Premier niveau
Le degré et ses propriétés. Guide complet (2019)
Pourquoi faut-il des diplômes ? Où vous seront-ils utiles ? Pourquoi faut-il prendre le temps de les étudier ?
Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances dans Vie courante lire cet article.
Et, bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera de la réussite de l'OGE ou de l'USE et de l'entrée dans l'université de vos rêves.
Allons-y allons-y!)
Note importante! Si au lieu de formules vous voyez du charabia, videz le cache. Pour ce faire, vous devez appuyer sur CTRL + F5 (sous Windows) ou Cmd + R (sous Mac).
PREMIER NIVEAU
L'exponentiation est la même opération mathématique que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.
Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain à l'aide d'exemples très simples. Faites attention. Les exemples sont élémentaires, mais ils expliquent des choses importantes.
Commençons par l'addition.
Il n'y a rien à expliquer. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Chacun a deux bouteilles de cola. Combien de cola y a-t-il ? C'est vrai - 16 bouteilles.
Maintenant la multiplication.
Le même exemple de cola peut être écrit différemment :. Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d'abord certains modèles, puis trouvent un moyen de les "compter" rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes avait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, il est considéré comme plus facile et plus rapide que.
Alors, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se souvenir table de multiplication... Vous pouvez, bien sûr, tout faire plus lentement, plus fort et avec des erreurs ! Mais…
Voici la table de multiplication. Répéter.
Et un autre, plus beau :
Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils trouvé ? Droit - élever un nombre à une puissance.
Élever un nombre à une puissance
Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, alors les mathématiciens disent que vous devez élever ce nombre à la puissance cinquième. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux au cinquième degré est. Et ils résolvent ces problèmes dans leur esprit - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.
Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est mis en évidence dans le tableau des puissances des nombres... Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.
Au fait, pourquoi s'appelle le deuxième degré carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? C'est une très bonne question. Maintenant, vous aurez à la fois des carrés et des cubes.
Exemple de vie #1
Commençons par un carré ou la seconde puissance d'un nombre.
Imaginez une piscine au mètre carré. La piscine est dans votre maison de campagne. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... une piscine sans fond ! Il est nécessaire de couvrir le fond de la piscine avec des tuiles. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Pour le déterminer, vous devez connaître la superficie du fond de la piscine.
Vous pouvez simplement compter, en poussant votre doigt, que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez une tuile mètre par mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où as-tu vu de telles tuiles ? Le carreau est plus susceptible d'être cm par cm et vous serez alors tourmenté par le "compte des doigts". Ensuite, il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine, on posera des tuiles (pièces) et de l'autre aussi, des tuiles. En multipliant par, vous obtenez des tuiles ().
Avez-vous remarqué que nous avons multiplié le même nombre par nous-mêmes pour déterminer la surface du fond de la piscine ? Qu'est-ce que ça veut dire? Une fois le même nombre multiplié, on peut utiliser la technique de "l'exponentiation". (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous pouvez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs dans les calculs. Pour l'examen, c'est très important).
Ainsi, trente au second degré seront (). Ou vous pouvez dire que trente au carré le sera. En d'autres termes, la seconde puissance d'un nombre peut toujours être représentée par un carré. A l'inverse, si vous voyez un carré, c'est TOUJOURS la seconde puissance d'un nombre. Un carré est une représentation de la seconde puissance d'un nombre.
Exemple concret n°2
Voici une tâche pour vous, comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour compter leur nombre, vous devez multiplier huit par huit, ou ... si vous remarquez que l'échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez carré huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?
Exemple concret n°3
Maintenant le cube ou la troisième puissance du nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir combien d'eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Au fait, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes. Étonnamment, non ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre et un mètre de profondeur et essayez de calculer combien de mètres cubes par mètre entreront dans votre piscine.
Pointez votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien cela s'est-il passé ? Pas perdu? Est-ce difficile de compter avec le doigt ? Pour que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, ils ont donc remarqué que pour calculer le volume de la piscine, vous devez multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur les unes par les autres. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal aux cubes... Plus facile, non ?
Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens sont paresseux et rusés s'ils simplifiaient cela aussi. Ils ont tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que ça veut dire ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois dans un cube sont égaux. C'est écrit comme ça :.
Il ne reste que rappelez-vous la table des degrés... À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.
Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des paresseux et des gens rusés pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.
Exemple de vie n°4
Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, vous gagnez un autre million sur chaque million. C'est-à-dire que chaque million d'entre vous au début de chaque année double. Combien d'argent aurez-vous dans des années ? Si vous êtes maintenant assis et «comptez avec votre doigt», alors vous êtes une personne très travailleuse et .. stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Ainsi, la première année - deux fois deux... la deuxième année - il s'est passé deux fois de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même une fois. Donc deux puissance cinq c'est un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que ces millions soient reçus par celui qui calcule le plus rapidement... Cela vaut-il la peine de se rappeler les degrés des nombres, qu'en pensez-vous ?
Exemple de vie n°5
Vous avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez deux de plus sur chaque million. Super, n'est-ce pas ? Chaque million triple. Combien d'argent aurez-vous dans des années ? Comptons. La première année - multipliez par, puis le résultat par une autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois fois c'est multiplié par lui-même. Donc la quatrième puissance est égale à un million. Vous avez juste besoin de vous rappeler que trois à la quatrième puissance est ou.
Vous savez maintenant qu'en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Voyons ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.
Termes et concepts ... pour ne pas se tromper
Alors, d'abord, définissons les concepts. Qu'est-ce que tu penses, qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple - c'est le nombre qui est "au sommet" de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais compréhensible et facile à retenir...
Eh bien, en même temps que une telle base de diplômes? Encore plus simple est le nombre qui est en bas, à la base.
Voici un dessin pour être sûr.
Bon, de manière générale, afin de généraliser et mieux mémoriser... Un diplôme avec une base "" et un indicateur "" se lit comme "en degré" et s'écrit comme suit :
Degré du nombre avec exposant naturel
Vous l'avez probablement deviné maintenant : parce que l'exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont ces nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste des objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : "moins cinq", "moins six", "moins sept". Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro point, cinq dixièmes ». Ce ne sont pas des nombres naturels. A votre avis, quels sont les chiffres ?
Des nombres comme moins cinq, moins six, moins sept font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et un nombre. Zéro est facile à comprendre - c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs ("moins") ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer des dettes : si vous avez des roubles sur votre téléphone, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.
Toutes les fractions sont des nombres rationnels. Comment pensez-vous qu'ils sont arrivés? Très simple. Il y a plusieurs milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils sont venus avec nombres rationnels... Intéressant, non?
Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref, une fraction décimale infinie. Par exemple, si vous divisez la circonférence d'un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.
Sommaire:
Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire un entier et positif).
- Tout nombre de la première puissance est égal à lui-même :
- Carré un nombre, c'est le multiplier par lui-même :
- Cuber un nombre, c'est le multiplier par lui-même trois fois :
Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.
Propriétés de puissance
D'où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.
Voyons : qu'est-ce que et ?
Un prieuré :
Combien de facteurs y a-t-il au total ?
C'est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux multiplicateurs, et le total est des multiplicateurs.
Mais par définition, c'est le degré d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire comme il faut le prouver.
Exemple: Simplifier l'expression.
Solution:
Exemple: Simplifiez l'expression.
Solution: Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doit avoir les mêmes bases !
Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais reste un facteur distinct :
juste pour le produit des degrés !
Vous ne pouvez en aucun cas écrire cela.
2.c'est-à-dire -ième puissance d'un nombre
Comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :
Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ième puissance du nombre :
Essentiellement, cela peut être appelé « encadrer l'indicateur ». Mais vous ne devriez jamais faire cela au total :
Rappelons-nous les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?
Mais ce n'est pas vrai, après tout.
Diplôme avec base négative
Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de ce que devrait être l'exposant.
Mais quelle doit être la base ?
En degrés avec indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre... En effet, nous pouvons multiplier n'importe quels nombres les uns par les autres, qu'ils soient positifs, négatifs ou même.
Pensons à quels signes ("" ou "") auront des pouvoirs de nombres positifs et négatifs ?
Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? UNE? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que nous multiplions les uns par les autres, le résultat sera positif.
Mais le négatif est un peu plus intéressant. Après tout, nous nous souvenons d'une règle simple de la 6e année: "moins par moins donne un plus". C'est, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.
Déterminez par vous-même quel signe auront les expressions suivantes :
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
as-tu réussi ?
Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant et appliquons la règle appropriée.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît : peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.
Eh bien, à moins que la base ne soit zéro. La fondation n'est pas égale, n'est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).
Exemple 6) n'est plus si facile !
6 exemples pour s'entraîner
Analyser la solution 6 exemples
A part le huitième degré, que voyons-nous ici ? Nous rappelons le programme de 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence de carrés ! On a:
Nous examinons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des multiplicateurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. Si elles devaient être inversées, la règle pourrait être appliquée.
Mais comment faire ça ? Cela s'avère très facile : un degré pair du dénominateur nous aide ici.
Les termes sont magiquement inversés. Ce "phénomène" est applicable à toute expression à degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses.
Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!
Revenons à l'exemple :
Et encore la formule :
Entier nous appelons les nombres naturels opposés à eux (c'est-à-dire pris avec le signe "") et le nombre.
entier positif, mais ce n'est pas différent de naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.
Voyons maintenant quelques nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.
Tout nombre dans le degré zéro est égal à un:
Comme toujours, posons-nous la question : pourquoi en est-il ainsi ?
Considérez un certain degré avec une base. Prenez, par exemple, et multipliez par :
Donc, nous avons multiplié le nombre par, et nous avons obtenu le même qu'il était -. Et quel nombre doit-on multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, sur. Moyens.
On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :
Répétons la règle :
Tout nombre dans le degré zéro est égal à un.
Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).
D'une part, il devrait être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez par vous-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d'un autre côté, comme tout nombre au degré zéro, il doit être égal. Alors qu'est-ce qui est vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s'impliquer et ont refusé d'élever de zéro à zéro. C'est-à-dire que maintenant nous ne pouvons pas seulement diviser par zéro, mais aussi l'élever à une puissance nulle.
Allons plus loin. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres négatifs appartiennent aux entiers. Pour comprendre ce qu'est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multiplions un nombre normal par la même puissance négative :
À partir de là, il est déjà facile d'exprimer ce que vous recherchez :
Nous allons maintenant étendre la règle résultante à un degré arbitraire :
Alors, formulons une règle :
Un nombre à la puissance négative est l'inverse du même nombre à la puissance positive. Mais en même temps la base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).
Résumons :
I. Expression non précisée en cas. Si donc.
II. Tout nombre au degré zéro est égal à un :.
III. Un nombre différent de zéro est en puissance négative inverse du même nombre en puissance positive :.
Tâches pour une solution indépendante :
Eh bien, et, comme d'habitude, des exemples pour une solution indépendante :
Analyse des tâches pour une solution indépendante :
Je sais, je sais, les chiffres sont terribles, mais à l'examen, il faut être prêt à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leur solution si vous n'avez pas pu les résoudre et vous apprendrez à les gérer facilement à l'examen !
Continuons à élargir le cercle des nombres "appropriés" en tant qu'exposant.
Considérez maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont dits rationnels ?
Réponse : tout ce qui peut être représenté sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers d'ailleurs.
Pour comprendre ce qu'est Degré fractionnaire, considérons la fraction :
Élevons les deux côtés de l'équation à la puissance :
Rappelons maintenant la règle concernant "Degré à degré":
Quel nombre doit être élevé à une puissance pour obtenir ?
Cette formulation est la définition de la racine ième.
Permettez-moi de vous rappeler : la racine de la ième puissance d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.
C'est-à-dire que la racine de la puissance -ième est l'opération inverse de l'exponentiation :.
Il se trouve que. Évidemment, ce cas particulier peut être étendu :.
Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facilement obtenue en utilisant la règle de degré à degré :
Mais la base peut-elle être n'importe quel nombre ? Après tout, la racine ne peut pas être extraite de tous les nombres.
Rien!
Rappelez-vous la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. C'est-à-dire que vous ne pouvez pas extraire des racines de degré pair à partir de nombres négatifs !
Et cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.
Qu'en est-il de l'expression ?
Mais c'est là que le problème se pose.
Le nombre peut être représenté par d'autres fractions annulables, par exemple, ou.
Et il s'avère qu'il existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.
Ou un autre exemple : une fois, alors vous pouvez écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur d'une manière différente, et encore une fois, nous obtenons une nuisance : (c'est-à-dire que nous avons un résultat complètement différent !).
Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons seule base positive avec exposant fractionnaire.
Donc si:
- - entier naturel;
- - un nombre entier;
Exemples:
Les exposants rationnels sont très utiles pour convertir des expressions enracinées, par exemple :
5 exemples pour s'entraîner
Analyse de 5 exemples pour la formation
Et maintenant le plus dur. Nous allons maintenant analyser note irrationnelle.
Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception de
En effet, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les rationnels).
Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, global et rationnel, nous avons à chaque fois inventé une sorte d'"image", d'"analogie" ou de description en termes plus familiers.
Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;
...nombre à zéro degré- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à se multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas apparu - donc, le résultat n'est qu'une sorte de " nombre blanc ", à savoir le numéro ;
...exposant entier négatif- c'était comme si une sorte de "processus inverse" avait eu lieu, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.
À propos, en sciences, un diplôme avec un indicateur complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel.
Mais à l'école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.
O NOUS SOMMES SRS QUE VOUS ALLEZ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))
Par exemple:
Décider vous-même:
Analyse des solutions :
1. Commençons par la règle déjà habituelle pour élever une puissance à une puissance :
Regardez maintenant l'indicateur. Est-ce qu'il vous rappelle quelque chose ? On rappelle la formule de multiplication abrégée, la différence des carrés :
Dans ce cas,
Il se trouve que:
Réponse: .
2. On ramène les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. Prenons par exemple :
Réponse : 16
3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :
NIVEAU AVANCÉ
Détermination du diplôme
Un diplôme est une expression de la forme :, où :
- — base du diplôme;
- - exposant.
Degré avec exposant naturel (n = 1, 2, 3, ...)
Élever un nombre à une puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :
Degré entier (0, ± 1, ± 2, ...)
Si l'exposant est tout positif numéro:
Érection à zéro degré:
L'expression est indéfinie, car, d'une part, à tout degré - ceci, et d'autre part - tout nombre au ième degré - ceci.
Si l'exposant est négatif entier numéro:
(parce que vous ne pouvez pas diviser par).
Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie en cas. Si donc.
Exemples:
Note rationnelle
- - entier naturel;
- - un nombre entier;
Exemples:
Propriétés de puissance
Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d'où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.
Voyons : qu'est-ce que et ?
Un prieuré :
Ainsi, du côté droit de cette expression, nous obtenons le produit suivant :
Mais par définition, c'est le degré d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :
C.Q.D.
Exemple : Simplifier l'expression.
Solution : .
Exemple : Simplifier l'expression.
Solution : Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doit avoir les mêmes bases. Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais reste un facteur distinct :
Autre remarque importante : cette règle est - seulement pour le produit des degrés!
Je ne devrais en aucun cas écrire cela.
Comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :
Réorganisons cette pièce comme ceci :
Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ième puissance du nombre :
Essentiellement, cela peut être appelé « encadrer l'indicateur ». Mais vous ne devriez jamais faire cela au total : !
Rappelons-nous les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n'est pas vrai, après tout.
Un diplôme avec une base négative.
Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de la façon dont il devrait être indice degré. Mais quelle doit être la base ? En degrés avec Naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .
En effet, nous pouvons multiplier n'importe quels nombres les uns par les autres, qu'ils soient positifs, négatifs ou même. Pensons à quels signes ("" ou "") auront des pouvoirs de nombres positifs et négatifs ?
Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? UNE? ?
Avec le premier, tout est clair : peu importe combien de nombres positifs nous multiplions les uns par les autres, le résultat sera positif.
Mais le négatif est un peu plus intéressant. Après tout, nous nous souvenons d'une règle simple de la 6e année: "moins par moins donne un plus". C'est, ou. Mais si nous multiplions par (), nous obtenons -.
Et ainsi de suite jusqu'à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Vous pouvez formuler de telles règles simples :
- même degré, - nombre positif.
- Nombre négatif porté à impair degré, - nombre négatif.
- Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
- Zéro à n'importe quelle puissance est égal à zéro.
Déterminez par vous-même quel signe auront les expressions suivantes :
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
as-tu réussi ? Voici les réponses :
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant et appliquons la règle appropriée.
Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît : peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Eh bien, à moins que la base ne soit zéro. La fondation n'est pas égale, n'est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).
Exemple 6) n'est plus si simple. Ici, vous devez découvrir ce qui est le moins : ou ? Si vous vous en souvenez, il devient clair que, et par conséquent, la base est inférieure à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.
Et encore une fois, nous utilisons la définition de degré :
Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des degrés et, les divisons les uns dans les autres, les divisons en paires et obtenons:
Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.
Calculez les valeurs des expressions :
Solutions :
A part le huitième degré, que voyons-nous ici ? Nous rappelons le programme de 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence de carrés !
On a:
Nous examinons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des multiplicateurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. S'ils étaient intervertis, on pourrait appliquer la règle 3. Mais comment faire ? Cela s'avère très facile : un degré pair du dénominateur nous aide ici.
Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant il s'avère ce qui suit :
Les termes sont magiquement inversés. Ce "phénomène" est applicable à toute expression à degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps ! On ne peut pas le remplacer en changeant un seul inconvénient dont on ne veut pas !
Revenons à l'exemple :
Et encore la formule :
Alors maintenant la dernière règle :
Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d'habitude : développons la notion de diplôme et simplifions :
Ouvrons maintenant les crochets. Combien de lettres y aura-t-il ? fois par multiplicateurs - à quoi cela ressemble-t-il ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: il n'y avait que des multiplicateurs. C'est, par définition, le degré d'un nombre avec un exposant :
Exemple:
Note irrationnelle
En plus des informations sur les degrés pour le niveau intermédiaire, voici le degré avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (qui c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf rationnels).
Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, global et rationnel, nous avons à chaque fois inventé une sorte d'"image", d'"analogie" ou de description en termes plus familiers. Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre au degré zéro est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - par conséquent, le résultat n'est qu'un sorte de « numéro vierge », à savoir le numéro ; un degré avec un exposant entier négatif est comme si une sorte de "processus inverse" avait eu lieu, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.
Il est extrêmement difficile d'imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d'imaginer un espace à 4 dimensions). C'est plutôt un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre le concept de degré à tout l'espace des nombres.
À propos, en sciences, un diplôme avec un indicateur complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel. Mais à l'école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.
Alors, que faisons-nous lorsque nous voyons un exposant irrationnel ? Nous essayons de toutes nos forces de nous en débarrasser ! :)
Par exemple:
Décider vous-même:
| 1) | 2) | 3) |
Réponses:
- On rappelle la formule de la différence des carrés. Réponse: .
- Nous ramenons les fractions sous la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :.
- Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :
RÉSUMÉ DE LA SECTION ET DES FORMULES DE BASE
Degré est appelée une expression de la forme :, où :
Degré entier
degré, dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire un nombre entier et positif).
Note rationnelle
degré, dont l'exposant est un nombre négatif et fractionnaire.
Note irrationnelle
degré, dont l'exposant est une fraction ou racine décimale infinie.
Propriétés de puissance
Caractéristiques des diplômes.
- Nombre négatif porté à même degré, - nombre positif.
- Nombre négatif porté à impair degré, - nombre négatif.
- Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
- Zéro est égal à n'importe quel degré.
- Tout nombre au degré zéro est égal.
MAINTENANT VOTRE PAROLE...
Comment aimez-vous l'article? Notez dans les commentaires si cela vous a plu ou non.
Parlez-nous de votre expérience avec les propriétés de diplôme.
Vous avez peut-être des questions. Ou des suggestions.
Écrivez dans les commentaires.
Et bonne chance pour tes examens !
Formules de puissance sont utilisés dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.
Nombre c est un m-ième puissance du nombre une lorsque:
Opérations avec diplômes.
1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'additionnent :
suisUn n = un m + n.
2. Dans la division des degrés avec la même base, leurs indicateurs sont soustraits:
3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :
(abc ...) n = un n b n c n ...
4. La puissance d'une fraction est égale au rapport des puissances du dividende et du diviseur :
(a / b) n = a n / b n.
5. En élevant d'un degré à un degré, les exposants sont multipliés :
(un m) n = un m n.
Chacune des formules ci-dessus est vraie de gauche à droite et vice versa.
Par exemple. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.
Opérations racine.
1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :
2. La racine de la relation est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :
3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre de racine à cette puissance :
4. Si vous augmentez le degré de la racine dans m une fois et en même temps intégré m-ième puissance du nombre racine, alors la valeur racine ne changera pas :
5. Si vous réduisez le degré de la racine dans m une fois et en même temps extraire la racine m-ième puissance du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :
Degré avec exposant négatif. La puissance d'un nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme une unité divisée par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant non positif :
Formule suis: un n = un m - n peut être utilisé non seulement pour m> m, mais aussi à m< m.
Par exemple. une4: un 7 = un 4 - 7 = un -3.
Pour que la formule suis: un n = un m - n est devenu juste quand m = n, la présence du zéro degré est nécessaire.
Niveau zéro. La puissance de tout nombre non nul avec un exposant nul est égale à un.
Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Exposant fractionnaire. Pour ériger un vrai numéro une au degré m/n, vous devez extraire la racine m-ème degré de m-ième puissance de ce nombre une.
Évidemment, des nombres avec des puissances peuvent être ajoutés, comme d'autres quantités , en les ajoutant un à un avec leurs signes.
Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2.
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4.
Chances les mêmes degrés des mêmes variables peut être ajouté ou soustrait.
Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est 5a 2.
Il est également évident que si vous prenez deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.
Mais les diplômes différentes variables et divers degrés variables identiques, doivent être ajoutés par leur addition avec leurs signes.
Ainsi, la somme d'un 2 et d'un 3 est la somme d'un 2 + un 3.
Il est évident que le carré de a, et le cube de a, n'est pas égal au double du carré de a, mais au double du cube de a.
La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6.
Soustraction degrés s'effectue de la même manière que l'addition, sauf que les signes de la soustraction doivent être modifiés en conséquence.
Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Multiplication de degrés
Les nombres avec des puissances peuvent être multipliés, comme d'autres quantités, en les écrivant l'un après l'autre, avec ou sans signe de multiplication entre eux.
Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.
Ou:
x -3 un m = un m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant les mêmes variables.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3.
En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à la somme degrés de termes.
Donc, un 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = un 5.
Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.
Donc, un n .a m = un m + n.
Pour a n, a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n est égale ;
Et a m est pris comme facteur autant de fois que l'est la puissance de m ;
C'est pourquoi, degrés avec les mêmes tiges peuvent être multipliés en ajoutant les exposants.
Donc, un 2 .a 6 = un 2 + 6 = un 8. Et x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Ou:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Multiplier (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multiplier (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).
Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont - négatif.
1. Donc, un -2 .a -3 = un -5. Cela peut être écrit comme (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n-m.
3.a -n .a m = a m-n.
Si a + b est multiplié par a - b, le résultat est a 2 - b 2 : c'est-à-dire
Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme ou à la différence de leurs carrés.
Si la somme et la différence de deux nombres portés à carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans Quatrième degré.
Donc, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Division des diplômes
Les nombres de puissance peuvent être divisés, comme les autres nombres, en soustrayant du diviseur ou en les plaçant sous forme fractionnaire.
Donc a 3 b 2 divisé par b 2 est égal à 3.
Ou:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $
La notation a 5 divisé par un 3 ressemble à $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Mais c'est égal à 2. Dans une série de nombres
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence exposants des nombres divisibles.
Lors de la division des degrés avec la même base, leurs indicateurs sont soustraits..
Donc, y 3 : y 2 = y 3-2 = y 1. C'est-à-dire que $ \ frac (yyy) (yy) = y $.
Et un n + 1 : a = un n + 1-1 = un n. Autrement dit, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.
Ou:
y 2m : y m = y m
8a n + m : 4a m = 2a n
12 (b + y) n : 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
La règle est également vraie pour les nombres avec négatif les valeurs des degrés.
Le résultat de la division d'un -5 par un -3 est un -2.
Aussi, $ \ frac (1) (aaaaa) : \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (a) $.
h 2 : h -1 = h 2 + 1 = h 3 ou $ h ^ 2 : \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $
Il est nécessaire de très bien maîtriser la multiplication et la division des degrés, car de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.
Exemples d'exemples de résolution avec des fractions contenant des nombres avec des puissances
1. Diminuer les exposants en $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Réponse : $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.
2. Diminuer les exposants en $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Réponse : $ \ frac (2x) (1) $ ou 2x.
3. Diminuer les exposants a 2 / a 3 et a -3 / a -4 et les ramener au dénominateur commun.
a 2 .a -4 est un -2 premier numérateur.
a 3 .a -3 est un 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est un -1, le numérateur commun.
Après simplification : a -2 / a -1 et 1 / a -1.
4. Diminuer les exposants 2a 4 / 5a 3 et 2 / a 4 et les ramener au dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 / 5a 7 et 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 et 5 / 5a 2.
5. Multipliez (a 3 + b) / b 4 par (a - b) / 3.
6. Multipliez (a 5 + 1) / x 2 par (b 2 - 1) / (x + a).
7. Multipliez b 4 / a -2 par h -3 / x et a n / y -3.
8. Divisez un 4 / y 3 par un 3 / y 2. Réponse : a/y.
9. Divisez (h 3 - 1) / d 4 par (d n + 1) / h.
Ajouter et soustraire des puissances
Évidemment, des nombres avec des puissances peuvent être ajoutés, comme d'autres quantités , en les ajoutant un à un avec leurs signes.
Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2.
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4.
Chances les mêmes degrés des mêmes variables peut être ajouté ou soustrait.
Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est 5a 2.
Il est également évident que si vous prenez deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.
Mais les diplômes différentes variables et divers degrés variables identiques, doivent être ajoutés par leur addition avec leurs signes.
Ainsi, la somme d'un 2 et d'un 3 est la somme d'un 2 + un 3.
Il est évident que le carré de a, et le cube de a, n'est pas égal au double du carré de a, mais au double du cube de a.
La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6.
Soustraction degrés s'effectue de la même manière que l'addition, sauf que les signes de la soustraction doivent être modifiés en conséquence.
Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Multiplication de degrés
Les nombres avec des puissances peuvent être multipliés, comme d'autres quantités, en les écrivant l'un après l'autre, avec ou sans signe de multiplication entre eux.
Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.
Ou:
x -3 ⋅ un m = un m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant les mêmes variables.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3.
En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à la somme degrés de termes.
Donc, un 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = un 5.
Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.
Donc, un n .a m = un m + n.
Pour a n, a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n est égale ;
Et a m est pris comme facteur autant de fois que l'est la puissance de m ;
C'est pourquoi, degrés avec les mêmes tiges peuvent être multipliés en ajoutant les exposants.
Donc, un 2 .a 6 = un 2 + 6 = un 8. Et x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Ou:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Multiplier (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multiplier (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).
Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont - négatif.
1. Donc, un -2 .a -3 = un -5. Cela peut être écrit comme (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n-m.
3.a -n .a m = a m-n.
Si a + b est multiplié par a - b, le résultat est a 2 - b 2 : c'est-à-dire
Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme ou à la différence de leurs carrés.
Si la somme et la différence de deux nombres portés à carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans Quatrième degré.
Donc, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Division des diplômes
Les nombres de puissance peuvent être divisés, comme les autres nombres, en soustrayant du diviseur ou en les plaçant sous forme fractionnaire.
Donc a 3 b 2 divisé par b 2 est égal à 3.
Un 5 divisé par un 3 ressemble à $ \ frac $. Mais c'est égal à 2. Dans une série de nombres
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence exposants des nombres divisibles.
Lors de la division des degrés avec la même base, leurs indicateurs sont soustraits..
Donc, y 3 : y 2 = y 3-2 = y 1. C'est-à-dire $ \ frac = y $.
Et un n + 1 : a = un n + 1-1 = un n. C'est-à-dire que $ \ frac = a ^ n $.
Ou:
y 2m : y m = y m
8a n + m : 4a m = 2a n
12 (b + y) n : 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
La règle est également vraie pour les nombres avec négatif les valeurs des degrés.
Le résultat de la division d'un -5 par un -3 est un -2.
Aussi, $ \ frac : \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.
h 2 : h -1 = h 2 + 1 = h 3 ou $ h ^ 2 : \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $
Il est nécessaire de très bien maîtriser la multiplication et la division des degrés, car de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.
Exemples d'exemples de résolution avec des fractions contenant des nombres avec des puissances
1. Diminuer les exposants dans $ \ frac $ Réponse : $ \ frac $.
2. Diminuer les exposants dans $ \ frac $. Réponse : $ \ frac $ ou 2x.
3. Diminuer les exposants a 2 / a 3 et a -3 / a -4 et les ramener au dénominateur commun.
a 2 .a -4 est un premier numérateur -2.
a 3 .a -3 est un 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est un -1, le numérateur commun.
Après simplification : a -2 / a -1 et 1 / a -1.
4. Diminuer les exposants 2a 4 / 5a 3 et 2 / a 4 et les ramener au dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 / 5a 7 et 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 et 5 / 5a 2.
5. Multipliez (a 3 + b) / b 4 par (a - b) / 3.
6. Multipliez (a 5 + 1) / x 2 par (b 2 - 1) / (x + a).
7. Multipliez b 4 / a -2 par h -3 / x et a n / y -3.
8. Divisez un 4 / y 3 par un 3 / y 2. Réponse : a/y.
Propriétés du diplôme
Nous vous rappelons que cette leçon comprend propriétés de puissance avec des indicateurs naturels et zéro. Les diplômes rationnels et leurs propriétés seront abordés dans les leçons de 8e année.
Un exposant naturel a plusieurs propriétés importantes qui le rendent plus facile à calculer dans les exemples d'exposant.
Numéro de propriété 1
Produit des degrés
Lors de la multiplication de degrés avec les mêmes bases, la base reste inchangée et les exposants sont ajoutés.
a m · a n = a m + n, où "a" est un nombre quelconque, et "m", "n" sont des nombres naturels quelconques.
Cette propriété des degrés affecte également le produit de trois degrés ou plus.
- Simplifiez l'expression.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Présenté sous forme de diplôme.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Présenté sous forme de diplôme.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Ecrire le quotient en degré
(2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2 - Calculer.
Veuillez noter que dans la propriété spécifiée, il ne s'agissait que de la multiplication des pouvoirs avec les mêmes bases.... Elle ne s'applique pas à leur ajout.
Vous ne pouvez pas remplacer le montant (3 3 + 3 2) par 3 5. C'est compréhensible si
compte (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 et 3 5 = 243
Numéro de propriété 2
Diplômes privés
Lors de la division des degrés avec les mêmes bases, la base reste inchangée et l'exposant du diviseur est soustrait de l'exposant du dividende.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemple. Résous l'équation. Nous utilisons la propriété des diplômes privés.
3 8 : t = 3 4
Réponse : t = 3 4 = 81
En utilisant les propriétés #1 et #2, vous pouvez facilement simplifier les expressions et effectuer des calculs.
Exemple. Simplifiez l'expression.
4 5m + 6 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
Exemple. Trouvez la valeur d'une expression en utilisant les propriétés du degré.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Notez que la propriété 2 ne concernait que la division des degrés avec les mêmes bases.
Vous ne pouvez pas remplacer la différence (4 3 −4 2) par 4 1. Ceci est compréhensible si l'on calcule (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48, et 4 1 = 4
Numéro de propriété 3
Exponentiation
Lors de l'élévation d'un degré à une puissance, la base du degré reste inchangée et les exposants sont multipliés.
(a n) m = a n · m, où "a" est un nombre quelconque, et "m", "n" sont des nombres naturels quelconques.
Nous vous rappelons que le quotient peut être représenté comme une fraction. Par conséquent, nous nous attarderons sur le sujet de l'élévation d'une fraction à une puissance plus en détail à la page suivante.
Comment multiplier les degrés
Comment multiplier les degrés ? Quels degrés peuvent être multipliés et lesquels ne le peuvent pas ? Comment multiplier un nombre par un degré ?
En algèbre, le produit des degrés peut être trouvé dans deux cas :
1) si les degrés ont les mêmes bases ;
2) si les degrés ont les mêmes indicateurs.
Lors de la multiplication de degrés avec les mêmes bases, la base doit rester la même et les indicateurs doivent être ajoutés :
En multipliant les degrés avec les mêmes indicateurs, l'indicateur total peut être retiré des parenthèses :
Voyons comment multiplier les degrés à l'aide d'exemples spécifiques.
L'unité dans l'exposant n'est pas écrite, mais lorsque les degrés sont multipliés, ils prennent en compte :
Lors de la multiplication, le nombre de degrés peut être quelconque. Il ne faut pas oublier qu'il n'est pas nécessaire d'écrire le signe de multiplication avant la lettre :
Dans les expressions, l'exponentiation est effectuée en premier.
Si vous devez multiplier un nombre par une puissance, vous devez d'abord effectuer l'exponentiation, puis seulement la multiplication :
Multiplication de pouvoirs avec les mêmes bases
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Dans cette leçon, nous étudierons la multiplication des degrés avec la même base. Tout d'abord, rappelez la définition du degré et formulez un théorème sur la validité de l'égalité ... Ensuite, nous donnons des exemples de son application sur des nombres spécifiques et le prouvons. Nous appliquerons également le théorème pour résoudre divers problèmes.
Sujet : Degré avec un indicateur naturel et ses propriétés
Leçon : Multiplier des degrés avec la même base (formule)
1. Définitions de base
Définitions basiques:
m- exposant,
— m-ième puissance d'un nombre.
2. Énoncé du théorème 1
Théorème 1. Pour n'importe quel nombre une et tout naturel m et k l'égalité est vraie :
D'une manière différente : si une- n'importe quel chiffre; m et k nombres naturels, alors :
D'où la règle 1 :
3. Tâches explicatives
Sortir: des cas particuliers ont confirmé l'exactitude du théorème n° 1. On le prouve dans le cas général, c'est-à-dire pour tout une et tout naturel m et k.
4. Preuve du théorème 1
Étant donné un nombre une- tout; les nombres m et k - Naturel. Prouver:
La preuve est basée sur la définition du diplôme.
5. Solution d'exemples utilisant le théorème 1
Exemple 1: Considérez-le comme un diplôme.
Pour résoudre les exemples suivants, nous utilisons le théorème 1.
g) 
6. Généralisation du théorème 1
Voici une généralisation utilisée :
7. Solution d'exemples utilisant une généralisation du théorème 1
8. Résoudre divers problèmes à l'aide du théorème 1
Exemple 2 : Calculer (vous pouvez utiliser le tableau des diplômes de base).
une) 
(selon le tableau)
b) 
Exemple 3 :Écrivez-le comme une puissance avec la base 2.
une) 
Exemple 4 : Déterminer le signe du nombre :
, une - négatif, puisque l'exposant à -13 est impair.
Exemple 5 : Remplacez () par une puissance de base r :
Nous avons, c'est.
9. Résumé
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et autres Algèbre 7. 6e édition. M. : Éducation. 2010 r.
1. Assistant scolaire (Source).
1. Présenter en tant que diplôme :
a B C D E) 
3. Ecrivez-le sous forme de puissance de base 2 :
4. Déterminez le signe du nombre :
une) 
5. Remplacer (·) par une puissance d'un nombre de base r :
a) r 4 · (·) = r 15; b) () r 5 = r 6
Multiplication et division des degrés avec les mêmes indicateurs
Dans cette leçon, nous étudierons la multiplication des degrés avec les mêmes exposants. Rappelons d'abord les définitions et théorèmes de base sur la multiplication et la division des puissances avec les mêmes bases et l'élévation d'une puissance à une puissance. Ensuite, nous formulons et démontrons des théorèmes sur la multiplication et la division des degrés avec les mêmes exposants. Et puis, avec leur aide, nous résoudrons un certain nombre de problèmes typiques.
Rappel des définitions et théorèmes de base
Ici une- la base du diplôme,
— m-ième puissance d'un nombre.
Théorème 1. Pour n'importe quel nombre une et tout naturel m et k l'égalité est vraie :
En multipliant les degrés avec les mêmes bases, les indicateurs sont ajoutés, la base reste inchangée.
Théorème 2. Pour n'importe quel nombre une et tout naturel m et k, tel que m > k l'égalité est vraie :
Lors de la division des degrés avec les mêmes bases, les indicateurs sont soustraits et la base reste inchangée.
Théorème 3. Pour n'importe quel nombre une et tout naturel m et k l'égalité est vraie :
Tous les théorèmes ci-dessus concernaient des degrés avec le même terrains, cette leçon examinera les diplômes avec le même indicateurs.
Exemples de multiplication de diplômes avec les mêmes indicateurs
Considérez les exemples suivants :
Écrivons des expressions pour déterminer le degré.
Sortir: d'après les exemples, vous pouvez voir que 
, mais cela reste à prouver. Formulons un théorème et prouvons-le dans le cas général, c'est-à-dire pour tout une et b et tout naturel n.m.
Formulation et preuve du théorème 4
Pour tous les nombres une et b et tout naturel m l'égalité est vraie :
Preuve Théorème 4 .
Par définition du diplôme :
Ainsi, nous avons prouvé que .
Pour multiplier les degrés avec les mêmes indicateurs, il suffit de multiplier les bases, et de laisser l'exposant inchangé.
Formulation et preuve du théorème 5
Formulons un théorème pour diviser les degrés avec les mêmes exposants.
Pour n'importe quel nombre une et b () et tout naturel m l'égalité est vraie :
Preuve Théorème 5 .
Notons et par définition du diplôme :
Formuler des théorèmes en mots
Donc, nous l'avons prouvé.
Pour diviser les degrés avec les mêmes indicateurs les uns dans les autres, il suffit de diviser une base par une autre et de laisser l'exposant inchangé.
Résoudre des problèmes typiques à l'aide du théorème 4
Exemple 1: Présent comme un produit de degrés.
Pour résoudre les exemples suivants, nous utilisons le théorème 4.
Pour résoudre l'exemple suivant, rappelez les formules :
Généralisation du théorème 4
Généralisation du théorème 4 :
Solution d'exemples utilisant le théorème généralisé 4
Continuation de la résolution des tâches typiques
Exemple 2 : Notez-le comme le degré du travail.
Exemple 3 :Écrivez-le sous forme de puissance avec un exposant de 2.
Exemples de calcul
Exemple 4 : Calculez de la manière la plus rationnelle.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algèbre 7.M. : VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.Ye. et autres.Algèbre 7. M.: Enlightenment. année 2006
2. Assistant scolaire (Source).
1. Présenter comme un produit de degrés :
une) ; b); v) ; G) ;
2. Notez le degré du travail :
3. Écrivez-le sous forme de puissance avec un exposant de 2 :
4. Calculez de la manière la plus rationnelle.
Leçon de mathématiques sur le thème "Multiplication et division des degrés"
Sections: Mathématiques
Finalité pédagogique:
Tâches:
Unités d'apprentissage de l'activité : détermination du diplôme avec un indicateur naturel; composantes du diplôme; définition du privé ; loi de combinaison de multiplication.
I. Organisation de démonstration de maîtrise par les étudiants des connaissances existantes. (étape 1)
a) Actualisation des connaissances :
2) Formuler la définition du diplôme avec un indicateur naturel.
a n = a a a a ... a (n fois)
b k = b b b b a… b (k fois) Justifie la réponse.
II. Organisation de l'auto-évaluation de l'étudiant par le degré de maîtrise de l'expérience vécue. (étape 2)
Test d'autocontrôle : (travail individuel en deux versions.)
A1) Présenter le produit 7 7 7 7 x x x comme une puissance :
A2) Présenter comme produit le degré (-3) 3 x 2
A3) Calculer : -2 3 2 + 4 5 3
Je sélectionne le nombre de tâches dans le test en fonction de la préparation du niveau de classe.
Je donne la clé pour l'auto-test au test. Critères : tester - pas tester.
III. Tâche pédagogique et pratique (étape 3) + étape 4. (les élèves formuleront eux-mêmes les propriétés)
Au cours de la résolution des problèmes 1) et 2), les élèves proposent une solution, et moi, en tant qu'enseignant, j'organise la classe pour trouver un moyen de simplifier les degrés en multipliant avec les mêmes bases.
Enseignant : Trouvez un moyen de simplifier les degrés en multipliant avec les mêmes bases.
Une entrée apparaît sur le cluster :
Le sujet de la leçon est formulé. Multiplication des degrés.
Enseignant : inventez une règle pour diviser les degrés avec les mêmes bases.
Raisonnement : par quelle action la division est-elle vérifiée ? un 5 : un 3 =? qu'un 2 un 3 = un 5
Je reviens au diagramme - un cluster et complète l'enregistrement - .. lors de la division, nous soustrayons et ajoutons le sujet de la leçon. ... et la division des degrés.
IV. Communiquer les limites des connaissances aux étudiants (au moins et au maximum).
Enseignant : la tâche du minimum pour la leçon d'aujourd'hui est d'apprendre à appliquer les propriétés de multiplication et de division des degrés avec les mêmes bases, et le maximum : d'appliquer la multiplication et la division ensemble.
Ecrivez au tableau : un m un n = un m + n; un m : un n = un m-n
V. Organisation de l'étude du nouveau matériel. (étape 5)
a) Selon le manuel : n° 403 (a, c, e) tâches avec une formulation différente
N° 404 (a, e, f) travail indépendant, alors j'organiserai un contrôle mutuel, remettrai les clés.
b) Pour quelle valeur de m l'égalité est-elle vraie ? un 16 un m = un 32 ; x h x 14 = x 28 ; x 8 (*) = x 14
Devoir : proposez des exemples similaires pour la division.
c) n° 417 (a), n° 418 (a) Pièges étudiants: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; un 16 : un 8 = un 2.
Vi. Généralisation de ce qui a été appris, réalisation d'un travail de diagnostic (qui incite les élèves, et non un enseignant, à étudier ce sujet) (étape 6)
Travail diagnostique.
Test(placez les clés au dos du test).
Options pour les devoirs : présenter le quotient sous la forme d'un degré x 15 : x 3 ; représenter le produit comme une puissance (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; pour quoi m l'égalité a 16 et m = a 32 est vraie ; trouver la valeur de l'expression h 0 : h 2 à h = 0,2 ; calculer la valeur de l'expression (5 2 5 0): 5 2.
Résumé de la leçon. Réflexion. Je divise la classe en deux groupes.
Trouvez des arguments groupe I : en faveur de la connaissance des propriétés du degré, et groupe II - des arguments qui diront que vous pouvez vous passer des propriétés. Nous écoutons toutes les réponses, tirons des conclusions. Dans les leçons suivantes, vous pouvez proposer des données statistiques et appeler la rubrique "Ma tête ne rentre pas!"
VII. Devoirs.
Référence historique. Quels nombres sont appelés nombres de Fermat.
A.19. n° 403, n° 408, n° 417
Livres d'occasion :
Propriétés des degrés, formulations, preuves, exemples.
Une fois le degré du nombre déterminé, il est logique de parler de propriétés du diplôme... Dans cet article, nous allons donner les propriétés de base du degré d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous donnerons des preuves de toutes les propriétés du degré et montrerons également comment ces propriétés sont appliquées dans la résolution d'exemples.
Navigation dans les pages.
Propriétés des exposants naturels
Par définition d'un degré à exposant naturel, le degré a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Sur la base de cette définition, ainsi que de l'utilisation propriétés de multiplication réelles, vous pouvez obtenir et justifier ce qui suit propriétés de qualité d'exposant naturel:
- si a> 0, alors a n> 0 pour tout n naturel ;
- si a = 0, alors a n = 0 ;
- si a 2 m > 0, si a 2 m − 1 n ;
- si m et n sont des entiers naturels tels que m> n, alors pour 0m n, et pour a> 0 l'inégalité a m> a n est vraie.
- un m un n = un m + n;
- un m : un n = un m − n ;
- (a b) n = a n b n;
- (a : b) n = a n : b n ;
- (un m) n = un m n;
- si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a n n et a - n > b - n ;
- si m et n sont des entiers, et m> n, alors pour 0m n, et pour a> 1, l'inégalité a m> a n est vérifiée.
Remarquons tout de suite que toutes les égalités notées sont identique sous réserve des conditions spécifiées, et leurs parties droite et gauche peuvent être échangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m a n = a m + n pour simplification des expressions souvent utilisé comme a m + n = a m a n.
Voyons maintenant chacun d'eux en détail.
Commençons par la propriété d'un produit de deux degrés avec les mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m · a n = a m + n est vraie.
Démontrons la propriété principale du degré. Par la définition d'un degré avec un exposant naturel, le produit des degrés avec les mêmes bases de la forme a m a n peut être écrit comme le produit 
... En raison des propriétés de multiplication, l'expression résultante peut être écrite comme 
, et ce produit est la puissance du nombre a d'exposant naturel m + n, c'est-à-dire a m + n. Ceci termine la preuve.
Donnons un exemple qui confirme la propriété principale du diplôme. Prenons les degrés avec les mêmes bases 2 et les degrés naturels 2 et 3, selon la propriété de base du degré, on peut écrire l'égalité 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5. Vérifions sa validité, pour laquelle nous calculons les valeurs des expressions 2 2 · 2 3 et 2 5. En exponentielle, nous avons 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 et 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32, puisque nous obtenons des valeurs égales, alors l'égalité 2 2 · 2 3 = 2 5 est vrai, et il confirme la propriété principale du diplôme.
La propriété principale du degré basée sur les propriétés de multiplication peut être généralisée au produit de trois degrés ou plus avec les mêmes bases et exposants naturels. Donc pour tout nombre k d'entiers naturels n 1, n 2,…, n k, l'égalité a n 1 · a n 2 ·… · a n k = a n 1 + n 2 +… + n k est vraie.
Par exemple, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 = (2.1) 17.
Vous pouvez passer à la propriété suivante des degrés avec un exposant naturel - propriété de diplômes privés avec les mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n satisfaisant la condition m > n, l'égalité a m est vraie : a n = a m − n.
Avant de prouver cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans la formulation. La condition a ≠ 0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n = 0, et lorsque nous nous sommes familiarisés avec la division, nous avons convenu qu'on ne peut pas diviser par zéro. La condition m > n est introduite pour que l'on ne dépasse pas les exposants naturels. En effet, pour m> n, l'exposant am − n est un nombre naturel, sinon ce sera soit zéro (ce qui arrive pour m − n) soit un nombre négatif (ce qui arrive quand mm − n an = a (m − n) + n = am De l'égalité obtenue am − n · an = am et du lien entre multiplication et division, il s'ensuit que am − n est un quotient des degrés am et an, ce qui prouve la propriété des quotients de bases identiques.
Donnons un exemple. Prenons deux degrés avec les mêmes bases π et les mêmes exposants naturels 5 et 2, la propriété considérée du degré correspond à l'égalité π 5 : π 2 = π 5−3 = π 3.
Considérez maintenant propriété de degré de produit: le degré naturel n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égal au produit des puissances de a n et b n, c'est-à-dire (a b) n = a n b n.
En effet, par définition d'un degré à exposant naturel, on a 
... Le dernier produit, basé sur les propriétés de multiplication, peut être réécrit comme 
, qui est égal à a n · b n.
Donnons un exemple : 
.
Cette propriété s'applique au degré du produit de trois facteurs ou plus. C'est-à-dire que la propriété du degré naturel n du produit de k facteurs s'écrit (a 1 · a 2 ·… · a k) n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n.
Pour plus de clarté, nous allons montrer cette propriété par un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons.
La propriété suivante est propriété privée en nature: le quotient des nombres réels a et b, b ≠ 0 en puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n, c'est-à-dire (a: b) n = a n: b n.
La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Donc (a: b) n bn = ((a: b) b) n = an, et de l'égalité (a: b) n bn = an il s'ensuit que (a: b) n est le quotient de an sur bn .
Écrivons cette propriété en utilisant des nombres spécifiques comme exemple : 
.
Maintenant, nous allons sonner propriété d'exponentiation: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, le degré de a m à la puissance n est égal à la puissance du nombre a d'exposant m · n, c'est-à-dire (a m) n = a m · n.
Par exemple, (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6.
La preuve de la propriété de degré à degré est la chaîne d'égalités suivante : 
.
La propriété considérée peut être étendue de degré en degré en degré, etc. Par exemple, pour tout nombre naturel p, q, r et s, l'égalité 
... Pour plus de clarté, voici un exemple avec des nombres spécifiques : (((5.2) 3) 2) 5 = (5,2) 3 + 2 + 5 = (5,2) 10.
Il reste à s'attarder sur les propriétés de la comparaison des degrés avec un exposant naturel.
Commençons par prouver la propriété de comparer zéro et degré avec l'exposant naturel.
Tout d'abord, montrons que a n> 0 pour tout a> 0.
Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, qui découle de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication permettent d'affirmer que le résultat de la multiplication d'un nombre quelconque de nombres positifs sera également un nombre positif. Et le degré d'un nombre a avec l'exposant naturel n, par définition, est le produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Ces arguments nous permettent d'affirmer que pour toute base positive a, le degré a n est un nombre positif. En vertu de la propriété prouvée 3 5> 0, (0.00201) 2> 0 et 
.
Il est bien évident que pour tout n naturel pour a = 0, le degré de a n est nul. En effet, 0 n = 0 · 0 ·… · 0 = 0. Par exemple, 0 3 = 0 et 0 762 = 0.
On passe aux bases négatives du degré.
Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le 2 · m, où m est un nombre naturel. Puis 
... Selon la règle de multiplication des nombres négatifs, chacun des produits de la forme a · a est égal au produit des valeurs absolues des nombres a et a, ce qui signifie que c'est un nombre positif. Par conséquent, le produit 
et le degré a 2 m. Voici quelques exemples : (−6) 4> 0, (−2,2) 12> 0 et.
Enfin, lorsque la base de l'exposant a est négative et que l'exposant est un nombre impair 2 m − 1, alors 
... Tous les produits a · a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et le multiplier par le nombre négatif restant a donne un nombre négatif. En vertu de cette propriété, (−5) 3 17 n n est le produit des membres gauche et droit de n inégalités vraies a propriétés des inégalités, l'inégalité prouvée de la forme a n n est également vraie. Par exemple, en raison de cette propriété, les inégalités 3 7 7 et 
.
Il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées des degrés avec des exposants naturels. Formulons-le. De deux degrés avec des indicateurs naturels et les mêmes bases positives, moins d'un, plus le degré est grand, dont l'indicateur est inférieur ; et de deux degrés avec des indicateurs naturels et les mêmes bases, supérieurs à un, plus est grand le degré dont l'indicateur est plus grand. On passe à la preuve de cette propriété.
Montrons que pour m> n et 0m n. Pour ce faire, notez la différence a m - a n et comparez-la à zéro. La différence enregistrée après avoir placé un n en dehors des parenthèses prend la forme a n · (a m − n −1). Le produit résultant est négatif comme le produit d'un nombre positif an et d'un nombre négatif am − n −1 (an est positif en tant que puissance naturelle d'un nombre positif, et la différence am − n −1 est négative, puisque m − n > 0 en raison de la condition initiale m> n, d'où il suit que pour 0m − n est inférieur à l'unité). Par conséquent, a m - a n m n, selon les besoins. A titre d'exemple, nous donnons l'inégalité correcte.
Il reste à prouver la seconde partie de la propriété. Montrons que a m> a n est vrai pour m> n et a> 1. La différence a m - a n, après avoir placé un n en dehors des parenthèses, prend la forme a n · (a m - n -1). Ce produit est positif, puisque pour a> 1 le degré de an est un nombre positif, et la différence am − n −1 est un nombre positif, puisque m − n> 0 dû à la condition initiale, et pour a> 1, le degré de am − n est supérieur à un ... Par conséquent, a m - a n> 0 et a m> a n, selon les besoins. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7> 3 2.
Propriétés des degrés avec des exposants entiers
Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, toutes les propriétés des degrés avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des degrés avec des exposants naturels énumérées et prouvées dans la section précédente.
Le degré avec un exposant entier négatif, ainsi que le degré avec un exposant nul, nous avons déterminé que toutes les propriétés des degrés avec des exposants naturels, exprimées par des égalités, restent vraies. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables à la fois pour les exposants nuls et les exposants négatifs, alors que, bien sûr, les bases des exposants sont non nulles.
Ainsi, pour tout nombre réel et non nul a et b, ainsi que pour tout nombre entier m et n, les éléments suivants sont vrais propriétés des puissances avec des exposants entiers:
Pour a = 0, les degrés a m et a n n'ont de sens que lorsque m et n sont des nombres entiers positifs, c'est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d'être notées sont également valables pour les cas où a = 0, et les nombres m et n sont des entiers positifs.
Il n'est pas difficile de prouver chacune de ces propriétés, pour cela il suffit d'utiliser les définitions du degré avec des exposants naturels et entiers, ainsi que les propriétés des actions avec des nombres réels. À titre d'exemple, montrons que la propriété de degré à degré est valable à la fois pour les entiers positifs et les entiers non positifs. Pour ce faire, il faut montrer que si p est zéro ou un entier naturel et q est zéro ou un entier naturel, alors les égalités (ap) q = ap q, (a - p) q = a (−p) q, (ap ) −q = ap (−q) et (a −p) −q = a (−p) (−q). Faisons le.
Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q = a p q a été prouvée dans la sous-section précédente. Si p = 0, alors nous avons (a 0) q = 1 q = 1 et a 0 q = a 0 = 1, d'où (a 0) q = a 0 q. De même, si q = 0, alors (a p) 0 = 1 et a p · 0 = a 0 = 1, d'où (a p) 0 = a p · 0. Si p = 0 et q = 0, alors (a 0) 0 = 1 0 = 1 et a 0 0 = a 0 = 1, d'où (a 0) 0 = a 0 0.
Montrons maintenant que (a - p) q = a (- p) q. Par définition d'un degré avec un exposant entier négatif, alors 
... Par la propriété du quotient en puissance, on a 
... Puisque 1 p = 1 · 1 ·… · 1 = 1 et, alors. La dernière expression, par définition, est une puissance de la forme a - (p q), qui, en raison des règles de multiplication, peut s'écrire sous la forme a (−p) q.
de même 
.
ET 
.
Par le même principe, il est possible de prouver toutes les autres propriétés d'un degré à exposant entier, écrites sous forme d'égalités.
Dans l'avant-dernière des propriétés écrites, il convient de s'attarder sur la preuve de l'inégalité a - n> b - n, qui est valable pour tout entier négatif −n et tout positif a et b pour lesquels la condition a ... Nous écrivons et transformons la différence entre les membres gauche et droit de cette inégalité : 
... Puisque par condition a n n, donc, b n - a n > 0. Le produit a n · b n est également positif en tant que produit des nombres positifs a n et b n. Ensuite, la fraction résultante est positive en tant que quotient des nombres positifs b n - a n et a n · b n. Par conséquent, d'où a - n > b - n, selon les besoins.
La dernière propriété des degrés à exposants entiers se démontre de la même manière que la propriété analogue des degrés à exposants naturels.
Propriétés des degrés avec des exposants rationnels
Nous avons déterminé un degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d'autres termes, les exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les exposants entiers. À savoir:
- propriété du produit des degrés de même base
pour a> 0, et si u, alors pour a≥0 ; - propriété de diplômes privés avec les mêmes bases
pour a> 0 ; - propriété de produit fractionnaire
pour a> 0 et b> 0, et si et, alors pour a≥0 et (ou) b≥0 ; - propriété fractionnaire
pour a> 0 et b> 0, et si, alors pour a≥0 et b> 0 ; - propriété de degré en degré
pour a> 0, et si u, alors pour a≥0 ; - la propriété de comparer des degrés avec des exposants rationnels égaux : pour tout nombre positif a et b, a 0 l'inégalité a p p est vraie, et pour p p> b p;
- la propriété de comparer les degrés avec des exposants rationnels et des bases égales : pour les nombres rationnels p et q, p> q pour 0p q, et pour a> 0, l'inégalité a p> a q.
- un p un q = un p + q;
- a p : a q = a p − q ;
- (a b) p = a p b p;
- (a : b) p = a p : b p ;
- (un p) q = un p q;
- pour tout nombre positif a et b, a 0 l'inégalité a p p est vraie, et pour p p> b p;
- pour les nombres irrationnels p et q, p> q pour 0p q, et pour a> 0, l'inégalité a p> a q.
La preuve des propriétés des degrés à exposant fractionnaire est basée sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire, sur les propriétés de la racine arithmétique du n-ième degré et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Voici les preuves.
Par définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et, alors 
... Les propriétés de la racine arithmétique nous permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété d'un degré avec un exposant entier, on obtient, d'où, par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, on a 
, et l'exposant du degré obtenu peut être transformé comme suit :. Ceci termine la preuve.
La deuxième propriété des degrés à exposants fractionnaires se démontre exactement de la même manière : 
D'autres égalités sont prouvées par des principes similaires : 
On passe à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout positif a et b, a 0 l'inégalité a p p est vérifiée, et pour p p> b p. Nous écrivons le nombre rationnel p comme m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Les conditions p 0 dans ce cas seront équivalentes aux conditions m 0, respectivement. Pour m> 0 et suis m. A partir de cette inégalité, par la propriété des racines, nous avons, et puisque a et b sont des nombres positifs, alors basée sur la définition du degré avec un exposant fractionnaire, l'inégalité résultante peut être réécrite comme, c'est-à-dire a p p.
De même, pour m m> b m, d'où, et a p> b p.
Il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées. Montrons que pour les nombres rationnels p et q, p> q pour 0p q, et pour a> 0, l'inégalité a p> a q. On peut toujours ramener les nombres rationnels p et q à un dénominateur commun, obtenons des fractions ordinaires et, où m 1 et m 2 sont des entiers, et n est naturel. Dans ce cas, la condition p > q correspondra à la condition m 1 > m 2 qui découle de la règle de comparaison des fractions ordinaires de mêmes dénominateurs. Ensuite, par la propriété de comparer les degrés avec les mêmes bases et exposants naturels, pour 0m 1 m 2, et pour a> 1, l'inégalité a m 1> a m 2. Ces inégalités en termes de propriétés des racines peuvent être réécrites en conséquence comme 
et 
... Et la définition du degré avec un exposant rationnel vous permet d'aller aux inégalités et, respectivement. Ainsi, nous tirons la conclusion finale : pour p> q et 0p q, et pour a> 0, l'inégalité a p> a q.
Propriétés des degrés avec des exposants irrationnels
De la façon dont un degré avec un exposant irrationnel est défini, nous pouvons conclure qu'il a toutes les propriétés des degrés avec un exposant rationnel. Donc, pour tout a> 0, b> 0 et les nombres irrationnels p et q, ce qui suit est vrai : propriétés des degrés avec des exposants irrationnels:
Par conséquent, nous pouvons conclure que les degrés avec des exposants réels p et q pour a> 0 ont les mêmes propriétés.
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Chaque opération arithmétique devient parfois trop lourde à écrire et ils essaient de la simplifier. Il en était de même avec l'opération d'addition. Il fallait par exemple effectuer plusieurs additions du même type pour calculer le coût de cent tapis persans, dont le coût est de 3 pièces d'or chacun. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. En raison de sa lourdeur, on a pensé réduire le record à 3 * 100 = 300. En fait, le record « trois fois cent » signifie qu'il faut en prendre cent triplés et additionnez-les. La multiplication a pris racine et a gagné en popularité générale. Mais le monde ne s'arrête pas, et au Moyen Âge il est devenu nécessaire de procéder à de multiples multiplications du même type. Je me souviens d'une vieille énigme indienne à propos d'un sage qui demandait la quantité suivante de grains de blé en récompense de son travail : il demandait un grain pour le premier carré de l'échiquier, deux pour le deuxième, quatre pour le troisième, huit pour le cinquième, et ainsi de suite. C'est ainsi qu'est apparue la première multiplication des degrés, car le nombre de grains était égal à deux à la puissance du nombre de cellules. Par exemple, sur la dernière cellule il y aurait 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 grains, ce qui équivaut à un nombre de 18 caractères de long, ce qui est en fait le sens de l'énigme.
L'opération d'élévation à une puissance s'enracine assez rapidement, et il devient aussi rapidement nécessaire d'effectuer des additions, soustractions, divisions et multiplications de puissances. Ce dernier mérite d'être examiné plus en détail. Les formules pour ajouter des degrés sont simples et faciles à retenir. De plus, il est très facile de comprendre d'où ils viennent si l'opération du degré est remplacée par la multiplication. Mais d'abord, vous devez comprendre la terminologie de base. L'expression a ^ b (lire "a à la puissance b") signifie que le nombre a doit être multiplié par lui-même b fois, et "a" est appelé la base du degré, et "b" est appelé l'exposant de puissance . Si les bases des degrés sont les mêmes, alors les formules sont dérivées assez simplement. Exemple concret : trouvez la valeur de l'expression 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Pour savoir ce qui devrait se passer, vous devez trouver la réponse sur l'ordinateur avant de commencer la solution. Après avoir martelé cette expression dans n'importe quelle calculatrice en ligne, un moteur de recherche, en tapant "multiplication de degrés avec des bases différentes et identiques" ou un package mathématique, la sortie sera 128. Nous allons maintenant écrire cette expression : 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2, et 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Il s'avère que 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Il s'avère que le produit des degrés de même base est égal à la base élevée à une puissance égale à la somme des deux degrés précédents.
On pourrait penser qu'il s'agit d'un accident, mais non : tout autre exemple ne peut que confirmer cette règle. Ainsi, en termes généraux, la formule ressemble à ceci : a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Il existe également une règle selon laquelle tout nombre dans le degré zéro est égal à un. Ici, vous devez vous rappeler la règle des puissances négatives : a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Autrement dit, si 2 ^ 3 = 8, alors 2 ^ (- 3) = 1/8. En utilisant cette règle, nous pouvons prouver l'égalité a ^ 0 = 1 : a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), un ^ (n) peut être annulé et il n'en reste qu'un. D'où la règle selon laquelle le quotient des degrés ayant les mêmes bases est égal à cette base au degré égal au quotient de l'exposant du dividende et du diviseur : a ^ n : a ^ m = a ^ (n-m). Exemple : Simplifiez l'expression 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 : 2 ^ (- 2). La multiplication est une opération commutative, vous devez donc d'abord additionner les exposants de la multiplication : 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Ensuite, vous devez gérer la division par un exposant négatif. Il faut soustraire l'indice du diviseur à l'indice du dividende : 2 ^ 1 : 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Il s'avère que l'opération de division par le degré négatif est identique à l'opération de multiplication par un exposant positif similaire. La réponse finale est donc 8.
Il existe des exemples où la multiplication non canonique des degrés a lieu. Multiplier des diplômes avec des bases différentes est très souvent beaucoup plus difficile, voire parfois impossible. Plusieurs exemples de diverses techniques possibles doivent être donnés. Exemple : simplifier l'expression 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Évidemment, il y a une multiplication de puissances avec des bases différentes. Mais, il convient de noter que toutes les bases sont des degrés différents d'un triplet. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. En utilisant la règle (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), vous devriez réécrire l'expression sous une forme plus pratique : 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 - 4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Réponse : 3 ^ 11. Dans les cas où il existe des motifs différents, la règle a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n fonctionne pour des indicateurs égaux. Par exemple, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. Sinon, lorsqu'il y a des bases et des indicateurs différents, il est impossible de faire une multiplication complète. Parfois, il est possible de simplifier partiellement ou de recourir à l'aide de la technologie informatique.
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