Un trinôme carré est un polynôme de la forme ax^2 + bx + c, où x est une variable, a, b et c sont des nombres et a ≠ 0.

Pour factoriser un trinôme, vous devez connaître les racines de ce trinôme. (plus un exemple sur le trinôme 5x^2 + 3x- 2)

Remarque : la valeur du trinôme quadratique 5x^2 + 3x - 2 dépend de la valeur de x. Par exemple : Si x = 0, alors 5x^2 + 3x - 2 = -2

Si x = 2, alors 5x^2 + 3x - 2 = 24

Si x = -1, alors 5x^2 + 3x - 2 = 0

À x = -1, le trinôme carré 5x^2 + 3x - 2 disparaît, dans ce cas le nombre -1 est appelé racine d'un trinôme carré.

Comment obtenir la racine d'une équation

Expliquons comment nous avons obtenu la racine de cette équation. Tout d'abord, vous devez connaître clairement le théorème et la formule par laquelle nous allons travailler :

« Si x1 et x2 sont des racines trinôme quadratique ax^2 + bx + c, puis ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

Cette formule pour trouver les racines d'un polynôme est la formule la plus primitive, avec laquelle vous ne vous tromperez jamais.

L'expression est 5x^2 + 3x – 2.

1. Égal à zéro : 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. Trouver les racines équation quadratique, pour ce faire, on substitue les valeurs dans la formule (a est le coefficient de X^2, b est le coefficient de X, le terme libre, c'est-à-dire le chiffre sans X) :

On retrouve la première racine avec un signe plus devant la racine carrée :

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

La deuxième racine avec un signe moins devant la racine carrée :

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Nous avons donc trouvé les racines du trinôme quadratique. Pour vous assurer qu'elles sont correctes, vous pouvez vérifier : on substitue d'abord la première racine dans l'équation, puis la seconde :

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Si, après avoir remplacé toutes les racines, l’équation devient nulle, alors l’équation est résolue correctement.

3. Utilisons maintenant la formule du théorème : ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), rappelons-nous que X1 et X2 sont les racines de l'équation quadratique. Donc : 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Pour vous assurer que la décomposition est correcte, vous pouvez simplement multiplier les parenthèses :

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 + 3 – 2. Ce qui confirme l'exactitude de la décision.

La deuxième option pour trouver les racines d'un trinôme carré

Une autre option pour trouver les racines d’un trinôme carré est le théorème inverse du théorème de Viette. Ici, les racines de l'équation quadratique sont trouvées à l'aide des formules : x1 + x2 = -(b), x1 * x2 =c. Mais il est important de comprendre que ce théorème ne peut être utilisé que si le coefficient a = 1, c'est-à-dire le nombre devant x^2 = 1.

Par exemple : x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

On résout : x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Maintenant, il est important de réfléchir à quels chiffres dans le produit cela donne-t-il ? Naturellement ceci 1 * 1 Et -1 * (-1) . A partir de ces nombres on sélectionne ceux qui correspondent à l'expression x1 + x2 = 2, bien sûr - c'est 1 + 1. Nous avons donc trouvé les racines de l'équation : x1 = 1, x2 = 1. C'est facile à vérifier si on remplacez x^2 dans l'expression - 2x + 1 = 0.

Le monde est plongé dans grande quantité Nombres. Tous les calculs sont effectués avec leur aide.

Les gens apprennent les chiffres pour la vie plus tard Ne tombez pas dans le piège de la tromperie. Il faut énormément de temps pour s'éduquer et déterminer son propre budget.

Les mathématiques sont science exacte qui joue un grand rôle dans la vie. À l'école, les enfants étudient les nombres, puis les actions qui les concernent.

Les opérations sur les nombres sont complètement différentes : multiplication, expansion, addition et autres. En plus des formules simples, des actions plus complexes sont également utilisées dans l’étude des mathématiques. Il existe un grand nombre de formules qui peuvent être utilisées pour connaître n'importe quelle valeur.

À l’école, dès que l’algèbre apparaît, des formules de simplification s’ajoutent à la vie de l’élève. Il existe des équations dans lesquelles il y a deux nombres inconnus, mais trouvez d'une manière simple ne fonctionnera pas. Un trinôme est une combinaison de trois monômes utilisant méthode simple soustraction et addition. Le trinôme est résolu à l'aide du théorème de Vieta et du discriminant.

Formule pour factoriser un trinôme quadratique

Il y en a deux corrects et des solutions simples exemple:

• discriminant;
• Théorème de Vieta.

Un trinôme carré a un carré inconnu et également un nombre sans carré. La première option pour résoudre le problème utilise la formule de Vieta. C'est une formule simple, si les nombres qui précèdent l'inconnu seront la valeur minimale.

Pour les autres équations où un nombre précède l'inconnue, l'équation doit être résolue par le discriminant. Il s’agit d’une solution plus complexe, mais le discriminant est utilisé beaucoup plus souvent que le théorème de Vieta.

Dans un premier temps, pour tout trouver variables d'équation il faut élever l'exemple à 0. La solution de l'exemple peut être vérifiée et vous pouvez savoir si les nombres sont correctement ajustés.

Discriminant

1. Il est nécessaire d'assimiler l'équation à 0.

2. Chaque nombre avant x sera appelé les nombres a, b, c. Puisqu’il n’y a pas de nombre devant le premier carré x, il est égal à 1.

3. Maintenant, la solution de l'équation commence par le discriminant :

4. Nous avons maintenant trouvé le discriminant et trouvons deux x. La différence est que dans un cas b sera précédé d'un plus, et dans l'autre d'un moins :

5. En résolvant deux nombres, les résultats étaient -2 et -1. Remplacez dans l'équation d'origine :

6. Dans cet exemple, il y avait deux options correctes. Si les deux solutions conviennent, alors chacune d’elles est vraie.

Des équations plus complexes sont également résolues à l'aide du discriminant. Mais si la valeur discriminante elle-même est inférieure à 0, alors l’exemple est incorrect. Lors de la recherche, le discriminant est toujours à la racine et une valeur négative ne peut pas être à la racine.

Théorème de Vieta

Il est utilisé pour résoudre des problèmes faciles où le premier x n’est pas précédé d’un nombre, c’est-à-dire a=1. Si l’option correspond, alors le calcul est effectué à l’aide du théorème de Vieta.

Pour résoudre n’importe quel trinôme il faut élever l'équation à 0. Les premières étapes du discriminant et du théorème de Vieta ne sont pas différentes.

2. Maintenant, les différences entre les deux méthodes commencent. Le théorème de Vieta utilise non seulement le calcul « sec », mais aussi la logique et l'intuition. Chaque chiffre a sa propre lettre a, b, c. Le théorème utilise la somme et le produit de deux nombres.

Souviens-toi! Le nombre b a toujours le signe opposé lorsqu’on l’ajoute, mais le nombre c reste inchangé !

Remplacement des valeurs de données dans l'exemple , on a:

3. En utilisant la méthode logique, nous substituons les nombres les plus appropriés. Considérons toutes les options de solution :

1. Les nombres sont 1 et 2. Une fois additionnés, nous obtenons 3, mais si nous multiplions, nous n’obtenons pas 4. Cela ne correspond pas.
2. Valeur 2 et -2. Une fois multiplié, il sera de -4, mais une fois ajouté, il s'avère être 0. Ne convient pas.
3. Numéros 4 et -1. Puisque la multiplication implique une valeur négative, cela signifie que l’un des nombres sera négatif. Convient pour additionner et multiplier. Option correcte.

4. Il ne reste plus qu'à vérifier en disposant les nombres et voir si l'option sélectionnée est correcte.

5. Grâce à la vérification en ligne, nous avons appris que -1 ne correspond pas aux conditions de l'exemple et constitue donc une solution incorrecte.

Lors de l'ajout valeur négative dans l'exemple, vous devez mettre le numéro entre parenthèses.

En mathématiques, il y aura toujours des problèmes simples et des problèmes difficiles. La science elle-même comprend une variété de problèmes, de théorèmes et de formules. Si vous comprenez et appliquez correctement les connaissances, toutes les difficultés liées aux calculs seront insignifiantes.

Les mathématiques ne nécessitent pas une mémorisation constante. Vous devez apprendre à comprendre la solution et apprendre plusieurs formules. Peu à peu, selon des conclusions logiques, il est possible de résoudre des problèmes et des équations similaires. Une telle science peut paraître très difficile à première vue, mais si l’on plonge dans le monde des chiffres et des problèmes, la vision changera radicalement. meilleur côté.

Spécialités techniques restent toujours les plus recherchés au monde. Maintenant, dans le monde technologies modernes, les mathématiques sont devenues un attribut indispensable de tout domaine. Nous devons toujours nous rappeler propriétés bénéfiques mathématiques.

Développer un trinôme à l'aide d'une parenthèse

En plus de résoudre les méthodes habituelles, il en existe une autre : la décomposition entre parenthèses. Utilisé en utilisant la formule Vieta.

1. Égalisez l’équation à 0.

hache 2 +bx+c= 0

2. Les racines de l’équation restent les mêmes, mais au lieu de zéro, elles utilisent désormais des formules d’expansion entre parenthèses.

hache 2 + bx+ c = une (x – x 1) (x – x 2)

2 X 2 – 4 X – 6 = 2 (X + 1) (X – 3)

4. Solution x=-1, x=3

Calculateur en ligne.
Isoler le carré d'un binôme et factoriser un trinôme carré.

Ce programme de mathématiques distingue le binôme carré du trinôme carré, c'est à dire. fait une transformation comme :
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) et factorise un trinôme quadratique: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Ceux. les problèmes se résument à trouver les nombres \(p, q\) et \(n, m\)

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de résolution.

Ce programme peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation pour essais et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie d'un trinôme quadratique, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme quadratique

N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.
Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.
De plus, nombres fractionnaires peut être saisi non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.

Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

En entrant fraction numérique Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Partie entière séparé de la fraction par une esperluette : &
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Lors de la saisie d'une expression tu peux utiliser des parenthèses. Dans ce cas, lors de la résolution, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemple solution détaillée

Isoler le carré d'un binôme.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorisation.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\gauche(x^2+x-2 \droite) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2 \gauche(x -1 \droite) \gauche(x +2 \droite) $$

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Un peu de théorie.

Isoler le carré d'un binôme d'un trinôme carré

Si le trinôme carré axe 2 +bx+c est représenté par a(x+p) 2 +q, où p et q sont des nombres réels, alors nous disons que de trinôme carré, le carré du binôme est mis en évidence.

Du trinôme 2x 2 +12x+14 on extrait le carré du binôme.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Pour ce faire, imaginez 6x comme un produit de 2*3*x, puis ajoutez et soustrayez 3 2. On a:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Que. Nous extraire le binôme carré du trinôme carré, et a montré que :
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factoriser un trinôme quadratique

Si le trinôme carré axe 2 +bx+c est représenté sous la forme a(x+n)(x+m), où n et m sont des nombres réels, alors l'opération est dite effectuée factorisation d'un trinôme quadratique.

Montrons avec un exemple comment se fait cette transformation.

Factorisons le trinôme quadratique 2x 2 +4x-6.

Prenons le coefficient a entre parenthèses, c'est-à-dire 2 :
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformons l'expression entre parenthèses.
Pour ce faire, imaginez 2x comme la différence 3x-1x et -3 comme -1*3. On a:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Que. Nous factorisé le trinôme quadratique, et a montré que :
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

A noter que la factorisation d'un trinôme quadratique n'est possible que si l'équation quadratique correspondant à ce trinôme a des racines.
Ceux. dans notre cas, il est possible de factoriser le trinôme 2x 2 +4x-6 si l'équation quadratique 2x 2 +4x-6 =0 a des racines. Au cours du processus de factorisation, nous avons établi que l'équation 2x 2 + 4x-6 = 0 a deux racines 1 et -3, car avec ces valeurs, l'équation 2(x-1)(x+3)=0 se transforme en une vraie égalité.

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La factorisation des trinômes quadratiques fait référence à devoirs scolaires auquel tout le monde est confronté tôt ou tard. Comment faire? Quelle est la formule pour factoriser un trinôme quadratique ? Voyons cela étape par étape à l'aide d'exemples.

Formule générale

Les trinômes quadratiques sont factorisés en résolvant une équation quadratique. Il s'agit d'un problème simple qui peut être résolu par plusieurs méthodes : en trouvant le discriminant, en utilisant le théorème de Vieta, il existe également une solution graphique. Les deux premières méthodes sont étudiées au lycée.

La formule générale ressemble à ceci :lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algorithme pour terminer la tâche

Pour factoriser des trinômes quadratiques, vous devez connaître le théorème de Vita, disposer d'un programme de solution, être capable de trouver une solution graphiquement ou rechercher les racines d'une équation du deuxième degré à l'aide de la formule discriminante. Si un trinôme quadratique est donné et qu’il doit être factorisé, l’algorithme est le suivant :

1) Égalisez l’expression originale à zéro pour obtenir une équation.

2) Apportez termes similaires(s'il y a un tel besoin).

3) Trouvez les racines de tout d'une manière connue. La méthode graphique est mieux utilisée si l’on sait à l’avance que les racines sont des nombres entiers et de petits nombres. Il faut se rappeler que le nombre de racines est égal au degré maximum de l'équation, c'est-à-dire que l'équation quadratique a deux racines.

4) Remplacez la valeur X dans l’expression (1).

5) Écrivez la factorisation des trinômes quadratiques.

Exemples

La pratique permet de comprendre enfin comment cette tâche est réalisée. Des exemples illustrent la factorisation d'un trinôme carré :

il faut développer l'expression :

Recourons à notre algorithme :

1)x2 -17x+32=0

2) les termes similaires sont réduits

3) en utilisant la formule de Vieta, il est difficile de trouver des racines à cet exemple, il vaut donc mieux utiliser l'expression pour le discriminant :

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Remplaçons les racines que nous avons trouvées dans la formule de base de la décomposition :

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Alors la réponse sera la suivante :

x2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Vérifions si les solutions trouvées par le discriminant correspondent aux formules de Vieta :

14,845 . 2,155=32

Pour ces racines, le théorème de Vieta est appliqué, elles ont été trouvées correctement, ce qui signifie que la factorisation que nous avons obtenue est également correcte.

De même, nous développons 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x2 =-7-(337)1/2

Dans le cas précédent, les solutions n'étaient pas des nombres entiers, mais des nombres réels, faciles à trouver si vous avez une calculatrice devant vous. Maintenant, regardons plus exemple complexe, dans lequel les racines seront complexes : facteur x 2 + 4x + 9. En utilisant la formule de Vieta, les racines ne peuvent pas être trouvées et le discriminant est négatif. Les racines seront sur le plan complexe.

D=-20

Sur cette base, nous obtenons les racines qui nous intéressent -4+2i*5 1/2 et -4-2i * 5 1/2 puisque (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

On obtient la décomposition souhaitée en substituant les racines dans la formule générale.

Autre exemple : il faut factoriser l'expression 23x 2 -14x+7.

Nous avons l'équation 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Cela signifie que les racines sont 14+21.166i et 14-21.166i. La réponse sera :

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21 166i ).

Donnons un exemple qui peut être résolu sans l'aide d'un discriminant.

Disons que nous devons développer l'équation quadratique x 2 -32x+255. Évidemment, il peut aussi être résolu à l’aide d’un discriminant, mais dans ce cas, il est plus rapide de trouver les racines.

x1 =15

x2 =17

Moyens x2-32x+255 =(x-15)(x-17).

Sur Cette leçon Nous apprendrons comment factoriser des trinômes quadratiques en facteurs linéaires. Pour ce faire, nous devons nous rappeler le théorème de Vieta et sa réciproque. Cette compétence nous aidera à développer rapidement et facilement des trinômes quadratiques en facteurs linéaires et simplifiera également la réduction de fractions constituées d'expressions.

Revenons donc à l'équation quadratique, où .

Ce que nous avons sur le côté gauche s’appelle un trinôme quadratique.

Le théorème est vrai : Si ce sont les racines d’un trinôme quadratique, alors l’identité est vraie

Où est le coefficient principal, sont les racines de l'équation.

Nous avons donc une équation quadratique - un trinôme quadratique, où les racines de l'équation quadratique sont également appelées racines du trinôme quadratique. Par conséquent, si nous avons les racines d’un trinôme carré, alors ce trinôme peut être décomposé en facteurs linéaires.

Preuve:

Preuve ce fait est réalisée à l'aide du théorème de Vieta, dont nous avons discuté dans les leçons précédentes.

Rappelons ce que nous dit le théorème de Vieta :

Si sont les racines d’un trinôme quadratique pour lequel , alors .

L’énoncé suivant découle de ce théorème :

On voit que, d’après le théorème de Vieta, c’est-à-dire en substituant ces valeurs dans la formule ci-dessus, on obtient l’expression suivante

Q.E.D.

Rappelons que nous avons prouvé le théorème selon lequel si sont les racines d'un trinôme carré, alors le développement est valide.

Rappelons maintenant un exemple d'équation quadratique dont nous avons sélectionné les racines à l'aide du théorème de Vieta. De ce fait on peut obtenir l’égalité suivante grâce au théorème prouvé :

Vérifions maintenant l'exactitude de ce fait en ouvrant simplement les parenthèses :

On voit que nous avons factorisé correctement, et tout trinôme, s'il a des racines, peut être factorisé selon ce théorème en facteurs linéaires selon la formule

Cependant, vérifions si une telle factorisation est possible pour n'importe quelle équation :

Prenons, par exemple, l'équation . Vérifions d’abord le signe discriminant

Et nous nous souvenons que pour réaliser le théorème que nous avons appris, D doit être supérieur à 0, donc dans ce cas, la factorisation selon le théorème que nous avons appris est impossible.

Par conséquent, nous formulons un nouveau théorème : si un trinôme carré n'a pas de racines, alors il ne peut pas être décomposé en facteurs linéaires.

Nous avons donc examiné le théorème de Vieta, la possibilité de décomposer un trinôme quadratique en facteurs linéaires, et nous allons maintenant résoudre plusieurs problèmes.

Tâche n°1

Dans ce groupe nous allons en réalité résoudre le problème inverse de celui posé. Nous avions une équation et nous avons trouvé ses racines en la factorisant. Ici, nous ferons le contraire. Disons que nous avons les racines d'une équation quadratique

Le problème inverse est le suivant : écrivez une équation quadratique en utilisant ses racines.

Il existe 2 façons de résoudre ce problème.

Puisque sont les racines de l’équation, alors est une équation quadratique dont les racines reçoivent des nombres. Ouvrons maintenant les parenthèses et vérifions :

C'était la première façon dont nous créions une équation quadratique avec des racines données, qui n'a pas d'autres racines, puisque toute équation quadratique a au plus deux racines.

Cette méthode implique l'utilisation du théorème inverse de Vieta.

Si ce sont les racines de l’équation, alors elles satisfont à la condition suivante :

Pour l'équation quadratique réduite , , c'est-à-dire dans ce cas, et .

Ainsi, nous avons créé une équation quadratique qui a les racines données.

Tâche n°2

Il faut réduire la fraction.

Nous avons un trinôme au numérateur et un trinôme au dénominateur, et les trinômes peuvent ou non être factorisés. Si le numérateur et le dénominateur sont pris en compte, alors parmi eux, il peut y avoir des facteurs égaux qui peuvent être réduits.

Tout d’abord, vous devez factoriser le numérateur.

Tout d'abord, vous devez vérifier si cette équation peut être factorisée, trouvons le discriminant. Puisque , le signe dépend du produit (doit être inférieur à 0), en dans cet exemple, c'est-à-dire que l'équation donnée a des racines.

Pour résoudre, nous utilisons le théorème de Vieta :

Dans ce cas, puisqu'il s'agit de racines, il sera assez difficile de simplement sélectionner les racines. Mais nous voyons que les coefficients sont équilibrés, c'est-à-dire que si nous supposons que et introduisons cette valeur dans l'équation, nous obtenons le système suivant : , c'est-à-dire 5-5=0. Ainsi, nous avons sélectionné l'une des racines de cette équation quadratique.

Nous chercherons la racine deuxième en substituant ce qui est déjà connu dans le système d'équations, par exemple , c'est-à-dire .

Ainsi, nous avons trouvé les deux racines de l'équation quadratique et pouvons substituer leurs valeurs dans l'équation d'origine pour la factoriser :

Rappelons-nous le problème initial, il fallait réduire la fraction.

Essayons de résoudre le problème en remplaçant .

Il ne faut pas oublier que dans ce cas le dénominateur ne peut pas être égal à 0, c'est-à-dire .

Si ces conditions sont remplies, alors nous avons réduit la fraction originale à la forme .

Problème n°3 (tâche avec un paramètre)

A quelles valeurs du paramètre se trouve la somme des racines de l'équation quadratique

Si les racines de cette équation existent, alors , question : quand.