Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.
Ce raisonnement a été un choc logique pour tout le monde générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour, la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes ... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.
D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.
Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court avec vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».
Comment éviter ce piège logique ? Restez à l'intérieur unités constantes mesures de temps et ne vont pas à des quantités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :
Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Pour le prochain intervalle de temps, égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.
Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais ce n'est pas solution complète Problèmes. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.
Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :
Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.
Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce sur quoi je souhaite attirer particulièrement l’attention, c’est que deux points dans le temps et deux points dans l’espace sont des choses différentes qu’il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.
mercredi 4 juillet 2018
Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.
Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.
Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.
Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. En vigueur théorie mathématique aux mathématiciens eux-mêmes.
Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.
Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : différentes pièces de monnaie ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes sont uniques pour chaque pièce...
Et maintenant j'ai le plus intérêt Demander: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.
Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.
Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».
dimanche 18 mars 2018
La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.
Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.
Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.
1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.
2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.
3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.
4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.
La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.
D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Alors, dans différents systèmes En calcul, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope, nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.
Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Résultat similaire n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.
Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.
Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure de la même quantité conduisent à résultats différents après les avoir comparés, cela signifie que cela n'a rien à voir avec les mathématiques.
Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.
Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?
Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.
Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,
Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :
Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.
1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». C'est « l'homme qui fait caca » ou le nombre « vingt-six » dans système hexadécimal Compte Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.
Multiplication fractions ordinaires Examinons plusieurs options possibles.
Multiplier une fraction commune par une fraction
C'est le cas le plus simple dans lequel vous devez utiliser ce qui suit règles pour multiplier les fractions.
À multiplier fraction par fraction, nécessaire:
- multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et écrivez leur produit au numérateur de la nouvelle fraction ;
- multipliez le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction et écrivez leur produit au dénominateur de la nouvelle fraction ;
- Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
- Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Avant de multiplier les numérateurs et les dénominateurs, vérifiez si les fractions peuvent être réduites. Réduire les fractions dans les calculs rendra vos calculs beaucoup plus faciles.
Multiplier une fraction par un nombre naturel
Pour faire une fraction multiplier par entier naturel Vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur de la fraction inchangé.
Si le résultat de la multiplication n'est pas fraction propre, n'oubliez pas de le transformer en un nombre mixte, c'est-à-dire de mettre en évidence toute la partie.
Multiplier des nombres fractionnaires
Pour multiplier des nombres fractionnaires, vous devez d'abord les transformer en fractions impropres, puis multiplier selon la règle de multiplication des fractions ordinaires.
Une autre façon de multiplier une fraction par un nombre naturel
Parfois, lors des calculs, il est plus pratique d’utiliser une autre méthode pour multiplier une fraction commune par un nombre.
Pour multiplier une fraction par un nombre naturel, vous devez diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre et laisser le numérateur inchangé.
Comme le montre l'exemple, cette version de la règle est plus pratique à utiliser si le dénominateur de la fraction est divisible par un nombre naturel sans reste.
Opérations avec des fractions
Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
Il existe deux types d'addition de fractions :
Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :
Exemple 2. Ajoutez des fractions et .
Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :
La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas partie entière se démarque facilement - deux divisé par deux égale un :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :
Exemple 3. Ajoutez des fractions et .
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :
Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression 
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza et ajoutez plus de pizza, vous obtenez 1 pizza entière et une pizza supplémentaire.
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.
- Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
- Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
- Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
- Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;
- Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
- Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.
Par exemple, des fractions peuvent être ajoutées parce qu'elles ont mêmes dénominateurs.
Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.
L’essence de cette méthode est que nous recherchons d’abord le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.
Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, des fractions ayant des dénominateurs différents se transforment en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.
Exemple 1. Additionnons les fractions et
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).
Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.
LCM (2 et 3) = 6
Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.
Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.
Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :
La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. Réduire les fractions à dénominateur commun, nous avons des fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).
Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).
Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple trop détaillé. DANS les établissements d'enseignement Il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :
Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.
Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression 
.
Utilisons le diagramme que nous avons fourni ci-dessus.
Étape 1. Trouvez le LCM pour les dénominateurs des fractions
Trouvez le LCM pour les dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4. Vous devez trouver le LCM pour ces nombres :
Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction
Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :
Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires
On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :
Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :
L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.
Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, mettez en surbrillance toute sa partie
Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :
Nous avons reçu une réponse
Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
Il existe deux types de soustraction de fractions :
Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.
Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.
Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur identique :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression 
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :
La réponse était une fraction impropre. Si l'exemple est terminé, il est alors d'usage de se débarrasser de la fraction impropre. Débarrassons-nous de la fraction impropre dans la réponse. Pour cela, sélectionnons toute sa partie :
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.
Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.
Exemple 1. Trouvez le sens de l'expression :
Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.
LCM (3 et 4) = 12
Revenons maintenant aux fractions et
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :
On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :
Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Nous avons reçu une réponse
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza
Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :
La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :
La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression 
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).
Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.
Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au-dessus de la deuxième fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :
Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.
La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Il faudrait le rendre plus simple et plus esthétique. Ce qui peut être fait? Vous pouvez raccourcir cette fraction. Rappelons que réduire une fraction revient à diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand diviseur commun numérateur et dénominateur.
Pour réduire correctement une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 20 et 30.
Il ne faut pas confondre GCD avec NOC. L'erreur la plus courante de nombreux débutants. GCD est le plus grand diviseur commun. Nous trouvons qu'il réduit une fraction.
Et LCM est le multiple le moins commun. Nous le trouvons afin de ramener les fractions au même dénominateur (commun).
Nous allons maintenant trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 20 et 30.
Ainsi, on trouve GCD pour les nombres 20 et 30 :
PGCD (20 et 30) = 10
Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par 10 :
Nous avons reçu une belle réponse
Multiplier une fraction par un nombre
Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction donnée par ce nombre et laisser le dénominateur identique.
Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.
Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1
L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza
Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :
Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la fraction par 4
L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières
Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :
Multiplier des fractions
Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.
Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.
Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire fraction donnée. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :
L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :
Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :
Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :
Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :
Autrement dit, nous parlons de pizza à peu près de la même taille. La valeur de l’expression est donc
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, il faut la diviser par le pgcd du numérateur et du dénominateur. Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :
PGCD pour (105 et 150) est 15
Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par pgcd :
Représenter un nombre entier sous forme de fraction
Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :
Nombres réciproques
Maintenant, nous allons faire connaissance avec très sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des « numéros inversés ».
Définition. Inverser le numéro un est un nombre qui, multiplié par un en donne un.
Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :
Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.
Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :
Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d'autres termes, multipliez une fraction par elle-même, uniquement à l'envers :
Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :
Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.
L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.
- l'inverse de 3 est une fraction
- l'inverse de 4 est une fraction
Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.
Multiplier et diviser des fractions.
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Cette opération est bien plus sympa que l’addition-soustraction ! Parce que c'est plus facile. Pour rappel, pour multiplier une fraction par une fraction, il faut multiplier les numérateurs (ce sera le numérateur du résultat) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur). C'est-à-dire:
Par exemple:
Tout est extrêmement simple. Et s’il vous plaît, ne cherchez pas de dénominateur commun ! On n'a pas besoin de lui ici...
Pour diviser une fraction par une fraction, il faut inverser deuxième(c'est important !) fraction et multipliez-les, c'est-à-dire :
Par exemple:
Si vous rencontrez une multiplication ou une division avec des nombres entiers et des fractions, ce n'est pas grave. Comme pour l'addition, on fait une fraction à partir d'un nombre entier avec un au dénominateur - et c'est parti ! Par exemple:
Au lycée, on est souvent confronté à des fractions de trois étages (voire quatre étages !). Par exemple:
Comment puis-je rendre cette fraction décente ? Oui, très simple ! Utilisez la division en deux points :
Mais n'oubliez pas l'ordre de division ! Contrairement à la multiplication, c'est très important ici ! Bien entendu, on ne confondra pas 4:2 ou 2:4. Mais il est facile de se tromper sur une fraction de trois étages. A noter par exemple :
Dans le premier cas (expression de gauche) :
Dans la seconde (expression de droite) :
Sentez-vous la différence ? 4 et 1/9 !
Qu’est-ce qui détermine l’ordre de division ? Soit avec des parenthèses, soit (comme ici) avec la longueur des lignes horizontales. Développez votre œil. Et s'il n'y a pas de parenthèses ni de tirets, comme :
puis divise et multiplie dans l'ordre, de gauche à droite!
Et une autre technique très simple et importante. Dans des actions avec diplômes, cela vous sera tellement utile ! Divisons un par n'importe quelle fraction, par exemple par 13/15 :
Le coup s'est retourné ! Et cela arrive toujours. Lorsque l’on divise 1 par n’importe quelle fraction, le résultat est la même fraction, mais à l’envers.
C'est tout pour les opérations avec des fractions. La chose est assez simple, mais elle donne largement assez d'erreurs. Note conseils pratiques, et il y en aura moins (d'erreurs) !
Conseils pratiques :
1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention ! N'est pas Mots communs, pas de bons voeux ! C'est une nécessité absolue ! Effectuez tous les calculs de l'examen d'État unifié comme une tâche à part entière, ciblée et claire. Il est préférable d’écrire deux lignes supplémentaires dans votre brouillon plutôt que de faire des erreurs lors de vos calculs mentaux.
2. Dans les exemples avec différents types fractions - allez aux fractions ordinaires.
3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'elles s'arrêtent.
4. Nous réduisons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux aux expressions ordinaires en utilisant la division par deux points (nous suivons l'ordre de division !).
5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.
Voici les tâches que vous devez absolument accomplir. Les réponses sont données après toutes les tâches. Utilisez le matériel sur ce sujet et les conseils pratiques. Estimez combien d’exemples vous avez pu résoudre correctement. La première fois! Sans calculatrice ! Et tirez les bonnes conclusions...
N'oubliez pas : la bonne réponse est reçu dès la deuxième (surtout la troisième) fois ne compte pas ! Telle est la dure vie.
Donc, résoudre en mode examen ! D'ailleurs, il s'agit déjà d'une préparation à l'examen d'État unifié. Nous résolvons l'exemple, le vérifions, résolvons le suivant. Nous avons tout décidé - vérifié à nouveau du début au dernier. Mais, seulement Alors regarde les réponses.
Calculer:
As-tu décidé?
Nous recherchons des réponses qui correspondent aux vôtres. Je les ai volontairement notées dans le désordre, loin de la tentation, pour ainsi dire... Les voici, les réponses, écrites avec des points-virgules.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Maintenant, nous tirons des conclusions. Si tout s'est bien passé, je suis content pour toi ! Les calculs de base avec des fractions ne sont pas votre problème ! Vous pouvez faire des choses plus sérieuses. Sinon...
Vous avez donc l'un des deux problèmes suivants. Ou les deux à la fois.) Manque de connaissances et (ou) inattention. Mais ça soluble Problèmes.
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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
Multiplier des fractions communes
Regardons un exemple.
Supposons qu'il y ait $\frac(1)(3)$ une partie d'une pomme dans une assiette. Nous devons en trouver la partie $\frac(1)(2)$. La partie requise est le résultat de la multiplication des fractions $\frac(1)(3)$ et $\frac(1)(2)$. Le résultat de la multiplication de deux fractions communes est une fraction commune.
Multiplier deux fractions ordinaires
Règle de multiplication des fractions ordinaires :
Le résultat de la multiplication d'une fraction par une fraction est une fraction dont le numérateur est égal au produit des numérateurs des fractions multipliées, et le dénominateur est égal au produit des dénominateurs :
Exemple 1
Effectuez la multiplication des fractions communes $\frac(3)(7)$ et $\frac(5)(11)$.
Solution.
Utilisons la règle de multiplication des fractions ordinaires :
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Répondre:$\frac(15)(77)$
Si la multiplication de fractions donne une fraction réductible ou impropre, vous devez la simplifier.
Exemple 2
Multipliez les fractions $\frac(3)(8)$ et $\frac(1)(9)$.
Solution.
Nous utilisons la règle pour multiplier les fractions ordinaires :
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
En conséquence, nous obtenons une fraction réductible (basée sur la division par 3$. Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par 3$, nous obtenons :
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Solution courte :
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Répondre:$\frac(1)(24).$
Lorsque vous multipliez des fractions, vous pouvez réduire les numérateurs et les dénominateurs jusqu'à ce que vous trouviez leur produit. Dans ce cas, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont décomposés en facteurs simples, après quoi les facteurs répétitifs sont annulés et le résultat est trouvé.
Exemple 3
Calculez le produit des fractions $\frac(6)(75)$ et $\frac(15)(24)$.
Solution.
Utilisons la formule pour multiplier les fractions ordinaires :
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Évidemment, le numérateur et le dénominateur contiennent des nombres qui peuvent être réduits par paires aux nombres $2$, $3$ et $5$. Factorisons le numérateur et le dénominateur en facteurs simples et effectuons une réduction :
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Répondre:$\frac(1)(20).$
Lors de la multiplication de fractions, vous pouvez appliquer la loi commutative :
Multiplier une fraction commune par un nombre naturel
La règle pour multiplier une fraction commune par un nombre naturel :
Le résultat de la multiplication d'une fraction par un nombre naturel est une fraction dans laquelle le numérateur est égal au produit du numérateur de la fraction multipliée par l'entier naturel, et le dénominateur est égal au dénominateur de la fraction multipliée :
où $\frac(a)(b)$ est une fraction ordinaire, $n$ est un nombre naturel.
Exemple 4
Multipliez la fraction $\frac(3)(17)$ par 4$.
Solution.
Utilisons la règle pour multiplier une fraction ordinaire par un nombre naturel :
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Répondre:$\frac(12)(17).$
N'oubliez pas de vérifier le résultat de la multiplication par la réductibilité de la fraction ou par une fraction impropre.
Exemple 5
Multipliez la fraction $\frac(7)(15)$ par le nombre $3$.
Solution.
Utilisons la formule pour multiplier une fraction par un nombre naturel :
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
En divisant par le nombre $3$), nous pouvons déterminer que la fraction résultante peut être réduite :
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Le résultat était une fraction incorrecte. Sélectionnons la partie entière :
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Solution courte :
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Les fractions pourraient également être réduites en remplaçant les nombres du numérateur et du dénominateur par leurs factorisations en facteurs premiers. Dans ce cas, la solution pourrait s’écrire comme suit :
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Répondre:$1\frac(2)(5).$
Lorsque vous multipliez une fraction par un nombre naturel, vous pouvez utiliser la loi commutative :
Diviser des fractions
L'opération de division est l'inverse de la multiplication et son résultat est une fraction par laquelle vous devez multiplier la fraction connue pour obtenir œuvre célèbre deux fractions.
Diviser deux fractions ordinaires
Règle de division des fractions ordinaires :Évidemment, le numérateur et le dénominateur de la fraction résultante peuvent être factorisés et réduits :
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
En conséquence, nous obtenons une fraction impropre, à partir de laquelle nous sélectionnons la partie entière :
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Répondre:$1\frac(5)(9).$
La dernière fois, nous avons appris à additionner et soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La partie la plus difficile de ces actions consistait à amener les fractions à un dénominateur commun.
Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. La bonne nouvelle est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Considérons d’abord le cas le plus simple, lorsqu’il existe deux fractions positives sans partie entière séparée.
Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.
Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».
Désignation:
De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.
À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.
Par définition nous avons :
Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives
Si les fractions contiennent une partie entière, elles doivent être converties en fractions impropres - et ensuite seulement multipliées selon les schémas décrits ci-dessus.
S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :
- Plus par moins donne moins ;
- Deux négatifs font un affirmatif.
Jusqu’à présent, ces règles n’étaient rencontrées qu’en addition et soustraction. fractions négatives lorsqu'il fallait se débarrasser d'une pièce entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :
- On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. DANS en dernier recours, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
- S'il ne reste plus d'inconvénients, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n’est pas barré parce qu’il n’y avait pas de paire, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.
Tâche. Trouvez le sens de l'expression :
Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste par règles normales. On a:
Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).
Notez également nombres négatifs: Lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.
Réduire les fractions à la volée
La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :
Tâche. Trouvez le sens de l'expression :
Par définition nous avons :
Dans tous les exemples, les nombres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.
Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple réduction complète Il n’a pas été possible d’y parvenir, mais le nombre total de calculs a encore diminué.
Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :
Vous ne pouvez pas faire ça !
L'erreur se produit car lors de l'addition, le numérateur d'une fraction produit une somme et non un produit de nombres. Par conséquent, il est impossible d’appliquer la propriété fondamentale d’une fraction, puisque cette propriété concerne spécifiquement la multiplication des nombres.
Il n'y a tout simplement aucune autre raison de réduire les fractions, donc bonne solution la tâche précédente ressemble à ceci :
Bonne solution :
Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.
Invocation d'un démon - ne lisez pas pour les âmes sensibles !
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