Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Une progression arithmétique est une série de nombres dans laquelle chaque nombre est supérieur (ou inférieur) au précédent du même montant.

Ce sujet semble souvent complexe et incompréhensible. Indices de lettres nième mandat progressions, différences de progression - tout cela est en quelque sorte déroutant, oui... Voyons le sens progression arithmétique et tout ira mieux tout de suite.)

Le concept de progression arithmétique.

La progression arithmétique est un concept très simple et clair. Avez-vous des doutes ? En vain.) Voyez par vous-même.

Je vais écrire une série de nombres inachevée :

1, 2, 3, 4, 5, ...

Pouvez-vous prolonger cette série ? Quels nombres viendront ensuite, après les cinq ? Tout le monde... euh..., bref, tout le monde se rendra compte que les nombres 6, 7, 8, 9, etc. viendront ensuite.

Compliquons la tâche. Je vous donne une série de chiffres inachevée :

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vous pourrez saisir le motif, étendre la série et nommer septième numéro de ligne ?

Si vous avez réalisé que ce nombre est 20, félicitations ! Non seulement tu as senti points clés progression arithmétique, mais aussi les utiliser avec succès en affaires ! Si vous ne l’avez pas compris, continuez à lire.

Traduisons maintenant les points clés des sensations en mathématiques.)

Premier point clé.

La progression arithmétique concerne les séries de nombres. C'est déroutant au début. On a l'habitude de résoudre des équations, de dessiner des graphiques et tout ça... Mais ici on étend la série, on trouve le numéro de la série...

C'est bon. C’est juste que les progressions sont la première connaissance d’une nouvelle branche des mathématiques. La section s'appelle « Séries » et fonctionne spécifiquement avec des séries de nombres et d'expressions. Habituez-vous-y.)

Deuxième point clé.

Dans une progression arithmétique, tout nombre est différent du précédent du même montant.

Dans le premier exemple, cette différence en est une. Quel que soit le numéro que vous prenez, c'est un de plus que le précédent. Dans le deuxième - trois. N'importe quel nombre est trois de plus que le précédent. En fait, c’est ce moment qui nous donne l’opportunité de saisir la tendance et de calculer les nombres ultérieurs.

Troisième point clé.

Ce moment n’est pas marquant, oui… Mais il est très, très important. Il est la: chaque numéro de progression se tient à sa place. Il y a le premier nombre, il y a le septième, il y a le quarante-cinquième, etc. Si vous les mélangez au hasard, le motif disparaîtra. La progression arithmétique disparaîtra également. Ce qui reste, c'est juste une série de chiffres.

Exactement.

Bien entendu, dans nouveau sujet de nouveaux termes et désignations apparaissent. Vous devez les connaître. Sinon, vous ne comprendrez pas la tâche. Par exemple, vous devrez décider quelque chose comme :

Notez les six premiers termes de la progression arithmétique (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirant ?) Des lettres, quelques index... Et la tâche, d'ailleurs, ne pourrait pas être plus simple. Il vous suffit de comprendre la signification des termes et des désignations. Nous allons maintenant maîtriser ce sujet et revenir à la tâche.

Termes et désignations.

Progression arithmétique est une série de nombres dans lesquels chaque nombre est différent du précédent du même montant.

Cette quantité est appelée . Examinons ce concept plus en détail.

Différence de progression arithmétique.

Différence de progression arithmétique est le montant par lequel tout numéro de progression plus le précédent.

Un point important. S'il vous plaît, faites attention au mot "plus". Mathématiquement, cela signifie que chaque numéro de progression est en ajoutant différence de progression arithmétique par rapport au nombre précédent.

Pour calculer, disons deuxième numéros de la série, vous devez d'abord nombre ajouter cette différence même d'une progression arithmétique. Pour le calcul cinquième- la différence est nécessaire ajouterÀ quatrième, eh bien, etc.

Différence de progression arithmétique Peut être positif, alors chaque numéro de la série se révélera réel plus que le précédent. Cette progression est appelée en augmentant. Par exemple:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ici, chaque numéro est obtenu en ajoutant nombre positif, +5 au précédent.

La différence peut être négatif, alors chaque numéro de la série sera moins que le précédent. Cette progression s’appelle (vous n’y croirez pas !) diminuant.

Par exemple:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ici, chaque numéro est également obtenu en ajoutant au précédent, mais déjà nombre négatif, -5.

À propos, lorsque l'on travaille avec une progression, il est très utile de déterminer immédiatement sa nature - si elle augmente ou diminue. Cela aide beaucoup à prendre la décision, à repérer vos erreurs et à les corriger avant qu’il ne soit trop tard.

Différence de progression arithmétique généralement désigné par la lettre d.

Comment trouver d? Très simple. Il faut soustraire de n'importe quel nombre de la série précédent nombre. Soustraire. À propos, le résultat de la soustraction est appelé « différence ».)

Définissons, par exemple, d pour une progression arithmétique croissante :

2, 5, 8, 11, 14, ...

Nous prenons n'importe quel nombre de la série que nous voulons, par exemple 11. Nous en soustrayons numéro précédent ceux. 8 :

C'est la bonne réponse. Pour cette progression arithmétique, la différence est de trois.

Tu peux le prendre n'importe quel numéro de progression, parce que pour une progression spécifique d-toujours le même. Au moins quelque part au début de la rangée, au moins au milieu, au moins n'importe où. Vous ne pouvez pas prendre uniquement le tout premier numéro. Tout simplement parce que le tout premier numéro pas de précédent.)

D'ailleurs, sachant que d=3, trouver le septième nombre de cette progression est très simple. Ajoutons 3 au cinquième nombre - nous obtenons le sixième, ce sera 17. Ajoutons trois au sixième nombre, nous obtenons le septième nombre - vingt.

Définissons d pour la progression arithmétique décroissante :

8; 3; -2; -7; -12; .....

Je vous rappelle que, quels que soient les signes, pour déterminer d besoin de n'importe quel numéro enlevez le précédent. Choisissez n'importe quel numéro de progression, par exemple -7. Son numéro précédent est -2. Alors:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

La différence d'une progression arithmétique peut être n'importe quel nombre : entier, fractionnaire, irrationnel, n'importe quel nombre.

Autres termes et désignations.

Chaque numéro de la série s'appelle membre d'une progression arithmétique.

Chaque membre de la progression a son propre numéro. Les chiffres sont strictement dans l'ordre, sans aucune astuce. Premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. Par exemple, dans la progression 2, 5, 8, 11, 14, ... deux est le premier terme, cinq est le deuxième, onze est le quatrième, eh bien, vous comprenez...) Veuillez bien comprendre - les chiffres eux-mêmes peut être absolument n'importe quoi, entier, fractionnaire, négatif, peu importe, mais numérotation des numéros- strictement dans l'ordre !

Comment écrire une progression en vue générale? Aucun problème! Chaque chiffre d'une série s'écrit sous forme de lettre. Pour désigner une progression arithmétique, la lettre est généralement utilisée un. Le numéro de membre est indiqué par un index en bas à droite. Nous écrivons les termes séparés par des virgules (ou des points-virgules), comme ceci :

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- c'est le premier numéro, un 3- troisième, etc. Rien d'extraordinaire. Cette série peut être écrite brièvement comme ceci : (un).

Des progressions se produisent fini et infini.

Ultime la progression compte un nombre limité de membres. Cinq, trente-huit, peu importe. Mais c'est un nombre fini.

Infini progression - a un nombre infini de membres, comme vous pouvez le deviner.)

Vous pouvez écrire la progression finale à travers une série comme celle-ci, tous les termes et un point à la fin :

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

Ou comme ceci, s'il y a beaucoup de membres :

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

Dans la courte entrée, vous devrez en outre indiquer le nombre de membres. Par exemple (pour vingt membres), comme ceci :

(une n), n = 20

Une progression infinie peut être reconnue par les points de suspension à la fin de la rangée, comme dans les exemples de cette leçon.

Vous pouvez maintenant résoudre les tâches. Les tâches sont simples et servent uniquement à comprendre le sens d'une progression arithmétique.

Exemples de tâches sur la progression arithmétique.

Examinons en détail la tâche donnée ci-dessus :

1. Écrivez les six premiers termes de la progression arithmétique (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.

Nous traduisons la tâche dans un langage compréhensible. Une progression arithmétique infinie est donnée. Le deuxième numéro de cette progression est connu : un 2 = 5. La différence de progression est connue : d = -2,5. Il faut trouver les premier, troisième, quatrième, cinquième et sixième termes de cette progression.

Pour plus de clarté, j'écrirai une série en fonction des conditions du problème. Les six premiers termes, où le deuxième terme est cinq :

un 1, un 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....

un 3 = un 2 + d

Substituer dans l'expression un 2 = 5 Et d = -2,5. N'oubliez pas le moins !

un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Le troisième mandat s'est avéré moins de deux. Tout est logique. Si le nombre est supérieur au précédent négatif valeur, ce qui signifie que le nombre lui-même sera inférieur au précédent. La progression diminue. Bon, prenons-en en compte.) Nous comptons le quatrième terme de notre série :

un 4 = un 3 + d

un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = un 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

un 6 = un 5 + d

un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Ainsi, les termes du troisième au sixième ont été calculés. Le résultat est la série suivante :

un 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Reste à trouver le premier terme un 1 Par célèbre seconde. C'est un pas dans l'autre sens, vers la gauche.) Donc, la différence de la progression arithmétique d ne devrait pas être ajouté à un 2, UN emporter:

un 1 = un 2 - d

un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

C'est ça. Réponse au devoir :

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Au passage, je voudrais noter que nous avons résolu cette tâche récurrent chemin. Ce mot effrayant signifie simplement rechercher un membre de la progression selon le numéro précédent (adjacent). Nous examinerons ci-dessous d'autres façons de travailler avec la progression.

Une conclusion importante peut être tirée de cette tâche simple.

Souviens-toi:

Si l'on connaît au moins un terme et la différence d'une progression arithmétique, on peut trouver n'importe quel terme de cette progression.

Vous souvenez-vous? Cette conclusion simple permet de résoudre la plupart des problèmes du cours scolaire sur ce sujet. Toutes les tâches tournent autour trois principaux paramètres: membre d'une progression arithmétique, différence d'une progression, numéro d'un membre de la progression. Tous.

Bien sûr, toute l'algèbre précédente n'est pas annulée.) Les inégalités, les équations et d'autres choses sont liées à la progression. Mais selon la progression elle-même- tout tourne autour de trois paramètres.

À titre d'exemple, examinons quelques tâches populaires sur ce sujet.

2. Écrivez la progression arithmétique finie sous forme de série si n=5, d = 0,4 et a 1 = 3,6.

Tout est simple ici. Tout a déjà été donné. Vous devez vous rappeler comment les membres d'une progression arithmétique sont comptés, les compter et les écrire. Il est conseillé de ne pas manquer les mots dans les conditions de la tâche : « final » et « n=5". Pour ne pas compter jusqu'à ce que vous ayez complètement le visage bleu.) Il n'y a que 5 (cinq) membres dans cette progression :

une 2 = une 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

une 3 = une 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Reste à écrire la réponse :

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Autre tâche :

3. Déterminez si le nombre 7 fera partie de la progression arithmétique (a n), si une 1 = 4,1 ; d = 1,2.

Hum... Qui sait ? Comment déterminer quelque chose ?

Comment-comment... Notez la progression sous forme de série et voyez s'il y aura un sept ou non ! Nous comptons:

une 2 = une 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

une 3 = une 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Maintenant, il est clairement visible que nous ne sommes que sept passés à travers entre 6,5 et 7,7 ! Sept ne fait pas partie de notre série de nombres et, par conséquent, sept ne fera pas partie de la progression donnée.

Réponse : non.

Et voici un problème basé sur une version réelle du GIA :

4. Plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique sont écrits :

... ; 15 ; X; 9 ; 6 ; ...

Voici une série écrite sans fin ni début. Aucun numéro de membre, aucune différence d. C'est bon. Pour résoudre le problème, il suffit de comprendre le sens d'une progression arithmétique. Regardons et voyons ce qui est possible savoir de cette série ? Quels sont les trois paramètres principaux ?

Numéros de membres ? Il n’y a pas un seul numéro ici.

Mais il y a trois chiffres et - attention ! - mot "cohérent"à la condition. Cela signifie que les chiffres sont strictement en ordre, sans lacunes. Y en a-t-il deux dans cette rangée ? voisin numéros connus ? Oui j'ai! Ce sont 9 et 6. On peut donc calculer la différence de la progression arithmétique ! Soustraire de six précédent numéro, c'est-à-dire neuf:

Il ne reste que des bagatelles. Quel nombre sera le précédent pour X ? Quinze. Cela signifie que X peut être facilement trouvé par simple addition. Ajoutez la différence de la progression arithmétique à 15 :

C'est tout. Répondre: x=12

Nous résolvons nous-mêmes les problèmes suivants. Remarque : ces problèmes ne sont pas basés sur des formules. Uniquement pour comprendre le sens d'une progression arithmétique.) Nous écrivons simplement une série de chiffres et de lettres, regardons et comprenons.

5. Trouver le premier terme positif de la progression arithmétique si a 5 = -3 ; d = 1,1.

6. On sait que le nombre 5,5 fait partie de la progression arithmétique (a n), où a 1 = 1,6 ; d = 1,3. Déterminez le nombre n de ce terme.

7. On sait que dans la progression arithmétique a 2 = 4 ; un 5 = 15,1. Trouvez un 3 .

8. Plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique sont écrits :

... ; 15,6 ; X; 3.4 ; ...

Trouvez le terme de la progression indiqué par la lettre x.

9. Le train a commencé à quitter la gare, augmentant uniformément sa vitesse de 30 mètres par minute. Quelle sera la vitesse du train dans cinq minutes ? Donnez votre réponse en km/heure.

10. On sait que dans la progression arithmétique a 2 = 5 ; un 6 = -5. Trouver un 1.

Réponses (en désarroi) : 7,7 ; 7,5 ; 9,5 ; 9 ; 0,3 ; 4.

Tout s'est bien passé ? Incroyable! Vous pouvez maîtriser la progression arithmétique pour en savoir plus haut niveau, dans les leçons suivantes.

Tout ne s'est pas bien passé ? Aucun problème. Dans la section spéciale 555, tous ces problèmes sont triés pièce par pièce.) Et, bien sûr, une technique pratique simple est décrite qui met immédiatement en évidence la solution à de telles tâches clairement, clairement, en un coup d'œil !

À propos, dans le puzzle du train, il y a deux problèmes sur lesquels les gens butent souvent. L’un est purement en termes de progression, et le second est général pour tous les problèmes de mathématiques, ainsi que de physique. Il s'agit d'une traduction de dimensions de l'une à l'autre. Il montre comment ces problèmes devraient être résolus.

Dans cette leçon, nous avons examiné la signification élémentaire d'une progression arithmétique et ses principaux paramètres. C'est suffisant pour résoudre presque tous les problèmes sur ce sujet. Ajouter d aux chiffres, écrivez une série, tout sera résolu.

La solution avec les doigts fonctionne bien pour les morceaux d'une rangée très courts, comme dans les exemples de cette leçon. Si la série est plus longue, les calculs deviennent plus compliqués. Par exemple, si dans le problème 9 de la question nous remplaçons "cinq minutes" sur "trente-cinq minutes" le problème va s'aggraver considérablement.)

Et il y a aussi des tâches simples dans leur essence, mais absurdes en termes de calculs, par exemple :

Une progression arithmétique (a n) est donnée. Trouvez un 121 si a 1 =3 et d=1/6.

Alors quoi, allons-nous ajouter 1/6 plusieurs fois ?! Vous pouvez vous suicider !?

Vous pouvez.) Si vous ne connaissez pas de formule simple grâce à laquelle vous pouvez résoudre de telles tâches en une minute. Cette formule sera dans la prochaine leçon. Et ce problème est résolu là. Dans une minute.)

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Concept séquence de nombres implique que chaque nombre naturel correspond à une valeur réelle. Une telle série de nombres peut être arbitraire ou avoir certaines propriétés - une progression. DANS ce dernier cas chaque élément (membre) suivant de la séquence peut être calculé en utilisant le précédent.

Une progression arithmétique est une séquence de valeurs numériques dans laquelle ses termes voisins diffèrent les uns des autres par même nombre(tous les éléments de la série, à partir du 2ème, ont une propriété similaire). Ce nombre– la différence entre les termes précédents et suivants est constante et est appelée différence de progression.

Différence de progression : définition

Considérons une séquence composée de j valeurs A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j appartient à l'ensemble nombres naturels N. La progression arithmétique, selon sa définition, est une séquence dans laquelle a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – une(j-1) = ré. La valeur d est la différence souhaitée de cette progression.

d = une(j) – une(j-1).

Souligner:

• Une progression croissante, auquel cas d > 0. Exemple : 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progression décroissante, puis d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progression des différences et ses éléments arbitraires

Si 2 termes arbitraires de la progression sont connus (i-ème, k-ème), alors la différence pour une séquence donnée peut être déterminée sur la base de la relation :

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ce qui signifie d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Différence de progression et son premier terme

Cette expression permettra de déterminer une valeur inconnue uniquement dans les cas où le numéro de l'élément de séquence est connu.

Différence de progression et sa somme

La somme d'une progression est la somme de ses termes. Pour calculer la valeur totale de ses j premiers éléments, utilisez la formule appropriée :

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, mais puisque a(j) = a(1) + d(j – 1), alors S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Progression arithmétique nommer une séquence de nombres (termes d'une progression)

Dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par un nouveau terme, également appelé différence de pas ou de progression.

Ainsi, en précisant l'étape de progression et son premier terme, vous pouvez retrouver n'importe lequel de ses éléments grâce à la formule

Propriétés d'une progression arithmétique

1) Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du deuxième nombre, est la moyenne arithmétique des membres précédent et suivant de la progression

L’inverse est également vrai. Si la moyenne arithmétique des termes impairs (pairs) adjacents d’une progression est égale au terme qui les sépare, alors cette séquence de nombres est une progression arithmétique. En utilisant cette instruction, il est très facile de vérifier n’importe quelle séquence.

De plus, grâce à la propriété de progression arithmétique, la formule ci-dessus peut être généralisée à la suivante

Ceci est facile à vérifier si vous écrivez les termes à droite du signe égal

Il est souvent utilisé dans la pratique pour simplifier les calculs dans les problèmes.

2) La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est calculée à l'aide de la formule

Rappelez-vous bien la formule de la somme d'une progression arithmétique : elle est indispensable dans les calculs et se retrouve assez souvent dans des situations simples de la vie.

3) Si vous avez besoin de trouver non pas la somme entière, mais une partie de la suite à partir de son kème terme, alors la formule de somme suivante vous sera utile

4) Il est d'un intérêt pratique de trouver la somme de n termes d'une progression arithmétique à partir du kième nombre. Pour ce faire, utilisez la formule

Ceci conclut le matériel théorique et passe à la résolution de problèmes courants dans la pratique.

Exemple 1. Trouver le quarantième terme de la progression arithmétique 4;7;...

Solution:

Selon la condition que nous avons

Déterminons l'étape de progression

A l'aide d'une formule bien connue, on trouve le quarantième terme de la progression

Exemple 2. Une progression arithmétique est donnée par ses troisième et septième termes. Trouvez le premier terme de la progression et la somme de dix.

Solution:

Écrivons les éléments donnés de la progression à l'aide des formules

On soustrait la première de la deuxième équation, on trouve ainsi le pas de progression

Nous substituons la valeur trouvée dans l'une des équations pour trouver le premier terme de la progression arithmétique

On calcule la somme des dix premiers termes de la progression

Sans recourir à des calculs complexes, nous avons trouvé toutes les quantités requises.

Exemple 3. Une progression arithmétique est donnée par le dénominateur et l'un de ses termes. Trouver le premier terme de la progression, la somme de ses 50 termes à partir de 50 et la somme des 100 premiers.

Solution:

Écrivons la formule du centième élément de la progression

et trouve le premier

A partir du premier, on retrouve le 50ème terme de la progression

Trouver la somme de la partie de la progression

et la somme des 100 premiers

Le montant de la progression est de 250.

Exemple 4.

Trouver le nombre de termes d'une progression arithmétique si :

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Solution:

Écrivons les équations en fonction du premier terme et de l'étape de progression et déterminons-les

Nous substituons les valeurs obtenues dans la formule de somme pour déterminer le nombre de termes dans la somme

Nous effectuons des simplifications

et résoudre l'équation quadratique

Parmi les deux valeurs trouvées, seul le chiffre 8 correspond aux conditions problématiques. Ainsi, la somme des huit premiers termes de la progression est 111.

Exemple 5.

Résous l'équation

1+3+5+...+x=307.

Solution : Cette équation est la somme d’une progression arithmétique. Écrivons son premier terme et trouvons la différence de progression

Calculateur en ligne.
Résoudre une progression arithmétique.
Étant donné : a n , d, n
Trouver : un 1

Ce programme de mathématiques trouve \(a_1\) d'une progression arithmétique basée sur les nombres spécifiés par l'utilisateur \(a_n, d\) et \(n\).
Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions. De plus, un nombre fractionnaire peut être saisi sous forme de fraction décimale (\(2,5\)) et sous forme de fraction commune(\(-5\frac(2)(7)\)).

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de recherche d'une solution.

Ce calculateur en ligne peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation pour essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous ne connaissez pas les règles de saisie des chiffres, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie des chiffres

Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions.
Le nombre \(n\) ne peut être qu’un entier positif.

Règles de saisie des fractions décimales.
Les parties entières et fractionnaires des fractions décimales peuvent être séparées par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir décimales donc 2,5 ou alors 2,5

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

En entrant fraction numérique Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Saisir:
Résultat : \(-\frac(2)(3)\)

Partie entière séparé de la fraction par une esperluette : &
Saisir:
Résultat : \(-1\frac(2)(3)\)

Entrez les chiffres a n , d, n

Trouver un 1

Il a été découvert que certains scripts nécessaires à la résolution de ce problème n'étaient pas chargés et que le programme pouvait ne pas fonctionner.
Vous avez peut-être activé AdBlock.
Dans ce cas, désactivez-le et actualisez la page.

Javascript est désactivé sur votre navigateur.
Pour que la solution apparaisse, vous devez activer JavaScript.
Voici les instructions pour activer JavaScript dans votre navigateur.

Parce que Il y a beaucoup de personnes prêtes à résoudre le problème, votre demande a été mise en file d'attente.
Dans quelques secondes, la solution apparaîtra ci-dessous.
S'il vous plaît, attendez seconde...

Si tu remarqué une erreur dans la solution, vous pourrez alors écrire à ce sujet dans le formulaire de commentaires.
N'oubliez pas indiquer quelle tâche tu décides quoi entrez dans les champs.

Nos jeux, puzzles, émulateurs :

Un peu de théorie.

Séquence numérique

Dans la pratique quotidienne, la numérotation de divers objets est souvent utilisée pour indiquer l'ordre dans lequel ils sont disposés. Par exemple, les maisons de chaque rue sont numérotées. Dans la bibliothèque, les abonnements des lecteurs sont numérotés puis classés par ordre de numéros attribués dans des fiches spéciales.

Dans une caisse d'épargne, en utilisant le numéro de compte personnel du déposant, vous pouvez facilement retrouver ce compte et voir quel dépôt s'y trouve. Laissez le compte n° 1 contenir un dépôt de 1 roubles, le compte n° 2 contient un dépôt de 2 roubles, etc. séquence de nombres
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une N
où N est le nombre de tous les comptes. Ici, chaque nombre naturel n de 1 à N est associé à un nombre a n.

Également étudié en mathématiques séquences de nombres infinies :
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ... .
Le nombre un 1 s'appelle premier terme de la suite, numéro un 2 - deuxième terme de la suite, numéro un 3 - troisième terme de la suite etc.
Le nombre a n s'appelle nième (énième) membre de la séquence, et l'entier naturel n est son nombre.

Par exemple, dans la suite de carrés d'entiers naturels 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... et 1 = 1 est le premier terme de la suite ; et n = n 2 est nième mandat séquences ; a n+1 = (n + 1) 2 est le (n + 1)ème (n plus premier) terme de la séquence. Souvent, une séquence peut être spécifiée par la formule de son nième terme. Par exemple, la formule \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) définit la séquence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progression arithmétique

La durée de l'année est d'environ 365 jours. Une valeur plus précise est \(365\frac(1)(4)\) jours, donc tous les quatre ans, une erreur d'un jour s'accumule.

Pour tenir compte de cette erreur, un jour est ajouté toutes les quatre années et l’année prolongée est appelée année bissextile.

Par exemple, au troisième millénaire années bissextiles sont les années 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Dans cette séquence, chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre 4. De telles séquences sont appelées progressions arithmétiques.

Définition.
La suite de nombres a 1, a 2, a 3, ..., an n, ... est appelée progression arithmétique, si pour tout naturel n l'égalité
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
où d est un nombre.

De cette formule, il résulte que a n+1 - a n = d. Le nombre d s'appelle la différence progression arithmétique.

Par définition d'une progression arithmétique on a :
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
où
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), où \(n>1 \)

Ainsi, chaque terme d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique de ses deux termes adjacents. Ceci explique le nom de progression « arithmétique ».

Notez que si a 1 et d sont donnés, alors les termes restants de la progression arithmétique peuvent être calculés à l'aide de la formule récurrente a n+1 = a n + d. De cette façon, il n'est pas difficile de calculer les premiers termes de la progression, cependant, par exemple, un 100 nécessitera déjà beaucoup de calculs. Généralement, la formule du nième terme est utilisée pour cela. Par définition de la progression arithmétique
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
Du tout,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
puisque le nième terme d'une progression arithmétique s'obtient à partir du premier terme en ajoutant (n-1) fois le nombre d.
Cette formule s'appelle formule pour le nième terme d'une progression arithmétique.

Somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

Trouvez la somme de tous les nombres naturels de 1 à 100.
Écrivons ce montant de deux manières :
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Additionnons ces égalités terme par terme :
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Cette somme comporte 100 termes
Par conséquent, 2S = 101 * 100, donc S = 101 * 50 = 5050.

Considérons maintenant une progression arithmétique arbitraire
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ...
Soit S n la somme des n premiers termes de cette progression :
S n = une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n
Alors la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est égale à
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Puisque \(a_n=a_1+(n-1)d\), alors en remplaçant un n dans cette formule, nous obtenons une autre formule pour trouver somme des n premiers termes d'une progression arithmétique:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Livres (manuels) Résumés de l'examen d'État unifié et des tests de l'examen d'État unifié en ligne Jeux, puzzles Tracer des graphiques de fonctions Dictionnaire orthographique de la langue russe Dictionnaire de l'argot de la jeunesse Catalogue des écoles russes Catalogue des établissements d'enseignement secondaire de Russie Catalogue des universités russes Liste de tâches

Somme d'une progression arithmétique.

La somme d’une progression arithmétique est une chose simple. Tant dans le sens que dans la formule. Mais il existe toutes sortes de tâches sur ce sujet. Du basique au assez solide.

Tout d'abord, comprenons la signification et la formule du montant. Et puis nous déciderons. Pour votre propre plaisir.) La signification du montant est aussi simple qu'un meuglement. Pour trouver la somme d’une progression arithmétique, il suffit d’additionner soigneusement tous ses termes. Si ces termes sont peu nombreux, vous pouvez les ajouter sans aucune formule. Mais s'il y en a beaucoup, ou beaucoup... l'addition est gênante.) Dans ce cas, la formule vient à la rescousse.

La formule du montant est simple :

Voyons quels types de lettres sont inclus dans la formule. Cela clarifiera beaucoup les choses.

S n - la somme d'une progression arithmétique. Résultat de l'addition tout le monde membres, avec d'abord Par dernier. C'est important. Ils s'additionnent exactement Tous membres d'affilée, sans sauter ni sauter. Et précisément, à partir de d'abord. Dans des problèmes tels que trouver la somme des troisième et huitième termes, ou la somme du cinquième au vingtième termes, l'application directe de la formule sera décevante.)

un 1 - d'abord membre de la progression. Tout est clair ici, c'est simple d'abord numéro de ligne.

un- dernier membre de la progression. Dernier numéro rangée. Ce n’est pas un nom très familier, mais appliqué au montant, il convient très bien. Ensuite, vous verrez par vous-même.

n - numéro du dernier membre. Il est important de comprendre que dans la formule ce nombre coïncide avec le nombre de termes ajoutés.

Définissons le concept dernier membre un. Question délicate : quel membre sera le dernier si donné sans fin progression arithmétique?)

Pour répondre avec assurance, vous devez comprendre le sens élémentaire de la progression arithmétique et... lire attentivement la tâche !)

Dans la tâche consistant à trouver la somme d'une progression arithmétique, le dernier terme apparaît toujours (directement ou indirectement), qui devrait être limité. Dans le cas contraire, un montant définitif et précis n'existe tout simplement pas. Pour la solution, peu importe que la progression soit donnée : finie ou infinie. Peu importe comment cela est donné : une série de nombres ou une formule pour le nième terme.

Le plus important est de comprendre que la formule fonctionne du premier terme de la progression jusqu'au terme avec numéro n. En fait, le nom complet de la formule ressemble à ceci : la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique. Le nombre de ces tout premiers membres, soit n, est déterminé uniquement par la tâche. Dans une tâche, toutes ces informations précieuses sont souvent cryptées, oui... Mais qu'à cela ne tienne, dans les exemples ci-dessous nous vous révélons ces secrets.)

Exemples de tâches sur la somme d'une progression arithmétique.

Tout d'abord, information utile:

La principale difficulté des tâches impliquant la somme d'une progression arithmétique réside dans la détermination correcte des éléments de la formule.

Les rédacteurs des tâches chiffrent ces mêmes éléments avec une imagination sans limites.) L'essentiel ici est de ne pas avoir peur. Comprendre l'essence des éléments, il suffit simplement de les déchiffrer. Examinons quelques exemples en détail. Commençons par une tâche basée sur un véritable GIA.

1. La progression arithmétique est donnée par la condition : a n = 2n-3,5. Trouvez la somme de ses 10 premiers termes.

Bon travail. Facile.) Pour déterminer le montant à l’aide de la formule, que devons-nous savoir ? Premier membre un 1, dernier terme un, oui le numéro du dernier membre n.

Où puis-je obtenir le numéro du dernier membre ? n? Oui, sur place, sous condition ! Il dit : trouvez la somme 10 premiers membres. Eh bien, avec quel numéro sera-t-il ? dernier, dixième membre ?) Vous ne le croirez pas, son numéro est le dixième !) Par conséquent, au lieu de un Nous substituerons dans la formule un 10, et plutôt n- dix. Je le répète, le numéro du dernier membre coïncide avec le nombre de membres.

Reste à déterminer un 1 Et un 10. Ceci est facilement calculé à l’aide de la formule du nième terme, donnée dans l’énoncé du problème. Vous ne savez pas comment faire cela ? Assistez à la leçon précédente, sans cela, il n'y a aucun moyen.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S10.

Nous avons découvert la signification de tous les éléments de la formule de la somme d'une progression arithmétique. Il ne reste plus qu'à les substituer et à compter :

C'est ça. Réponse : 75.

Une autre tâche basée sur le GIA. Un peu plus compliqué :

2. Étant donné une progression arithmétique (a n) dont la différence est de 3,7 ; une 1 =2,3. Trouvez la somme de ses 15 premiers termes.

On écrit immédiatement la formule de somme :

Cette formule nous permet de trouver la valeur de n'importe quel terme par son numéro. Nous recherchons une substitution simple :

une 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Il reste à substituer tous les éléments dans la formule de la somme d'une progression arithmétique et à calculer la réponse :

Réponse : 423.

À propos, si dans la formule de somme au lieu de un On substitue simplement la formule au nième terme et on obtient :

Présentons-en des similaires et obtenons une nouvelle formule pour la somme des termes d'une progression arithmétique :

Comme vous pouvez le voir, le nième terme n'est pas obligatoire ici un. Dans certains problèmes, cette formule aide beaucoup, oui... Vous vous souvenez de cette formule. Ou vous pouvez simplement l’afficher au bon moment, comme ici. Après tout, vous devez toujours vous rappeler la formule de la somme et la formule du nième terme.)

Maintenant, la tâche sous la forme d'un court cryptage) :

3. Trouvez la somme de tous les positifs nombres à deux chiffres, multiples de trois.

Ouah! Ni votre premier membre, ni votre dernier, ni progression du tout... Comment vivre !?

Vous devrez réfléchir avec votre tête et extraire tous les éléments de la somme de la progression arithmétique de la condition. Nous savons ce que sont les nombres à deux chiffres. Ils se composent de deux nombres.) Quel sera le nombre à deux chiffres d'abord? 10, vraisemblablement.) Un dernière chose numéro à deux chiffres ? 99, bien sûr ! Les chiffres à trois chiffres le suivront...

Multiples de trois... Hm... Ce sont des nombres divisibles par trois, ici ! Dix n'est pas divisible par trois, 11 n'est pas divisible... 12... est divisible ! Alors, quelque chose se dessine. Vous pouvez déjà écrire une série selon les conditions du problème :

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Cette série sera-t-elle une progression arithmétique ? Certainement! Chaque terme diffère du précédent par strictement trois. Si vous ajoutez 2 ou 4 à un terme, disons, le résultat, c'est-à-dire le nouveau nombre n'est plus divisible par 3. Vous pouvez immédiatement déterminer la différence de la progression arithmétique : d = 3. Cela sera utile !)

Ainsi, nous pouvons noter en toute sécurité quelques paramètres de progression :

Quel sera le numéro ? n dernier membre ? Quiconque pense que 99 se trompe fatalement... Les chiffres s'enchaînent toujours, mais nos membres dépassent trois. Ils ne correspondent pas.

Il y a deux solutions ici. Une solution est pour les super travailleurs. Vous pouvez noter la progression, toute la série de nombres et compter le nombre de membres avec votre doigt.) La deuxième façon est destinée aux réfléchis. Vous devez vous rappeler la formule du nième terme. Si nous appliquons la formule à notre problème, nous constatons que 99 est le trentième terme de la progression. Ceux. n = 30.

Regardons la formule de la somme d'une progression arithmétique :

Nous regardons et nous réjouissons.) Nous avons extrait de l'énoncé du problème tout le nécessaire pour calculer le montant :

un 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Il ne reste plus que l'arithmétique élémentaire. Nous remplaçons les nombres dans la formule et calculons :

Réponse : 1665

Un autre type de puzzle populaire :

4. Étant donné une progression arithmétique :

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Trouvez la somme des termes du vingtième à trente-quatre.

On regarde la formule du montant et... on s'énerve.) La formule, je vous le rappelle, calcule le montant Depuis le premier membre. Et dans le problème, vous devez calculer la somme depuis le vingtième... La formule ne fonctionnera pas.

Vous pouvez bien sûr écrire toute la progression dans une série et ajouter des termes de 20 à 34. Mais... c'est en quelque sorte stupide et prend beaucoup de temps, non ?)

Il existe une solution plus élégante. Divisons notre série en deux parties. La première partie sera du premier mandat au dix-neuvième. Deuxième partie - de vingt à trente-quatre heures. Il est clair que si l'on calcule la somme des termes de la première partie S1-19, ajoutons-le avec la somme des termes de la deuxième partie S20-34, on obtient la somme de la progression du premier mandat au trente-quatrième S1-34. Comme ça:

S1-19 + S20-34 = S1-34

De là, nous pouvons voir que trouver la somme S20-34 peut être fait par simple soustraction

S20-34 = S1-34 - S1-19

Les deux montants du côté droit sont pris en compte Depuis le premier membre, c'est-à-dire la formule de somme standard leur est tout à fait applicable. Commençons?

Nous extrayons les paramètres de progression de l'énoncé du problème :

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Pour calculer les sommes des 19 premiers et des 34 premiers termes, nous aurons besoin des 19e et 34e termes. On les calcule à l'aide de la formule du nième terme, comme dans le problème 2 :

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Il ne reste rien. De la somme de 34 termes soustrayez la somme de 19 termes :

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Réponse : 262,5

Une remarque importante ! Il existe une astuce très utile pour résoudre ce problème. Au lieu d'un calcul direct ce dont vous avez besoin (S 20-34), nous avons compté quelque chose qui ne semble pas nécessaire - S 1-19. Et puis ils ont déterminé S20-34, jetant de résultat complet inutile. Ce genre de « feinte avec les oreilles » vous évite souvent de graves problèmes.)

Dans cette leçon, nous avons examiné des problèmes pour lesquels il suffit de comprendre la signification de la somme d'une progression arithmétique. Eh bien, vous devez connaître quelques formules.)

Conseils pratiques:

Lors de la résolution d'un problème impliquant la somme d'une progression arithmétique, je recommande d'écrire immédiatement les deux formules principales de ce sujet.

Formule pour le nième terme :

Ces formules vous diront immédiatement quoi rechercher et dans quelle direction penser pour résoudre le problème. Aide.

Et maintenant les tâches pour une solution indépendante.

5. Trouvez la somme de tous les nombres à deux chiffres qui ne sont pas divisibles par trois.

Cool ?) L'indice est caché dans la note du problème 4. Eh bien, le problème 3 vous aidera.

6. La progression arithmétique est donnée par la condition : a 1 = -5,5 ; un n+1 = un n +0,5. Trouvez la somme de ses 24 premiers termes.

Inhabituel ?) C’est une formule récurrente. Vous pouvez en lire davantage dans la leçon précédente. N’ignorez pas le lien, de tels problèmes se retrouvent souvent à l’Académie nationale des sciences.

7. Vasya a économisé de l'argent pour les vacances. Jusqu'à 4550 roubles ! Et j'ai décidé d'offrir à ma personne préférée (moi-même) quelques jours de bonheur). Vivez magnifiquement sans rien vous priver. Dépensez 500 roubles le premier jour et chaque jour suivant, dépensez 50 roubles de plus que le précédent ! Jusqu'à ce que l'argent soit épuisé. Combien de jours de bonheur Vasya a-t-il eu ?

Est-ce difficile ?) Est-ce que cela aidera ? formule supplémentaire de la tâche 2.

Réponses (en désarroi) : 7, 3240, 6.

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.