Au Ve siècle avant JC, l'ancien philosophe grec Zénon d'Élée formula ses célèbres apories, dont la plus célèbre est l'aporie « Achille et la tortue ». Voici à quoi cela ressemble :

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement a été un choc logique pour tout le monde générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ...les discussions se poursuivent à ce jour, la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes...ont été impliqués dans l'étude de la question analyse mathematique, théorie des ensembles, nouvelles approches physiques et philosophiques ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court avec vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez à l'intérieur unités constantes mesures de temps et ne vont pas à des quantités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Pour le prochain intervalle de temps, égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais ce n'est pas solution complète Problèmes. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce sur quoi je souhaite attirer particulièrement l’attention, c’est que deux points dans le temps et deux points dans l’espace sont des choses différentes qu’il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : différentes pièces de monnaie ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes sont uniques pour chaque pièce...

Et maintenant j'ai le plus intérêt Demander: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Alors, dans différents systèmes En calcul, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope, nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Résultat similaire n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure de la même quantité conduisent à résultats différents après les avoir comparés, cela signifie que cela n'a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.

Inscrivez-vous sur la porte Il ouvre la porte et dit :

Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». C'est « l'homme qui fait caca » ou le nombre « vingt-six » dans système hexadécimal Compte Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.

peut être trouvé en utilisant la multiplication. Par exemple : 5+5+5+5+5+5=5x6. Une telle expression est dite que la somme de termes égaux est repliée en un produit. Et vice versa, si l’on lit cette égalité de droite à gauche, on constate que l’on a élargi la somme des termes égaux. De même, vous pouvez réduire le produit de plusieurs facteurs égaux 5x5x5x5x5x5=5 6.

Autrement dit, au lieu de multiplier six facteurs identiques 5x5x5x5x5x5, ils écrivent 5 6 et disent « cinq puissance six ».

L'expression 5 6 est une puissance d'un nombre, où :

5 - base de diplômes;

6 - exposant.

Les actions par lesquelles le produit de facteurs égaux est réduit à une puissance sont appelées élever à la puissance.

DANS vue générale le degré avec la base "a" et l'exposant "n" s'écrit ainsi

Élever le nombre a à la puissance n signifie trouver le produit de n facteurs dont chacun est égal à a

Si la base du degré « a » est égale à 1, alors la valeur du degré pour tout nombre naturel n sera égale à 1. Par exemple, 1 5 =1, 1 256 =1

Si vous élevez le chiffre « a » à premier degré, alors nous obtenons le nombre a lui-même : un 1 = un

Si vous augmentez un chiffre à zéro degré, puis à la suite de calculs, nous en obtenons un. un 0 = 1

Les deuxième et troisième puissances d’un nombre sont considérées comme spéciales. Ils leur ont trouvé des noms : le deuxième degré s'appelle mettre le nombre au carré, troisième - cube Ce nombre.

N’importe quel nombre peut être élevé à une puissance – positive, négative ou zéro. Dans ce cas, les règles suivantes ne s'appliquent pas :

Lorsqu’on trouve la puissance d’un nombre positif, le résultat est un nombre positif.

En calculant zéro à la puissance naturelle, nous obtenons zéro.

xm · xn = x m + n

par exemple : 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

À diviser les pouvoirs avec les mêmes bases On ne change pas la base, mais on soustrait les exposants :

xm / x n = x m - n , Où, m > n,

par exemple : 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Lors du calcul élever un pouvoir à un pouvoir Nous ne changeons pas la base, mais multiplions les exposants les uns par les autres.

(au m ) n = oui m n

par exemple : (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = xn · ouais ,

par exemple :(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Lors de l'exécution de calculs selon élever une fraction à une puissance on élève le numérateur et le dénominateur de la fraction à une puissance donnée

(x/y)n = xn / o n

par exemple : (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​​​​​/ 5) · (2 ​​​​​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

La séquence de calculs lorsque vous travaillez avec des expressions contenant un diplôme.

Lors de calculs d'expressions sans parenthèses, mais contenant des puissances, ils effectuent d'abord des exponentiations, puis des multiplications et des divisions, et ensuite seulement des opérations d'addition et de soustraction.

Si vous devez calculer une expression contenant des parenthèses, effectuez d'abord les calculs entre parenthèses dans l'ordre indiqué ci-dessus, puis les actions restantes dans le même ordre de gauche à droite.

Très largement dans les calculs pratiques, des tableaux de puissances prêts à l'emploi sont utilisés pour simplifier les calculs.

Premier niveau

Degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où en aurez-vous besoin ? Pourquoi prendre le temps de les étudier ?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances Vie courante lisez cet article.

Et, bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera de la réussite de l'examen d'État unifié ou de l'examen d'État unifié et de l'entrée dans l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est une opération mathématique au même titre que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain de manière très exemples simples. Sois prudent. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Tout le monde a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Le même exemple avec le cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d’abord certaines régularités, puis trouvent un moyen de les « compter » plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes possédait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, c'est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus difficilement et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils inventées ? Droite - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez augmenter ce nombre à la puissance cinq. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la puissance cinq valent... Et ils résolvent ces problèmes dans leur tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi s’appelle-t-on le deuxième degré ? carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question. Vous aurez maintenant à la fois des carrés et des cubes.

Exemple réel n°1

Commençons par le carré ou la puissance deux du nombre.

Imaginez une piscine carrée mesurant un mètre sur un mètre. La piscine est à votre datcha. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... la piscine n'a pas de fond ! Vous devez recouvrir le fond de la piscine de carrelage. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de le déterminer, vous devez connaître la surface inférieure de la piscine.

Vous pouvez simplement calculer en pointant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez des carreaux d'un mètre sur un mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où avez-vous vu de tels carreaux ? Le carreau sera très probablement cm par cm, puis vous serez torturé en « comptant avec votre doigt ». Ensuite il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine nous placerons des tuiles (morceaux) et de l'autre aussi des tuiles. Multipliez par et vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que pour déterminer la surface du fond de la piscine, nous multiplions le même nombre par lui-même ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque nous multiplions le même nombre, nous pouvons utiliser la technique de « l’exponentiation ». (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors les élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs de calcul. (Pour l'examen d'État unifié, c'est très important).
Ainsi, trente à la puissance deux seront (). Ou nous pouvons dire que trente carrés le seront. En d’autres termes, la puissance seconde d’un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c’est TOUJOURS la deuxième puissance d’un nombre. Un carré est l’image de la puissance deux d’un nombre.

Exemple réel n°2

Voici une tâche pour vous : comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour compter leur nombre, il faut multiplier huit par huit ou... si vous remarquez que Échiquier- c'est un carré avec un côté, alors vous pouvez en faire un carré de huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?

Exemple concret n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir quelle quantité d’eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Au fait, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes. Inattendu, n'est-ce pas ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre de taille et un mètre de profondeur, et essayez de compter combien de cubes mesurant un mètre par un mètre le feront. s'intègre dans votre piscine.

Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien en avez-vous eu ? Pas perdu? Est-ce difficile de compter avec son doigt ? De sorte que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, il faut multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur entre elles. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus simple, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens seraient paresseux et rusés s’ils simplifiaient également cela. Nous avons tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois au cube sont égaux. C'est écrit ainsi : .

Il ne reste plus que souviens-toi du tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des lâcheurs et des gens rusés pour résoudre leurs propres problèmes. problèmes de vie, et pour ne pas vous créer de problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.

Exemple réel n°4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous gagnez un autre million. Autrement dit, chaque million dont vous disposez double au début de chaque année. De combien d’argent aurez-vous dans quelques années ? Si vous êtes assis maintenant et que vous « comptez avec votre doigt », alors vous êtes une personne très travailleuse et... stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Donc, la première année - deux multiplié par deux... la deuxième année - que s'est-il passé, par deux de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même. Donc deux puissance cinq font un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui sait compter le plus rapidement obtiendra ces millions... Cela vaut la peine de se rappeler le pouvoir des nombres, n'est-ce pas ?

Exemple concret n°5

Vous en avez un million. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous en gagnez deux de plus. Génial, n'est-ce pas ? Chaque million est triplé. De combien d’argent aurez-vous dans un an ? Comptons. La première année - multiplier par, puis le résultat par un autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois est multiplié par lui-même. Donc à la puissance quatre, cela est égal à un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre vaut ou.

Vous savez maintenant qu’en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons plus en détail ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts... pour ne pas se tromper

Alors, commençons par définir les concepts. Qu'en penses-tu, qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple : c'est le nombre qui est « au sommet » de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple, c'est le numéro qui se trouve en bas, à la base.

Voici un dessin pour faire bonne mesure.

Eh bien, de manière générale, afin de généraliser et de mieux mémoriser... Un degré avec une base « » et un exposant « » se lit comme « au degré » et s'écrit comme suit :

Puissance du nombre c indicateur naturel

Vous l’avez probablement déjà deviné : parce que l’exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que c'est entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont les nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste d'objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro virgule cinq ». Ce ne sont pas des nombres naturels. À votre avis, de quels chiffres s'agit-il ?

Les nombres comme « moins cinq », « moins six », « moins sept » font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et les nombres. Zéro est facile à comprendre : c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs (« moins ») ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer les dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont nombres rationnels. Comment sont-ils apparus, à votre avis ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'il leur manquait nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la surface, etc. Et ils ont inventé nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref, sans fin décimal. Par exemple, si vous divisez la circonférence d’un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Résumé:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

1. Tout nombre à la puissance premier est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même :
3. Cuber un nombre signifie le multiplier par lui-même trois fois :

Définition. Augmentez le numéro à diplôme naturel- signifie multiplier un nombre par lui-même par :
.

Propriétés des diplômes

D’où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que c'est Et ?

Prieuré A :

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C’est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux facteurs, et le résultat est des multiplicateurs.

Mais par définition, il s'agit d'une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , ce qu'il fallait prouver.

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution: Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement doit être motifs identiques!
On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

seulement pour le produit des puissances !

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

2. c'est tout la puissance d'un nombre

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total :

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance à base négative

Jusqu’à présent, nous avons seulement discuté de ce que devrait être l’exposant.

Mais quelle devrait être la base ?

Dans les pouvoirs de indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre. En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même.

Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des puissances de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e année : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Avez-vous réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples à pratiquer

Analyse de la solution 6 exemples

Si nous ignorons la huitième puissance, que voyons-nous ici ? Souvenons-nous du programme de 7e année. Alors, tu te souviens ? C’est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés ! On a:

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. S'ils étaient inversés, la règle pourrait s'appliquer.

Mais comment faire ça ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Entier on appelle les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe " ") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent du naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Examinons maintenant de nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, demandons-nous : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérons un certain degré avec une base. Prenons par exemple et multipliez par :

Nous avons donc multiplié le nombre par et nous avons obtenu la même chose - . Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, continuez. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d’un autre côté, comme tout nombre à la puissance zéro, il doit être égal. Alors, dans quelle mesure cela est-il vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s’impliquer et ont refusé d’élever zéro à la puissance zéro. Autrement dit, nous ne pouvons plus seulement diviser par zéro, mais également l'élever à la puissance zéro.

Allons-nous en. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent également les nombres négatifs. Pour comprendre ce qu’est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multipliez un nombre normal par le même nombre pour obtenir une puissance négative :

À partir de là, il est facile d’exprimer ce que vous recherchez :

Étendons maintenant la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre de puissance négative est l’inverse du même nombre de puissance positive. Mais en même temps La base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. L'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

II. Tout nombre à la puissance zéro est égal à un : .

III. Numéro, pas égal à zéro, à un degré négatif est l'inverse du même nombre à un degré positif : .

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solutions indépendantes :

Analyse des problèmes pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen d'État unifié, il faut se préparer à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leurs solutions si vous ne parvenez pas à les résoudre et vous apprendrez à les gérer facilement lors de l'examen !

Continuons à élargir la gamme de nombres « appropriés » comme exposant.

Considérons maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté comme une fraction, où et sont des nombres entiers, et.

Pour comprendre ce que c'est "degré fractionnaire", considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "degré à diplôme":

Quel nombre faut-il élever à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ième degré.

Je vous le rappelle : la racine de la puissance ième d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la puissance ième est l'opération inverse d'élévation à une puissance : .

Il se trouve que. Évidemment ceci cas particulier peut être étendu : .

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir en utilisant la règle puissance-puissance :

Mais la base peut-elle être n’importe quel nombre ? Après tout, la racine de tous les nombres ne peut pas être extraite.

Aucun!

Rappelons la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. Autrement dit, il est impossible d’extraire ne serait-ce que les racines de nombres négatifs !

Cela signifie que ces chiffres ne peuvent pas être portés à puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.

Et l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté sous la forme d'autres fractions réductibles, par exemple, ou.

Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, alors vous pouvez l'écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur différemment, nous aurons à nouveau des ennuis : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons uniquement un exposant de base positif avec un exposant fractionnaire.

Donc si:

• - entier naturel;
• - entier ;

Exemples:

Diplômes avec indicateur rationnel très utile pour convertir des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples à mettre en pratique

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, vient maintenant la partie la plus difficile. Maintenant, nous allons le découvrir degré avec exposant irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception

Après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés par une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...nombre à la puissance zéro- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain "nombre vierge" , à savoir un nombre ;

...degré entier négatif- c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel.

Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il ne vous rappelle rien ? Rappelons la formule de multiplication abrégée de la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Répondre: .

2. Nous réduisons les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme : , où :

• — base de diplômes;
• - exposant.

Diplôme avec indicateur naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré avec un exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif nombre:

Construction au degré zéro:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, n'importe quel nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif nombre:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

Exemples:

Puissance avec exposant rationnel

• - entier naturel;
• - entier ;

Exemples:

Propriétés des diplômes

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d’où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Prieuré A :

Ainsi, à droite de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons. On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour le produit des puissances!

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Regroupons ce travail comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pourrez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance avec une base négative.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de ce à quoi cela devrait ressembler indice degrés. Mais quelle devrait être la base ? Dans les pouvoirs de naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même. Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des puissances de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e année : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par (), on obtient - .

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Nous pouvons formuler ce qui suit règles simples:

1. même diplôme, - nombre positif.
2. Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
3. Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
4. Zéro à n’importe quelle puissance est égal à zéro.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Avez-vous réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir ce qui est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, cela devient clair, ce qui signifie que la base est inférieure à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des diplômes et les divisons les uns par les autres, les divisons en paires et obtenons :

Avant de le démonter dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les expressions :

Solutions :

Si nous ignorons la huitième puissance, que voyons-nous ici ? Souvenons-nous du programme de 7e année. Alors, tu te souviens ? C’est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés !

On a:

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. Si elles étaient inversées, la règle 3 pourrait s’appliquer. Mais comment ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant, cela donne ceci :

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : Tous les signes changent en même temps ! Vous ne pouvez pas le remplacer en modifiant un seul inconvénient que nous n’aimons pas !

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d’habitude : développons la notion de diplôme et simplifions-la :

Eh bien, ouvrons maintenant les parenthèses. Combien y a-t-il de lettres au total ? fois par multiplicateurs - qu'est-ce que cela vous rappelle ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: Il n'y avait là que des multiplicateurs. Autrement dit, il s'agit, par définition, d'une puissance d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Diplôme avec exposant irrationnel

En plus des informations sur les diplômes pour le niveau moyen, nous analyserons le diplôme avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers. Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre à la puissance zéro est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain « numéro vierge », à savoir un numéro ; un degré avec un exposant entier négatif - c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d’imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d’imaginer un espace à 4 dimensions). Il s’agit plutôt d’un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre la notion de degré à tout l’espace des nombres.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

Alors, que faisons-nous si nous voyons un exposant irrationnel ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

1)

2)

3)

Réponses:

1. Rappelons la formule de différence des carrés. Répondre: .
2. Nous réduisons les fractions à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple : .
3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULES DE BASE

Degré appelé une expression de la forme : , où :

Diplôme avec un exposant entier

un degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Puissance avec exposant rationnel

degré dont l'exposant est constitué de nombres négatifs et fractionnaires.

Diplôme avec exposant irrationnel

un degré dont l'exposant est une fraction décimale infinie ou une racine.

Propriétés des diplômes

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif porté à même diplôme, - nombre positif.
• Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
• Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
• Zéro est égal à n’importe quelle puissance.
• Tout nombre à la puissance zéro est égal.

MAINTENANT VOUS AVEZ LE MOT...

Comment aimez-vous l’article ? Écrivez ci-dessous dans les commentaires si vous l'avez aimé ou non.

Parlez-nous de votre expérience en utilisant les propriétés des diplômes.

Peut-être avez-vous des questions. Ou des suggestions.

Écrivez dans les commentaires.

Et bonne chance pour tes examens !

Comme vous le savez, en mathématiques, il n'y a pas que des nombres positifs, mais aussi des nombres négatifs. Si la connaissance des puissances positives commence par déterminer l'aire d'un carré, alors avec les puissances négatives, tout est un peu plus compliqué.

Ce que vous devez savoir :

1. Élever un nombre à une puissance naturelle est la multiplication d'un nombre (dans l'article nous considérerons les notions de nombre et d'équivalent numérique) par lui-même dans une quantité telle que l'exposant (à l'avenir nous utiliserons en parallèle et simplement le mot exposant). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. En général, cela ressemble à ceci : m^n = m*m*m*…*m (n fois).
2. Il faut tenir compte du fait que lorsqu’un nombre négatif est élevé à une puissance naturelle, il deviendra positif si l’exposant est pair.
3. Élever un nombre à un exposant de 0 donne un, à condition qu'il ne soit pas égal à zéro. La puissance zéro à zéro est considérée comme indéfinie. 17 ^ 0 = 1.
4. Extraire la racine d'une certaine puissance d'un nombre, c'est trouver un nombre qui, lorsqu'il est élevé à l'exposant approprié, donnera la valeur souhaitée. Ainsi, la racine cubique de 125 est 5, puisque 5^3 = 125.
5. Si vous souhaitez élever un nombre à une puissance fractionnaire positive, vous devez alors élever le nombre à l'exposant du dénominateur et en extraire la racine de l'exposant du numérateur. 6^5/7 = la septième racine du produit 6*6*6*6*6.
6. Si vous avez besoin d'augmenter un numéro pour indicateur négatif, alors vous devez trouver l’inverse du nombre donné. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Élever un nombre modulo zéro à un à une puissance négative

Nous devrions d'abord nous rappeler qu'est-ce qu'un module. Il s'agit de la distance sur la ligne de coordonnées entre la valeur que nous avons choisie et l'origine (zéro de la ligne de coordonnées). Par définition, cela ne peut jamais être négatif.

Valeur supérieure à zéro

Lorsque la valeur d'un chiffre est comprise entre zéro et un, un indicateur négatif donne une augmentation du chiffre lui-même. Cela se produit parce que le dénominateur diminue tout en restant positif.

Regardons des exemples :

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

De plus, plus le module de l'indicateur est grand, plus le chiffre augmente activement. Lorsque le dénominateur tend vers zéro, la fraction elle-même tend vers plus l’infini.

Valeur inférieure à zéro

Voyons maintenant comment construire degré négatif, si le nombre est inférieur à zéro. Le principe est le même que dans la partie précédente, mais ici le signe de l'indicateur compte.

Regardons à nouveau les exemples :

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Dans ce cas, on voit que le module continue de croître, mais le signe dépend du fait que l'indicateur soit pair ou impair.

Il est à noter que si l'on construit une unité, elle restera toujours seule. Si vous devez augmenter un nombre moins un, alors avec un exposant pair, il deviendra un, et avec un exposant impair, il restera moins un.

Montée à une puissance entière négative si le module est supérieur à un

Pour les nombres dont le module est supérieur à un, a ses propres particularités d'actions. Tout d'abord, vous devez convertir toute la partie de la fraction au numérateur, c'est-à-dire la convertir en fraction impropre. Si nous avons une fraction décimale, alors elle doit être convertie en fraction régulière. Cela se fait comme suit:

• 6 entiers 7/17 = 109/17 ;
• 2,54 = 254/100.

Voyons maintenant comment élever un nombre à une puissance négative dans ces conditions. Déjà de ce qui précède, nous pouvons déduire ce que nous pouvons attendre du résultat des calculs. Puisqu'une fraction double est inversée lors des simplifications, le module de la figure diminuera d'autant plus vite que le module de l'exposant est grand.

Considérons d’abord la situation dans laquelle le nombre donné dans la tâche est positif.

Tout d'abord, il apparaît clairement que résultat final sera supérieur à zéro, car diviser deux positifs donne toujours un positif. Regardons à nouveau des exemples de la façon dont cela est réalisé :

• 6 entiers 1/20 à la puissance moins cinquième = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234 ;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Comme nous le voyons, difficultés particulières les actions ne provoquent pas, et toutes nos hypothèses initiales se sont avérées vraies.

Passons maintenant au cas d'un chiffre négatif.

Pour commencer, on peut supposer que si l'indicateur est pair, alors le résultat sera positif, si l'indicateur est impair, alors le résultat sera négatif. Tous nos calculs précédents dans cette partie seront considérés comme valides maintenant. Regardons à nouveau des exemples :

• -3 entier 1/2 à la puissance moins sixième = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544 ;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Ainsi, tous nos raisonnements se sont avérés corrects.

Construction dans le cas d'un exposant fractionnaire négatif

Ici, vous devez vous rappeler qu'une telle construction existe extraire la racine de la puissance du dénominateur d'un nombre à la puissance du numérateur. Tous nos raisonnements précédents restent vrais cette fois. Expliquons nos actions avec un exemple :

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Dans ce cas, vous devez garder à l’esprit que l’extraction des racines haut niveau n'est possible que sous une forme spécialement sélectionnée et, très probablement, vous ne pourrez pas vous débarrasser du signe du radical (racine carrée, racine cubique, etc.) avec des calculs précis.

Néanmoins, après avoir étudié en détail les chapitres précédents, il ne faut pas s'attendre à des difficultés dans les calculs scolaires.

Il convient de noter que la description de ce chapitre comprend également construction avec un indicateur volontairement irrationnel, par exemple, si l'indicateur est égal à moins PI. Vous devez agir selon les principes décrits ci-dessus. Cependant, les calculs de cas similaires devenir si complexe que seuls de puissants ordinateurs électroniques peuvent le faire.

Conclusion

L'action que nous avons étudiée est l'un des problèmes les plus difficiles en mathématiques(surtout dans le cas d'un sens fractionnaire-rationnel ou irrationnel). Cependant, en étudiant ces instructions en détail et étape par étape, vous pouvez apprendre à le faire de manière entièrement automatique et sans aucun problème.

L’une des principales caractéristiques de l’algèbre, et de toutes les mathématiques, est le degré. Bien sûr, au 21e siècle, tous les calculs peuvent être effectués sur une calculatrice en ligne, mais il est préférable pour le développement du cerveau d'apprendre à le faire soi-même.

Dans cet article, nous examinerons le plus questions importantes en rapport avec cette définition. À savoir, comprenons ce que c’est en général et quelles sont ses principales fonctions, quelles sont ses propriétés en mathématiques.

Examinons des exemples de ce à quoi ressemble le calcul et quelles sont les formules de base. Examinons les principaux types de quantités et en quoi elles diffèrent des autres fonctions.

Voyons comment résoudre divers problèmes en utilisant cette quantité. Nous montrerons avec des exemples comment élever à la puissance zéro, irrationnelle, négative, etc.

Calculateur d'exponentiation en ligne

Qu'est-ce qu'une puissance d'un nombre

Que signifie l’expression « élever un nombre à une puissance » ?

La puissance n d’un nombre est le produit de facteurs de grandeur n fois de suite.

Mathématiquement, cela ressemble à ceci :

une n = une * une * une * …une n .

Par exemple:

• 2 3 = 2 au troisième degré. = 2 * 2 * 2 = 8 ;
• 4 2 = 4 au pas. deux = 4 * 4 = 16 ;
• 5 4 = 5 au pas. quatre = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 ;
• 10 5 = 10 en 5 étapes. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000 ;
• 10 4 = 10 en 4 étapes. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Vous trouverez ci-dessous un tableau de carrés et cubes de 1 à 10.

Tableau des degrés de 1 à 10

Vous trouverez ci-dessous les résultats de l'élévation des nombres naturels à des puissances positives - « de 1 à 100 ».

Ch-lo	2ème rue.	3ème étape
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Propriétés des diplômes

Quelle est la caractéristique d’une telle fonction mathématique ? Regardons les propriétés de base.

Les scientifiques ont établi ce qui suit signes caractéristiques de tous les degrés :

• une n * une m = (une) (n+m) ;
• une n : une m = (une) (n-m) ;
• (un b) m =(une) (b*m) .

Vérifions avec des exemples :

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Par contre, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

De même : 2 3 : 2 2 = 8 / 4 =2. Sinon 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Et si c'était différent ? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Comme vous pouvez le constater, les règles fonctionnent.

Mais qu'en est-il avec addition et soustraction? C'est simple. L'exponentiation est effectuée en premier, puis l'addition et la soustraction.

Regardons des exemples :

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Attention : la règle ne sera pas valable si vous soustrayez d'abord : (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Mais dans ce cas, vous devez d'abord calculer l'addition, car il y a des actions entre parenthèses : (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Comment produire calculs en plus cas difficiles ? L'ordre est le même :

• s'il y a des parenthèses, vous devez commencer par elles ;
• puis exponentiation ;
• puis effectuez les opérations de multiplication et de division ;
• après addition, soustraction.

Il existe des propriétés spécifiques qui ne sont pas caractéristiques de tous les diplômes :

1. La racine nième d'un nombre a au degré m s'écrira : a m / n.
2. Lors de l'élévation d'une fraction à une puissance : tant le numérateur que son dénominateur sont soumis à cette procédure.
3. Lors de la construction d'une œuvre différents numérosà une puissance, l'expression correspondra au produit de ces nombres par la puissance donnée. C'est-à-dire : (a * b) n = a n * b n .
4. Lorsqu'on élève un nombre à une puissance négative, il faut diviser 1 par un nombre du même siècle, mais avec le signe « + ».
5. Si le dénominateur d'une fraction est une puissance négative, alors cette expression est égale au produit du numérateur et du dénominateur une puissance positive.
6. N'importe quel nombre à la puissance 0 = 1, et à la puissance. 1 = pour vous-même.

Ces règles sont importantes dans certains cas, nous les examinerons plus en détail ci-dessous.

Degré avec un exposant négatif

Que faire avec un degré négatif, c'est-à-dire lorsque l'indicateur est négatif ?

Basé sur les propriétés 4 et 5(voir point ci-dessus), il s'avère:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Et vice versa:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Et si c'était une fraction ?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Diplôme avec indicateur naturel

Il s'agit d'un degré dont les exposants sont égaux à des nombres entiers.

Choses dont il faut se rappeler:

Un 0 = 1, 1 0 = 1 ; 2 0 = 1 ; 3,15 0 = 1 ; (-4) 0 = 1...etc.

Un 1 = Un, 1 1 = 1 ; 2 1 = 2; 3 1 = 3...etc.

De plus, si (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... alors le résultat sera avec un signe « + ». Si un nombre négatif est élevé à une puissance impaire, alors vice versa.

Propriétés générales et c'est tout signes spécifiques, décrits ci-dessus, en sont également caractéristiques.

Degré fractionnaire

Ce type peut s'écrire sous la forme d'un schéma : A m/n. Lire comme : la nième racine du nombre A à la puissance m.

Vous pouvez faire ce que vous voulez avec un indicateur fractionnaire : le réduire, le diviser en parties, l'élever à une autre puissance, etc.

Diplôme avec exposant irrationnel

Soit α un nombre irrationnel et A ˃ 0.

Pour comprendre l'essence d'un diplôme avec un tel indicateur, Regardons différents cas possibles :

• A = 1. Le résultat sera égal à 1. Puisqu'il existe un axiome - 1 à toutes les puissances est égal à un ;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – nombres rationnels ;

• 0˂А˂1.

Dans ce cas, c’est l’inverse : A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 dans les mêmes conditions qu’au deuxième paragraphe.

Par exemple, l'exposant est le nombre π. C'est rationnel.

r 1 – dans ce cas est égal à 3 ;

r 2 – sera égal à 4.

Alors, pour A = 1, 1 π = 1.

A = 2, alors 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, alors (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Ces diplômes sont caractérisés par toutes les opérations mathématiques et propriétés spécifiques décrites ci-dessus.

Conclusion

Résumons : à quoi servent ces quantités, quels sont les avantages de telles fonctions ? Bien sûr, tout d'abord, ils simplifient la vie des mathématiciens et des programmeurs lors de la résolution d'exemples, car ils leur permettent de minimiser les calculs, de raccourcir les algorithmes, de systématiser les données et bien plus encore.

Où d’autre ces connaissances peuvent-elles être utiles ? Dans n'importe quelle spécialité professionnelle : médecine, pharmacologie, dentisterie, construction, technologie, ingénierie, design, etc.