7 2/3.

Réduisons les parties fractionnaires du menuend et du sous-trahend au plus petit dénominateur commun :

Nous avons soustrait un tout à un tout et une fraction à une fraction. Mais il y a des cas où la partie fractionnaire du sous-trahend est supérieure à la partie fractionnaire du minuend. Dans de tels cas, vous devez prendre une unité de la partie entière du menu, la diviser en parties dans lesquelles la partie fractionnaire est exprimée et l'ajouter à la partie fractionnaire du menu. Et puis la soustraction s'effectuera de la même manière que dans l'exemple précédent :

§ 89. Multiplication des fractions.

Lors de l'étude de la multiplication de fractions, nous considérerons les questions suivantes :

1. Multiplier une fraction par un nombre entier.
2. Trouver la fraction d'un nombre donné.
3. Multiplier un nombre entier par une fraction.
4. Multiplier une fraction par une fraction.
5. Multiplication de nombres fractionnaires.
6. La notion d'intérêt.
7. Trouver le pourcentage d'un nombre donné. Considérons-les séquentiellement.

1. Multiplier une fraction par un nombre entier.

Multiplier une fraction par un nombre entier a la même signification que multiplier un nombre entier par un nombre entier. Multiplier une fraction (multiplicande) par un entier (facteur) signifie créer une somme de termes identiques, dans laquelle chaque terme est égal au multiplicande et le nombre de termes est égal au multiplicateur.

Cela signifie que si vous devez multiplier 1/9 par 7, cela peut être fait comme ceci :

Nous avons facilement obtenu le résultat, puisque l'action se réduisait à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Ainsi,

La considération de cette action montre que multiplier une fraction par un nombre entier équivaut à augmenter cette fraction autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre entier. Et comme augmenter une fraction s'obtient soit en augmentant son numérateur

ou en réduisant son dénominateur , alors nous pouvons soit multiplier le numérateur par un nombre entier, soit diviser le dénominateur par celui-ci, si une telle division est possible.

De là, nous obtenons la règle :

Pour multiplier une fraction par un nombre entier, vous multipliez le numérateur par ce nombre entier et laissez le dénominateur identique ou, si possible, divisez le dénominateur par ce nombre, en laissant le numérateur inchangé.

Lors de la multiplication, des abréviations sont possibles, par exemple :

2. Trouver la fraction d'un nombre donné. Il existe de nombreux problèmes dans lesquels vous devez trouver ou calculer une partie d’un nombre donné. La différence entre ces problèmes et d'autres est qu'ils donnent le nombre de certains objets ou unités de mesure et vous devez trouver une partie de ce nombre, qui est également indiquée ici par une certaine fraction. Pour faciliter la compréhension, nous donnerons d’abord des exemples de tels problèmes, puis présenterons une méthode pour les résoudre.

Tache 1. J'avais 60 roubles ; J'ai dépensé 1/3 de cet argent pour acheter des livres. Combien ont coûté les livres ?

Tâche 2. Le train doit parcourir une distance entre les villes A et B égale à 300 km. Il a déjà parcouru les 2/3 de cette distance. Cela fait combien de kilomètres ?

Tâche 3. Il y a 400 maisons dans le village, dont les 3/4 sont en brique, le reste est en bois. Combien y a-t-il de maisons en briques au total ?

Ce sont là quelques-uns des nombreux problèmes que nous rencontrons pour trouver une partie d’un nombre donné. On les appelle généralement des problèmes pour trouver la fraction d’un nombre donné.

Solution au problème 1.À partir de 60 roubles. J'ai dépensé 1/3 en livres ; Cela signifie que pour connaître le coût des livres, il faut diviser le nombre 60 par 3 :

Résoudre le problème 2. Le problème c'est qu'il faut trouver les 2/3 des 300 km. Calculons d'abord 1/3 de 300 ; ceci s'obtient en divisant 300 km par 3 :

300 : 3 = 100 (soit 1/3 de 300).

Pour trouver les deux tiers de 300, vous devez doubler le quotient obtenu, c'est-à-dire multiplier par 2 :

100 x 2 = 200 (soit 2/3 de 300).

Résoudre le problème 3. Ici, vous devez déterminer le nombre de maisons en briques qui représentent 3/4 de 400. Trouvons d'abord 1/4 de 400,

400 : 4 = 100 (soit 1/4 de 400).

Pour calculer les trois quarts de 400, il faut tripler le quotient résultant, c'est-à-dire multiplier par 3 :

100 x 3 = 300 (soit 3/4 de 400).

Sur la base de la solution à ces problèmes, nous pouvons déduire la règle suivante :

Pour trouver la valeur d'une fraction à partir d'un nombre donné, vous devez diviser ce nombre par le dénominateur de la fraction et multiplier le quotient obtenu par son numérateur.

3. Multiplier un nombre entier par une fraction.

Auparavant (§ 26), il a été établi que la multiplication d'entiers doit être comprise comme l'addition de termes identiques (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Dans ce paragraphe (point 1), il a été établi que multiplier une fraction par un nombre entier signifie trouver la somme des termes identiques égale à cette fraction.

Dans les deux cas, la multiplication consistait à trouver la somme de termes identiques.

Passons maintenant à la multiplication d'un nombre entier par une fraction. Ici nous rencontrerons par exemple la multiplication : 9 2 / 3. Il est clair que la définition précédente de la multiplication ne s’applique pas à ce cas. Cela ressort clairement du fait que nous ne pouvons pas remplacer une telle multiplication par l’addition de nombres égaux.

De ce fait, il va falloir donner une nouvelle définition de la multiplication, c'est-à-dire, en d'autres termes, répondre à la question de savoir ce qu'il faut entendre par multiplication par une fraction, comment il faut comprendre cette action.

La signification de multiplier un nombre entier par une fraction ressort clairement de la définition suivante : multiplier un entier (multiplicande) par une fraction (multiplicande) revient à trouver cette fraction du multiplicande.

À savoir, multiplier 9 par 2/3 signifie trouver 2/3 de neuf unités. Dans le paragraphe précédent, ces problèmes ont été résolus ; il est donc facile de comprendre que nous nous retrouverons avec 6.

Mais maintenant il y a une chose intéressante et question importante: pourquoi des actions apparemment différentes comme trouver une somme nombres égaux et trouver des fractions de nombres, en arithmétique, s'appelle le même mot « multiplication » ?

Cela se produit parce que l'action précédente (répéter plusieurs fois un nombre avec des termes) et la nouvelle action (trouver la fraction d'un nombre) donnent des réponses à des questions homogènes. Cela signifie que nous partons ici de la considération selon laquelle des questions ou des tâches homogènes sont résolues par la même action.

Pour comprendre cela, considérons le problème suivant : « 1 m de tissu coûte 50 roubles. Combien coûteront 4 m d’un tel tissu ?

Ce problème est résolu en multipliant le nombre de roubles (50) par le nombre de mètres (4), soit 50 x 4 = 200 (roubles).

Prenons le même problème, mais la quantité de tissu y sera exprimée sous forme de fraction : « 1 m de tissu coûte 50 roubles. Combien coûteront 3/4 m d’un tel tissu ?

Ce problème doit également être résolu en multipliant le nombre de roubles (50) par le nombre de mètres (3/4).

Vous pouvez modifier les chiffres plusieurs fois, sans changer le sens du problème, par exemple prendre 9/10 m ou 2 3/10 m, etc.

Étant donné que ces problèmes ont le même contenu et ne diffèrent que par les nombres, nous appelons les actions utilisées pour les résoudre par le même mot : multiplication.

Comment multiplier un nombre entier par une fraction ?

Reprenons les nombres rencontrés dans le dernier problème :

D'après la définition, il faut trouver 3/4 de 50. Trouvons d'abord 1/4 de 50, puis 3/4.

1/4 de 50 est 50/4 ;

Les 3/4 du nombre 50 sont .

Ainsi.

Considérons un autre exemple : 12 5 / 8 = ?

1/8 du nombre 12 est 12/8,

5/8 du nombre 12 est .

Ainsi,

De là, nous obtenons la règle :

Pour multiplier un nombre entier par une fraction, vous devez multiplier le nombre entier par le numérateur de la fraction et faire de ce produit le numérateur, et signer le dénominateur de cette fraction comme dénominateur.

Écrivons cette règle en utilisant des lettres :

Pour que cette règle soit bien claire, il faut rappeler qu’une fraction peut être considérée comme un quotient. Par conséquent, il est utile de comparer la règle trouvée avec la règle de multiplication d'un nombre par un quotient, qui a été énoncée au § 38.

Il est important de rappeler qu'avant d'effectuer une multiplication, vous devez faire (si possible) réductions, Par exemple:

4. Multiplier une fraction par une fraction. Multiplier une fraction par une fraction a la même signification que multiplier un nombre entier par une fraction, c'est-à-dire que lorsque vous multipliez une fraction par une fraction, vous devez trouver la fraction qui est dans le facteur à partir de la première fraction (le multiplicande).

À savoir, multiplier 3/4 par 1/2 (la moitié) signifie trouver la moitié de 3/4.

Comment multiplier une fraction par une fraction ?

Prenons un exemple : 3/4 multiplié par 5/7. Cela signifie que vous devez trouver 5/7 sur 3/4. Trouvons d'abord 1/7 de 3/4, puis 5/7

1/7 du nombre 3/4 s'exprimera ainsi :

5/7 les nombres 3/4 seront exprimés comme suit :

Ainsi,

Autre exemple : 5/8 multiplié par 4/9.

1/9 de 5/8 est ,

4/9 du nombre 5/8 est .

Ainsi,

De ces exemples, on peut déduire la règle suivante :

Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur, et faire du premier produit le numérateur et du deuxième produit le dénominateur du produit.

C'est la règle dans vue générale peut s'écrire ainsi :

Lors de la multiplication, il est nécessaire de faire (si possible) des réductions. Regardons des exemples :

5. Multiplication de nombres fractionnaires.Étant donné que les nombres fractionnaires peuvent facilement être remplacés par des fractions impropres, cette circonstance est généralement utilisée lors de la multiplication de nombres fractionnaires. Cela signifie que dans les cas où le multiplicande, ou le multiplicateur, ou les deux facteurs sont exprimés sous forme de nombres fractionnaires, ils sont remplacés par des fractions impropres. Multiplions, par exemple, les nombres fractionnaires : 2 1/2 et 3 1/5. Transformons chacune d'elles en une fraction impropre puis multiplions les fractions résultantes selon la règle de multiplication d'une fraction par une fraction :

Règle. Pour multiplier des nombres fractionnaires, vous devez d'abord les convertir en fractions impropres puis les multiplier selon la règle de multiplication de fractions par fractions.

Note. Si l'un des facteurs est un nombre entier, alors la multiplication peut être effectuée sur la base de la loi de distribution comme suit :

6. La notion d'intérêt. Lorsque nous résolvons des problèmes et effectuons divers calculs pratiques, nous utilisons toutes sortes de fractions. Mais il faut garder à l’esprit que de nombreuses quantités permettent non pas n’importe lesquelles, mais des divisions naturelles. Par exemple, vous pouvez prendre un centième (1/100) de rouble, ce sera un kopeck, deux centièmes font 2 kopecks, trois centièmes font 3 kopecks. Vous pouvez prendre 1/10 de rouble, ce sera "10 kopecks, ou une pièce de dix kopecks. Vous pouvez prendre un quart de rouble, c'est-à-dire 25 kopecks, un demi-rouble, c'est-à-dire 50 kopecks (cinquante kopecks). Mais ils ne prennent pratiquement pas, par exemple, 2/7 de rouble car le rouble n'est pas divisé en septièmes.

L'unité de poids, c'est-à-dire le kilogramme, permet principalement des divisions décimales, par exemple 1/10 kg ou 100 g. Et des fractions de kilogramme telles que 1/6, 1/11, 1/13 ne sont pas courantes.

En général, nos mesures (métriques) sont décimales et permettent des divisions décimales.

Cependant, il convient de noter qu'il est extrêmement utile et pratique dans une grande variété de cas d'utiliser la même méthode (uniforme) de subdivision des quantités. De nombreuses années d'expérience ont montré qu'une division aussi bien justifiée est la « centième » division. Considérons quelques exemples relatifs aux domaines les plus divers de la pratique humaine.

1. Le prix des livres a diminué de 12/100 par rapport au prix précédent.

Exemple. Le prix précédent du livre était de 10 roubles. Il a diminué de 1 rouble. 20 kopecks

2. Les caisses d'épargne versent aux déposants 2/100 du montant déposé pour l'épargne au cours de l'année.

Exemple. 500 roubles sont déposés à la caisse enregistreuse, le revenu de ce montant pour l'année est de 10 roubles.

3. Le nombre de diplômés d'une école était de 5/100 du nombre total d'étudiants.

EXEMPLE Il n'y avait que 1 200 élèves à l'école, dont 60 ont obtenu leur diplôme.

La centième partie d'un nombre s'appelle un pourcentage.

Le mot « pourcentage » est emprunté à langue latine et sa racine « cent » signifie cent. Avec la préposition (pro centum), ce mot signifie « pour cent ». Le sens d'une telle expression découle du fait qu'initialement dans Rome antique les intérêts étaient l’argent que le débiteur payait au prêteur « pour chaque cent ». Le mot « cent » est entendu dans des mots si familiers : centner (cent kilogrammes), centimètre (disons centimètre).

Par exemple, au lieu de dire qu'au cours du mois dernier, l'usine a produit 1/100 de tous les produits qu'elle fabriquait était défectueux, nous dirons ceci : au cours du mois dernier, l'usine a produit 1 pour cent de défauts. Au lieu de dire : l'usine a produit 4/100 produits de plus que le plan établi, nous dirons : l'usine a dépassé le plan de 4 pour cent.

Les exemples ci-dessus peuvent être exprimés différemment :

1. Le prix des livres a diminué de 12 pour cent par rapport au prix précédent.

2. Les caisses d'épargne versent aux déposants 2 pour cent par an sur le montant déposé en épargne.

3. Le nombre de diplômés d'une école représentait 5 pour cent de tous les élèves.

Pour raccourcir la lettre, il est d'usage d'écrire le symbole % à la place du mot « pourcentage ».

Cependant, vous devez vous rappeler que dans les calculs, le signe % n'est généralement pas écrit ; il peut être écrit dans l'énoncé du problème et dans le résultat final. Lorsque vous effectuez des calculs, vous devez écrire une fraction avec un dénominateur de 100 au lieu d'un nombre entier avec ce symbole.

Vous devez pouvoir remplacer un entier avec l'icône indiquée par une fraction avec un dénominateur de 100 :

A l'inverse, il faut s'habituer à écrire un entier avec le symbole indiqué au lieu d'une fraction avec un dénominateur de 100 :

7. Trouver le pourcentage d'un nombre donné.

Tache 1. L'école a reçu 200 mètres cubes. m de bois de chauffage, dont 30 % de bois de bouleau. Quelle quantité de bois de bouleau y avait-il ?

La signification de ce problème est que le bois de chauffage de bouleau ne représentait qu'une partie du bois de chauffage livré à l'école, et cette partie est exprimée dans la fraction 30/100. Cela signifie que nous avons pour tâche de trouver une fraction d'un nombre. Pour le résoudre, il faut multiplier 200 par 30/100 (les problèmes pour trouver la fraction d'un nombre se résolvent en multipliant le nombre par la fraction.).

Cela signifie que 30 % de 200 équivaut à 60.

La fraction 30/100 rencontrée dans ce problème peut être réduite de 10. Il serait possible de faire cette réduction dès le début ; la solution au problème n’aurait pas changé.

Tâche 2. Il y avait 300 enfants d'âges différents dans le camp. Les enfants de 11 ans représentaient 21 %, les enfants de 12 ans représentaient 61 % et enfin les enfants de 13 ans représentaient 18 %. Combien d’enfants de chaque âge y avait-il dans le camp ?

Dans ce problème, vous devez effectuer trois calculs, c'est-à-dire trouver séquentiellement le nombre d'enfants de 11 ans, puis de 12 ans et enfin de 13 ans.

Cela signifie qu'ici, vous devrez trouver la fraction du nombre trois fois. Faisons-le:

1) Combien y avait-il d’enfants de 11 ans ?

2) Combien y avait-il d’enfants de 12 ans ?

3) Combien y avait-il d’enfants de 13 ans ?

Après avoir résolu le problème, il est utile d'additionner les nombres trouvés ; leur somme devrait être de 300 :

63 + 183 + 54 = 300

Il convient également de noter que la somme des pourcentages indiqués dans l'énoncé du problème est de 100 :

21% + 61% + 18% = 100%

Ceci suggère que nombre total les enfants du camp ont été pris en compte à 100%.

3 une d une h une 3. L'ouvrier recevait 1 200 roubles par mois. Sur ce montant, il a dépensé 65 % en nourriture, 6 % en appartements et en chauffage, 4 % en gaz, électricité et radio, 10 % en besoins culturels et 15 % en économies. Combien d’argent a été dépensé pour les besoins indiqués dans le problème ?

Pour résoudre ce problème, vous devez trouver 5 fois la fraction de 1 200. Faisons-le.

1) Combien d’argent a été dépensé en nourriture ? Le problème dit que cette dépense représente 65% des gains totaux, soit 65/100 du nombre 1 200. Faisons le calcul :

2) Combien avez-vous payé pour un appartement avec chauffage ? En raisonnant de manière similaire au précédent, on arrive au calcul suivant :

3) Combien d’argent avez-vous payé pour le gaz, l’électricité et la radio ?

4) Combien d’argent a été dépensé pour les besoins culturels ?

5) Combien d’argent le travailleur a-t-il économisé ?

Pour vérifier, il est utile d’additionner les nombres trouvés dans ces 5 questions. Le montant devrait être de 1 200 roubles. Tous les revenus sont considérés comme 100 %, ce qui est facile à vérifier en additionnant les pourcentages indiqués dans l'énoncé du problème.

Nous avons résolu trois problèmes. Bien que ces problèmes concernaient des choses différentes (livraison du bois de chauffage pour l'école, nombre d'enfants d'âges différents, dépenses du travailleur), ils ont été résolus de la même manière. Cela s'est produit parce que dans tous les problèmes, il était nécessaire de trouver plusieurs pour cent des nombres donnés.

§ 90. Division des fractions.

En étudiant la division des fractions, nous considérerons les questions suivantes :

1. Divisez un entier par un entier.
2. Diviser une fraction par un nombre entier
3. Diviser un nombre entier par une fraction.
4. Diviser une fraction par une fraction.
5. Division de nombres fractionnaires.
6. Trouver un nombre à partir de sa fraction donnée.
7. Trouver un nombre par son pourcentage.

Considérons-les séquentiellement.

1. Divisez un entier par un entier.

Comme cela a été indiqué dans le département des nombres entiers, la division est l'action qui consiste dans le fait que, étant donné le produit de deux facteurs (dividende) et de l'un de ces facteurs (diviseur), un autre facteur est trouvé.

Nous avons examiné la division d'un nombre entier par un nombre entier dans la section sur les nombres entiers. Nous y avons rencontré deux cas de division : division sans reste, ou « entièrement » (150 : 10 = 15), et division avec reste (100 : 9 = 11 et 1 reste). On peut donc dire que dans le domaine des entiers, la division exacte n'est pas toujours possible, car le dividende n'est pas toujours le produit du diviseur par l'entier. Après avoir introduit la multiplication par une fraction, on peut considérer tous les cas de division d'entiers possibles (seule la division par zéro est exclue).

Par exemple, diviser 7 par 12 signifie trouver un nombre dont le produit par 12 serait égal à 7. Un tel nombre est la fraction 7/12 car 7/12 12 = 7. Autre exemple : 14 : 25 = 14 / 25, car 14 / 25 25 = 14.

Ainsi, pour diviser un nombre entier par un nombre entier, il faut créer une fraction dont le numérateur est égal au dividende et le dénominateur est égal au diviseur.

2. Diviser une fraction par un nombre entier.

Divisez la fraction 6 / 7 par 3. D'après la définition de division donnée ci-dessus, nous avons ici le produit (6 / 7) et l'un des facteurs (3) ; il faut trouver un deuxième facteur qui, multiplié par 3, donnerait le produit donné 6/7. Évidemment, il devrait être trois fois plus petit que ce produit. Cela signifie que la tâche qui nous était assignée était de réduire la fraction 6/7 de 3 fois.

On sait déjà que la réduction d'une fraction peut se faire soit en diminuant son numérateur, soit en augmentant son dénominateur. On peut donc écrire :

Dans ce cas, le numérateur 6 est divisible par 3, il doit donc être réduit de 3 fois.

Prenons un autre exemple : 5 / 8 divisé par 2. Ici le numérateur 5 n'est pas divisible par 2, ce qui signifie qu'il faudra multiplier le dénominateur par ce nombre :

Sur cette base, une règle peut être établie : Pour diviser une fraction par un nombre entier, vous devez diviser le numérateur de la fraction par ce nombre entier.(si possible), en laissant le même dénominateur, ou multiplier le dénominateur de la fraction par ce nombre en laissant le même numérateur.

3. Diviser un nombre entier par une fraction.

Supposons qu'il soit nécessaire de diviser 5 par 1/2, c'est-à-dire de trouver un nombre qui, après multiplication par 1/2, donnera le produit 5. Évidemment, ce nombre doit être supérieur à 5, puisque 1/2 est une fraction propre. , et lors de la multiplication d'un nombre, le produit d'une fraction appropriée doit être inférieur au produit multiplié. Pour que cela soit plus clair, écrivons nos actions comme suit : 5 : 1 / 2 = X , ce qui signifie x 1 / 2 = 5.

Nous devons trouver un tel numéro X , qui, multiplié par 1/2, donnerait 5. Puisque multiplier un certain nombre par 1/2 signifie trouver la moitié de ce nombre, alors donc 1/2 du nombre inconnu X est égal à 5, et le nombre entier X deux fois plus, soit 5 2 = 10.

Donc 5 : 1 / 2 = 5 2 = 10

Allons vérifier:

Regardons un autre exemple. Disons que vous voulez diviser 6 par 2/3. Essayons d'abord de trouver le résultat souhaité à l'aide du dessin (Fig. 19).

Figure 19

Traçons un segment AB égal à 6 unités, et divisons chaque unité en 3 parties égales. Dans chaque unité, les trois tiers (3/3) de l'ensemble du segment AB sont 6 fois plus grands, soit par exemple 18/3. À l'aide de petites parenthèses, nous connectons les 18 segments résultants de 2 ; Il n'y aura que 9 segments. Cela signifie que la fraction 2/3 est contenue dans 6 unités 9 fois, ou, en d'autres termes, la fraction 2/3 est 9 fois inférieure à 6 unités entières. Ainsi,

Comment obtenir ce résultat sans dessin en utilisant uniquement des calculs ? Raisons ainsi : il faut diviser 6 par 2/3, c'est-à-dire qu'il faut répondre à la question combien de fois 2/3 est contenu dans 6. Voyons d'abord : combien de fois 1/3 est contenu dans 6 ? Dans une unité entière il y en a 3 tiers, et dans 6 unités il y en a 6 fois plus, soit 18 tiers ; pour trouver ce nombre, nous devons multiplier 6 par 3. Cela signifie que 1/3 est contenu dans les unités b 18 fois, et 2/3 est contenu dans les unités b non pas 18 fois, mais deux fois moins, c'est-à-dire 18 : 2 = 9 . Par conséquent, en divisant 6 par 2/3, nous avons fait ce qui suit :

De là, nous obtenons la règle pour diviser un nombre entier par une fraction. Pour diviser un nombre entier par une fraction, vous devez multiplier ce nombre entier par le dénominateur de la fraction donnée et, en faisant de ce produit le numérateur, le diviser par le numérateur de la fraction donnée.

Écrivons la règle en utilisant des lettres :

Pour que cette règle soit bien claire, il faut rappeler qu’une fraction peut être considérée comme un quotient. Par conséquent, il est utile de comparer la règle trouvée avec la règle de division d'un nombre par un quotient, qui a été énoncée au § 38. A noter que la même formule y a été obtenue.

Lors de la division, des abréviations sont possibles, par exemple :

4. Diviser une fraction par une fraction.

Disons que nous devons diviser 3/4 par 3/8. Que signifiera le nombre résultant de la division ? Il répondra à la question combien de fois la fraction 3/8 est contenue dans la fraction 3/4. Pour comprendre ce problème, faisons un dessin (Fig. 20).

Prenons un segment AB, prenons-le comme un seul, divisons-le en 4 parties égales et marquons 3 de ces parties. Le segment AC sera égal aux 3/4 du segment AB. Divisons maintenant chacun des quatre segments originaux en deux, puis le segment AB sera divisé en 8 parties égales et chacune de ces parties sera égale à 1/8 du segment AB. Relions 3 de ces segments avec des arcs, alors chacun des segments AD et DC sera égal à 3/8 du segment AB. Le dessin montre qu'un segment égal à 3/8 est contenu dans un segment égal à 3/4 exactement 2 fois ; Cela signifie que le résultat de la division peut s’écrire comme suit :

3 / 4: 3 / 8 = 2

Regardons un autre exemple. Disons que nous devons diviser 15/16 par 3/32 :

On peut raisonner ainsi : il faut trouver un nombre qui, après multiplication par 3/32, donnera un produit égal à 15/16. Écrivons les calculs comme ceci :

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 numéro inconnu X sont 15/16

1/32 d'un nombre inconnu X est ,

32/32 numéros X se maquiller .

Ainsi,

Ainsi, pour diviser une fraction par une fraction, il faut multiplier le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, multiplier le dénominateur de la première fraction par le numérateur de la seconde, et faire du premier produit le numérateur, et le second le dénominateur.

Écrivons la règle en utilisant des lettres :

Lors de la division, des abréviations sont possibles, par exemple :

5. Division de nombres fractionnaires.

Lors de la division de nombres fractionnaires, ils doivent d'abord être convertis en fractions impropres et divisez ensuite les fractions résultantes selon les règles de division des nombres fractionnaires. Regardons un exemple :

Convertissons les nombres fractionnaires en fractions impropres :

Maintenant divisons :

Ainsi, pour diviser des nombres fractionnaires, il faut les convertir en fractions impropres puis diviser en utilisant la règle de division des fractions.

6. Trouver un nombre à partir de sa fraction donnée.

Parmi les différents problèmes de fractions, il y a parfois ceux dans lesquels la valeur d'une fraction d'un nombre inconnu est donnée et vous devez trouver ce nombre. Ce type de problème sera l'inverse du problème de trouver la fraction d'un nombre donné ; là, un nombre était donné et il fallait trouver une fraction de ce nombre, ici une fraction d'un nombre était donnée et il fallait trouver ce nombre lui-même. Cette idée deviendra encore plus claire si l’on se tourne vers la résolution de ce type de problème.

Tache 1. Le premier jour, les vitriers ont vitré 50 fenêtres, soit 1/3 de toutes les fenêtres de la maison construite. Combien de fenêtres y a-t-il dans cette maison ?

Solution. Le problème dit que 50 fenêtres vitrées représentent 1/3 de toutes les fenêtres de la maison, ce qui signifie qu'il y a 3 fois plus de fenêtres au total, soit

La maison avait 150 fenêtres.

Tâche 2. Le magasin a vendu 1 500 kg de farine, soit 3/8 du stock total de farine dont disposait le magasin. Quel était l'approvisionnement initial en farine du magasin ?

Solution. D'après les conditions du problème, il ressort clairement que 1.500 kg de farine vendus constituent les 3/8 du stock total ; Cela signifie que 1/8 de cette réserve sera 3 fois inférieure, c'est-à-dire pour la calculer il faut réduire 1500 de 3 fois :

1 500 : 3 = 500 (soit 1/8 de la réserve).

Évidemment, l’offre totale sera 8 fois plus importante. Ainsi,

500 8 = 4 000 (kg).

Le stock initial de farine du magasin était de 4 000 kg.

De l’examen de ce problème, on peut déduire la règle suivante.

Pour trouver un nombre à partir d'une valeur donnée de sa fraction, il suffit de diviser cette valeur par le numérateur de la fraction et de multiplier le résultat par le dénominateur de la fraction.

Nous avons résolu deux problèmes consistant à trouver un nombre étant donné sa fraction. De tels problèmes, comme le montre particulièrement clairement le dernier, sont résolus par deux actions : la division (quand une partie est trouvée) et la multiplication (quand le nombre entier est trouvé).

Cependant, une fois que nous avons appris la division des fractions, les problèmes ci-dessus peuvent être résolus en une seule action, à savoir : la division par fraction.

Par exemple, la dernière tâche peut être résolue en une seule action comme celle-ci :

À l'avenir, nous résoudrons les problèmes consistant à trouver un nombre à partir de sa fraction en une seule action : la division.

7. Trouver un nombre par son pourcentage.

Dans ces problèmes, vous devrez trouver un nombre connaissant quelques pour cent de ce nombre.

Tache 1. Au début de cette année, j'ai reçu 60 roubles de la caisse d'épargne. un revenu provenant du montant que j'ai mis en épargne il y a un an. Combien d’argent ai-je mis dans la caisse d’épargne ? (Les caisses offrent aux déposants un rendement de 2 % par an.)

Le problème est que j’ai mis une certaine somme d’argent dans une caisse d’épargne et que j’y suis resté un an. Au bout d'un an, j'ai reçu d'elle 60 roubles. revenu, qui représente 2/100 de l'argent que j'ai déposé. Combien d’argent ai-je mis ?

Par conséquent, connaissant une partie de cet argent, exprimé de deux manières (en roubles et en fractions), nous devons trouver le montant total, encore inconnu. Il s’agit d’un problème ordinaire consistant à trouver un nombre étant donné sa fraction. Les problèmes suivants sont résolus par division :

Cela signifie que 3 000 roubles ont été déposés à la caisse d'épargne.

Tâche 2. Les pêcheurs ont rempli leur plan mensuel à 64 % en deux semaines, récoltant 512 tonnes de poisson. Quel était leur plan ?

D'après les conditions du problème, on sait que les pêcheurs ont réalisé une partie du plan. Cette part est égale à 512 tonnes, soit 64 % du plan. Nous ne savons pas combien de tonnes de poisson doivent être préparées selon le plan. Trouver ce numéro sera la solution au problème.

De tels problèmes sont résolus par division :

Cela signifie que selon le plan, 800 tonnes de poisson doivent être préparées.

Tâche 3. Le train allait de Riga à Moscou. Lorsqu'il a dépassé le 276ème kilomètre, l'un des passagers a demandé à un conducteur de passage quelle partie du trajet ils avaient déjà parcourue. Le conducteur a répondu : « Nous avons déjà parcouru 30 % du trajet. » Quelle est la distance entre Riga et Moscou ?

D'après les conditions problématiques, il ressort clairement que 30 % du trajet de Riga à Moscou fait 276 km. Il faut trouver toute la distance entre ces villes, c'est-à-dire, pour cette partie, trouver le tout :

§ 91. Nombres réciproques. Remplacer la division par la multiplication.

Prenons la fraction 2/3 et remplaçons le numérateur à la place du dénominateur, nous obtenons 3/2. Nous avons l'inverse de cette fraction.

Afin d'obtenir l'inverse d'une fraction donnée, il faut mettre son numérateur à la place du dénominateur, et le dénominateur à la place du numérateur. De cette façon, nous pouvons obtenir l’inverse de n’importe quelle fraction. Par exemple:

3/4, inversé 4/3 ; 5/6, inversé 6/5

Deux fractions qui ont la propriété que le numérateur de la première est le dénominateur de la seconde et que le dénominateur de la première est le numérateur de la seconde, sont appelées mutuellement inverses.

Réfléchissons maintenant à quelle fraction sera l'inverse de 1/2. Évidemment, ce sera 2/1, ou juste 2. En recherchant la fraction inverse de celle donnée, nous avons obtenu un nombre entier. Et ce cas n’est pas isolé ; au contraire, pour toutes les fractions de numérateur 1 (un), les réciproques seront des nombres entiers, par exemple :

1/3, revers 3 ; 1/5, revers 5

Puisqu'en trouvant des fractions réciproques, nous avons également rencontré des nombres entiers, dans ce qui suit nous ne parlerons pas de fractions réciproques, mais de nombres réciproques.

Voyons comment écrire l'inverse d'un entier. Pour les fractions, cela peut être résolu simplement : il faut mettre le dénominateur à la place du numérateur. De la même manière, vous pouvez obtenir l'inverse d'un entier, puisque tout entier peut avoir un dénominateur de 1. Cela signifie que l'inverse de 7 sera 1/7, car 7 = 7/1 ; pour le nombre 10 l'inverse sera 1/10, puisque 10 = 10/1

Cette idée peut s’exprimer différemment : l'inverse d'un nombre donné s'obtient en divisant un par numéro donné . Cette affirmation est vraie non seulement pour les nombres entiers, mais aussi pour les fractions. En fait, si nous devons écrire l'inverse de la fraction 5/9, alors nous pouvons prendre 1 et le diviser par 5/9, c'est-à-dire

Maintenant, soulignons une chose propriété nombres réciproques, qui nous seront utiles : le produit des nombres réciproques est égal à un. En effet:

En utilisant cette propriété, nous pouvons trouver des nombres réciproques de la manière suivante. Disons que nous devons trouver l'inverse de 8.

Notons-le par la lettre X , puis 8 X = 1, donc X = 1/8. Trouvons un autre nombre qui est l'inverse de 7/12 et désignons-le par la lettre X , puis le 12/07 X = 1, donc X = 1 : 7 / 12 ou X = 12 / 7 .

Nous avons introduit ici la notion de nombres réciproques afin de compléter légèrement les informations sur la division des fractions.

Lorsque nous divisons le nombre 6 par 3/5, nous procédons comme suit :

Portez une attention particulière à l'expression et comparez-la avec celle donnée : .

Si l'on prend l'expression séparément, sans lien avec la précédente, alors il est impossible de résoudre la question de savoir d'où elle vient : de diviser 6 par 3/5 ou de multiplier 6 par 5/3. Dans les deux cas, la même chose se produit. On peut donc dire que la division d'un nombre par un autre peut être remplacée en multipliant le dividende par l'inverse du diviseur.

Les exemples que nous donnons ci-dessous confirment pleinement cette conclusion.

Trouvez le numérateur et le dénominateur. Une fraction comprend deux nombres : le nombre situé au-dessus de la ligne est appelé numérateur et le nombre situé en dessous de la ligne est appelé dénominateur. Le dénominateur représente total parties en lesquelles un tout est divisé, et le numérateur est le nombre considéré de ces parties.

• Par exemple, dans la fraction ½, le numérateur est 1 et le dénominateur est 2.

Déterminez le dénominateur. Si deux fractions ou plus ont un dénominateur commun, ces fractions ont le même numéro sous la ligne, c'est-à-dire que dans ce cas, un certain tout est divisé en le même nombre de parties. Additionner des fractions avec un dénominateur commun est très simple, puisque le dénominateur de la fraction totale sera le même que les fractions ajoutées. Par exemple:

• Les fractions 3/5 et 2/5 ont un dénominateur commun de 5.
• Les fractions 3/8, 5/8, 17/8 ont un dénominateur commun de 8.

Déterminez les numérateurs. Pour additionner des fractions avec un dénominateur commun, additionnez leurs numérateurs et écrivez le résultat au-dessus du dénominateur des fractions à additionner.

• Les fractions 3/5 et 2/5 ont les numérateurs 3 et 2.
• Les fractions 3/8, 5/8, 17/8 ont les numérateurs 3, 5, 17.

Additionnez les numérateurs. Dans le problème 3/5 + 2/5, additionnez les numérateurs 3 + 2 = 5. Dans le problème 3/8 + 5/8 + 17/8, additionnez les numérateurs 3 + 5 + 17 = 25.

Notez la fraction totale. N'oubliez pas que lors de l'addition de fractions avec un dénominateur commun, celui-ci reste inchangé - seuls les numérateurs sont ajoutés.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Convertissez la fraction si nécessaire. Parfois, une fraction peut être écrite sous la forme d'un nombre entier plutôt que sous la forme d'une fraction ou d'un décimal. Par exemple, la fraction 5/5 se convertit facilement en 1, puisque toute fraction dont le numérateur est égal à son dénominateur est 1. Imaginez un gâteau coupé en trois parties. Si vous mangez les trois parts, vous aurez mangé la tarte entière (une).

• N'importe quelle fraction peut être convertie en nombre décimal ; Pour ce faire, divisez le numérateur par le dénominateur. Par exemple, la fraction 5/8 peut s'écrire comme suit : 5 ÷ 8 = 0,625.

Si possible, simplifiez la fraction. Une fraction simplifiée est une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs.

• Par exemple, considérons la fraction 3/6. Ici, le numérateur et le dénominateur ont tous deux diviseur commun, égal à 3, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur sont complètement divisibles par 3. Par conséquent, la fraction 3/6 peut s'écrire comme suit : 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Si nécessaire, convertissez une fraction impropre en fraction mixte (nombre mixte). Une fraction impropre a un numérateur supérieur à son dénominateur, par exemple 25/8 (une fraction propre a un numérateur inférieur à son dénominateur). Une fraction impropre peut être convertie en une fraction mixte, composée d'une partie entière (c'est-à-dire un nombre entier) et d'une partie fractionnaire (c'est-à-dire une fraction propre). Pour convertir une fraction impropre, telle que 25/8, en un nombre fractionnaire, procédez comme suit :

• Divisez le numérateur d'une fraction impropre par son dénominateur ; notez le quotient partiel (réponse complète). Dans notre exemple : 25 ÷ 8 = 3 plus un reste. Dans ce cas, la réponse entière est la partie entière du nombre fractionnaire.
• Trouvez le reste. Dans notre exemple : 8 x 3 = 24 ; soustrayez le résultat obtenu du numérateur d'origine : 25 - 24 = 1, c'est-à-dire que le reste est 1. Dans ce cas, le reste est le numérateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire.
• Écrivez une fraction mixte. Le dénominateur ne change pas (c'est-à-dire qu'il est égal au dénominateur de la fraction impropre), donc 25/8 = 3 1/8.