Théories dynamiques et statistiques. Lois et théories dynamiques et mécaniques, déterminisme

Lois dynamiques et statiques.

2. Modèles dynamiques

Les phénomènes physiques en mécanique, en électromagnétisme et en théorie de la relativité sont principalement soumis aux lois dites dynamiques. Les lois dynamiques reflètent des relations de cause à effet sans ambiguïté qui sont soumises au déterminisme de Laplace.

Les lois dynamiques sont les lois de Newton, les équations de Maxwell, les équations de la relativité.

Mécanique newtonienne classique

La base de la mécanique de Newton est la loi de l'inertie de Galilée, deux lois découvertes par Newton, et la loi de la gravitation universelle, également découverte par Isaac Newton.

1. Selon la loi de l'inertie formulée par Galilée, le corps maintient un état de repos ou uniforme mouvement rectiligne jusqu'à ce que l'influence d'autres corps le fasse sortir de cet état.

Première loi de Newton : chaque point matériel (corps) maintient un état de repos ou de mouvement linéaire uniforme jusqu'à ce que l'influence d'autres corps l'oblige à changer cet état.

2. Cette loi établit la relation entre la masse corporelle, la force et l'accélération.

Deuxième loi de Newton : l'accélération acquise par un point matériel (corps) est proportionnelle à la force qui la provoque et inversement proportionnelle à la masse du point matériel (corps)

La deuxième loi n'est valable que dans les référentiels inertiels. La première loi peut être dérivée de la seconde.

3. Établit un lien entre la force d'action et la force de réaction.

Troisième loi de Newton : toute action de points matériels (corps) les uns sur les autres est de la nature de l'interaction ; les forces avec lesquelles les points matériels agissent les uns sur les autres sont de même ampleur, dirigées de manière opposée et agissent le long de la ligne droite reliant ces points.

4. La loi IV est la loi gravité universelle.

Deux corps quelconques s'attirent avec une force proportionnelle à la masse des forces et inversement proportionnelle au carré de la distance entre les centres des corps.

Les équations de Maxwell.

Les équations de Maxwell sont les plus équations générales pour les champs électriques et magnétiques dans des milieux au repos. Dans la doctrine de l'électromagnétisme, elles jouent le même rôle que les lois de Newton en mécanique. Des équations de Maxwell, il s'ensuit qu'un champ magnétique alternatif est toujours associé au champ électrique qu'il génère, et qu'un champ électrique alternatif est associé au champ magnétique qu'il génère, c'est-à-dire que les champs électriques et magnétiques sont inextricablement liés les uns aux autres - ils forment un seul champ électromagnétique.

D'après les équations de Maxwell, il s'ensuit que les sources du champ électrique peuvent être soit charges électriques, ou changeant avec le temps champs magnétiques, et les champs magnétiques peuvent être excités soit par le déplacement de charges électriques

(courants électriques) ou courants alternatifs champs électriques. Les équations de Maxwell ne sont pas symétriques par rapport aux champs électriques et magnétiques. Cela est dû au fait que dans la nature, il existe des charges électriques mais pas de charges magnétiques.

Équations de la théorie de la relativité.

La théorie de la relativité restreinte, dont les principes ont été formulés en 1905 par A. Einstein, est une théorie physique moderne de l'espace et du temps dans laquelle, comme dans la mécanique newtonienne classique, on suppose que le temps est homogène et que l'espace est homogène et isotrope. La théorie spéciale est souvent appelée théorie relativiste, et les phénomènes spécifiques décrits par cette théorie sont appelés effet relativiste (effet de dilatation du temps).

La théorie de la relativité restreinte est basée sur les postulats d'Einstein :

principe de relativité : aucune expérience (mécanique, électrique, optique) réalisée dans un référentiel inertiel donné ne permet de détecter si ce système est au repos ou se déplace de manière uniforme et rectiligne ; toutes les lois de la nature sont invariantes quant au passage d'un système inertiel à un autre ;

principe d'invariance de la vitesse de la lumière : la vitesse de la lumière dans le vide ne dépend pas de la vitesse de la lumière ni de l'observateur et est la même dans tous les référentiels inertiels.

Le premier postulat, étant une généralisation principe mécanique La relativité de Galilée à tout processus physique affirme ainsi que les lois physiques sont invariantes

en ce qui concerne le choix du référentiel inertiel, et les équations décrivant ces lois sont de même forme dans tous les référentiels inertiels. Selon ce postulat, tous les systèmes de référence inertiels sont complètement égaux, c'est-à-dire que les phénomènes mécaniques, électrodynamiques, optiques, etc. se produisent de la même manière dans tous les systèmes de référence inertiels.

Selon le deuxième postulat, la constance de la vitesse de la lumière dans le vide est une propriété fondamentale de la nature.

La théorie de la relativité générale, parfois appelée théorie de la gravité, est le résultat du développement de la théorie de la relativité restreinte. Il en résulte que les propriétés de l'espace-temps dans une région donnée sont déterminées par les champs gravitationnels qui y agissent. Lorsqu'on passe aux échelles cosmiques, la géométrie de l'espace-temps peut changer d'une région à l'autre en fonction de la concentration des masses dans ces régions et de leur mouvement.

DÉTERMINISME MÉCANIQUE

Les déterministes croient que tout ce qui se passe dans le monde est considéré comme une conséquence de l'action de lois objectives sans ambiguïté et que le hasard est l'expression d'une nécessité inconnue. Survenu doctrine philosophique déterminisme mécanique, représentant classique qui était Pierre Simon Laplace (1749-1827) - mathématicien, physicien et philosophe français. Le déterminisme de Laplace exprime l'idée d'un déterminisme absolu - la croyance que tout ce qui arrive a une cause dans notion humaine et il y a une nécessité inconnue de la raison. Le concept de déterminisme selon Laplace suppose l'unicité et la prédétermination du futur ; cela découle de la reconnaissance d'une stricte relation de cause à effet entre les événements et les phénomènes et nie l'objectivité du hasard. Tout dans le monde est objectivement prédéterminé et déterminé. Il ne peut y avoir de « soit ou bien ». L'avenir est aussi clair que le passé. Le déterminisme mécanique combine des concepts tels que « matière », « information », « espace » et « temps » en un seul tout. Tous ces concepts doivent être considérés comme différentes manifestations d'un même quelque chose, que l'on peut conditionnellement appeler l'absolu.

1. En raison de l'absence d'ambiguïté lois dynamiques nature, l’avenir est aussi clair que le passé. Il n'y a pas événements aléatoires, le hasard est une nécessité inconnue.

2. Le temps est un moyen de réaliser des relations de cause à effet, et comme la cause précède toujours l'effet, l'écoulement du temps est toujours sans ambiguïté et unidirectionnel.

3. Le voyage dans le temps n’est possible que de cause à effet. Par conséquent, passer du futur au passé n’est possible que si ce mouvement exclut la possibilité de toute intervention active dans le passé.

4. Dans le même temps, un mouvement passif est possible, à la fois vers le passé et vers le futur, sous réserve uniquement de l'observation

événements et impossibilités influence active sur lui. Seule la contemplation passive d’images de ce qui s’est passé et du futur est possible.

5. Le passage du temps peut se produire dans différents systèmes de coordonnées qui ne coïncident pas les uns avec les autres, mais le passage de l'un à l'autre ne peut conduire à une violation des relations cause-temporelle et à l'unicité du futur.

Déterminisme- la doctrine de la conditionnalité causale et matérielle des facteurs naturels, sociaux et phénomènes psychiques. L’essence du déterminisme est l’idée que tout ce qui existe dans le monde surgit et se détruit naturellement, sous l’action de certaines causes.
Indéterminisme - une doctrine qui nie la causalité objective des phénomènes naturels, de la société et de la psyché humaine.
Dans la physique moderne, l'idée de déterminisme s'exprime dans la reconnaissance de l'existence de lois physiques objectives et trouve son reflet plus complet et général dans les théories physiques fondamentales.
Les théories physiques fondamentales (lois) représentent l’ensemble des connaissances les plus essentielles sur les lois physiques. Cette connaissance n'est pas exhaustive, mais elle reflète aujourd'hui le plus pleinement les processus physiques de la nature. À leur tour, sur la base de certaines théories fondamentales, sont formulées des lois physiques privées telles que la loi d’Archimède, la loi d’Ohm, la loi de l’induction électromagnétique, etc.
Les scientifiques sont unanimes pour dire que la base de toute théorie physique se compose de trois éléments principaux :
1) totalité grandeurs physiques, à l'aide duquel sont décrits les objets d'une théorie donnée (par exemple, en mécanique newtonienne - coordonnées, impulsions, énergie, forces) ; 2) la notion d'État ; 3) les équations de mouvement, c'est-à-dire les équations qui décrivent l'évolution de l'état du système considéré.
De plus, pour résoudre le problème de la causalité important a une division des lois et théories physiques en dynamiques et statistiques (probabilistes).

L'histoire du développement de la science montre comment les théories dynamiques initialement émergentes sont remplacées par des théories statistiques, décrivant le même éventail de phénomènes dans les systèmes macroscopiques, qui ne prennent pas en compte le comportement des éléments individuels de ce système (par exemple, une seule molécule dans un gaz) et des changements dans leurs caractéristiques, mais fonctionnent avec des grandeurs caractérisant le système en général, c'est-à-dire macroparamètres (par exemple, pression du gaz, densité du gaz, etc.). Ainsi, on peut dire que les théories dynamiques sont construites sur la base de la moyenne des lois de comportement d'un grand nombre de particules dans des conditions d'équilibre (ou faiblement équilibré), et ne prennent pas en compte les variations obtenues sur la base de ces théories, les résultats qui changeraient sous l’influence de l’environnement entourant le système. Dans les processus réels, des écarts inévitables se produisent toujours - fluctuations .Fluctuations – ce sont des écarts aléatoires des paramètres du système (ou de l’ensemble du système) par rapport aux valeurs moyennes des paramètres (ou de la moyenne, c’est-à-dire l’état le plus probable du système).

Lorsque les fluctuations sont importantes, dans des systèmes complexes comportant un grand nombre d'éléments, qui dépendent également de conditions externes en constante évolution, les lois statistiques décrivent les processus étudiés de manière plus approfondie et plus précise.

La principale différence entre les lois statistiques et les lois dynamiques réside dans la prise en compte du hasard (fluctuations).

DANS sciences naturelles modernes les lois de type dynamique sont combinées avec des lois de type statistique. Les lois de type dynamique sont utilisées pour les systèmes et les processus dans lesquels il est permis de négliger l'influence de facteurs aléatoires réellement existants. Si cela ne peut pas être fait, des théories statistiques sont utilisées, qui fournissent une description plus profonde, plus détaillée et plus précise de la réalité.

Résumons tout ce qui précède.

L'état d'un système en sciences naturelles peut être précisé :

Les valeurs des grandeurs mesurées caractérisant ce système à un instant donné

Les probabilités avec lesquelles l'une ou l'autre grandeur caractérisant un système prend des valeurs données.

Théories scientifiques dynamiques :

Décrire l'état du système par les valeurs des grandeurs mesurées caractérisant le système

Ils ne prennent pas en compte et ne permettent pas de décrire les fluctuations - écarts aléatoires systèmes de l'état le plus probable

Ils n’utilisent pas l’appareil de la théorie des probabilités.

Théories scientifiques statistiques :

Permet de calculer et de prédire uniquement la probabilité qu'une grandeur caractérisant le système prenne telle ou telle valeur

Décrire l'état du système dans le langage des probabilités avec lesquelles telle ou telle grandeur caractérisant le système prend des valeurs données

Prendre en compte les écarts aléatoires par rapport à la norme

Décrire le comportement probable de systèmes constitués d'un grand nombre d'éléments.

Correspondance entre lois dynamiques et statistiques :

La théorie dynamique correspond à un analogue statistique plus précis, qui décrit la réalité de manière plus complète et plus profonde.

La théorie statistique décrit toujours une classe de phénomènes plus large que son homologue dynamique

Les lois statistiques reflètent plus pleinement et plus profondément les relations objectives dans la nature, car elles prennent en compte le caractère aléatoire qui existe réellement dans le monde.

La mécanique classique de Newton (théorie dynamique) est une approximation de la mécanique quantique (théorie statistique) pour décrire le mouvement des macro-objets

Toutes les théories statistiques fondamentales contiennent comme approximations les théories dynamiques correspondantes, à condition que le caractère aléatoire puisse être négligé.

Les théories dynamiques sont :

Mécanique

Électrodynamique

Thermodynamique

Théorie de la relativité

Les théories statistiques sont :

Théorie cinétique moléculaire des gaz

Mécanique quantique, autres théories quantiques

La théorie de l'évolution de Darwin

Concepts de base des théories statistiques :

Aléatoire (imprévisibilité)

Probabilité (mesure numérique du caractère aléatoire)

Valeur moyenne

La fluctuation est un écart aléatoire d'un système par rapport à la moyenne (l'état le plus probable).

Les systèmes dynamiques sont très populaires dans la modélisation économique.

Types de processus se produisant dans les systèmes économiques :

• Déterministe ;
• Stochastique ;
• Chaotique.

Au niveau macro, en raison des actions des lois économiques objectives et des influences réglementaires de l'État, les processus déterministes sont plus caractéristiques. Pour le niveau micro - stochastique (probabiliste).

Quand assez grandes quantités observations et généralisation du phénomène étudié à plus haut niveau hiérarchie, la composante déterministe commence à prévaloir, et la composante stochastique se transforme en « bruit ».

Compte tenu de la nature chaotique du système étudié, l'utilisation de méthodes facilite quelque peu l'étude de l'objet en déterminant le mécanisme déterministe de son comportement. Ceci, à son tour, nous permet de réduire l’incertitude de la cognition du système.

Système dynamique est un système dont les paramètres dépendent explicitement ou implicitement du temps.

Ainsi, si des équations fonctionnelles sont données pour le comportement du système, elles incluent alors explicitement des variables relatives à différents moments dans le temps.

Les propriétés les plus importantes des systèmes dynamiques complexes

Considérons les propriétés les plus importantes des systèmes dynamiques.

1. Intégrité (émergence) des systèmes dynamiques

Dans un système, les parties individuelles fonctionnent ensemble, constituant collectivement le processus de fonctionnement du système dans son ensemble. Le fonctionnement combiné d'éléments hétérogènes interconnectés donne naissance à des propriétés fonctionnelles qualitativement nouvelles de l'ensemble, qui n'ont pas d'analogue dans les propriétés de ses éléments. Cela signifie qu’il est fondamentalement impossible de réduire les propriétés d’un système à la somme des propriétés de ses éléments.

2. Interaction d'un système dynamique avec l'environnement extérieur

Le système réagit à l'influence environnement, évolue sous cette influence, mais conserve en même temps une certitude qualitative et des propriétés qui le distinguent des autres systèmes.

3. Structure d'un système dynamique

Lors de l’étude d’un système, la structure agit comme un moyen de décrire son organisation. En fonction de la tâche de recherche, le système est décomposé en éléments et les relations et connexions entre eux qui sont essentielles au problème à résoudre sont introduites. La décomposition d'un système en éléments et connexions est déterminée par les propriétés internes d'un système donné. La structure est de nature dynamique, son évolution dans le temps et dans l'espace reflète le processus de développement des systèmes.

4. Infinité de connaissance d'un système dynamique

Cette propriété signifie l'impossibilité d'une connaissance complète du système et d'une représentation complète de celui-ci par un ensemble fini de descriptions, c'est-à-dire un nombre fini de caractéristiques qualitatives et quantitatives. Par conséquent, le système peut être représenté par de nombreuses options structurelles et fonctionnelles, reflétant divers aspects du système.

5. Hiérarchie d'un système dynamique

Chaque élément de la décomposition du système peut être considéré comme système complet, dont les éléments, à leur tour, peuvent également être représentés comme des systèmes. Mais d’un autre côté, tout système n’est qu’une composante d’un système plus vaste.

6. Élément d'un système dynamique

Un élément est compris comme le plus petit maillon de la structure d'un système, structure interne qui n’est pas pris en compte au niveau d’analyse choisi. Selon la propriété 5, tout élément est un système, mais à un niveau d'analyse donné, ce système n'est caractérisé que par des caractéristiques holistiques.

L'intégrité, la structure, l'élément, l'infini et la hiérarchie forment le cœur des concepts formant le système théorie générale systèmes et constitue la base de la représentation systémique des objets et de la formation de concepts pour la recherche sur les systèmes.

Pour une étude plus détaillée des propriétés systèmes économiques dynamiques(ES) il est nécessaire de prendre en compte un certain nombre de propriétés supplémentaires de ses caractéristiques.

1. État du système dynamique. L’état du système est déterminé par les états de ses éléments. Théoriquement, l’ensemble possible des états est égal au nombre de combinaisons possibles de tous les états des éléments. Cependant, l'interaction Composants conduit à une limitation du nombre de combinaisons réelles. Les changements dans l’état d’un élément peuvent se produire implicitement, continuellement ou brusquement.
2. Comportement des systèmes dynamiques. Le comportement d'un système s'entend comme une transition naturelle d'un état à un autre, déterminée par les propriétés des éléments et de la structure.
3. Continuité du système. Le système existe tant que fonctionnent les processus socio-économiques et autres dans la société, qui ne peuvent être interrompus, sinon le système cessera de fonctionner. Tous les processus dans l’UE, comme dans un organisme vivant, sont interconnectés. Le fonctionnement des parties détermine la nature du fonctionnement de l'ensemble, et vice versa. Le fonctionnement du système est associé à des changements continus dont l'accumulation conduit au développement.
4. Développement d'un système dynamique. L'activité vitale d'un système complexe est un changement constant dans les phases de fonctionnement et de développement, qui s'exprime dans la restructuration fonctionnelle et structurelle continue du système, de ses sous-systèmes et de ses éléments. L'évolution des systèmes économiques est déterminée par l'un des les propriétés les plus importantes systèmes complexes- capacité de développement personnel. La source centrale du développement personnel est le processus continu d’émergence et de résolution de contradictions. Le développement, en règle générale, est associé à la complication du système, c'est-à-dire avec une augmentation de sa diversité interne.
5. Dynamisme du système. Le système économique fonctionne et se développe dans le temps, il a une préhistoire et un avenir, et se caractérise par une certaine cycle de vie, dans lequel certaines phases peuvent être distinguées : émergence, croissance, développement, stabilisation, dégradation, élimination ou stimulation du changement.
6. Complexité d'un système dynamique. Le système économique se caractérise par un grand nombre d'éléments et de connexions hétérogènes, de polyfonctionnalité, de polystructuralité, de multicritères, de développement multivarié et de propriétés de systèmes complexes, il apparaît donc comme système dynamique complexe.
7. Homéostaticité. L’homéostaticité reflète la capacité du système à s’auto-préserver et à résister aux influences destructrices de l’environnement.
8. Détermination. Tous les systèmes dynamiques de l'économie sont caractérisés par la détermination, c'est-à-dire la présence de certains objectifs et le désir de les atteindre. Le développement du système est précisément associé à un changement d'objectif.
9. Contrôlabilité d'un système dynamique. L'organisation consciente du fonctionnement ciblé du système et de ses éléments est appelée contrôlabilité. Au cours de la vie, le système, grâce à une gestion ciblée, résout les contradictions qui surgissent constamment et répond aux changements des conditions internes et externes de son existence. En fonction des changements, il modifie sa structure, ajuste les objectifs de développement et le contenu des activités des éléments, c'est-à-dire il existe une auto-organisation ciblée du système, qui réalise dans la pratique la capacité de développement personnel. L'une des fonctions principales de l'auto-organisation est la préservation de l'unicité qualitative du système au cours de son évolution. Les propriétés de contrôlabilité apparaissent également dans des caractéristiques telles que l'autonomie relative et la contrôlabilité fonctionnelle. L'autonomie relative du fonctionnement des systèmes économiques signifie qu'à la suite d'une action retour chaque composante du signal de sortie peut être modifiée en modifiant le signal d'entrée, tandis que les autres composantes restent inchangées. La contrôlabilité fonctionnelle d'un système économique signifie que tout signal de sortie peut être obtenu par un choix approprié de l'influence d'entrée.
10. Adaptabilité d'un système dynamique. Un système économique adaptatif est déterminé par deux types d’adaptation : passive et active. L'adaptation passive est caractéristique interne un système économique doté de certaines capacités d’autorégulation. L'adaptation active représente un mécanisme de gestion adaptative du système économique et d'organisation de sa mise en œuvre efficace.
11. Inertie d'un système dynamique. L'inertie du système économique se manifeste par l'apparition d'un retard dans le système et réagit de manière symptomatique aux perturbations et aux influences de contrôle.
12. Stabilité d'un système dynamique. Un système est considéré comme relativement stable dans certaines limites si, avec des changements suffisamment faibles des conditions de fonctionnement, son comportement ne change pas de manière significative. Dans le cadre de la théorie des systèmes, la stabilité structurelle et la stabilité de la trajectoire du comportement d'un système sont étudiées. La stabilité de l'UE est assurée par des aspects de l'auto-organisation tels que la différenciation et la labilité (sensibilité). La différenciation est le désir du système de diversité structurelle et fonctionnelle des éléments, qui fournit non seulement les conditions d'émergence et de résolution des contradictions, mais détermine également la capacité du système à s'adapter rapidement aux conditions d'existence existantes. Plus de diversité signifie plus de durabilité, et vice versa. La labilité signifie la mobilité des fonctions des éléments tout en maintenant la stabilité de la structure du système dans son ensemble.
13. État d'équilibre d'un système dynamique. La stabilité du système est associée à son désir d'un état d'équilibre, ce qui présuppose un tel fonctionnement des éléments du système qui assure une efficacité accrue du mouvement vers les objectifs de développement. DANS conditions réelles le système ne peut pas atteindre complètement un état d’équilibre, même s’il s’efforce d’y parvenir. Les éléments du système fonctionnent différemment dans conditions différentes, et leur interaction dynamique influence constamment le mouvement du système. Le système aspire à l'équilibre, les efforts de gestion visent cela, mais, l'ayant atteint, il s'en éloigne immédiatement. Ainsi, durable système économique est constamment dans un état d'équilibre dynamique, il fluctue continuellement par rapport à la position d'équilibre, ce qui est non seulement sa propriété spécifique, mais aussi une condition de l'émergence continue de contradictions comme forces motricesévolution.

Zone principale application réelle les mathématiques modernes étaient et restent modélisation mathématique. Et ce que les mathématiques tentent de modéliser dans le cadre du développement de la physique, de la chimie et de l’ingénierie devient de plus en plus complexe et multiforme. En particulier, l'un des plus les points importants dans le développement de la modélisation de processus et de systèmes complexes, l'émergence du concept et de la théorie d'un système dynamique a commencé.

Les systèmes dynamiques en général sont appelés abstractions mathématiques destinées à décrire l'évolution de certains processus au fil du temps. Il s'agit d'un modèle de certains objets, phénomènes, processus qui se déroulent au fil du temps.

Souvent, les systèmes dynamiques étudiés par cette théorie sont représentés comme des systèmes dotés d'un état. Dans ce cas, nous pouvons considérer un système dynamique comme un système qui décrit la dynamique d'un processus de transition du système d'un état à un autre. Cela donne logiquement lieu à la définition de l'espace des phases du système, c'est-à-dire la totalité de tous les États qui y sont acceptables. En général, les systèmes dynamiques dans théorie mathématique sont caractérisés par deux facteurs principaux : l'état initial du système et la loi selon laquelle il passe de cet état au suivant. Beaucoup matériel mathématique sont maintenant dans en format électronique, ils ont été traduits à l’aide d’un service de numérisation et d’OCR.

Le développement ultérieur de la théorie a conduit à la création d'une distinction entre les systèmes décrits par ce que l'on appelle le temps discret et les systèmes à flux de temps continu. Celles associées au temps discret sont appelées cascades ; dans celles-ci, le comportement des systèmes peut être décrit à travers une séquence d'états. Pour les systèmes à temps continu, également appelés flux, leur état peut être déterminé pour chaque instant individuel sur l'axe complexe ou réel.

Ainsi, progressivement, grâce au développement de la théorie, des dynamiques symboliques et topologiques sont apparues, qui étudient plus en détail les phénomènes décrits ci-dessus. D'un point de vue pratique, les systèmes dynamiques avec tout type de temps peuvent le plus souvent être décrits de manière adéquate à l'aide de systèmes autonomes d'équations différentielles spécifiées dans un certain domaine et qui doivent satisfaire aux conditions d'existence et au théorème d'unicité pour résoudre les équations différentielles. .

La théorie des systèmes dynamiques dans son ensemble s'intéresse en fait à l'étude des courbes formées par des éléments similaires. équations différentielles. Dans le cadre de telles études, l'espace des phases du système est divisé en trajectoires et des recherches plus approfondies sont menées sur le comportement possible de ces trajectoires, ainsi que sur la classification des positions d'équilibre possibles et l'identification des soi-disant attractions et ensembles répulsifs qui les contrôlent (attracteurs et répulsifs).

Concepts du système, principales caractéristiques du système.

Système - c'est un ensemble d'éléments qui interagissent et sont reliés par une certaine structure.

Le bloc de base de tout système est constitué de ses éléments constitutifs ; chaque élément est caractérisé par un ensemble d’états dans lesquels il peut se trouver.

Schéma de fonctionnement de l'élément système :

De nombreux systèmes sont caractérisés par le principe du retour d'information : le signal de sortie peut être utilisé pour corriger le contrôle.

S(t) – état de l’élément au moment t.

U(t) – contrôle de l’élément au temps t.

a(t) est l'environnement externe de l'élément au temps t.

E(t) – effets aléatoires de l’élément au moment t.

Y(t) – signal de sortie de l'élément au temps t.

Dans le cas général, la description du fonctionnement d'un élément du système se fait à l'aide d'un système d'équations différentielles ou aux différences de la forme suivante :

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (t),E(t-1),…)

(Y(t) = g (S(t), une(t), E(t)) (1)

Exemples de structure de système :

linéaire (séquentiel):

hiérarchique (en forme d'arbre):

radial (étoile):

cellulaire ou matricielle :

multiplié connecté - avec une structure arbitraire.

Lors de l'analyse de systèmes dynamiques, nous envisageons de résoudre les problèmes suivants :

La tâche de l'observation est de déterminer l'état du système à l'instant S(t) sur la base des données des valeurs de sortie (sur leur comportement) dans le futur.

Trouver S(t) en sachant
pour un système à temps discret.

pour les systèmes à temps continu.

La tâche d'identification consiste à déterminer l'état actuel S(t) sur la base de données sur le comportement des quantités de sortie dans le passé.

3. Tâches de prévision - déterminer les états futurs en fonction des situations actuelles et

valeurs passées.

Trouver S (t+1), S (t+2),… sachant

La tâche de recherche de contrôle consiste à trouver la séquence de contrôle U(t), U(t+1),…, U(S), S > t, qui amène le système de l'état S(t) = X à l'état S. (S) = Oui.

Le problème de la synthèse de contrôle maximum consiste en une certaine séquence optimale d'actions de contrôle U*(t) un résolveur de problèmes 4 et la fonction objectif ou fonctionnelle maximale :

F(S(t)), t = 0,1,2,…

Types de systèmes :

Basé sur la présence de facteurs aléatoires :

Déterministe

Stochastique – l’influence de facteurs aléatoires ne peut être ignorée.

2. En tenant compte du facteur temps :

Systèmes à temps continu

Systèmes à temps discret

3. Selon l'influence des périodes passées :

Systèmes de Markov - pour résoudre les problèmes 1 et 2, les informations ne sont nécessaires que pour la période immédiatement précédente ou suivante. Pour les systèmes de Markov, l'équation (1) prend la forme : G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E( t), E(t-1)) = 0

Non-Markovskie.

Quelques propriétés générales des systèmes :

La causalité est la capacité de prédire les conséquences de certaines conséquences dans le futur. Fréquemment Cas : la prédétermination d’un système signifie qu’il existe, par essence, des états pour lesquels toute l’évolution future du système peut être calculée sur la base d’observations passées.

contrôlabilité - consiste dans le fait que choix approprié l'effet d'entrée U peut être obtenu par n'importe quel signal d'entrée Y.

stabilité – un système est stable si, avec des changements suffisamment mineurs dans ses conditions de fonctionnement, le comportement du système ne change pas de manière significative.

inertie – l'apparition de retards dans le système lors de la réaction (retards) aux changements de contrôle et (ou) de l'environnement externe.

l'adaptabilité est la capacité d'un système à changer de comportement et (ou) de structure en réponse aux changements de l'environnement externe.

Systèmes dynamiques déterministes à temps discret.

De nombreuses applications en économie nécessitent des systèmes de modélisation au fil du temps.

L'état du système au temps t est décrit par le vecteur dimensionnel X(t).

X(t) = ….. , X(t) R n (R est l'ensemble de tous les nombres réels)

t

L'évolution du système dans le temps est décrite par la fonction

G (X 0 , t, ) , Où

X 0 – état initial du système ;

t – temps ;

- vecteur de paramètres.

La fonction g(*) est aussi appelée fonction de transition

La fonction g(*) est une règle qui décrit l'état actuel en fonction du temps, des conditions initiales et des paramètres.

Par exemple : X t = X 0 (1+ ) t = g (X 0 , t, )

La fonction g(*) est généralement inconnue. Habituellement, il est spécifié implicitement comme une solution à un système d’équations aux différences.

Une équation aux différences ou système d'équations est une équation sous la forme suivante : F (t, X t, X t +1, ..., X t + m, ) = 0 (1), Où

Xt est l'état du système à l'instant t.

La solution de l'équation (1) est une séquence de vecteurs

Xt = X0 , X1 ,…,

On suppose généralement que l'équation (1) peut être résolue analytiquement pour X t + m et réécrite sous la forme de ce que l'on appelle les équations d'état :

X t+m = f (t, X t , X t+1 , …,X t+m-1 , )(2)

Par exemple:

Xt +2 = Xt + Xt +1 /2 + t

Tout système peut être représenté sous la forme (2) est-ce toujours possible ?

Équation de différence (2) est dit linéaire si F(*) est une fonction linéaire de variables d'état (pas nécessairement linéaire par rapport à )

Dans les équations (1) et (2), la quantité m est appelée ordre du système Ce n'est pas une limitation sérieuse, puisque les systèmes sont d'un ordre supérieur en introduisant des variables et des équations supplémentaires.

Exemple: X t = f (X t -1 , Y t -1) – système du 2ème ordre

Introduisons Y t = X t -1

X t = f(X t -1 , Oui t -1)

Ainsi, nous ne considérerons que les systèmes du 1er ordre de la forme suivante :

X t -1 = f(t, X t , ) (3)

L'équation (3) est dite autonome si t n'y est pas inclus en tant qu'argument distinct.

Exemple:

Considérons la dynamique des immobilisations dans l'entreprise

K t est la valeur des immobilisations de l'entreprise au cours de la période t.

- taux d'amortissement, c'est-à-dire % des immobilisations qui ont été retirées de l'entreprise au cours de l'année.

I t = investissement en immobilisations.

K t +1 = (1 - )K t + I t – équation du 1er ordre, linéaire, si I t = I, alors

K t +1 = (1 - )K t + I – équation autonome

Si I t = I(t) – non autonome (dépend de t)

La solution de l'équation (3) est une séquence de vecteurs d'état (X t ) satisfaisant l'équation (3) pour tous les états possibles. Cette séquence est appelée trajectoire du système. L'équation (3) montre comment l'état du système change d'une période à l'autre, et la trajectoire du système donne son évolution en fonction des conditions initiales et de l'état de l'environnement extérieur. .

Si l'état initial X 0 est connu, il est facile d'obtenir une séquence de solutions en appliquant itérativement la relation (3), on obtient la fonction de transition comme suit :

X t +1 = f (t, X t , )

X 1 = f (0, X 0 , ) = g (0, X 0 , )

X 2 = f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = g (1, X 0 , )

Xt+1 = f (t, Xt , ) = f (t, g, (t – 1, X 0 , ),) = g (t, X 0 , )

Si f (*) est une fonction à valeur unique définie partout, alors il existe une solution unique à l'équation (3) pour tout X 0 .

Si la fonction a la forme f (t, X t, ) = / X t – pas défini partout.

Si f (*) est une fonction différentielle continue, alors la solution sera également lisse par rapport à et X0

La solution résultante dépend de l'état initial X 0 .

Le problème avec une condition aux limites se compose de l'équation (3) et de la condition aux limites spécifiée dans la formule :

Xs = Xs (4)

Si dans l’équation (4) – S = 0, alors on l’appelle l’état initial.

L'équation (3) a de nombreuses solutions, et l'équation (3) + (4) - le système - est la seule solution, on distingue donc une solution générale et particulière de l'équation de différence (3) :

X t g = X (t, c, ) = (X t (X t +1 = f (t, X t , ))) , où le paramètre e indexe une solution particulière.

X t – taille de la contribution au moment t

Z - % je taux

X t +1 = X t (1+ z) ; X0 = ...

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 = X 1 (1 + z) = X 0 (1 + z) 2 = g (X 0 , t, z) , où t = 2

S'il est possible de trouver une solution générale au système (3). nous aurons des informations complètes sur le comportement du système dans le temps, il sera facile de déterminer comment le système réagit aux changements de paramètres.

Malheureusement, la solution générale n'existe que pour certaines classes du lème ordre (notamment pour les systèmes linéaires)

Systèmes autonomes

Le comportement des systèmes autonomes est donné par l'équation de différence

X t +1 = f (X t , ) (1)

Les systèmes autonomes simulent des situations dans lesquelles la structure du système reste inchangée dans le temps. Cela permet d'utiliser la méthode graphique pour l'analyse.

X t =1 = f (t, X t , )

X t = X t +1 – X t = f (t, X t, ) - X t = d (t, X t , ) (2)

La fonction d (*) montre à quel point l'état du système changera d'une période à l'autre. A chaque point X t on peut associer un vecteur X t dans l'équation correspondante (2) La fonction d (*) dans ce contexte est appelée champ de vecteur

X 0 /t = 0

Pour les systèmes autonomes
Et

Dans les systèmes autonomes, tous les systèmes qui sont entrés au point X 0 suivent ensuite la même trajectoire. Dans les systèmes non autonomes, le comportement dépend également du moment où le système est entré au point X 0.

Sous la condition initiale X 0 pour les systèmes autonomes, nous appliquons l'équation (1) :

appliqué deux fois de suite.

Dans le système ci-dessus, f t signifie le résultat de l'application itérative de la fonction f() à son argument t fois. La fonction f t montre où le système ira dans t périodes à partir de l'état initial.

X t – où le système ira à partir du point X 0 dans t périodes de temps.

La fonction f t est parfois appelée flux système.

États stables. Equilibres périodiques. La stabilité.

Au fil du temps, le système évolue vers un état stable. Nous nous intéresserons donc au comportement asymptotique du système lorsque t → ∞.

Considérez le système

Par conséquent, si
existe, alors
.

Point X satisfaisant l'équation
appelé point fixe de la cartographie
.

Point appelé dans le contexte des systèmes dynamiques un état stable ou un état stationnaire.

Les points fixes sont largement utilisés pour étudier le comportement à long terme des systèmes dynamiques.

Si
, puis 1 sinon 0

Théorie de la stabilité de Lyapunov

Point est appelé Lyapunov stable si pour n'importe quel nombre
il y a un tel nombre ,
, qui de la condition
pour tous
.

est la longueur du vecteur sur le plan.

– état d’équilibre.

–norme du vecteur X.

Point sera Lyapunov stable dans le cas où le système arrive une fois à proximité du point et restera dans la région à l'avenir .

Point est dit asymptotiquement stable selon Lyapunov si :

Pour les systèmes asymptotiquement stables, avec le temps, le système se rapproche de plus en plus de son état d’équilibre.

Le système se comporte ainsi :

–flux du système

-où le système ira en k étapes

Solution périodique d'un système dynamique
s'appelle une solution sous la forme
, où p est la période du système ou la période de la trajectoire.

Ainsi, la solution périodique est un point fixe de la cartographie
.

Un point fixe

Vérifions s'il y a un point fixe
:

tout point est stationnaire.

Systèmes linéaires scalaires

Les systèmes linéaires scalaires ont la forme :
(1)

– équation donnée au temps t.

Si dans l'équation (1)
, Que
, alors on l’appelle homogène.

Systèmes linéaires homogènes

Pour les systèmes scalaires, il est pratique d’analyser le comportement du système à l’aide d’un diagramme de phases. Un diagramme de phase est un graphique de dépendance

Cas 1. 0

Est analytiquement stable

–linéaire, si a=1, à 45 0 – angle d'inclinaison.

Pour 0

Cas 2. -1

Oscillations amorties

Cas 3. a>1

Cas 4. un<-1

Cas 5. a = 1

Cas 6. a = 0

Cas 7. a = -1 x t+1 = -x t

Si
, Que

, Que

La solution générale des systèmes linéaires homogènes a la forme :

À
,
,

Systèmes linéaires inhomogènes du premier ordre

(1)

-contrôle

Lors de l'analyse de systèmes inhomogènes, le principe de « superposition » joue un rôle important.

Cela réside dans le fait que la solution générale de l’équation (1) peut s’écrire sous la forme de l’équation :

(2)

Où – solution générale de l'équation homogène (1) :
et est appelée fonction complémentaire.

– toute solution particulière de l'équation inhomogène (1).

Équation autonome (1)

1.

2.

Preuve:

Si est la solution de l'équation (1), alors
.

Si est une autre solution de l’équation (1), alors

Considérez la fonction
et vérifie si résoudre l’équation (1).

2. [Nécessité] Nous avons montré que si nous commençons par une solution et y ajouter
, alors nous obtenons une solution à l’équation (1). La question se pose de savoir si nous obtiendrons toutes les solutions de l’équation (1) de la même manière. Montrons que c'est bien le cas :

Ayons deux solutions (1), Et :

Notons

- homogène,
z t = ca t

-=ca t
=+ca t

Systèmes linéaires autonomes

Х t +1 =ax t +U (3)

=+ (2)

= ça t

= un +U
=

=+ chat

Si

Si

Au cas où
Au fil du temps, le système atteint un état →et par une sélection appropriée de l’équation U, nous pouvons atteindre n’importe quel état. Dans ce cas, le système (3) est dit contrôlable.

Si
, puis avec le temps, le système prendra des valeurs illimitées quelle que soit l'équation et, par conséquent, sera incontrôlable.

La solution générale (3) a la forme :

(4)

Considérons la condition aux limites x s = x s :

(5)

Systèmes linéaires non autonomes

X t +1 =ax t + U t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2 +U t-2)+ aU t-1 + U t = a 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

Si
, Que

Si
, Que

Supposons que la séquence U t soit bornée, c'est-à-dire U t ≤ pour tout le monde.

Ensuite - valeur limite.

APPLICATIONS ÉCONOMIQUES DE LA THÉORIE DES SYSTÈMES LINÉAIRES

Modèle d'équilibre de marché de type Web.

Hypothèses de base du modèle :

caractère linéaire de la courbe de demande

nature linéaire de la courbe d’offre

courbe d'égalité de l'offre et de la demande

où ré 0 , ré 1 >0

Offre:

, où S 1 >0, S 0 ≤0 (puisqu'à un prix de 0 personne ne produit rien).

Équilibre:

d 0 -d 1 P t =S 0 +S 1 P t-1

d 1 P t =d 0 -S 0 –S 1 P t-1 │:d 1

P t =
(*)

Pour que les prix convergent vers le prix d’équilibre au fil du temps, il faut que le rapport ouS 1 j 1
Il y aura des oscillations divergentes dans le système.

courbe sur le graphique

l’offre est plus raide que la courbe de demande.

d 1 p * =d 0 -S 0 -S 1 p *

Pour un comportement plus rationnel, les fabricants doivent, dans leurs décisions, prendre en compte non seulement les conditions actuelles mais également futures du marché. Ainsi, pour le fonctionnement normal du marché, la capacité des agents économiques à former des anticipations sur l'avenir (faire des prévisions) est importante.

Dynamique des prix sur les marchés financiers.

S – offre immobilière

D – demande de biens immobiliers

P t – cours de l’action au moment t.

d t – disidenti au moment t.

r – taux d'intérêt sur les comptes de dépôt.

- valeur attendue des actions à l'instant t+1.

L'arbitrage est une situation qui permet à un investisseur de réaliser un profit immédiat et sans risque en achetant un actif à bas prix et en le revendant immédiatement à un prix plus élevé.

Un marché est considéré comme efficace s’il n’existe aucune possibilité d’arbitrage.

Utilisons le principe de non-arbitrage pour obtenir le ratio du bilan par rapport au cours de l'action.

(1)

En prenant l'exemple de l'immobilier à Kharkov :

P t = 30 mille dollars

D t =2 mille dollars par an – frais de location

-prix prévu pour un appartement dans la prochaine période.

=33-2=31 mille dollars.

MÉCANISMES DE FORMATION DES ATTENTES

1. Modèle d'attentes adaptatives

=
, où 0≤≤1

0
=

1
=

- méthode de lissage exponentiel (2)

(1)

(2)

Supposons que d t =d=const pour tout t

0

Décision commune :
, où P 0 est le coût initial des actions.

un<1,
à t P 0
0

valeur fondamentale des actions.

a t P 0 – composante spéculative

2. Modèle d'attentes rationnelles

L'inconvénient est la faible vitesse d'apprentissage des acteurs du marché. Cela ouvre la possibilité d'un arbitrage intertemporel, c'est-à-dire spéculation sur les changements projetés dans les cours des actions au cours des périodes ultérieures.

Pour résoudre cette contradiction logique, le modèle des attentes rationnelles a été proposé dans les années 1970 (R. Lucas).

L’essence du modèle est qu’en moyenne, le marché ne peut pas commettre systématiquement d’erreurs dans l’évaluation des prix des actifs. Par rapport à notre modèle, cela signifie ce qui suit : les investisseurs ne doivent pas systématiquement mésestimer la valeur des actions.

- une évaluation impartiale, c'est-à-dire
- est une estimation non biaisée de P t +1 ; ou
=Pt +1 +Et

E t – erreur d’estimation

Considérons une version extrême du modèle d'anticipations rationnelles (le modèle avec pleine prospective), dans laquelle l'erreur d'estimation est de 0.

En utilisant le modèle avec une pleine prospective, nous supposons que E t =0, c'est-à-dire
=Pt +1

Examinons la dynamique des cours boursiers dans un modèle plein de prospective.

Condition d'arbitrage :

(1+r) Pt =dt

(1+r) Pt =dtPt+1

=Pt+1

Pt+1 =(1+r) Pt-d (3)

P t est instable, P t →, puisque (1+r) >, à moins que l'on parte d'un point fixe :

Si P t = , alors P t + k =

d=0, P t +1 =(1+r) Pt

Dans le modèle de prospective complète, les attentes des investisseurs jouent le rôle d’une prophétie qui s’exprime d’elle-même ; les prix des actifs peuvent augmenter indéfiniment, car les investisseurs croient qu’ils vont croître. Ainsi, dans un tel modèle, la composante spéculative du cours de l’action domine sa valeur fondamentale.